2.2. Fonksiyon Serileri

Transkript

1 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m u k(x şeklideki seriye foksiyo serisi adı verilir. Yie, aşağıdaki gibi geel terime sahip ola S (x = u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x = k=m u k(x şeklideki tae terimi toplamıa da ilgili foksiyo serisii kısmı toplamlar dizi veya. kısmı toplamlar dizi veya adı verilir. Taımı daha uygu bir yapıya döüştürmek adıa m = alırsak k= u k(x = u (x + u 2 (x + u 3 (x + u 4 (x + + u (x + şeklideki foksiyo serisi ve bu foksiyo serii kısmı toplamlar dizisi de S (x = k=m u k(x = x + x 2 + x 3 + x x şeklideki solu tae terime sahip ola geel terimli dizi olacaktır. Aşağda verile serilerii herbiri birer foksiyo serisi içi örektir. k=0 (2x 3k = (2x (2x 3 + (2x 3 2 +, k=2 k=5 k= k=0 x k + = x x x 4 + +, x k k 4 = X5 + x6 2 + x7 3 +, e k k = ex + e2x 2 + e3x 3 +, 2 k (k+x(k+x = 2 0 (0+x(+x + 2 (+x(2+x (2+x(3+x +. Ayrıca, verile bir foksiyo serisii. terimde soraki sosuz tae terimii toplamı ola seriye ilgili serii kala terimler veya. kala terimler toplamı deir ve geelikle K (x ile gösterilir. Kısacası, K (x = i=+ f (x şeklideki foksiyo serisi olur. O zama, her foksiyo serisi i= f (x = i= f i(x + i=+ f (x = S (x + K (x şeklide yazılabilir. Verile bir foksiyo serisii yakısaklığıı araştırmak içi, bu seiye ait ola kısmi toplamlar dizisii yakısakılğıı belirlemek kolay aolmamaktadır. Öreği, = f (x = = x foksiyo serisii kısmi toplamlar dizisi S = x + x + x x = x( + x + x x = x x x

2 olup bu dizi bildiğimiz üzere x < içi yakısaktır ve x içi de ıraksaktır. O halde, S = i= xi = x = x = x = x x ( x < olur. Burada şu otu düşmekte fayda görmekteyiz: Eğer bir s(x foksiyouu terimleri ard arda işaret değiştirerek gide bir serii ilk terimle temsil edersek, yapmış olcağımız hata ( +. terimde küçük olmak zorudadır. Yai, alteratif formda ola serilerde K (x < f + (x olmak durumudadır. Her e kadar foksiyo dizilerii yakısaklığı ya da düzgü yakısaklığı hakkıda öcede bilgimiz olsa da, kısmı toplamalar dizisii ele aldığımız bu foksiyo dizii yakısaklığıı araştırma işi o kadar kolay olmamaktadır. Şimdi, bu gibi araştırmaları asıl kolayca yapılacağıı tartışalım. Buu içi, bir = f (x foksiyo serisii tüm terimleri bir I R kümeside taımlı ve belli özelliklere sahip olduklarıı kabul edelim. Verile bu seride x bilimeyei yerie x 0 I gibi bir sayı yazıldığıda, = f (x 0 gibi bildiğimiz bir reel sayı serisi elde ederiz. Eğer bu (reel sayı serisi yakısak ise = f (x foksiyo serisie, x 0 oktasıda yakısak seri ve x 0 oktasıa da serii bir yakısaklık oktası deir. Eğer bir foksiyo serisi bir I R kümesii tüm oktalarıda yakısak ise, bu foksiyo serisie I kümeside yakısak seri deir. Eğer bir foksiyo serisi I kümeside yakısak ise bu I kümesie (veya aralığıa ilgili foksiyo serisii yakısaklık kümesi (veya aralığı ve I kümeside yakısak değil, yai ıraksak ise o zama da I kümesie (veya aralığıa ilgili foksiyo serisii ıraksaklık kümesi (veya aralığı adları verilir. Tabii ki, bir foksiyo x i hiç bir değeri içi yakısak olmayabilir. Böylesi durumda, ilgili serii yakısaklık kümesi boş kümedir deir. Şimdi, kolaylık açısıda 0 = kabul edip ve detaylı taımlamalara geçelim. Taım.3.2. Bir I R kümesi üzeride bir (f (x dizisi verilsi. Eğer = f (x foksiyo dizisii kısmi toplamlar dizisi, yai (S (x dizisi bir s(x foksiyoua yakısıyor ise = f (x foksiyo serisi de s(x foksiyoua yakısıyor deir. Bildiğimiz gibi, x I R olmak üzere, S (x = j= S (x = s(x limitie de, = f (x foksiyo serisii toplamı deir ve = f (x = s(x şeklide yazılır. ve Bir = f (x foksiyo serisii yakısak olması durumuda, = f (x = j= f j(x + j=+ f j(x = S (x + K (x = s(x (S (x s(x = K (x ilişkileride, her x I içi (K (x dizisii 0 a yakısamasıı, yai K (x = 0 olmasıı gerektirir. 2

3 Bu durumda, aşağıdaki öerme kedii gösterir: Bir = f (x foksiyo serisii s(x gibi foksiyoa yakısaması içi gerek ve yeter koşul her ɛ > 0 ve her bir x I içi öyle bir N = N(x, ɛ N doğal sayısı var ve her N içi S (x s(x = K (x < ɛ olmasıdır. Foksiyo serilerii öceki bölümde bahsetmiş olduğumuz serilerde tek farkı, geel terimii bir foksiyo dizisi oluşu, yai geel terim koumuda ola dizii ayı zamada x gibi bir bilimeye içermesidir. Seriler kousuda, serileri yakısaklık ya da ıraksaklık durumlarıda bahsetmiştik. Doğal bu tür serileri de birer seri oldukları ve aldığı x değerlerie (sayılarıa göre yakısak ya da ıraksak olabile serilerle karşı karşıya geliriz. Her e kadar, bu tür serileri kısmı toplamalarıı ifade ede dizii yakısaklığıı araştırmak zor olsa da, yakısaklık ya da ıraksaklık içi bildiğimiz kriterler elbette ki geçerli olacaktır. Hatırlayacağıız gibi, herbir terimi bir I R kümesi taımlı ola bir = f (x foksiyo serisii mutlak (salt yakısaklığı hakkıdaki var ola bilgimiz foksiyo serilerii yakısaklık ya da ıraksaklık araştırmalarıda bizlere kolaylık sağlayacaktır. Buu içi, bir I R kümesi üzeride = f (x foksiyo serisii yakısak olması durumuda, = f (x foksiyo serisii yakısak olduğuu biliyoruz. Bu gibi yakısamalar da mutlak (salt yakısama adıı verildiğii hatırlarsıız. Şimdi, aşağıdaki öreği iceleyelim. Örek.3.3. (i x = serisii ele alalım. (, aralığıda x < ve x / < x olup, = x serisii bir geometrik seri olduğuu ve bu serii yakısak olduğuu, dolayısıyla (, aralığıda = x serisii mutlak yakısak olacağıı bilmekteyiz. x = içi elde edile ( = alteratif serisii yakısaktır. O halde, x = serisi I = [, aralığıda yakısak ola bir seridir. Ama, diğer durumlarda da mutlak yakısak olmayacağı açıktır. Eğer bu seri içi Ora Test i uygularsak: f lim + (x x + + f (x = = x = x + elde ederiz. İlgili test gereği; x < koşuluu sağlaya reel sayılar içi yakısak, x > koşuluu sağlaya reel sayılar içi ıraksak ve x = koşuluu sağlaya reel sayılar içi de testi souç veremeyeceğii belirtmiştik. Basit irdeleme soucu x = içi yakısak ve x = içi de ıraksak ola sayı seilerii elde ederiz. Bu öreği vermişke, Yakısak ola bir seri ayı zamada mutlak yakısak olmayabilir olduğuu da lütfe uutmayıız. Üstteki verile seri x = içi mutlak yakısak değildir. Çükü, = ( = = ola (harmoik serisii ıraksak olduğuu biliyoruz. Kısaca özetelersek: Mutlak yakısak seriler ayı zamada yakısak serilerdir ama yakısak seriler mutlak yakısak olmayabilir. Lütfe uutmayıız! (ii Şimdi, = x 3 x serisii iceleyelim. Yie, Ora Testi ie göre, 3

4 f lim + (x = f (x x + (+3 + x 3 = x = x 3(+ 3 elde edilir. o halde, bu seri, x < 3 olduğuda yakısak ve x > 3 olduğuda ıraksaktır. x = 3 olması durumuu da, x = 3 içi x = = 3 = ıraksak serisii ve x = 3 içi de x = = ( 3 = yakısak serisii elde edilir. O halde, x = serisi [ 3, 3 3 kümeside (mutlak yakısak ve R [ 3, 3 kümeside de ıraksaktır. Alıştırmalar.3.3. Aşağıda verile foksiyo serileri yakısaklık ya da ıraksaklık kümelerii araştırıız. 2x [ ] (b = (3 2x (c = ( e x (d 2 = (2x (e 2 = [ 2x ] e x (g 2 + =0 ( e x2 (ğ = (2Six (h = ( e x (k =0 ( [ x ] 2 (l = (Sg( x (a = (ç = ( Cosx (f = Şimdi de, foksiyo serilerii düzgü yakısaklık durumuu ele alalım. Taım.3.4. Bir I R kümesi üzeride bir (f (x dizisi verilsi. Eğer = f (x foksiyo dizisii kısmi toplamlar dizisi, yai (S (x foksiyo dizisi bir s(x foksiyoua düzgü yakısıyor ise = f (x foksiyo serisi de s(x foksiyoua düzgü yakısıyor deir. Taım gereği, S (x s(x yakısaması düzgü ise s(x = = f (x şeklide yazıldığıı biliyoruz. Yie, s(x = S (x + K (x ilişkisi gözöüe alıırsa, ilgili foksiyo serisii kısmı toplamlar dizisii düzgü yakısak olmasıda dolayı, x I içi K (x 0 yakısamasıı da düzgü olması gerekliliği kedii gösterir. Bu durumda, aşağıdaki öerme yie karşımıza çıkar. Bir = f (x foksiyo serisii s(x gibi bir foksiyoa düzgü yakısaması içi gerek ve yeter koşul her ɛ > 0 verildiğide, öyle bir N = N(ɛ N doğal sayısı var ve her x I ve her N içi S (x s(x = K (x < ɛ olmasıdır. Gerek yakısamada gerekse düzgü yakısamada ilgili kısmi toplamlar dizisii yakısaklığıı belirlemei güçlüğüde dolayı, bu tür foksiyo serilerii düzgü yakısaklığıı belirleye öemli bir kriter vardır. Şimdi bua ilişki bilgileri verelim. Taım.3.5. Bir I R kümesi üzeride bir (f (x dizisi ve buu da oluşturduğu bir = f (x foksiyo serisi verilsi. Eğer her N içi f (x < x olcak şekilde pozitif terimli yakısak ola bir = x serisi buluabiliyorsa, = f (x serisi I kümesi üzeride sıırlaabile seri ve = x yakısak ola reel sayı serisie de = f (x serisii sıırlayaı deir Öreği, N + içi si(x bir seri olup ve = 2 2 +x 2 < olduğuda, si(x 2 = yakısak ola bu (reel sayı seri de = foksiyo serisii sıırlaa 2 +x 2 si(x foksiyo serisii 2 +x 2 4

5 sıırlayaıdır. Şimdi düzgü yakısaklık içi öemli ola ve Weierstrass Teoremi olarak bilie aşağıdaki teoremi verelim. Teorem.3.6. Herhagi bir I R kümeside sıırlaa bir foksiyo serisi salt ve düzgü yakısaktır. İspat. Bir = f (x foksiyo serisi I kümesi üzeride sıırlaa bir seri olsu. O zama, taım gereği, her N içi f (x < x olacak şekilde yakısak ola bir = x (reel sayı serisi vardır. Karşılaştırma testi gereğice, = f (x foksiyo serisi yakısak ve dolayısıyla = f (x foksiyo serisi I kümesi üzeride salt yakısaktır. Eğer bu yakısamaı düzgü olduğuu gösterirsek iş biter. Eğer N içi f (x < x koşulu sağlaıyor ise, keyfi bir her m N sayısı ve her x I içi S +m (x S (x = +m k=+ f (x < +m k=+ x < k=+ x = R yazabiliriz. Burada R, = x reel sayı serisii kala terimidir ve = x yakısak olduğuda her keyfi ɛ > 0 sayısı içi öyle bir N = N(ɛ N doğal sayısı var ve her N içi S +m (x S (x = +m k=+ f (x < ɛ dır. O halde, Cauchy kriterie göre, = f (x foksiyo serisi I kümesi üzeride düzgü yakısak olur. Örek.3.7. (i ( x x 2 foksiyo dizisii I = R kümeside taımlı, sürekli ve pozitif terimli olduğu açıktır. Dolayısıyla, bu foksiyo serisii x = 0 içi yakısak olduğu kolayca gözleir. Ayrıca, x 0 olduğuda, = x x 2 < = x 2 2 x 2 fok- olup ve = 2 siyo serisi R kümesi üzeride düzgü yakısak olur. = = serisii yakısak oluşu, Weierstrass Kriteri gereğice = 2 x x 2 (ii Her x I = [, ] içi 0 x 2 ve 0 x 2 olduğuda dolayı, x 2 = < 3 = (x [, ] 3 olur. = serisii yakısak olduğuda, Weierstrass Kriteri gereğice, 3 foksiyo serisi [, ] kümesi üzeride düzgü yakısak olur. = x 2 Düzgü yakısak ola foksiyo dizilerii öemli souçları hatırladığı taktirde, düzgü yakısak ola serilerle ilgili ola ola aşağıdaki öermeleri birer souç olarak veriyoruz. Gerekli araştırmaları sizler yapıız. Souç.3.8. Bir I R kümesi üzeride verile bir (f (x foksiyo dizisii her bir terimi I kümeside sürekli ve = 0 f (x foksiyo serisi de s(x foksiyoua düzgü yakısası. O zama, s(x foksiyou da I kümeside sürekli olur. Yai, 3 5

6 dır. lim x x0 = 0 f (x = = 0 lim x x0 f (x Souç.3.9. Bir I R aralığı üzeride bir (f (x 0 foksiyo dizisi verilsi. Her N 0 içi f (x foksiyoları I da türevleebilir, = 0 f (x foksiyo serisi yakısak ve = 0 f (x foksiyo serisi de düzgü yakısak olsu. O zama, x I içi = 0 f (x 0 serisi düzgü yakısaktır ve ( d dx = 0 f (x = ( d = 0 f dx (x dir. Bu durum, litertürde Terim terime türevleebilir şeklide karşımıza çıkar. Souç.3.0. Bir I R aralığı üzeride bir (f (x 0 foksiyo dizisi verilsi. Her N 0 içi f (x foksiyoları I da sıırlı ve itegralleebilir ise ( = 0 f (x dx = ( = f 0 I (xdx I dir. Bu durum, litertürde Terim terime itegralleebilir şeklide karşımıza çıkar. Örek.3.. (i I = [ π/2, π/2] içi Cos(x = 2 içi Cos(x olup 2 2 = 2 yakısak ve dolayısıyla, W-M Testi gereğice, = o halde, ( π/2 Cos(x π/2 = dx = ( π/2 2 = π/2 olur. (ii I = [0, π] ve foksiyo serisi yakısak ve = Dolayısıyla, dır. 2 Si(x = ( 3 d dx = foksiyo serisii ele alalım. Her x [ π/2, π/2] serisi yakısaktır. Burada, = = 2 = Si(x ( = 3 si(x.4. Kuvvet Serileri Cos(x 2 Si(π/2 3 Cos(x 2 dx Cos(x 2 serisi mutlak serisi de düzgü yakısak olur. = 2 = olsu. Her x [0, π] içi = = Cos(x 2 serisi de düzgü yakısak olur. O halde, Si(x = d 3 = dx ( π/2 = 0 Si(x 3 Cos(x dx 2 foksiyo serisi de düzgü yakısaktır. ( Si(x = 2 Cos(x 3 = 2 Foksiyo serilerii özel bir hali ola kuvvet serilerii oldukça öemli ve kullaılabilir serilerdir. Bir (x 0 dizisi, x bilimeye ve x 0 bir reel sayı olmak üzere, = 0 (x x 0 x = (x x 0 0 x 0 + (x x 0 0+ x (x x x şeklideki foksiyo serilerie kuvvet serileri adı verilir. Yai, terimlerii herbiri ( f (x = 6

7 ( (x x0 x 0 şeklideki dizii terimleride oluşa serilerdir. Bazı durumlarda, bu tür serilere x 0 R oktası civarıda açılmış seri adı da verilir. Kuvvet serileride bir bilimeyei olduğu gözöüe alıırsa, bir bilimeyei oluşu doğal olarak bu tür serileri yakısaklık ya da ıraksaklık durumlarıı icelemeside ister istemez mutlak değer içere testler öemli olacaktır. Yai, mutlak değer içere testleri kullaarak ilgili serileri yakısaklık ya da ıraksaklık durumlarıı ele almak durumudayız. Ayrıca, verile bir = 0 (x x 0 x serisie Kök Testi-II yi uyguladığımızı düşüelim. O zama; eşitsizilğiide kolayca x (x x 0 = x x 0 x < x x 0 < x =: r şeklideki soucu oluşturalım. Burada aşağıdaki gibi souçlar kuvvet serileri içi kolayca oluşturulabilir: (i Eğer r = 0 ise ilgili kuvvet serimiz sadece x = x 0 içi yakısak ve x i diğer değerleri içi de ıraksak olacaktır. (ii Eğer r = ise ilgili kuvvet serimiz her x R içi yakısak olacaktır. (iii Eğer 0 < r < ise ilgili kuvvet serimiz x x 0 < r koşuluu sağlaya x R içi mutlak yakısak, x x 0 > r koşuluu sağlaya x R içi ıraksak ve x x 0 = r, yai x = x 0 + r ve x = x 0 r içi de yakısaklık durumları kesi olmayıp teker teker irdelemeli ve bir souç alıamıyorsa başka testler kullaılmalıdır. İşte bu r > 0 sayısı ile yakısaklık arasıdaki olası bu ilişkilerde dolayı r > 0 sayısıa yakısaklık yarıçapı adı verilir. Aşağıda çeşitli örekler verilmiştir. Lütfe dikkatlice iceleyiiz. Örek. (i = x = x + x 2 + x 3 + serisi içi Kök Testi-II uygulaırsa, u (x = x = x = x < olması durumuda yakısak olduğu ve diğer durumlarda da ıraksak olduğuu kolayca çıkarabilmekteyiz. Burada; r = yakısaklık yarıçapı, yakısaklık kümesi (veya yakısaklık aralığı (, olur. (Hatırlayacağıız üzere, x < olduğuda j= xi = (x + x 2 + x x = x x x = x x kısmi toplamlar dizisii yakısak ve diğer durumlarda da ıraksak olduğuu geometrik seri kavramıda bilmekteyiz. 7

8 (ii x2 = ( = x x3 2 uygulaırsa; x 2 u + (x u (x şeklide buluruz. Burada; x5 3 5 ( = lim + x + serisii ele alalım. Bu seri içi, Ora Testi-II 2(+ 2(+ ( x2 2 = lim x = x = (a x 2 = x 2 < x < < x < olarak buluur. O halde, bu serii yakısaklık yarıçapı r = ve yakısaklık aralığı da (, kümesidir. (b x 2 = x 2 > x > (x < veya x > içi de ilgili seri ıraksak olur. Burada, ıraksaklık aralığı ise ( < x < (, şeklideki aralık olur. (c x 2 = x 2 = koşuluu sağlaya sayılar içi de x = ve x = değerlerii irdelememiz gerekmektedir. x = içi ( = serisi ve x = içi de ( 3+ 2 = 2 serii herikisi de yakısak ola alteatif serilerdir. (iii (x 2 = (! serisi elde edilir. Bu iki = x + (x 22 + (x 23 + serisi içi Kök Testi-II yi uygularsak: (! (2! 2 (3! 3 u (x = (x 2 (! = lim x 2! = x 2! = 0 elde ederiz. Yakısaklık yarıçapı r = olup ve her x R = (, içi bu seri yakısak olur. (, aralığı ise yakısaklık kümesidir. (iv (x 2 = (! = x + (x 22 + (x 23 + serisi içi Kök Testi-II yi uygularsak: (! (2! 2 (3! 3 (x 2 u (x = lim (! = x 2 lim = x 2 lim! = 0! elde ederiz. Yai, her x R = (, içi bu seri yakısak olup (, aralığı ise yakısaklık aralığıdır. Alıştırmalar. Aşağıda verile serileri yakısaklık durumlarıı araştırıız. Yakısak olaları da yakısaklık kümelerii belirleyiiz. (a = (x (b 3 = (x (c (x 2 2+ =! (ç ( = (x (d (! 2 = x + (e ( + =! (g = (3x (ğ = x 2 (h = (x! (h 2 = (i (x+2 =4 (3x (ı =4 x Kuvvet Serileri 8

9 Taım.2. Herhagi bir ( x m reel (gerçel sayı dizisi ve bir de x 0 R sayısı verilsi. Bu durumda, k=m x k(x x 0 k = x m (x x 0 m + x m+ (x x 0 m+ + x m+2 (x x 0 m+2 +x m+3 (x x 0 m x m+ (x x 0 m+ + şeklideki kuvvet serilerii özel hali ola foksiyo serilerie kuvvet serisi adı verilir. Özellikle m = seçimiyle, ilgili kuvvet serisi k= x k(x x 0 k = x (x x k + x 2 (x x 0 2 şeklideki kuvvet serisi elde edilir. +x 3 (x x x 4 (x x x (x x 0 + Aşağda verile foksiyo serilerii herbiri birer kuvvet serisi içi örek verilebilir. k= k(x 3k = (x 3 + 2(x (x 3 3 +, k=2 k!(x + k = 2!(x !(x !(x + 4 +, k=5 k=0 k= sik k 4 (x k = si5 (x 5 + si6 2 (x 6 + si7 3 (x 7 +, 2 k (x k! k = 20 (x 0! (x! 2! (x 3! 3 +, ( k (3k! xk = 2! x + 5! x2 8! x3 +. 9