fonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L

Transkript

1 Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye çizilen te¼getin bulunmas, fonksiyonun, tan ml olmak zorunda olmad ¼g bir noktan n çok yak n ndaki noktalardaki, veya sonsuzdaki, davran ş n n belirlenmesi, gra ¼ginin çizilmesi, fonksiyonun gra ¼gi alt nda kalan düzlemsel bölgenin alan n n bulunmas gibi problemlerdir. Örne¼gin, f () = 2 Böylece, 6= için f () = 2 fonksiyonu, her 6= reel say s için tan ml d r. ( )(+) = = + yaz labilir. Bu da; = noktas d ş ndaki tüm reel say lar için f () = + fonksiyonunu verir. Bu durumda, say s na oldukça yak n olan de¼gişkenlerinin f () görüntüleri "2" de¼gerine çok yak n olacakt r. Böylece, it kavram n n sezgisel tan m aşa¼g daki gibi verilir: Tan m 2.. f fonksiyonu, 0 say s n kapsayan bir aç k aral kta, belki 0 hariç, tan ml olsun. de¼gerleri 0 say s na yeterince yak n, ama 0 de¼gerinden farkl al narak, f () de¼gerleri L say s na istenildi¼gi kadar yak n yap labiliyorsa, de¼gişkeni 0 say s na yaklaş rken f () fonksiyonunun iti L say s d r, denir ve f () = L Uyar Bu tan ma göre; f fonksiyonu 0 noktas nda tan ml olmak zorunda de¼gildir, ancak, 0 noktas n n bir civar ndaki noktalarda tan ml olmal d r. 2.!0 f () = L gösterimi,! 0 iken f ()! L olarak da yaz l r. 3. "!0 f () var" ifadesi, "L sonlu olmak üzere,!0 f () = L" anlam ndad r. Çünkü, herhangi bir reel say sonludur. R reel say lar kümesine ve + (s ras yla, eksi sonsuz ve art sonsuz) sembollerinin eklenmesiyle elde edilen sisteme, genişletilmiş reel say sistemi denir ve R := R [ f ; +g ve + sembolleri birer reel say olmay p, her 2 R için < < + şeklinde s ralama ba¼g nt s vard r. Ayr ca, reel say lar ve ; + aras nda, aşa¼g daki aritmetik işlemler tan mlan r:

2 2 a bir reel say ise a + = (+) + a = +; a = + a = a ; + a > 0 ise a (+) = (+) a = + ve a: ( ) = ( ) :a = ; a < 0 ise a (+) = (+) a = _ ve a: ( ) = ( ) :a = +: a 2 R =) a + = (+) + a = +; a = + a = ; a > 0 =) a (+) = (+) a = + ; a ( ) = ( ) a = ; a < 0 =) a (+) = (+) a = ; a ( ) = ( ) a = +: a = a + = 0; Ayr ca, (+)+(+) = (+) (+) = ( ) ( ) = + ve = (+) ( ) = ( ) olarak tan mlan r. Ancak, ; 0:; 0 ve işlemleri tan mlanamaz. 0 Bunlara belirsiz şekiller denir. Limitin teknik tan m (("; ) Tan m ): f fonksiyonu 0 say s n kapsayan bir aç k aral kta, belki 0 hariç, tan ml olsun. Her " > 0 (ancak, küçük) say s için bir > 0 say s, 0 < j 0 j < iken jf () Lj < " ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunabiliyorsa, ; 0 say s na yaklaş rken f () fonksiyonunun iti L say s d r, denir ve!0 f () = L Bu tan m, matematik semboller kullan larak aşa¼g daki gibi yaz l r: f () = L, 8" > 0 9 > < j 0 j < =) jf () Lj < ": Uyar 2.2.! 0 iken f () fonksiyonunun itinin L oldu¼gu gerçe¼gi, () ile kontrol edilebilir. () = 2 oldu¼gunu itin tan m n kullanarak gös- Örnek ! teriniz Çözüm. Tan m 2.2 ye göre, verilen bir " > 0 için, bir > 0 say s ; de¼gişkeni 0 = noktas n n civar nda ve 6= iken f () de¼geri L = 2

3 say s n n " civar nda kalacak şekide, yani, 0 < j j < iken jf () 2j < " sa¼glanacak şekilde bulunmal d r.bu durumda, 6= oldu¼gundan jf () 2j = 2 2 = j j < ": buradan = " seçilebilir, böylece, 0 < j j < = " iken jf () 2j < " sa¼glan r ve 2! = 2 elde edilir. Teorem 2.4. E¼ger!0 f () var ise bir tektir. Örnek 2.5. Limitin tan m n kullanarak.!0 c = c (c bir sabit) 2.!0 = 0 3.!0 sin = 0 oldu¼gunu gösteriniz. Limitin tan m kullan larak, itlerin hesab için aşa¼g daki kurallar elde edilir: Teorem 2.6. (Limit Kurallar )!0 f () = L ve!0 g () = M ise, aşa¼g daki durumlar gerçeklenir:.!0 (f () g ()) = L M 2.!0 (f () :g ()) = L:M 3.!0 c:f () = c:l (c sabit) f() 4. = L!0 ; M 6= 0: g() M 3 Teorem 2.6 kullan larak bir polinomun ve rasyonel fonksiyonun bir noktadaki iti aşa¼g daki gibi bulunur: Teorem 2.7. E¼ger a 0 ; ; a n 2 R; a n 6= 0 ve P () = a n n + + a 0

4 4 ise olur. P () = a nc n + + c = P (c)!c olur. Teorem 2.8. P () ; Q () polinomlar olmak üzere, Q (c) 6= 0 ise Örnek 2.9.! P ()!c Q () = a nc n + + c = P (c) Q (c) itini hesaplay n z. Çözüm. Bu soruda,! 2 iken pay ve payda s f ra gitmektedir. Bu durumda, it kurallar do¼grudan uygulanamaz, ancak, 6= 2 için 2 = 2 4 oldu¼gu kullan larak, it kurallar uygulanacak bir durum elde edilir. +2 Böylece, bulunur.! =!2 (6=2) Örnek 2.0.! ( 2) ( + 2) =!2 + 2 = 4 itinin var olup olmad ¼g n araşt r n z. Çözüm. Buradaki fonksiyonun paydas için,! ( ) = 0 ve 2+ pay için,! (2 + ) = 3 olur. Bu durumda! = olup, it yoktur. Teorem 2.6 kullan larak aşa¼g daki sonuçlar elde edilir:. n pozitif bir tamsay iken!0 [f ()] n = [!0 f ()] n : 2. n pozitif bir tamsay iken!0 n p f () = np!0 f (); n çift ise!0 f () > 0 ise kabul edilir. Tek tara Limitler Örnek 2.. f () = jj ; 6= 0 fonksiyonu için!0 f () itinin olmad ¼g n gösteriniz.

5 ; > 0 Çözüm. f () = oldu¼gundan, ; < 0 0 = 0 noktas n içeren her aç k aral k, jf () f (y)j istenildi¼gi kadar 2 ye yak n olacak şekilde ; y noktalar n içerir. O halde, 0 = 0 noktas na yaklaşan bütün de¼gerleri için, f () de¼gerlerinin istenildi¼gi kadar yak n oldu¼gu bir say bulunamaz. Tan m 2.2. f fonksiyonu bir (a; 0 ) aç k aral ¼g nda tan ml olsun. de¼gişkeni 0 say s na yeterince yak n al narak, f () de¼gerleri L say s na istenildi¼gi kadar yak n yap labiliyorsa, de¼gişkeni 0 say s na (soldan) yaklaş rken f () fonksiyonunun sol tara iti L say s d r, denir ve 5 f () = L Sol tara itin teknik tan m (("; ) Tan m ): f fonksiyonu bir (a; 0 ) aç k aral ¼g nda tan ml olmak üzere, e¼ger her " > 0 say s için bir > 0 say s, 0 < < 0 iken f () L < " sa¼glanacak şekilde bulunabiliyorsa, de¼gişkeni 0 say s na (soldan) yaklaş rken f () fonksiyonunun sol tara iti L say s d r, denir ve!0 f () = L Bu tan m, matematik semboller kullan larak aşa¼g daki gibi yaz l r: f () = L, 8" > 0 9 > < < 0 =) f () L < " Tan m 2.3. f fonksiyonu bir ( 0 ; b) aç k aral ¼g nda tan ml olsun. de¼gişkeni 0 say s na yeterince yak n al narak, f () de¼gerleri L + say s na istenildi¼gi kadar yak n yap labiliyorsa, de¼gişkeni 0 say s na (sa¼gdan) yaklaş rken f () fonksiyonunun sa¼g tara iti L + say s d, denir ve f () = L + + Sa¼g tara itin teknik tan m (("; ) Tan m ): f fonksiyonu bir ( 0 ; b) aç k aral ¼g nda tan ml olmak üzere, e¼ger her " > 0 say s için bir > 0 say s, 0 < < 0 + iken f () L + < "

6 6 sa¼glanacak şekilde bulunabiliyorsa, de¼gişkeni 0 say s na (sa¼gdan) yaklaş rken f () fonksiyonunun sa¼g tara iti L + say s d r, denir ve!0 + f () = L + Bu tan m, matematik semboller kullan larak aşa¼g daki gibi yaz l r: f () = L +, 8" > 0 9 > < < 0 + =) f () L + < ": + Örnek 2.4.!0 jj = ve!0 jj + = oldu¼gunu gösteriniz. Örnek 2.5.!0 + p = 0;!0 p yoktur, gösteriniz. Teorem 2.6. Bir f fonksiyonunun 0 noktas nda itinin var olmas için gerek ve yeter koşul, 0 noktas nda tek tara itlerinin var ve birbirine eşit olmas d r. Yani, f () = L () f () = + f () = L: Sonsuzdaki Limitler Bir f fonksiyonunun tan m kümesi üstten s n rs z ise, ba¼g ms z de¼gişkenleri, verilen herhangi bir pozitif say dan daha büyük olarak al nabilir. Bu durumda, art sonsuza gider denir ve! + Benzer şekilde, f fonksiyonunun tan m kümesi alttan s n rs z ise, ba¼g ms z de¼gişkenleri, verilen herhangi bir negatif say dan daha küçük al nabilir. Bu durumda, eksi sonsuza gider denir ve! Bir f fonksiyonunun ba¼g ms z de¼gişkeni, art (eksi) sonsuza giderken f () de¼gerleri bir L say s na, istenildi¼gi kadar yak nlaşabilir. Bu düşünce, aşa¼g daki tan mda verilir: Tan m Yeterince büyük tüm de¼gerlerine karş l k gelen f () de¼gerleri bir L say s na istenildi¼gi kadar yak n yap labiliyorsa, art sonsuza giderken f () fonksiyonunun iti L say s d r, denir ve f () = L!+

7 2. Yeterince küçük tüm de¼gerlerine karş l k gelen f () de¼gerleri bir M say s na istenildi¼gi kadar yak n yap labiliyorsa, eksi sonsuza giderken f () fonksiyonunun iti M say s d r, denir ve f () = M! 7 Sonsuzdaki itlerin teknik Tan m :. f fonksiyonu bir (a; ) aral ¼g nda tan ml olsun. E¼ger, her " > 0 say s için bir B > 0 say s, her > B için jf () Lj < " ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunuyorsa, art sonsuza giderken f () fonksiyonunun iti L say s d r, denir ve f () = L!+ 2. f fonksiyonu bir ( ; a) aral ¼g nda tan ml olsun. E¼ger, her " > 0 say s için bir K > 0 say s, her < K için jf () Mj < " ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunuyorsa, eksi sonsuza giderken f () fonksiyonunun iti M say s d r, denir ve f () = M! Bu tan m, matematik semboller kullan larak aşa¼g daki gibi yaz l r: : f ()!+ = L, 8" > 0 9B > > B =) jf () Lj < " 2: f ()! = M, 8" > 0 9K < < K =) jf () Mj < ": Uyar 2.9.

8 8.! + ve! iken y = f () fonksiyonu ayn L itine yaklaşabilir. Bu durum; in mutlak de¼gerce çok büyük olan tüm de¼gerlerine karş l k gelen f () de¼gerlerinin, L say s na yeterince yak n olaca¼g anlam na gelir. Böylece,! f () = L yaz l r ve bu tan ma denk olan teknik tan m şöyle ifade edilir: E¼ger, her " > 0 say s için bir N > 0 say s, her > jnj için jf () Lj < " ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunuyorsa, art ve eksi sonsuza giderken f () fonksiyonunun iti L say s d r, denir ve f () = L! 2. E¼ger, 0 yerine al n rsa, bu durumda, Teorem 2.4 ve Teorem 2.6 geçerlidir. Örnekler !+ jj + = ve! jj + 2.! 3.! + = 0 oldu¼gunu gösteriniz. = oldu¼gunu gösteriniz. = oldu¼gunu gösteriniz. Çözüm. Herhangi bir " > 0 verilsin. Bu durumda, jf () Lj = + = j + j < jj < " eşitsizli¼ginin sa¼glanmas için jj > olmal d r. Böylece, jj > eşitsizli¼gini " " sa¼glayan her için in e uzakl ¼g " dan küçüktür. Böylece, bir M + say s, olarak seçilebilir. O halde, "! = : + 4.!+ sin itinin olmad ¼g n gösteriniz. Çözüm. Herhangi bir (a; +) yar s n rs z aral ¼g ndaki noktalarda, sin fonksiyonu ile aras ndaki tüm de¼gerleri sal n m yaparak al r. Böylece,! + iken sin görüntülerinin yaklaşt ¼g bir tek L de¼geri var olmay p, it yoktur.

9 + 5.! = oldu¼gunu gösteriniz. Çözüm. Uyar 2.9 un 2. ş kk ndan, sonsuzdaki it kurallar do¼grudan uygulanamaz, çünkü,! iti, formunda, bir belir- + siz şekildir. Bu durumda, cebirsel işlemler yap larak, it kurallar n n uygulanabilece¼gi bir durum elde edilir: +! = +! = +!! = = : 9 6. a m ; b n 6= 0 olmak üzere, rasyonel fonksiyonun sonsuzdaki iti aşa¼g daki gibi hesaplan r: 8 a m m + + a 0 a m m n + + a 0 n < = = ()! b n n + + b 0! b n + + b 0 n : 0 m < n ise m > n ise m = n ise a m bn : 7.!+ p 2 + = 0 oldu¼gunu gösteriniz. Sonsuz Limitler E¼ger! 0 iken bir f () fonksiyonunun it davran ş "mutlak de¼geri s n rs z olarak art yor" şeklinde ise,! 0 iken f () fonksiyonu sonsuza yaklaş r, denir. Tan m 2.2. f fonksiyonu 0 say s n içeren bir aral kta, 0 hariç, tan ml olsun.. E¼ger, 0 say s na yeterince olan tüm de¼gerlerine karş l k gelen f () de¼gerleri, verilen herhangi yeterince büyük say dan daha büyük oluyorsa,! 0 iken f () fonksiyonu art sonsuza yaklaş r denir ve!0 f () = + 2. E¼ger, 0 say s na yeterince olan tüm de¼gerlerine karş l k gelen f () de¼gerleri, verilen herhangi yeterince küçük say dan daha küçük oluyorsa,! 0 iken f () fonksiyonu eksi sonsuza yaklaş r denir ve!0 f () = Bu durumda,. (veya 2.), de¼gerleri 0 say s na yeterince yak n yap larak, f () de¼gerleri s n rs zca artar (s n rs zca azal r) anlam ndad r. Uyar 2.22.!0 f () = + (veya ) gösterimi, " sembolü bir say gibi al n yor ve it var" demek de¼gildir. Sadece, de¼gişkeni 0

10 0 a yaklaş rken f () de¼gerlerinin s n rs zca büyüdü¼günü (veya küçüldü¼günü) belirtmek için kullan l r. Sonsuz itlerin Teknik Tan m : f fonksiyonu 0 say s n kapsayan bir aç k aral kta, 0 hariç, tan ml olsun.. Her B > 0 (ancak, büyük) say s için bir > 0 say s, 0 < j 0 j < iken f () > B ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunabiliyorsa, 0 f () art sonsuza yaklaş yor, denir ve say s na yaklaş rken f () = + 2. Her K < 0 say s için bir > 0 say s 0 < j 0 j < iken f () < K ifadesi sa¼glanacak şekilde bulunabiliyorsa, 0 f () eksi sonsuza yaklaş yor, denir ve say s na yaklaş rken f () = Sembolik olarak: : f ()!0 = +, 8B > 0 9 > < j 0 j < iken f () > B 2: f ()!0 =, 8K < 0 9 > < j 0 j < iken f () < K: Tek tara sonsuz itler için f () = f () = + f () = f () = +! + 0! + 0 tan mlar benzer olarak yap l r. Örnek 2.23.

11 .! + = + ve! = oldu¼gunu gösteriniz. Sonsuzdaki Sonsuz Limitler çok büyürken f () de¼gerleri de çok büyük oluyorsa, bu durum, f () = +!+ gösterimi ile ifade edilir. Benzer olarak, f () fonksiyonunun davran şlar aşa¼g daki gösterimlerle ifade edilir: f () = ; f () = +; f () = :!+!! Örnek !+ 2 = +;! ( 2) = +;! 3 = : 2.!+ ( 3 2 ) = + olur, gerçekten,!+ ( 3 2 ) = (+) (+) olur, bu durumda cebirsel işlemler ile,!+ 2 ( ) = (+) : (+) = + bulunur. 3.!+ ( ) =! = (+) :2 = +: Limit kurallar n n do¼grudan uygulanamad ¼g durumlarda, itin hesab için aşa¼g daki test çok kullan şl d r. Teorem 2. (S k şt rma Teoremi) de¼gişkeni 0 a yaklaş rken g () ve h () fonksiyonlar n n itleri ayn L say s olsun ve bir f fonksiyonunun f () de¼gerleri, g () ile h () aras nda kals n. Bu durumda, de¼gişkeni 0 a yaklaş rken f () fonksiyonunun iti var olup, de¼geri L say s d r: g () f () h () ve!0 g () =!0 h () = L =)!0 f () = L: sin Analizde!0 iti çok önemlidir. Do¼grudan it kurallar kullan l rsa 0 belirsiz şekli ile karş laş l r. Bu durumda, s k şt rma teoremi kul- 0 lan larak it hesaplanabilir. Ödev !0 sin = oldu¼gunu gösteriniz.

12 2 2.!0 cos = 0 oldu¼gunu gösteriniz. 3.!0 sin 2 3 = 2 3 oldu¼gunu gösteriniz.