Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:"

Transkript

1 100

2 Bölüm 9 Ders Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min değer: (0, 3) olur. Bkz. Şekil

3 102 BÖLÜM 9. DERS 09 Şekil 9.1: x 3 + 3x /1b: Şekil 9.2: x + 2 Tanım bölgesi x +2 0 = x 2 olduğundan tanım bölgesi [ 2, ) aralığıdır. Sol uç noktada yerel ve mutlak minimum vardır: ( 2,0) Yerel max ve dolayısıyla mutlak max yoktur. Bkz. Şekil 9.2.

4 9.2. ALIŞTIRMALAR /1c: Şekil 9.3: x Fonksiyon her yerde tanımlıdr. Kritik noktalar : f x) = d ( ) 1 (1 x) 1 3 = dx (1 x) 2 Türev hiç bir yerde 0 olmaz. Dolayısıyla kritik noktaları yoktur. Türev her yerde pozitif olduğundan fonksiyon her yerde artan bir fonksiyondur. Yerel max ve min noktaları yoktur. Dolayısıyla mutlak min ve max noktaları da yoktur. Bkz. Şekil 9.3

5 104 BÖLÜM 9. DERS /1ç: Şekil 9.4: x 2 (1 x) Fonksiyon her yerde tanımlıdır. Kritik noktalar : f x) = d ( x 2 (1 x) ) = 2x 3x 2 = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 dx 3 Yerel min: (0,0) ve yerel max: ( 2 3, 4 27 ) noktalarıdır. Bkz. Şekil 9.4

6 9.2. ALIŞTIRMALAR /1d: Şekil 9.5: x 2 3 x 2 Fonksiyon x 0 olduğu noktalarda tanımlıdı R {0}. Kritik noktalar: f x) = d (x 2 3x ) dx 2 = 2x + 6 x 3 = 0 Gerçel kök yoktur. Ohalde kritik nokta yoktur. Max ve min yoktur. ve lim x 0 lim x 0 + (2 3x 2 ) = (2 3x 2 ) = dir. Ohalde x = 0 doğrusu; yani Oy ekseni düşey asimptottur.

7 106 BÖLÜM 9. DERS /1e: Şekil 9.6: (x + 1)(x 1) 2 Kritik noktalar: f (x) = d ( (x + 1)(x 1) 2 ) = d ( x 3 2x 2 + x + x 2 2x + 1 ) dx dx = x 3 x 2 x + 1 = x 1 = 1 3, x 2 = 1 Yerel max değer: ( 1 3, ) Yerel min değer: (1,0) olur. Bkz. Şekil 9.6

8 9.2. ALIŞTIRMALAR /1f: Şekil 9.7: x + 1 x Tanım bölgesi: (,+ ) Kritik noktalar: f (x) = d ( x + 1 ) = x2 1 dx x x 2 = 0 = x 1 = 1, x 2 = 1 Türev (, 1) aralığında pozitif, fonksiyon artar. Türev ( 1, 1) aralığında negatif, fonksiyon azalır. Türev (1, + ) aralığında pozitiftir, fonksiyon artar. Yerel max: ( 1, 2). Yerel min: (1,2) Bkz. Şekil 9.7

9 108 BÖLÜM 9. DERS /1g: Şekil 9.8: 2x x 2 3 i) 2x x 2 3 fonksiyonunun tanım bölgesi R kümesidir. ii) Kritik noktaları: dir. f (x) = d dx = 10 3 ) (2x x 3 ) (x x 3 = 0 = x = 1, x = 0 iii) Türev (, 1) aralığında pozitiftir, fonksiyon bu aralıkta artar. vi) Türev ( 1,0) aralığında negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır. v) Türev (0,+ ) aralığında pozitiftir, fonksiyon bu aralıkta artar. vi) [ 1, 1]) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu ( 1, 3) noktasıdır. vii) [ 1,1]) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (0,0) noktasıdır. viii) Bkz. Şekil 9.8

10 9.2. ALIŞTIRMALAR /1ğ: Tanım aralığı : (, ) Şekil 9.9: (4x 1) (2x 1) 2 3 f (x) = d dx Grafikten görüldüğü gibi; (,0.333) aralığında fonksiyon artar. (0.333,0.5) aralığında fonksiyon azalır. (0.5,+ ) aralığında fonksiyon artar. Yerel max: (0.333,0.333) noktasıdır. Yerel min: (0.5,0) noktasıdır. ) ((4x 1) (2x 1) 3 =

11 110 BÖLÜM 9. DERS /1h: Tanım bölgesi: (, ). Şekil 9.10: x 2 9 f (x) = d ( x 2 9 ) =? dx Türevini bulmak için mutlak değeri parçalı fonksiyon olarak yazalım: (x 2 9), x 3 f (x) = (x 2 9), 3 x 3 (x 2 1), x 3 2x, x 3 f (x) = 2x, 3 x 3 2x, x 3 Buna göre fonsiyon (, 3) aralığında azalır; ( 3, 0) aralığında artar; (0, 3) aralığında azalır;(3, ) aralığında artar. Kritik noktaların apsisleri 3, 0, +3 dür. Yerel min: ( 3,0) ve (3,0) noktalarıdır. Yerel max: (0,9) noktasıdır.

12 9.2. ALIŞTIRMALAR /1ı: Şekil 9.11: x 3 x Tanım bölgesi (,3) aralığıdır. f (x) = d ( x ) 3(2 x) 3 x = dx 2 3 x = 0 = x 1 = 2 Yerel ve mutlak max: (2,2) Yerel min: (3,0) uç noktasıdır.

13 112 BÖLÜM 9. DERS /1i: Tanım bölgesi: ( 2,+2) Şekil 9.12: x 4 x 2 f (x) = d ( ) x 4 x 2 = 2(2 x2 ) dx 4 x 2 = x 1 = 2, x 2 = 2 Yerel min: ( 2, 2) Yerel max ( 2,2)

14 9.2. ALIŞTIRMALAR /1j: Tanım bölgesi: [0, ) Yerel max: (0.25,0.063) Yerel min: (1,0) ve (0,0) Şekil 9.13: (x x) 2 f (x) = d ( (x x) 2 ) dx = 2(x x)(1 1 2 x ) = 0 = x 1 = 0.25, x 2 = 1, x 3 = 0

15 114 BÖLÜM 9. DERS /1k: Şekil 9.14: x x+1 x Tanım bölgesi: (0, ) f (x) = d ( ) x 1 x dx = x + 1 2x x Türevin gerçel kökü x = 1 tanım bölgesi dışındadır. (0, ) aralığında pozitiftir. Dolayısıyla fonksiyon (0, ) aralığında artandır. Max, min yoktur.

16 9.2. ALIŞTIRMALAR /1l: Tanım bölgesi: (, ) f (x) = d ( x ) dx 4 + x 2 = 4 x2 (4 + x 2 ) 2 = x 1 = 2, x 2 = 2 Yerel min: ( 2,0.25) Yerel max:(2,0.25) Şekil 9.15: x 4+x 2 lim f (x) = 0 = Ox ekseni asimptottur. x

17 116 BÖLÜM 9. DERS /2: 2a) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2b) Mutlak max yok, mutlak min 0 dır. 2c) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2ç) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2d) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2e) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2f) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2g) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2ğ) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2h Mutlak max yok, mutlak min ( 3,0) ve (3,0) noktalarıdır. 2ı Mutlak max (2,2) mutlak min yoktur. 2i Mutlak max (2.667,3.078) mutlak min yoktur. 2j) Mutlak max yok, mutlak min (0,0) noktasıdır. 2k) Mutlak max ve mutlak min yoktur. 2l) Mutlak max (2,0.25), mutlak min ( 2, 025) noktasıdır.

18 9.2. ALIŞTIRMALAR / 3a Şekil 9.16: 3x + 27 x i) Fonksiyonun tanım bölgesi R {0} kümesidir. ii) (0, ) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (3,18) noktasıdır. iii) 0, ) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu yoktur. Bkz Şekil 9.16.

19 118 BÖLÜM 9. DERS / 3b Şekil 9.17: 15 3x 12 x 2 i) 15 3x 12 fonksiyonun tanım bölgesi R {0} kümesidir. x 2 ii) (0, ) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu (2,6) noktasıdır. iii) (0, ) aralığında fonksiyonun minimumu ve mutlak minimumu yoktur. Bkz Şekil 9.17

20 9.2. ALIŞTIRMALAR / 3c Şekil 9.18: 4 4+x 2 x i) fonksiyonunun tanım bölgesi R kümesidir. 4+x 2 ii) Kritik Noktalar: d dx ( x ) 4 + x 2 = 4 x2 (4 + x 2 = 0 = x = ±2 ) 2 (, 2) aralığında f (x) < 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta azalır. min nokta: (2, 1 4 ) ( 2,2) aralığında türev pozitiftir; fonksiyon artar. max nokta. (2, 1 4 ) (2, ) araşığında türev negatiftir. Fonksiyon azalır. Mutlak maksimu ve mutlak minimum noktası yoktur. iii) Ox ekseni yatay asimptottur. Bkz. Şekil 9.18

21 120 BÖLÜM 9. DERS / 4 Şekil 9.19: x 3 3x 2 9x + 3 i) x 3 3x 2 9x +3 polinomunun tanım bölgesi R kümesidir. Ancak problem tanım aralığını [ 4,2] aralığına kısıtlamıştır. ii) [ 4,2] aralığında mutlak max ( 1,8) noktasıdır. ( 4, 73) sol uç nokta yerel min (2, 19) sağ uç nokta yerel min iii) [ 4, 2] aralığında fonksiyonun mutlak minimumu ( 4, 73) noktasıdır. Bkz Şekil 9.19

22 9.2. ALIŞTIRMALAR / 5a Şekil 9.20: 3x + 27 x, [1,5] i) 3x + 27 x fonksiyonunun tanım bölgesi R {0} kümesidir. Ancak problem [1,5] aralığına kısıtlamaktadır. ii) Kritik noktaları: f (x) = 3 27 x 2 > 0 = Kökler: x = ±3 Uç noktlar ekstrem noktalardır. (1, 30) yerel max, (5, 102) yerel max [1, 5)) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (3, 18) noktasıdır. Mutlak max sağ uç noktadır: (5,102). iii) (, 0) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu ( 3, 18) dir. Bkz. Şekil (, )) aralığınfa fonksiyonun yerel max ve yerel min değerleri var ama mutlak max ve mutllak min değerleri yoktur.

23 122 BÖLÜM 9. DERS / 5b Şekil 9.21: 15 3x 12 x 2 i) 15 3x 12 fonksiyonunun tanım bölgesi R {0} kümesidir. x 2 ii) Kritik noktaları: f (x) = d ( 15 3x 12 ) 24 3x3 dx x 2 = x 3 = 0 = x = 2 dır. [1, ) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu (2, 6) noktasıdır. iii) [1, ) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu yoktur. lim f (x)0 x 0 lim f (x)0 + x 0 + olduğundan O y ekseni düşey asimptottur. Bkz. Şekil 9.22.

24 9.2. ALIŞTIRMALAR / 5c Şekil 9.22: x 4+x 2, [ 3,3] i) x 4+x 2 fonksiyonunun tanım bölgesi R kümesidir. Ncak problem tanım bölgesini [ 3,3] aralığına kısıtlamıştır. ii) Kritik noktaları: f (x) = d ( dx x ) 4 + x 2 Uç noktalar ekstrem noktalardır. = 4 x2 4 + x 2 = 0 = x 1 = 2, x 2 = 2 ( 2, 0.25) mutlak min, (2,0.25) mutlak max. ( 3, 0.231) yerel min, (3,0.231) yerel max. iii) [ 3, 3]) aralığında grafiğin sol uç noktası yerel max: ( 3, 0.231); sağ uç noktası ( 3, 0.231) yerel min noktası olur. Bkz. Şekil (5c) 9.22

25 124 BÖLÜM 9. DERS / 5ç Şekil 9.23: x x 2 i) x fonksiyonunun tanım bölgesi R {0} kümesidir. x 2 ii) Kritik noktaları: f (x) = d ( x ) dx x 2 = 2x4 32 x 3 = 0 = x 1 = 2, x 2 = 2 dir. [1, 3]) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (2, 8) noktasıdır. iii) [1,3]) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu yoktur. lim f (x) = + x 0 olduğundan O y ekseni düşey simptottur. Bkz. Şekil 9.23

26 9.2. ALIŞTIRMALAR / 5d Şekil 9.24: 2x x 2 3 i) 2x x 2 3 fonksiyonunun tanım bölgesi R kümesidir. ii) Kritik noktaları: dır. f (x) = d dx ) (2x x 3 = 10 3 ) (x x 3 = 0 = x = 1 iii) [ 1, 1]) aralığında fonksiyonun mutlak maksimumu ( 1, 3) noktasıdır. [ 1,1]) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (0,0) noktasıdır. Bkz. Şekil 9.24

27 126 BÖLÜM 9. DERS / 5e Şekil 9.25: x 3 x i) Fonksiyonun tanım bölgesi 3 x 0 = x 3 aralığıdır. x 3 x fonksiyonunun tanım bölgesi 3 x 0 = x 3 kümesidir. ii) Kritik noktaları: f (x) = d ( x ) 3 x = 6 3x dx 2 3 x = x = 2 dir. [ 1, 3]) aralığında fonksiyonun mutlak mksimumu (2, 2) noktasıdır. iii) [ 1, 3]) aralığında fonksiyonun mutlak minimumu (3, 0) uç noktasıdır. Bkz. Şekil 9.25

28 9.2. ALIŞTIRMALAR / 8 Şekil 9.26: Soru 9-8 M(x) = x p(x) = 14 x 4000, 0 x 2500 K (x) = G(x) M(x) = xp(x) M(x) = 14x 5x = 9x x K (x) = 9 x = 0 = x = makina. x = için yerel max olur. x2 max kâr. K (18000) = = = 13000

29 128 BÖLÜM 9. DERS / 9 Şekil 9.27: Soru 9-9 (x 60) + x + 2y = 360 2x + 2y = 420 = x + y = 210 = y = 210 x A(x, y) = x y 0 < x < 210 a(x) = x(210 x) = 210x x 2 a (x) = 210 2x a (x) = 0 = x = 105 x = 105 için yerel max oluşur. x = 105 = y = 105 olmalı

30 9.2. ALIŞTIRMALAR /10 b) M(x) = x, p(x) = 200 x 30, 0 x 6000 a) G(x) = xp(x) = 200x x2 30 G (x) = 200 x 15 = 0 = x = 3000 adet TV seti Şirketin üretebildiği TV setine göre G(x) fonksiyonu [0, 6000] aralığında olmalıdır. [0,3000) aralığında G (x) türevi pozitif olduğundan G(x) artar. (3000,6000) aralığında G (x) türevi negatif olduğundan G(x) azalır. (3000,G(3000)) = (3000, ) yerel max değerdir. Buna göre şirketin max geliri TL olur. K (x) = G(x) M(x) = xp(x) M(x) ) = (200x x2 ( x) 30 = x x K (x) = x K (x) = 0 = x = 2100 TV seti üretmesi haline kâr max olur. K (2100) = TL. p(2100) = c) TV seti başına 5 TL vergi ödenirse; = 130 TL bir TV setinin satış fiyatı. M(x) = x + 5x = x K (x) = 200x x2 x2 65x = + 135x K (x) = x = 0 = x = K (2025) = p(2025) = 132 olur. Buna göre max kâr 2025 TV seti üretince oluşur. Bir TV setinin fiyatı 132 TL olmalıdır.

31 130 BÖLÜM 9. DERS /11 M(x) = x p(x) = x, 0 x a) G(x) = xp(x) = 500x 0.025x 2 G (x) = x = 0 = x = G(10000) = = Gelir TL olur. b) K (x) = G(x) M(x) = 0.025x x K (x) = 0.05x = 0 = x = 3000 K (3000) = p(3000) = 425 K (x) kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. Ox-eksenini ( , 0) ve ( ) noktalarında keser. Tepe noktası (3000, ) dir. Kâr TL, soba birim fiyatı 425 TK olur. c) Soba başına 5 Tl vergi ödenirse; M(x) = x + 5x = x K (x) = 0.025x x 355x = 0.025x x K (x) =.0.05x = 0 = x = = K (2900 = p(x) = olur. Buna göre 2900 soba üretilirse max kâr oluşur: TL. Soba başına fiyat Tl olmalıdır.

32 9.2. ALIŞTIRMALAR / 12 Şekil 9.28: Soru 9-12 a) N (t) = t 2 t 3, (00) N (t) = 72t 3t 2 = 0 = t 1 = 0, t 2 = 24 Tanım bölgesi [0, 30] aralığıdır. Türev [0, 24) aralığında pozitif olduğundan N (t) artar. Türev (24,30] aralığında negatif olduğundan N (t) azalır. N (t) nin grafiği (0,100), (24,79129), (36.741,0) noktalarından geçer. y = x 3 eğrisine benzetilebilir Mutlak max değeri (24, N (24) = (24,7912) bakteridir. Verilen aralıkta min değeri yoktur. b) N (t) = 72 6t = 0 = t = 12 için bakteri arışı en çoktur.

33 132 BÖLÜM 9. DERS / 13 Şekil 9.29: Soru 9-13 M(x) = x 100lnx, (0, ) M (X ) = x M (x) türevi (0,1) aralığında negatif olduğundan M(x) azalır. (1, ) aralığında pozitif olduğundan M(x) artar. min noktası (1,700) dür. M(x) = 600 x lnx x minimum ortalama gider: M (x) = M(x) x = 600 x lnx x 100lnx = 700 = lnx = 7 = x = e M(x) = M(e 7 ) olur.

34 9.2. ALIŞTIRMALAR / 14 Şirket parçayı üretip depo ederse yılda gider = TL olacaktır. x adet üretip depo ederse gideri 625x + x = 626x olacaktır. Bu durumda (10000 x) adet üretilmeyecek ve depolanmayacaktır. Bunu maliyetten düşersek; yeni maliyet M(x) = (10000 x) = 626( x + x 2 ) olacaktır. M(x) kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Bunun min değerine ulaştığı x değeri x = b 2a = = 5000 formülünden ya da M (x) = 0 dan hesaplanabilir. M (x) = 526( x) = 0 = x = 5000 çıkar. Her parçanın her yıl üretilmesi gerektiğini düşünürsek; yılda = 2 kez üretim yapılmalıdır. Aslında, 5000 adedi iki kez üretip depo edince şirketin gideri gene = olur. Dolayısıyla şirketin üretimi iki kez yapmasından bir kazancı olmaz.

35 134 BÖLÜM 9. DERS / 15 Şekil 9.30: Soru 9-15 M(x) = x, p(x) = x, 0 x a) G(x) = xp(x) = 10x 0.001x 2 G (x) = x = 0 = x = 5000 G(5000) = = = = K (2900) = p(x) = b)

36 9.2. ALIŞTIRMALAR K (x) = G(x) M(x) = 10x 0.001x 2 2x 500 = 0.001x 2 + 8x 500 K (x) = 0.002x + 8 = 0 = x = 4000 K (4000) = p(4000) = 6

37 136 BÖLÜM 9. DERS / 16 x y = 100 Çevre = C ; y = 100 x C = 2(x y + 14) = 2x y + 28 = 2x + 2y + 68 = 2x x + 68 C (x) = x 2 = 2x2 200 x 2 C (x) = 0 = x = ±10 Şekil 9.31: Soru 9-16 x + 20 = 30 = y + 14 = 24 = x = 10, y = 10 cm olur. Çerçevenin boyutları: olmalıdır.

38 9.2. ALIŞTIRMALAR / 17 Şekil 9.32: Soru 9-17 x = 65 (0.5)p p(x) = 130 2x M(x) = x + x 2 G(x) = xp(x) = 130x 2x 2 K (x) = G(x) M(x) = x 3x 2 K (x) = 120 6x = 0 = x = 20 K (x) kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. (5.858, 0) (34.141, 0) noktalarında Ox-eksenini keser. Tepe noktsı (max) : (20,600) dür. Haftada 600 ürün üretmelidir.

39 138 BÖLÜM 9. DERS / 18 Şekil 9.33: Soru 9-18 p d (x), p y (y), sırasıyla düşük ve yüksek kalite çelik fiyatlarını göstersin. Birim fiyatı 1 TL olarak gösterelim. Toplam ürün: x + y tondur. 40 5x y = 10 x p y (y) = 2p d (x) 80 10x = 10 x 40 5x x + y = x + 10 x 40 5x p(x + y) = x + 10 x = x2 + 5x x G(x) = x.p(x + y) = x3 + 5x x 10 x G (x) = 2x3 35x x x G (x) = 0 = x 1 = , x 2 = , x 3 =

40 9.2. ALIŞTIRMALAR G(x) gelir fonksiyonu ( ), ( 2.162, 4.358), ((0, 0), (7.796, ) noktalarından geçer. [0, ) aralığında max nokta: (7.796, ) dır. Günde ton çelik üretildiğinde max gelir elde edilir. p y (y) = 2p d (x) olduğundan x +y = = 3x = = x = , y = ton çelik üretmelidir.

41 140 BÖLÜM 9. DERS / 19 Şekil 9.34: Soru 9-19 OB yatay doğrultusunda yumuşak toprak x metre, sert toprak y metre olsun. OB = x + y = 600 DC = (600 x) 2 + (240) 2 M(y) = 50(600 y) y 2 + (240) 2 M (y) = 50 + M (y) = 0 = 50 = = 0 = 50 = 0 = y y y y y = 130y y = 26y = 0 = 100(y = 676y 2 = 0 = 100y = 676y 2 = 0 = 576y 2 = = 0 = 100y ± 100 Uzunluk negatif olmayacağından, y = 100 alınmalıdır. Bulunan bu kök maliyeti minimum yapan x değeridir. M(y) maliyet fonksiyonu kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün minimum noktası (100, M(100))

42 9.2. ALIŞTIRMALAR noktasıdır. y = 100 olduğuna göre, yumuşak topraktaki yatay uzunluk x = 600 y = 500metre olur. Bulunan çözümün doğruluğunu sağlamak için y = 0, 100, 600 değerlerine karşılık gelen M(y) değerlerini bulalım: M(100) = = (9.1) M(0) = (240) = (9.2) M(600) = (9.3) Bu üç değerin en küçüğü y = 100 için M(100) = değeridir.

43 142 BÖLÜM 9. DERS / 20 Gelir fonksiyonu: G(x) = (35 + x)(37 0.7x) = x 24.5x 0.7x 2 = 0.7x x G (x) türevi: G (x) = 1.4x G (x) = 0 = 14x = 125 = x = x 9 Gelir [0,48] aralığında tanımlıdır. [0,9) aralığında G (x) > 0 ve G ( 9) = 0 (9,48] aralığında G (x) < 0 dır. Max kâr x= = 44 yolcu için sağlanır.

44 9.2. ALIŞTIRMALAR / 21 Köşelerden kesilen karelerini kemnar uzunlıklarına h diyelim: V (h) = (15 h)(24 h)h = h 3 39h V (h) = 3(h 2 26h V (h) = 0 = h 1 = 6, h 2 = 20 olur. h 2 koşulu sağlamadığından h 1 = 6 cm olmalıdır. Bu durumda hacım V = (15 6)(24 6)6 = 972 cm küp olur.

45 144 BÖLÜM 9. DERS / 22 h(x) = 2 x 1 x, (x > 0) 2 h (x) = 1 1 x 2 = 2 x 2 x h (x) = 0 = x = 4 h(4) = 2 Bitkinin max yüksekliği (4,2) dir.

46 9.2. ALIŞTIRMALAR / 24 M(x) = 2x x + 32 M (x) = M(x) = 4x + 10 = 2x x = 2x = 32 x = x2 = 16 = x = ±4 x = 4 birim oeralama maliyeti mnimize eden ürün seviyesi olur.

47 146 BÖLÜM 9. DERS / 25 G(x) = xp(x) = 100x x3 K (x) = G(x) M(x) = 100x x3 3 K (x) = 100 2x 3 x x 3 50 K (x) = 0 = x = ±100 3 ( x x2 3 ) x + 3 [0,110] tanım bölgesinde negatif değer olmadığından x = 100 birim ürün istenen çözümdür.

48 9.2. ALIŞTIRMALAR / 26 p(x) = x 2 100x , (0 x 120) M(x) = 2 3 x2 40x x M(x) = 2 3 x3 40x K (x) = G(x) M(x) = x 3 100x x 2 3 x3 + 40x K (x) = 1 3 x3 60x x K (x) = x 2 120x43200 = (x 40)(x 89) = 0 = x 1 = 40, x 2 = 80 (0,40) aralığında kâr artar. (4,80) aralığında kâr azalır. (80,120) aralığında kâr artar. Kârın max olduğu üretim seviyesi x = 40 da 40 tondur. Kârın min olduğu üretim seviyesi x = 80 de 40 tondur.

49 148 BÖLÜM 9. DERS / 26 Şekil 9.35: Soru:9-27 Şekilden görüldüğü gibi M(x) gider eğrisini G(x) gelir doğrusu iki noktada kesmektedir. Gelir doğrusunun gider eğrisi üzerinde kaldığı bölgede kâr oluşur; gelir doğrusunun gider eğrisi altında kaldığı bölgede zarar oluşur. Buna göre, a) Bkz 9.35 b) Gelir ve gider fonksiyonlarının alt kesişim noktasının apsisi olan 58 istenen değerdir. c) Gelir ve gider fonksiyonlarının üst kesişim noktasının apsisi olan 80 istenen değerdir. ç) Üst kesişim noktasının apsisidir. d) 100 adet üretim olduğunda gider fonksiyonu gelir fonksiyonunun üzerinde kaldığı için zarar oluşur. e) Alt kesişim noktasını apsisi 100 olan noktaya getirmek gerekir ki bu x = 50 için sağlanır.

50 128 BÖLÜM 9. DERS 09

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm:

Ders 06. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm: 42 Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ

ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları

13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2 . lt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 dik açı B) 4 dik açı C) 8 dik açı D) dik açı E ) dik açı Bir konveks çokgenin iç açıları toplamını veren bağıntı

Detaylı

eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının

eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının eğim Doğrunun eğimi Eğim konusunu koordinat sistemine ve doğrunun eğimine taşımadan önce kareli zemindeki doğru parçalarının eğimini bulmaya çalışalım. Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir?

1998 ÖYS. 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7. iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? 99 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal saısının 7 katı, iki basamaklı bir doğal saısına eşittir. Buna göre, doğal saısı en az kaç olabilir? A) B) C) 6. Bugünkü aşları 6 ve ile orantılı olan iki kardeşin 6 ıl sonraki

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI

;] u Y hb* p(a/ > V aaa!a!a!a!!!!!a! BASIN KİTAPÇIĞI BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Matematik Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Eğri-Çizme Teknikleri Bu konuda ele alacağımız 3 alt başlık yer alır. Alt Başlıklar

Detaylı

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.

AYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır. AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI =f() fonksio - nunun ekseninin kestiği noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b f()= denkleminin kökleridir n =f() in p eksenini kestiği nokta

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,

Detaylı

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun

fonksiyonunun [-1,1] arasındaki grafiği hesaba katılırsa bulunan sonucun . UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II FİNAL SORULARI ÇÖZÜMLERİ d belirli integralinin aşağıdaki çözümünün doğru olup olmadığını belirtiniz. Eğer çözüm yanlış ise sebebini açıklayınız.

Detaylı

alalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay

alalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay 1 DİK (KARTEZYEN) KOORDİNAT SİSTEMİ: Bir O noktasında dik olarak kesişen ata ve düşe doğrultudaki iki saı eksenini ele alalım. O noktasına, u eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif saılar,

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 :

Örnek...1 : Örnek...3 : Örnek...2 : FONKSİYONLR FONKSİYONUN EKSENLERİ KESİM NOKTLRI fonksionunun ekseninin kestiği k noktaların m apsisleri b, c, e dir. u noktalar a b c f()= denkleminin n kök leridir p in eksenini kestiği nokta ise (,p)

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ

25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ 25. KARARLILIK KAPALI ÇEVRİM SİSTEMLERİNİN KARARLILIK İNCELENMESİ a-) Routh Hurwitz Kararlılık Ölçütü b-) Kök Yer Eğrileri Yöntemi c-) Nyquist Yöntemi d-) Bode Yöntemi 1 2 3 4 a) Routh Hurwitz Kararlılık

Detaylı

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? 996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

( ) ( ) { } ( ] f(x) = sinx fonksiyonunun x=0 için türevi aşağıdakilerden hangisidir. 3 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden

( ) ( ) { } ( ] f(x) = sinx fonksiyonunun x=0 için türevi aşağıdakilerden hangisidir. 3 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden . 4 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden hangisidir? B) 4 E ) (mod 7) (mod 7) 6 (mod 7) 6 4 (mod 7) 4 (mod 7). R R olduğuna göre f : f() = - fonksiyonunun tanım kümesi nedir? { :-< < } B)

Detaylı

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-3

Analiz II Çalışma Soruları-3 Analiz II Çalışma Soruları- Son güncelleme: 44 (I)( A ) Aşağıdaki fonksiyon için verilen noktaların ektremum nokta olup olmadıklarının gözlemini yapınız y y f ( ) a b c d e k r s ( B) Aşağıdaki fonksiyonların

Detaylı

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır?

2) Bir mağazada, bir ürüne satış fiyatı üzerinden %7 indirim yapılmış. Eğer yeni fiyatı 372 TL ise, kaç liralık indirim yapılmıştır? MATE 106 SOSYAL BİLİMLER İÇİN TEMEL ANALİZ Ad-Soyad No Uygun cevabı bulunuz. 1)A = πr2 formülü r yarıçaplı çemberin A alanını vermektedir. Bir masa örtüsü A alanına sahipse, yarıçapını A'nın bir fonksiyonu

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Selçuk Üniversitesi 26 Aralık, 2013 Beyşehir Turizm Fakültesi-Konaklama İşletmeciliği Genel Ekonomi Dr. Alper Sönmez. Soru Seti 3

Selçuk Üniversitesi 26 Aralık, 2013 Beyşehir Turizm Fakültesi-Konaklama İşletmeciliği Genel Ekonomi Dr. Alper Sönmez. Soru Seti 3 Soru Seti 3 1) Q D = 100 2P talep denklemi ve Q S = P 20 arz denklemi verilmiştir. Üretici ve tüketici rantlarını hesaplayınız. Cevap: Öncelikle arz ve talep denklemlerini eşitleyerek denge fiyat ve miktarı

Detaylı

Bölüm 2. Bir boyutta hareket

Bölüm 2. Bir boyutta hareket Bölüm 2 Bir boyutta hareket Kinematik Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri tanımlar Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Çözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri

Çözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri Bölüm 5 Çözümlü Limit Süreklilik Problemleri. 2 fonksiyonunun tanım bölgesini = noktasındaki itini bulunuz. Paydanın 0 değerini aldığı = noktasında fonksiyon tanımlı değldir. Tanım bölgesini T (f ) ile

Detaylı

7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 7. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.7. MALİYET TEORİSİ: YENİDEN Sabit Maliyetler (FC): Üretim miktarından bağımsız olan maliyetleri

Detaylı

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?

1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir? HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

11 SINIF MATEMATİK. Fonksiyonlarda Uygulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri

11 SINIF MATEMATİK. Fonksiyonlarda Uygulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri SINIF MATEMATİK Fonksionlarda Ugulamalar Denklemler ve Eşitsizlik Sistemleri Fonksionlarla İlgili Ugulamalar İkinci Dereceden Fonksionlar ve Grafikleri Fonksionların Dönüşümleri Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f :R R, =f ( fonksionuna düzlemde A karşılık gelen f( +h eğri anda ki =f( P gibi olsun. f( Eğrinin P(,f( noktasındaki teğetlerini +h araştıralım. Bunun için P(,f( noktasının sağıda

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x)

6 II. DERECEDEN FONKSÝYONLAR 2(Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MATEMATÝK. y f(x) f(x) 6 II. DERECEDEN FNKSÝYNLR (Parabol) (Grafikten Parabolün Denklemi-Parabol ve Doðru) LYS MTEMTÝK 1. f(). f() 6 8 T Yukarıda grafiği verilen = f() parabolünün denklemi nedir?( = 6) Yukarıda grafiği verilen

Detaylı

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik

ÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ

İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ TANIM: a, b, c R ve a olmak üzere, f : R R, = f ( ) = a + b + c fonksionuna, ikinci dereceden bir bilinmeenli fonksion denir. { } (, ) : = f ( ) R kümesinin

Detaylı

Bir boyutta sabit ivmeli hareket..

Bir boyutta sabit ivmeli hareket.. Bir boyutta sabit ivmeli hareket.. İvme sabit olduğunda, ortalama ivme ani ivmeye eşit olur. Hız hareketin başından sonuna kadar aynı oranda artar veya azalır. a x = v xf v xi t ; t i = 0 ve t f = t alınmıştır

Detaylı