BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ"

Yağmur Batur
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 BAZI ÖZEL TİP İRRASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM TEKNİKLERİ Gerek lise müfredatında gerekse Tübitak İlköğretim ve Lise sınavlarında, sıkça karşılaşılan soru tiplerinde biri de irrasyonel denklemler ve bu denklemleri çözüm sayılarıdır. Hernekadar bu yazıda sadece bir kaç özel form üzerinde duruluyor olsada, tahmin edileceği üzere formları birkaç sayfaya sığdırmak imkansızdır. Özel formun ve örneklerinin, çözümleriyle verildiği yazımıza ilk formumuzla başlayalım. 1 αp(x) + βq(x) + γ P(x)Q(x) = 0 (αβγ 0) Formu 1.1 Çözüm Basamakları Eğer verilen denklemde, P(x) = 0 durumu varsa, Q(x) = 0 olduğu açıktır. Bundan dolayıda, { P(x) = 0, Q(x) = 0 sistemini çözmek yeterlidir. Ancak, verilen sistemde P(x) 0 olarakta verilebilir. Bu durumda denklemin her iki tarafını P(x) ile bölerek, α + β Q(x) P(x) + γ Q(x) P(x) = 0 eşitliği bulunur. Buna göre, varsayalım t = Q(x) P(x) (t 0) olsun. Eğer genel denklem yeni t değişkenine göre düzenlenirse βt 2 + γt + α = 0 denklemi elde edilirki buradanda denklemi önce t değişkenine göre ardındanda x değişkenine göre çözmek oldukça kolaydır. Örnek 1.1 2(x 2 3) = 3 x (1) denklemini reel sayılar kümesinde çözünüz. 1

2 Çözüm. Soruda verilen (1) denklemini düzenlersek, 2(x 2 2x + ) 2() = 3 ()(x 2 2x + ) eşitliğini elde ederiz. Burada x 2 2x + = (x 1) > 0 olduğundan, x 2 olması gerektiği açıktır. x = 2 durumunun (1) denkleminin bir kökü olmadığı açıktır. Buna göre eşitliğin her iki tarafını (x+2) ile bölersek, 2(x 2 2x + ) 3 x 2 2x + denklemini elde ederiz. Soruyu daha basite indirgemek için, x t = 2 2x +, (t 0) değişken değiştirmesini yaparsak yeni denklemimiz 2t 2 3t 2 = 0 2 = 0 Buradan, t = 2 veya t = 1 2 ( olamaz!) değerlerini bulmak zor değildir. Eğer t = 2 durumu varsa, x 2 2x + = 2 x 2 6x = 0 denklemi elde edilir. Eğer bu denklem x değişkenine göre çözülürse, değerlerine ulaşılır. Buna göre, (1) denkleminin kökleri (2) deki değerler x = veya x = 3 13 (2) 2 α(p(x) + Q(x)) + β( P(x) ± Q(x)) ± 2α P(x)Q(x) + γ = 0 Formu 2.1 Çözüm Basamakları Varsayalım t = P(x) ± Q(x) olsun buna göre, eğer eşitliğin iki tarafınında karesi alınırsa eşitliği elde edilir. Buradan da verilen denklem t 2 = P(x) + Q(x) ± 2 P(x) Q(x) αt 2 + βt + γ = 0 formuna dönüşür. Burada α ve β değerleri aynı anda sıfır olamaz dolayısıylada αt 2 +βt +γ = 0 denklemi ya bir lineer denklem yada bir kuadratik denklem Dolayısıyla, denklemi t değişkenine göre çözdükten sonra, t = P(x) ± Q(x) değişken değiştirmesiyle çözüme ulaşılır. Not 2.1 Genel denklem formunda α 2 + β 2 0 eşitliği vardır. 2

3 Örnek 2.2 2x x + 1 = 3 2x 2 + 5x (3) Denklemini çözünüz. Çözüm. Eğer soruda verilen denklemi düzenlersek 2x x + 1 = 2x x (2x + 3)(x + 1) 20 denklemini elde ederiz. Eğer burada, t = 2x x + 1 (t 0) dönüşümü yapar ve bu eşitliğin her iki tarafınında karesini alırsak t 2 = 3x x + 3 x + 1 denklemini elde ederiz. Buna göre, verilen denklem, t 2 t 20 = 0 halini alır. Buradan t değişkenleri t = (bu değer olamaz!) veya t = 5 Eğer t = 5 olarak alırsak, { { { x 1 2x + 3+ x + 1 = 5 2 2x x 7, 1 x 7, x + 1 = 21 3x x 2 16x + 29 = 0 x 2 16x + 29 = 0 sistemlerinden, 1 x 7 x = x = x = olarak bulunur. 3 ax 2 + bx + c = px 2 + qx + r, a p = b q Formu 3.1 Çözüm Basamakları Bu tür denklemlerde çözüme ulaşmak için t = px 2 + qx + r (t 0) dönüşümü yapılırsa, genel denklem formumuz αt 2 +βt +γ = 0 Bu denklemide, önce t değişkenine sonrada x değişkenine göre çözerek, sonuca ulaşırız. Örnek 3.1 x x + 9 = 5 2x 2 + 5x + 3 () denklemini çözünüz. 3

4 Çözüm. Eğer çözüm için t = 2x 2 + 5x + 3 (t 0) değişken değiştirmesini uygularsak, t 2 = 2x 2 + 5x + 3 2t = x x + 9 eşitliğini elde ederiz. Buna göre soruda verilen denklem 2t 2 5t + 3 = 0 t = 1 veya t = 3 2 Buna göre çözümü her iki t değeri içinde yapmamız gerekmektedir. Eğer t = 2 ise, 2x 2 + 5x + 3 = 1 eşitliğinden Eğer t = 3 2 ise 2x 2 + 5x + 3 = 3 2 eşitliğinden 2x = 0 x = 2 veya x = 1 2 8x x + 3 = 0 x = 5 ± 19 Buna göre () denkleminin çözüm kümesi { 2, 1 2, 5 ± 19 } F(x) + a ± F(x) = b Formu.1 Çözüm Basamakları Genel formda verilen eşitliğin her iki tarafını F(x) + a ± F(x) ile çarparsak (bu ifade sıfırdan farklıdır),aşağıda verilen denklem sitemine ulaşırız. Öyleki, sitemini çözerek çözümlere ulaşılabilir. { F(x) + a ± F(x) = b F(x) + a ± F(x) = b a Örnek.1 x 2 + 5x x 2 + 5x + 7 = 3 (5) denklemini çözünüz.

5 Çözüm. Önce kök içerisinde verilen denklemlerin pozitif olduğu yerleri ve x değişkeninin durumlarını inceleyelim. Buna göre, x 2 + 5x + 7 = (2x + 5 ) > 0 x; x 2 + 5x + 1 = (2x + 5 ) x olduğuna göre x 1 2 veya x 1 Eğer verilen (5) eşitliğinin her iki tarafını x 2 + 5x + 7 x 2 + 5x + 1 ile çarparsak, elde edeceğimiz yeni denklem x 2 + 5x + 7 x 2 + 5x + 1 = 2 (6) Eğer, (5) ve (6) denklemlerini taraftarafa toplayıp işlemi devam ettirirsek, yeni denklemimiz 16x x + 3 = 0 Bu denklemin kökleride, { 10 ± 2 13} 5 Alıştırmalar Açıklamalı çözümlerle anlatmaya çalıştığımız teknikleri kullanarak veya kendi metodlarınızla aşağıda verilen 5 örneği kendiniz çözmeye çalışınız x + x = x 2 3x + 1 x x + 1 = 6x + 8x x x 2 18x + 5 = 3 3 9x x 2 + 5x + 1 3x 2 + 5x 7 = 2 3x x 1 + 3x x 1 = 3x + 5

Benzer belgeler

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi