Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Transkript

1 Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi Pamukkale Uiversity Joural of Egieerig Scieces TEK MAKİNELİ ÇİZELGELEMEDE GENEL ÖĞRENME FONKSİYONLARI: OPTİMAL ÇÖZÜMLER SINGLE MACHINE SCHEDULING WITH GENERAL LEARNING FUNCTIONS: OPTIMAL SOLUTIONS Tamer EREN 1 1Edüstri Mühedisliği Bölümü, Kırıkkale Üiversitesi, 71451, Kırıkkale tamere@hotmail.com Geliş Tarihi/Received: , Kabul Tarihi/Accepted: *Yazışıla yazar/correspodig author doi: /pajes Özet Çizelgeleme literatürüü çoğuda işleri işlem zamaları sabit kabul edilmiştir. Acak işleri işlem zamalarıda, başlama zamaı veya pozisyoua bağlı olarak azalma görülebilmektedir. Bu olgu literatürde öğreme etkisi olarak bilimektedir. Bu çalışmada geel öğreme foksiyolu tek makieli çizelgeleme problemleri ele alıacaktır. Ele alıa problemleri amaç foksiyoları: (i toplam ağırlıklı tamamlama zamaı (ii maksimum gecikme, (iii gecike iş sayısı (iv ağırlıklı gecike iş sayısı şeklidedir. Problemleri çözmek içi doğrusal-olmaya programlama modelleri geliştirilmiştir. Aahtar kelimeler: Tek makieli çizelgeleme, Öğreme foksiyoları, Doğrusal-olmaya programlama modelleri. 1 Giriş Çizelgeleme literatürüde problemler geellikle, işlem zamaları sabit kabul edilme varsayımıa dayamaktadır. Halbuki işi işlem zamaı, işi başlama zamaıa veya işi pozisyoua bağlı olarak azalabilmektedir. Bu olgu literatürde öğreme etkisi olarak bilimektedir. Öğreme etkisi, öğreme eğrisi ile taımlaır. Öğreme eğrisi bezer işleri tekrarlaması soucu performas foksiyoudaki gelişimi gösterir. Literatürde öğreme etkisi zamaa-bağımlı ve pozisyoa bağımlı olmak üzere iki grupta ele alımıştır. Birici grupta işi işlem zamaı işi başlama zamaıa bağımlı olarak azalmasıa dayaırke, diğeride ise pozisyoua göre işlem zamaları azaldığı kabul edilmiştir[1]. Bu çalışmada da so gruba gire tek makieli dört çizelgeleme problemi ele alımıştır. Çizelgelemede öğreme etkisi ile ilgili ilk çalışma Biskup, [2] tarafıda tek makieli problemler içi yapılmıştır. Biskup, [2] çalışmasıda toplam akış zamaıı, teslim tarihide sapma problemlerii icelemiştir. Mosheiov, [3] yaptığı çalışmada maksimum tamamlama zamaıı yie e kısa işlem zamaı (SPT kuralı ile çözüldüğüü göstermiştir. Araştırmacı çok ölçütlü iki problemi ele almıştır. Bularda biricisi tamamlama zamaı ve tamamlama zamaıda sapmayı eküçükleme, diğeri ise teslim tarihi atama problemidir. Bu iki problemi atama modeli ile O( 3 zamada çözüldüğüü göstermiştir. Ayrıca Mosheiov [3] klasik durumda (öğreme etkisiz eiyi çözümü bula yötemleri, öğreme etkili olduğuda maksimum gecikme içi e küçük teslim tarihi (EDD ve miimum gecike iş sayısıı Moore, [4] algoritması Abstract I traditioal schedulig problems, most literature assumes that the processig time of a job is fixed. However, there are may situatios where the processig time of a job depeds o the startig time or the positio of the job i a sequece. I such situatios, the actual processig time of a job may be less tha its ormal processig time if it is scheduled later. This pheomeo is kow as the learig effect. I this study, we itroduce geeral learig fuctios ito a sigle-machie schedulig problems. We cosider the followig objective fuctios: (i sum of weighted completio times, (ii maximum lateess (iii umber of tardy jobs (iv umber of weighted tardy jobs. No-liear programmig models are developed for solvig these problems.. Keywords: Sigle machie schedulig, Learig fuctios, No-liear programmig models. ile çözülmesi durumuda eiyi çözümü garati etmediğii göstermiştir. Mosheiov ve Sidey, [5] yaptıkları çalışmada ise tek makieli çizelgelemede ortak teslim tarihli gecike iş sayısıı miimize etmek içi atama problemi ile O( 3 log zamada çözmüşlerdir. Maksimum gecikme problemii ise Zhao v.d., [6] ve Wu v.d., [7] özel durumlarda O(log zamada çözüldüğüü göstermişlerdir. Ere, [8] ayı problemi zamaa-bağımlı öğreme etkili durumda optimal souçlarıı bulmak içi doğrusal-olmaya programlama modeli öermiştir. Ere ve Güer, [9] ise yaptıkları çalışmada toplam gecikme problemii ele almışlar ve problem içi matematiksel programlama modeli öermişlerdir. Ayrıca büyük boyutlu problemler içi tabu arama ve tavlama bezetimi sezgiselleri geliştirmişlerdir. Ere ve Güer, [10] diğer bir çalışmasıda iki ölçütlü öğreme etkili problemii icelemişlerdir. Ele alıa performas ölçütleri toplam tamamlama zamaı ve toplam gecikmedir. Wu ve Lee, [11] iki öğreme etkisi foksiyouu kullaarak tek makiede maksimum tamamlama zamaı ve toplam tamamlama zamaı ölçütlerii SPT kuralı ile, toplam ağırlıklı tamamlama zamaıı ise özel durumda e kısa ağırlıklı işlem zamaı (SWPT kuralı ile çözülebileceğii ispat etmişlerdir. Ere, [12] iki ölçütlü zamaa-bağımlı öğreme etkili çizelgeleme problemide maksimum erke bitirme ve gecike iş sayısı ölçütleri içi matematiksel programlama öermiştir. Yi v.d., [13]; Lai ve Lee, [14];Lu v.d., [15] işlem zamaıdaki değişimi yei bir foksiyola taımlarke Wag [16]-[17]; Huag v.d., [18]-[19]; Wu, [20]; Wu v.d., [21] ile Yi ve Xu, [22]; Wag v.d., [23] hem öğreme hem bozulma durumlarıı icelemişlerdir. Araştırmacılar problemleride maksimum tamamlama zamaı ve tamamlama zamaıı k. 76

2 T. Ere Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar kuvvetlerii toplamıı SPT kuralı ile optimal çözüldüğüü ispat etmişlerdir. Ayrıca özel durumlarda toplam ağırlıklı tamamlama zamaıı SWPT, maksimum gecikmei EDD ile çözülebileceğii göstermişlerdir. Wag ve Li, [24]; Yi vd. [25]; Lee, [26] ile Bai v.d., [27] geçmiş sıra bağımlı hazırlık zamalı ve farklı öğreme etkili durumda ele almışlar. Maksimum tamamlama zamaı ve tamamlama zamaıı k. kuvvetlerii toplamı problemii SPT kuralı ile optimal çözüldüğüü ispat etmişlerdir. Ayrıca toplam ağırlıklı tamamlama zamaıı SWPT kuralıyla ve maksimum gecikmei EDD ile ve gecike iş sayısıı Moore, [4] algoritmasıyla acak özel durumlarda çözülebileceğii göstermişlerdir. Ere, [28] yaptığı çalışmada hazırlık ve taşıma zamalarıı öğreme etkili olduğu tek makieli çizelgelemede gecike iş sayısıı ortak teslim tarihi durumuda miimize etmek içi atama modeli ile poliom zamada çözülebileceğii göstermiştir. Ayrıca Ere, [28] tek makieli çizelgeleme problemide hazırlık ve taşıma zamaları işe-bağımlı öğreme etkili olduğu durumda ortak teslim tarihi kısıtı altıda gecike iş sayısıı ele almıştır. Ere, [29] yaptığı çalışmada logaritmik işlem zama tabalı öğreme etkili problemde gecike iş sayısıı miimize etmek içi doğrusal olmaya programlama modeli geliştirmiştir. Ere, [30] zamaa-bağımlı öğreme etkili tek makieli çizelgelemede dört tae problemi ele almıştır. Bular; (i maksimum gecikme, (ii gecike iş sayısı (iii gecike iş sayısı kısıtı altıda maksimum gecikme (iv maksimum gecikme kısıtı altıda gecike iş sayısıdır. Ele alıa problemler içi doğrusal olmaya programlama modelleri öermiştir. Ele alıa öğreme modeli Koulamas ve Kyparisis, [31] i çalışmasıda alımıştır. Koulamas ve Kyparisis, [31] çalışmasıda maksimum tamamlama zamaı ve toplam tamamlama zamaıı SPT kuralı ile çözüldüğüü göstermişlerdir. Wag, [32] tek makiede yapmış olduğu çalışmada klasik durumda ağırlıklı tamamlama zamaı toplamı, maksimum gecikme ve gecike iş sayılarıı SWPT, EDD ve Moore, [4] algoritmasıyla optimal çözümü bulmasıa rağme öğreme etkili durumda optimal çözümü garati etmediğii göstermiştir. Bu çalışmada da tek makiede bu üç problem ile birlikte dördücü problem ola ağırlıklı gecike iş sayısıı optimal çözümleri, literatürde ilk defa geliştirilmiştir. Optimal çözümlerii bulmak içi doğrusal-olmaya programlama modelleri öerilmiştir. Bu çalışmaı plaı şu şekildedir: Problemi taımlaması ikici bölümde açıklaacaktır. Üçücü bölümde öerile doğrusal-olmaya programlama modelleri suulacaktır. Dördücü bölümde açıklayıcı bir örek verilecektir. So bölümde ise yapıla çalışma değerledirilecek ve yapılabilecek çalışmalar hakkıda bilgi verilecektir. 2 Problemleri Taımlaması Ele alıa problemlerdeki otasyolar Koulamas ve Kyparisis, [31] ve Wag, [32] ı çalışmalarıda alımıştır. Tek makiede işler (j = 1,2,, işlem görmek içi hazırdır. p j w j ve d j sırasıyla j işii işlem zamaıı, ağırlığıı ve teslim tarihii vermektedir. p [r], w [r], d [r] sırasıyla r. pozisyoa ataa işi sırasıyla işlem zamaıı, işi ağırlığıı ve teslim tarihii ifade etmektedir. Eğer j işi r. pozisyoa ataırsa işi işlem zamaı şu şekilde taımlamaktadır: p jr = p j (1 r 1 i=1 p [i] a = p j ( a 1 öğreme ideksidir. C r, r. pozisyodaki işi tamamlama zamaıı vermektedir. L r ve U r sırasıyla r. a pozisyoa ataa işii gecikmesii ve işi gecikme olup olmamasıı vermektedir: L r = C r d [r] ve U r = { 1 L r > 0 0 L r 0 dir. Maksimum gecikme L max = max L r dir. Gecike işleri sayısı T = U r ile, gecike işleri ağırlıklı sayıları ise wt = w r U r ile ifade edilmektedir. Problemdeki Z jr = 1 j işi r. pozisyoa ataırsa { ile taımlamaktadır. 0 j işi r. pozisyoa atamazsa 3 Doğrusal-Olmaya Programlama Modelleri Ele alıa problemler şu şekilde taımlamaktadır: 1. Tek makiede öğreme etkili toplam ağırlıklı tamamlama zamaı r / wc 2. Tek makiede öğreme etkili maksimum gecikme /L i=1 p max i 3. Tek makiede öğreme etkili gecike iş sayısı / T 4. Tek makiede öğreme etkili gecike ağırlıklı iş sayısı 3.1. / i=1 p wt i a / wc Problemii Optimal Wag [32] yaptığı çalışmada ele alıa ağırlıklı tamamlama zamaıı miimize etme problemii iki özel durumda temel dağıtım kuralları ile çözülebileceğii göstermiştir. İşleri tüm işlem zamalarıı eşit olduğu durumda ( p j = p/ wc ağırlıkları küçükte büyüğe doğru sıralamasıyla ve işleri ağırlıkları işlem zamalarıı belli bir katıysa ( kp j / wc SPT kuralıyla çözülebileceğii ifade etmiştir. w j = Öerile ağırlıklı tamamlama zamalarıı toplamıı miimize ede doğrusal olmaya programlama modeli değişkeli ve 5 kısıtlıdır. Amaç foksiyou: Z jr = 1 j=1 Mi w r C r (1 r = 1,2,,. (2 77

3 T. Ere Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar Z jr = 1 j = 1,2,,. (3 w [r] = j=1 Z jr w j r = 1,2,,. (4 p [r] = j=1 Z jr p j r = 1,2,,. (5 C r C r 1 + p [r] ( r = 1,2,,. (6 Z jr : 0 veya 1 diğer değişkeler egatif olmaya değişkeler r = 1,2,,. j = 1,2,,. (7 Kısıt (2, r. pozisyoa sadece bir tek işi atamasıı, Kısıt (3, her bir işi sadece bir kez çizelgelemesii ifade etmektedir. Kısıt (4 ve Kısıt (5 sırasıyla r. pozisyodaki işi ağırlığı ve işlem zamaıı göstermektedir. Kısıt (6, r. pozisyodaki işi tamamlama zamaıı bir öceki işi tamamlama zamaı ve r. pozisyodaki işi işlem zamaıda büyük veya eşit olmasıı göstermektedir (C 0 = a /L max Problemii Optimal Wag, [32] yaptığı çalışmada ele alıa maksimum gecikmeyi miimize etme problemii üç özel durumda temel dağıtım kuralları ile çözülebileceğii göstermiştir. İşleri tüm işlem zamalarıı eşit olduğu durumda ( p j = p/l max EDD kuralı ile, işleri tüm teslim tarihlerii eşit olması durumuda ( d j = d/l max SPT kuralı ile ve işleri teslim tarihleri işlem zamalarıı belli bir katıysa ( d j = kp j /L max EDD kuralıyla çözülebileceğii ifade etmiştir. Öerile maksimum gecikmeyi miimize ede doğrusal olmaya programlama modeli değişkeli ve 6 kısıtlıdır. Amaç foksiyou: Mi L max (8 Kısıt (2, Kısıt (3, Kısıt (5 Kısıt (7 d [r] = j=1 Z jr d j r = 1,2,,. (9 L max C r d [r] r = 1,2,,. (10 Kısıt (9 r. pozisyodaki işi teslim tarihii göstermektedir. Kısıt (10, maksimum gecikme, r. pozisyodaki işi tamamlama zamaı ile gecikme arasıdaki farkta büyük veya eşit olmasıı göstermektedir. 3.3 a / T Problemii Optimal Wag, [32] yaptığı çalışmada gecike iş sayısıı miimize etme problemii üç özel durumda temel dağıtım kuralları ile çözülebileceğii göstermiştir. İşleri tüm işlem zamalarıı eşit olduğu durumda ( p j = p/ T EDD kuralı ile, işleri tüm teslim tarihlerii eşit olması durumuda ( d j = d/ T SPT kuralı ile ve işleri teslim tarihleri işlem zamalarıı belli bir katıysa ( d j = kp j / T Moore [4] algoritmasıyla çözülebileceğii ifade etmiştir. Öerile gecike iş sayısıı miimize ede doğrusal olmaya programlama modeli değişkeli ve 6 kısıtlıdır. Amaç foksiyou: Mi U r (11 Kısıt (2, Kısıt (3, Kısıt (5 Kısıt (7, Kısıt (9 C r d [r] MU r r = 1,2,,. (12 Kısıt (12, r. pozisyodaki işi gecikme durumuu göstermektedir. 3.4 a / wt Problemii Optimal Gecike iş sayısıı miimize ede doğrusal olmaya programlama modeli değişkeli ve 7 kısıtlıdır. Amaç foksiyou: Mi w r U r Kısıt (2 Kısıt (7, Kısıt (9, Kısıt (12 4 Sayısal Örek (13 Tek makiede iş sayısı 10 ola bir problemi işlem ağırlıkları, zamaları ve teslim tarihleri Tablo 1 de verilmektedir. Tablo 1: Sayısal örek verileri. j w j p j d j Öğreme ideksi Wag, [32] ı çalışmasıdaki gibi a = 1.5 ile birlikte a = 1.2 ve a = 1.7 olmak üzere 3 farklı şekilde alımıştır. Ele alıa dört problem ayı verilerle çözülmüştür. Öerile doğrusal-olmaya programlama modelleri GAMS 22.5 [33] paket programı ile çözüldüğüde, bulua souçlar Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2: Sayısal örek souçları. a Optimal değerler Optimal sıralama wc = L max = T = wt = wc = L max = T = wt = wc = L max = T = wt =

4 T. Ere Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar a = 1.5 içi souçlar şu şekildedir: / wc problemi, sayısal örekte 130 değişke ve 50 kısıtta oluşmaktadır. Problem çözüldüğüde optimal sıralama ve ağırlıklı tamamlama zamaı toplamı wc = birim zama olarak bulumuştur. /L max problemi, sayısal örekte 131 değişke ve 60 kısıtta oluşmaktadır. Problem çözüldüğüde optimal sıralama ve maksimum gecikme değeri L max = birim zama olarak bulumuştur. / T problemi, sayısal örekte 140 değişke ve 60 kısıtta oluşmaktadır. Problem çözüldüğüde optimal sıralama ve gecike iş sayısı T = 5 birimdir. / wt problemi, sayısal örekte 150 değişke ve 70 kısıtta oluşmaktadır. Problem çözüldüğüde optimal sıralama ve ağırlıklı gecike iş sayısı wt = 16 birim ağırlık olarak bulumuştur. Tablo 2 de görüldüğü gibi öğreme ideks değeri arttıkça toplam ağırlıklı tamamlama zamaı, maksimum gecikme, gecike iş sayısı ve ağırlıklı gecike iş sayısı değerleride azalma meydaa gelmektedir. Özellikle isa gücü ile yapıla işlerde uzmalaşmaı (öğreme oraıı artmasıyla işleri tekrar etmesi ispetide işlem zamalarıda azalma görülecektir. Dolayısıyla ele alıa problemlerdeki amaç foksiyo değerleri de düşecektir. 5 Souçlar ve Öeriler Bu çalışmada geel öğreme etkili foksiyolu tek makieli çizelgelemede 4 tae problem ele alımıştır. Bu problemler (i işleri ağırlıklı tamamlama zamaı toplamı (ii maksimum gecikme, (iii gecike iş sayısı (iv ağırlıklı gecike iş sayısı. Ele alıa problemleri optimal çözümleri, literatürde ilk defa geliştirilmiştir. Optimal çözümlerii bulmak içi doğrusalolmaya programlama modelleri öerilmiştir. Öerile model 10 işli bir sayısal örek üzeride gösterilmiştir. Ele alıa problemler, öğreme etkili olduğuda NP-zor yapısıda olmasıda dolayı optimal çözümler acak küçük boyutlu problemlerde çözülebilmektedir. Buda soraki çalışmalarda, büyük boyutlu problemleri çözmek içi sezgisel yaklaşımlar geliştirilebileceği gibi, çok makieli durumları da araştırmacılar içi ilgi çekici koularda olacağı tahmi edilmektedir. 6 Kayaklar [1] Biskup, D., A state-of-the-art review o schedulig with learig effects Europea Joural of Operatioal Research, 188 (2, , [2] Biskup, D., Sigle-machie schedulig with learig cosideratios Europea Joural of Operatioal Researc,. 115, , [3] Mosheiov, G., Schedulig problems with a learig effect, Europea Joural of Operatioal Research, 132, , [4] Moore, J.M., A job, oe machie sequecig algorithm for miimizig the umber of tardy jobs Maagemet Sciece, 15, , [5] Mosheiov, G. Sidey, J.B., Note o schedulig with geeral learig curves to miimize the umber of tardy jobs, Joural of the Operatioal Research Society, 56, , [6] Zhao, C.L. Zhag, Q.L. Tag, H.Y., Machie schedulig problems with learig effects, Dyamics of Cotiuous, Discrete ad Impulsive Systems, Series A: Mathematical Aalysis, 11, , [7] Wu, C.C. Lee, W.C. Che, T., Heuristic algorithms for solvig the maximum lateess schedulig problem with learig cosideratios, Computers & Idustrial Egieerig, 52, , [8] Ere, T., Zamaa-bağımlı öğreme etkili çizelgeleme problemide maksimum gecikme miimizasyou: Doğrusal-olmaya programlama modeli, Gazi Üiversitesi Mühedislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, 23 (2, , [9] Ere, T. Güer, E., Miimizig total tardiess i a schedulig problem with a learig effect, Applied Mathematical Modellig, 31, , [10] Ere, T. Güer, E., A bicriteria schedulig with a learig effect: total completio time ad total tardiess INFOR: Iformatio Systems ad Operatioal Research, 45 (2, 75-81, [11] Wu, C.C. Lee, W.C., Sigle-machie schedulig problems with a learig effect, Applied Mathematical Modellig, 32, , [12] Ere, T., İki ölçütlü zamaa-bağımlı öğreme etkili çizelgeleme problemi, Süleyma Demirel Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, 14(1, , [13] Yi, Y. Xu, D. Wag, J., Sigle-machie schedulig with a geeral sum-of-actual-processig-times based ad jobpositio-based learig effect, Applied Mathematical Modellig, 34, , [14] Lai, P.J. Lee, W.C., Sigle-machie schedulig with geeral sum-of-processig-time-based ad positiobased learig effects, Omega, 39, , [15] Lu, Y.Y. Wei, C.M. Wag, J.B., Several sigle-machie schedulig problems with geeral learig effects, Applied Mathematical Modellig, i press, [16] Wag, J.B., Sigle-machie schedulig problems with the effects of learig ad deterioratio, Omega. 35, , [17] Wag, X.R., Sigle machie schedulig with timedepedet deterioratio ad expoetial learig effect, Computers & Idustrial Egieerig, 58, 58 63, [18] Huag, X. Wag, J.B. Wag, L.Y. Gao, W.J. Wag, J.B., Sigle-machie schedulig problems with the effects of learig ad deterioratio, Omega, 35, , [19] Huag, X. Wag, J.B. Wag, L.Y. Gao, W.J. Wag, X.R., Sigle machie schedulig with time-depedet deterioratio ad expoetial learig effect, Computers & Idustrial Egieerig, 58, 58 63,2010. [20] Wu, Y.B., A ote o Sigle machie schedulig with timedepedet deterioratio ad expoetial learig effect, Computers & Idustrial Egieerig, 61, , [21] Wu, Y.B. Wag, M.Z. Wag, J.B., Some sigle-machie schedulig with both learig ad deterioratio effects, Applied Mathematical Modellig, 35, , [22] Yi, Y. Xu, D., Some sigle-machie schedulig problems with geeral effects of learig ad deterioratio, Computers ad Mathematics with Applicatios, 61, ,

5 T. Ere Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar [23] Wag, J.B. Hsu, C.J. Yag, D.L Sigle-machie schedulig with effects of expoetial learig ad geeral deterioratio, Applied Mathematical Modellig. I press. [24] Wag, J.B. Li, J.X., Sigle machie past-sequecedepedet setup times schedulig with geeral positiodepedet ad time-depedet learig effects, Applied Mathematical Modellig, 35, , [25] Yi, Y. Xu D. Huag, X., Erratum to Sigle machie pastsequece-depedet setup times schedulig with geeral positio-depedet ad time-depedet learig effects [Appl. Math. Modell. 35, , Applied Mathematical Modellig, 35, , [26] Lee, W.C., A ote o sigle-machie schedulig with geeral learig effect ad past-sequece-depedet setup time, Computers ad Mathematics with Applicatios, 62, , [27] Bai, J. Wag, M.Z. Wag, J.B., Sigle machie schedulig with a geeral expoetial learig effect, Applied Mathematical Modellig, 36, , [28] Ere, T., Hazırlık ve taşıma zamalarıı öğreme etkili olduğu tek makieli çizelgeleme Gecike iş sayısı miimizasyou, Iteratioal Joural of Egieerig Research ad Developmet, 6 (6, 34-36, [29] Ere, T., Logaritmik toplam işlem zama tabalı öğreme etkili tek makieli çizelgeleme: gecike iş sayısı miimizasyou, Nevşehir Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi, 1, 83-88, [30] Ere, T., Zamaa-bağımlı öğreme etkili tek makieli çizelgeleme problemleri, Sigma Mühedislik ve Fe Bilimleri Dergisi, basımda, [31] Koulamas, C. Kyparisis, G.J., Sigle-machie ad twomachie flowshop schedulig with geeral learig fuctios, Europea Joural of Operatioal Research, 178, , [32] Wag, J.B., Sigle-machie schedulig with geeral learig fuctios, Computers ad Mathematics with Applicatios, 56, , [33] GAMS 22.5, Developmet Corporatio, GAMS the solver mauals, GAMS user otes, Washigto, DC, USA,