Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010"

Transkript

1 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010

2 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir.

3 Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal fonksiyon olsun. Eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarlarsa, (A, µ, η) üçlüsü bir cebir oluşturur: A A A µ id A A id µ A A µ A, µ id η k A η id A A A k µ = = A.

4 Bir cebir olarak grup cebri k[g] Örnek Bir k cismi ve birim elemanı e olan sonlu bir G grubu için, tabanı G grubunun elemanları olan k-vektör uzayı k[g] = g G kg üzerinde bir cebir yapısı tanımlayabiliriz: Her g 1, g 2 G için, µ(g 1 g 2 ) = g 1 g 2, η(1) = e. Oluşan k[g] cebrine G grubunun (k üzerindeki) grup cebri denir.

5 Eşcebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, : A A A ve ε : A k birer k-doğrusal fonksiyon olsun. Eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarlarsa, (A,, ε) üçlüsü bir eşcebir oluşturur: A A A id A A id A A A, ε id k A A A id ε A k = = A.

6 Bir eşcebir olarak grup cebri k[g] Örnek Grup cebri k[g] = g G kg üzerinde doğal bir eşcebir yapısı vardır. Bu eşcebirin, eşçarpımı ve eşbirimi, her g G için şöyle tanımlanır: (g) = g g, ε(g) = 1.

7 Sweedler ın Sigma Gösterimi Gösterim (Sweedler ın sigma gösterimi) Gösterimde indislerin oluşturduğu zorluğu aşmak amacıyla her x A için (x) aşağıdaki gibi yazılır: (x) = (x) x x.

8 Cebir Yapısal Dönüşümü Tanım Diyelim ki, (A, µ, η), (A, µ, η ) cebirleri ve bir f : A A k-doğrusal fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer f aşağıdaki koşulları sağlarsa, f ye cebir yapısal dönüşümü denir: µ (f f ) = f µ ve f η = η.

9 Eşcebir Yapısal Dönüşümü Tanım Diyelim ki, (A,, ε), (A,, ε ) eşcebirleri ve bir f : A A k-doğrusal fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer f aşağıdaki koşulları sağlarsa, f ye eşcebir yapısal dönüşümü denir: (f f ) = f ve ε = ε f.

10 Gözlemler Gözlem Eğer (A, µ, η) bir cebir ise, τ(a b) = b a olmak üzere (A A, (µ µ) (id τ id), η η) da bir cebirdir.

11 Gözlemler Gözlem Eğer (A, µ, η) bir cebir ise, τ(a b) = b a olmak üzere (A A, (µ µ) (id τ id), η η) da bir cebirdir. Eğer (A,, ε) bir eşcebir ise, (A A, (id τ id) ( ), ε ε) da bir eşcebirdir.

12 Çifte cebir Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir ve (A,, ε) bir eşcebir olsun. Eğer µ ve η eşcebir yapısal dönüşümleri veya denk olarak ve ε cebir yapısal dönüşümleri ise (A, µ, η,, ε) beşlisine çifte cebir denir.

13 k[g] Örnek Daha önce tanımladığımız çarpım, birim, eşçarpım ve eşbirim ile k[g] bir çifte cebirdir.

14 Kanıt Kanıt Eşcebir işlemleri ve ε un birer cebir yapısal dönüşümü olduğunu göstereceğiz. Benzer şekilde µ ve η nın eşcebir yapısal dönüşümü olduğunu da gösterebiliriz.

15 k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ),

16 k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1),

17 k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1), µ k (ε ε)(g 1 g 2 ) = µ k (1 1) = 1 = εµ(g 1 g 2 ),

18 k[g] Kanıt (µ µ)(id τ id)( ) = µ, η = η η, µ k (ε ε) = εµ ve εη = η k olduğunu göstermeliyiz: (µ µ)(id τ id)( )(g 1 g 2 ) = (µ µ)(id τ id)(g 1 g 1 g 2 g 2 ) = (µ µ)(g 1 g 2 g 1 g 2 ) = g 1 g 2 g 1 g 2 = µ(g 1 g 2 ), η(1) = (e) = e e = (η η)(1), µ k (ε ε)(g 1 g 2 ) = µ k (1 1) = 1 = εµ(g 1 g 2 ), εη(1) = ε(e) = 1 = η k (1).

19 Konvolusyon Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir ve (C,, ε) bir eşcebir olsun. Her f, g Hom(C, A) için f ve g nin konvolusyonu f g ile gösterilir ve aşağıdaki fonksiyonların birleşimi şeklinde tanımlanır: C C C f g A A µ A.

20 Hopf Cebiri Tanım Bir çifte cebir (H, µ, η,, ε) için, H nin bir özyapı dönüşümü S olsun. Eğer aşağıdaki koşul sağlanırsa S ye H nin antipodu denir: S id H = id H S = η ε. Antipodu olan çifte cebire Hopf cebiri denir.

21 k[g] Örnek Aşağıda tanımlanan antipotla birlikte (k[g], µ, η,, ε) çifte cebiri, bir Hopf cebiridir: S(g) = g 1.

22 İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz:

23 İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz: µ (S id) (g) = µ (S id)(g g) = µ(g 1 g) = e = η ε(g),

24 İspat Kanıt µ (S id) = η ε ve µ (id S) = η ε olduğunu göstermeliyiz: µ (S id) (g) = µ (S id)(g g) = µ(g 1 g) = e = η ε(g), µ (id S) (g) = µ (id S)(g g) = µ(g g 1 ) = e = η ε(g).

25 Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1.

26 Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1. R ye H çifte cebirinin evrensel R-matrisi denir.

27 Yarı eşdeğişmeli Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Her x H için, op (x) = R (x)r 1 koşulunu sağlayan tersinir bir R H H varsa H ye yarı eşdeğişmeli denir. op = τ H,H, τ H,H (h 1 h 2 ) = h 2 h 1. R ye H çifte cebirinin evrensel R-matrisi denir. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir yarı eşdeğişmeli ise yarı eşdeğişmeli Hopf cebiri denir.

28 Gösterim Diyelim ki, R = i s i t i olsun. R 12, R 13, R 23 ile aşağıdaki elemanlar gösterilir: R 12 = i s i t i 1, R 13 = i s i 1 t i, R 23 = i 1 s i t i.

29 Örgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε, R) yarı eşdeğişmeli çifte cebirini düşünelim. Eğer evrensel R-matrisi R aşağıdaki eşitlikleri sağlarsa H ye örgülü çifte cebir denir: ( id H )(R) = R 13 R 23, (id H )(R) = R 13 R 12. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir örgülü ise örgülü Hopf cebiri denir.

30 C[Z/nZ] Örnek Hopf cebiri (C[Z/nZ], µ, η,, ε, S) için, eğer g Z/nZ bir üreteç ise, bir evrensel R-matrisi aşağıda verilmiştir: R = 1 n n 1 a,b=0 e 2πiab n g a g b.

31 Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ).

32 Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ). r ye H nin evrensel R-formu denir.

33 Eşörgülü Hopf Cebiri Tanım Bir (H, µ, η,, ε) çifte cebirini düşünelim. Eğer H H üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan doğrusal bir r formu varsa H ye eşörgülü denir: (i) H H üzerinde r r = r r = ε koşulunu sağlayan bir r formu vardır, (ii) µ op = µ τ olmak üzere, µ op = r µ r, (iii) r(µ id H ) = r 13 r 23 ve r(id H µ) = r 13 r 12. r 12 = r ε, r 23 = ε r, r 13 = (ε r)(τ H,H id H ). r ye H nin evrensel R-formu denir. Bir Hopf cebirine, eğer altında yatan çifte cebir eşörgülü ise eşörgülü Hopf cebiri denir.

34 Modül Tanım Diyelim ki, (A, µ, η) bir cebir, V bir k-vektör uzayı ve µ V : A V V k-doğrusal bir fonksiyon olsun. (V, µ V ) ikilisine eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarsa A-modülü denir: A A V µ id A V id µ V µ V A V µ V V, k V η id A V µ V = V.

35 Eşmodül Tanım Diyelim ki, (A,, ε) bir eşcebir, V bir k-vektör uzayı ve V : V A V k-doğrusal bir fonksiyon olsun. (V, V ) ikilisine eğer aşağıdaki çizgeler değişme özelliğini sağlarsa A-eşmodülü denir: V V A V V id V A V id A A V, ε id k V A V = V. V

36 Sweedler eşmodül gösterimi Gösterim Gösterimde indislerin oluşturduğu zorluğu aşmak amacıyla her x V için V (x) aşağıdaki gibi yazılır: V (x) = (x) x A x V.

37 R-matris Tanım Bir k-vektör uzayı V için, V V nin bir eşözyapı dönüşümü c olsun. Eğer aşağıda verilen Yang-Baxter denkleminin bir çözümü ise c ye R-matrisi denir: (c id V )(id V c)(c id V ) = (id V c)(c id V )(id V c).

38 Teorem Eğer (H, µ, η,, ε, R) bir örgülü Hopf cebiri ve V bir H-modülü ise, V V nin aşağıdaki gibi tanımlanan eşözyapı dönüşümü c R V,V bir R-matrisidir: c R V,V (v w) = τ V,V [R(v w)].

39 Teorem Eğer (H, µ, η,, ε, r) bir eşörgülü Hopf cebiri ve V eşetki fonksiyonu V olan bir H-eşmodülü ise, V V nin aşağıdaki gibi tanımlanan eşözyapı dönüşümü cv r,v bir R-matrisidir: c r V,V = (r id V V ) (id H τ V,H id V ) ( V V ) τ V,V.

40 FRT inşası Teorem Diyelim ki, V bir k-vektör uzayı ve c, V V nin Yang-Baxter denklemini sağlayan bir eşözyapı dönüşümü olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan eşörgülü bir çifte cebir A(c) ve doğrusal bir fonksiyon V : V A(c) V vardır: V, V için A(c) üzerinde bir eşmodül yapısı oluşturur, c bu yapıya göre eşmodül yapısal dönüşümü olur, A(c) A(c) üzerinde tanımlı, A(c) ye, c r V,V = c olacak şekilde, eşörgülü çifte cebir yapısı veren yalnızca bir doğrusal form r vardır, çifte cebir A(c) eşözyapı dönüşümü farkıyla tektir.

41 Modül-eşcebiri Tanım Bir çifte cebir H ve bir eşcebir C düşünelim. Eğer C ye H-modül yapısı veren bir eşcebir yapısal dönüşümü H C C varsa C ye H üzerinde modül-eşcebiri denir.

42 Eşlenmiş çifte cebir ikilisi Tanım Bir (X, A) çifte cebir ikilisini düşünelim. Eğer aşağıdaki koşulları sağlayan, X e A-modül-eşcebiri yapısı veren doğrusal bir fonksiyon α : A X X ve A ya sağ X -modül-eşcebiri yapısı veren doğrusal bir fonksiyon β : A X A varsa (X, A) ikilisine eşlenmiş denir: α(a x) = a x ve β(a x) = a x olmak üzere her a, b A ve x, y X için, a (xy) = (a)(x) (a x )(a x y), a 1 = ε(a)1, (ab) x = (b)(x) ab x b x, 1 x = ε(x)1, (a)(x) a x a x = (a)(x) a x a x.

43 Teorem Eşlenmiş bir çifte cebir ikilisi (X, A) için, k-vektör uzayı X A üzerinde, X ve A nın çifte çapraz çarpımı denilen ve X A ile gösterilen tek bir çifte cebir yapısı vardır. Çarpması, birimi, eşçarpması ve eşbirimi aşağıdaki gibidir: Her x, y X ve a, b A için, (x a)(y b) = (a)(y) x(a y ) a y b, η(1) = 1 1, (x a) = (a)(x) (x a ) (x a ), ε(x a) = ε(x)ε(a).

44 Teorem Eşlenmiş bir çifte cebir ikilisi (X, A) için, k-vektör uzayı X A üzerinde, X ve A nın çifte çapraz çarpımı denilen ve X A ile gösterilen tek bir çifte cebir yapısı vardır. Çarpması, birimi, eşçarpması ve eşbirimi aşağıdaki gibidir: Her x, y X ve a, b A için, (x a)(y b) = (a)(y) x(a y ) a y b, η(1) = 1 1, (x a) = (a)(x) (x a ) (x a ), ε(x a) = ε(x)ε(a). Eğer X ve A çifte cebirlerinin antipotları varsa, X A nın antipodu aşağıdaki gibidir: S(x a) = S A (a ) S X (x ) S A (a ) S X (x ). (x)(a)

45 Teorem Diyelim ki, H = (H, µ, η,, ε, S, S 1 ) sonlu boyutlu bir Hopf cebiri ve X = (H op ) = (H,, ε, (µ op ), η, (S 1 ), S ) H nin karşıt Hopf cebirinin duali olsun. α : H X X ve β : H X H, her a H ve f X için, α(a f ) = a f = (a) f (S 1 (a )?a ), β(a f ) = a f = (a) f (S 1 (a )a )a şeklinde verilen doğrusal fonksiyonlar olsun. Bu durumda (H, X ) ikilisi eşlenmiştir. Burada f (S 1 (a )?a ) ile f (S 1 (a )?a )(b) = f (S 1 (a )ba ) fonksiyoneli gösterilmektedir.

46 Kuantum Çifti Tanım Tersinir antipodu olan sonlu boyutlu bir Hopf cebiri H için, X = (H op ) olmak üzere, H nin kuantum çifti olarak tanımlanır. D(H) = X H

47 Teorem Her f, g X ve a, b H için, aşağıda tanımlanan işlemlerle, D(H) bir Hopf cebiridir: (f a)(g b) = (a) fg(s 1 (a )?a ) a b, η(1) = 1 1, (f a) = (a)(f ) (f a ) (f a ), ε(f a) = ε(a)f (1), S(f a) = (a) f (S 1 (a?s(a ))) S(a ).

48 Teorem Bir Hopf cebiri H nin tabanı {e i } i I ve onun dual tabanı {e i } i I olsun. Bu durumda D(H) örgülü bir Hopf cebiridir ve evrensel R-matrisi aşağıdaki gibidir: R = i I (1 e i ) (e i 1).

49 k[g] Örnek Sonlu ve değişmeli bir G grubunu düşünelim. Grup cebiri k[g] nin bir tabanı {g} g G ve {e g } g G bu tabanın dual tabanı olsun. Bu durumda X = (k[g] op ) aşağıda işlemleri verilen Hopf cebiridir: e g e h = δ gh e g, η(1) = g G e g, (e g ) = uv=g e v e u, ε(e g ) = δ ge, S(e g ) = e g 1.

50 k[g] Örnek Grup cebiri k[g] nin kuantum çifti D(k[G]) nin işlemleri, her e g, e h X ve a, b H için, aşağıda verilmiştir: (e g a)(e h b) = δ g,aha 1(e g ab), η(1) = g G e g e, (e g a) = uv=g (e v a) (e u a), ε(e g a) = δ ge, S(e g a) = e a 1 g 1 a a 1.

51 k[g] Örnek Bu durumda D(k[G]) nin evrensel R-matrisi aşağıdaki elemandır: R = (e h g) (e g e). g,h G

52 Örnek Örnek Bir k cisminin sıfırdan farklı ve birim elemanın kökü olmayan bir q elemanını düşünelim. Sabit bir m > 1 için, V m, k üzerinde tabanı {v 1,, v m } olan m boyutlu bir vektör uzayı olsun. V m V m nin eşözyapı dönüşümü olan ve aşağıdaki gibi tanımlanan c m bir R-matrisidir: q 1 m v i v i i = j ise c m (v i v j ) = q m v j v i i < j ise q m v j v i + q m (q q 1 )v i v j i > j ise

53 Örnek Örnek Yönlü bir link L R 3 için, L nin geçitleri farklı yüksekliklerde olan bir çizgesini alalım ve L ile gösterelim. Yatay çizgiler çizip L yi sadece bir geçit ya da sadece bir lokal maksimum ya da sadece bir lokal minimum içeren şeritlere bölelim. Bu şeritler aşağıdaki parçaların bir kısmından oluşacaktır: {,, X +, X,,,, }.

54 Örnek Örnek Bu parçaların her biri için aşağıdaki doğrusal fonksiyonları tanımlayalım : F m,q ( )(v i ) = v i, F m,q ( )(v i ) = v i, F m,q ( )(1) = m i=1 v i v i, F m,q ( )(1) = m i=1 q2i 1 m v i v i, F m,q ( )(v i v j ) = F m,q ( )(v i v j ) = δ ij, q m 2i+1 δ ij, F m,q (X + ) = c m, F m,q (X ) = cm 1.

55 Örnek Örnek Her bir şerit için, şeritteki parçalara karşılık gelen fonksiyonların tensör çarpımını alalım. Sonra bulduğumuz bu fonksiyonların uygulanış sırası önce aşağıdaki, sonra yukarıdaki olacak şekilde birleşimini alalım. Elde edeceğimiz fonksiyon k dan k ya k-doğrusal bir fonksiyon olacaktır. Sonuç olarak bir link L için F m,q (L)(1) k dır.

56 Örnek Örnek

57 Örnek Örnek

58 Örnek Örnek Birinci şekilde verilen Y ±, Z ±, T ± geçitleri için, ikinci şekildeki izotopi denkliklerini kullanarak karşılık gelen fonksiyonları aşağıdaki gibi buluruz: Y ± = ( ) ( X ± ) ( ), T ± = ( ) ( X ± ) ( ), Z ± = ( ) ( ) ( X ± ) ( ) ( ), Z ± = ( ) ( ) ( X ± ) ( ) ( ).

59 Örnek Örnek Şekil: Trefoil

60 Örnek Örnek Şekil: Trefoil

61 Örnek Örnek Örneğin, üçüncü ve dördüncü şekilde verilen trefoil düğümü için karşılık gelen k-doğrusal fonksiyon F m,q (L) yi aşağıdaki gibi hesaplarız: F m,q ( ) (F m,q ( ) F m,q ( ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q (T + ) F m,q ( )) (F m,q (Z + ) F m,q ( ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q (Y + ) F m,q ( )) (F m,q ( ) F m,q ( ) F m,q ( )) F m,q ( ).

62 Örnek Örnek Bu metot bize F (L) = F m,q (L)(1) olmak üzere, F link değişmezini verir. Bu değişmezin çözükteki değeri F (O) = qm q m q q 1 olarak bulunur ve herhangi bir link L için aşağıdaki bağıntıyı sağlar: q m F (L+ ) q m F (L ) = (q q 1 ) F (L 0 ).

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016

7. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 17, 2016 7. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 17, 2016 Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Tekrar Gözden Geçirme: Basitlik,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

13. Ders. Mahir Bilen Can. Mayı 25, : α nın eş-kökü

13. Ders. Mahir Bilen Can. Mayı 25, : α nın eş-kökü 13. Ders Mahir Bilen Can Mayı 25, 2016 1 Kök Sistemlerine Bir Örnek Hatırlayacağımız üzere basit kökler kümesi = {α 1,..., α l } Φ ya karşılık gelen temel baskın kökler olan ω 1,..., ω l leri aşağıdaki

Detaylı

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.

Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini

Detaylı

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.

2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. 2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir. 9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur. 3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE

DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir.

Tanım Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki. boş karakter dizgisi (null string) denir ve l ile gösterilir. BÖLÜM 3 Karakter Dizgileriil i Tanım 3.1.1 Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string) X kümesindeki öğelerden oluşan bir sonlu dizidir. Hiç bir öğesi olmayan bir karakter dizgisine boş karakter

Detaylı

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =

MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise = MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.

SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir. 2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Grup Homomorfizmaları ve

Grup Homomorfizmaları ve Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının

Detaylı

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı

kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir grup üzerinde tanımlı Bölüm 5 Permütasyon Grupları Bu bölümde sonlu bir kümenin permütasyonlarını araştıracağız. Öncelikle permütasyon kavramını tanımlayıp bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Ayrıca bir rup üzerinde tanımlı eşlenik

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız:

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: 10. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 20, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Hakkında Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: Kök uzay ayrışımını g = h χ Φ g χ.

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1

x 2i + A)( 1 yj 2 + B) u (v + B), y 1 Ders 11: Örnekler 11.1 Kulplarla inşalar Bu bölümde kulpları birbirine yapıştırıp tanıdık manifoldlar elde edeceğiz. Artık bu son ders. Özellikle dersin ikinci bölümünde son meyveleri toplamak adına koşarak

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri   Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Contents. Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır.

Contents. Bu notlar Feza Gürsey Enstitüsü nde düzenlenen Grup/Temsil kuramından kesitler başlıklı programda verdiğim dersin notlarıdır. İKILI KÜME İZLEÇLERINE GIRIŞ OLCAY COŞKN Contents 1. Giriş 1 2. İkili Kümeler 1 3. İkili Küme İzleçleri: Tanım 4 4. Örnekler 5 5. Basit ikili küme izleçlerinin sınıflandırılması 6 References 7 1. Giriş

Detaylı

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015

DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015 www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com ÖNSÖZ

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Normal Altgruplar ve Bölüm Grupları

Normal Altgruplar ve Bölüm Grupları Bölüm 9 Normal Altgruplar ve Bölüm Grupları Bu bölümde verilen bir grupta belirli bir altgrubun sol ve sağ kosetlerinin birbirine eşit olması durumu ele alınacaktır. Bu durumda söz konusu altgruba normal

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos

Doğrusal Olmayan Devreler, Sistemler ve Kaos Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği İstanbul Teknik Üniversitesi 25 Nisan 2013 Outline 1 2 3 Sabit noktaları: x 1 = 0 ve x 2 = 1 1 r x 0 (, 0) (0, ) = x n x(k + 1) = f (x(k)) f r (x) = rx(1 x) r = 4.2

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016

9. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 19, 2016 9. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 19, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Bu derste bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz.

Detaylı

DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ

DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ Bölüm 1 DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ 1.1 Dal Birim Küre ve Stdy Dönüşümü 1 R reel sayılar cümlesini göstermek üere, : R R R R, (a,b)(c,d) = (ac,ad +bc) olarak tanımlanan işleme dal çarpım adı verilir

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

Hamel Taban ve Boyut Teoremi

Hamel Taban ve Boyut Teoremi Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde

Detaylı