JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur."

Gözde Nazlı
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen ve izotrop (yön bağımsız) olduğunu, deprem odağının bir noktadan ibaret olduğunu, ve depreme neden olan kuvvetlerin çok kısa süreli olduğunu kabul edeceğiz. Bu koşullar altında deprem dalgalarını esnek dalgalar olarak inceleyebiliz. Homojen Cisim: Cismin herhangi bir fiziksel özelliği hacmi içinde noktadan noktaya değişmezse cisme homojen cisim denir. İzotrop: Eğer cismin özellikleri cismin içinde doğrultuya bağlı değilse buna izotrop cisim denir. Anizotrop: Cismin özellikleri cismin içinde doğrultuya bağlı olarak değişiyorsa buna anizotropi denir. 1

2 Gerilme () Elastik Cisim Bir kuvvetin etkisi altında deformasyona uğrayan ve kuvvet kalktıktan sonra eski durumuna dönen cisme elastik cisim, böyle bir deformasyona da elastik deformasyon denir. Elastik bir ortamda gerilme ile yamulma arasında doğrusal bir ilişki vardır. Bu ilişki Hooke yasası ile açıklanabilir. Hooke Kanunu Gerilme (Stress) ve Bileşenleri =E. =Gerilme E= Elastik parametre = yamulma elastik Deformasyon A B Gerilme, cisimde birim alana isabet eden kuvvettir. Gerilme S alanı üzerine etki eden f kuvvetinin bu alana bölümü şeklinde tanımlanır. Gerilmenin matematik ifadesi O A cisme gerilme uygulanır, gerilme kaldırıldığında cisim eski haline döner. A B yamulma doğrusal değildir. Buna Deformasyon denir. Kopma yoksa başka bir yerden geri dönüş olur( A C ). Buna kalıcı deformasyon denir. O C Kalıcı Deformasyon Yamulma ( ) S yüzeyine etki eden kuvvet 2

3 Gerilmeyi matematiksel olarak incelemek için kartezyen koordinat sisteminde bileşenlere ayırmak yararlı olur. Bunun için gerilmeyi koordinat eksenlerine dik olan üç düzlemdeki bileşenlerine ayırmak gerekir. Birim Kübün Yüzeyine Etki Eden Gerilme Bileşenleri z zx xx zz xz 2. indis kayma gerilmesinin kendi doğrultusunu gösterir. zy yz xy 1. indis gerilmenin etki ettiği yüzeyin dış normalinin doğrultusunu yx yy y zz zy P zz zy x Eksenleri x 1, x 2, x 3 olarak gösterilen kartezyen koordinat sisteminde kübün yüzeyine etki eden gerilme bileşenleri Bir cismin içinde herhangi bir o noktasına etkiyen gerilme xx xy xz yx yy yz zx zy zz ile verilir. Birim küpte gerilme hali 9 bileşenle tanımlanır. Bu tür büyüklüklere tansörel denir. Gerilme 9 tane bileşeni olan bir tansördür. 3

4 Gerilme bileşenleri birbirinden bağımsız değildir. Göz önüne aldığımız elemanter küp, denge halinde olduğundan kübe etki eden kuvvetlerin denge halinde olması gerekir. Yani kübe etki eden kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Kübün merkezinden geçen ve z eksenine paralel bir eksen etrafında döndürmeye çalışan gerilmeleri göz önüne alalım. Bunu yapabilecek gerilme bilesenleri xy ve yx dir. Kübümüz dengede olduğundan bu 2 gerilmenin Z eksenine göre momentleri toplamı sıfır olmalıdır. a a xy. a. yx. a. 0 xy xy yx yx Benzer şekilde Y ve X eksenlerine göre momentleri toplamı sıfır yapılarak, yz = zy, xz = zx bulunur. (Moment=Gerilme. Gerilmenin etkilediği alan. Moment kolu) 4

Böylece gerilme; xx xy xz = xy yy yz xz yz zz Şeklinde yazılabilir. 9 tane gerilme bileşeninin 6 tanesi birbirinden bağımızdır. Gerilmelerden üç tanesi yüzeye diktir.

zz Normal gerilme tesir ettiği yüzeyin dış normali doğrultusunda ise çekme gerilmesi denir (+) dir. Eğer cismin içine doğru yönelmişse basınç gerilmesi denir ( )dir.

5 Böylece gerilme; xx xy xz = xy yy yz xz yz zz Şeklinde yazılabilir. 9 tane gerilme bileşeninin 6 tanesi birbirinden bağımızdır. Gerilmelerden üç tanesi yüzeye diktir. Bunlara xx yy NORMAL GERİLME denir. Diğer altı tane gerilme ise yüzey içinde kalır. xy xz yz yx zx zy ise TEĞETSEL GERİLME (yada KAYMA GERİLMESİ) bileşenleri denir. zz Normal gerilme tesir ettiği yüzeyin dış normali doğrultusunda ise çekme gerilmesi denir (+) dir. Eğer cismin içine doğru yönelmişse basınç gerilmesi denir ( )dir. Kayma gerilmesinde ise tesir ettiği düzlemin dış normali ile kendi yönü A. İkisi birden pozitif ise B. her ikiside negatif ise Pozitif işaretini taşır Kayma gerilmesinin kendi yönü ile etkidikleri dış normalin yönleri farklı işaretli ise bunlar - işareti alır. GERİLME BİLEŞENLERİ Teğetsel gerilmeler ise; xy yz zx xy yz zx 5

6 YAMULMA (STRAIN) Bir cismin birim miktarında gerilmeye karşı meydana gelen şekil ve hacim değişmesine yamulma (veya birim deformasyon) denir. Elastik yay üzerinde sadece x yönüne etki eden bir gerilme durumu düsünelim. Bir O noktasından sabitlenmis elastik bir yay durumundaki değişikliğin nasıl olacağına bakalım; Yay üzerindeki L noktası gerildikten sonra L noktasına u uzaklığına hareket eder ve M noktası da M noktasına u+du uzaklığına ulaşır. x yönündeki yamulma (e xx ) şöyle yazılabilir; e xx = (LM nin boyundaki değişim)/(lm nin orjinal boyu) ( L ' M ' LM ) xx LM ( x u x) xx x xx u / x Limit durumunda (x=0) L noktasındaki yamulma, xx =u/x olur. Analizi x ve y olarak iki boyutlu genişletirsek, şekildeki gibi x-y düzlemindeki bir dikdörtgende oluşan deformasyonu hesaba katmamız gerekir. LMN noktaları L M N noktalarına taşınır. L( x, y) y L u u dy y v v dx x M ( x x, y) N( x, y y) L'( x u, y v) M '( x u u ( u / x) x, y v ( u / x) x N '( x u ( u / y) y, y y v ( v / y) y) x x-y düzlemindeki bir dikdörtgende oluşan deformasyon. Hem şekil hemde dönme sözkonusudur. 6

7 Şekilde dikdörtgen boyutunu değiştirdiği kadar şeklinide değiştirir. NLM açısı 12(kayma açısı ) kadar azalır = v/x + u/y Dikdörtgenin seklinde bir değişim olduğu kadar, saatin tersi yönünde ile simgelenen ½( 1-2 ) kadarlık bir açıyla dönme söz konusudur. 1 ( 1 2 ) 2 1 v u ( ) 2 x y, y ekseninde saatin tersi yönünde bir açıdır. j Yamulma kuramına göre sonsuz küçük v/x, u/y ihmal edilebilir. Şekildeki dikdörtgen için değişimin ölçüsü kayma bileseni olarak adlandırılır ve yx olarak yazılır. Yamulma tansiyonel bir büyüklüktür; 1 ij ( ui, j uj, i ) 2 U yerdeğiştirme İlk indis (i) bileşen İkinci indis (j) türevi gösterir. j Uzaklık ortamında türevdir x j NORMAL YAMULMA BİLEŞENLERİ Gerilmede olduğu gibi yamulmada da normal ve teğetsel bileşenler tanımlanır. Yamulma bileşenleri şöyle tanımlanır; U xx x V yy y zz z xx, yy, zz Uzunluktaki değişim miktarlarını gösterir. olması halinde yamulma 7

8 TEĞETSEL YAMULMA BİLEŞENLERİ- Kayma Deformasyonları v u xy yx x y v zy yz y z u xz zx z x Dönme Bileşenleri w v x y z u w y z x v u z x y Yamulmadan sonra cisimde oluşacak bağıl hacim değişimi V/V= ya kübik dilatasyon denir. U=iu+jv+kw Yerdeğiştirme vektörü (U) nün bileşenleri u, v, w dir. Kübik dilatasyon ile dönme vektörü w yı bulmak için aşağıdaki vektör işlemleri uygulanır. Kübik dilatasyon =U = xx + yy + zz =V/V Rotasyon W= xu=i W x +jw y +kw z 8

9 ESNEK CİSİMLERDE GERİLME İLE YAMULMA ARASINDAKİ İLİŞKİLER Normal gerilmeler, xx =(+2) xx + ( yy + zz ) =+2 xx yy =(+2) yy + ( zz + xx ) =+2 yy zz =(+2) zz + ( xx + yy ) =+2 zz dir. Esnek cisimde gerilmelerle yamulmalar orantılıdır. Teğetsel gerilmeler; xy = xy yz = yz zy = zx dir. Normal yamulmalar, xx =1/E[ xx - ( yy + zz )] yy =1/E[ yy - ( zz + xx )] zz = 1/E[ zz - ( xx + yy )] E:young modülü ESNEKLİK PARAMETRELERİ Teğetsel yamulmalar, xy =1/ xy yz =1/ yz zx =1/ zy dir. E, gerilmenin bağıl uzamaya oranıdır. Young modulü olarak tanınır. E= p/(l/l), Gerilme sonucunda bağıl kısalmanın (d/d), bağıl uzamaya (L/L) oranı dır. Poisson oranı olarak tanımlanır. σ =(d/d)/ (L/L), tegetsel gerilmenin teğetsel yamulmaya oranıdır (Esnek cismin şekil değiştirmeye karşı gösterdiği direnç). Rijidite olarak tanımlanır. =d/d k, esnek cismin hacim değişimine karşı gösterdiği dirençtir (Gerilme/ birim hacim değişimi). Sıkıştırılmazlık olarak tanımlanır. k=- p/ (v/v) P:Basınç gerilmesi :teğetsel gerilme 9

10 Çeşitli esneklik parametri arasındaki ilişkiler (3 2 ) E E k 3(1 2 ) 2 k 3 E 3 k(1 2 ) 2( 1) 2(1 ) 10

Benzer belgeler

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F