5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "5.3. Tekne Yüzeylerinin Matematiksel Temsili"

Emine Giray
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 5.3. Tekne Yüzeylernn atematksel Temsl atematksel yüzey temslnde lk öneml çalışmalar Coons (53) tarafından gerçekleştrlmştr. Ferguson yüzeylernn gelştrlmş hal olan Coons yüzeylernde tüm sınır eğrler çn normalleştrlmş kübk splne eğrler kullanmaktadır. Coons yüzeyler esneklk kablyet le başarılı br yöntem olmasına rağmen yüzey kontrol kablyet le lgl br takım problemler bulunmaktadır. u problemlern br çoğu ezer yüzeylernn gelştrlmesyle gderlmştr. ezer yüzeynn matematksel fades aşağıdak gb verlmektedr; Q (u w) n 0 m j0 jj n (u)k m j u fadede j kontrol ağına at noktaları Jn Kmj se u ve w parametrk yönler çn ezer veya ernsten temel fonksyonlarını göstermektedr. ezer yüzeylernde de br takım problemler bulunmaktadır. (Kontrol noktası sayısı le belrlenen yüksek dereceler lokal kontrol yeterszlğ) u problemler -splne yüzeyler le büyük ölçüde gderlmştr. -splne yüzeylernn matematksel fades; Q(u w) n 1 m1 1 j1 j k (u) j u w u u w w k n 1 m 1 u fadede k(u) ve j u ve w parametrk yönlernde tanımlanmış k. ve. mertebeden temel fonksyonlardır. -splne yüzeyler pek çok bakımdan üstün özellkler le son on yılda blgsayar destekl gem dzaynında daha yaygın olarak kullanılmaya başlamıştır. atematksel eğr ve yüzeylern zaman çndek gelşm genel olarak Şekl 5.65 dek gb gerçekleşmştr: Ferguson Eğr ve Yüzeyler/ Hermte İnterpolasyon Eğrler (lokal kontrol ve sürekllk problemler) Coons Yüzeyler (lokal kontrol ve sürekllk problemler) ezer Eğr ve Yüzeyler (İyleştrlmş kontrol ve esneklk kablyet) İnterpolasyon Trz Eğr ve Yüzeyler (İyleştrlmş kontrol ve esneklk kablyet) -splne Eğr ve Yüzeyler (Üstün lokal kontrol ve esneklk kablyet) Gerlmel Trz Eğrler (İyleştrlmş kontrol) Şekl atematksel eğr ve yüzeylern kronolojk gelşm. (Yamaguch (54) ) eğrler tek parametre le tanımlanırken (t) yüzey fades çn (u w) olmak üzere k parametreye gereksnm vardır 95

2 Splne Yüzeyler -splne eğrler yüzeyler çn genelleştrlerek -splne yüzeyler elde edlmektedr. -splne yüzeyler -splne eğrlernn sahp olduğu tüm özellklere sahptr. atematksel denklem de -splne eğrlerne benzer olarak aşağıdak gbdr: Q(u w) n 1 m1 1 j1 j k (u) j u w u u w w k n 1 m 1 Kontrol noktaları artık kontrol ağı olarak adlandırılmakta ve yüzey tanımlamada kullanılacak olan köşe noktalarını göstermektedr. k(u) ve j u ve w parametrk yönlern takp eden (k-1). ve (-1). dereceden temel -splne fonksyonlarıdır. u fonksyonların fades benzer olarak aşağıdak gb yazılır; 1 k 1 (u) 0 (u x ) (u) x x k1 x aks taktrde u x k1 1 (x (u) x k k u) x 1 1k1 (u) 1 n 1 j1 j 1 0 (w y ) y y 1 y aks taktrde w y j 1 1 (y y w) y 1 j1 1 1 m 1 u fadelerde x ve y düğüm vektörlernn elemanlarıdır: [ X ] = [x 1 xn-k+] [ Y ] = [y 1 y m- +] u ve w yönlerndek kontrol noktası (j) sayısı sırasıyla (n+1) ve (m+1) dr. (k-1-1). derece -splne yüzey dkdörtgensel br kontrol ağı le tanımlanmaktadır. u yüzden tekne form yüzeylernn tanımlanmasına son derece uygun br yöntemdr. Her k parametrk yöndek düğüm vektörler -splne yüzeynn şekllenmesnde öneml rol oynamaktadır. Her k yön çn farklı tpte düğüm vektörlernn kullanılması mümkün olmasına rağmen genelde aynı vektör tp terch edlmektedr (açık unform non-ünform vs.) Aşağıda -splne yüzeyler le lgl br örnek verlmektedr. Örnek 5.17: Aşağıda verlen kontrol noktalarına açık ünform br -splne yüzey uydurarak denkle çıkarınız ve yüzey üzerndek br noktanın Q(uw) = Q(11) değern bulunuz. 11 ( ) 1 ( ) 31 (5 5 15) 41 ( ) 1 ( ) ( ) 3 (5 10 5) 4 (15 5 5) 13 ( ) 3 ( ) 33 (5 10-5) 43 (15 5-5) 14 ( ) 4 ( ) 34 (5 5-15) 44 ( ) Yüzeyn u-yönündek mertebes dört (k=4) w-yönündek mertebes üç (=3) olsun. -splne yüzeynn denklem; 96

3 Q(u w) j1 j 4 (u) j3 0 u 1 0 w k 4 3 = 14 [ ] + 4 [ ] + 34 [ ] + 44 [ ] u yüzeyn u-yönündek düğüm vektörü 0 u < 1 arasında değşmektedr: [X] = [ x1 x x3 x4 x5 x6 x7 x8] = [ ] u yüzeyn w-yönündek düğüm vektörü 0 w < arasında değşmektedr: [Y] = [ y1 y y3 y4 y5 y6 y7 ] = [ ] Her k yöndek düğüm vektörlernden görüldüğü gb -splne yüzey k yüzey parçasından oluşmaktadır. rnc yüzey parçasının parametre aralığı (0 u 1 0 w 1) knc yüzey parçasının parametre aralığı se (0 u 1 1 w ) dr. Aşağıdak şemada u-yönünde hesaplanması gereken temel fonksyonlar üçgen alanlar çnde görülmektedr: x4 u < x5 x4 u < x5; 0 u < 1 1.mertebe fonksyonlar: 41(u) = 1 ; 1=0 4.mertebe fonksyonlar: 3(u) = 1-u 4(u) = u ; = mertebe fonksyonlar: 3(u) = (1-u) 33(u) = u(1-u)+(1-u)u = u(1-u) 43(u) = u ; 3= mertebe fonksyonlar: 14(u) = (1-u) 3 4(u) = u(1-u) + (1-u)u(1-u) = 3u(1-u) 97

4 34(u) = u.u(1-u)+(1-u)u = 3u (1-u) 44(u) = u 3 ; 3=0 134 Aşağıdak şemada w-yönünde hesaplanması gereken temel fonksyonlar üçgen alanlar çnde görülmektedr: y3 w < y y3 w <y4; 0 w < 1 1.mertebe fonksyonlar: 31 = 1 ; j1=0 3.mertebe fonksyonlar: = 1-w 3 = w ; j=0 3 3.mertebe fonksyonlar: 13 = (1-w) ( - w)w w(4 3w) 3 = w(1-w)+ y4 w < y5 w 33 = ; j3=0 13 y4 w < y5; 1 w < 1.mertebe fonksyonlar: 41 = 1 ; j1=0 4.mertebe fonksyonlar: 3 = -w 4 = w-1 ; j= mertebe fonksyonlar: ( w) 3 = ( - w)(3w - ) 33 = 43 = ( w 1) ; j3=0 34 -splne yüzeynn Q(11) noktasındak değernn hesaplanablmes çn temel fonksyon denklemlernde aranan parametre değerlern yerne koyarak; 14(1) = (1-u) 3 = 0 4(1) = 3u(1-u) = 0 34(1) = 3u (1-u) = 0 44(1) = u 3 = 1 98

5 13(1) = 0 ( w) 1 3(1) = = ( - w)(3w - ) 1 33(1) = = 43(1) = ( w 1) = 0 Elde edlen bu değerler yerne koyarak aranan yüzey noktasını buluruz: Q(11) = 0 [ ] +0 [ ] +0 [ ] +1 [ ] 1 = 4 = (15 5 5) (15 5 5) 43 1 = [15 5 0] Şekl 5.66 da bu örnek çn hesaplanan (4 3). mertebeden -splne yüzey ve kontrol ağı görülmektedr. Şekl splne yüzey ve kontrol ağı. -splne yüzeyler le lgl temel özellkler aşağıdak gb sıralanablr: r -splne yüzeynn herhang br parametrk yönündek maksmum mertebe değer o yönde tanımlanan nokta sayısı kadardır. -splne yüzeynn her k yöndek sürekllğ eğer düğüm vektörlernde tekrarlanan değerler yoksa mertebesnden k eksktr. (C k- ) (C - ) Yan -splne yüzey ve tüm (k-) ve (-) ye kadar olan türevler sürekldr. -splne yüzeynn herhang br transformasyonu (döndürme ölçeklendrme vs) çn kontrol ağının transformasyonu yeterldr. 99

Tek br kontrol noktasının yüzeye etks her k parametrk yönde de k/ / le sınırlıdır. Her k yönde de kontrol noktası sayısı mertebe sayısına eştse -splne yüzey ezer yüzeyne dönüşür.

6 Tek br kontrol noktasının yüzeye etks her k parametrk yönde de k/ / le sınırlıdır. Her k yönde de kontrol noktası sayısı mertebe sayısına eştse -splne yüzey ezer yüzeyne dönüşür. -splne yüzey tıpkı -splne eğrlernde olduğu gb kontrol noktalarının oluşturduğu konveks alanlar çnde kalacak şeklde oluşur. -splne yüzeyler le yüzey üzernde sürekszlğe sahp kısımlar temsl edleblmektedr. u yüzeylere özellkle tekne form dzaynı alanında sıkça rastlanmaktadır. (ör. çenel tekne formları duvar bordalı formlar vs.) Şekl 5.67 ve Şekl 5.68 de tekne formlarına at bazı uygulamalar görülmektedr. Şekl 5.67 de br matematksel tekne formu olan Wgley formuna Wgley (55) -splne yüzey uygulanmıştır. Şekl 5.68 de se yüksek hızlı tekne form serlernden PL sersnn ana formuna -splne yüzey uygulanmıştır. (aley (56) ) u tekne formlarının kontrol ağı ofset noktaları olarak kabul edlmektedr. Şekl 5.67.a. Wgley matematksel formunun b-kübk -splne yüzey model Şekl 5.67.b. Wgley matematksel formunun b-kübk -splne yüzey model 300

7 Şekl 5.68.a. PL tekne formunun b-kübk -splne yüzey model Şekl 5.68.b. PL tekne formunun b-kübk -splne yüzey model 301

Benzer belgeler

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri

2.7 Bezier eğrileri, B-spline eğrileri .7 Bezer eğrler, B-splne eğrler Bezer eğrler ve B-splne eğrler blgsaar grafklernde ve Blgsaar Destekl Tasarım (CAD) ugulamalarında çok kullanılmaktadır.. B-splne eğrler sadece br grup ver noktası çn tanımlanan