harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir"

Süleyman Topuz
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 BÖLÜM 1

2 Kümeler

3 harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir

4 Tanım 1.1.1: X ve Y herhangi iki küme olsunlar. Eğer X Y= ise, X ve Y kümelerine ayrıktırlar denir. Kümelerden oluşan bir S kümesinden alınan herhangi iki küme aralarında ayrıksa, S kümesine ayrık küme denir.

5 Teorem 1.1.2: (Kümeler İçin De Morgan Kuralı)

6 Önermeler

7 Tanım 1.2.1: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren bir ifadeye bir önerme (proposition) denir.

8 Tanım 1.2.3:p ve q birer önerme olsunlar. p ve q önermelerinin p q ile gösterilen birleşmesi (conjuction) p ve q ile verilen önermedir. p ve q önermelerinin p q ile verilen ayırtlamı (disjunction) p ya da q ile verilen önermedir.

9 Tanım 1.2.4: p q önermesinin doğruluk değerleri p q p q D D D D Y Y Y D Y Y Y Y doğruluk tablosu ile verilir.

10 Tanım 1.2.5: p q önermesinin i doğruluk ğ değerleri p q p q D D D D Y D Y D D Y Y Y doğruluk tablosu ile verilir.

11 p Tanım 1.2.6: Bir p önermesinin p / ile gösterilen olumsuzlaması (negation) olumsuz l p ile verilen önermedir. önermesinin doğruluk değerleri p p / D Y Y D doğruluk tablosu ile verilir.

12 Koşullu Önermeler ve Mantıksal Denklik

13 Tanım 1.3.1: p ve q iki önerme olsun. eğer p ise, q ifadesine fd bir koşullu önerme denir ve bu kısaca p q ile gösterilir. Burada p önermesine hipotez ve q önermesine sonuç önerme denir.

14 Tanım 1.3.2: p q önermesinin doğruluk değerleri p q p q D D D D Y Y Y D D Y Y D doğruluk tablosu ile verilir.

15 Tanım 1.3.5: p ve q iki önerme olsunlar p gerek ve yeter koşul q koşullu önermesine çift koşullu önerme denir ve p q ile gösterilir.

16 p q önermesinin doğruluk değerleri p q p q D D D D Y Y Y D Y Y Y D doğruluk ğ tablosu ile verilir.

17 Tanım 1.3.6: p 1,p 2,...,p n önermelerinin i bileşkesinden oluşan herhangi iki bileşke önerme P ve Q olsunlar. p 1,p 2,...,p n lerin herhangi doğruluk değerleri verildiğinde ya P ve Q önermelerinden her ikisi birden doğru ya da P ve Q önermelerinden her ikisi birden yanlış ş ise, P ve Q önermelerine mantıksal denktir denir ve P Q ilegösterilir. l

18 Tanım 1.3.9: p q koşullu önermesine tam mantıksal denk olan koşullu önermeye devrik önerme denir ve bu ile verilir. q p

19 Argümanlar ve Sonuç Çıkarım Kuralları

20 Önermelerin bir dizisinden bir sonuca varma sürecine tümdengelimli sonuç çıkarma (deductive dd reasoning) denir. Verilen önermelere hipotezler denir. Bir sonuç çıkarma argümanı bir sonuç ile hipotezlerden oluşur.

21 Tanım 1.4.1: Bir argüman p 1,p 2,...,p n / q şeklinde d yazılan önermelerin bir dizisidir. d Burada p 1,p 2,...,p n lere hipotezler ve q ya da bir sonuç denir. Eğer p 1,p 2,...,p n lerin hepsi doğru olduğunda q önermesi de doğru ğ ise argüman geçerlidir. ld Aksi halde argüman geçersizdir.

22 p q p q argümanı geçerli bir argümandı. Bu tür sonuç çıkarma kuralına ayrılabilme kuralı (low of detachment) ya da koygu kuralı (modus ponens) denir

23 qp Sonuç Çıkarım Kuralları Hangisinden Türetilebilir Kural Adı P, P Q Q Modus ponens mp P Q, Q / P / Modus tollens mt P, Q P Q Birleşim i P Q P,Q Basitleştirme P P Q Toplama

24 Niceleyiciler

25 Tanım1.4.1:Dbirkümevex Ddeğişkenine bağlı bir ifade P(x) olsun. Eğer herbir xiçinp(x) bir önermeyse, P ye bir önerme fonksiyonu denir.

26 Tanım 1.4.2: Bir D tanım kümesiyle önerme fonksiyonu P olsun. her x için P(x) deyimine evrensel niceleyici deyim denir. Bu deyim x P(x) şeklinde d de yazılabilir. lbl Eğer her x D için P(x) doğru ise x P(x) doğrudurğ d

27 Tanım 1.4.3: Dtanım kümesinden alınan en az bir xiçinp(x)yanlış ise, buna her x için P(x) ifadesinin bir karşıt örneği (counterexample) denir. D kümesinden alınan en az bir xiçinp(x) doğru bir önerme ise, bu durumda D kümesinden alınan bazı x ler için P(x) ifadesi doğrudur.

28 Tanım 1.4.4: D tanım kümesiyle bir önerme fonksiyonu P olsun. bir x için P(x) deyimine varlıksal niceleyici deyim denir. Bu deyim kısaca x P(x) şeklinde d de yazılabilir lbl

29 Örnek 1.4.5: Bazı x gerçel sayıları için x x 2 1 ifadesi doğrudur, çünkü x=2 için 2 5 olmaktadır

30 Teorem I.4.6: P bir önerme fonksiyonu olsun. Aşağıda (a) ve (b) de verilen her bir önerme çifti aynı doğruluk değerlerine sahiptir. a) ( xp(x))( / ; xp / (x) b) ( xp(x)) / ; xp / (x)

31 Örnek 1.4.7: Bazı kuşlar uçamaz P(x): x uçabilir De Morgan Kuralına göre ( xp (x)) = xp (x)= xp(x) xp(x) Her kuş uçabilirdir

32 Örnek 1.5.8: Bir P önerme fonksiyonunun tanım kümesi { 1,0,1} olsun.

33 Kabul Kbledelim dli ki, x DP(x) doğru ğ olsun. Bu durumda D kümesinden alınan her x için P(x) önermesi doğrudur. Özellikle, eğer D kümesinde bir öğe dise, bu durumdap(d)önermesi dedoğrudur. Böylece gördük ki, eğer d D P(d) argümanı geçerlidir. Bu sonuç çıkarım kuralına evrensel özelleştirme denir.

34 SonuçÇıkarım Kuralları Nereden Türetilebilir Kural Adı ( x)p(x) t bir değişken ya da Evrensel özelleştirme eö sembolik sabit olmak üzere P(t) ( x)p(x) a daha önce kanıt Varlıksal özelleştirme vö diii dizisinded kullanılmamış olan bir sembolik sabit olmak üzere P(a) P(x) ( x)p(x) Evrensel genelleştirme eg P(x) ya da a bir ( x)p(x) Varlıksal genelleştirme ş vgg sembolik sabit olmak üzere P(a)

35 Örnek : Her x gerçel sayısı için, eğer x bir tamsayı ise bu durumda x bir rasyonel sayıdır. sayısı rasyonel değildir. Bu sebeple bir tamsayı değildir. Eğer P(x): Q(x): x bir tamsayıdır x rasyoneldir alınırsa argüman şöyle olur:

36 evrensel özelleştirmeyle l atkı kuralı (modus tollens) ile argüman geçerlidir. P Q ve Q ise, P

37 Örnek : Herkez ya elma ya da portakal sever. Emre elma sevmez P(x) : x elma sever Q(x): x portakal sever İlk hipotez: xp(x) Q(x) Evrensel özelleştirme ile P(emre) Q(emre) İkinci hipotez P / (emre) Ayrışma kıyaslama sonuç çıkarma kuralına göre Q(emre) Yani emre portakal sever.

38 İçiçe Niceleyiciler

39 İki İ pozitif gerçel sayının toplamı pozitifdir Bu ifadeyi sembolik olarak yazmaya çalışalım. Eğer x>0 ve y>0 ise x+y>0 dır. Ama burada iki pozitif gerçel sayı var olduğundan iki adet niceleyici kullanmalıyız. P(x,y): (x>0)(y>0) (x+y>0) alınırsa, ifade fd sembolik lkolarak şeklinde d yazılabilir. lbl

40 Çok sayıda niceleyici kullanılmasına içiçe niceleyiciler denir. Örnek 1.6.1: Herkez birilerini sever L(x,y): x, y yi sever

Benzer belgeler

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg