Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA)

Transkript

1 VARYANS ANALİZİ İ örne ortalaması arasında farın önem ontrolü, örne büyülüğüne göre z veya testlernden bryle yapılır. Bu testlerle, den fazla örne ortalamasını brlte test etme ve aralarında farın önem ontrolünü yapma mümün değldr. İ veya daha fazla örne ortalaması arasında farın öneml olup olmadığını test ederen varyans analzne başvurulur. 1

2 e Yönlü Varyans Analz (ANOVA) e yönlü varyans analz, ya da daha fazla ortalamanın eştlğn, varyansları ullanara test etmeye yarayan br yöntemdr. amamen rassal deney tasarımı modellern analz etmete ullanılır. Varsayımları: Örnelern elde edldğ populasyonlar normal ya da yalaşı olara normal dağılış gösterr. Örneler bağımsızdır. Populasyon varyansları eşttr.

3 EK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ adet uygulamadan n terarlı bağımsız tesadüf örneler seçldğnde, bu örnelern ortalamalarından hareetle uygulama ortalamalarının brbrnden farlı olup olmadığı test edleblr. Öncelle adet uygulamayı belrl rterlere göre farlı şlem gruplarına ayırma gerer. Bu sınıflama şelnde, verler farlı şlem gruplarına ayrılıren şlem grubu çeresnde verler brbrnden bağımsız olur. e yönlü sınıflama durumunda verler şu şelde gösterlr. 3

4 İşlemler n n n n oplam 1 Ortalama 1 est Hpotezler Kurulablece sıfır hpotez ve alternatf hpotez aşağıda gb olur. H : H 1 : En az anaütle uygulama ortalaması brbrneeşt değldr 4

5 Hpotezler H 0 : 1 = = 3 =... = c üm populasyon ortalamaları eşttr. (Uygulamanın ets yotur.) f() 1 = = 3 H 1 : üm j ler eşt değldr. Populasyonlardan en az brnn ortalaması dğerlernnnden farlıdır. f() (Uygulamanın ets vardır.) 1 = 3 5

6 est İstatstğ: Varyans analznde temel amaç, den fazla örne çn ortalamalarının( lern) genel ortalama ( dan) sapmalarının areler toplamını (GK), bu sapmalara sebep olan unsurlar tbaryle ısımlara ayırma (HK) ve analz etmetr. Bu analz sonunda, örneler arasında uygunlu olup olmadığı yan söz onusu örnelern aynı uygulamaya at brer şans örneğ olup olmadıları da ortaya onulmuş olur. n 1 j1 ( ) j değernn, yan örnelerde bütün değerlernn genel ortalamadan gösterdler sapmaların areler toplamının aynağı vardır: j 6

7 oplam Değşenlğn Sebepler oplam Değşenl Gruplar arası değşenl Gruplar ç değşenl 7

8 n n ( j ) n( ) ( j 1 j1 1 1 j1 ) GK GAK GİK Eştlğn sol tarafında fadeye GENEL KARELER OPLAMI (GK) denr. Eştlğn sağ ısmında fadelern brncs örne ortalamalarının genel ortalamadan gösterdğ sapmalar, dğer se her br örnete değerlern end örne ortalamalarından gösterdğ sapmalardır. Brncsne, gruplar arası areler toplamı ( GAK ), ncsne grup ç areler toplamı ( GİK ) denr. Eşt örneler durumunda GK n 1 j1 j GİK n( ) GAK n 1 GK GAK j n 1 j1 1 n n( ) 8

9 Gruplar arası areler ortalaması s 1, gruplar ç areler ortalaması s bölünere varyans analznn test statstğ olan F değer elde edlr. Eşt örne hacmler durumunda varyans analz tablosu; Değşm Kaynağı Kareler oplamı Serbestl Dereces İşlem GAK v 1 =-1 Hata GİK v = (n-1) oplam GK n()-1 Kareler Ortalaması GAK s1 1 s GİK ( n 1) est İstatstğ F s s 1 :örne sayısı N:örne büyülüğü 9

10 Eşt olmayan örneler durumunda, toplam gözlem sayısı N le gösterlrse; GK N n j GAK 1 j1 1 n N GİK GK GAK Bu eştllerde üç varyasyon aynağının her br uygun br serbestl dereces le bölünere brer varyans elde edlr. Değşm Kaynağı Kareler oplamı Serbestl Dereces şlem GAK v 1 =-1 Hata GİK v = N- oplam GK N-1 1 j 1 Kareler Ortalaması GAK s1 1 s GİK N n est İstatstğ F s s 1 10

11 KRİİK DEĞER Çeştl önem sevyeler ve örne büyülüler çn s 1 / s nn hang notaya adar şansa verlebleceğ, hang notadan sonra öneml abul edlere örnelern farlı anaütlelere at oldularına hümedlebleceğ F cetvelleryle tespt edlmştr. Hesaplanan F değer, F tablosundan elde edlen rt değerden üçüse örne ortalamaları arasında farlılı tesadüf; yan şanstan ler gelmştr ve örneler aynı anaütleye attr. 11

12 Hesaplanan test statstğ, rt değerden büyüse örne ortalamaları arasında farlılığın öneml olduğuna hümedlr ve bu örnelern farlı anaütlelere at oldularına arar verlr. F değer, varyansın brbrne bölümü olduğu çn negatf değer almaz. Bu yüzden F dağılımı sağa çarpıtır. H 0 hpoteznn red bölges eğrnn sağ ucunda yer alır. 1

13 ÖRNEK 1: Br seradan n=5 büyülüğünde (teerrür) = 4 örneten (çeşt) aşağıda sonuçlar elde edlmştr. % 5 önem sevyesne göre örne ortalamaları arasında farın öneml olup olmadığını ; br başa deyşle, üretmn ontrol altında olup olmadığını varyans analz le ontrol ednz. I II III IV =40 =57600 =4 n=5 13

14 H 0 : I II III IV H 1 : En az anaütle ortalaması brbrneeşt değldr I 11 II 10 III IV 5 n 1 j1 j GK n j 97 9 n ( ) 5(4) 1 j1 GAK 1 n n( ) (4) 70 GİK = GK GAK = 9 70 = 14

15 Değşm Kaynağı şlem (GAK) Hata (GİK) Kareler oplamı Serbestl Dereces 70 v 1 =4-1= 3 v = 4(5-1) =16 Kareler Ortalaması s est İstatstğ s F oplam (GK) (4)-1=19 önem sevyes, v 1 =3 ve v = 16 sd. göre F tab = 3.4 est statstğ F 16.97, rt değerden ( F tab = 3.4) büyü olduğu çn % 5 önem sevyesnde H 0 hpotezn reddedere en az örne ortalamasının brbrnden farlı olduğuna arar verlr. Bu durum üretmn ontrol altında olmadığı anaatn 15 uyandırır.

16 ÖRNEK : Üç hormon uygulamasının Sultan üzüm çeşdnn salım ağırlığına etsn muayese etme steyen br araştırmacı aşağıda verler elde etmştr. Bu verlere göre uygulamaların ortalama ağırlılar arasında öneml br farlılığa neden olup olmadığını % 5 önem sevyesnde test ednz. I II III =3 N= =3363 =

17 H 0 : I II III H 1 : En az anaütle ortalaması brbrneeşt değldr I 5 II 7. 5 III n j1 j GK n j 1 j1 N n GAK GİK n 1 GK N GAK j 1 n

18 Değşm Kaynağı Kareler oplamı Serbestl Dereces Kareler Ortalaması est İstatstğ şlem v 1 =3-1 (GAK) Hata 30.5 v = 15-3 oplam s s.51 F önem sevyes, v 1 = ve v = 1 sd. göre F tab = 3,89 est statstğ F 16.69, rt değerden ( F tab = 3,89) büyü olduğu çn % 5 önem sevyesnde H 0 hpotezn red edere en az örne ortalamasının brbrnden farlı olduğuna arar verlr. En az uygulamanın Sultan üzüm çeşdnde salım ağırlığına etler brbrne eşt değldr. 18

19 AÖF Yöntemnden Yararlanara Farlı Çeştlern Belrlenmes A, B, C, D, E gb beş farlı zeytn çeşdnn ağaç verm ortalaması (g/ağaç) baımından arşılaştırma amacıyla yürütülen br denemeden şu gözlem değerler elde edlmştr. Buna göre bu beş zeytn çeşdnn ağaç vermlernn aynı olduğu söyleneblr m? Genel oplam=438, A B C D E 80,1 115,6 80,8 110,1 100,6 75,4 11, 91,1 11,4 108,4 68,3 118, ,6 111,4 73, 98,6 77,4 16,3 76,5 69,8 11,1 77,9 15,4 83,6 ΣA= 373,5 ΣB= 453,8 ΣC=576,6 ΣD=713,9 ΣE = 30,4 = 74,7 = 113,45 = 8,37 =118,98 = 106,8 n= 5 n= 4 n= 7 n= 6 n= 3

20 VK SD K KO F Genel ,79 ~ Gruplar Arası 4 847,58 061,9 Gruplar ç (Hata) ,1 56,91 36,3 A = 74,7 B = 113,45 C = 8,37 D = 118,98 E= 106, önem sevyes, v 1 =4 ve v = 0 sd. göre F tab =,87 est statstğ F=36.3, rt değerden ( F tab =,87) üçü olduğu çn % 5 önem sevyesnde H 0 hpotezn red edere örnelern verm değerlernn ortalamalarının en az snn brbrnden farlı olduğuna arar verlr. 0

21 DUNCAN testnden yararlanara farlı uygulamaların belrlenmes: A, B, C, D, E gb 5 farlı budama uygulamasının MM106 anacı üzerne aşılı 6 yaşında Granny Smth elma çeşdnde verm ortalaması (g/ağaç) baımından arşılaştırma amacıyla 5 er teerrürlü olara yürütülen br denemeden şu gözlem değerler elde edlmştr. Buna göre bu beş budama uygulamasının verm etledğ söyleneblr m? A B C D E 30,4 41,3 34,6 4,6 40,0 7,5 38,8 35,7,1 41,8 36,4 36,9 34,9 19,9 4,5,9 37,3 36,1 0,4 39,6 33,3 40,6 35,3 1,8 36,9 ΣA = 150,5 ΣB = 194,9 ΣC = 176,6 ΣD = 108,8 ΣE = 00,8 30,1 38,98 35,3 1,76 40,16 n= 5 n= 5 n= 5 n= 5 n= 5 = 831,6

22 Bu verlere göre varyans analz tablosu şu şelde oluşturulur; VK SD K KO F GK 4 191,9 ~ GAK ,04 83,51 GİK(HK) 0 157,88 7,89 35,93 Önce bu 5 grup ortalamasını üçüten büyüğe doğru sıralayalım. 1,76 30,1 35,3 38,98 40,16