MUKAVEMET Ders Notları (Son güncelleme )

Transkript

1 Püf Noktalarıla MUKAVEMET Der Notları (Son güncelleme ) Prof. Dr. Mehmet Zor MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

2 1. a-giriş KAYNAKLAR 1- Der Referan Kitabı : Mechanic of Material, Yaarları: Ferdinand P.Beer, E.Ruell Johnton, John T.Dewolf, David F.Maurek - Yardımcı Kanak: a - Mukavemet I O.Saman, S.Ako, S.Erim, H.Akbulut, (DEU aınları) b - Mukavemet Problemleri (Mutafa Savcı, Alaaddin Arpacı) 3- Öğretim Üeinin Web Safaı: a - Der Notları pdf b- Sınav oruları cevapları, c- Der Kitabı (pdf) ve diğer kanaklar İletişim : e-pota: mehmet.or@deu.edu.tr MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

3 1. a-giriş 1.1 Mukavemet Derinde İşlenecek Konular 1. a-giriş, b-gerilme Kavramı, c-bağlantı Elemanları. Şekil Değiştirme, a-genel Bilgiler, b-ekenel Yüklemede Toplam Uama, c-ekenel Yüklemede Hipertatik Problemler 3. Burulma: 4. Eğilme 5. Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmeinde Kama Gerilmei (der kapamı dışında) 6. Dülemde Gerilme Dönüşümleri ve Mohr Çemberi 7. Bileşik Yükleme 8. Akma ve Kırılma Kriterleri Püf Noktaı (P.N)-1.1 : Mukavemette heaplama öntemleri (Formülleri) ükleme şekline ve baen geometrie göre değişir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 3

4 1. a-giriş FİZİK MEKANİK Rijid Ciimlerin Mekaniği Şekil Değiştirebilen Ciimlerin Mekaniği Dinamik (Hareketli Ciimler) Statik (Sabit Ciimler) Mühendilik Mekaniği Deri (Statik+Muk.) Mukavemet (Ciimlerin Daanım) Akışkanlar Mekaniği Mekanik: Fiik biliminin, ciimlerin dış ükler altındaki davranışlarını inceleen dalıdır. Rijit Ciim: Kuvvet etkii ile şeklinde bir değişiklik olmaan teorik ciimdir. Gerçekte katı haldeki tüm ciimlerde dış kuvvetler etkiile a-çok şekil değişikliği olur. Ancak tatik ve dinamik bilimlerinde, gerçek katı ciimler de rijit kabul edilir. Dinamik: Hareket halindeki katı ciimlerin davranışlarını inceler. Statik: Dış üklere maru kalmaına rağmen durağan halde dengede olan ciimlerin davranışlarını inceler. (Örneğin oturduğunu ıra, maa vb.) Statikte genel amaç cime etki eden dış kuvvetlerin belirlenmeidir. Mukavemet: Dış üklerin etkiine maru, genelde tatik (durağan) halde olan, şekil değiştirebilen katı ciimlerin ve itemlerin davranışlarını inceler. Dış ükler tatikteki denklemlerden heaplandıktan onra, bu dış üklere itemin daanıp daanamaacağını vea daanmaı için boutlarının vea malemeinin ne olmaı gerektiği orularına cevap aranır. Mühendilik açıından bu çok önemli orulara cevabı ie Mukavemet bilimi verir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 4

5 1. a-giriş 1. Mukavemet Deri ie ne kaandıracak? Bu deri alan ve başarılı olan öğrenciler; Denge halindeki katı itemlerde dış ükleri tatikten heapladıktan onra, I. Sitemin (malemelerin) bu üklere daanıp daanamaacağını heaplarla kontrol edebilecekler, II. Vea bu üklere itemin daanabilmei için itemi oluşturan parçaların her biriinin boutlarının minimum almaı gereken değeri tain edebilecekler, III. Vea itemin bu üklere daanabilmei için maleme eçimi apabileceklerdir. Bu bilgi ve beceriler ie öğrencilere mühendilik açıından çok önemli kaanımlar ağlaacaktır. Yeni itemleri, üretmeden önce daanım açıından optimum (en ugun) eviede taarlaabilecek bir bilgi birikimine ulaşabileceklerdir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 5

6 1. a-giriş 1.3 BU DERS GERÇEK HAYATTA NE İŞE YARAYACAK? Örnek 1 T1 T W Çalıştığını işletme şekildeki gibi bir hamak imal etmek itemektedir. Ar-ge mühendii olarak iden hamakta kullanılacak iplerin emnietli çapını (d) belirlemenii itemiştir. Şunu unutmaın: ip kuvvetleri bilinmeden emnietli çap (d) heaplanama. İlk adım iplere düşen kuvvetleri (T1, T) bulmaktır..adım ie ipin emnietli çapını (d) heaplamaktır. O halde; Statik ten Mukavemet ten MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 6

7 1. a-giriş 1.3 BU DERS GERÇEK HAYATTA NE İŞE YARAYACAK? Örnek Merdivenin aaklarında oluşan tepki kuvvetlerini tatik denge denklemlerinden heapları. - Bu merdivenin bu adamı - taşııp taşıamaacağını, - Vea taşıabilmei için gerekli boutların minimum değerlerini, - Vea belli boutlarda maleme cininin ne olmaı gerektiğini mukavemet derindeki konulardan heapları MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 7

8 1. a-giriş 1.4 Taarım Kriterleri: Taarlanan ııl vea mekanik itemler üretilmeden önce, taarım aşamaında mutlaka boutlandırılmaı gerekir. Bu boutlandırma apılırken mutlaka şu 3 şart gö önünde bulundurulmalı ve optimum (en ugun) çöüm elde edilmelidir. 1- Sitem ekonomik olmalıdır. - Güvenli Olmalıdır. (Mukavemet Heapları bu kriter üerine apılmaktadır.) 3- İşlevini erine getirebilmelidir. Optimum çöüm: Boutların büümei itemin güvenliğini arttırır ancak ekonomiklik olma şartını aaltır. Boutların büümei işlevelliğin itirilmeine de ebep olabilir. Arıca daha daanıklı maleme eçmek boutların küçük kalmaını ağlaabilir ancak bu tip malemeler daha pahalı olduğundan ine ekonomik olma şartı ağlanmaabilir. Bu ebeplerle, bir mühenditen, tüm faktörleri gö önüne alarak bu 3 kriteri en ii şekilde ağlaacak çöümü geliştirmei (ki buna optimum çöüm denir), beklenir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 8

9 1. a-giriş 1.5 Kullanacağımı Birimler Uunluk Kuvvet milimetre (m) Newton (N) Gerilme MegaPacal (N/mm ) Unutmaın : Mukavemet derinde tüm problemlerde daima Newton ( N ) ve milimetre ( mm ) kullanacağı. Bu durumda ortaa çıkacak gerilme :N/mm olacaktır ki buna MPa (Megapacal) denir. 1 N/mm = 1 MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 9

10 1. b-gerilme Kavramı 1.6 GERİLME KAVRAMI MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 10

11 1. b-gerilme Kavramı Gerilmenin Anlamı: Gerilme genel anlamda «birim alana düşen iç kuvvet» olarak tanımlanabilir. Gerilme kavramının anlaşılmaı, mukavemet konularının kavranmaında çok önemli bir temel teşkil eder. Gerilme kavramını anlaabilmek için, öncelikle aırma prenibinin ve iç kuvvet kavramının anlaşılmaı gereklidir. Gerilme kavramını önce kendimiden anlamaa çalışacağı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 11

12 1. b-gerilme Kavramı 1.6. İnanda tre - Ciimlerde Gerilme Gerilme kavramını önce kendimiden anlamaa çalışalım. Gerilmenin İngilicei tre dir. Stre kelimei ie şu an Türkçe olarak, bir olaın vea fiilin bide oluşturduğu endişe ve tedirginlik anlamında kullanılmaktadır. İnandaki tre, dışarıdaki olaların bakııla oluşur. Yani tre dış üklerin (olaların, bakıların) bide oluşturduğu etkidir. Yoka tre dış bir ük (bakı) değildir. Stre ugulanma, oluşur. İşte bener şekilde katı ciimler için dışarıdan ugulanan fiikel ükler, cimin içinde tre (gerilme) oluşmaına ebep olur. Bideki tre belli bir ınırı aşara, şok, bagınlık gibi haarlara ebep olur. Bu ınır ie kişiden kişie değişir. İradeine ahip, abırlı kişilerin tre ınırı ükektir. Dış ükler onucu üerinde tre oluşan katı ciimlerde de belli bir ınırdan onra çatlama, kopma, akma (kalıcı deformaon) gibi haarlar oluşabilir. Bu ie katı cimin maleme cininin daanımıla ve mekanik davranışlarıla çok akından ilgilidir. Anı geometride fakat farklı malemeden imal edilen iki cimin anı dış üke göterdikleri cevaplar farklı olacaktır. Bir ipi çekerek koparak bile, anı kalınlıkta çelik bir teli koparamaı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

13 1. b-gerilme Kavramı Aırma Prenibi: Dış kuvvetlerin etkiine maru bir item dengede ie haali bada da aırdığımı her bir parçaı da arı arı dengededir. Buna aırma prenibi denir. Haali olarak aırdığımı her bir parçaına, dış kuvvetlerden başka, aırma kımından iç kuvvetler ve iç momentler de etki ettirilir. Herbir parçada iç ve dış kuvvetler tatik denge ağlar. gerilmeler İç kuvvet ve iç momentler: Aırma üeinde ortaa çıkan tepkilerdir. Sitemin o kıımda dış kuvvetlere karşı cevabıdır. Gerilme : İç kuvvet ve moment tepkilerinden kanaklanan birim alana düşen kuvvet olarak tanımlanabilir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 13

14 1. b-gerilme Kavramı Aırma Prenibi-Devam: İç Momentin oluşmadığını (M iç =0) ve keitte adece iç kuvvet (F iç ) olduğunu düşünürek, gerilme birim alana düşen iç kuvvet olarak tanımlanabilir. İç kuvvet ie arılan parçanın tatik dengeinde bulunur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 14

15 1. b-gerilme Kavramı Aırma Prenibi - Örnek I I Aakta bekleen bir kişinin vücut ağırlığı ebebile farklı bölgelerinde oluşan gerilmeleri inceleini. Bölgeler için haali olarak keimler apıldığına, her bir keimde adece iç kuvvet oluştuğuna dikkat edini. II II W kafa Wtüm I F iç-1 I W tüm / W tüm / II W gövde+kafa II F iç- MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 15

16 1. b-gerilme Kavramı Aırma Prenibi - Örnek -devam Keimin alt vea üt kımını incelemek onucu değiştirme. Her ikii de anı onucu verecektir. Sonuçta iç kuvvet ve gerilme anı çıkar. Yandaki şekilde I-I keiminin alt ve üt kımı için arı arı çiim apılmıştır. Dikkatlice inceleini. I I F iç-1 W kafa I I MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 16

17 1. b-gerilme Kavramı Gerilme Çeşitleri Normal Gerilme: Gerilme dülem normaline paralel ie; başka bir ifade ile düleme dik ie buna normal gerilme denir. ile göterilir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 17

18 1. b-gerilme Kavramı Gerilme Çeşitleri-Devam Kama (keme) Gerilmei: Gerilme dülem normaline dik ie; başka bir ifade ile düleme paralel ie buna kama gerilmei vea keme gerilmei denir. t ile göterilir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 18

19 1. b-gerilme Kavramı Haar Gerilmei Şekildeki ipe aılan ükü gö önüne alalım. İpteki kuvvet tatik dengeden F = W dir. A (mm ) (İp Malemei - 1, gevrek maleme) F kopma (N) (İp Malemei -, gevrek maleme) F kopma (N) Tabloda kopma anındaki kuvvet göterilmiştir. Görüldüğü gibi ipin boutu (keit alanı A) ve malemei değiştikçe kopma kuvveti değişmektedir. Soru: Bu tabloa göre değişmeen bir değer var mıdır? Cevap: Herbir gevrek (kırılgan) maleme için F kopma A oranı değişmemektedir. Bu orana şimdilik malemenin haar gerilmei diebiliri. (σ haar = F kopma ) A Haar gerilmei malemenin bir öelliği olup, maleme boutlarından bağımıdır. (oğunluk gibi) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 19

20 1. b-gerilme Kavramı Haar Gerilmei-Devam Malemenin bir öelliği olan haar gerilmei çekme denei ile bulunur. Çekme Tet Cihaı Sünek malemeler için kalıcı deformaonun (platik bölgenin) başladığı an haar anı olarak değerlendirilmelidir. Zira kalıcı deformaona maru kalan bir eleman işlevelliğini itirecektir. Bu ebeple haar gerilmei akma gerilmei olarak değerlendirilmelidir. σ haar = σ akma =σ a = F akma A Gevrek malemelerde ie kalıcı şekil değiştirme ihmal edilecek kadar adır. Haar gerilmei kopma vea kırılma anındaki gerilmedir. σ haar =σ kırılma =σ k Not: Sünek malemelerin çeki ve baıdaki akma mukavemetleri (gerilmeleri) anıdır. Gevrek malemelerde ie baı mukavemeti çeki mukavemetinden daha faladır. (3-4 katı olabilir.) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 0

21 1. b-gerilme Kavramı Haar Gerilmei-Devam Haar Şartı Çeki üklemeine maru bir maleme de bir gerilme oluşur. Kuvvet arttırıldığında bu gerilme artar. Kuvvet iice arttırılıra gerilme haar gerilmeine ulaşır ve maleme de haar oluşur. O halde genel anlamda haar şartı; σ σ haar Sünek malemeler için bu şart: σ σ akma şekline dönüşür. Gevrek malemeler için ie σ σ kırılma Mukavemet kontrolü için, incelenen durumdaki gerilme (σ ) heaplanır, σ haar ile karşılaştırılır. 70N 70N 350N 350N σ < σ haar Henü kopmamış. σ = σ haar Kopma anı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

22 1. b-gerilme Kavramı Haar Gerilmei-Devam Haar Şartı- Keme (Kama) Durumu için Malemelerin çeki vea baı daanımları ile keme daanımı farklıdır. Bu ebeple, keme gerilmeinin ö konuu olduğu üklemelerde keme daanımı (τ haar ) gö önüne alınmalıdır. Keme gerilmei ebebile haar şartı; τ τ haar Sünek malemeler için genel olarak τ haar =τ akma = σ akma Gevrek malemeler için τ haar =τ kırılma Bir örnek : iki levhaı bağlaan çelik cıvata (ünek) için t heabı ve haar kontrolü: τ τ akma ie akma oluşur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

23 1. b-gerilme Kavramı Haar Gerilmei - Devam Bir ugulama: Bir ilan panouna iğnei rahatça batırabilir ve delebiliri. Fakat anı kuvvetle bir tahta kalemile niçin anı panou delemei? Cevap: İğnenin batan uç alanı ( A iğne ) çok küçük olduğundan küçük bir kuvvetle büük gerilme oluşturup pano malemeinin kopma gerilmeine ulaşırı ve panou deleri. Oa tahta kaleminin batırmaa çalıştığımı uç alanı (A kalem ) çok daha büüktür. Bu nedenle panonun kopma gerilmeine ulaşabilmek için çok büük kuvvet gerekir. Bu ebeple kalemle panou delmek çok daha ordur. olduğundan MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 3

24 1. b-gerilme Kavramı Emniet kataıı ve emniet gerilmei (Factor of afet and allowable tre) Bir mekanimanın, apının vea makinanın belli bir emniet kataıına ahip olmaı itenir. Yani item taşıabileceği ükün vea 3 katı ük taşıabilecek şekilde taarlanabilir. Öellikle can güvenliliğinin önemli olduğu aanör gibi mekanimalarda bu kataının daha fala olmaı itenir. İşte bu durumda mukavemet heaplamaları haar (akma vea kırılma ) gerilmeine göre değil de emniet gerilmeine göre apılır. Yapıda oluşacak makimum gerilme emniet gerilmeini aşmaacak şekilde boutlar heaplanır vea maleme eçimi apılır. Emniet kataıı : n = haar gerilmei emniet gerilmei = σ haar σ emniet Emniet Kataıı Kullanma Sebepleri: Maleme öelliklerindeki belirilikler ve değişkenlikler Yüklemelerdeki belirilikler ve değişkenlikler Analilerdeki hatalar (anılmalar) ve belirilikler Tekrarlı ükleme durumları Haar tipleri Maleme üerindeki boucu etkiler ve onarım gereklilikleri Can ve mal güvenliği/emnieti Emniet şartı : σ < σ emniet vea τ < τ emniet Makinenin fonkionelliği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 4

25 1. b-gerilme Kavramı 1.7 Mukavemet Heaplamalarında Genel Yol Haritaı 1-) Denge halindeki bir ciim vea itemde önce tatik heaplamalarla bilinmeen kuvvetler bulunur. -) Ciimdeki makimum gerilme heaplanır. (Heaplama şekli ve formülleri ükleme şekline göre ve baen geometrie göre değişir.) 3-) Makimum gerilme ünek malemenin akma, gevrek maleme ie kopma (kırılma) gerilmeine eşitlenir. Bu eşitlikten, a-) minimum bout heabı (kuvvet + maleme belli ie) vea b-) maleme eçimi (kuvvet + boutlar belli ie) vea c-) Mukavemet (Daanım) kontrolü (kuvvet + boutlar + maleme cini belli ie) apılır. Bu genel ol haritaıdır. Baı problemlerde, cime ugulanabilecek makimum kuvvet orulabilir. Vea gerilmelerin anııra şekil değiştirmeler heaplanabilir. Emniet kataıı verilebilir. İleride görülecek örnek problemlerle bunlar ihninide daha belirginleşecektir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 5

26 1. b-gerilme Kavramı Örnek 1.1 Şekildeki apıı gö önüne alalım: Acaba bu çubuklar, 30kN luk kuvveti emniet ınırları içinde taşıabilir mi? Çubuklar anı cin çelikten olup, malemenin emniet açıından iin verilebilir gerilme (emniet gerilmei): emniet 165 MPa BC çubuğu d=0mm çapında daireel keite, AB çubuğu ie 50mm50mm lik kare keite ahiptir. Heaplamalarda pim deliklerini ihmal edini MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 6

27 1. b-gerilme Kavramı Çöüm: 1.Adım : Statik heapları Bu itemi bir kafe item olarak düşünebiliri. B düğüm noktaının dengeinden çubuk kuvvetlerini bulabiliri. Coθ F = 0 F AB F BC. ( 4 5 ) = 0 F = F BC. ( 3 5 ) = 0 F AB = 40kN F BC = 50kN.Adım: Gerilme Heabı I I F BC I I-I keimi I A Sinθ F iç = F BC σ = F BC = N A π.0 4 = 159MPa mm 4 emniet 165 MPa İdi. σ = F iç A = F BC A 3-c) Mukavemet Kontrolü σ < σ emniet Bu çubuk emnietlidir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 7

28 1. b-gerilme Kavramı Çöüm - devam: AB çubuğu için -Gerilme Heabı II II F AB F iç = F AB σ = F iç A = F AB A A=5050mm σ = F AB A = N 5050 mm = 16MPa emniet 165 MPa İdi. 3-c) Mukavemet Kontrolü σ < σ emniet 16 <165 Bu çubuk da emnietlidir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 8

29 1.Giriş ve Gerilme Kavramı 1.8. Bilgi: Saint-Venant Prenibi Bir keite etkien bileşke iç kuvvet üee dik ie ortalama normal gerilme; P A şeklinde ifade edilir. Ancak tekil ükten (P kuvvetinden) belli bir uaklıktan onra keitin tüm noktalarındaki gerilme değerleri birbirine aklaşır. Yüke aklaştıkça keitte noktadan noktaa gerilmeler araındaki fark büür. Sonuç olarak tekil bir kuvvetten dolaı medana gelen gerilmeler ugulama noktaından eterince uak keitlerde uniform hale gelir. Bununla birlikte ileride çöeceğim problemlerde bu ilkenin çöümlere etkii ihmal edilecektir. Bilgi amaçlı bu prenibe burada değinilmiştir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 9

30 1. c- Bağlantı Elemanları 1.9 Bağlantı Elemanlarında (Pimlerde, Cıvatalarda, Perçinlerde vb.) ortaa çıkan gerilmeler:stre) Keme (Kama) Gerilmeleri Levhaları vea çubukları birbirlerine bağlaan pim, cıvata, perçin gibi bağlantı elemanlarındaki gerilmeler, kama (keme) gerilmeleridir. Şiddetleri bağlantı üei aıına göre heaplanır. Tek Keme Yüei (Single Shear) Çift Keme Yüei (Double Shear) t F iç A F A Civata keit alanı: A = πr t F iç F A A Ütteki levhada ağa doğru olan F kuvvetini a-b çigiinin bulunduğu arı ilindirik üedeki tepki dengeler. Alttaki F kuvvetini ie c-d çigiinin olduğu arı ilindirik üe dengeleecektir. A levhaına gelen F kuvveti ağdaki cıvatanın e-f kımından (arı ilindirik alan) ve cıvataı anı önde çeker. e-f kımından cıvataa gelen F kuvveti üt levhanın a-b kımından, alt levhanın c-d kımından dengelenecektir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 30

31 1. c- Bağlantı Elemanları 1.9. Yatak Gerilmeleri (Bearing Stree) Tek keme için Cıvata, pim, perçin gibi bağlantı elemanlarının geçtiği deliklerin iç arı ilindirik üelerinde bir tepki kuvveti oluşur. (Bir önceki afada a-b vea d-c vea e-f kıımlarına gelen kuvvetler) Ancak bu kuvvet üee homojen dağılma. Orta kıımlarda daha faladır, anlara doğru ie aalır. Bu kuvvetten dolaı deliğin arı ilindirik iç üeinde normal gerilme oluşur. Bu normal gerilmenin ortalama değeri kuvvetin, idüşüm alanına (t d) ) bölünmei ile elde edilir. t : levha vea çubuk kalınlığı, d: pim çapı Bu ortalama gerilmee atak gerilmei denir. F atak b A* F t d σ b MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 31

32 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek 1. Şekildeki pedalın C bağlantıında 6mm çapında pim kullanılmıştır. P= 500N olduğuna göre; a) C Pimindeki ortalama kama gerilmeini, b) C piminin geçtiği deliklerdeki atak gerilmelerini heaplaını. Çöüm: Statik Dengeden MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 3

33 1. c- Bağlantı Elemanları a-) c pimi çift kemee marudur. Çünkü tane delikten geçirilip atakla dengelenmiştir. C pimi C pimi I-I keimi I I I I A t c F iç A Fc A Fc. d. 4 c τ C =.99MPa b-) c piminin geçtiği ataklardan oldakini incelerek eterli olur. A* atak b Fc / A* Fc. t d c b 1, 67 MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 33

34 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek 1.3. Şekildeki çerçeve iteminin, P=100kN luk kuvveti emniet ınırları içinde taşıabilmei için a-) B ve D pimlerinin minimum çap değerlerini bulunu. (Pimlerin çapını tam aıa öteleini.) b-) BD çubuğunun minimum kalınlığını heaplaını. Emniet kataıı n= alını. Pimlerin akma gerilmei t ak = 00MPa, BD çubuğunun akma gerilmei ak = 400MPa Çöüm: Statik heapları: M A = 0 F BD. Co = 0 F BD = 94.8 kn MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 34

35 1. c- Bağlantı Elemanları Pimlerin emniet gerilmei : τ em = τ ak a-) = 00 = 100MPa B piminin emnietli çap değeri. B pimi tek kemee marudur. I-I keimi-ol kıım db I I Emniet şartı : τ B τ em τ B = F İÇ A B = F BD A B = πd B = d B d B 100 d B 100 d B 34.64mm d B minimum = d B emniet = 34.64mm Bu değere en akın minimum tam aı 35mm olduğundan d B = 35 mm alınır. Piaada mm lik pim bulamaı ancak 35 mm lik bulabiliri. Pimi kendimi üretedik mm lik üretebilirdik. Ancak bu kadar küçük bir fark için imalat marafına girmee değme MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 35

36 1. c- Bağlantı Elemanları D Piminin emnieti: D pimi çift kemee marudur. a-a keimi-ol kıım a a τ D = F İÇ A D = F BD/ A D = ( )/ πd D 4 = d D Emniet şartı : τ D τ em d D 100 d B 600 d D 4.5mm d D minimum = d D emniet = 4.5mm Bu değere en akın minimum tam aı 5mm olduğundan d D = 5 mm alınır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 36

37 1. c- Bağlantı Elemanları b-) BD çubuğunun emnieti σ em = σ ak = 400 = 00MPa BD çubuğunun en dar keiti daha büük çaplı B piminin geçtiği deliktir. Makimum gerilme bu minimum keitte ortaa çıkar. D pimi daha küçük çaplı olduğu için o kıımdaki keit daha büük olur. c-c keimi-alt kıım A1 ve A keitlerinde oluşan toplam iç kuvvet σ BD ma σ BD ma = BD çubuğundaki minimum keit F iç = A min. (50 35)t = 6385,3 t Emniet şartı : σ BD ma σ em 685,3 t t minimum = t emniet = 31,4mm 00 t 31,4mm Çubuğu kendimi imal edeceği için tam aıa uvarlamaa illa gerek oktur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 37

38 1. c- Bağlantı Elemanları Pim deliklerini ihmal etedik: BD çubuğunun dolu orta keitinden bir keim (b-b keimi) almalıdık. Bu durumda ; b-b keimi alt kıım b b σ BD ort σ BD ort = F iç = F BD = A ort A ort 50t = 1885,6 t Emniet şartı : σ BD ort σ em 1885,6 t 00 t 9,4mm Görüldüğü gibi pim deliklerini ihmal ettiğimide kalınlığı aklaşık 3 katı daha düşük değerde buluoru. Emniet kataıı n= alındığı için t=9.4 mm alırak çok önemli bir heap hataı apmış oluru ve muhtemelen çubuk üke daanamaacaktır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 38

39 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek 1.4 BD bağlantıında 40 mm genişliğinde ve 1 mm kalınlığında çelik çubuk kullanılmıştır. Her bir pimin çapı 10 mm olup pimler tek taraflı kemee marudur. Tüm pim ve çubuklar anı malemeden imal edilmiş olup akma mukavemetleri σ ak = 300MPa, τ ak =150 MPa olarak bilinmektedir.. Buna göre; BD çubuğundaki, pimlerideki ve D atağındaki makimum gerilmeleri bularak bu elemanların mukavemet kontrollerini apını. Statik heapları: Çift kuvvet elemanı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 39

40 1. c- Bağlantı Elemanları BD çubuğu: D vea B pimi : < 300 BD çubuğu bu üke daanır. D atağı: > 150 B ve D pimleri bu üke daanama > 300 D atağı da bu üke daanama MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 40

41 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek (Soru) 1.5*: Şekildeki çerçeve iteme G noktaından 4kN luk düşe bir ük ugulanmıştır. BE ve CF çift taraflı olarak ata AD çubuğuna 0mm çapında çelik pimlerle bağlıdır. A ve D uçlarında ie dönmee iin veren ötelenmee iin vermeen bağlantılar kullanılmıştır. Akma mukavemeti 00MPa olan BE ve CF çubukları 40mm genişliğinde ve anı t kalınlığındadır. Emniet faktörünü alarak bu çubukların emnietli kalınlık değerini tepit edini. Çöüm: t em =9.75mm M E = 0 0.4F CF = 0 F CF = 39kN F BE =39-4=15 kn olduğu için CF çubuğu incelenir. Çünkü boutlarda olmaına rağmen üerine düşen kuvvet daha faladır. BE çubuğun t em değeri daha düşük çıkar. σ em = F CF 40 0 t = t = 00 t em = 9.75mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 41

42 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek (Soru) 1.6* : (017 a okulu.vie) Şekildeki itemin 800 N luk düşe ükü emniet ınırları içeriinde taşıabilmei itenior. Emniet kataıını alarak, a-) Çelik malemeden imal edilmiş, A ve B pimlerinin emnietli çap değerlerini belirleini. (A pimi tek, B pimi çift keme üeine ahiptir.) b-) Bu durumda, 50mm genişliğe, 8mm kalınlığa ahip Alüminum BD çubuğunun emniet kontrolünü apını. Kemedeki Akma Çeki / Baı için Akma Mukavemeti Maleme Mukavemeti Çelik 400MPa 00MPa Alüminum 140MPa 70MPa Cevaplar: a-) d A-em = 1.805mm, d B-em = 3.59 mm, b-) BD-ma =.7MPa emnietli MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 4

43 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek (Soru) 1.7* Şekildeki ata AGCB uçak çekme çubuğunun ağırlık merkei G noktaında olup, kütlei 00kg dır. Bu Çubuğun ağırlığı CD hidrolik ilindiri ve F tekerleği ile dengelenmiştir. F tekerleği adece ere tema etmekte olup, ata çekme çubuğu ile araında eterince bir boşluk mevcuttur. A, E ve D noktalarında pimlerle bağlantı ağlanmıştır. Bu durumda 5mm çapındaki CD hidrolik ilindirinde ortaa çıkan normal gerilme değerini heaplaını. Cevap: -4.97MPa Örnek (Soru) 1.8* Şekildeki taşııcı iteme 6kN luk bir kutu üklenmiştir. Sitem göterilen konumda dengede tutulmaktadır. L şeklindeki taşııcı bütün bir parçadır. E tekerleği ürtünmeidir. B pimi tek kemee marudur. Buna göre B piminin emnietli çap değerini heaplaını. (B piminin malemeinin keme mukavemeti 138 MPa dır. emniet kataıı n= ) Cevap: 1mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 43

44 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek 1.9 : Daireel keitli kademeli bir çelik çubuk, abit bir alüminum dikte açılan delikten geçirilmiştir. Siteme ugulanabilecek makimum P ükünün şiddetini heaplaını. Çelik elemanın alt kımı 10mm çapındadır. Çelik Alüminum em (MPa) t ak (MPa) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 44

45 1. c- Bağlantı Elemanları Çöüm 1.9 : A1 ve A iç ilindirik üeler olup kemee maru kalırlar. A3 daireel keiti ie çekmee maru kalacaktır. t t Çeliğin üt kımının emnieti için ugulanabilecek makimum P: P = τ em çelik. A 1 = 180 π110 = N 67.86kN Alüminum dikin emnieti için ugulanabilecek makimum P P = τ em alüm.. A = 70 π408 = N 70.37kN t t t A1 (ilindir iç üei) Çeliğin alt kımı emnieti için ugulanabilecek makimum P P = σ em çelik.. A 3 = 360( π10 ) = N 6.7kN 4 Bu durumda tüm itemin emnieti için ugulanabilecek makimum P ükü: P P emn. =6.7kN MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 45

46 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek (Soru) 1.10* : A ve B tahta levhaları aralarında 6mm lik boşluk kalacak şekilde 75L boutlarında tahta iki levhaa apıştırılarak şekildeki gibi birleştirilmiştir. Levhalara 15kN luk çekme ükleri ugulanmıştır. Yapıştırıcı malemei makimum 4 MPa kama gerilmeine daabilir. Buna göre, emniet kataıı n = alarak, Levhaların birbirlerinden arılmamaı için L bounun ınır değerini heaplaını. Cevap: L min =106mm Örnek (Soru) 1.11*: D kımından abitlenmiş olan CD tahtaındaki deliğe, 1mm çapında çaplı AB çelik çubuğu ıkıca geçirilmiştir. A ve B uçlarından ugulanan.5kn luk ata kuvvetler a-) Tahtadaki makimum normal gerilmei, b-) Delikteki daanma gerilmeini heaplaını. Cevap: a-) 3.97MPa, b-) 0.8 MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 46

47 1. c- Bağlantı Elemanları Örnek Soru 1.1 (Final 016): Şekildeki kafe itemde daireel keitli çelik çubuklar kullanılacaktır. Buna göre BE, CE çubuklarının minimum çap değerini heaplaını. Kullanılacak çelik için akma gerilmei = 400 MPa Cevaplar : BE çubuğunun minimum çapı = 19.94mm CE çubuğunun minimum çapı = 17.84mm Örnek Soru 1.13 (Final 016) Şekildeki ıkıştırma aletine P = 50 N luk bir el kuvveti ugulanacaktır. Buna göre emniet ınırları içinde kalacak şekilde, a-) kare keitli CD kolunun emnietli keit uunluğunu, b-) Daireel keitli 1 nolu kolun emnietli çap değerini, c-) tek keme üeine maru E piminin emnietli çap değerini heaplaını. Verilenler: a=3cm, b=10cm, c=4cm, d=5cm. emniet kataıı n= 1 nolu JA kolu, DG elemanına J noktaından kanaklanmıştır. EF araında açılan delik, 1 nolu kolun ata doğrultulda hareketine iin vermektedir. CD ve JA kolu ve pimler anı malemeden imal edilecektir. Bu malemenin akma mukavemeti: 300 MPa dır. Not: Kamadaki akma mukavemeti, çeki akma gerilmeinin arııdır. Cevaplar a-) 1.45 mm, b-).07mm, c-) 4.88mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 47

48 ŞEKİL DEĞİŞTİRME a-genel Bilgiler b- Ekenel Yüklemede Toplam Uama Heabı c- Hooke Bağıntıları d-termal gerilmeler ve şekil değiştirmeler e-diğer ükleme cinlerinde şekil değiştirmeler f-ekenel üklemede Hipertatik Problemler MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 48

49 . Şekil Değiştirme a-) Genel Bilgiler.1 Şekil Değiştirme Heaplarının Önemi Dış üklerin etkiine maru ciimlerde gerilmeler oluşur demiştik. Bunun anııra bu ciimlerde dış üklerin etkii ile şekil değiştirmelerde oluşur. Şekil değiştirme deince cimin ötelenmei değil, kuvvet etkii ile şeklindeki enemeler vea çarpılmalar anlaşılmalıdır. Şekil değiştirmelerle gerilmeler araında elatik bölgede doğrudan bağıntılar vardır. Bunlara Hooke bağıntıları denir. Bu bağıntılarla gerilmelerden şekil değiştirmeler heaplanabilir. Vea şekil değiştirmeler heaplanmışa bu bağıntılarla gerilmeler elde edilebilir., Şekil değiştirme mukavemette gerilmeden onraki en önemli karşılaştırma kriteridir denebilir. Naıl ki bi cimin gerilmeinin akma ınırını aşmaını itemei, anı şekilde cimin şeklinde de belli bir ınırı aşmaı itenme. Örneğin bir ama köprüde gerilmelerin akma ınırını aşmamaı vea kopmamaı eterli olma, bunun anııra köprünün çökme miktarının da belli bir ınırı aşmamaı gerekir. Şefim! Köprüde kopma olmamış. Mukavemet gerilme heaplarım doğru.. Tüm heapları aptığına, emin miin? MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 49

50 . Şekil Değiştirme a-) Genel Bilgiler. Şekil Değiştirme Heaplama Yöntemleri Nee Göre Değişir? Gerilme heabında olduğu gibi şekil değiştirme heapları da ükleme cinine bağlı olarak değişir. Öellikle; Ekenel Yüklemede, Burulmada, Eğilmede, Şekil değiştirme heaplama öntemleri farklıdır. (Gerilme heapları da farklıdır.) Şekil değiştirme heaplama şekilleri tatikçe beliri (hipertatik) problemlerin çöümünde de bie ardımcı olmaktadır. Bu. konu kapamında ekenel üklemedeki şekil değiştirme ve hipertatik problemler göterilecektir. Burulmadaki şekil değiştirme ve hipertatik problemler 3. konu olan Burulma konuunda ele alınacaktır. 4. ve 5. Konu olan eğilme üklemeinde adece gerilme heapları anlatılacaktır. Şekil değiştirme konuu anlatılmaacaktır. Bu daha ileri evie bir konu olup Mukavemet II derinde anlatılmaktadır. Arıca burkulma, dinamik ükleme, eğik eğilme gibi farklı ükleme cinleri de var olup herbiriinde hem şekil değiştirme hem gerilme heaplama öntemleri farklılık göterir. Ancak bu konulara bu der kapamında girilmeecektir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 50

51 . Şekil Değiştirme a-) Genel Bilgiler.3 Birim Uama (e) Kavramı Şekil değiştirmede en önemli kavram birim uama imini verdiğimi büüklüktür. e ile göterilen birim uama, gerinme olarak iimlendirilir, İngilicei ie «train» dir. En bait tanımıla, bir cimin birim boundaki uama miktarıdır. Örneğin çekmee maru L 0 boundaki bir çubukta toplam uama DL ie Birim uama ε = L L o DL/ L 0 DL/ Birim uama hangi doğrultuda ie e un indii ona göre değişir. (e, e vea e olabilir). Bununla birlikte farklı ükleme durumlarında herbir noktadaki gerilme değiştiği gibi birim uama da değişebilir. Anı noktada anı anda, farklı ekenlerde gerilmeler ve birim uamalar oluşabilir. Birim uama heabından toplam uama vea gerilme heabına geçilebilir. Elatik bölgede bir noktadaki gerilmelerle-birim uamalar araında doğrudan bağıntılar vardır. Bunlara Hooke bağıntıları denir. Konu içinde eri geldiğinde anlatılacaktır. Birim uamalar deneel olarak elde edilebilir. Bu aede Hooke bağıntılarından o noktada gerilmeler elatik ınırlar içinde heaplanabilmektedir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 51

52 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama.4 Tek Ekenli Yükleme: Bir ciim adece tek bir doğrultuda (, vea ekenlerinden biriinde) üklenmiş ie bu üklemee tek ekenli ükleme deri..5 Ekenel Yükleme ve Toplam Uama Heabı: Çubuk şeklinde olan elemanların adece uunluğu (ekeni) doğrultuunda üklenmeine ekenel ükleme denir. Ekenel ükleme bir eken doğrultuunda olduğu için anı amanda tek ekenli üklemedir. Bu ükleme çekme vea bama şeklinde olur. Çubuğun keit alanı değişken olabilir. Bu tip çubuklara kademeli çubuklar denir. Şimdi amacımı, ekenel üklemee maru çubuk şeklindeki elemanlarda toplam uama vea kıalma miktarını heaplamaktır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 5

53 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama.5.1 Çekme teti ve gerilme-birim uama diagramı: Çekme teti bir ekenel üklemedir. Malemelerin mekanik davranışlarını en ii karekterie eden bir tettir. Sünek bir maleme için çekme teti diagramını hatırlaalım: P P Lo P MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 53

54 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama Farklı malemeler için çekme teti diagramları: Gevrek Maleme Sünek Malemeler Alüminum Alaşımı Düşük Karbonlu Çelik MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 54

55 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama.5.. Ekenel üklemede Elatik toplam Uama (d) heabı: Ekenel çeki üküne maru A abit keitine ahip homojen ve iotropik bir çubuk düşünelim. P çekme kuvveti etkii ile bu çubuk elatik bölgede toplam ne kadar uar (d?) Fiç Tek ekenli üklemedeki Hooke Bağıntıından: Ee e E P AE Birim şekil değiştirme (e) tanımından: e d L d e. L d PL AE Ekenel üklemee maru, abit keitli bir çubukta, elatik toplam uama miktarı. Bu formülün ugulanabilmei için L uunluğu bounca kuvvet (P), Alan(A) ve maleme ( E ) değişmemelidir Kademeli çubuklar için toplam uama L bounca, A, E vea P değişire, buna kademeli çubuk denir. Çubuk bölgelere arılır. Herbir bölge için uama miktarları arı arı bulunur ve toplanır. Burada en önemli nokta bölgedeki iç kuvveti belirlemektir. Bu iç kuvvet ie formüldeki P kuvvetine karşılık gelir.bu örneklerle daha ii anlaşılacaktır. d i Pi L A E i i i MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 55

56 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama Örnek.1. Verilen ükleme durumu için şekildeki kademeli çelik çubuğun deformaonunu (toplam uama miktarını) bulunu. Elatiklik Modülü : E=00GPa Bölgelerin keit alanları: F = F A = 0 F A = 40kN Bölgelerin uunlukları : Kademeli çubuğu bölgelere aırırı. E, A vea P değiştiği aman bölge değişecektir. Bu durumda şekildeki gibi toplam 3 bölgee aırırı. Anı maleme olduğu için E tüm bölgelerde anıdır. L1 L 300 mm, L3 400mm Herbir bölgeden keim aparak iç kuvvetleri buluru. Bu iç kuvvetler formüldeki Pi kuvvetine eşittir. A A 580 mm, A mm 1.Bölge.Bölge (II-II keimi ağ kıım) 3.Bölge (III-III keimi ağ kıım) vea 1nci bölge için I-I keiminin ağ kımını alırak ine anı onucu buluru. F = F iç = 0 F iç = 60kN F = F iç 1 = 0 PL i i Toplam uama : d A E i ( 4010 ) 300 ( 6010 ) 300 ( 1010 ) mm. 580 i i 1 PL 1 1 E A1 580 P L A P3 L A MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 56 F iç 1 = 40kN

57 . Şekil Değiştirme b-) Ekenel Yüklemede Toplam Uama Örnek.. BDE rijit çubuğu AB ve CD elemanları ile abit bir üee bağlanmıştır. Alüminum olan (E = 70 GPa) AB elemanının keit alanı 500 mm dir. Çelik (E = 00 GPa) CD elemanının keit alanı ie 600 mm dir. 30-kN luk kuvvete karşılık; B, D ve E noktalarının er değiştirmeini bulunu. D noktaının er değiştirmei Çöüm: BDE için Serbet Ciim Diagramı AB ve CD çubukları çift kuvvet elemanlarıdır. M 0 F CD M D 0 F AB B 0 ( 30kN0.6m) 90kN 0 ( 30kN0.4m) 60kN F F CD AB 0.m 0.m Rijit çubuk olduğundan dolaı BDE doğruu ine doğru olarak kalır. d D d B PL AE PL AE 3 ( 9010 N) ( 400 mm) 3 ( 600 mm )( 0010 MPa) B noktaının er değiştirmei 3 ( 6010 N) ( 300 mm) 3 ( 500 mm )( 7010 MPa) Üçgen benerliklerinden BB BH DD HD 73.7 mm EE HE DD HD d E mm d 1.98 mm E mm mm ( ) 0.3 mm mm ( 00 mm) mm 73.7 mm 1-57

58 . Şekil Değiştirme c-) Ekenel Yüklemede Hipertatik Problemler.6 Süperpoion prenibi: Elatik üklemede farklı ükün etkilerinin toplamı, ükler arı arı ugulandıklarındaki etkilerinin toplamına eşittir. Buna üperpoion prenibi denir. Hipertatik itemlerin çöümünde kullanılabilir..7. Ekenel Yüklemede Statikçe beliri (hipertatik) problemler Denge halindeki itemlerde bilinmeen kuvvetlerin adece tatik denge denklemleri ile bulunamadığı (ani ilave denklemlere ihtiaç olduğu) problemlere, tatikçe beliri problemler denir. Bu ilave denklemler ie itemin şekil değiştirmeinden elde edilir. Bu kıımda ekenel üklemedeki şekil değiştirmelerden ek denklemler elde edilecektir. (Burulma ve eğilme konuunda da hipertatik problemler ökonuudur.) 1-58

59 . Şekil Değiştirme c-) Ekenel Yüklemede Hipertatik Problemler Örnek.3: Şekildeki kademeli çubukta verilen ükleme durumu ve ınır şartları için için A ve B noktalarındaki reakion kuvvetlerini bulunu. Çöüm: Statik Denge denklemi olarak adece; F 0 R R A B 0 (1) aılabilir. 1 denklem bilinmeen vardır. Bir denkleme daha gerek var. Bu ilave denklem şekil değiştirmeden bulunur. Çubuğun alt ve ütü ınırlandırıldığı için toplam uama miktarı ıfırdır. B eminini kaldırıp erine RB kuvveti ugulaabiliri. Süperpoion öntemine göre 300 ve 600 kn nu önce RB i ie onra ugulaabiliri. Sonuçta 300kN ve 600kN varken ki uama (dl), Sadece RB varken ki kıılma (dr ) toplamı ıfırdır. 1-59

60 . Şekil Değiştirme c-) Ekenel Yüklemede Hipertatik Problemler P F 1 iç1 A A P F mm iç A 3 P F 3 A 4 iç mm, L L 1 3 N P F 4 L 3 iç4 L mm 3 N d L i PL i i A E i i E E 50 6 P A δ 5 1 R F iç5 P F R 400 mm A 50 mm, L1 L 300 mm PL i i 1 RB 300 RB R A E E E i i i 6 iç6 B B d d d 0 L R d E R E B 0 () () denkleminden: R B N 577 kn (1) denkleminden: R A R A 33kN 1-60

61 . Şekil Değiştirme c-) Ekenel Yüklemede Hipertatik Problemler Örnek (Soru).4* Şekildeki BC ve DE çubukları çelikten imal edilmiş olup (Eç=00GPa) her birinin genişliği 1 mm ve kalınlığı 6 mm dir. Buna göre; a-) AF rijit elemanına P=,4 kn luk kuvvet ugulandığı aman BC ve DE çubuklarında medana gelen kuvvetleri,b-) Buna karşılık gelen A noktaının deplamanını(er değiştirmeini), bulunu. Cevap:a-) 4kN ve 1.6kN, b-) 0.056mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

62 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler.8 Termal Yüklemeler : :Sıcaklık etkii onucu malemelerde uama vea daralmalar (şekil değiştirmeler) olur. Eğer termal uama engellenire termal gerilmeler oluşur..8.1 Termal Uama Öncelikle bir maleme öelliğini ii anlamak gerekir: a : malemenin ııl genleşme kataıı (1 / o C): Tanımı: a; 1 birim bodaki çubuğun ıcaklığı 1 C değiştirildiğinde boundaki değişim miktarıdır. Orantı kurulacak olura; L boundaki çubuğun ıcaklığı DT kadar değiştirildiğinde boundaki toplam değişim miktarı: dt a( DT)L MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 6

63 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler.8. Termal Gerilmeler (Thermal Stree) Termal uamaı engellenen ciimlerde termal gerilmeler oluşacaktır. Bir çubuk her iki tarafından iki duvar araına ıkıştırılıp ıcaklığı DT kadar arttırılıra uamaı engellendiği için duvarlarda P tepki kuvvetleri ve gerilmeler oluşacaktır. Şimdi bu P kuvvetinin ve termal gerilmelerin heap şeklini anlamaa çalışalım: Çubuğun toplam uamaı ıfırdır. Süperpoion prenibine göre, B duvarı kaldırılır, erbetçe uamaa iin verilir. Sonra B duvarında oluşan P kuvveti ugulanır ve çubuğun kıalmaı ağlanır. Bu termal uama (dt) ve kıalma (dp) miktarları birbirine eşittir. Toplamları ıfırdır. dt + dp = 0 DT = + DT d a( DT ) L 0 P AEa( DT ) d T d P 0 dt a( DT)L PL AE d P PL AE P A Ea ( DT ) Termal gerilme MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 63

64 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler Örnek.5 Şekildeki kademeli çubukta, a) 110 C lik ıcaklık artışından onra çubuklarda medana gelen baı kuvvetlerini ve gerilmeleri, b) Alüminum çubuğun boundaki değişimi bulunu. Çöüm: Sol duvar kaldırılınca DT ıcaklık farkı ebebile, item dt kadar uar. Sol duvardan gelen P kuvveti ebebile dp kadar kıalır. Sonuçta dt + dp = 0.6mm olacaktır. Statik dengeden: P Al. = P Br. = P (1) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 64

65 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler () σ Al. = P = 13,31103 A Al σ Br. = P = 13,31103 A Br = 118.5MPa = 14.MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 65

66 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler Örnek (Soru).6* : Her iki ucundan ankatre edilmiş, çelik ve pirinç kıımlardan oluşan kademeli çubuğun ıcaklığı 50 o C arttırılıor. Çelik ve prinç kıımlarında oluşan gerilmeleri heaplaını. Pirinç Çelik E(GPa) a (1/ o C) Cevap: Pirinçte:- 7.6MPa, Çelikte: MPa dt d P PL PL a p p ç ç A E A E p ç ( DT ) L a ( DT ) L P N p p ç ç P P p 7.6MPa, ç MPa A A p ç MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 66

67 . Şekil Değiştirme d-) Termal Yüklemeler Örnek (Soru).7* Emniet ınırları aşılmakıın şekildeki itemi ne kadar ııtabiliri? (Cevap: ΔT= 41 o C) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 67

68 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları.9 Poion Oranı: (bir maleme öelliği) Şekildeki çubuk ekenel P üküne maru kalıra birim uama: L e E, 0 (tek ekenli üklemede Hooke bağıntıı) L X doğrultuundaki ekenel P ükü ve doğrultularında gerilme oluşturma ancak bu doğrultularda daralmaa ebep olur. Bu ebeple; Poion oranı: e e anal birim uama ekenel birim uama e e e e Unutmaın: Anı amanda Birim uama = Toplam uama/ o öndeki ilk bodur. Bu tanım tüm elatik ükleme durumları için geçerlidir. Dikkat: Bu formül tek ekenli ükleme durumunda geçerlidir. P nin anııra Y vea Z doğrultularında da kuvvetler oladı bu formül kullanılamadı. Poion oranı bir ükün diğer doğrultulardaki şekil değiştirme etkiini verir. Poion oranı bir maleme öelliğidir ve ınırları: 0 ile 0.5 araında değişir. ε = δ L ε = δ L ε = δ L MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 68

69 .10 Genel ekenel üklemede Hooke kanunları: E E E e e e e e.... 0??? e e e E E E e e e e e E E E e e e e e.. 0 Bir noktada,, ve doğrultularında normal gerilmelerin her üçü birden vara, elatik bölgede anı noktada birim uamaları bulmak itioru. Süperpoion öntemini kullanırak: E E E e ) ( 1 E e ) ( 1 ) ( 1 E E e e Herbir üklemedeki anı terimler toplanır: E E E e E E E e Genel Ekenel ükleme halinde Hooke kanunları MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor. Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları

70 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları.11 Kama durumunda Hooke kanunları: Bir noktada, en genel durumda 3 farklı kama gerilmei (t, t, t ) olabilir. Bu gerilmeler kama şekil değiştirme açılarına (,, ) ebep olurlar. t ile araındaki Hooke bağıntıı: t G t t t G G G - Boutlu bir gerilme elemanında -ekenine göre moment alınıra : Kamada Hooke Bağıntıları t M t 0 İndiler: bener şekilde; G: kama modülü (maleme öelliği) ( t DA) a ( t DA) t t i j a G t ; t t t j i E ( 1 ) Bölece bir noktadaki genel gerilme durumu 6 gerilme elemanı (bileşen) ile temil edilebilir. Dülem normali Gerilme doğrultuu MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 70

71 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları Örnek.8: Dikdörtgen primaı şeklindeki bir blok (G = 630 MPa) iki rijit plakaa apıştırılmıştır. Alt plaka abit iken, üt plakaa bir P kuvveti ugulanmıştır. P nin etkii ile üt plaka 1 mm hareket ettiğine göre; malemedeki ortalama kama şekil değiştirmeini ve ugulanan P kuvvetini bulunu. tan 1 mm 50mm. 0.0rad t G ( 630MPa )( 0.0rad) 1.6 MPa P t A 3 ( 1.6 MPa)( 008mm)( 6mm) N MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 71

72 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları.1 En genel durumda Hooke bağıntıları: Bir noktada en genel durumda 6 tane bağımı gerilme bileşeni vardır (,,, t, t, t ). Bu noktadaki elatik şekil değiştirmeler alltaki Hooke bağıntılarından elde edilir.: e e e 1 ( ) E 1 ( ) E 1 ( ) E Sıcaklık etkii: a.dt a.dt a.dt Normal gerilmelerin kama şekil değiştirmelerine; kama gerilmelerinin normal birim uamalara etkii oktur. Sıcaklığın kama gerilmeleri ve kama şekil değiştirmelerine etkii oktur. t t t G G G MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 7

73 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları Örnek.9 Şekildeki plakanın üerine d =5 mm çapında bir çember çiilmiştir. 18 mm kalınlığındaki plakada dülemel kuvvetlerin etkiile = 84 MPa ve = 140 MPa lık gerilmeler medana gelmiştir. E = 70 GPa ve = 1/3, olduğuna göre: a) AB çapındaki, b) CD çapındaki, c) plakanın kalınlığındaki değişimi bulunu. Genel Hooke bağıntılarından Normal birim şekil değiştirmeler; e 1 E ( ) MPa mm/mm 1 e ( ) E mm/mm 1 e ( ) E mm/mm 1 3 ( 0 140) Toplam uamalar (Deformaonlar) ; d (Birim uama o öndeki ilk bo) d B C t A D e d e d d e t 3 ( )( 5mm) 0.1mm 3 ( )( 5mm) 0.36 mm 3 ( )( 18mm) 0.019mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 73

74 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları Örnek mm3 boutlarındaki bir primatik elatik eleman, abit bir ouğun içine, üeleri tema edecek şekilde erleştirilmiştir. Bu elemanın dış üeine ekenine paralel, F=-60kN luk baı kuvveti ugulanmıştır. Sürtünmeler ihmal edilebilir.buna göre herbir kenar uunluğundaki değişim miktarlarını heaplaını. E=100GPa, 0.3 σ = F = N A ön. 100 = 300MPa σ : (an duvarlardan gelen kuvveti bilmediğimi için F/A dan heaplaamaı.) σ = 0 (Cimin doğrultuunda hareketi erbettir. Yukarı doğru erbetçe şekil değiştirir. Bu ebeple gerilme oluşma. Gerilme ancak hareketin ınırlanmaı durumunda oluşur. ) ε = 0 ( önünde hareket ınırlı olduğundan o önde şekil değiştirme. ) Birim uamaların heabı: 1 e E 90MPa ( ) 0.3( 300 0) MPa 0 1 ( ) ( 90 0) 1 e E e e ( ) E e MPa ( ) MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor d d d Toplam uamaların heabı: e e e L L L d mm 00 d d mm 74 0

75 . Şekil Değiştirme e-) Hooke Bağıntıları Örnek (Soru).11 : Poğaça hamurunu batırıp bir şekle okarı. Bu durumda; a-),, ekenlerinden hangilerinde gerilme oluşur? b-) hangi ekenlerde şekil değiştirme oluşur? c-) Gerilmeler F/A ile heaplanabilir mi? d-) Şekil değiştirmeler Hooke kanunlarıla heaplanabilir mi? Cevapların nedenlerini aranıda tartışını. Cevap: a-), b-), ve c-) Evet, d-) Haır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 75

76 . Şekil Değiştirme Örnekler Örnek (Soru).1* Cevaplar a-) 0.06mm, b-) 0.006mm, c-) 0.06mm Örnek (Soru).13* Şekildeki çelik ilindir, alt ucundan ankatre olup dış kuvvetler onucu üt üeinde -80MPa lık baı gerilmei oluşmuştur. Buna göre ilindirin hacmi ne kadar değişir? Cevap: mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 76

77 . Şekil Değiştirme Örnekler Örnek (Soru).14* Şekildeki kademeli milde AB kımındaki gerilmenin BC kımındakinin katı çıkmaı için P kuvvetinin değerini heaplaını. Cevap: P=11.9kN Örnek (Soru).15* : 4mm çaplı AD çelik çubuğunun her iki ucuna anı malemeden AB ve CD kapakları ıkı geçirilmiştir. a-) Sitemin toplam uamaını 0.04mm apacak P çekme kuvvetini bulunu. b-) Bulduğunu P kuvveti etkiile BC kımının uama miktarını heaplaını. Elatiklik Modülü E=00GPa alını. Cevap: a-) P=31.6kN, b-)d BC = 0.05mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 77

78 . Şekil Değiştirme Örnekler Örnek (Soru).16: Şekildeki Alüminum kademeli çubuğa P=4kN luk çeki, Q = 3.8kN luk baı kuvveti ugulanıor. Buna göre çubuğun toplam uama miktarını heaplaını. Cevap: 0 Örnek (Soru).17* İki alüminum levhanın araına pirinç bir başka levha erleştirilerek apıştırılmış ve şekildeki kompoit plaka elde edilmiştir. Alüminum ve Pirinç levhaların herbirii 50305mm boutlarına ahiptir. Kompoit levhaa ugulanan ekenel P = -30kN luk baı kuvveti etkii ile alüminum ve pirinç levhalarda oluşan normal gerilmeleri heaplaını. Cevap: ALÜM MPa, PİRİNÇ =-85.7MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 78

79 . Şekil Değiştirme Örnekler P P Örnek (Soru).18 5 mm çapında çelik mil bir alüminum tüpün içine erleştirilmiştir. Bu iteme P =160kN luk baı kuvveti ugulandığında a-) Çelik ve Alüminum da ortaa çıkan gerilmeleri b-) Herbiriinin boundaki değişim miktarlarını heaplaını. (E çelik = 00GPa, E alüm. = 70GPa) Cevap: a-) çelik = MPa, alüm. = -40.7MPa b-)-0.145mm Örnek (Soru).19 Çelik ve pirinçten oluşturulan kademeli çubuk, her iki ucunda iki abit duvar araına erleştrilmiş, B ve D noktalarından ıraıla 60kN ve 40kN luk ekenel kuvvetlere maru bırakılmıştır. Buna göre çelik pirinçte oluşan makimum gerilmeleri heaplaını. (E çelik = 00GPa ve E pirinç = 105GPa) (Cevap: AB = 53,98MPa, DE =- 5,65MPa) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 79

80 3 BURULMA (TORSİON) Daireel Keitli Çubukların (Millerin) Burulmaı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 80

81 3. Burulma Genel Bilgiler Burulma (Torion): Daireel Keitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler Endütriel ugulamalarda en çok ratlanan ükleme tiplerinden birii daireel keitli millere gelen burulma Haar şekilleri Sünek maleme Gevrek maleme momentleridir. Burulma momenti vektörü ağ el kaideine göre çubuk ekeni doğrultuundadır. Bu konuda ilk amacımı burulma momenti ebebile mil keitinde (daireel keittte) oluşan gerilmelerin dağılımını bulmak ve herbir noktadaki değerini heaplamaktır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 81

82 3. Burulma Genel Bilgiler Alında çamaşır ıkmak, teknik anlamda çamaşıra her iki ucundan burulma momenti ugulamak demektir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 8

83 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.1 Millerin burulmaı için apılan kabuller Daireel keitli çubuk elemanlara mil (ingilicei: haft) denir. Gölemlere daanarak, burulmaa maru bir milde, elatik ınırlar içeriinde aşağıdaki kabullerin apılabilir: 1- Dönme vea başka ifade ile burulma açıı ( f ) ugulanan tork değeri ve uunlukla doğru orantılı olarak değişir. - Tüm dülem daireel keitler dülem kalır ve şekli değişme. Keitlerde herhangi bir çarpılma olma. (Daireel keitli olmaan elemanlarda çarpılma oluşur) 3- Keit üerine çiilen (markalanan) bir çap çigii burulma onraı ine dü kalır. Bu kabüllerden ola çıkarak, daireel keitli bir çubuk elemanda elatik üklemede, burulma onraı oluşan gerilme dağılımları ve şekil değiştirmeler heaplanabilir. ( Daireel keitli olmaan parçalarda bu kabüller apılama. Bu tip elemanlarda burulma ıraındaki gerilme ve şekil değiştirmelerin heap aklaşımları ve formülleri tamamen farklıdır. Bu konu der kapamımıın dışındadır.) 1-83

84 3. Burulma Millerin Burulmaı 3. Gerilme ve Şekil Değiştirme Heabı: Bir mil her iki ucundan elatik ınırlar içinde burulma momentine maru olun. Denge halindeki milin haali bada aırdığımı her bir parçaı da iç ve dış kuvvetlerin etkii ile dengededir (aırma prenibi) df : da diferaniel elemanına düşen iç kuvvet ρdf: df kuvvetlerinin merkee göre momentlerinin toplamı : iç momente eşittir. T iç T df ( t da) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 84

85 3. Burulma Millerin Burulmaı 3. Gerilme ve Şekil Değiştirme Heabı -devam: A Kama şekil değiştirmei dönme açıı ve radüle orantılıdır f AA' a uunlugu L f f t G G.. L f f T t da. G.. da G.. da L L J : J : keitin polar atalet momenti T G. f. L (Hooke Bağıntıı). da L A f T. L G. J G. T. L t. L G. J T t J (D 3.1) (D 3.) D 3.1 ve D3. denklemleri elatik ükleme ve miller için geçerlidir. T : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kama gerilmei (N/mm ) f: burulma (dönme) açıı (radan) J : daireel keitin polar atalet momenti (mm 4 ) G: Maleme Rijitlik modülü (MPa) İçi dolu mil J c. d J ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 c c d d 3 İçi boş mil 1-85

86 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.3 Daireel keitteki kama gerilmei dağılımı: Keit merkeinden kadar uak bir noktada kama gerilmei D 3. denkleminden : Bir keitteki T ve J değeri T t J abittir. Değişen adece merkeden olan uaklık () değeridir. r t a T J t ma Tr J Buna göre: c merkeden anı uaklıktaki ani anı çember üerindeki noktalardaki (örn: a, b, c noktalarındaki) gerilmeler birbirlerine eşittir. b. -Dışa doğru gidildikçe artacağı için, gerilmeler de (doğrual olarak) artar. 3. Makimum gerilme en dış çemberde ortaa çıkar. Zira dış çemberde ma = r dir. 4. Merkede ie 0 olduğu için gerilme ıfırdır. ma t ma 4. Kama gerilmeleri çemberin o noktadaki teğeti doğrultuundadır. J J T T.c Baen r erine c kullanılabilior MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 86

87 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.4 Burulmada Şekil Değiştirme: Elatik Bölgede Burulma Açıı (f) D 3.1 denkleminden f TL JG olarak bulmuştuk. Bu açı mil ekeni () etrafında mil keitlerinin birbirlerine göre dönme miktarını verir. Ve burulmadaki hipertatik problemler için kullanılır. Bu formül milin öle bir kımına ugulanabilir ki; o kıımda - her iki uç keitte eşit ve ıt T burulma momenti vardır. Arada başka bir moment oktur. - L bounca maleme ve keit geometrii anıdır. - Yandaki şekli inceleerek f açıını iice anlamaa çalışını. G f B / A TL JG Kademeli millerde Burulma açıı: - Yukarıdaki şartlardan en a birii ağlanamıora mil kademelidir ve ine bölgelere arılır. Herbir bölgede, L bounca; T (dış ük), J(keit) ve G (maleme) abit olmalıdır. Bunlardan birii değişire bölge değişir. f i Ti Li J G i i Kademeli mil örneği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 87

88 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.4. (f) açıının işareti: İncelediğimi keite karşıdan dik olarak baktığımıda keitteki İç moment (Tiç) önü aat ibreleri önünde ie f açıı poitif ( + ) alınır. Saat ibreleri teri önünde ie işareti negatif ( - ) alınır. Aşağıdaki şekilleri dikkatlice inceleini. I I keimleri Saat ibreleri önünde Saat ibreleri önünde MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 88

89 3. Burulma Millerin Burulmaı Örnek 3.1: Şekildeki boru için emnietli kama gerilmei değeri 10 MPa olduğuna göre emniet ınırları içeriinde ugulanabilecek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kama gerilmeini bulunu. t ma T.c J c: arıçap İçi boş keitin polar atalet momenti: t ma t ma t t min. min. t min. t ma MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 89

90 3. Burulma Millerin Burulmaı Örnek 3.: Şekildeki kademeli milin BC kımının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 10 mm dir. Diğer kıımların içi dolu ve çapları d dir. Buna göre; a-) AB ve CD kıımları için iin verilebilir (emnietli) kama gerilmei değeri 65 MPa ie «d» minimum ne olmalıdır? b-) BC kımındaki makimum ve minimum kama gerilmelerini bulunu. Çöüm: A ucundan başlaıp D e kadar mili bölgelere aıracağı. Ani Moment (T) ve mil keiti değiştiğinde (J) bölge değişir. Buna göre AB, BC ve CD olmak üere 3 bölge vardır. Şimdi herbir bölgee aırma prenibi ugulaacağı, tatik dengeden iç momentleri tepit edeceği ve bu iç momenti gerilme formülünde erine koacağı. AB bölgei BC bölgei CD bölgei MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 90

91 3. Burulma Millerin Burulmaı a) t ma TAB. c T J c 38.9mm AB. c 4 c t emn Nmm 3 c 65MPa d c 77.8mm * CD kımı içinde, iç moment değeri anı olduğundan anı onuç bulunur. b) t J ma ( c c ) ( 60mm) ( 45mm) 1 mm T BC c t J 86.MPa 6 ( 010 N mm)( 60mm) mm 4 t min t T BC c J 1 6 ( 010 )( 45) MPa t t ma min 86. MPa 64.7 MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 91

92 3. Burulma Millerin Burulmaı III Örnek 3.3: Şekildeki çelik kademeli milin kama modülü G=77 GPa olduğuna göre A ucunun toplam dönme (burulma) açıını bulunu. Çöüm: Statik dengeden ankatre uçtaki tepki momenti TD = 50 knm çıkar. Ancak keimlerde ağ kımı alırak bunu bulmamıa gerek oktur. II III I Mili 3 bölgee aırabiliri. DC, CB, BA bölgeleri II I Alında biden orulan A düleminin D dülemine göre dönme (burulma) açııdır. ( = AD =? ) Bu ie D den A a kadar olan bölgelerin birbirlerine göre dönmelerinin toplamına eşittir. Yani; AD = CD + BC + CA C nin D e göre dönme açıı Şunu farkettini mi? Alında A dülemi fcd + fbc kadar ötelenir, 50Nm lik burulma momenti etkiile fab kadar şekil değiştirir. Bu durumda toplam dönmei (fad) bu üç açının toplamı kadar olur. Bu şekli dikkatlice inceleerek dülemlerin birbirlerine göre dönme açılarını anlamaa çalışın MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 9

93 3. Burulma Millerin Burulmaı Şimdi bölgeleri ırala inceleip aırma prenibine göre iç momentleri bulacağı. Unutmaın, formülünde T değeri bölgenin keiminden elde ettiğimi iç moment değeridir. 1.Bölge: AB kımı L1 =400mm Tiç-1 I-I keimi J 1 = J AB = π c 1 4 = π 154 = mm 4 AB = + T iç 1. L 1 G. J 1 = T AB. L 1 G. J 1 = Nmm. 400mm 77000MPa mm 4 = rad I-I keitine dik ve karşıdan bakıldığında T iç-1 aat ibreleri önünde olduğundan f poitiftir..bölge: CB kımı Statik denge şartı : M = 0 T BC = 0 T BC = 50Nm L =00mm, J = J BC = π c 4 = π 304 = 17000mm 4 II -II keimi BC = + T iç. L G. J = T BC. L G. J = Nmm. 00mm 77000MPa mm 4 = rad MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 93

94 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.Bölge: CD kımı L3 =600mm J 3 = J CD = π (c 4 c 1 4 ) = π (304 4 ) = mm 4 CD = + T iç 1. L 1 G. J 1 = T AB. L 1 G. J 1 = Nmm. 600mm 77000MPa mm 4 = rad AD = T i. L i G i. J i = CD + BC + CA = = 0.403rd AD = π =.31o MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 94

95 3. Burulma Millerin Burulmaı 3.5 Burulmada hipertatik mil problemleri: Bilinmeen tepkileri bulmak için tatik denklem aıının eterli olmadığı burulma problemlerine denir. Önceden bilinen burulma açıından ek denklemler elde edilerek bilinmeen tepkiler bulunabilir. Bu konuu örneklerle anlamaa çalışacağı. Örnek 3.4: Şekildeki milin (arıının içi boş) dış çapı mm ve içi boş kımın iç çapı ie 1 mm dir. Mil A ve B noktalarından abitlenmiştir. Milin tam ortaına 10 N.m lik bir tork ugulandığında A ve B noktalarında medana gelen reakion momentlerini bulunu? Çöüm: Statik dengeden: TAL GJ 1 B 1 T L GJ T f f 0 A T 10N m B B ve A ankatre olduğu için, bu kıımlarda dönme olma. Dolaııla toplam dönme açıı ( B nin A a göre burulma açıı) ıfırdır. Mili iki bölgee aırırı. f B / A C / A fb / C L 1 = L = 15mm T J ( 1 ) B T A J1 4.( c c 4. c 4 1 (1) ve () den ) T A T A T B 0.91T T A 6.8 N m, T N m B A ( ) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 95

96 3. Burulma Millerin Burulmaı Örnek 3.5* Sağ taraftan abitlenmiş çelik bir mil ile alüminum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir dike bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminum tüp için emnietli kama gerilmeleri ıraıla 10 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; dik vaıtaıla iteme ugulanabilecek makimum tork değerini bulunu. (G Alüm.=7 GPa, G Çelik =77 GPa) Örnek (Soru) 3.6 Şekildeki ankatre borua emniet ınırları içinde ugulanabilecek makimum burulma momenti ( T ) değerini heaplaını. ( d = 30mm, t emn. = 5MPa) ( Cevap: T = 446.7Nm) Örnek (Soru) 3.7 Şekildeki kademeli milde, AB ve BC kıımlarında oluşan makimum gerilmeleri heaplaını. (Cevap: 56.6 MPa, 36.6 MPa ) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 96

97 3. Burulma Millerin Burulmaı Örnek (Soru) 3.8 Şekildeki elektrik motorundan alınan, 500Nm lik tork B ve C dişlileri tarafından 00Nm ve 300Nm olarak iletilmektedir. A atağı dönmee iin vermektedir. Bu durumda A ucunun D e göre dönme miktarını (burulma açıını ) heaplaını. Cevap: 3. o Örnek (Soru) 3.9 Alüminum ve pirinç kıımlarından oluşan, her iki ucu abit duvara bağlı olan kademeli mile T =1.kNm lik bir tork ugulanıor. Bu durumda itemin emniet kontrolünü apını. Verilenler: Emniet faktörü n=, G alüm. =6GPa, G pirinç. =39GPa t akma-alüm.= 10MPa, t akma-pirinç.= 160MPa, Cevap: t ma-alüm = 7.9 MPa (emnietli); t ma-pirinç = 36.7 MPa (emnietli) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 97

98 4 Eğilme MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 98

99 4. Eğilme Genel Bilgiler 4.1 Eğilme Yüklemeine Maru Yapı Örnekleri: Eğilme, ugulamalarda çok ık görülen bir ükleme biçimidir. Yapılarda kullanılan kirişler, Araçların geçtiği köprüler, Vinçler, krenler vb. eğilme üklemeine marudur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 99

100 4. Eğilme Genel Bilgiler 4. Eğilme ile Burulma Araındaki Farkı naıl anları? Genel kaide: Düleme paralel moment eğilme; düleme dik moment burulma momentidir. önündedir. ekeni önünde eğilme Eğilme üklemeinde, keitteki moment M vektörü (ağ el kaideine göre) dülem üerindeki ekenler ( vea ekenleri) den birii B ekeni önünde eğilme Moment vektörü dülem dik ani dülem normali önünde (şekilde ekeni ) olura burulma momenti oluşacaktır. M burulma Not: Moment indileri eken takımının erleştirilmeine göre değişebilir, ancak ütteki genel kaide değişme. Bi bu der kapamında eken takımını bu şekilde erleştireceği ve keitte adece M momenti varken elatik üklemede gerilmeleri heaplaacağı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 100

101 4. Eğilme Genel Bilgiler 4.3 Eğilme Çeşitleri: 1-) Bait (Simetrik) Eğilme: Keitte adece 1 eğilme momenti vardır ve keit en a bir ekene göre imetriktir. -) Kemeli Eğilme: Keitte 1 eğilme momenti ve 1 keme kuvveti vardır ve keit en a bir ekene göre imetriktir. 3-) Simetrik olmaan (Eğik) Eğilme: Simetrik keitlerde en a eğilme momenti, imetrik olmaan keitlerde en a 1 eğilme momenti vardır. (Bu daha ileri evie bir konudur. ) M M MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 101

102 4. Eğilme Genel Bilgiler 4.4 Eğilme üklemeinde oluşan gerilme cini: Eğilme momenti onucu acaba keitte kama gerilmei mi oka normal gerilme mi oluşur? Önce buna karar vereceği. Daha onra keitteki gerilme dağılımını formülüe edeceği. Şekildeki elatik çubuğun lif lif olduğunu düşünelim. Bu çubuğa eğilme ugulaalım. Eğilme momenti onucu ütteki liflerin kıaldığını alttaki liflerin uadığını görürü. Bu durumda üt liflere baı alt liflere çeki kuvvetleri gelir. O halde liflerde normal gerilmeler oluşur. Üt lifler kıalacağı için baı gerilmeleri ( - ), alt lifler uaacağı için çekme gerilmeleri ( ) oluşacaktır. En ütteki lif en fala kıalır en alttaki lif en fala uar. Bu durumda bu liflerde şiddet olarak en büük gerilmeler oluşur. Alttan üte doğru gidildikçe liflerdeki uama aalır. Bir geçiş noktaında lifte uama ıfır olur. Bu lifin bulunduğu keitteki ata çigie tarafı eken denir. Bu liften ütteki liflerde artık uama negatif olur ani kıalma başlar. Yukarı doğru gidildikçe kıalma artar. En ütte en fala kıalma olur. Tarafı ekenden en uak noktalarda en fala uama ve kıalma; dolaııla da makimum çeki ve minimum baı gerilmeleri oluşacaktır. Tarafı ekendeki tüm noktalarda gerilmeler ıfırdır. Her keitteki tarafı eken vardır. Bu durumda tüm tarafı ekenler kiriş bounca bir dülem teşkil ederler ki buna tarafı dülem denir. 4.5 Bait ve kemeli eğilme de apılan kabuller: Dülem keitler eğilmeden onra da dülem kalmaa devam eder. Birbirine dik lifler (çigiler) eğilmeden onra ine dik kalır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 10

103 4. Eğilme Bait Eğilme 4.6 Bait eğilme de elatik gerilme heabı: DE: Tarafı dülem üerindeki liftir. Bou değişme. Bu durumda DE = D E JK : tarafı dülemden kadar uaklıktaki liftir. Son bou J K dür. Tüm liflerin İlk bolar eşittir. JK = DE JK lifi için; Son bo: J ' K' ( ), D' E' DE JK d J ' K'JK Toplam uama : ( ) Birim elatik uama : e d L Elatik bölgede normal gerilme: E. e E. Keitte, normal önde toplam iç kuvvet (F ) oktur. Yani ıfırdır. Mukavemette aki ölenmedikçe şekil değiştirmemiş ilk durumdaki geometrie göre işlem apılır. (JK lifi nin ilk hali ata bir çigidir. İşlemler bunun üerinden apılmaktadır. J K aına göre değil.) F E 0 da E da da 0 da 0 da Ağırlık merkei tanımından: 0 da Ağırlık merkeinin koordinatı () ıfır çıktı. O halde tarafı eken keitin ağırlık merkeinden geçer. Unutmaın: Eğilmede eken takımı mutlaka ağırlık merkeine erleştirilmelidir. MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 103

104 4. Eğilme Bait Eğilme 4.7 Bait Eğilme de elatik gerilme heabı devam: Keitteki meafeindeki bir noktada da elemanına gelen iç kuvvet: da da elemanın tarafı ekene göre momenti: ( da). + tarafındaki noktalarda baı gerilmei varken, bunlar poitif M momentine ebep olur. > 0, < 0 ie M nin poitif çıkmaı için denklemin başına koulmalıdır. Keitteki toplam iç moment: M ( da ). M E (.. da) E (. da) E I E M I E. e E. idi. M I Bu formül, Bait vea kemeli eğilmede, elatik ükleme de, İotropik malemeler için geçerlidir. Not: baı kitaplarda eken takımı farklı alınınca eki işareti olmaabilir. Eki işareti olup olmaacağını kendimi anlaabiliri. M>0 iken Tarafı ekenin ütündeki noktalarda (>0) baı oluşmaı gerektiğini görünü. Bu durumda in negatif çıkmaı için denklemin başında mutlaka olmalıdır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 104

105 4. Eğilme Bait Eğilme 4.8 Bait eğilmede normal gerilme dağılımı Keitte herhangi bir noktadaki gerilme formülü: M I M: keitteki önünde iç moment. I: keitin ekenine göre atalet momenti : noktanın koordinatı (orjin mutlaka ağırlık merkeidir.) M ve I bir keit için abittir. Gerilme ie anı keitte noktadan noktaa değişir. Tarafı ekenden eşit uaklıkta olan, ani anı koordinatına ahip noktalarda gerilmeler anıdır. A ma ma D H E M I M I M I E A H, B Keit en a bir ekene göre imetrik olmalı. c M I B Kirişin önden görünüşünün bir kımı. Gerilme dağılımını dikkatlice inceleini. Makimum ve minimum gerilmeler tarafı ekenden en uak noktalarda medana gelir

106 4. Eğilme Bait Eğilme Örnek 4.1 Şekildeki kiriş için akmaı başlatacak eğilme momentini bulunu. ak 50MPa Çöüm: I-I keitindeki üklemee göre alttaki lifler uar. Makimum çeki gerilmei en alt noktalarda (örneğin B noktaında) ortaa çıkar. min ma ma ma M M ( 30mm) (0mm) (60mm) 1 50MPa B akma M I iç Nmm 3kNm B M I 3 B 8, M ma B noktaında çeki gerilmei olacağını önceden göremeedik bile, çıkmaı ine çeki gerilmei olduğunu göterir. B nin poitif Bununla birlikte ünek malemelerde baı ve çekideki akma mukavemeti birbirine eşit kabul edilebilir. min A akma Denkleminden de anı onuç bulunabilir

107 4. Eğilme Bait Eğilme Örnek 4. M= 3 kn.m T keitli ankatre çubuğun çeki ve baıdaki akma mukavemeti 10MPa dır. Çubuğun erbet ucuna 3kNm lik bir moment ugulandığında çubukta akma olup olmaacağının kontrolünü apını. Çöüm: Ugulanan moment vektörel olarak üee paralel (- önünde) olduğundan ve keit imetrik olduğundan bait eğilme oluşur. Bu durumda makimum ve minimum normal gerilmeleri heaplamalıı ve akma gerilmei ile karşılaştırmalıı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 107

108 4. Eğilme Bait Eğilme M iç =M =-3kNm M= -3 kn.m M I Nmm I I : ağırlık merkeinden geçen ata eken () e göre atalet momentini bulmalıı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 108

109 4. Eğilme Bait Eğilme A A I ( I Ad ) A A i i mm 3000 i, mm 50 0 i A i A, mm i i i A A i i mm I I ( ) ( ) 1 3 I A d b h A d ( ) ( ) i i i mm 4 1 i i 1 i i MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 109

110 4. Eğilme Bait Eğilme -M momenti olduğu için A noktaında makimum çeki, B noktaında minimum baı gerilmeleri medana gelir. ma A B ma min M I Z A M B 310 ( 38) 3 I A 76.0 MPa B MPa B 131.3MPa, akma oluşur. B akma MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 110

111 4. Eğilme Ekantrik ükleme 4.9 Ekantrik ekenel ükleme: Keit merkeinden geçmeen çeki üklemeine denir. Bu durumda oluşan gerilmeleri heaplamak itioru. Şekildeki gibi eğriel bir çubuğa P çeki ükü ugulandığında DE kımındaki I-I keitinin G ağırlık merkeinde bir iç çeki kuvveti (F iç ) oluşur. Ancak P ile F iç in momentlerinin dengelenebilmei için bir M iç eğilme momenti de oluşacaktır. F iç ve M iç in üperpoion öntemine göre arı arı etkilerini topları ve bir noktadaki toplam normal gerilmei elde ederi. P A P. d I ( ) ( ) F iç M iç Keit en a bir ekene göre imetriktir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 111

112 4. Eğilme Ekantrik Yükleme Örnek 4.3 Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekideki emnietli mukavemet değeri (emniet gerilmei) 30 MPa, baıdaki mukavemet değeri ie 10 MPa olduğuna göre; elemana ugulanabilecek en büük P kuvvetini bulunu. (Keitin ağırlık merkei C noktaındadır) Bir önceki 4. örneğinde anı keit kullanılmıştı. Aşağıdaki değerler oradan alınabilir: A mm Y 38mm I mm 4 d Süperpoion metodu ile gerilmeler; A B P A P A Mc I Mc I P( kn ) P Emnietli kuvvet değeri için: A A 8mm 3 3 ( 8P10 )( ) 3 ( 8P10 )( 38) P P A B P 30MPa 1.559P 10MPa P 79.6 kn P 77.0 kn İin verilebilir emnietli kuvvet: P 77.0 kn 1-11

113 4. Eğilme Ekantrik Yükleme Örnek (Soru) 4.4: Şekildeki eğik alüminum çubuğa ugulanabilecek emnietli P ükünü heaplaını. Akma mukavemeti 140MPa, çubuk keiti 430mm, emniet kataıı n= dir. Cevap: P=6.109kN MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 113

114 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei 4.10 Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Keit boutları uunluğuna göre daha çok daha küçük olan ata elemanlara kiriş denir. Örneğin bulunduğunu binaa dikkat ettiğinide ata beton elemanlar kiriştir. Düşe elemanlara ie kolon imi verilir. Farklı kiriş keitleri MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 114

115 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Düşe Yüklü Kirişlerin Yükleme Çeşitleri Kirişler düşe olarak genellikle tekil ve/vea aılı üklere maru kalırlar Yaılı ük Tekil ük N N/m Tekil ük (N) bir noktaa, aılı ük belli bir uunluğa düşer (N/m) Ugulanan kuvvetler kirişin keitlerinde iç keme kuvveti (V) ve eğilme momenti (M) medana getirirler. Keit üerinde keme iç kuvvetinden den dolaı kama gerilmeleri medana gelir. Kama gerilmelerinin dağılımı : τ = V. Q I. t (Bu konu daha farklı bir başlık altında incelenir.) Eğilme momentinden dolaı ie normal gerilmeler oluşur: M I Amacımı kirişte ortaa çıkan şiddetçe makimum normal gerilmei heaplamaktır. Burada en önemli nokta eğilme momentinin keitten keite farklılık götermeidir. En kritik keit (gerilme şiddetinin en fala olduğu keit), momentin şiddetinin en fala olduğu keittir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 115

116 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei İç kuvvet ve momentin Poitif Yönleri: Sol kımın dengei incelenirken Sağ kımın dengei incelerken M: aat ibrei teri önde, V: aşağı doğru M: aat ibrei önde, V: ukarı doğru Düşe üke maru kirişlerde işlem ıraı 1) Menet Tepkileri belirlenir, ) Keme Kuvveti Eğilme Momenti diagramları çiilir. 3) En kritik keit belirlenir. (Eğilme momentinin mutlak değerce en büük olduğu keit, en kritik keittir.) 4) Kritik keitteki şiddetçe makimum Gerilme heaplanır. Bu gerilme anı amanda kirişteki en büük gerilmedir. Buna göre mukavemet analileri apılır. (emniet kontrolü, bout taini, maleme eçimi vb.) Şimdi örneklerle bu konuu daha ii anlamaa çalışacağı MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 116

117 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Örnek 4.5 I 1 III 3 II I II III Şekildeki kirişin keme kuvveti ve eğilme momenti diagramlarını çiini. b-) kirişte ortaa çıkacak makimum normal gerilmenin erini ve değerini bulunu F 0 M 0 F 0 M B : RB 46kN RD 1. bölg e0.5 k1 0 kn V 1 0 ( 0kN)( ) M 0 M 0 1 V 1 0kN 1 14kN 0 için V.5için V 1 1 0kN, M 0kN, M 1 1 0, 50kN I-I keimi (ağ kıım) II-II keimi (ağ kıım) ölg e F 0 M 0 k 0 kn 46kN V 0 0. M 46.(.5) 0 V 6kN M için V 5.5için V 1 6kN, M 6kN, M 50kNm, 8kNm 3. bölge F 0 M 0 k 3 14 kn V (7.5 ) M 3 0 V3 14kN M 14.(7.5 ) için V 3 6kN, M 7.5için V 3 0, M kNm, III-III keimi (ol kıım) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 117

118 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Örnek 4.5- devam Şiddetçe en büük moment B keitinde ortaa çıkmıştır. O halde kritik keit B keitidir. M min M B 50kN m Bu keitte makimum gerilme: ma M I 1 1 B ma N m a b ma 60MPa V ie kama gerilmeine ebep olur. Ancak kama gerilmei dağılımının incelenmei ie farklı bir konudur ve bu bölümde incelenmeecektir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 118

119 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Yaılı ük, keme kuvveti ve moment araındaki ilişki Yaılı ük ile keme kuvveti araındaki ilişki: F DV ( V DV ) 0 : V wd 0 dv d V D V C M C w 0 : wd Keme kuvveti ile eğilme momenti araındaki ilişki: M D dm d M C D M V D wd V D w ( M DM ) DM V D V M C D 1 M D C ( D) C w d - (CD araında aılı ük eğrii altında kalan alan) V D C V d (CD araında keme kuvveti eğrii altında kalan alan) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 119 0

120 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Örnek 4.6 Şekildeki kirişin; a-) keme kuvveti ve eğilme momenti diagramlarını çiini. b-) Kirişteki makimum ve minimum normal gerilmei bulunu. Çöüm: aılı ükün bileşkei: 1 metree kn luk ük düşere, 4 metree 4 =8kN luk ük düşer MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 10

121 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Çöüm 4.6-devam: MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 11

122 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Çöüm 4.6-devam: MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1

123 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Çöüm 4.6-devam: MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 13

124 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Çöüm 4.6-devam: Ağırlık merkeinin eri: σ ma = M E I Z b = ( 75) σ ma = σ b = 4,7MPa σ min = M E I a = 5106 (00 75) Z σ min = σ a = 7,84MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 14

125 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Örnek (Soru) 4.7* Şekildeki kirişte ortaa çıkan makimum ve minimum normal gerilmeleri heaplaını. Cevap: 95.3MPa, -89.6MPa Kiriş keiti Örnek (Soru) 4.8* Şekildeki kirişte ortaa çıkan makimum ve minimum normal gerilmeleri heaplaını MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 15

126 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Örnek Sorular: Aşağıdaki kirişlerin keme kuvveti-eğilme momenti diagramlarını çiini. Soru 4.9 Soru 4.11 Soru 4.10 Cevap 4.9 Cevap 4.10 Cevap MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 16

127 4. Eğilme Düşe Yüklü Kirişlerin Eğilmei Soru 4.1 Şekildeki gibi üklenmiş kiriş, 150mm çapında içi dolu daireel keittir. Malemeden kaanmak için kiriş keitini bir miktar boşaltmak ve içi boş daireel keitli (boru keitli) apmak itioru. Emniet ınırları içeriinde kalmak kadıla kiriş keitinde makimum ne kadarlık çapta bir delik açabilirini? Kiriş malemeinin baı ve çekideki akma mukavemeti 300MPa, emniet kataıı n= Cevap: d 1 = 14.65mm lik bir delik açabiliri. Mevcut keit İtenen keit MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 17

128 5. Düşe Yüklü Kirişlerde Kama Gerilmeleri (Bu konunun eri buraı olmaına rağmen, der kapamına dahil edilmemiştir.) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 18

129 6. DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 19

130 6. Gerilme Dönüşümleri Dülemde Gerilme Dönüşüm Bağıntıları 6.1 Konu içeriği ve Amaç Q Genel ükleme durumunda, herhangi bir Q noktaını üç boutlu olarak temil eden kübik gerilme elemanı üerinde 6 bağımı gerilme bileşeni göterilebilir: σ, σ, σ, τ, τ, τ. Sö konuu kübik eleman -- ekenleri erine döndürülmüş - - ekenlerine paralel alınadı gerilme bileşenleri; σ, σ, σ, τ, τ, τ olur. Ve -- ekenlerindeki gerilmelerden farklı değerlere ahiptirler. Şimdi orumu şu: -- eken takımındaki gerilme bileşenleri belli iken, - - eken takımındakiler bulunabilir mi? Cevap: Evet, gerilme dönüşüm bağıntılarıla vea Mohr ardımıla bulunabilir. Ancak bi burada adece dülem gerilme durumu için bu işlemleri apmaı öğreneceği. Yeri geldiği aman 3 boutlu duruma da değineceği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 130

131 6. Gerilme Dönüşümleri Dülemde Gerilme Dönüşüm Bağıntıları 6. Dülem gerilme durumu : Dülemde (- düleminde) 3 bağmıı gerilme ökonuudur. σ, σ, τ t t 0 İnce bir plakada orta dülemde 3 boutlu kübik eleman etkien kuvvetlerden dolaı dülem gerilme oluşur. Yapıal bir elemanın vea makine parçaının dış/erbet üeinde dülem gerilme durumu (üee ugulanmış dış kuvvet/kuvvetler oka) ortaa çıkar. İnce cidarlı baınçlı tank ve tüplerde de dülem gerilme durumu ö konuudur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 131

132 6. Gerilme Dönüşümleri Dülemde Gerilme Dönüşüm Bağıntıları 6.3 Dülem Gerilme durumunda bir noktanın farklı dülemindeki gerilme bileşenlerinin heaplanmaı: Amacımı bir noktada - düleminde gerilmeler (σ, σ, τ ) belli iken, anı noktada farklı bir dülemdeki (normali olan ve + ekeni ile açıı apan K dülemindeki) gerilme bileşenlerini (σ, τ ) bulmaktır. - düleminden bakış K dülemi Şimdi K düleminden bir keim apıp çıkan parçanın alanlarını inceleelim: MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 13

133 6. Gerilme Dönüşümleri Dülemde Gerilme Dönüşüm Bağıntıları Şimdi çıkan parçanın tatik dengeinden kuvvet dengelerini aacağı: F 0 DA ( DAco ) co t ( DAco ) ( DAin ) in t ( DAin ) co in K dülemi F 0 t co in K dülemindeki normal gerilme DA t ( DAco ) in t ( DAco ) ( DAin ) co t ( DAin ) in in co ( I ) co ( bağıntıında θ erine θ+90 aılarak: t )in co t K dülemindeki kama gerilmei (co in co( 90) in in( 90) co ) ( II ) in co K dülemine dik dülemdeki normal gerilme t in co ( III ) Alında bu formüllerle amacımıa ulaştık. Yani herhangi bir dülemdeki gerilme bileşenlerinin elde ettik. Bundan onra bu formülleri bira daha dügün formata getireceği ve bir geometrik ifade (Mohr Çemberi) elde edeceği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 133

134 6. Gerilme Dönüşümleri Dülemde Gerilme Dönüşüm Bağıntıları Trigonometrik dönüşüm bağıntıları kullanılarak cininden denklemleri amaa çalışacağı. 1 co co 1 co in K dülemi co co in in in co I, II ve III denklemlerinde erine koarak; t co t co t in t co in in (IV) (V) (VI) I, II ve III denklemlerinin cininden ifadeleridir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 134

135 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi 6.4 Mohr Çemberi: Alında bir noktada onu tane dülem vardır. Ancak bu dülemlerin hepi bir çember üerinde ifade edilebilir ve bu çemberde gerilme bileşenleri bulunabilir. Şöleki: (IV)ve (VI) nolu denklemler eniden düenlenip kareleri alınarak taraf tarafa toplanıra parametrik bir daire denklemi elde edilir. co t in ( t ) in t co ( ) ( t ) t ort a Mohr Çemberi ( ) t R ort ekeni üerinde bir çemberin denklemine benetilebilir. (b=0) ort ; R t MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 135

136 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Mohr Çemberinin Çiimi : Bir noktadaki tüm dülemlerde gerilme durumunu göteren geometridir. Ölçekli çiildiğinde herhangi bir dülemdeki gerilme bileşenlerini ölçerek bulabiliri. Vea ölçekli çiilmee mohr çemberinden geometrik heaplarla da bulabiliri. (Vea mohr çemberi erine daha önce çıkardığımı formüllerden de bulabiliri.) > 0 (Mohr çemberinde) < 0 ( denklemlerde) σ, σ, τ belli iken o noktada mohr çemberi çiilebilir. Mohr Çemberi Çiim Sıraı: 1-D1 ( ; t ) noktaı belirlenir. -D ( ; - t ) noktaı belirlenir. 3- D1-D birleştirilir. 4-C merkeli çember çiilir. Önemli noktalar: 1-) Bulunduğumu nokta D1 dir. -) Kama gerilmeinin önü ağ dülemde aşağı doğru ie poitiftir. 3-) Gerçekte normali + ekeni ile açıı apan apan dülem, Mohr çemberinde D3 noktaına karşılık gelir. D3 e ulaşmak için mohr çemberinde gerçektekile anı önde kadar bulunduğumu nokta (D1) dan dönülür. D3 ün mohr çemberindeki koordinatları, o dülemdeki normal gerilmei ( ) ve kama gerilmei t ) ni verir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 136

137 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Aal Gerilmeler (Principle Stree) Mohr Çemberine dikkat edilire + ekenile p açıı apan dülemde normal gerilme diğer dülemlere göre makimumdur ( ma ) ve bu dülemde kama gerilmei ıfırdır. Bu düleme ulaşmak için bulunduğumu noktadan (D1den) p kadar dönülür. Gerçekte bü düleme dik (+90 derece) dülemde ie normal gerilme minimumdur ( min ). Bu öel gerilmelere aal gerilmeler (principal tre), dülemlerine aal gerilme dülemleri denir. t t ma =R min t -t C D 3 (, t ) D1(, t ) R ma Aal Gerilmeler: ma, min ma,min ort R t ort Aal gerilme dülemleri: t tan p MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 137

138 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Makimum kama gerilmei- t ma : min t t ma =R t C D 3 (, t ) D1(, t ) R ma Aal gerilme dülemlerile gerçekte 45 o, mohr çemberinde 90 o açı apan dülemde ie kama gerilmelerin makimum değeri (t ma ) bulunur. Bu dülemdeki normal gerilme ie ort. dır. t ma R t (1) -t vea Aal Gerilmeler cininden R ma ort Dikkat: dülem gerilme durumunda (1) ve () formüllerinin kullanılabilmei için t ma min () ma 0, min 0 Şartının ağlanmaı gerekir. ma t formülüle heaplanmalıdır. Bu şart ağlanmıora ma Bunun ebebini anlamak için bir onraki afadaki 3 boutlu mohr çemberini dikkatlice inceleini MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 138

139 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Üç boutlu durumda, Mohr Çemberi: 3 boutlu gerilme durumunda, 3 tane aal gerilme vardır. 1 ma orta 3 min - Bu aal gerilmelerin araında 3 çember çiilir. - Büük çemberin arıçapı ( R ma.) makimum kama gerilmeine eşittir. - Herhangi bir dülemdeki gerilme bileşenleri büük çemberle diğer çemberlerin araında kalan alandadır. (şekildeki kou alan). Ancak heap şekli burada göterilmeecektir. t ma R ma ma min 1 3 ( I) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 139

140 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Üç boutlu durumda, Mohr Çemberi -devam: boutlu durumda bulduğumu mohr çemberinde, 3ncü aal gerilmenin daima ıfır olduğu düşünülmelidir. Buna göre iki bouttaki mohr çemberininüç3 bouttaki eşdeğeri çiilir ve t ma = R ma olarak bulunur. ( ma 1 dir. Ancak boutta bulunan min. değeri Duruma göre vea 3 olabilir.) Örneğin dülem gerilme durumunda mohr çemberi : tma Rma 3 boutta eşdeğeri t ma R ma 1 3 (=0) ma min ma 0, min 0 boutta bulduğumu min, 3 boutta 3 e eşit çıkmıştır. Rma t ma R ma (3=0) ma ma 0, min 0 boutta bulduğumu min 3 boutta ortanca gerilmee ( e )eşit çıkmıştır MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 140

141 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi ort Örnek 6.1 Şekildeki dülem gerilme durumu için Mohr Çemberini çierek (a) aal gerilmeleri ve doğrultularını/dülemlerini, (b) makimum kama gerilmeini bulunu. ( 50) ( 10) 0MPa t t ma D(-10, 40) min B O C 50 ma A Yarıçap: R CD1 ma,min t ( 30) ( 40) 50MPa t ma =R=50MPa Aal gerilmeler ve dülemleri : ma, min ort R t - 40 ort b-) 0 ma, 0 min D1(50,40) olduğu için 3 boutlu eşdeğeri ma min OA OC CA 0 50 OB OC BC tan 0 50 p ma 70MPa min 30 p 6. 6 MPa 70 ( 30) ma MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 141 t ma ma min t 50MPa

142 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Örnek 6. Şekildeki dülem gerilme durumu için ; a) Mohr Çemberini çiini. b) aal gerilmeleri ve doğrultularını bulunu. c) normali + ekenile 30 açı apan üedeki gerilmeleri bulunu. d-) Makimum kama gerilmeini bulunu. a-) 100MPa, 60MPa, t 48MPa b-) ma, min 48 ma min MPa MPa t tan p p p MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 14

143 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi c-) θ=30 deki gerilmeler Analitik formüllerden ( t aşağı doğru negatif alınır) t co t in 48.4MPa in t co 41.3MPa Vea Mohr çemberinden geometrik olarak bulunabilir. f t OK OC KC 80 5co5.6 KD3 5in 5.6 ( t aşağı doğru poitif alınır) Bulunduğumu nokta olan D1 den anı önde q kadar anı önde döndüğümüde mohr çemberi ütündeki D3 noktaının koordinatları o dülemdeki gerilme bileşenlerini verecektir. t 48.4 MPa 41.3MPa D MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 143

144 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi d-) Makimum Kama gerilmei ma 0, min 0 olduğu için, t ma ma 13 66MPa. Örnek 6.3*: c 60 MPa 45 MPa MPa Yanda verilen gerilme durumu için; a) Mohr çemberini çiini. b-) Aal gerilmeler ve doğrultularını bulunu c-) Makimum kama gerilmeini bulunu. d-) c dülemindeki normal ve kama gerilmelerinin değerini heaplaını. Cevaplar: b-) ma =144MPa, min =36MPa, 8.15 o, c-) t ma =7MPa, d-) =14MPa, t =15.MPa, MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 144

145 6. Gerilme Dönüşümleri Mohr Çemberi Ekenel ükleme için Mohr çemberi P, t 0 A 45lik doğ. t için Saf burulma (pure torion) durumu için Mohr çemberi P A 0 t Tc J 45lik doğ. Tc J için t MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 145

146 7. AKMA VE KIRILMA KRİTERLERİ MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 146

147 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7. AKMA VE KIRILMA KRİTERLERİ NEDİR?, NİÇİN GEREKLİDİR? Şu ana kadar ki konularda, bir noktada adece tek bir gerilme cini varken mukavemet heapları apılıordu. Örneğin ekenel ükleme (çeki-baı) ve eğilmede adece gerilmei ortaa çıkmakta ve em ile karşılaştırılmaktadır. Burulmada ve keme üklemeinde ie adece t ortaa çıkmakta ve t em ile karşılaştırılmaktadır. Şimdi şu orua cevap arıoru: Acaba bir noktada anı anda birden fala gerilme cini (, t, vb) mevcutken hangiini em vea t em karşılaştıracağı.? Vea naıl bir ol takip edeceği. İşte bu orua cevap veren birden fala kriter vardır. Akma kriterleri : Sünek malemeler için akma olup olmadığını; Kırılma kriterleri: gevrek malemeler için kırılma olup olmadığını kontrol etmemii ağlar. Şimdi bu kriterlereden en önemli 4 taneini inceleeceği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 147

148 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7.1 Sünek Malemeler için Akma Kriterleri Treca Kriteri (Makimum Kama Gerilmei Kriteri ) Bu kritere göre bir malemenin herhangi bir noktaında akma olmaının şartı, o noktadaki makimum kama gerilmeinin, bait çekme halinde akma ınırındaki kama gerilmeine eşit vea büük olmaıdır. Akma olmaının şartı: t ma t ak t ak ak Bir başka ifadele bir noktadaki Mohr çemberi bait çekme halinde akma anındaki Mohr çemberinden büük olura o noktada akma olur. Bu kriter ünek malemelerin akmaı için çok ii onuçlar verir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 148

149 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7.1 Sünek Malemeler için Akma Kriterleri -devam 7.1. Von-Mie Kriteri (Eşdeğer Gerilme vea Makimum Çarpılma Enerjii Kriteri) Bu kriter çok ekenli gerilme durumunu tek ekenli gerilme durumuna indirger. Tüm gerilmeler erine 1 tane eşdeğer gerilme ( ) tanımlanır. Bu eşdeğer gerilme akma gerilmeini aşara o noktada akma oluşur denir. eş eş vm ( ) ( ) ( ) 1 6( t t t ) Aal gerilmeler cininden eşdeğer gerilme: eş vm Akma Şartı: 1 ( ) ( ) ( ) 1 eş ak 1 Bu kriter ünek malemelerin akmaı için mükemmel onuçlar verir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 149

150 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7.. Gevrek Malemeler için Kırılma Kriterleri 7..1 Rankine Kriteri Bu kritere göre bir malemenin herhangi bir noktaında kırılma olmaı için o noktadaki makimum aal gerilmenin malemenin çeki gerilmeini vea minimum aal gerilmenin baıdaki kırılma mukavemetini geçmeini gerekir. Kırılma şartları: o ve 1 3 oc Başka bir ifadele, bu kritere göre, bir noktada kırılma olmamaı için o noktadaki Mohr çemberinin şekildeki kırmıı çigiler içinde kalmaı gerekir. Gevrek Malemelerin kırılmaı için kımen ii onuçlar veren bir kriterdir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 150

151 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7.. Gevrek Malemeler için Kırılma Kriterleri devam: 7.. Columb Kriteri: Gevrek malemeler için çok ii onuç veren bu kritere göre bir malemenin herhangi bir noktaında kırılma olmamaının şartı: 1 3 o oc 1 Başka bir ifadele bu kritere göre: bait çekme ve bait bama hallerinin en büük Mohr çemberlerinin teğetleri dışında kalınan üklemelerde kırılma olur. 1 = Makimum aal gerilme = Mimimum aal gerilme o 3 oc = Çekme Mukavemeti = Bama Mukavemeti Örnek : 0 100MPa oc =400MPa olan bir malemede herhangi a ve b gibi iki noktada aal gerilmeler, 1 3 o oc a /100-(-100/400) =0.75 b /100-(-100/400) = a ve b noktalarının her ikinde de Rankine kriterine göre kırılma olmaacağı ölenebilir. Columb kriterine göre ie a noktaında kırılma olma ancak b noktaında olur MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 151

152 7. Akma ve Kırılma Kriterleri 7.. Gevrek Malemeler için Kırılma Kriterleri devam: Mohr Kriteri (Bilgi amaçlıdır. Sınavda orumlu değilini.) Bu kritere göre: bait çekme, bait bama ve tam kama hallerinin en büük Mohr çemberlerinin arf eğrilerinin dışında kalınan üklemelerde kırılma olur. Gevrek malemeler için çok ii onuçlar veren bir kriterdir. 1 o *Görüldüğü gibi gevrek malemelerde, her üç kriterde de aal gerilmelerin incelenmei gerekliliği ortaa çıkmaktadır. *Aal gerilmeler onuçlarda görülmeine rağmen, Columb ve Mohr kriterleri için arı bir değerlendirme apılmaı gerekebilir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 15

153 7. Akma ve Kırılma Kriterleri Örnek 7.1 Şekildeki dülem gerilme durumu verilen noktada a-) Alüminum maleme için, ( akma = 00MPa, t akma = 100MPa) b-) Tahta maleme için, ( çeki-kopma = o =160MPa, baı-kopma = oc =-400MPa ) Haar (akma vea kırılma) olup olmaacağını kontrolünü apını. t t ma R CD1 Aal gerilmeler ma, min t 150 ( 40) Makimum kama gerilmei: t ma R 95.5MPa t R D(-40, 10) min C R ma D1(150,40) ma 40.5MPa 150.5MPa 1 min 3 Mohr çemberinin 3 boutlu eşdeğeri MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 153

154 7. Akma ve Kırılma Kriterleri a-) Alüminum ünek maleme olduğu için akma kriterlerine göre kontrol apılır. 1-) Treca kriterine göre: -) Von mie kriterine göre: t ma eş 95.5 MPa, t akma 100MPa t ma vm t akma ( ) ( ) ( ) ( akma olma) 1 6( t t t ) ( 40 0) ( 150 0) ( 150 ( 40) ) 6(0 0 ( 10) ) 174. MPa eş 1 vm 36 eş MPa, 00MPa ( akma olma) ak eş ak b-) Tahta gevrek maleme olduğunda kırılma kriterlerine göre kontrol apılır. 1-) Rankine kriterine göre: ma min 150.5MPa, 40.5MPa, çekikopma baıkopma 160MPa ma 400MPa min çekikopma baıkopma (kırılma oluşma.) -) Columb kriterine göre: C (kırılma oluşur) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 154

155 7. Akma ve Kırılma Kriterleri Örnek (Soru) 7.* (017-Final) Dülem gerilme durumu göterilen nokta için, a-10) Mohr Çemberini çiini. b-5) Aal gerilmeleri ve doğrultularını belirleini. c-10) Taralı m-m dülemindeki gerilme bileşenlerini heaplaını. d-)makimum kama gerilmeini tepit edini. e-10) Gevrek maleme için bu noktada kırılma olup olmaacağını kontrol edini. (Çeki Mukavemeti: 00MPa, Baı Mukavemeti:400MPa, Keme Mukavemeti:100MPa) Cevaplar: b-) ma =-51.46MPa, min = MPa, p o, c-) = MPa, t =19.98MPa, d-) t ma =59.7MPa, e-) Kırılma olma MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 155

156 8- BİLEŞİK YÜKLEME DURUMLARI MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 156

157 8. Bileşik Yükleme Durumları 8.1 Bileşik Yükleme Nedir? Bir elemana, burulma, eğilme, çekme, keme gibi farklı ükleme tiplerinden iki vea daha falaı anı anda ugulanabilir. Bu ükleme tipine bileşik ükleme denir. Gerilme vea Şekil Değiştirme heapları için elatik ınırlar içinde kalmak şartıla üperpoion öntemi ugulanabilir. Yani herbir ük arı arı ugulanarak gerilmeler elde edilir. Sonuçta bileşik ükleme halinde (tüm ükler anı anda varken) oluşan gerilmeler, ükler arı arı ugulandığındaki oluşan gerilmelerin toplamına eşittir. F F T P P T MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 157

158 8. Bileşik Yükleme Durumları Baı durumlarda tek bir ük bileşik ükleme durumu oluşturabilir. A A Tek Yük, Bileşik Yükleme (Eğilme+Burulma+Keme) F1 F1 Kuvvet Merkee Taşınmış. Burulma momenti ile birlikte T1=F1.r Tek Yük: Eğilme +Keme F1 T1 Tek moment: Burulma Bileşik gerilme MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor durumu 158

159 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek 8.1: A ucundan ankatre olan alaşımlı çelikten imal edilmiş AB miline, BC kolunun C noktaından düşe F 1 ugulanacaktır. Buna göre milde akma olup olmaacağını belirleini. ( akma =400MPa, t akma =00MPa F 1 =.5kN, l 1 =50cm, l =40cm, d=6cm ) Çöüm: F1 kuvvetini B noktaına mometi ile birlikte taşırak: Moment diagramlarını incelerek en tehlikeli keitin ankatre keit olacağını görürü. M ma = -F 1.l 1 =-.550=-15kNcm= Nmm T= F 1.l =.540=100kNcm= Nmm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 159

160 8. Bileşik Yükleme Durumları σ a σ a =σ ma En kritik keit olan ankatre keitte en kritik noktalar ie normal ve kama gerilmelerinin şiddetçe en ükek değerde olduğu en üt ve en alt (a ve b) noktalarıdır. Keit ekenine göre imetrik olduğu için a = b = d/ ve a = - b = d/ dir ve dolaııla her iki noktada da gerilmeler şiddet olarak eşit çıkar. Sünek malemelerde çeki ve baıdakı akma mukavemeti eşit olduğundan noktalardan biriini incelemek eterli olur. Bi burada a noktaını inceleeceği. Mohr çemberi τ a = T. ρ a J = d π. d 4 3 σ a = M Z I a = π. d 4 64 = π. d 3 16 d = π = π = 3.58MPa = τ b = 58.94MPa = σ b Daha önce mohr çemberini - düleminde çimiştik. Burada - düleminde çiioru. Dikkat edilire değişen gerilme indilerinde erine gelecek olmaıdır. (t erine t ve erine kullanılır.) MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 160

161 8. Bileşik Yükleme Durumları a noktaını incelemee devam edioru. Bu noktadaki mohr çemberinden; R CD1 t Makimum kama gerilmei: t ma R MPa Aal gerilmeler ma, min R boutta eşdeğer mohr çemberi ma 67.1MPa 1 min 8.7 MPa 3 Alaşımlı çelik ünek bir malemedir ve akma kriterlerine göre kontrol apılmalıdır. Treca kriterine göre kontrol: Von mie kriterine göre kontrol: t ma eş MPa, t akma 00MPa t ma vm t ( ) ( ) ( ) akma ( akma olma) 1 6( t t t ) eş ( 0 0) ( ) ( ) 6( ) 71. MPa eş 1 vm MPa, 400MPa ( akma olma) ak eş ak MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 161

162 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek (Soru) 8. Bir önceki oruda ilaveten ekenel önde bir F =50kN luk bir baı kuvveti gelire, AB kirişinde en kritik noktadaki normal ve kama gerilmelerini belirleini. (F 1 =.5kN, l 1 =50cm, l =40cm, d=6cm ) Cevap: -min = MPa, t -ma =3.58MPa MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 16

163 8. Bileşik Yükleme Durumları 8. Simetrik keitlerde Eğik Eğilme Simetrik keitlerde keitte anı anda ekende eğilme momenti vara buna eğik eğilme denir (bkn. 4.3). Bu durumda eğik eğilme de bir bileşik ükleme olarak değerlendirilebilir. Süperpoion öntemine göre gerilmeler heaplanabilir. M M M Sağ el kaideine göre M momentini düşünün. Bu moment + tarafındaki lifleri uatır, - tarafındakileri kıaltır. Anı keitte gerilmeler e göre değişir. M momentine anı mantıkla düşünürek, + tarafındaki lifler kıalıp tarafındakiler uaacaktır. Anı keitte gerilmeler e göre değişir. Şunları fark etmee çalışın: a ve b noktalarında M den kanaklanan gerilme ıfırdır. c ve d noktalarında M den kanaklanan gerilme ıfırdır. Keitin ortaında bir e noktaındaki gerilme heabı: σ e = M I e M I e (D.8.1) e G a σ min =σ b G σ = M I b b e a σ ma = σ a Soru: Niçin bu denklemde (eki) işareti oktur? Düşünün.. M σ min =σ c G e d c σ = M I d c σ ma =σ d MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 163

164 8. Bileşik Yükleme Durumları 8.3 Daireel Keitlerde Eğik Eğilme + Burulma Daireel keitli elemanların (ve öellikle güç ileten millerin) herhangi bir keitinde anı anda M, M eğilme momentleri ve T burulma momenti oluşabilir. Daireel keitler de imetrik olduğu için Eğilmeden kanaklanan normal gerilmeler alında D.8.1 denkleminden elde edilebilir. Kama gerilmei ie τ = T ρ denkleminden bulunabilir ve kritik nokta için akma-kırılma J kriterleri örnek 8.1 deki gibi ugulanabilir. Ancak bu işlemler burada daha baitleştirilecektir. Keit daireel olduğu için eğilme momentlerinin bileşkeini alabiliri. Ve anki tek eğilme momenti varmış gibi düşünebiliri. M = M +M // M Eğilme açıından en büük gerilmeler a ve b noktalarında çıkacaktır. (Sağ el kaideine göre baş parmağını M önünde ie M e dik doğrultuda ütteki liflerin çekildiğini, alttaki liflerin baıldığını anlamaa çalışın). a ve b anı amanda çevre noktalar olduğu için burulma momentinden kanaklanan kama gerilmei bu noktalarda (ve diğer çevre noktalarda da) makimumdur (t ma-t ) -ma a t ma-t -ma a noktaındaki mohr çemberi MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 164

165 8. Bileşik Yükleme Durumları 8.3 Daireel Keitlerde Eğik Eğilme + Burulma - (devam) Artık eken takımını şu şekilde düşünmemi mümkün. ( ekeni -M önünde, ekeni keit normaline paralel alınır. ie bu iki ekene göre erleştirilire a noktaından geçecektir.) -ma t ma t ma a noktaındaki mohr çemberinden makimum kama gerilme heabını aparak: t ma 0 t -min a σ = M I a = M I. r τ a = τ ma T = T J ρ a = T J. r t mat t ma t t ma M. r J. ma. M T J T J. r r (D.8.) J = πr4 4, I = J I = πr4 8 Eğilme + Burulmaa maru millerde bir keitteki en büük makimum kama gerilmei Bu denklem millerin akma kontrolünü Treca kriterine göre aparken pratiklik ağlar MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 165

166 8. Bileşik Yükleme Durumları 8.3 Daireel Keitlerde Eğik Eğilme + Burulma - (devam) Von-Mie kriterine göre baitleştirme apacak olurak; eş eş eş vm 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 6( t t t ( 0 0) ( 0) ( 0) ( ) 6( t ) 3t 6(0 t 0) ) M ( I M ( I ) r) T 3( J T 3( I r) r) M ( I r I M r) T 3( I 3 T 4 r) eş M 3 T 4 I r (D.8.3) Eğilme + Burulmaa maru millerde bir keitte en kritik noktadaki eşdeğer gerilme Bu denklem millerin akma kontrolünü Von-Mie kriterine göre aparken pratiklik ağlar. Püf noktaları Güç ileten millerde akma kriterlerini ugulamadan önce en kritik keit belirlenmelidir. Daha onra D.8. ile t ma vea D.8.3 ile eş-ma heaplanıp emniet gerilmei ile karşılaştırılmalıdır. D.8. ve D.8.3 denklemlerinin ugulanabilmei için keitte çeki vea baı kuvveti olmamalıdır. Kritik noktaa etkii olmadığı için keme kuvvetinin olmaı önemli değildir. D.8. ve D.8.3 denklemleri tek eğilme momenti + burulma için de ugulanabilir MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 166

167 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek 8.3: 44cm arıçapındaki içi dolu alüminum AB miline rijit DC anahtarı takılmıştır. DC elemanına C ucundan + ekeni önünde P = 3kN, - önünde F= 4kN luk kuvvetler ugulanmıştır. Borunun emniet kontrolünü treca kriterine göre apını. t em = 80MPa, em =160MPa En kritik keit ankatre keittir. Bunu moment diagramlarını çierek görebilirini. P ve F üklerini önce D keitine onra B keitine taşıalım. T M M F M P T a. M T b Treca kriterine göre: t ma t M T J ma 9.8MPa. r 3 (50010 ).0 4 t ma > t em 3 (30010 ) 4.0 emnieti. Soru: t ma hangi nokta için heaplanmıştır? Cevabını aranıda tartışını. Ankatre keitte F ve P keme gerilmei oluşturur. Ancak bu etki merkede makimum çevre noktalarda ıfırdır. Momentlerin etkii ie merkede ıfır çevre noktalarda makimumdur ve daha büüktür. Çevre noktalar daha kritik olduğu için F ve P nin keme etkii göe alınma. T=P.1=3.1=3kNm=300kNmm M =-P.100=3.100=-300kNmm M =-F.100=4.100=-400kNmm M = M +M =500kNmm Von-Mie kriterine göre: eş M 3 T 4 I eş = MPa r (50010 ) (30010 ) emnieti. eş > em MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 167

168 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek (Soru) 8.4 (017-Final): d çapında, içi dolu, düşe AB mili A ucundan 1m arıçaplı bir dike ıkı geçirilmiş, B ucundan ie emine abitlenmiştir. Dikin C noktaından ekenine paralel F = 10kN luk bir kuvvet ugulanacaktır. AB milinin bu kuvveti emniet ınırları içinde taşımaı itenior. Buna göre AB milinin emnietli çap değerini treca ve von-mie kriterlerine göre belirleini. (Sıkı geçme ebebile mil, dikteki delik içinde erbetçe döneme. Emniet kataıı n= Mil malemeinin Çeki ve Baıdaki akma mukavemeti 300MPa, Keme mukavemeti 150MPa) Cevap: Treca a göre: 19mm ; Von-mie e göre: 18.47mm Örnek (Soru) 8.5* (017-a-Final) Bir ingili anahtarına ugulanan 140N luk bir el kuvvetile çelik AB cıvataı ıkılıor. Buna göre, AB cıvataının emnietli çap değerini heaplaını. Civatanın üerindeki dişleri ihmal ederek cıvataı içi dolu daireel keitli kabul edini. t em 100MPa, Cevap: 13.45mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 168

169 8. Bileşik Yükleme Durumları 8.4 Güç ileten Millerin Heapları: Daireel Keitlerde Eğik Eğilme+Burulma üklemeinin çok önemli bir ugulamaı güç ileten millerin heabıdır. Endütriel birçok makinada güç ileten dişli, kaış-kanak gibi mekanimalar kullanılır. Bu mekanimalarda güç iletim elemanları daireel keitli çubuklara ani millere bağlıdır. Bu mekanimaların ve millerin üretilmeden önce heaplarının apılmaı ve optimum boutlarının elde edilmei on derece önemlidir. Aki taktirde üretim ıraında kırılma, kalıcı deformaon gibi itenmeen problemlerle karşılaşılmaı vea çok büük boutlarda emnietli apıldığında ekonomik olmamaı ö konuu olacaktır. Bu mekanimalar hareketli itemlerdir. Ancak abit hıla merkei etrafında dönen vea ötelenen parçalara tatik denge denklemleri ugulanabilir ve dolaııla mukavemet heapları anı şekilde apılabilir(bkn 3.5). Nitekim güç iletim mekanimalarında parçaların bir çoğu bu şekilde hareket etmektedir. Bu miller genellikle ünek metalik malemelerden imal edildiği için heaplamalar akma kriterlerine göre apılır. Şu ana kadar ki bilgilerimile alında gerilme heaplamalarını apabiliri. Bundan onra ie bu heaplamalarda kullanılan formülleri, treca ve von-mie kriterleri için bira daha baitleştireceği ve çok daha hılı onuca gidebileceği MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 169

170 8. Bileşik Yükleme Durumları Statik denge denklemleri hareketli itemlerde de kullanılabilir mi? Newton un nci kanunu bie der ki: Bir cimin üerine etkien net kuvvet ve moment ıfır ie o ciim hareketi ie hareketiliğini korur; Sabit hıla hareket ediora hareketine devam eder. O halde tatik denge denklemleri durağan haldeki ciimler vea itemler dışında, mekanimalardaki abit hıla ötelenen vea abit açıal hıla ağırlık merkei etrafında dönen parçalara da ugulanabilir. Zira bu parçalar için de bileşke kuvvet ve bileşke moment ıfırdır. Ugulamalarda bir çok mekanima parçaı abit hıla hareket eder. Bu durumda, bu parçalara gelen kuvvetler tatik denge denklemleri ile anı şekilde bulunabilir. Örneğin, andaki itemde, gerek 1 nolu mil (motora bağlı tahrik mili), gereke 4 nolu mil abit hıla kendi ekenleri etrafında döner. Dolaııla bu miller için de tatik denge denklemleri ugulanır. Anı şekilde, 3 ve 5 nolu dişlilerde kendi ağırlık merkeleri etrafında abit hıla dönecektir. Bunlar için de tatik denge denklemleri geçerlidir. Soru: 1 nolu milin erbet ciim diagramı naıl çiilir? Motora bağlı uç ankatre kabul edilir. nolu dişlie gelen kuvvet mil ekenine taşınır. Bölece o an için tatik denge ağlanmış olur. Sabit açıal hıla dönme hareket olduğu için hareketin herbir anında bu denge geçerlidir. Yandaki şekli dikkatlice inceleini. Dikkat: Ağırlık merkei dışında bir nokta etrafında dönen ciimler için tatik denge denklemleri ugulanama. Daha arıntılı bilgi için tıklaını

171 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek 8.6: Motordan tahrik alan ABC miline bağlı C dişlii ile ütündeki D dişliinin tema noktalarından birbirlerine P= 7.96kN luk kuvvet uguladıkları tepit edilmiştir. Bu durumda dişlilerin bağlı olduğu millerin emnietli çap değerlerini treca kriterine göre heaplaını. t em = 50MPa ABC mili T A = T c T C = F.150= =1194kNmm P A B P A B F M =0 M = M +M M=M M -ma = P.00=7.9600=159kNmm t ma d em ABC 3 M T (15910 ) ( r 4 J. d mm 3 ) d. t em MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 171

172 8. Bileşik Yükleme Durumları DEF mili T E = =716.4kNmm=T P P M =0 M = M +M = M +0 = M M -ma = P.100= =796kNmm t ma M T J. r P E t ma d emdef ( ). d mm ( ) d. t em MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 17

173 8. Bileşik Yükleme Durumları Örnek (Soru) 8.7 Şekildeki kaış kanak mekanimaında kanakların bağlı olduğu ABCDE milinin emnietli çap değerini Treca kriterine göre heaplaını. t em = 80MPa. l =180mm (A ve E atakları ekeninde hem dönmee hem ötelenmee iin vermektedir ve, ekenlerindeki moment tepkileri ihmal edilebilir. Statik dengeden önce P kuvvetini heaplamanı gerekir.) Cevap: 38.8mm MUKAVEMET - Der Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 173