ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her haı salıdır

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi CHLODOWSKY-TAYLOR POL INOMLARIYLA YAKLAŞIM Seyide ATAK Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Prof. Dr. Erta IB IKL I Bu tezde Chlodowsy ve Taylor operatörlerii ovolüsyou ola Chlodowsy- Taylor operatörüü yalaş m özellileri ve yalaş m h z icelemiştir. Bu tez dört bölümde oluşmatad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm şt r. Iici bölümde, bu tez içi gereli ola temel ta m ve teoremler verilmiştir. Ayr ca a¼g rl l uzaylardai sürelili modülü ve lieer pozitif operatörler ta t l p temel özellileri icelemiştir. Korovi teoremi ve Basaov teoremi ispatlar yla birlite verilmiştir. So olara s rs z bölgelerde lasi Korovi teoremlerii ulla lamayaca¼g gösterilmiş ve bu durumda ya sal teoremii as l olmas geretigi araşt r lm şt r. Bu teoremi verebilme içi A.Hac yev taraf da ispatlaa baz öermeler ve ispatlar verilmiştir. Üçücü bölümde, Berstei-Chlodowsy poliomlar yalaş m özellileri ve yalaş m h z icelemiştir. So bölümde ise, baz ovolüsyo tipli operatörleri yalaş m özellileri ve yalaş m h zlar icelemiştir. Oca 202,88 sayfa Aahtar Kelimeler : Chlodowsy-Taylor poliomlar, Korovi teoremi, lieer pozitif operatörler, ya sal h z, sürelili modülü, a¼g rl l uzay. i

3 ABSTRACT Master Thesis CONVERGENCE BY CHLODOWSKY-TAYLOR POLYNOMIALS Seyide ATAK Aara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Erta IB IKL I I this thesis, the approimatio properties ad the speed of approimatio of Chlodowsy-Taylor operator which is the covolutio of Taylor ad Chlodowsy operators are eamied. This thesis cosists of four chapters. The rst chapter is devoted to itroductio. I the secod chapter, the fudametal de itios ad theorems has bee give, which are ecessary for this thesis. Furthermore, modulus of cotiuity i weighted spaces ad liear positive operators are itroduced. Also their some basic properties are obtaied. Korovi theorem ad Basaov theorem are give with their proofs ad it is show that the classical Korovi theorems ca ot be used i ubouded regios ad how covergece theorem should be i this case is ivestigated. Some propositios ad proofs of A. Hac yev are give i order to give this theorem. I the third chapter, the approimatio properties ad the speed of approimatio of Berstei-Chlodowsy polyomials are eamied. I the last chapter, the approimatio properties ad the speed of approimatio of some covolutio type operators are eamied. Jauary 202, 88 pages Key Words: Chlodowsy-Taylor polyomials, Korovi theorem, liear positive operators, speed of approimatio, modulus of cotiuity, weighted spaces. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve araşt rmalar m her aşamas da e ya ilgi ve öerileriyle bei yöledire da şma hocam, Say Prof. Dr. Erta IB IKL I (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) ye ve baa her zama deste ola aileme e içte sayg ve teşeürlerimi suar m. Seyide ATAK Aara, 202. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v. G IR IŞ TANIM VE ÖNB ILG I Baz Fosiyo Uzaylar Sürelili Modülü A¼g rl l Uzaylarda Sürelili Modülü Solu Aral ta Süreli Fosiyolara Poliomlar ile Yalaş m Lieer Pozitif Operatörler ve Yalaş m Özellileri BERNSTEIN-CHLODOWSKY POL INOMLARI BAZI KONVOLÜSYON T IPL I OPERATÖRLER ILE YAKLAŞIM Berstei-Taylor Poliomlar ile Yalaş m Chlodowsy-Taylor Poliomlar ile Yalaş m KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I N R B(D) C(D) C (r) (D) B (D) C (D) C (D) : C(D) : f f do¼gal say lar ümesi reel say lar ümesi D ümesi üzeride ta ml ve s rl fosiyolar uzay D ümesi üzeride ta ml ve süreli fosiyolar uzay D ümesi üzeride ta ml ve r. mertebede türevi süreli fosiyolar uzay B(D) uzay a¼g rl l fosiyo uzay C(D) uzay a¼g rl l fosiyo uzay C (D) uzay bir alt uzay C(D) uzay da ta ml orm a¼g rl l uzayda ta ml orm f dizisi f fosiyoua düzgü ya sar 0 c i l ombiasyou, yai c A =!!( )!!() =!(f; ) f () = (f; ) L(f; ) reel de¼gerli s rl f fosiyouu sürelili modülü reel de¼gerli s rl f fosiyouu a¼g rl l uzaylardai sürelili modülü L operatörüü f fosiyoua uygulamas v

7 .G IR IŞ Yalaş mlar teorisi, verile bir uzaydai bir fosiyoa iyi özellileri ola ay uzaya ait fosiyolar ailesi ile yalaş m yap l p yap lamayaca¼g araşt r r. Yalaş mlar teorisii temel teoremi olara iteledirile teorem, apal ve s rl [a; b] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli bir f fosiyou içi her " > 0 ve her 2 [a; b] olma üzere jp () f ()j < " olaca şeilde bir P () poliomuu varl ¼g, il ez 885 y l da Weierstrass taraf da ifade ve ispat edilmiştir. Faat bu poliomu atsay lar e olaca¼g belirtilmemiştir. Berstei (92) taraf da [0; ] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli bir f fosiyoua yalaşa poliomlar tipi ha da bir teorem ispatlam şt r. P () = B (f; ) = X f =0 c ( ) ; 0 tipide poliomlar dizisi ta mlam ş ve bu poliomlar dizisi içi ey " > 0 verildi¼gide her 2 [0; ] ve her 0 içi jb (f; ) f ()j < " eşitsizli¼gii sa¼glad ¼g göstermiştir. Bu poliomlar ey s rl aral içi de ta mlaabilir. Il defa Chlodowsy (937) taraf da [0; ) aral ¼g üzeride Berstei poliomlar geelleştirilmiş ve bu poliomlar yalaş m özellileri araşt r lm şt r.

8 Berstei-Chlodowsy poliomlar dizisi olara adlad r la bu poliomlar dizisi (b ) lim b b = ve lim!! = 0 şartlar sa¼glaya, mooto arta reel terimli pozitif say dizisi olma üzere C (f; ) = şelide ta ml d r. X f =0 b c b ; 0 b b H. Bohma (95) taraf da toplam şelidei lieer pozitif operatörler dizisii [0; ] aral ¼g da süreli f() fosiyoua yalaşmas problemi icelemiştir. H. Bohma göstermiştir i 2 [0; ] ; 0 ; oldu¼guda L (f; ) = X f ( ; ) P ; () ; P ; () 0 =0 pozitif operatörler dizisii! ie [0; ] aral ¼g da f fosiyoua düzgü ya sa olabilmesi içi gere ve yeter oşullar üç taedir. Bular; L (; ) L (t; ) L t 2 ; 2 şelide ifade edilir. Aşiard r i Bohma araşt rd ¼g operatörleri de¼geri f fosiyouu [0; ] aral ¼g d ş dai de¼gerleride ba¼g ms zd r. P. P. Korovi (953) geel bir teorem ispatlam şt r ve göstermiştir i Bohma oşullar geel halde de gerçeleir. Korovi Teoremi olara adlad r la bu teorem aşa¼g da ifade edilmiştir: 2

9 (L ) lieer pozitif operatörler dizisi [a; b] aral ¼g da! ie L (; ) L (t; ) L t 2 ; 2 oşullar gerçeliyorsa [a; b] aral ¼g da süreli ve tüm reel esede s rl herhagi bir f fosiyou içi L (f; ) f () ; a b olur. Basaov (962) [a; b] aral ¼g üzeride süreli ve M f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit olma üzere jf ()j M f + 2 oşuluu sa¼glaya f fosiyou içi Korovi teoremii gerçeledi¼gii ispatlam şt r. G. H. Kirov (992) taraf da Berstei-Taylor poliomlar, r = 0; ; 2; ::: olma üzere f 2 C r [0; ] ve 2 [0; ] içi B ;r (f; ) = X =0 rx i=0 f (i) i! i c ( ) şelide ta mlam ş ve bu poliomlar yalaş m özellileri icelemiştir. A. Izgi, I.Büyüyaz c, E. Ibili (2009) taraf da Chlodowsy-Taylor poliomlar, f 2 C r [0; ), (r = 0; ; 2; :::) ve 2 [0; b ] içi C ;r (f; ) = X =0 rx i=0 f (i) i! b i b c b b şelide ta mlam ş ve bu poliomlar yalaş m özellileri icelemiştir. 3

10 Burada (b ) ; lim b b = ve lim!! = 0 şartlar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif say dizisidir. Chlodowsy poliomlar bir fosiyoa yalaş m içi araa temel oşul o fosiyou süreli olmas d r. Di¼ger yada f fosiyou r-ez türevleebilir ve r-ici türevi süreli ise bu durumda türev özellilerii de ulla labilece¼gi Taylor poliomlar göz öüe al abilir. E¼ger bir f fosiyou r-ez türevleebilir ve r-ici türevi süreli ise f fosiyoua Chlodowsy-Taylor poliomlar dizisi ile yalaş labilir. Görülecetir i bu yalaş m Chlodowsy poliomlar diziside daha h zl d r. Bu tezde ii operatörü ovolüsyou ola Chlodowsy-Taylor poliomlar dizisii f fosiyoua yalaş m ve yalaş m h z iceleecetir. Bu bize farl operatörleri birleştirilmesiyle daha h zl bir yalaş m elde edilebilece¼gii göstermetedir. 4

11 2. TANIM VE ÖNB ILG I Bu bölümde çal şma içi gereli baz ta m ve teoremler verilecetir. 2. Baz Fosiyo Uzaylar Bu esimde baz fosiyo s ar ta mlar verelim. [a; b] aral ¼g üzeride ta ml ve s rl fosiyolar uzay B [a; b] = ffjf : [a; b]! R ta ml ve 8 2 [a; b] içi jf ()j < g şelide ta mla r. [a; b] aral ¼g üzeride ta ml ve süreli fosiyolar uzay C [a; b] = ffjf : [a; b]! R ta ml ve 8 2 [a; b] içi süreli g ile gösterilir ve C[a; b] üzeridei orm f C[a;b] = ma ab jf()j şelide ta mla r. B (R) = f : 8 2R içi jf ()j M f () C (R) = f 2 C (R) : 8 2R içi jf ()j M f () ile s ras yla B (R) ve C (R) uzaylar a¼g rl l fosiyo uzaylar ta mlaabilir. Burada M f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit ve () = + 2 () olup,, ( ; ) aral ¼g da süreli, arta ve lim () = jj! oşuluu sa¼glaya bir fosiyodur. fosiyoua ise a¼g rl fosiyou deir. 5

12 B (R) ve C (R) uzaylar üzeride orm f = jf ()j sup << () şelide ta mla r. C (R) uzay baz alt uzaylar ; f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit olma üzere C (R) = C 0 (R) = f () f 2 C (R) : lim jj! () = f< f () f 2 C (R) : lim jj! () = 0 ile ta mla r. Ta m 2.. (Cauchy-Schwartz Eşitsizli¼gi) 8 ( ; 2 ; :::; ) ; (y ; y 2 ; :::; y ) 2 R içi X j y j =!! 2 2 X X j j 2 jy j 2 = = eşitsizli¼gi gerçeleir (Nataso 964). Ta m 2..2 (Taylor Formülü) Bir f fosiyou [a; b] aral ¼g da ta ml ve ( + ) ez süreli türevleebilir olsu. Bu durumda Taylor formülü 0 2 [a; b] ve her 2 [a; b] içi olma üzere Z R + () = ( t) f (+) (t) dt! 0 f () = X =0 f () ( 0 )! şelide ta ml d r (Musayev vd. 2003). ( 0 ) + R + () 6

13 Ta m 2..3 Taylor formülüde arş laş la ve e fazla -ici derecede ola T () := X =0 f () ( 0 )! ( 0 ) şelidei tam rasyoel fosiyoa 0 otas da f fosiyouu -ici basamata Taylor poliomu ad verilir (Musayev 2003). Ta m 2..4 (Modi ed Taylor Formülü) Modi ed Taylor formülü aşa¼g dai gibi verilebilir. f () = X =0 f () ( 0 )! + ( 0) ( )! Z 0 ( 0 ) ( t) f () ( 0 + t( 0 )) f () ( 0 ) dt 2.2 Sürelili Modülü Ta m 2.2. Boş olmaya I R s rl aral ¼g verilmiş olsu. d (I) = sup fj yj : ; y 2 Ig büyülü¼güe I ümesii çap deir. Ta m I R s rl bir aral, f : I! R fosiyou I üzeride s rl olsu. d = d (I), I ümesii çap olma üzere! : (0; d]! [0; );! f () =! (f; ) = sup fjf ( ) f ( 2 )j : ; 2 2 I; j 2 j g fosiyoua f fosiyouu I üzeridei sürelili modülü deir. Sürelili modülüü baz öemli özellileri aşa¼g da verilmiştir. Bu özellileri ifade ve ispat da Korovi (960) ve Nataso (964) ayalar da yararla lm şt r. 7

14 Lemma 2.2. > 0 içi! f () 0 d r. Ta m de ispat aç t r. Lemma 2.2.2! f () mooto artad r. Ispat: 8 ; 2 2 (0; d], < 2 içi fjf ( ) f ( 2 )j : ; 2 2 I; j 2 j g fjf ( ) f ( 2 )j : ; 2 2 I; j 2 j 2 g oldu¼guda! f ( ) = sup fjf ( ) f ( 2 )j : ; 2 2 I; j 2 j g sup fjf ( ) f ( 2 )j : ; 2 2 I; j 2 j 2 g =! f ( 2 ) gerçeleir. Lemma f, I aral ¼g da süreli bir fosiyo olsu. Bu durumda her ; 2 2 I içi jf ( ) f ( 2 )j! f (j 2 j) gerçeleir. Ta m de ispat aç t r. Lemma N olma üzere! f ()! f () gerçeleir. 8

15 Ispat: Sürelili modülüü ta m da! f () = f ( 2 )j olma üzere = 2 + h deirse sup ; 2 2I j 2 j jf ( )! f () = sup 2 2I jhj = sup 2 2I jhj jf ( 2 + h) f ( 2 )j X [f ( 2 + ( + ) h) f ( 2 + h)] =0 X sup =0 2 2I jhj jf ( 2 + ( + ) h) f ( 2 + h)j olara yaz labilir. Ta m de toplama ba¼gl ifade! f () olur. Toplam say s tae oldu¼gu içi istee eşitsizli elde edilir. Lemma pozitif reel say olma üzere! f () ( + )! f () gerçeleir. Ispat: [jj] ile say s tam sm gösterelim. Bu durumda [jj] < [jj] + eşitsizli¼gi geçerlidir.! (f; ) mooto arta olma özelli¼gi ve Lemma gere¼gice! f ()! f (([jj] + ) ) ([jj] + )! f () ( + )! f () eşitsizli¼gi elde edilir. 9

16 Lemma f, I aral ¼g da süreli bir fosiyo olsu. Bu durumda lim! f () = 0!0 gerçeleir. Ispat: f süreli oldu¼guda her " > 0 içi j 2 j < oldu¼guda jf ( ) f ( 2 )j < " sup jf ( ) f ( 2 )j < " eşitsizli¼gii sa¼glaya e az bir > 0 say s var olup,! f () ta m da! f () < " olur. Lemma de < içi! f () < " yaz labilir. Bu da ispat tamamlar. Lemma ( ) s f ra ya saya bir dizi ve c f, f fosiyoua ba¼gl sabit bir say olma üzere! f ( ) c f gerçeleir. Ispat: Lemma de yararla lara eşitsizli¼gi yaz labilir.! f () =! f +! f ( ) + =! f ( ) 0

17 ( ) ya sa dizi oldu¼guda + c olaca biçimde bir c sabiti vard r. Yai! f () c! f ( ) eşitsizli¼gi elde edilir. c f =! f () c deirse! f ( ) c f buluur. Bu da istee ifadeyi verir. 2.3 A¼g rl l Uzaylardai Sürelili Modülü S rs z aral ta! 0 ie! f () sürelili modülü s f ra ya samad ¼g da bu aral ta! 0 ie s f ra ya saya f () a¼g rl l sürelili modülü ta mlam şt r (N. I. Ashieser 947). Ta m 2.3. fosiyou a¼g rl fosiyou olma üzere jf ( + h) f ()j f () = sup (h) () : 2 [0; ); jhj ; f 2 C (R) şelide ta ml f () fosiyoua f fosiyouu C (R) uzay da sürelili modülü deir. A¼g rl l uzaylardai sürelili modülüü baz öemli özellileri aşa¼g da verilmiştir. Lemma 2.3. > 0 içi f () 0 d r. Ta mda ispat aç t r.

18 Lemma f () mooto artad r. Ispat: 8 ; 2 2 [0,) olma üzere < 2 içi jf ( + h) f ()j (h) () jf ( + h) f ()j (h) () : 2 [0; ); jhj : 2 [0; ); jhj 2 oldu¼guda jf ( + h) f ()j f ( ) = sup (h) () jf ( + h) f ()j sup (h) () = f ( 2 ) : 2 [0; ); jhj : 2 [0; ); jhj 2 gerçeleir. Lemma Her m 2 N içi f (m) 2m( + 2 ) f () gerçeleir. Ispat: f () = sup 0 jhj jf( + h) f()j ( + 2 )( + h 2 ) ifadeside + h = t deilirse elde edilir. f () = sup 0 jt j jf(t) f()j ( + 2 )( + (t ) 2 ) 2

19 Dolay s yla buluur. f (m) = jt sup 0 jm jf(t) f()j ( + 2 )( + (t ) 2 ) jt j m m t m t = + mh seçilirse jhj olup f (m) = jt sup 0 jm jf(t) f()j ( + 2 )( + (t ) 2 ) (2.3.) yaz labilir. Di¼ger yada, jf( + mh) f()j = = mx f( + h) f( + ( ) h) = mx jf( + h) f( + ( ) h)j = mx = jf( + h) f( + ( ) h)j ( + h 2 ) + ( + ( ) h) 2 + h 2 + ( + ( ) h) 2 d r. Eşitsizli¼gi her ii taraf ( + 2 ) ( + (mh) 2 ) ifadesi ile bölüürse, jf( + mh) f()j ( + 2 ) ( + (mh) 2 ) mx = jf( + h) f( + ( ) h)j ( + h 2 ) + ( + ( ) h) 2 ( + h2 ) + ( + ( ) h) 2 ( + 2 ) ( + (mh) 2 ) elde edilir. Her ii taraf jhj üzeride supremumu al rsa sol taraf (2:3:) eşitli¼gide f (m) ifadesie eşit olup, f (m) f () + 2 m X = + ( + ( ) h) 2 ( + 2 ) ( + (mh) 2 ) (2.3.2) 3

20 elde edilir. Di¼ger yada, + ( + ( ) h) (( ) h) (( ) h) 2 + = (( ) h) 2 d r. m oldu¼guda + ( + ( ) h) 2 2( (mh) 2 ) 2( (mh) (mh) 2 ) = 2( + 2 ) + (mh) 2 yaz labilir. Yai + ( + ( ) h) 2 ( + 2 ) ( + (mh) 2 ) 2 dir. Bu eşitsizli¼gi (2:3:2) ifadeside ulla lmas yla f (m) 2m( + 2 ) f () elde edilir. Lemma Her 2 R + içi f () 2 ( + ) ( + 2 ) f () gerçeleir. Ispat: 2 R + say s tam sm [jj] ile gösterilirse [jj] + [jj] eşitsizlilerii geçerli oldu¼gu aç t r. 4

21 Lemma de f () f (( + [jj]) ) elde edilir. + [jj] 2 N oldu¼guda Lemma gere¼gice f () f (( + [jj]) ) 2 ( + [jj]) ( + 2 ) f () olur. Di¼ger tarafta + [jj] + oldu¼gu göz öüe al rsa f () 2 ( + ) ( + 2 ) f () elde edilir. Lemma Her f 2 C (R) içi lim f() = 0!0 gerçeleir. Ispat: f 2 C (R) oldu¼guda f fosiyou [0; ) aral ¼g da süreli ve f () lim! () = f < (2.3.3) d r. (2:3:3) ifadeside her " > 0 içi öyle bir 0 buluur i tüm > 0 otalar ve her h reel say s içi sa¼gla r. f () () f < " 2 ; f ( + h) ( + h) f < " 2 (2.3.4) 5

22 O halde f () = jf( + h) f()j sup 0 ( + h) jhj = jf( + h) f() + ( + h) f ( + h) f j sup 0 ( + h) jhj sup 0 jhj = sup 0 jhj jf( + h) ( + h) f j jf () ( + h) f j + sup ( + h) 0 ( + h) jhj f( + h) f + sup f () () ( + h) f 0 () ( + h) jhj elde edilir. a¼g rl fosiyou mooto arta oldu¼guda f () sup 0 jhj f( + h) ( + h) yaz labilir. Burada (2:3:4) ifadesi ulla l rsa f + sup 0 jhj f () () () (+h) olup f f () < " 2 + " 2 = " elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Lemma Her f 2 C (R) ve ; t 2 [0; ) içi jf (t) f ()j (t ) 2 f (jt j) eşitsizli¼gi gerçeleir. Ispat: f () ifadeside = jt j seçilirse f (jt j) = sup 0 jhj jf (t) f ()j ( + 2 ) + (t ) 2 jf (t) f ()j ( + 2 ) + (t ) 2 yaz labilir. 6

23 Burada jf (t) f ()j ( + 2 ) + (t ) 2 f(jt j) oldu¼gu görülür. Böylece jf (t) f ()j (t ) 2 f (jt j) eşitsizli¼gi elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Lemma Her f 2 C (R) ve ; t 2 [0; ) içi jt jf (t) f ()j 2 j (t ) f () eşitsizli¼gi gerçeleir. Ispat: Lemma da yaz labilir. jf (t) f ()j (t ) 2 f ( jt j ) (2.3.5) Ayr ca jt j 2 R + olup Lemma de f ( jt j jt ) 2 j f () buluur. Bu eşitsizli¼gi (2:3:5) ifadeside ulla lmas yla jt jf (t) f ()j 2 j (t ) f () elde edilir. Bu da ispat tamamlar. 7

24 2.4 Solu Aral ta Süreli Fosiyolara Poliomlar Ile Yalaş m Weierstrass (885), apal ve s rl [a; b] aral ¼g üzeride ta ml, reel de¼gerli her süreli f fosiyoua poliomlar ile yalaş labilece¼gii aşa¼g dai teorem ile ifade etmiştir. Teorem 2.4. (Weierstrass) f fosiyou [a; b] aral ¼g da süreli ise her " > 0 içi [a; b] aral ¼g üzeride jp () f ()j < " eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir P () poliomu vard r. Berstei (92) taraf da [0; ] aral ¼g üzeride Weierstrass teoremii gerçeleye poliomlar tipi ile ilgili bir teorem ispatlam şt r. Berstei poliomlar olara adlad r la bu poliomlar tipleri ve yalaş m özellileri, Campiti et al. (994), Bleima et al. (980), Groetsch et al. (973), Martiez (989) gibi birço maalede araşt r lm şt r. Ta m 2.4. f : [0; ]! R ta ml, süreli bir fosiyo olsu. B (f; ) = X f =0 c ( ) ile ta ml poliomlara Berstei poliomlar ad verilir. B : C (0; )! C (0; ) bir döüşüm oldu¼gu aç t r. Burada c = =!! ( )! (2.4.) şelidedir. Her belirli do¼gal say s içi B (f; ), : mertebede bir poliomdur. 8

25 Bu poliomlar temel yap s ; a ve b pozitif say lar ve bir do¼gal say olma üzere X (a + b) = c a b =0 Biom formülüe ba¼gl d r. Bu formülde 2 [0; ] olma üzere a = ve b = al rsa eşitli¼gi elde edilir. X c ( ) = (2.4.2) =0 Lemma [0; ] içi X ( ) 2 c ( ) = ( ) =0 gerçeleir (Nataso 964). Lemma [0; ] ve > 0 olsu. = : ; = 0; ; :::; olma üzere eşitsizli¼gi gerçeleir. X 2 c ( ) 4 2 Ispat: 2 içi oldu¼guda =) =) ( )2 2 2 X 2 c ( ) X 2 ( ) 2 2 c ( ) 2 9

26 2 2 X ( ) 2 c ( ) =0 eşitsizli¼gi yaz labilir. Lemma 2.4. ulla lara elde edilir. Burada X c ( ) 2 2 ( ) 2 X 2 c ( ) olur. Bu da istee eşitsizlitir. = 2 2 ma ( ) 2[0;] 4 2 (2.4.3) Teorem [0; ] aral ¼g üzeride f fosiyou süreli ise lim B (f; ) = f ()! bu aral ta düzgü olara gerçeleir. Ispat: f : [0; ]! R fosiyou [0; ] aral ¼g üzeride süreli oldu¼guda s rl d r. Yai; [0; ] aral ¼g üzeride jf ()j M olaca şeilde M > 0 say s vard r. Kapal ve s rl aral üzeride süreli bir fosiyo, bu aral üzeride düzgü sürelidir. Yai; 8" > 0 içi j 2 j < olma üzere 8, 2 2 [0; ] içi jf ( ) f ( 2 )j < " 2 eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir = (") > 0 say s vard r. 20

27 (2:4:2) eşitli¼gii her ii ya f() ile çarp l rsa f() = X f()c ( ) =0 olur. B (f; ) f () far gözöüe al rsa B (f; ) f () = = X X f c ( ) f()c ( ) =0 X f f () c ( ) =0 =0 eşitli¼gi yaz labilir. = 0; ; :::; idis ümesi = = : : < olaca şeilde ii s fa ayr ls. Bu durumda B (f; ) f () = X f 2 + X f 2 f () c ( ) f () c ( ) olup, jb (f; ) f()j = X 2 + X 2 f f f () c ( ) f () c ( ) olara yaz labilir. Üçge eşitsizli¼gi ulla lara jb (f; ) f ()j X f f () c ( ) (2.4.4) 2 + X f f () c ( ) 2 2

28 elde edilir. f fosiyou süreli oldu¼guda 2 içi f f () <" 2 eşitsizli¼gi sa¼gla r. f fosiyou s rl oldu¼guda 2 içi f f () 2M eşitsizli¼gi sa¼gla r. Bulua bu ii eşitsizli (2:4:4) ifadeside ulla l rsa jb (f; ) f ()j " X X c 2 ( ) +2M c ( ) 2 2 " X c 2 ( ) +2M X c ( ) =0 2 = " 2 + 2M X c ( ) (2.4.5) 2 eşitsizli¼gi elde edilir. (2:4:5) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai toplam ifadesi, Lemma de verile (2:4:3) eşitsizli¼gii gerçeler. Bu durumda jb (f; ) f ()j " 2 + M 2 2 elde edilir. Yeterice büyü de¼gerleri içi olup, 8" > 0 say s içi istee M 2 2 <" 2 jb (f; ) f ()j < " 2 +" 2 = " ifadesi gerçeleir. 22

29 Key [a; b] aral ¼g üzeride de Berstei poliomlar Weierstrass Teoremi i gerçeler. Buu aşa¼g dai teorem ile ifade edelim. Teorem f 2 C (a; b) ise [a; b] aral ¼g üzeride lim B (f; ) = f ()! düzgü olara gerçeleir. Ispat: f fosiyou [a; b] aral ¼g üzeride süreli olsu. [0; ] aral ¼g da ta ml, süreli ' (y) = f (a + y (b a)) fosiyou ve (y) = X c y poliomu gözöüe al s. Teorem gere¼gice; 8y 2 [0; ] içi =0 X f (a + y (b a)) c y < " oşuluu sa¼glamas gereir. 8 2 [a; b] içi yuar da y yerie yaz l rsa olur. Burada olup, bu da f a+ a (b a) b a f () P () = X c b =0 =0 b a a X c b =0 X c b =0 esri [0; ] aral ¼g dad r. Bu esir a a <" a a a a <" poliomuu f fosiyoua ola ya sal ¼g d r. Böylelile isteile elde edilmiş olur. 23

30 2.5 Lieer Pozitif Operatörler ve Yalaş m Özellileri Lieer pozitif operatörleri ta m ve baz öemli özellileri verilim (P. P. Korovi 960). Ta m 2.5. X ve Y fosiyo uzaylar olsu. L : X! Y bir döüşüm olma üzere 8f 2 X fosiyoua arş l gele bir g 2 Y fosiyou varsa, L g () = L (f; ) şelide bir operatördür, deir. L operatörüü ta m bölgesi X = D (L), de¼ger ümesi ise R (L) olma üzere L (f; ) = L (f (t) ; ) ile gösterilir. Ta m X lieer bir uzay olsu. 8f; g 2 X içi, a; b 2 R ve af + bg 2 X olma üzere L operatörü L (af + bg; ) = al (f; ) + bl (g; ) oşuluu gerçeliyor ise L operatörüe lieer operatör ad verilir. c 6= 0 içi L lieer bir operatör oldu¼guda L (0; ) = L (c:0; ) = cl (0; ) olara yaz labilir. Burada L (0; ) = 0 oldu¼gu görülür. 24

31 Lieer operatörler s f ço öemli bir alt s f lieer pozitif operatörlerdir. Ta m X + = ff 2 X : f 0g, Y + = fg 2 Y : g 0g olsu. E¼ger X uzay da ta mlam ş L lieer operatörü X + ümesidei herhagi bir f fosiyouu pozitif fosiyoa döüştürüyorsa o tatirde bu lieer operatöre lieer pozitif operatör deir. L lieer operatörü içi f 0 oldu¼guda L (f; ) 0 gerçeleir. Şimdi lieer pozitif operatörleri öemli baz özellilerii verelim. Özelli 2.5. Lieer pozitif operatörler mootodur. Gerçete; 8 2 R içi f () g () ise f () g () 0 d r. L operatörü pozitif oldu¼guda L (f g; ) 0 olur ve L operatörüü lieerli özelli¼gide L (f; ) L (g; ) 0 elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Özelli L lieer pozitif operatör olsu. Bu durumda jl (f; )j L (jfj ; ) eşitsizli¼gi gerçeleir. Gerçete; 8t 2 [a; b] içi jf (t)j f (t) jf (t)j eşitsizli¼gi sa¼gla r. 25

32 L operatörüü mooto olma özelli¼gide L (jfj ; ) L (f; ) L (jfj ; ) yaz labilir. Dolay s yla jl (f; )j L (jfj ; ) elde edilir. Ta m L : X! Y lieer döüşüm olsu. E¼ger 8f 2 X içi L (f; ) Y C f X olaca şeilde C > 0 say s varsa L operatörüe s rl lieer operatör ad verilir. Bu C sabitlerii e üçü¼güe L operatörüü ormu deir. L = if fc : L (f; ) Y C f X g şelide gösterilir. L lieer operatörü içi eşitlileri sa¼gla r. L = L (f; ) sup Y f X 6=0 f X L = sup f X = L (f; ) Y X = C (R) ve Y = B (R) oldu¼guu abul edelim. Bu durumda L C!B = sup f = sup f = L (; ) L (f; ) jfj L ; 26

33 olur. Di¼ger yada = oldu¼gu içi L C!B = sup L (f; ) f = L (; ) yaz labilir. Bu ii eşitsizlite L C!B = L (; ) (2.5.) elde edilir. Bu eşitli, C da B ya döüşüm yapa lieer operatörleri s rl oldu¼guu gösterir. Çüü 2 C içi L (; ) 2 B olur. Operatörü ormuu ta m da s rl lieer operatörler içi L (f; ) L f eşitsizli¼gi geçerlidir. Özel durumda L : C! B oldu¼guda L (f; ) L C!B f olup, (2:5:) ifadeside L (f; ) L (; ) f eşitsizli¼gi sa¼gla r. Korovi (953) taraf da [a; b] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli f fosiyoua lieer pozitif operatörler dizisi ile yalaş m yap labilece¼gi aşa¼g dai teorem ile ifade ve ispat edilmiştir. 27

34 Teorem 2.5. (Korovi 953): (L ) lieer pozitif operatörler dizisi, [a; b] aral ¼g da! ie L (; ) (2.5.2) L (t; ) (2.5.3) L t 2 ; 2 (2.5.4) oşullar gerçeliyorsa, [a; b] aral ¼g üzeride süreli ve tüm reel esede s rl herhagi bir f fosiyou içi! ie a b olma üzere L (f; ) f () gerçeleir. Ispat: f fosiyou reel esede s rl oldu¼guda 8 2 R içi jf ()j M (2.5.5) olaca şeilde M > 0 say s vard r. f 2 C (a; b) oldu¼guda her " > 0 içi jt j < olma üzere her t 2 R ve 2 [a; b] içi jf (t) f ()j < " (2.5.6) eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir > 0 say s vard r. Di¼ger yada jt j içi (t ) 2 2 =) 2M 2 (t )2 2M sa¼gla r. (2:5:5) ; (2:5:6) eşitsizlileri ve üçge eşitsizli¼gi ulla lara 8" > 0 içi jf (t) f ()j < 2M 2 (t )2 + " (2.5.7) buluur. 28

35 Lieer pozitif operatörleri özellileride L (f; ) f () C(a;b) = L (f (t) f () ; ) + f () (L (; ) ) C(a;b) L (f (t) f () ; ) C(a;b) + f C(a;b) L (; ) C(a;b) L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) + f C(a;b) L (; ) C(a;b) eşitsizli¼gi yaz labilir. ya sar. Yai! ie Bu eşitsizli¼gi iici terimi (2:5:2) ifadeside dolay s f ra f C(a;b) L (; ) C(a;b) " eşitsizli¼gii sa¼glaya "! 0 dizisi vard r. Bu durumda L (f; ) f () C(a;b) L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) + " (2.5.8) gerçeleir. (2:5:8) eşitsizli¼gii sa¼g dai il terimi gözöüe alal m. (2:5:7) eşitsizli¼gi ve lieer pozitif operatörleri özellileri ulla lara 2M L (jf (t) f ()j ; ) L 2 (t )2 + "; elde edilir. = "L (; ) + 2M 2 L (t ) 2 ; = "L (; ) + 2M 2 L t 2 ; 2L (t; ) + 2 L (; ) " [L (; ) ] + " + 2M 2 L t 2 ; 2 2 [L (t; ) ] + 2 [L (; ) ] = " + " + 2M 2 2 [L (; ) ] + 2M 2 L t 2 ; 2 4M 2 [L (t; ) ] 29

36 " + 2M 2 2 = g () ve 4M 2 = h () olsu. 8 2 [a; b] içi olma üzere g () sup jg ()j = b ve h () sup jh ()j = c 2[a;b] 2[a;b] L (jf (t) f ()j ; ) " + b [L (; ) ] + 2M 2 L t 2 ; 2 +c [L (t; ) ] L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) " + b L (; ) C(a;b) + 2M 2 L t 2 ; 2 C(a;b) + c L (t; ) C(a;b) elde edilir. (2:5:2), (2:5:3) ve (2:5:4) ifadeleride dolay lim L (jf (t) f ()j ; )! C[a;b] = 0 olur. Bu durumda (2:5:8) ifadesii lim L (f (t) ; ) f ()! C[a;b] = 0 oldu¼gu görülür. Bu da ispat tamamlar. 962 y l da Basaov, [a; b] aral ¼g üzeride süreli ve M f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit olma üzere jf ()j M f + 2 (2.5.9) oşuluu sa¼glaya f fosiyou içi Korovi Teoremi i gerçeledi¼gii ispatlam şt r. Gerçete; f 2 C [a; b] oldu¼guda her " > 0 içi her t 2 R ve 2 [a; b] içi jt j < oldu¼guda jf (t) f ()j < " eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir > 0 say s vard r. 30

37 jt j oldu¼guda 8 2 [a; b] içi f fosiyou (2:5:9) oşuluu sa¼glad ¼g da jf (t) f ()j M f M f + t 2 = M f 2 + t şelide yaz labilir. Bu eşitsizlite = M f 2 + (t + ) = M f 2 + (t ) (t ) (t )2 M f (t ) 2 (t )2 + 2 = M f (t ) M f (t ) sup 2 2[a;b] + sup 2[a;b] 2 c = M f sup 2 2[a;b] + sup 2[a;b]! 2 2 2! 2 (t ) ! al rsa jf (t) f ()j c (t ) 2 elde edilir. Bu durumda 8 2 [a; b] ve 8t 2 R içi jf (t) f ()j " + c (t ) 2 yaz labilir. Ayr ca L (jf (t) f ()j ; ) L " + c (t ) 2 ; = "L (; ) + c L t 2 ; 2L (t; ) + 2 L (; ) = " [L (; ) ] + " + c L t 2 ; 2 2 [L (t; ) ] + 2 [L (; ) ] eşitsizli¼gi sa¼gla r. 3

38 = c sup j 2[a;b] 2j ve l = c sup j 2 j olma üzere 2[a;b] L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) " + (" + l) L (; ) C(a;b) + L (t; ) C(a;b) +c L t 2 ; 2 C(a;b) eşitsizli¼gi sa¼gla r. (2:5:2), (2:5:3) ve (2:5:4) ifadeleride dolay lim L (jf (t) f ()j ; )! C(a;b) = 0 olur. Bu durumda (2:5:8) eşitsizli¼gide istee lim L (f; ) f ()! C(a;b) = 0 elde edilir. O halde Korovi teoremi sa¼glam ş olur. Şimdi de s rs z bölgelerde yalaş m araşt ral m. S rs z bölgelerde ta mlam ş C (R) C (R) uzay da ey L lieer pozitif operatörler yard m yla yalaş m gerçelemedi¼gii aşa¼g dai teorem ile verelim. Teorem () = + 2 () ; lim jj! () = olma üzere L : C (R)! C (R) ta ml bir lieer pozitif operatörler dizisi olsu. Bu dizi lim L (; )! = 0 (2.5.0) lim L (; )! = 0 (2.5.) lim L 2 ; 2 = 0 (2.5.2)! oşullar sa¼glar, faat lim L f f! > 0 ifadesii gerçeleye f 2 C (R) fosiyou buluur (Gadjiev ve Ibili 999, Ibili 2003). 32

39 Ispat: Geelli¼gi bozmada (0) = 0 olsu. l (; ; f) = 2 () 2 ( + ) f ( + ) 2f () + 2 () f ( + 2) 2 ( + 2) otasyouu ullaal m. (L ) operatörler dizisi 8 >< L (f; ) = >: f () + () l (; ; f) ; 0 4() f () + l (; ; f) ; 4 f () 2() f () ; 0 ile ta mlas. (L ) lieer pozitif operatörler dizisidir. Gerçete, 8 2 R içi f () 0 olmas oşuluyla L (f; ) 0 d r ve 8f ; f 2 2 C (R) ve 8a ; a 2 2 R içi 0 olma üzere, L (a f + a 2 f 2 ; ) = (a f + a 2 f 2 ) () + () 4 () l(; ; a f + a 2 f 2 ) = a f () + a () 4 () l (; ; f ) +a 2 f 2 () + a 2 () 4 () l (; ; f 2) = a L (f ; ) + a 2 L (f 2 ; ) olara yaz labilir. olma üzere L (a f + a 2 f 2 ; ) = (a f + a 2 f 2 )() + 4 l (; ; a f + a 2 f 2 ) = a f () + a 4 l (; ; f ) + a 2 f 2 () + a 2 4 l (; ; f 2) = a L (f ; ) + a 2 L (f 2 ; ) olara yaz labilir. 33

40 0 olma üzere L (a f + a 2 f 2 ; ) = (a f + a 2 f 2 ) () 2() (a f + a 2 f 2 ) () = a f () a 2 () f () + a 2 f 2 () a 2 2 () f 2 () = a L (f ; ) + a 2 L (f 2 ; ) olara yaz labilir. Bu durumda 8 2 R içi (L ) operatörler dizisii lieer oldu¼gu görülür. L i C (R) de C (R) ye bir döüşüm oldu¼guu gösterelim. Buu içi L (; ) M () olaca şeilde M > 0 say s varl ¼g gösterme yeterlidir. 0 içi, L (; ) = () + () 2 () 4 () 2 ( + ) ( + ) 2 () + 2 () 2 ( + 2) 2 () 2 ( + ) 2 ( + ) + 2( 2 () + ) 2 ( + 2) 2 ( + 2) + = () + () 2 () 4 () 2 ( + ) + 2 () 2 2 ( + 2) = () + () 4 () + 2 () olara yaz labilir. fosiyou mooto arta oldu¼guda 2 () 2 ( + ) olup, bu eşitsizli (2:5:3) ifadeside ulla l rsa ( + 2) (2.5.3) L (; ) () eşitsizli¼gi elde edilir. 34

41 içi L (; ) = () + 2 () 4 2 ( + ) ( + ) 2 () + 2 () ( + 2) 2 ( + 2) olma üzere bu ifadede () fosiyou yerie yaz l p, fosiyouu artal ¼g ulla l rsa ifadesi elde edilir. L (f; ) () 0 içi L (; ) = () () 2 () 2 () = () 2 () olup, 2 () 2 () oldu¼guda L (; ) () ifadesi elde edilir. Bu durumda 8 2 R içi L (f; ) () ifadesi sa¼gla r. (L ) lieer pozitif operatörler dizisii C (R) de C (R) ye bir döüşüm oldu¼gu ispatlam ş olur. (L ) lieer pozitif operatörler dizisii Teorem i oşullar gerçeledi¼gii gösterelim. 0 içi, buluur. L (; ) = + () 2 () () 4 () 2 ( + ) 2 ( + 2) jl (; ) j 2 () () 4 () 2 ( + ) + 2 () 2 ( + 2)

42 fosiyouu mooto artal ¼g da jl (; ) () j () olara yaz labilir. Burada () = + 2 () olma üzere sup 0 lim sup! 0 jl (; ) () jl (; ) () j j + 2 () lim! + 2 () = 0 olup, lim L (; )! = 0 elde edilir. içi L (; ) = + 2 () 4 2 ( + ) jl (; ) j () 4 () 2 () 2 ( + ) () 2 ( + 2) 2 () 2 ( + 2) olup, fosiyouu mooto artal ¼g da jl (; ) () j () olara yaz labilir. Burada sup lim sup! jl (; ) () jl (; ) () j j = = sup () () + 2 () lim! + 2 () = 0 olup, lim L (; )! = 0 36

43 elde edilir. 0 içi sup 0 olara yaz labilir. Burada L (; ) = 2 () jl (; ) j () 2 () jl (; ) j () 2 () lim sup! 0 jl (; ) () j lim! 2 () = 0 olup, lim L (; )! = 0 elde edilir. Bu durumda 8 2 R içi (2:5:0) oşulu gerçeleir. 0 içi buluur. L (; ) = () + () 2 () 2 () + 2 () 4 () ( + ) ( + 2) jl (; ) ()j () 2 () + 2 j ()j + 2 () 4 () j ( + )j j ( + 2)j jl (; ) ()j 2 () + 2 j ()j + 2 () () 4 () j ( + )j j ( + 2)j () = j ()j 4 () ( + ) + () ( + 2) + 2 j ()j () 37

44 Burada sup 0 lim sup! 0 jl (; ) () jl (; ) () ()j ()j = j ()j sup 0 () j ()j () j ()j lim! ( + 2 ()) = 0 oldu¼guda lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. içi olup, L (; ) = () + 2 () 2 () + 2 () 4 ( + ) ( + 2) jl (; ) ()j 4 j ()j () ( + ) () ( + 2) jl (; ) ()j j ()j () () 4 () ( + ) () ( + 2) j ()j () sup lim sup! jl (; ) () jl (; ) () ()j ()j = j ()j sup () j ()j () j ()j lim! () = 0 oldu¼guda lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. 38

45 0 içi sup L (; ) = () jl (; ) ()j = () () j ()j 2 () jl (; ) ()j sup () j ()j 2 () 2 () () 2 () () j ()j 2 () olup, oldu¼guda lim sup jl (; ) ()j! () lim! j ()j 2 () = 0 lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. Bu durumda 8 2 R içi (2:5:) oşulu gerçeleir. 0 içi L 2 ; 2 () = () 2 () 4 () 2 ( + ) 2 ( + ) + 2 () 2 ( + 2) 2 ( + 2) = () 2 2 () 4 () = () 2 2 () olup, lim! L 2 ; 2 () = 0 elde edilir. 39

46 içi, L 2 ; 2 () = 2 () 4 2 ( + ) 2 ( + ) + 2 () 2 ( + 2) 2 ( + 2) = 2 2 () 2 2 () () = 0 olup, lim! L 2 ; 2 () = 0 elde edilir. 0 içi L 2 ; 2 () = jl ( 2 ; ) 2 ()j = () 2 () 2 () () 2 () 2 () 2 () () sup 0 jl ( 2 ; ) 2 ()j () 2 () = sup 0 2 () 2 (0) 2 () = 0 olup, lim! L 2 ; 2 () = 0 elde edilir. Bu durumda 8 2 R içi (2:5:2) oşulu gerçeleir. 40

47 (L ) operatörler dizisii lieer pozitif oldu¼gu ve (2:5:0) ; (2:5:) ; (2:5:2) oşullar sa¼glad ¼g gösterilmiştir. Burada (L ) operatörler dizisi yard m yla yalaş m gerçelemeye C (R) uzay a ait ola f fosiyou buluur. f () = 2 () cos fosiyouu gözöüe alal m. jf ()j = 2 () jcosj () oldu¼guda f 2 C (R) olur. 0 içi L (f ; ) f () = () 4 () = () 4 () 2 () 2 ( + ) f ( + ) 2f () + 2 () 2 () 2 ( + ) 2 ( + ) cos ( + ) 2 ( + 2) f ( + 2) 2 2 () cos + 2 () 2 ( + 2) 2 ( + 2) cos ( + 2) = () 2 () (cos cos si si ) 2 2 () cos 4 () + 2 () (cos cos 2 si si 2) = () 2 () cos 2 2 () cos + 2 () cos 4 () = () 2 () 2 () cos olup jl (f ; ) () f ()j = 2 () jcos j 2 () elde edilir. 4

48 Burada sup 0 jl (f ; ) () f ()j 2 () jcos j = sup 0 2 () 2 () 2 () 2 () = 2 ( + 2 ()) oldu¼guda lim L (f ; ) f 2 () ()! lim! 2 ( + 2 ()) = 2 elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Lemma 2.5. E¼ger L : C (R)! B (R) lieer pozitif operatörler dizisi lim L ( ; ) ()! = 0; = 0; ; 2 ifadesii sa¼glarsa f 2 C (R) içi herhagi bir solu [a; b] aral ¼g da lim L (f; ) f! C(a;b) = 0 gerçeleir (Haciyev ve Hac saliho¼glu 995). Aşa¼g dai teorem, C (R) C (R) uzay da ey (L ) lieer pozitif operatörler dizisi ile yalaş m mümü oldu¼guu gösterir. Teorem L : C (R)! B (R) lieer pozitif operatörler dizisi lim L ( ; ) ()! = 0; = 0; ; 2 (2.5.4) ifadesii sa¼glarsa ey f 2 C (R) içi lim L f f! = 0 (2.5.5) 42

49 gerçeleir (Gadjiev 974, Haciyev ve Hac saliho¼glu 995). Ispat: Bu teoremi C 0 (R) uzay içi ispatlama yeterlidir. Buu içi (2:5:5) ifadesii C 0 (R) de al a ey bir fosiyo içi geçerli oldu¼guu abul edelim ve f 2 C (R) herhagi bir fosiyo olsu. Bu durumda C 0 (R) uzay ta m a göre F () = f () f () fosiyou C 0 (R) uzay a aittir. Burada f () = F () + f () olma üzere L f f L F F + f L eşitsizli¼gi sa¼gla r. Bu eşitsizlite birici terim F 2 C 0 (R) oldu¼guda s f ra ya sar. Iici terim ise (2:5:4) oşuluda dolay s f ra ya sar. Bu durumda lim L f f! = 0 olur. Dolay s yla ispat C 0 (R) uzay içi yapma yeterlidir. f 2 C 0 (R) olsu. C 0 (R) uzay ta m gere¼gice f () lim jj! () = f = 0 olur. O halde her " > 0 içi jj > 0 0 olma üzere jf ()j < " () eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir 0 0 otas buluabilir. 43

50 Ayr ca lim () =! oldu¼guda her " > 0 içi jj > 00 0 ie () > " eşitsizli¼gi gerçeleye e az bir 00 0 otas vard r. E¼ger 0 = o ma 0 0; 00 0 << olara belirleirse tüm jj > 0 içi jf ()j < " () ve () > " oşullar gerçeleir. Kabul edelim i > 0 olsu. 8 >< g () = >: f () ; jj 0 dogrusal ; 2 [ ; 0 ] [ [ 0 ; ] 0 ; jj > şelide süreli bir g fosiyou ta mlayal m. L f f = L (f; ) f L (g; ) + L (g; ) g + g L (f; ) L (g; ) + L (g; ) g (2.5.6) + f g olara yaz labilir. (2:5:6) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai ifadeleri ayr ayr iceleyelim. L : C (R)! C (R) döüşüm yapa bir operatör dizisi oldu¼guda s rl d r. 44

51 Ayr ca (L ) operatörler dizisi lieer oldu¼guda L (f; ) L (g; ) = L (f g; ) L (; ) f g (2.5.7) sa¼gla r. (2:5:7) eşitsizli¼gii sa¼g dai ifadeleri gözöüe alal m. L (; ) = L + 2 ; = L (; ) + L 2 ; () 2 () L (; ) + L 2 ; 2 () () = L (; ) + L 2 ; 2 () + şelide yaz labilir. (2:5:4) ve = ifadesi gözöüe al ara 8" > 0 içi L (; ) < " + " + = 2" + yaz labilir. " ey oldu¼guda " = seçilebilir. O halde L (; ) < 3 (2.5.8) elde edilir. Bu da (L ) lieer pozitif operatörler dizisii düzgü s rl oldu¼guu gösterir. E = [ ; 0 ] [ [ 0 ; ] olma üzere g fosiyouu ta m gere¼gice f g = jf () g ()j sup 2R () jf () g ()j sup jj 0 () jf () f ()j = sup jj 0 () = sup 2E jf () g ()j () + sup 2E + sup 2E jf()j + sup jj> () 45 jf () g ()j jf () g ()j + sup () jj> () jf () g ()j jf () 0j + sup () jj> ()

52 sup 2E jf()j + jg ()j () jf()j + sup jj> () jf()j sup 2E () + sup jg ()j 2E () + sup jf()j jj> () yaz labilir. E jj 0 ve jj > jj 0 oldu¼guda f g jf()j sup jj 0 () + sup jg ()j 2E () + sup jf()j jj 0 () = jf()j 2 sup jj 0 () + sup jg ()j 2E () olup, G ( 0 ) = ma 2E jg ()j = ma ff ( 0) ; f ( 0 )g deirse f jf()j g 2 sup jj 0 () + G ( 0) sup 2E () elde edilir. f 2 C 0 (R) oldu¼guda jf()j sup jj 0 () < " gerçeleir. Ayr ca 8" > 0 içi () < " oldu¼guda G ( 0 ), " a ba¼gl olma üzere olara yaz labilir. () < " G ( 0 ) " f g 2" + G ( 0 ) G ( 0 ) = 3" (2.5.9) 46

53 elde edilir. (2:5:8) ve (2:5:9) ifadeleri (2:5:7) eşitsizli¼gide yerie yaz l rsa L (f; ) L (g; ) 9" buluur. g fosiyou ta m gere¼gice L (g; ) g () = jl (g; ) g ()j sup 2R () jl (g; ) g ()j sup jj () jl (g; )j + sup jj> () (2.5.20) olur. Eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai il ifade lemma 2.5. de! içi jl (g; ) sup jj () g ()j! 0 (2.5.2) gerçeleir. Şimdi de eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai iici ifadeyi ele alal m. jl (g; )j sup jj> () L (jgj ; ) sup jj> () sup jj> L sup jgj ; t () L (; ) = G ( 0 ) sup jj> () L (; ) + = G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) < G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) = G ( 0 ) sup jj> () j + G ( 0 ) sup jj> () j " + G ( 0 ) () j + " elde edilir. 47

54 (2:5:4) ifadeside dolay her " > 0 içi jl (; ) sup jj> () sa¼gla r. j < " (2.5.22) (2:5:20), (2:5:2) ve (2:5:22) ifadeleride lim L (g; ) g ()! = 0 (2.5.23) buluur. (2:5:8), (2:5:9) ve (2:5:20) ifadeleri ulla lara L f f L (f g; ) + L (g; ) g + g f f g L + L (g; ) g + g f = f g L + + L (g; ) g < 3" (3 + ) + " = 3" elde edilir. Bu da (2:5:5) ifadesii gerçeledi¼gii gösterir. 48

55 3. BERNSTEIN-CHLODOWSKY POL INOMLARI ILE YAKLAŞIM Chlodowsy (937) taraf da s rs z bir aral üzeride Berstei poliomlar geelleştirilmiş ve bu poliomlar baz yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Berstei- Chlodowsy poliomlar olara adlad r la bu poliomlar, Loretz (953) Gadjiev (995, 998), Gadjiev vd. (999), Ibili (200), ve buu gibi birço ayata ta m ve yalaş m özellileri verilmiştir. Ta m 3. (b ) dizisi lim b b = ve lim!! = 0 oşullar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif bir say dizisi olma üzere 0 b içi C (f; ) = X f =0 b c b (3.) b şelide ta ml poliomlara Berstei-Chlodowsy poliomlar ad verilir. Bu poliomlar dizisii ya sal ¼g araşt ral m. f (t) = olma üzere C (; ) = X =0 c b = (3.2) b şelidedir. 49

56 f (t) = t olma üzere X C (t; ) = b c b b =0 X ( )! = b ( )! ( )! b = X = =0 c b b = (3.3) b şelidedir. f (t) = t 2 olma üzere C t 2 ; = şelidedir. = X 2 b c b b X b 2 ( )! ( )! ( )! b X ( )! =0 = b = b ( )! ( )! b = = b X ( )! ( ) ( )! ( )! b =2 + b X ( )! ( )! ( )! b = X 2 = 2 ( )! ( 2)! ( )! b =2 X + b =0 = 2 = 2 c b =2 X 2 c 2 =0 = 2 + (b ) b X ( 2)! ( 2)! ( )! b b b b b b 2 b b 2 + b + b (3.4) 50

57 Korovi teoremii şartlar sa¼glay p sa¼glamad ¼g a baarsa; Korovi teoremii birici ve iici oşullar sa¼gla r. Faat! içi üçücü oşulu sa¼glamaz. Dolay s yla Korovi teoremi gerçelemez. Gerçetede, s rs z aral üzeride f () = 2 2 C (0; ) fosiyoua (3:) poliomlar dizisi ile yalaş m mümü de¼gildir. Çüü (3:4) ifadesi gözöüe al d ¼g da C t 2 ; 2 C(0;b) = ma 0b = b (b ) 2 olup, lim! C t 2 ; 2 = C(0;b) elde edilir. Bu ise ya sama gerçelemedi¼gii gösterir. Aşa¼g dai teoremler ile s rs z aral üzeride ta mlam ş fosiyo uzaylar da (3:) poliomlar dizisi ile yalaş m oşullar ortaya oyulmuştur. Teorem 3. 8f 2 C (0; ) fosiyou lim f () = f <! olma oşuluu ve (b ) dizisi b 2 lim! = 0 (3.5) oşuluu sa¼glas. Bu durumda lim C (f; ) f () = 0! C(0;b) gerçeleir. Ispat: f = 0 olmas durumuda teoremi ispat yapma yeterlidir. Bu durumda lim f () = 0 olur. Yai; her " > 0 içi 0 ie jf ()j < " eşitsizli¼gii! 5

58 gerçeleye e az bir 0 otas vard r. 8 >< g () = >: f () ; 0 0 lieer ; ; şelide süreli bir g fosiyou ta mlayal m. Bu durumda g fosiyouu ta m gere¼gice sup jf () g ()j sup jf () g ()j + sup jf () g ()j 0b sup jf () g ()j = sup jf () g ()j + sup jf ()j sup jf ()j + sup jg ()j + sup jf ()j olara yaz labilir. Bu eşitsizlite oldu¼guda elde edilir. Bu durumda ma jg ()j = jf ( 0 )j ve lim f () = ! 2 sup jf () g ()j < " + " + " = 3" 0b sup jc (f; ) f ()j = sup jc (f; ) C (g; ) + C (g; ) 0b 0b g () + g () f ()j sup jc (f 0b g; )j + sup jc (g; ) 0b + sup jg () f ()j 0b gj ; + sup sup 0b C + sup 0b jg () sup jf 0tb f ()j g ()j 0b jc (g; ) g ()j 52

59 sup jc (f; ) f ()j 3"C (; ) + sup jc (g; ) g ()j + 3" 0b 0b 6" + sup 0b jc (g; ) g ()j olup, lim sup jc (f; )! 0b f ()j 6" + lim! sup 0b jc (g; ) g ()j (3.6) yaz labilir. (3:6) eşitsizli¼gide yer ala lim sup jc (g; )! 0b g ()j ifadesii gözöüe alal m. g fosiyou ; b aral ¼g da s f r oldu¼guda s rl d r. Yai; jg ()j M oşuluu sa¼glaya M > 0 say s vard r. Ayr ca apal ve s rl 0; aral ¼g üzeride g fosiyou düzgü sürelidir. O halde düzgü sürelili ta m gere¼gice; her " > 0 içi b < ie 2 [0; b ] içi g b g () < " (3.7) gerçeleye e az bir = (") > 0 say s vard r. b oldu¼guda g fosiyou s rl oldu¼guda g b g () 2M gerçeleir. Ayr ca b 2 2 =) 2M b 2 2 2M yaz labilece¼gide g b g () 2M b 2 2 (3.8) 53

60 elde edilir. (3:7) ve (3:8) eşitsizlileride g b g () " + 2M b 2 2 gerçeleir. Burada olup, P jc (g; ) g ()j = g =0 b c b b P g () c =0 b b P g =0 b g () c b " + 2M P 2 2 =0 b c b = " + 2M P 2 2 b c 2 2M 2 =0 P =0 b c b = " + 2M (b ) = " + 2M (b ) 2 b b b b M (b ) sup jc (g; ) g ()j " + ma 0b 0b 2 " + 2M 2 b 2 4 elde edilir. (b ) dizisi (3:5) oşuluu sa¼glad ¼g da lim sup 2M b 2 jc (g; ) g ()j " + lim! 0b! 2 4 = 0 b + 2M 2 2 olur. 54

61 Bu ifade (3:6) ifadeside gözöüe al rsa buluur. Bu da ispat tamamlar. lim sup jc (f; ) f ()j = 0! 0b 8 < C (f; ) ; 0 b L (f; ) = : f () ; =2 [0; b ] şelide ta ml operatörler dizisie Teorem uygula rsa aşa¼g dai teorem elde edilir. Teorem 3.2 () = + 2 olma üzere 8f 2 C (R) içi lim C (f; ) f()! = 0 (3.9) gerçeleir. Ispat: (3:2) ; (3:3) ve (3:4) ifadeleri Teorem ü oşullar sa¼glamal d r. 0 b içi (3:2) eşitli¼gi ulla lara jc (; ) L (; ) = sup 0b () = sup = 0 0b j j () j elde edilir ve burada lim L (; )! = 0 buluur. 55

62 (3:3) eşitli¼gi ulla lara jc (t; ) L (t; ) = sup 0b () = sup = 0 0b j j + 2 j elde edilir ve burada lim L (t; )! = 0 buluur. (3:4) eşitli¼gi ulla lara buluur. L t 2 ; 2 jc (t 2 ; ) = sup 0b () = sup 0b 2 + (b ) + 2 sup 0b (b ) = b Berstei-Chlodowsy poliomlar ta m da ulla la (b ) pozitif say dizisi lim! b = 0 olma oşuluu sa¼glad ¼g da lim! L t 2 ; 2 = 0 2 j 2 elde edilir. Bu durumda Teorem gere¼gice; lim L f f! = 0 sa¼gla r. (L ) lieer pozitif operatörler dizisii ta m da lim C f f! = 0 gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. 56

63 Teorem 3.3 f fosiyou [0; ) aral ¼g da jf ()j M f + 2 (3.0) oşuluu sa¼glaya süreli bir fosiyo olsu. Bu durumda ey A > 0 ve 2 [0; A] içi, r! b jc (f; ) f ()j R! +A eşitsizli¼gi sa¼gla r. Burada M f, f fosiyoua ba¼gl, R, de ba¼g ms z bir sabittir.! +A ise f fosiyouu [0; + A] aral ¼g dai sürelili modülüdür. Ispat: A > 0 ve 2 [0; A] içi aşa¼g dai ii ota cümlesii ta mlayal m. (3:2) eşitli¼gide dolay jc (f; ) f ()j = E 0 = E 00 = : b + A : b + A X f b =0 X f b 2E 0 + X 2E 00 f b f () c f () c f () c b b b b = I 0 + I 00 (3.) b b buluur. 57

64 I 0 ifadesii hesaplayal m. f fosiyou [0; ) aral ¼g da süreli bir fosiyo oldu¼guda R say s vard r öyle i 2 [0; A] içi jf ()j R eşitsizli¼gi sa¼gla r. (3:0) ifadesi gere¼gice R 2 say s vard r öyle i " f b R 2 + # 2 b gerçeleir. Bu ii eşitsizli ulla l rsa f b f () f b + jf ()j # 2 R 3 "2 + b elde edilir. Burada R 3 = ma fr ; R 2 g şelide al m şt r. 2 E 0 ve 2 [0; A] içi b olup buda dolay f b f () R 3 b R 3 b (A + 2) 2 = R 4 b 2 (3.2) elde edilir. Burada R 4 = R 3 (A + 2) 2 dir. 58

65 (3:2) ; (3:3) ve (3:4) ifadeleri ulla l rsa X =0 b 2 c b b = X h =0 b 2 = b 2 2 b + 2 i c b b = B (t 2 ; ) 2B (t; ) + 2 B (; ) = 2 (b ) (b ) = (3.3) buluur. (3:2) ve (3:3) de yararlaara I 0 R 4 X =0 b = R 4 (b ) 2 c b b R 4 Ab elde edilir. R 5 = R 4 A deildi¼gi tatirde I 0 R 5 b (3.4) olur. Şimdi de I 00 ifadesii hesaplayal m.! (f; ) ta m da görülüyor i f fosiyou [0; A] aral ¼g da s rl oldu¼guda her ; t 2 [0; A] içi jf (t) f ()j! (f; jt j) 59

66 gerçeleir. Özelli de elde edilir. (3:5) ifadesi ulla l rsa I 00 = X 2E 00 jf (t) f ()j! f; jt j jt j +! (f; ) (3.5) f b f () c b X! +A f; b c b b =0 X b! +! +A (f; ) c b b =0 ( X! +A (f; ) b c + ) =0 buluur. Burada, ye ba¼gl bir dizidir. Şimdi bu dizisii uygu biçimde bulal m. So ifadeye Cauchy-Schwartz-Buyaovsy eşitsizli¼gi uygula r ve (3:3) eşitli¼gi ulla l rsa b b b I 00! +A (f; ) 8 v < u t X 2 : b c b b =0 v 9 ux t = c + b b ; =0 8 v < u =! +A (f; ) t X 2 : b c b =0 ( p ) (b ) =! +A ( ) p + 9 = + ; b elde edilir. 60

67 q b 2 [0; A] içi (b ) b A d r. Özel olara = al rsa I 00! +A r b! 8 < : q b 9 p b A = p + ; r! b =! +A + p A (3.6) elde edilir. (3:4) ve (3:6) ifadelerii (3:) ifadeside yerie yaz lmas yla, R 6 = ma R 5 ; + p o A olma üzere jc (f; ) f ()j R 5 b +! +A R 6 (! +A r b r b!! + p A + b ) q b buluur. lim = 0 oldu¼guda, yeterice büyü ler içi b! dizisi s f ra ya saya bir dizi oldu¼guda b dir. Ayr ca,! (f; ) C f sa¼gla r. Burada C f, f fosiyoua ba¼gl sabit say d r. Bua göre C f r b! +A r! b yaz labilir. Buda dolay R = R 6 + C f olma üzere! jc (f; ) f ()j R! +A r b elde edilir ve ispat tamamla r. 6

68 4. BAZI KONVOLÜSYON T IPL I OPERATÖRLER ILE YAKLAŞIM f fosiyou r-ez türevleebilir ve r-ici türevi süreli ise bu durumda türev özellilerii de ulla labilece¼gi Taylor poliomlar göz öüe al abilir. Bu durumda ii operatörü ovolüsyou ola, Berstei-Taylor poliomlar ve Chlodowsy-Taylor poliomlar ta mlaabilir. Bu bölümde Berstei-Taylor ve Chlodowsy-Taylor poliomlar f fosiyoua yalaş m ve yalaş m h z iceleecetir. 4. Berstei-Taylor Poliomlar yla Yalaş m G.H. Kirov (992) taraf da Berstei-Taylor poliomlar aşa¼g dai gibi ta mlam şt r. Ta m [0; ] olma üzere B (f; ) = X f =0 ' () (4..) şelide ta mlaa poliomlara Berstei Poliomlar ad verilir. Burada ' () = ( ) d r. f fosiyou C [0; ] uzay da r-ez türevleebilir ve r-ici türevi süreli olma üzere T r () = rx i=0 f (i) (c) i! ( c) i (4..2) şelide ta mlaa polioma C [0; ] uzay da f fosiyou içi r-ici derecede Taylor Poliomu ad verilir. 62

69 (4::) ve (4::2) operatörlerii ovolüsyou ola B ;r (f; ) : = (B T r ) (f; ) X = T r f; = =0 X =0 rx i=0 f (i) operatörüe Berstei-Taylor Poliomu deir. i! i ' () i ' () (4..3) r = 0 al rsa B ;0 (f; ) = X f =0 elde edilir. Bu ise Berstei poliomudur. Yai c ( ) B ;0 (f; ) = B (f; ) gerçeleir. Şimdi Berstei-Taylor poliomuu f fosiyoua yalaş m icelere ullaaca¼g m z baz lemmalar verelim. (Hrushiesh N. Mhasar, Devidas V. Pai, Fudametals of Theory, Loretz, Berstei Polyomials ve Nataso, Costructive Fuctio Theory.) Lemma 4.. ' () = c ( ) olma üzere X S ;r () = ( ) r ' () (4..4) şelide ta mlas. Her 2 R içi aşa¼g dai ifadeler geçerlidir. =0 a) S ;0 () = 63

70 b) S ; () = 0 c) S ;2 () = ( ) d) S ;r+ () = ( ) S 0 ;r () + rs ;r () ; r e) S ;4 () = 3 2 X 2 2X 2 + X ( 2) 2 ; X := ( ) Ispat a) r = 0 içi olup, (2:4:2) ifadeside X S ;0 () = ' () =0 S ;0 () = buluur. b) r = içi S ; () = = X ( ) ' () =0 X ' () =0 =0 X ' () (4..5) X X '! () =! ( )! ( ) = X ( )! = ( )! ( )! ( ) = = X = = =0 ( )!! ( )! ( ) X ' () (4..6) =0 64

71 d r. (2:4:2) ve (4::6) ifadelerii (4::5) de ulla l rsa S ; () = 0 elde edilir. c) r = 2 içi S ;2 () = = = X ( ) 2 ' () =0 X 2 =0 X 2 ' () 2 + () 2 ' () X X 2 ' () + () 2 ' () (4..7) =0 =0 =0 X 2 ' () = = X 2!! ( )! ( ) = = (2:4:2) ve (4::6) ifadeleride X ( )! ( )! ( )! ( ) = X = ( + ) =0 ( )!! ( )! ( ) X X = ' () + ' () =0 =0 X 2 ' () = () (4..8) = buluur. (2:4:2), (4::6) ve (4::8) ifadeleri (4::7) de yerlerie yaz l rsa S ;2 () = ( ) elde edilir. 65

72 d) Idirgeme formülü; ' () = ifadesii de¼gişeie göre türevi ' () 0 =!! ( )! ( ) ' () ( ) (4..9) ( ) d r. S ;r () = ifadesii de¼gişeie göre türevi X ( ) r ' () =0 (S ;r ()) 0 = r d r. (4::9) eşitli¼gide X X ( ) r ' () + ( ) r ' () 0 =0 =0 (S ;r ()) 0 = rs ;r () + ( ) S ;r+ () buluur. Burada h S ;r+ () = ( ) S 0 ;r () + rs ;r i () elde edilir. e) (a), (b), (c) ve (d) ş lar da S ;3 () = X ( 2) elde edilir. S ;4 () = 3 2 X 2 2X 2 + X ( 2) 2 66

73 Lemma 4..2 A r;i () de ba¼g ms z poliomlar olma üzere (4::4) ifadesidei fosiyo biçimide gösterilebilir. S ;r () = [j r 2j] X i=0 A r;i () i (4..0) Ispat: Tümevar m yötemi ulla l rsa; r = içi S ; () = A ;0 () d r. A ;0 () = 0 al rsa r = içi (4::0) ifadesi gerçeleir. r = t içi ifadesi gerçelesi. S ;t () = [j t 2j] X i=0 A t;i () i r = t + içi h S ;t+ () = ( ) S 0 t;r () + ts ;t 2 [j 6X2j] t = ( ) 4 i=0 A 0 t;i () i + t i () [j t 2 X j] i=0 A t 3 ;i () i 7 5 d r. t + t + 2 = 2 oldu¼gu diate al rsa S ;t+ () = gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. [j t+ 2 X j] A t+;i () i i=0 67

74 S ;r () fosiyolar a ve ye göre bir poliom gibi baabiliriz. S ;r () ye göre r -ici derecede bir poliomdur. Bua göre 2 [0; ] otalar içi 2 js ;r ()j K (r) [j r 2j] (4..) eşitsizli¼gii sa¼glayaca şeilde K (r) say s vard r. Teorem 4.. f 2 C r [0; ] (r = 0; ; 2; :::) ise [0; ] aral ¼g üzeride lim B ;r (f; ) = f ()! düzgü olara gerçeleir. Ispat: B ;r (f; ) lieer pozitif bir operatördür. Şimdi Korovi teoremii oşullar araşt ral m. B ;r (; ) = X ' () = =0 X X f (i) B ;r (t; ) = i! =0 i=0 X = + =0 X = ' () = =0 i ' () ' () 68

75 B ;r t 2 ; = = X =0 2X i=0 ( X =0 f (i) X = 2 ' () = 2 =0 i! 2 + 2! i ' () + 2 2! ) 2 ' ()! içi B ;r (; ) C[0;] 0 B ;r (t; ) C[0;] 0 B ;r t 2 ; 2 C[0;] 0 sa¼gla r. Korovi teoremie göre f 2 C r [0; ] içi B ;r (f; ) f () C[0;] 0 gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. Teorem 4..2 (Popoviciu) B (f; ) Berstei poliomu olma üzere [0; ] aral ¼g da süreli f fosiyou içi jb (f; ) f ()j 3 2! f 2 d r. Teorem 4..3 r = 0; ; 2; ::: içi f 2 C r [0; ] ve 2 [0; ] olma üzere B ;r (f; ) f () C[0;] K (r) r 2!f (r) 2 (4..2) gerçeleir (Kirov 992). 69

76 Ispat: r = 0 içi B ;0 (f; ) = B (f; ) d r. Dolay s yla Teorem 4..2 de B ;0 (f; ) f () C[0;] 3 2! f 2 oldu¼guu gösterebiliriz. Yai r = 0 içi (4::2) ifadesi gerçeleir. Şimdi de r = ; 2; 3; ::: içi ispat yapal m. (2:4:2) ifadeside jf () B ;r (f; )j = = X f () ' () =0 X f () ' () =0 X =0 X =0 rx i=0 rx i=0 f (i) f (i) i! i! i ' () i ' () yaz labilir. Modi ed Taylor formülü uygula rsa jf () B ;r (f; )j = = ( X rx =0 f (i) i! i=0 Z + (r )! X =0 X =0 rx i=0 0 f (i) (r )! i! r Z 0 i ( t) r f (r) + t( i ' () ( t) r f (r) + t( ) ) 9 f (r) ( = ) dt ; ' () f (r) ( ) dt' () elde edilir. 70

77 Üçge eşitsizli¼gide jf () B ;r (f; )j d r. Lemma de ( X ' () =0 Z 0 r (r )! ( t) r f (r) + t( ) 9 f (r) ( = ) dt ; jf () B ;r (f; )j X =0 r (r )! Z 0 ( t) r! f (r) t dt' () (4..3) elde edilir. Lemma de! f (r) t =! f (r) t 2 2 t 2 +! f (r) 2 eşitsizli¼gi buluur. Bu eşitsizli (4::3) ifadeside ulla l rsa jf () B ;r (f; )j buluur. = ( X ' () =0 Z 0 r (r )! ( t) t r X r 8 < (r )!! f (r) 2 : =0 9 Z = + ( t) r dt ; ' () 0 =! f (r) ( 2 (r + )! r + X r! r j =0 2 +! f (r) 2 j r ' () 2 X j =0 ) Z = dt ; t ( t) r dt j r+ ' () 7

78 ;r () = (r + )! r 2 + X r! r j X j =0 j r ' () j r+ ' () =0 deilirse jf () B ;r (f; )j ;r ()! f (r) 2 (4..4) olur. Cauchy-Schwartz-Buyaovsy eşitsizli¼gi ve (2:4:2) ifadeside X j j r+ ' () = =0 = X j j r+ ' () 2 ' () 2 =0 ( X j =0 ( X j =0 j 2(r+) ' () j 2(r+) ' () ) ) 2 ( 2 X ' () =0 ) 2 elde edilir. (4::4) ifadesi ulla l rsa X j j r+ ' () fs 2r+2 ()g 2 =0 elde edilir. Bezer şeilde X j j r ' () fs 2r ()g 2 buluur. =0 72