T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents 1 Analiz Öğretimi İki Milenyum Süren Sorunlar Mantık ve Matematik Tümdengelim Tümevarım Matematik Dili I Ön Bilgiler 31 2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) Ön KalKulus Önermeler Cebiri İki-değerli Mantık Matematiksel Mantık Boole Cebiri Önermeler Yalın Önermeler Bileşik Önermeler Denk Önermeler Önermeler Cebiri Operatörler Operatörü Operatörü Değilleme Bir Önermenin Değili İse Bağlacı Koşullu Önerme Sonuçları Operatörünün Özelikleri nin Eşgüçlülüğü nin Yer Değişim Özeliği nin Birleşimi Dağılma Bileşik Önermelerin Değillenmesi De Morgan Kuralları : Ancak ve Ancak Operatörü

4 Hepdoğru ve Hepyanlış Karşıt Ters Alıştırmalar Alıştırmalar Kümeler Cebiri Kümeler Cebiri Kapsama Evrensel Küme Venn Çizenekleri Tümleyen Küme Boş Küme Tek öğeli küme Eşit Kümeler Has Alt Küme Kuvvet Kümesi Simetrik Fark Bağıntılar Kartezyen Çarpım Grafik Kartezyen Çarpımın Özelikleri Analitik Düzlem Bağıntılar Bağıntıların Gösterimi Grafik Bağıntı Türleri Denklik Bağıntıları Eşitlik Denklik Bağıntısı Nedir? Denk Öğeler Denklik Sınıfları Ters Bağıntı Simetrik Bağıntı Sayılar Sayıların Kuruluşu Sayıların Sıralanması Doğal Sayılar Doğal Sayıların Kuruluşu Peano Belitleri Sonlu Tüme Varım İlkesi Nicelik Sayıları Eşgüçlülük Sayılabilirlik Sayılamayan Sonsuz Kümeler Gerçel Sayıların Tamlığı Alıştırmalar

5 5 6 Rasyonel Üslü İfadeler Tamsayı Üsler Üslü İfadelerin Özelikleri: Negatif Üsler Benzer Üslü İfadeler Rasyonel Kuvvetler Üslü Denklemler Alıuştırmalar Üslü Denklemler Alıuştırmalar Köklü İfadeler Alıştırmalar e Sayısı Analitik Geometri n-sıralılar Kartezyen Çarpım İkili ve Çoklu sıralılar n-sıralılar Analitik Geometri Kartezyen Çarpımın Genelleşmesi ALIŞTIRMALAR Denklemler Doğru deklemleri İki noktası bilinen doğru Denklemi: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru Denklemi: Doğrunun Genel Denklemi İkinci Dereceden Denklemler ax 2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü Değişken değiştirme Köklü denklemler Mutlak Değer Alıştırmalar Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar Köklerin Toplamı: Köklerin Çarpımı: Köklerin Farkının Mutlak Değeri: Alıştırmalar İkinci Dereceden Denklemlerin İncelenmesi Denklem Sistemleri Eşitsizlikler Eşitsizlik Sistemleri Alıştırmalar İkinci Dereceden Fonksiyonlar Parabol Çizimi

6 Alıştırmalar Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü Örnekler: Doğrusal denklem sistemleri Parametrik denklemeler Eğrinin yönü kapalı Eğri Çember in Parametrik Denklemleri Elips in Parametrik Denklemleri Cycloid Matrisler Matrisler Satır ve Kolon Matrisin Bileşenleri Matris İşlemleri Matrislerin Toplamı Matrislerde Çıkarma Matrisin Sayı ile Çarpımı Matrislerin Çarpımı Çarpımın Sırası Değişemez İkiden çok matrisin Çarpımı Matrisin Devriği (transpose) Matrislerin Çarpımının Devriği Matrislerde Bölme Matris Türleri Kare Matris Sıfır Matris Kare Matrisin Köşegenleri Kare Matrisin Kuvveti Birim Matris Simetrik Matris Anti Simetrik Matris Ters Matris Üçgensel Matris Matrisin İzi (trace) Örnekler Matrisin Uzunluğu (size) Determinantlar Determinant Nedir? Matrislerin determinantı Matrislerinin determinantı Matrislerinin determinantı Sarrus Yöntemi Başka Yöntemler Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları Laplace Yöntemi

7 Minör Eşçarpan (cofactor) Determinant için Laplace Açılımı Determinantların Özelikleri Sarrus Yöntemiyle Hesap: Laplace Yöntemiyle Hesap: Gauss Eleme Yöntemi Ters Matris Matrisler Üzerinde İlkel Satır işlemleri Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma Ekli Matris Eşçarpan İle Matrisin tersini Bulma Doğrual Denklem Sistemleri Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü Doğrual Denklem Sistemleri Sonsuz Çözüm Tek çözüm Matrislerle Çözüm Denk Sistmler İndirgenmiş Satır Eşolon Biçimi Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü İki Bilinmeyen için Cramer Formülü Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü Alıştırmalar Polinomlar Bir Belirsizli Polinomlar Çok Belirsizli Polinomlar Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama İki Polinomun Eşitliği Uygulamalar Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Toplama Uygulamalar Çıkarma Uygulamalar Çarpma Sayıl (skalerle) Çarpma Uygulamalar Başlıca Özdeşlikler İki Terim Toplamının Karesi İki Terimin Farkının Karesi İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı

8 Üç Terim Toplamının Karesi İki Terim Toplamının Küpü İki Terim Farkının Küpü İki Küp Toplamı İki Terimlinin Kuvvetleri Alıştırmalar Polinomlarda Bölme Uygulamalar Bölme Algoritması Çarpan Teoremi Uygulamalar Uygulamalar Horner Yöntemi ile Bölme Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Uygulamalar Alıştırmalar Polinomların Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! ebob, ekok Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ortak Çarpan Parantezine Alma Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikler Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikleri Kullanma Uygulamalar Uygulamalar Uygulamalar Alıştırmalar Başlıca Özdeşlikler Fonksiyonlar Foksiyonun Grafiği Tek Değerli Fonksiyonlar Alıştrmalar Fonksiyon Türleri Eşit Foksiyonalar İçine Fonksiyon Örten Fonksiyon Bire Bir Fonksiyon Bire Bir İçine Fonksiyon Bire Bir Örten Fonksiyon Sabit Fonksiyon Sıfır Fonksiyon Özdeşlik Fonksiyonu

9 Kapalı Fonksiyon Örnekler Alıştırmalar Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke İşleminin Özelikleri Yer Değişim Özeliği Yoktur Birleşme Özeliği Ters Fonksiyon Ters Foksiyonun Grafiği Rasyonel İfadeler Alıştırmalar Rasyonel İfadelerin Toplamı Rasyonel İfadelerin Çarpımı Rasyonel İfadelerde Bölme Polinom Denklemler Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Combinatorics Kombinarik in temel formülü Sayma Pascal Üçgeni 9 16 Ön Trigonometri Yönlü Açılar Yönlü yaylar Birim Çember Açı Ölçü Birimleri Derece Grad Radyan Trigonometrik Fonksiyonlar Simetrik Açılar Simetriler Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri Özel Açılar Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri Cosinus Grafiği Sinus grafiği Tanjant Grafiği Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu

10 Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler Periyodik Fonksiyonlar Alıştırmalar Limit Fonksiyonun Limiti Soldan ve Sağdan Yaklaşım Soldan Limit Sağdan Limit Limit Uç Noktalarda Limit Karl Weierstrass ın Tanımı Örnekler: Limit Kuralları belirsiz Biçemler Sonsuzdaki Limit Çözümlü Örnekler Rasynel Fonksiyonlarda Limit Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti Çözümlü Prolemler İntegral Alma Yöntemeleri Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Karma problemler Alıştırmalar İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali

11 İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Belirli İntegral Belirsiz İntegral Kuralları Calculus un Birinci Temel Teoremleri Calculus un 1.Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı İntegral İntegral Kavramı ve Tanımı Belirli İntegral Belirli İntegral Kuralları Calculus un Temel Teoremleri Calculus un 1.Temel Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Alıştırmalar Belirli İntegral Kuralları Sayısal İntegraller Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu

12 12 30 İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Logaritmik integraller Köklü İfadelerin İntegrali İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Logaritmik integraller Dönel Cisimleri Hacimleri Silindirik Kabuklar Yöntemi Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Örnek Hacim Hesapları Doğal Logaritma Fonksiyonu Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım bölgesini Genişletme Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Doğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritmik Türev Logaritmik Türevin İntrgrali Üstel Fonksiyon a tabanlı Üstel Fonksiyon a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranışı a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali a Tabanına Göre Logaritma l og a x fonksiyonunun özelikleri l og a x fonksiyonunun Türevi Çözümlü Problemler

13 13 33 Kutupsal Koordinatlar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Alıştırmalar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Merkeze Göre Simetri Ox Eksenine Göre Simetri O y Eksenine Göre Simetri Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Alıştırmalar Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı İki kutupsal eğri arasında kalan alan Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler Alıştırmalar Parametrik Fonksiyonların Türevi İkinci Basamaktan Türev Alıştırmalar Sayısal İntegraller Dikdörten Yöntemi Yamuk Kuralı Pappus teoremleri Alıştırmalar Dairesel Simit in Yüzeyi Dairesel Simit in Hacmi Simpson Yöntemi Alıştırmalar Diziler Örnekler Yakınsak Dizi Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Monoton Dizi Alt dizi Sınırlı dizi Dizilerde Limit Özelikleri Alıştırmalar Seriler Kısmi Toplam Yakınsak Seriler Rasyonel Terimli Seriler Özel Seriler Aritmetik Seri Geometrik Seri Binom Serisi

14 Genelleşmiş Binom Teoremi Serilerin Özelikleri Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Alterne Seriler Alıştırmalar Caucy Dizi ve Serileri Seriler İçin Yakınsaklık Testleri p-serisi Oran Testi Kök Testi İntegral Testi: p-serisi p-serisi Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi Oran Testi Newton Metodu Değişken Terimli Seriler Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Maclaurin Serisi Uygulamaları Düzgün Yakınsama Fonksiyon Dizileri Fonksiyon Serileri Fonksiyon Dizileri İçin Cauchy Kriteri Fonksiyon Serileri İçin Cauchy Kriteri Alıştırmalar Fonksiyon Dizi ve Serilerinin İntegrali Dirichlet ve Abel Testleri Dirichlet Testi Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin İntegrali Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Alıştırmalar

15 Serilerin Yaklaşık Toplamı Alıştırmalar Vektörler Vektör Uzayı Simgeler Denk Vektörler Vektörlerin Gösterimi Vektör Uzayında İşlemler Sıfır Vektörü Vektörlerin Toplamı Toplamanın Özelikleri Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörün Sayı ile Çarpımı Birim Vektör Doğrultu Açıları Analitik Geometriye Giriş Alıştırmalar Bileşenlerle İşlemler Nokta Çarpım İzdüşüm İzdüşümün Genellenmesi İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki Vektörün Birbirine Dikliği Üçgen Eşitsizliği Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştrmalar Vektörel Çarpım Vektörel Çarpımın Özelikleri VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları Diklik Alan Üçlü Çarpım Alıştırmalar Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştırmalar

16 16 32 Katlı İntegral İki Katlı İntegralin Özelikleri Ardışık İntegral Katlı İntegral Uygulamaları Alıştırmalar Katlı integralde değişken değiştirme Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Alıştırmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Silindir Nedir? Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Eğrisel İntegraller Düzlemde Eğrisel İntegral Uzayda Eğrisel İntgral Alıştırmalar Vektör Alanlarının Eğrisel İnteralleri Divergence Vector Alanını Eğrisel İntegrali Eğrisel İntegralle iş Alıştrmalar İntegralin Yoldan Bağımsızlığı Alıştırmalar Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı Green Teoremi Green teoemi İle Alan Hesabı Aıştrmalar Yüzey İntegralleri Paramertrik Yüzeyin Alanı Yüzey İntegrali Yönlendirilmiş Yüzey Üzerinde İntegral Vektör Alanlarının İntegrali Stokes Teoremi Divergence Teoremi Alıştırmalar

17 17 35 Vektör Değerli Fonksiyonlar Vektör Değerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri Vektör Değerli Fonksiyonların Limiti Limit Vektör değerli Fonksiyonların Sürekliliği Süreklilik Türev Türev Kuralları Vektör değerli Fonksiyonların Teğeti Düzgün Eğri Düzgün Eğriler Vektör Değerli Fonksiyonların integrali Belirsiz İntegral Belirli İntegral Alıştırmalar Eğri Uzunluğu Eğrilik Eğrilik Çemberi Normal ve İkinci Normal Vektörler Alıştırmalar Uzayda Hareket Kepler Yasaları Alıştırmalar Konikler Koniklerin Adlandırılması Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri Koniklerin Kartezyen Denklemi Alıştırmalar İkinci Dereceden Yüzeyler Elipsoid Elipsoid Hiperboloid Eliptik Paraboloid Eliptik Koni Alıştırmalar Fiziksel uygulamalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment

18 Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Üç Katlı İntegral İle Moment Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Work (İş) Diferensiyel denklemler Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler Özel ve Genel Çözüm Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Denklemin Doğrusala Dönüşmesi Diferensiyel Denklemler Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Tam Diferensiyel Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Tam Diferensiyel Alıştırmalar Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Bernoulli Diferensiyel Denklemi Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü Çözümlü Örnekler Alıştırmalar Riccati Diferensiyel Denklemi Clairaut Diferensiyel denklemleri

19 Lagrange Diferensiyel Denklemi Alıştrmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Düzensiz İntegraller Aralığın Sonsuz Olması Durumu [a, ) aralığında integral (, a] aralığında integral (, ) aralığında integral Aralığın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: Sol Uç Sağ Uç Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: Düzensiz intgralleri karşılaştırma: Alıştırmalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Sıvı Basıncı Work (İş) Pappus teoremleri Alıştırmalar Simpson Yöntemi Yamuk Kuralı Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Belirli İntegral Uygulamaları Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Alan hesapları Foksiyonun Orta Değeri

20 20 Index 19

21 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

22

23 38 Vektörler Vektör kavramı, fiziksel kavram olarak ortaya çıkmış olsa da matematiksel sistemlerin temel kavramı olmuştur. Gerçekten vektör kavramın gelişimi matematikçilerden çok fizikçiler ve kimyacılar tarafından gerçekleştirilmiştir. Klasik fizikte iki türlü nicelik kullanılır: 1. Sayısal (skalar) nicelikler 2. Vektörel nicelikler Sayısal nicelikler, ölçümlerde sayısal değerinden başka bir nitelik taşımayan öğelerdir. Daha açık deyişle, yalnız sayısal nitelik taşıyan öğelerdir ki bunlar bildiğimiz sayılardır. Vektörler ise büyüklük, doğrultu ve yön niteliğini taşıyan öğelerdir. Vektörün büyüklüğü onun uzunluğudur (boy) ve sayısal bir niteliktir. Doğrultu uzaydaki konumunu belirler. Yön ise, üzerinde bulunduğu doğrultuya göre pozitif ya da negatif tarafa yönlenmesidir. Vektör düzlemde ya da uzayda hangi doğru üzerinde ise, vektörün doğrultusu odur. Çoğunlukla o doğrutuya taşıyıcı doğru diyoruz. Taşıyıcı doğru üzerinde pozitif ve negatif olmak üzere iki yön belirlenebilir. Her vektörün taşıyıcı doğru üzeride bir başlangıç ve bir bitim noktası vardır. Başlangıçtan bitime doğru olan yön vektörün yönüdür. Fiziksel kaynakların çoğu, vektörün yönü ile doğrultusunu aynı sayarlar. Uzayda vektör çizilince taşıyıcı doğrusu da belirli olacağı için bu yaklaşım kabul edilebilir. Ama fizikte vektör alanı diye geçen kavramı, matematikte vektörler üzerindeki bir denklik sınıfı olarak tanımlayacağız. Şekil 38.1: Yön-boy-doğrultu 38.1 Vektör Uzayı Doğrusal cebir, vektörleri fiziksel nitelikleriyle tanımlamak yerine, onların sağladığı cebirsel özeliklerle ilgilenir. Böylece fiziksel ortama bağlı olmayan soyut bir matematiksel sistem ortaya konabilir. Uygulamacı bu soyut sistemi alıp kendi işine uyarlayabilir. V boş olmayan bir küme R gerçel sayı kümesi olsun. V kümesi aşağıdaki koşulları sağlıyorsa bir gerçel vektör uzayıdır: Her u, v, w V ve her α, β R için aşağıdaki özelikler sağlanır 1. V kümesi toplama (+) işlemine göre bir Abel grubudur: (a) u, v V ise u + v V (b) u + (v + w) = (u + v) + w (Birleşme özeliği)

24 614 Vektörler (c) u + v = v + u (yer değişme özeliği) (d) v + 0 = v (birim öğe varlığı) (e) v v = 0 (ters öğe varlığı) 2. R V V dönüşümü aşağıdaki skalerle çarpma özeliklerini sağlar: 1 v (a) α(βv) = (αβ)v (uyumluluk) (b) 1v = v (skaler çarpımın birimi) (c) α(u + v) = αu + αv (skaler çarpımın vektör toplamı üzerine dağılımı) (d) (α+β)v = αv +βv (skaler toplamın vektörle çarpımının dağılımı) Simgeler Fiziksel uygulamalarda a vektörünün v, v gibi simgelerle gösterilmesi gelenek halini almıştır. Yalınlığı sağlamak için bazı bazı kaynaklarda v vektörü v gibi koyu yazılır. Matematikte, tipografik nedenlerle ok gösterminden sakınılır. Vektör, V uzayının bir öğesi olarak alınır ve normal harflerle gösterilir. Bu kitapta v, v ve v gösterimleri eş anlamlı kullanılacaktır. v vektörünün uzuluğunu, yazılış kolaylığına bağlı olarak v, v ya da v simgesiyle göstereceğiz. her durumda vektör ile uzunluğu gösterimlerde belirli olacak, bir karışıklık doğmayacaktır Denk Vektörler Uzayda bir a = AB vektörünü doğrultu, yön ve uzunluğunu koruyarak O(0,0) başlangıç noktasına kaydıralım. Kaydırma sonunda elde edilen a = OP vektörü ile a = AB vektörü arasında bir denklik bağıntısı vardır: Doğrultuları paralel, yönleri ve uzulukları aynıdır. Bunu genelleştirelim: Şekil 38.2: denklik Tanım Uzayda bütün vektörlerin oluşturduğu kümeyi V ile gösterelim. V kümesi üzerinde doğrultuları paralel, yönleri aynı ve uzunlukları eşit olan vektörleri birbirlerine denk sayan bir bağıntı kuralım. Bu bağıntı V kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntıya ait her denklik sınıfına bir vektör diyeceğiz. Buradaki denklik sınıfı, fizikte kullanılan vektör alanı kavramıdır. Görsel kolaylık sağlamak için, denklik sınıfları içinden, başlangıç noktaları koordinat sisteminin O başlangıç noktasıyla çakışan temsilcileri seçelim. Başlangıç noktası O(0,0) ve bitim noktası P(x, y) olan vektörü a, AB vektörünü AB ile ve a vektörünün uzunluğunu a ile gösterelim Vektörlerin Gösterimi Şekil 38.3: İki boyutlu vektör Dikey kartezyen koordinat sisteminde bir v vektörü Şekil (38.3) deki gibi ya da Şekil 38.9 deki gibi gösterilir. v vektörünün bir taşıyıcısı (doğrultu),

25 38.5 Vektör Uzayında İşlemler 615 A başlangıç noktası, B bitim noktası ve A noktasından B noktasına yönlendiğini belli etmek için B noktasının olduğu yöne konulan ok simgesi var. Genellikle v vektörünü simgesiyle, v vektörünün uzunluğunu simgesiyle gösteririz. v = AB (38.1) v = v = AB (38.2) 38.5 Vektör Uzayında İşlemler Vektör uzayı natematiksel bir yapıdır. Genellikle, matematiksel yapılar üzerine sayılardakine benzer operatörleri tanımlamak isteriz. Vektör uzayında toplama ve çıkarma işlemlerini basit geometrik yorumlarla tanımlayabiliyoruz. Vektörler üzerinde biraz sonra anlatacağımız üç çarpma işlemi tanımlanabiliyor. Bölme işlemi tanımsızdır Sıfır Vektörü Uzunluğu 0 ve yönü olmayan vektördür. 0 ile gösterilir. Bu vektörü başlangıç noktasına konulmuş bir nokta olarak düşünebiliriz. Sıfır vektörü ait olduğu vektör uzayında sayılardaki sıfırın rolünü oynar. Uzunluğu ve yönü olmadığı için toplandığı ya da çıkarıldığı vektörün uzunluğunu ve yönünü değiştirmez. Sıfır vektörü toplamsal V grubunun birim öğesidir; yani her v vektörü için Şekil 38.4: Sıfır vektör v + 0 = v (38.3) olur Vektörlerin Toplamı Vektörlerin toplamı için sayılarda kullanılan artı (+) operatörü kullanılır. Tabii, bu operatörün sayılardaki toplama işleminden farklı bir işleve sahip olduğunu söylemeye gerek yok. a = O A ile b = OB vektörlerinin toplamı a + b = (a + b), O A + OB = AB +C D (38.4) biçiminlerinden birisiyle gösterilir. Vektör uzayı bir grup olduğu için toplama ilemine kapalıdır; yani a,b V ise a + b V olacaktır. Toplama işleminin geometrik yorumu: Şekil (38.5) den görüldüğü gibi a ile b vektörlerini toplarken a vektörünün bitim noktasına b vektörü eklenir. Ekleme işlemi yapılırken vektörlerin doğrultu, yön ve uzunlukları korunur. Böylece a + b vektörü OACB parelelkenarının köşegeni olur. Vektör toplamı için kullandığımız artı (+) simgesi sayıların toplamında kullandığımız simge ile aynıdır, ama işlevleri farklıdır. Tabii, vektör toplamı sayılardaki toplamdan farklı olduğu için farklı bir simge kullanılabilirdi. Ama bütün toplamsal gruplarda (+) sembolünü kullanmak gelenektir; bu gelenek algıyı ve öğrenmeyi kolaylaştırır. Şekil 38.5: Vektörlerin Toplmamı

26 616 Vektörler Toplamanın Özelikleri Birleşme Toplamsal gruplarda birleşme özeliğinin varlığını biliyoruz. V vektör uzayı da artı operatörüne göre toplamsal bir grup olduğundan a + (b + c) = (a + b) + c (38.5) birleşme özeliğini sağlar. Böyle olduğunu şekil çizerek geometrik olarak görebilirsiniz. Üçgen Eşitsizliği a, b V ise a + b a + b (38.6) bağıntısı vardır. Buna üçgen eşitsizliği denilir. Üçgen eşitsizliğindeki öğelerin sayısal (skalar) olduğuna dikkat ediniz. Toplamaya Göre Birim Vektör Çünkü her v vektörü için Sıfır 0 vektörü toplma işleminin birimidir. v + 0 = v dir. Şekil 38.6: Vektörün Tersi Vektörün tersi Toplamsal V grubunun her v öğesinin toplama işlemine göre v ile gösterilen bir ters öğesi vardır: v + ( v) = 0 (38.7) olur Vektörlerde Çıkarma İşlemi İki vektörün farkını sayılardaki gibi tanımlarız. her a, b V için a + ( b) = a b (38.8) yazılır. Buradan hemen şu sonuç çıkar: a + ( a) = 0 (38.9) Şekil 38.7: Çıkarma: a b 38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı v bir vektör ve α bir gerçel sayı ise α v sayıl (skalar) çarpımının, R V V işleminin bir sonucu olduğunu biliyoruz. Buradaki α sayısına sayıl (skalar) denir. Sayıl çarpım vektörün uzunluğunu α katına uzatır. Sayıl çarpım vektörün doğrultusunu değiştirmez. Şekil 38.8: u v farkı Pozitif sayı ile çarpılınca vektörün yönü değişmez. Negatif sayı ile çarpılınca vektörün yönü tersine döner. α > 1 ise vektörün uzunluğu artar: v < α v.

27 38.9 Birim Vektör 617 α = 1 ise vektörün uzunluğu değişmez: v = α v. α < 1 ise vektörün uzunluğu azalır: v > α v. Sayıl çarpım (α + β) a = α a + β aα( a + b) = α a + α b (38.10) eşitliklerini sağlar Birim Vektör Uzunluğu 1 olan vektöre birim vektör denilir. Geometrik anlamada, uzunluk ölçü biriminin ne olduğu önem taşımaz, çünkü bütün uzunluk ölçü biriemlei birbirlerine dönüştürülebilir. Her a vektörünü kendi uzunluğuna bölerek birim vektör elde edilebilir. Dolayısıyla her doğrultuda birim vektör vardır. Kolayca görüleceği gibi a a = 1 a (a 0) (38.11) a a a = 1 a a = 1 Fizikte ve analitik geometride, çoğunlukla vektör ok şeklinde bir doğru parçası ile gösterilir. Buraya kadar söylediklerimizin fiziksel ya da geometrik yorumları kolayca yapılabilir. 1. Aynı yön ve aynı büyüklüğe sahip iki veköre eşit vektörler denilir. 2. v vektörü ile ters yönlü ama eşit uzunlukta olan v vektörüne v vektörünün tersi denilir. 3. v = λ u ise bu iki vektör birbirine paraleldir. Paralel vektörlerin taşıyıcı doğruları birbirlerine paralel olur. 4. Taşıyıcı doğruları birbirlerine dik olan iki vektör birbirlerine diktir. 5. Başlangıç noktası O da olan vektörlere yer vektörü denilir Doğrultu Açıları Üç boyutlu uzayda vektörün koordinat eksenleriyle yaptığı α,β,γ açılarına doğrultu açıları, bu açıların ölçümleri de doğrultu kosinüsleri diye adlandırılır. Doğultu açıları belli olan vektörün yönü ve doğrultusu belli olur. Koordinat eksenleri üzerindekii, j,k birim dikey sistemini kullanarak, doğrultu açılarını bulabiliriz: Her hangi bir a için cosα = a.i a i = a.i a cosβ = a.j a j = a.j a cosγ = a.k a k = a.k a Şekil 38.9: Doğrultu Açıları

28 618 Vektörler x = a cosα, y = a cosβ, z = a cosγ dersek, a vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin uzunluklarını buluruz. α,β,γ açılarının kosinüsleri sayısal olark bulunabilir. Bu sayılara doğrultu kosinüsleri denilir. olur: Bir a vektörünün doğrultu kosinüslerinin kareleri toplamı daima 1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 a (x2 + y 2 + z 2 ) = 1 olur. Çünkü a = x 2 + y 2 + z 2 dir Analitik Geometriye Giriş Vektörlerin daha yararlı kullanılabilmesi için onlar üzerinde geometriye dayanmayan cebirsel işlemlerin tanımlanması gerekir. Bunu yapmak çok kolaydır. Vektör uzaylarında yaptığımız denklik sınıfları tanımına göre, her vektörü yer vektörü gibi düşünebiliriz. Yer vektörlerini bitim noktalarının koordinatları cinsinden yazabiliriz. Algıyı kolaylaştırmak için düzlemsel vektörleri düşünelim. v vektörünün bitim noktasını (v x, v y ) koordinatları ile gösterirsek, bitim noktaları ile vektörler arasında bire-bir bir eşleşim kurulabilir. v (v x, v y ) Ox ekseni üzerinde birim vektörü i ile ve O y üzerindeki birim vektörü j ile gösterelim. Bitim noktasının Ox ekseni üzerindeki izdüşümüne karşılık gelen yatay vektör x i ve bitim noktasının O y ekseni üzerindeki izdüşümüne karşılık gelen düşey vektörü y j ile gösterelim. v = v x i + v y j (38.12) Şekil 38.10: Orthonormal Taban dir. Düzlemdeki her v vektörü için bu eşleşmeyi yapabiliriz. Dolayısıyla her vektörü i ile j birim vektörlerinin katlarının toplamı cinsinden yazabiliriz. Buna doğrusal bileşim deniyor. Bu eşleşme olağanüstü kolaylık sağlar. Düzlemdeki bütün vektörleri iki vektörün toplamı olarak ifade edebiliyoruz. Bu kolaylığı sağlayan { i, j } birim vektörlerine düzlemsel vektörlerin bir dikey birimsel tabanı (orthomormal base) denilir. { i, j } vektölerinin uzunlukları i = j = 1dir ve birbirlerine diktirler. Dikliği i j simgesiyle göstereceğiz. (38.12) ifadesinden şunlar çıkar: v = v = (v x ) 2 + (v y ) 2 (38.13) v = OP vektörünün Ox ekseni ile yaptığı açı θ ise x = v cosθ = vcosθ, y = v si nθ = v si nθ (38.14) olur. (38.12) ifadesinde v x, v y sayılarına, sırasıyla, v vektörünün birinci ve ikinci bileşenleri denilir. Yüksek boyutlu uzaylarda da geçerli olan bu formülü n-boyutlu V n vektör uzayına genelleştirelim:

29 38.12 Alıştırmalar 619 Tanım V n vektör uzayında { e 1, e 2, e 3,... e n } (38.15) vektörleri verilsin. 1. i j e i e j 2. e i = 1 (i = 1,2,...,n) 3. V n vektör uzayına ait her v vektörü için n v = α i e i (38.16) i=1 olacak şekilde hepsi aynı anda sıfır olmayan α 1,α 2,α 3,...,α n (38.17) katsayıları varsa, (38.15) vektörlerine V n vektör uzayının dikey birimsel bir tabanıdır (orthonormal base) denilir. Bu durumda, (38.20) ye {e i } sisteminin bir doğrusal bileşimi (linear combination), (38.17) sayılrına v vektörünün {e i } tabanına göre bileşen katsayıları denilir. {e i } tabanı belirli olduğu zaman tabanın kim olduğunu söylemek gerekmez. Ayrıca, belirli bir taban için bileşen katsayıları tek olarak belirli oluğundan, (38.20) toplamı yerine, {α i } = (α 1,α 2,α 3,...,α n ) (38.18) katsayılar vektörünü kullanabiliriz. Bunu yapmak, özellikle, vektörler üzerinde cebirsel işlemler yapmayı kolaylaştıracaktır. (38.20) deki v vektörünün uzunluğu n v 2 = α 2 i (38.19) ile tanımlıdır. α i katsayılarının hepsi birden sıfır olmadan (38.20) doğrusal bileşmi 0 vektörüne eşitse, n α i a i = 0 (38.20) i=1 oluyorsa, a i (i = 1,2,...,n) vektörlerine doğrusal bağımlıdır (linear dependent) denilir. Bu durumda a i vektörlerinden her hangi birisi ötekiler cinsinden yazılabilir. Doğrusal bağımlı olmayan vektörlere doğrusal bağımsız vektörler denilir. Doğrusal bağımsız vektörlerden hiç birisi ötekiler cinsinden yazılamaz. i= Alıştırmalar 1. a = (1, 0, 3) vektörünün uzunluğunu bulunuz. 2. Uç noktaları P 1 (2,3,5) ve P 2 (3,0,7) olan P 1 P 2 vektörünün uzunluğunu bulunuz. 3. Düzlemdeki a(x, y) noktası için a = O A vektörünü, düzlemdeki dikey birimsel taban cinsinden yazınız.

30 620 Vektörler 4. v = 2i j 2k vektörüyle aynı yön ve doğrultudaki birim vektörü bulunuz. 5. P 1 (3, 2,0) ve P 2 (7,4,4) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasını bulunuz. 6. a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ), c = (c 1,c 2,c 3 ) vektörlerinin bitim noktalarını köşe kabul eden ABC üçgenin kenar ortaylarının kesişim noktasının ( a1 + b 1 + c 1 (x 2, x 2, x 3 ) =, a 2 + b 2 + c 2, a ) 3 + b 3 + c olduğunu gösteriniz. 7. u = (2,3,4) ve ve v = ( 2,1,3) ise u + v, 2 u ve 2 u + 3 v vektörlerini bulunuz. 8. u = (1,0,3), v = ( 1,2,3), w = (0,1,2) veriliyor. a = ( 2,6,1) vektörünü u = (1,0,3), v = ( 1,2,3), w = (0,1,2) vektörlerinin doğrusal bileşimi olarak yazınız. 9. A(2,4),B( 3,2) ise AB ile aynı doğrultu ve aynı yönde olan birim vektörü yazınız Bileşenlerle İşlemler Daha önce tanımladığımız vektörlerin toplamını ve sayıl çarpımını bileşenler cinsinden ifade edebiliriz: a = a 1 e 1 + a 2 e a n e n (38.21) b = b1 e 1 + b 2 e b b e n (38.22) olmak üzere, a + b vektör toplamını bileşenlerinin toplamı cinsinden yazabiliriz. a + b = (a 1 + b 1 ) e 1 + (a 2 + b 2 ) e λa n e n + λb n e n (38.23) dir. Benzer olarak, bir vektörün bir sayı ile çarpımı, o sayı ile bileşenlerinin çarpımı cinsinden yazılabilir: λ a = λa 1 e 1 + λa 2 e 2 + λa n e n (λsabit ) (38.24) Bu eşitlikler vektör toplamı ve sayıl çarpımı tanımından görülebilir. Aşağıdaki bağıntılar apaçıktır: a = a 1 e 1 a 2 e 2 a n e n (38.25) a b = (a 1 b 1 ) e 1 + (a 2 b 2 ) e 2 + (a n b n ) e n (38.26) a = a1 2 + a a2 n (38.27)

31 38.14 Nokta Çarpım 621 Önce de söylediğimiz gibi, işlemlerde kısalığı sağlamak için, a yerine (38.18) vektörünü kullanırız: Bu durumda a = ( a 1, a 2,..., a n ) λ a = (λa 1,λa 2,...,λa n ) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) a b = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ) a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ) (a n = b n ) a = 0 (a 1 = 0) (a 2 = 0)... (a n = 0) bağıntıları geçerlidir Nokta Çarpım Skaler Çarpma Vektörler üzerinde toplama, çıkarma ve sayı ile çarpma işlemlerini tanımladık. Meraklı öğrenciler şu soruyu sorabilirler: Vektörler üzerinde çarpma ve bölme işlemleri tanımlı değil mi? Bu soruya verilecek yanıt hayır olacaktır. Vektörler üzerinde sayılardakine benzer çarpma ve bölme işlemleri yoktur. Onun yerine vektörler üzerinde iki çarpma işlemi tanımlanır. Bunlardan birincisi olan nokta çarpım (skaler çarpım) sayısal değer verir ve bir vektörün başka bir vektör üzerine izdüşümünü belirler. İkinci çarpma işlemi vektörel çarpım adını alır, çarpılan vektörlerin düzlemine dikey olan yeni bir vektör yaratır. Tanım a ile b n-boyutly R n öklit uzayında iki vektör olsun. Bu vektörlerinin a. b simgesiyle gösterilen nokta çarpımı, karşılıklı bileşenlerinin birbirleriyle çarpımlarının toplamına eşittir: a. b = a 1.b 1 + a 2.b a n.b n (38.28) Bu durumda nokta çarpım (.) operatörü R n R n kartezyen çarpımından R gerçel sayılar kümesine bir dönüşümdür:. : R n R n R (38.29) Dönüşümün değeri sayısal olduğu için, bazı kaynalar ona skaler çarpım der. Notasyonları yalınlaştırmak için vektör üzerine ok işaretini koymayacağız. Aşağıdaki bağıntılar kolayca görülebilir: a. a 0 a. a = 0 a = 0 a. b = b. a (α a).(β b) = (αβ) a. b a.( b + c) = a. b + a. c ( a. + b). c = a. c + b. c α( a. + b) = (α a). b = a(α b) e i. e i = 1, (i = 1,2,...,n) i. j = 0(i j ) (38.30)

32 622 Vektörler Teorem a ile b vektörleri arasındakiş açı θ ise, a. b = a. b cosθ olur. Buradan a. b = a. b cosθ a. b = a. b. cosθ (cosθ 1) a. b a. b çıkar. Son eşitsizlik ünlü Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin özel bir halidir. Ayrıca ikinci satırdan, iki vektör arsındaki açı formülü çıkar: cosθ = a. b a. b (38.31) İzdüşüm a ile b vektörleri arasındaki açı θ ise, a vektörünün b üzerine izdüşümünün uzunluğu λ = a cosθ (38.32) sayısıdır. OB doğru parçasını OB vektörü olarak ifade etmek istersek, b b birim vectörünün λ katını alabiliriz: yazabiliriz. b b OB = ( a cosθ) b = λ( b ) Şekil 38.11: İki vektör arasındaki açı İzdüşümün Genellenmesi Düzlemsel durum için yukarı ifade ettiğimiz sonucu n boyutlu uzaylara genelleştirebiliriz: a ile b vektörleri R n Öklit uzayına ait olsunlar. a vektörünün b vektörü üzerine izdüşümü olan vektörü i zd b a simgesiyle gösterelim. a i zd b a vektörünün b vektörüne dik olacağı açıktır. b vektörü ile aynı doğrultu ve yöne sahip her vektör b vektörünün bir katı olur. O halde i zd b a = λb olacak şekilde bir λ sayısı vardır. ( a i zd b a) b olduğundan bu ikisinin nokta çarpımı sıfırdır: 0 = ( a λ b). b 0 = ( a. b) λ( b. b) λ = a. b b. b = a. b b 2 Uzunluğu λ olan b yönündeki, vektör i zd b a = a. b b 2. b b

33 38.16 İki Vektör Arasındaki Açı 623 olur. b. b = b 2 olduğundan ( a. ) b i zd b a = a. b b ( ) a. b b = b b olur. Eğer u b vektörü b nin yön ve doğrultusunda birim vektör ise, olacaktır. i zd b a = ( a. b) u b Teorem Cauchy-Schwarz eşitsizliği: n boyutlu R n Öklit uzayındaki (38.21) vektörleri için bağıntısı vardır. a. b a. b (38.33) Kanıt: b = 0 ise bağıntının sağlanacağı apaçıktır. b 0 ise eşitsizliğin iki yanını b sayısı ile bölebiliriz. Buradan, ( ) b a. b a ( ) b çıkar. b birim vektör olduğundan, teoremin kanıtı, u birim vektör olmak üzere, a. u a eşitsizliğinin kanıtlanmasına indirgenmiş olur. Şimdi bunu gösterelim: a. u nun bir sayı olduğunu düşünerek u. u = u 2 = 1 yazabiliriz. Bunu kullanırsak, 0 a ( a ( a. u) u 2 [ a ( a. u) u].[ a ( a. u) u] a. a a.[( a. u) u] [( a. u) u]. u + [( a. u) u].[( a. u) u] a 2 2( a. u) 2 + ( a. u) 2, ( u. u = u 2 = 1) a 2 ( a. u) 2 çıkar. Son satırı a. u a 2 biçiminde yazıp iki yanın karekökü alınırsa, amaçlanan eşitsizlik elde edilir İki Vektör Arasındaki Açı n boyutlu R n Öklit uzayındaki (38.21) vektörleri arasındaki açıya θ diyelim. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden a. b a. b a. b 1 a. b a. b 1 yazılabilir. [ 1,1] aralığındaki her sayı bir açının kosinüsüdür. O halde cosθ = a. b a. b (38.34)

34 624 Vektörler eşitliğini sağlayan bir θ açısı vardır. Bu açıya a ile b vektörleri arasındaki açı diyoruz. Bu tanım, iki ve üç boyut için geometrik gösterimlere uyar. Dolayısıyla, bu tanımı yüksek boyutlara bir genişleme olarak kabul etmek gerekir. Şekil 38.12: İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki ya da üç boyutlu Öklit uzayında iki vektör (ya da iki doğru) arasındaki açının ölçümü çok kullanılır. Bunu yüksek boyutlara genelleştirmek mümkündür: a. b = a. b cosθ (38.35) 2 a b ( a. b = 0) formülünü daha önce çıkarmıştık. Bu formülün 2 ve 3 boyuttaki geometrik açıklaması kolayca yapılabilir. Dolayısıyla, (38.35) formülünü yüksek boyutlara doğal bir genelleştirme olarak düşünebiliriz. Bu formülde, seçilen koordinat sisteminin hiç bir rolü olmadığı, dolayısıyla iki vektör araındaki açının ölçümünün değişmez (invariant) kaldığı gözlenebilir İki Vektörün Birbirine Dikliği a ile b arasındaki açı θ = 90 o ya da denk olarak θ = π 2 radyan ise a ile b vektörlerine birbirlerine dik iki vektör diyecek ve a b simgesiyle

35 38.18 İki Vektörün Birbirine Dikliği 625 göstereceğiz. a ile b vektörleri birbirlerine dik iseler, Formül (38.34) den nokta çarpımlarının sıfıra eşit olduğu görülebilir a b ( a. b = 0) Üçgen Eşitsizliği n boyutlu R n Öklit uzayındaki (38.21) vektörlerinin nokta çarpımlarından ( a + b).( a + b) = a + b 2 yazabiliriz. sağ yandaki kareyi hesaplarsak, a + b 2 = a 2 + 2( a. b) + b 2 çıkar. Sağ ortadaki nokta çarpıma Cauchy-Schwarz eşitsiliğiniuygularsak, a + b 2 a a. b + b 2 ( a + ) 2 b olur. Son eşitsizlikte iki yanın karekökü alırsa a + b a + b (38.36) elde edilir. 3 3 Bir karışıklık doğmuyorsa, yazım kolaylığı için vektörlerin üzerine ok Örnek u = 2i + 3j + k ile v = i + 5j + k vektörleri arasındaki açıyı simgesi konmayabilir. bulunuz. Çözüm: u = = 14, v = ( 1) = 27 u.v = = 14 olduğundan, Formil (38.34) uygulanırsa, cosθ = = çıkar. Buradan, isteniyorsa, trigonometri cetvelinden ya da hesap makinasından, bulunur. ( ) 42 θ = cos r ad y an = 44.9 o 9 Örnek a = 2i + 14j + 5k ile b = 3i j + 4k vektörlerinin birbirlerine dik olduğunu gösteriniz. Çözüm: a. b = 2( 3) + 14( 1) + 5(4) = 0 a b Örnek a = 3i j + 5k vektörünün b = 2i + j + 2k vektörü üzerine izdüşümünü bulunuz. olur. Çözüm: i zd b a = ( a. b) b b 2 = = 3 9 ( 2i + j + 2k ) = 2 3 i j k ( (3i j + 5k).(2i + j + 2k) ).( 2i + j + 2k) 9

36 626 Vektörler Uzayda Doğru ve Düzlem Teorem Uzaydaki bir doğru, üzerideki bir nokta ve doğruya paralel olan bir vektör yardımıyla tek olarak belirlenebilir. Kanıt: Uzayda bir L doğrusu üzeride bir A(x 1, y 1, z 1 ) noktası ve L doğrusuna paralel olan bir v = OQ, Q(a,b,c), v = ai + b j + ck Şekil 38.13: Uzayda doğru denklemi vekörü verilsin. L doğrusu üzeride gezgin bir P(x, y, z) noktasını düşünelim. u = OP olsun. AP vektörü v vektörüne paraleldir. Bunu v AP simgesiyle gösteriyoruz. AP = OP O A = (x x1, y y 1, z z 1 ) ve x x 1 = at, y y 1 = bt; z z 1 = ct x = x 1 +at, y = y 1 +bt, z = z 1 +ct, < t < parametrik denklemi yazılabilir. Her birinden t çekilip eşitlenirse, x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c elde edilr. Bu denklemlere doğrunun simetrik denklemleri adı verilir. (38.37) İki boyutlu uzayda doğru denklemini yukarıdak fomülden çıkarabiliriz. L doğrusu A(x 1, y 1 ) noktasından geçiyorsa x = x 1 + t a, y = y 1 + tb olacağından v 0 olduğunda ya a 0 ya da b 0 olmalıdır. t = x a a ve y = y 1 + tb de yerine yazılırsa elde edilir ki bu düzlemdeki doğru denklemidir. y = y 1 + b a (x x 1) (38.38) Örnek A(3, 1, 2) noktasından geçen ve v = 2i + 4 j + 5k vekörüne paralel olan doğrunun simetrik denklemini bulunuz. Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacağız: çıkar. x 3 2 = y = z İki noktası Verilen Doğru Denklemi İki nokta bir doğru belirler. Başka bir deyişle iki noktadan ancak bir doğru geçer. Bundan yaralanarak doğru üzerindeki A ve B noktaları biliniyora, doğruyu belirlyebiliriz. Şimdi o doğrunun denklemini yazacağız: v = AB vektörüne paralel olan ve A noktasından geçen doğrunun simetrik denklemini biliyoruz. v = AB = (x 2 z 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) vektörü v vektörüne paralel olduğundan, (38.37) denklemi olur. x x 1 x 2 x1 = y y 1 y 2 y 1 = z z 1 z 2 z 1

37 38.21 Noktanın Doğruya Uzaklığı 627 Örnek A(3,2,1) ve A(1,3,5) noktalarından geçen doğrunun simetrik denklemini yazınız. Doğrunu x = 0 koordinat düzlemi ile kesim noktasını bulunuz. çıkar. Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacağız: Çözüm: Yukarıdaki formülden, x = y = z x 3 olur. Bu denklemde x = 0 alınırsa, 1 = y 2 3 = z y 2 3 = z + 1 = 3 y = 11, z = 7 2 çıkar. O halse doğrıunu x = 0 düzlemini deldiği nokta (0,11, 7) noktasıdır Noktanın Doğruya Uzaklığı Teorem Uzayda bir A(a,b,c) noktasının bir L doğrusuna olan uzaklığı, v//l ise, dir. d = v AB v (38.39) Uzayda bir L doğrusu ile bir P(p, q,r ) noktası verilsin. Doğru üzerinde bir A(x 0, y 0, z 0 ) noktası alalım. v = AP vektörü ile AP vektörü arasındaki açı α ise, d = AP sinα Şekil 38.14: Noktanın doğruya uzaklığı dır. Buradan, v AP = v AP sinα çıkar. Örnek P(5, 3) noktasını 4x +3y 15 = 0 doğrusuna uzaklığı nedir? Çözüm: Doğru üzerinde bir P noktası bulup, uzaklık formülünü uygulamalıyız.en kolay yol, koordinate eksenlerini kestiği noktaları bulmaktır. x = 0 konulursa, P(0, 5 noktası doğrunun Ox eksenini kestiği nokta olarak bulunur. α açısının sinüsünü bilmediğimiz için, yukarıdaki formül ile aynı sonucu vereck olan skaler çarpım uygulanırsa olur. d = h AP = h. AP = = 4 h

38 628 Vektörler Düzlem Denklemi Düzlem denklemi, birbirlerine denk farklı yöntemlerle elde edilebilir. Bu yöntemlerden birisi, uzayda paralel olmayan iki vektör ile bir noktanın düzlemi belirleyeceği gerçeğinden hareket eder. Denklemi aranan düzlem D olsun. P 0 (x 0, y 0, z 0 ) düzlem içinde sabit bir nokta ve P(x, y, z) ise düzlem içinde gezgin bir nokta olsun. Düzlemin normali (düzleme dik vektör) n = ai + b j + ck olsun. n normali düzlem içindeki her doğruya dik olduğundan n. P 0 P = 0 olacaktır. P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) olduğundan Şekil 38.15: Ke belirler a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 dır. Buradan, ax + by + cz + d = 0, d = ax 0 by 0 cz 0 ) (38.40) olur ki bu aranan düzlem denklemidir. Şekil 38.16: Dü Örnek P(2, 1, 3) noktasından geçen ve n = 83, 5, 7) vektörüne dik olan düzlem denklemini bulunuz. Çözüm: Aranan düzlemde gezgin bir P(x, y, z) noktası düşünelim. n P 0 P olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: 3(x 2) + ( 7)(y + 1) + 5(z 3) = 0 Şekil 38.17: Dü Buradan arana düzlemi 3x 7y + 5z 28 = 0 olarak çıkar Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi Örnek P 1 (2, 1,3), P 2 (1,2,2), P 3 ( 2,1,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm: Üç noktadan bir düzlem geçtiğini biliyoruz. Denklemini aradığımız düzlem D olsun. Düzlem içinde iki vektörün vektörel çarpımı, düzleme dik olan bir vektördür. P 1 P 2 = ( 1,3, 1) ve P 1 P 3 = ( 4,2, 2) vektörlerinin vektörel çarpımı, P 1 P 2 i j k P 1 P 3 = = 4i + 6j + 10k olur. Bu vektör D düzlemine dik olduğundan, düzlem içindeki P 1 P 2 vrktörünr diktir. Öyleyse onların skaler çarpımı sıfıra eşit olur: 4(x 2) + 6(y + 1) + 10(z 3) = 0 olur ki buradan düzlemin denklmi olarak, 2x 3y 5z + 8 = 0 4 bulunur. 4, 5 5

39 38.24 Noktanın Düzleme Uzaklığı 629 Örnek x 2y43z 6 = 0, arakesiti olan L doğrusunun denklemini bulunuz. 3x + 2y 5z 10 = 0 düzlemlerinin Çözüm: Düzlemlerin normalleri, sırasıyla, n 1 = (1, 2,3), n 2 = (3,2, 5) dir. Arakesit doğrusu her iki düzlem içinde olacağından, her ikisinin normaline dik olacaktır: Öyleyse, nomallerin vektörel çarpımı arakesit doğrusuna paralle olur: i j k n 1 n 2 = = 4i + 14j + 8k elde edilir. Her iki denklemde z = 0 konularak x y düzlemi ile arakesiti bulunur.: x 2y = 6, 3x + 2y = 10 denklem sitemi elde edilir. Bu sistem çözülürse x = 4, y = 1 bulunur. O halde, arakesit doğrusu (4, 1,0) noktasından geçmektedir. Dolayısıyla L nin simetrik denklemi olacaktır. x 4 2 = y = z 4 Örnek x + 3y 2z = 0, bulunuz. x + 2y 2 z = 0 düzlemleri arasındaki açıyı Çözüm: Düzlemlerri arsındaki açı, noralleri arasındaki açıya eşittir. Öyleyse, iki normeal arasındaki açıyı bulacağız. n 1 = (1,2,2), n 2 = (1,2,2)ol duğund an, cosα = n 1. n 2 6(1) + 3(2) 2(2) = n 1. n 2 = ( 2) 2 21 çıkar. olur. α = cos 1 ( 8 21 ) 67.6o Noktanın Düzleme Uzaklığı Teorem Uzayda bir P(x 0, y 0, z 0 ) noktasının ax + by + cz + d = 0 düzlemine uzaklığı bağıntısı ile verilir. d = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (38.41) Şekil 38.18: Noktanın Düzleme Uzaklığı Kanıt: Düzleme P diyelim. Düzlem içinde her hangi bir nokta B(x 1, y 1, z 1 ) olsun. A noktasından düzleme inilen dikmenin ayağına A diyelim. Düzlemin n = (a,b,c) normali B A vektörüne diktir. A noktasının B A doğrusuna olan uzaklık formülünden, d = n B A n = n. B A n

40 630 Vektörler olur. B A = (x 1 x 0 ),(y 1 y 0 ),(z 1 z 0 ) olduğundan, d = a(x 1 x 0 ) + b(y 1 y 0 ) + c(z 1 z 0 ) a 2 + b 2 + c 2 = ax 0 + by 0 + cz 0 (ax 1 + by 1 + cz 1 ) a 2 + b 2 + c 2 olur. B noktası düzlem içinde olduğudan (ax 1 +by 1 +cz 1 ) = 0 dır. O halde, d = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (38.42) Örnek uzaklığını bulunuz. çıkar. A( 3, 1, 5) noktasının 6x 2y + 3z = 9 düzlemlemine Çözüm: (38.49) formülünden, d = 6( 3) + ( 2)(1) + 3(5) 9 = 14 = ( 2) Örnek Merkezi M(3, 2, 1)) olan ve 4x + 8y + z = 0 düzlemine teğet olsn kürenin denklemini bulunuz. Çözüm: Küre merkezinin teğet düzleme uzaklığı kürenin r yarıçapıdır: d = r 4(3) + 8(2) + 1(1) = 27 9 = 3 olur. Merkezi ve yarıçapı bilinen kürenin denklemi (x 3) 2 + (y 2) 2 + (z 1) 2 = 9 olur Alıştrmalar 1. Aşağıdaki nokta çiftlerinden geçen doğruların parametrik denklemlerini yazınız. a)p(1,2, 1) b)p(0,1,0) c)p(1, 1,3) d)p(1,2,0) Q( 1,0,1) Q(0,3,0) Q(2,1,3) Q(1,1, 1) 2. P(3, 2, 1),Q(1, 3, 2), R(3, 2, 1) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. 3. P(3, 2,1) noktasından geçen ve x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 3t doğrusuna paralle olan doğrunun denklemini yazınız. 4. 2x 3y45z 700, 3x +2y 5z +2 = 0 düzlemlei arasındaki açıyı bulunuz.

41 38.26 Vektörel Çarpım doğrusu ile L 1 : x 1 2 L 2 : x = y = z = y 3 = z 1 doğrusu kesiyorsa, kesişim noktasını bulunuz. 6. x = 6 t, y = t, z = 1 + 3t ile x5 + 2s, y = 9 4s, z = 1 + 7s doğruları kesiyorsa, kesişim noktasını bulunuz. 7. 2x + 3y + 6z = 18 düzleminin grafiğini çiziniz. 8. P( 1, 2, 2) noktasının 2x 2y z + 5 = 0 düzlemine uzaklığını bulunuz Vektörel Çarpım Daha önce bir sayı ile bir vektörün çarpımını ve iki vektörün nokta (skaler) çarpımını gördük. bu kesimde iki vektörün vektörel çarpımını inceleyeceğiz: Tanım a = (a 1, a 2, a 3 ) ve b = (b 1,b 2,b 3 ) vektölerinin vektörel çarpımı a i j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 dir. Matrisin açılımını yazarsak a i j k b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 2 a 3 = b 2 b 3 i + a 1 a 3 b 1 b 3 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) ; j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k olur. Bu çarpımı bileşenler cinsinden de ifade edersek, a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k = ((a 2 b 3 a 3 b 2,(a 3 b 1 a 1 b 3 ),(a 1 b 2 a 2 b 1 )) olur. Örnek a = 2i j + k, b = 3i + j k ise a b vektörel çarpımını bulunuz.

42 632 Vektörler Çözüm: Tanımı kullanarak a i j k b = = (1 1)i + ( 3 + 2)j + (2 3)k = j k olur Vektörel Çarpımın Özelikleri (i ) a = 0 ya da b = 0 a b = 0 (i i ) a b b a (i i i ) a ( b + c) = ( a b) + (a c) (i v) ( a + b) c = ( a c) + (b c) (v) a (λb) = (λa) b = λ( a b), (λ R) (vi ) a a = 0 (vi i ) a.( a b) = 0 (vi i i ) b.( a b) = 0 (i x) i. i = 0, j. j = 0, k. k = 0 (x) i. j = k, j. k = i, k. i = j j. i = k, k. j = i, i. k = j dir VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları Diklik Tanım Uzayda a ile b vektörleri sıfırdan farklı iseler, 1. a b vektörel çarpımı a ile b vektörlerinin oluşturduğu düzleme diktir. Şekil 38.19: Vektörel Çarpım 2. Düzlemin n normalinin yönü sağ el kuralına göre belirlenmiş ve a ile b vekörleri arasındaki açı θ (0 θ π) olmak üzere, a ( b = a. ) b sinθ dır. Vektörel çarpım çarpan vektörlerin oluşturduğu düzleme dik olduğuna göre her iki vektöre de dik olur. θ = 0 ya da θ = π ise a ile b vektörler paralel olurlar: a 0, vecb 0 a b a b = 0 olur.

43 38.29 Üçlü Çarpım Alan a b vektörel çarpımının uzunluğu a ile b vektörlerinin oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir. Tabanı a ve yüksekliği b sinθ olan paralelkenarın alanı A ise, A = taban [yükseklik = a b = a ( b sinθ) = a b Örnek Köşeleri A(1, 1, 1), B(2, 3, 4), C (3, 0, 1) olan üçgenin alanını bulunuz. Çözüm: Üçgenin alanını iki kenarınının oluşturduğu vektörlerin vektörel çarpımının yarısıdır. AB = i + 2j + 3k ve BC = i 3j 5k dır. Buradan i j k AB BC = = i + 8j 5k olur. O halde, A = 1 2 i + 8j 5k = Üçlü Çarpım a, b ve c vektörlerinin üçlü çarpımı a.( b c) (38.43) olarak tanımlanır. Teorem a.( b c) üçlü çarpımı a, b ve c vektörlerinin oluşturduğu prizmanın hacmine eşittir. Kanıt: Prizmanın bir yüzünün alanı (buna taban alanı diyelim) A = b c dir. veca ile b c arasındaki açı θ olsun. Prizmanın yüksekliği h = veca cosθ olacaktır. Öyleyse, prizmanın hacmi, Şekil 38.21: Vektörel Çarpım V = A.h = b c. veca. cosθ = veca.( b c) oacaktır. Vektörlerin koordinatlarcinsinden ifadeleri a = a 1 i + a 2 j + a 3 k, b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, c = c 1 i + c 2 j + c 3 k ise, sözkonusu hacim V = a.( a 1 a 2 a 3 b c) = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Örnek a = i + 4j 7k, b = 2i j + 4k, c = 9j + 18k vektörleri aynı düzlemdemidirler?