DİELEKTRİKLER 5.1 ELEKTRİK ALANI İÇİNDEKİ YALITKAN ATOMUNUN DAVRANIŞI

Transkript

1 83 V. BÖLÜM DİELEKTRİKLER 5.1 ELEKTRİK ALANI İÇİNDEKİ YALITKAN ATOMUNUN DAVRANIŞI Yalıtkanlarda en dış yörüngedeki elektronlar çekirdeğe güçlü bağlı olup serbest elektrik yükü içermez. Mükemmel bir Yalıtkan için σ = 0 olarak düşünülebilir. Bu sebepten elektrostatik alan üzerinde etkilerinin olmadığı düşünülebilir. Fakat bu doğru değildir. Çünkü, hiçbir gerçek yalıtkan cisim ideal dielektrik değildir. Bunun yanında iyi bir iletkenden kez daha küçük iletkenlikte olan yalıtkan malzemeler de vardır. Bu malzemeler elektrik alanlarına maruz kaldıklarında sadece ihmal edilebilir akım akışına izin verirler. Dielekrik maddelerdeki serbest elekronlar, iletkenlerdeki gibi dış yüklerin etkisi ile bulundukları yerlerden uzaklaşamazlar. Ancak küçük yer değiştirmeler olabilir. Bu yer değiştirmeler dielektriğin kutuplaşmasına(polarizasyona) sebep olur. Yani yalıtkanın bir yüzeyinde pozitif, diğer yüzeyinde negatif yüklerin oluşmasıdır. r e r e (a) (b) Elektrik alanı dışındaki yalıtkanın durumu Elektrik alanı içindeki yalıtkanın durumu e r E e r' Şimdi kutuplaşma olayını inceleyelim. Şekil a daki en basit atomun e yükünü taşıyan çekirdeği merkezde bulunur ve atomun e yükü, büyük bir hızla çekirdek etrafındaki yörüngesinde döner. e ve e yükleri her an bir dipol oluştururlar. Elektronların bu çok hızlı yer değiştirmesi sonucu zıt işaretli dipol momentleri birbirlerinin etkilerini yok ederler. Bu dipol momenti; P = e. r dir. (e = 1, C). Doğrultus elektron ve protonun bulunduğu hat boyuncadır. Elektron karşı konuma geçtiğinde dipol momenti aynı büyüklükte ve zıt işaretlidir. Pozitif ve negatif yönlerdeki dipol momentleri eşit olacağından dışarıya karşı toplamları sıfırdır. (Şekil b) de çekirdekteki pozitif yük alan kuvvetinin etkisi ile itilerek alan yönünde kısmen yer değiştirir. Aynı zamanda elektronda zıt yönde çekilir. Bunun sonucu olarak atomun şekli

2 84 bozulur. Bu konumda yüklerin dışarıya karşı momentleri sıfır olmayıp (e. r e. r ) alan yönünde moment oluşur. Basit bir atom için söylediklerimiz, bütün yalıtkan cisimlerin atomlarında veya moleküllerinde görülür. Yüklerin kayması veya yer değiştirmesi sonucu oluşan dipollere endüksiyon dipolleri denir. Dielektriklerin yüzeylerindeki çok ince tabaka halindeki yüklere de endüksiyon yükleri veya bağlı polarizasyon yükleri denir. Dipol momenti(p) ile E arasında P = α.e ilişkisi vardır. Burada α sabiti, atomun kutuplaşma özelliğini belirle ve Atomsal kutuplanma yatkınlığı olarak isimlendirilir. Aşağıdaki şekil üzerinden de normal şartlarda nötr olan yalıtkan bir malzemenin atomu üzerinden dipol momenti ve yalıtkanın kutuplaşmasını açıklayalım: E d d Q Q P = q. d ( a ) ( b ) ( c ) Şekil (a) :Yalıtkan herhangi bir elektrik alanı içinde değildir. Bu durumda pozitif ve negatif yüklerin alanları birbirini yok eder, malzeme elektriksel olarak kutupsuz davranır. Şekil (b) : E elektrik alanı içindeki yalıtkanın atomunun merkezindeki pozitif yük üzerinde F = e.e kuvveti, yörüngesindeki negatif yük üzerin de ters yönde aynı kuvvet etki ederek, elektron demetinin merkezi kayar ve molekül deforme olur. Şekil (c) :Yükler birbirinden d kadar uzakta olacak duruma gelir ve bu durumdaki iki yük «elektrik dipolü» oluştururlar. Bazı yalıtkan malzemeler kutuplu moleküllere sahiptirler. Molekül boyutundaki dipol momentleri gelişi güzel yönlerde sıralanmış olup elektrik alanı içerisine girmediği taktirde bir kutuplaşma oluşturmazlar. Elektrik alanı içine girdikleri zaman bu dipoller alan yönünde yönelerek sıralanırlar ve yalıtkan dışarıya karşı kutuplanır. E (a) (b)

3 85 Kutuplaşmış bir yalıtkan boşlukta duran dipoller topluluğu olarak düşünülebilir. Eğer dipollerin yükleri ve konumları bilinirse herhangi bir noktada elektrik alan şiddeti ve potansiyel bulunabilir DİELEKTRİK İÇİNDEKİ ELEKTRİK ALANI Aşağıdaki şekilde düzgün elektrik alanı içinde bulunan yalıtkanın polarizasyon yük yoğunluğu(endüksiyon yük yoğunluğu) σ p, düzgün alanı oluşturan levhaların yük yoğunluğu σ s ile gösterilmiştir. İletken olan levhalar arasındaki boşluğun alan şiddetinin; olduğunu önceki konulardan hatırlıyoruz. Dielektrik üzerindeki polarizasyon yükleri düzgün ve iletken levhaların alanına zıttır. Poalrizasyon yüklerinin alanı ; dir. Buna göre dielektrik içerisinde, kadar bir elektrik alanı bulunur. Polarizasyon yükleri bu alan tarafından oluşturulmaktadır. Polarizasyon yükleri E alan şiddetine bağlı olduğu gibi dielektriğin cinsine de bağlıdır. σ s Yalıtkan blok σ p İletken E s Ep E i σ p levba σ s Düzgün elektrik alanı içinde bulunan yalıtkanın polarizasyonu 5.3 KUTUPLŞMA İLE KUTUPLAŞMA YÜKÜ ARASINDAKİ İLİŞKİ Birim hacim içerisindeki dipol momenti, kutuplaşma (polarizasyon) olarak adlandırılır ve P ile gösterilir. P de E gibi bir vektördür ve yönü de E vektörü ile aynıdır. Düzgün E alanı içine konmuş aşağıda şekli verilen dielektrik blok üzerinde, küçük yer değiştirmeler sonucunda meydana gelen yüzey yükleri ve polarizasyon yük yoğunluğu ϭ p (C/m 2 ) olarak gösterilmiştir. Bu dielektrik blokun dipol momenti iki şekilde hesaplanır.

4 86 1. dir. yalıtkan blokun hacmidir. P=Birim hacim dipol momenti 2. olup birbirinden ( l ) kadar uzaklıktadır. Buradan dipol momenti q.l için Her iki şekilde elde edilen dipol momentlerinin eşitlenmesinden; veya, ( C/m 2 ) bulunur. Şu halde kutuplaşma büyüklük olarak, dielektriğin yüzeyindeki yük yoğunluğun ( a eşittir. Buradan kutuplaşmanın biriminin de ( C/m 2 ) olduğu anlaşılır. l P S E q P q P Düzgün elektrik alanı içerisindeki dielektrik blok Dielektriğin yüzeyi (S) ile P birbirine dik değilse, dx. sin θ P n n P θ P θ E dx Yukarıdaki şekilde, yüzeyin normali P yönü ile θ açısı yapmaktadır. Bu durumda yüklerin yer değiştirmesi dx tir. Yer değiştirme yüzeye göre θ açısı altında olduğundan etkin yer değiştirme; dx. sin θ dır. P ye paralel olan yüzeylerde kutuplaşma yükü bulunmayacağından, olur. Burada P n, P nin yüzeye normal olan bileşenidir. Buradan, kutuplaşma yük yoğunluğu ( ) nu, kutuplaşmanın normal bileşeni olan P n ile birlikte θ açısına bağlıdır. θ açısının sıfır olması durumunda ( ) de sıfırdır ki bu durum alana paralel yüzeyler için geçerlidir.

5 87 Düzgün olarak kutuplanmış maddelerde kutuplaşma, yüzey yüklerinden başlayan ve yine yüzey yüklerinde son bulan hatlar ile temsil edilir. Gauss kanunu P hatlarına da uygulanabilir. Buna göre Gauss hacmini dielektrik üzerinde aldığımızda, şekilde görülen A hacminin, sağdaki ve eğri(yanal) yüzeylerindeki P hattı sıfır olup yalnız sol (taban) yüzeyindeki P hattından dolayı; E Düzgün kutuplaşmış yalıtkan.... B.... P..... P. S.... Gauss. hacmi.... A Kutuplanmış yalıtkana Gauss kanununu uygulanması S Gauss hacmi elde edilir. Burada Gauss yüzeyindeki toplam kutuplaşma yüküdür. P hattı, ve arasındadır. Şimdi Gauss hacmini(şekilde B hacmi) dielektrik içinde alalım. B hacminin sağ yüzeyindeki P.dS değeri ile sol yüzeyindeki P.dS birbirinin zıt işaretlidir. Eğri yüzeyinden de P akısı geçmediğinden, olur. Buradan dielektrik içindeki net yükün sıfır olduğu Gauss kanunu ile ispatlanmış olmaktadır. Genelde dielektriklerde, ε r dielektriğe göre değişen sabit bir sayı olup, alan şiddetine bağlı değildir. Dolayısıyla D ile E veya P ile E arasındaki ilişki doğrusaldır. Bazı dielektriklerde ε r sabit olmayıp, alan şiddetine bağlı olarak değişir. Bu çeşit dielektriklere ferro elektrik maddeler denir. [Örnek, baryum titanat(ba Ti O 3 )]. Ferro elektrik maddeler ferro mağnetik maddelerin özelliklerine benzer özellikler gösterirler. Yine bazı dielektrikler, alan içerisinden çıkarılsa bile kutuplaşmalarını devam ettirirler. Daimi mıknatısların benzeri olan bu yalıtkan maddeler elektret adı verilir. Örnek olarak bal mumu gösterilebilir.

6 DİELEKTRİKLER ARASINDAKİ YÜZEYDE SINIR ŞARTLARI Bu kısımda iki farklı ortam arasındaki sınırda, elektrik alanlarının davranışını incelenecektir. Ara yüzey bir dielektrik ve bir iletken veya farklı iki dielektrik arasında olabilir. Bir ara yüzeyin her iki yanındaki elektrik alanlarının davranışını yöneten eşitlikler sınır şartları olarak bilinir. Dielektrik katsayıları ε 1 ve ε 2 olan iki değişik ortam düşünelim. ε 1 katsayılı ortamın alan şiddeti, E 1 ve deplasmanı D 1, ε 2 katsayılı ortamın alan şiddeti, E 2 ve D 2 olsun. E 1 D 1 E 2 D 2 ε 1 ε S 1.. ds. S Sınır yüzeyi D n1 ε 1 ds ε 2 ds D n2 Yukarıdaki şekle göre iki ortamı ayıran sınıra, Gauss kanununu uygulayalım. Sınır yüzeyine dik olarak alınan gauss hacminin eğri yüzeyi, düz yüzeylerine göre çok küçük alınırsa (silindir bir hap büyüklüğünde düşünülebilir), eğri yüzeyden geçen akı ihmal edilebilir. Dielektriğin yüzeyi içinde serbest yük bulunmadığına göre, Gauss yüzeyinden geçen net akı sıfır olacaktır. Çünkü soldaki ve sağdaki yüzeylerden geçen akılar eşit olup, birinde dışarıdan hacim içine doğru olurken, diğerinde bunun tam tersinedir. Gauss hacminin soldaki ve sağdaki yüzeyleri sırasıyla, S 1 ve S 2 ise; Gauss kanunundan; yazılır. Sınırın solunda D hatları Gauss hacmine girdiği için integralin işareti negatif yazılmıştır.(veya D n1 ve ds vektörleri zıt yönlü olduğundan negatif işaret kullanılmıştır.) S 1 =S 2 olduğundan bu denklemden, elde edilir. ve sırasıyla, ve nin sınıra normal olan bileşenleridir. bağıntısı, sınır şartlarından biridir ve akının sınır yüzeyinde sürekli olduğunu açıklar.

7 89 Diğer bir sınır şartının hesaplanması için aşağıdaki şekli dikkate alırsak; ab ve cd yolları iki dielektrik ortamı ayıran sınır yüzeyine dik ve bc ve da yolları farklı dielektrik ortamlar için olup sınır yüzeyine paraleldir. abcd kapalı yolu boyunca yapılan işin sıfır olduğu dikkate alınarak; ε 1.. ε 2 d c.... d... a.... l. b..... E t1 ε 1 d a Sınır yüzeyi ε 2 c b E t2 yazılablir. ab ve cd yolları çok küçük alınırsa, yukarıda yazılan çizgisel integral, olur. ve dl vektörleri zıt yönlü olduğundan ikinci integral negatif işaretli olarak alınmıştır. bc=da olduğundan, bulunur. Bunlar sırasıyla E 1 ve E 2 nin sınır yüzeyine teğet bileşenleridir. Bu sınır koşulundan alan şiddeti vektörlerinin teğetsel bileşenlerinin sınır yüzeyinin iki tarafında eşit büyüklükte ve sürekli olduğu anlaşılmaktadır. Yukarıda elde edilen denklemlerden; ve den ve şeklini alır. ifadesinden, olur. Denkleminden, farklı dielektrik ortamlardaki alan şiddetlerinin sınır yüzeyine normal bileşenlerinin, ortamların dielektrik sabitleri ile ters orantılı olduğu görülmektedir. Aynı alan şiddetlerinin sınır yüzeyine teğet olan bileşenlerinin eşit olması, kuvvet çizgilerinin bir ortamdan diğerine geçerken bir kırılmaya uğradığını gösterir.

8 90 Şimdi sınır şartlarını sağlayan ve açıları arasındaki ilişkiyi bulalım. ve sırasıyla, ve dielektrik katsayılı ortamlardaki alan vektörlerinin sınır yüzeyinin normali ile yaptığı açılardır. Aşağıdaki alan vektörlerinin gösterildiği şekilden faydalanarak, Bu açılarla ilgili ifadeleri yazalım: ε 1 ε 2 Normal ε 1 > ε 2 E t1 = E t2 E t1 β 1 E n1.. α 2 α 1 E1 Sınır yüzeyi E t2 Farklı dielektrik ortamlarda alan vektörleri E 2 β 2 E n2 Eşpotansiyel yüzey U= sabit, ifadeleri taraf tarafa oranlanarak, Veya, bulunur. Eğer, ise olacağı görülür. Yine ise, ve aşağıdaki şekilden de olacağı anlaşılır. Şu halde dielektrik katsayısı büyük olan ortamın deplasmanı daha büyük, alan şiddeti ise küçüktür. ε 1 ε 2 Normal ε 1 > ε 2 D n1 = D n2 D t1 β D 2 n1. D 2 α 1 α 2 D n2 D t2 Eşpotansiyel yüzey U= sabit Farklı dielektrik ortamlarda deplasman. D 2 β 1 Sınır yüzeyi

9 91 Alan vektörleri ile eş potansiyel yüzeyler dik olduklarından şekillerde kesik çizgilerle gösterilen eş potansiyel yüzeylerde de bir kırılmanın olacağı açıktır. Bu şekillerden eşpotansiyel yüzeylerin kırılma koşulu; olarak elde edilir. Şimdi, olduğu, yani kuvvet çizgilerinin sınır yüzeyine dik geldikleri durumu inceleyelim. denkleminde, giderken olması gerekir ( ). Bu durumda kuvvet çizgileri kırılmaya uğramazlar. Yalnız, olacağından eşitliği, olur ve, olur. Bu durumda sınır yüzeyi de bir eşpotansiyel yüzeydir. ε 1 ε 2 ε 1 ε 2 E 1 E 2 Normal E 1 E 2 D 1 D 2 Normal D 1 D 2 Sınır yüzeyi (a) D 1 =D 2 E 1 =E 2 Sınır yüzeyi (b) Eğer, ise yukarıda yazılan denkleme göre iken olmalıdır ( ). Bu durumda kuvvet çizgileri sınır yüzeyine paraleledir ve kırılmaya uğramazlar. Bu durum için, olacağından ve ve olur ve sınır yüzeyini eşpotansiyel yüzeye dik olacağı anlaşılır.

10 YALITKANLARIN DELİNMESİ Yüksek gerilimlerde yalıtkanların alan şiddetine karşı olan dayanımları önemli bir özelliktir. Yalıtkanın içindeki herhangi bir noktanın alan şiddeti belirli bir değeri aşarsa, yalıtkan içindeki elektronlara etki eden kuvvet, elektronları atomlarından koparabilecek kadar büyür. Kopan elektronlar hareket ederek yalıtkan iletken hale gelir. İki elektrod arasındaki gerilim belli bir değeri aşınca, ya yalıtkan nın içinden geçerek yalıtkanın delinmesine veya ortam ile yalıtkanın snır yüzeyinden geçerek atlamaya neden olur. Aşağıdaki şekil üzerinde delinme ve atlama olayları gösterilmiştir. Elektrik yüklerinin akması yalıtkanın içinden oluyorsa buna delinme, yalıtkan maddenin dış yüzeyi boyunca hava içinden oluyorsa buna da atlama denir. Delinmeyi meydana getiren gerilime delinme gerilimi(u d ), atlamaya sebep olan gerilime de atlama gerilimi(u a ) denir ve U a < U d dir. Delinme gerilimine karşılık gelen alan şiddetine delinme alan şiddeti denir. Yalıtkan bir maddenin delinmeye karşı dayanıklılık derecesine Delinme Alan Şiddeti veya delinme Dayanımı denir ve aşağıdaki formül ile ifade eldir. V/m. U d : delinme gerilimi, a: iki elektrot arasındaki yalıtkanın kalınlığı Pratikdeki uygulamalarda, delinme gerilimi kv ve yalıtkanın kalınlığı da cm cinsinden alınarak delinme dayanımının birimi kv/cm olarak kullanılır. Düzgün bir alanda, 1cm kalınlığındaki bir yalıtkanın delinme alan şiddetine o yalıtkanın delinme gerimi denir. Uygulamalarda kullanılan önemli yalıtkan maddelerin delinme dayanımları deneysel olarak tespit edilerek tablo haline kaynaklarda verilmektedir. U d Atlama Delinme Elektrodlar a Yalıtkanın delinme ve atlama gerilimleri

11 93 ÖRNEK PROBLEMLER: Örnek 1: Yarı çapı R olan bir dielektrik Küre içerisinde Q yükü düzgün olarak dağılmış bulunmaktadır. a) Küre içindeki herhangi bir noktanın, b) Kürenin merkezindeki, c) Kürenin yüzeyindeki herhangi bir noktanın, d) Kürenin dışındaki herhangi bir noktanın, alan şiddetini ve bundan faydalanarak ta potansiyelini bulunuz. Çözüm: Gauss Kanunundan faydalanarak; a) r < R kürenin içi. r yarıçaplı küre yüzeyi Gauss yüzeyi içindeki q yükü,,, R r P n ve ve r yarıçaplı kürenin dışındaki yüklerin E iç alanına etkisi yoktur. Çünkü kürenin dışında kalan yüklerin içindeki alanı sıfırdır. r yarı çaplı küre ile R yarıçaplı küre arasındaki hacim içi boşaltılmış bir küre demektir. İçi boş kürenin içindeki alanın sıfır olduğu Gauss kanunu ile görülebilir. b) r = 0 noktası kürenin merkezidir. olur. c) r = R noktası kürenin yüzeyidir. R r P n d) r > R P noktası kürenin dışında,,, Şimdi sırasıyla yukarıda tanımlanan noktaların mutlak potansiyellerini bulalım: r < R kürenin iç potansiyeli: bu noktalarda ve Alanlarından dolayı potansiyel oluşur., r = 0 noktası kürenin merkezidir. denkleminde, r = 0 konularak, bulunur.

12 94 r = R kürenin yüzeyindeki potansiyel, denkleminde, r = R konularak, ve r > R kürenin dışındaki noktaların potansiyeli, Örnek 2: Düzgün hacimsel yük dağılımına sahip olan çok uzun bir silindir yalıtkanın içindeki, dışındaki alanları ve akı yoğunluklarını bulunuz. Çözüm: (silindirin birim uzunluğundaki yük) a yarı çaplı silindirin birim uzunluğundaki yük; l 1 R b a yarıçaplı ve l 1 uzunluğundaki silindirin yüzeyine (bu yüzey Gauss yüzeyidir) Gauss kanunu uygulanarak; A B a l bulunur ve deplasman, Silindirin dışında bulunan ve ekseninden b kadar uzaktaki B noktasının alanı, b yarı çaplı ve l 1 uzunluğundaki silindirin yüzeyine Gauss kanunu uygulanarak, bulunur ve deplasman Örnek 3: Şekildeki dielektrik blok gösterilen yönde düzgün olarak polarize edilmiş olup polarizasyonu, P=2,8 μc/m 2 dir. A,B ve C yüzeylerindeki ϭ p polarizasyon yük yoğunluğunu bulunuz. B Çözüm: ifadesinden, A P C Örnek 4: Bir elektrik alanı, bağıl dielektrik katsayısı 7 olan ortamdan, bağıl dielektrik katsayısı 2 olan ortama geçmektedir. Bu alan birinci ortamda sınır normali ile lik açı yapıyorsa ikinci ortama geçtiğinde sınır normali ile yapacağı açıyı bulunuz. Çözüm:

13 95 Örnek 5: A ortamı, bağıl dielektrik katsayısı olan bir ortam ve B ortamı ise iletkendir. A ortamında alan ile sınır normali arasında açısını bulunuz. Çözüm: denklemine göre, alınarak,, İletkenin içindeki alan sıfır olacağından, alanın teğetsel bileşeni de sıfırdır. Teğetsel bileşenin her iki ortamda da sürekli olası gerektiğinden, alanın dielektrik ortamdaki teğetesel bileşeni de sıfır olur. Buna şartlarda, dielektrik ortamda yalnız normal bileşeni bulunmaktadır. Örnek 6: Aşağıdaki şekle göre, V/m dir. ve alan şiddetlerini bulunuz. Çözüm: V/m 3 y α 3 E 3 ε 0 Hava V/m, V/m den, 2 1 j i E 1 α 1 E 2 α 2 α 2 Dielektrik ε=2ε 0 Hava ε 0 x 100 j V/m, V/m V/m olduğu anlaşılmıştır. Zaten 1 ve 3 nolu ortamlar aynı olduklarından dielektrik ortamın her iki sınır yüzeyindeki kırılma açıları da eşit olacaktır. Örnek 7: Daha önce verilen aşağıdaki şekli kullanarak, yi,, ve cinsinden elde ediniz. Aynı işlemi için yapınız. ε 1 ε 2,, Normal E t1 ε 1 > ε 2 E t1 = E t2 β 1 E n1 E 2. α 2 α 1 E 2 Sınır β 2 E n2 E t2 Eşpotansiyel yüzey U= sabit Farklı dielektrik ortamlarda alan

14 96 olur. Aynı yöntemle; den, elde edilir. Elde edilen, ve ifadelerinden görülmüştür ki, dielektrik katsayısı büyük olan ortamda akı yoğunluğu (D) daha büyük ve alan şiddeti (E) ise daha küçüktür. EK BİLGİ YALITKAN MALZEMELERDE MAXWELL DENKLEMİ Kutuplaşma vektörü ile ilişkili hacimsel ve yüzeysel yük yoğunluğu ifadeleri:, olarak ifade edilirse, yalıtkan malzemede Maxwell Denklemi;, ve elde edilir. Deplasman vektörü halini alır. Burada olarak tanımlanırsa Maxwell Denklemi: serbest yük yoğunluğudur. Kutuplaşma vektörü ifadesinden faydalanılırsa;, deplasman elektrik akısı elde edilir.( ) Bu tanımlamadan sonra Gauss kanunun son hali;

15 97 SINIR ŞARTLARI Maxwell denklemleri sürekli ortamlar için geçerlidir.buna karşın gerçek dünyada malzeme parametrelerinde süreksizlik söz konusudur. Sınır şartları elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin iki ortam arasında bir ara yüzeyden nasıl değiştiğini belirler. Sürekli ortamda dielektrik sabiti Dielektrik sabitinde süreksizlik Maxwell denklemine göre kapalı bir çizgi boyunca elektrik alanınn integrali sıfırdır. İntegral çizgisi aşağıdaki şekilde kırmızı kesikli çizgilerle gösterildiği gibi ABCDA kapalı yolu olarak seçilirse bu kapalı yolun integrali AB, BC, CD, DA yolları integrallerinin toplamıdır. i n C Δh Δl B E 1 ε 1 D A E 2 ε 2,, var sayımı ile AB ve CD üzerinde integral BC ve DA dan çok daha küçüktür.

16 98 Bu sonuca göre elektrik alanının normal bileşenleri yalıtkan ara yüzü üzerinde süreklidir. Burada i vektörü n vektörüne dik olacağında sınır şartları ifadesi, olarak yazılır. Aynı şekilde elektrşk akısı için sınır şartları ifadesi, olrak yazılır. Burada serbest yük yoğunluğunu gösterir.