Monte Carlo stokastik optimizasyonu ile optimal saklama pay seviyesi hesab

Transkript

1 statistikçiler Dergisi 4 (2011) 1-8 statistikçiler Dergisi Monte Carlo stokastik optimizasyonu ile optimal saklama pay seviyesi hesab Murat Büyükyazc Hacettepe Üniversitesi Fen Fakültesi, Aktüerya Bilimleri Bölümü Beytepe, Ankara muratby@hacettepe.edu.tr Erbil Taar Hewlett Packard Türkiye Merkez Ofisi Ümraniye, (stanbul erbil.tasar@gmail.com Özet Bu çalmada, son yllarda finans sektöründe yaygn olarak kullanlan riske maruz de#er (Value-at-Risk, VaR) risk ölçüsü ile toplam hasar fazlas reasürans yöntemi altnda beklenen ve standart sapma prim ilkeleri açsndan sigortacnn maruz kalaca# toplam ödemeyi Monte Carlo stokastik optimizasyon yöntemi ile minimize ederek sigortac için optimal saklama paynn hesaplanmas incelenmitir. Böylece analitik çözümün elde edilemedi#i durumlarda optimal saklama paynn Monte Carlo stokastik optimizasyon yöntemi ile elde edilebilece#i gösterilmitir. Anahtar sözcükler: Reasürans; Toplam hasar fazlas; Optimal saklama pay; Riske maruz de#er (VaR); Monte Carlo optimizasyon; Stokastik optimizasyon. Abstract Optimal retention limit with Monte Carlo stochastic optimization In this study, VaR (Value-at-Risk) risk measure which is commonly used in financial sector in recent years, are analyzed by minimizing cedent s total risk of exposure using Monte Carlo Stochastic optimization method, with calculating the optimal retention limit in terms of expected and standart deviation premium principles under the stop loss reinsurance contract for the cedent. Thus, it is revealed that, in the circumstances, when analytic solution is not achieved, the optimal retention limit can be achieved by Monte Carlo optimization method. Keywords: Reinsurance; Stop loss; Optimal retention limit; Value-at-Risk (VaR); Monte Carlo optimization; Stochastic optimization. 1. Giri Sigorta irketleri, üzerlerine aldklar riski azaltmak ve kendilerini beklenmeyen hasarlara kar koruyabilmek için portföy yaplarn ve gelecek planlarna en uygun reasürans yöntemini belirlemelidir. Reasürans yönteminin belirlenmesinin yan sra sigorta irketinin üzerinde tuttu#u riskin ne kadarn sigortalamas gerekti#inin belirlenmesi de reasürans uygulamalarnn önemli problemlerinden biridir. Optimal reasürans konusu, aktüerya alannda klasik bir problemdir. Aratrmaclar problemi reasürör ya da sedan irket açsndan inceleyebilirler. Bu konudaki ilk çalma Borch tarafndan ortaya konulmutur. Birkaç yl sonra, Arrow [1] ise beklenen de#er prim ilkesi ile toplam hasar fazlas (stop loss) reasürans yönteminin, riskten kaçnan sigortacnn dönem sonu varl#n beklenen fayda kuram ile maksimize etti#ini göstermitir. Optimal reasürans modelleri ile ilgili olarak, aratrmalarn önemli bir ksm ya sigortacnn faydasn maksimize etmeye ya da sigortacnn riskini minimize etmeye adanmtr.

2 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Reasürans yapsna bakld#nda, sedan reasüröre ksmen risk aktard#nda, bunun karl# olan reasürans primini ödeyerek ek bir maliyete katlanmaktadr. Bu nedenle, sedann kendi üzerinde saklad# risk arttkça daha düük, azaldkça daha yüksek bir reasürans primi ödemesi beklenir. Dolaysyla sigortac reasürans korumas arad#nda; reasürans priminin maliyeti ile üzerinde saklad# riskin maliyeti arasnda karar vermek zorunda kalacaktr. Bu konuda birçok çalma yaplmtr. Önceki çalmalarda; Gerber, Waters, Pesonen, Goovaerts vd., ve Hesselager, son zamanlarda ise Gajek ve Zagrodny, Kaluszka, Cai ve Tan ve Cai vd. bu konuya katk sa#lamlardr [12]. Sigorta irketlerinin sigorta etmi oldu#u riskin, reasüröre devretmeyip üzerinde tuttu#u ksm saklama pay olarak adlandrlr. Saklama paynn do#ru ve optimal belirlenmesi sigorta irketi açsndan büyük önem tamaktadr. Çünkü saklama paynnn yüksek tutulmas halinde büyük bir hasarn meydana gelmesi sigortacy büyük kayplara u#rataca# gibi, saklama paynn düük tutulmas da sigorta irketinin gereksiz prim kaybna yol açacaktr. Optimal saklama paynn belirlenmesinde çeitli yöntemler kullanlabilir. Bunlarn banda fayda kuram ve iflas olasl# yöntemleri gelmektedir. Bu klasik yaklamlarn dnda, son dönemde pazar risklerini belirlemede, portföy optimizasyonlar vb. konularda gittikçe önem kazanan riske maruz de#er (value-atrisk, VaR) ve koullu riske maruz de#er (conditional tail expectations, CTE) gibi risk ölçümleri de kullanlmaktadr. Cai ve Tan (2007), beklenen prim ilkesi altnda toplam hasar fazlas reasürans yöntemini kullanarak, sigortacnn toplam ödemesini VaR ve CTE risk ölçümleriyle minimize ederek, optimal saklama paynn varl# için gerek ve yeter koullar belirtmilerdir. Reasürans primi beklenen prim ilkesi ile hesapland#nda; çok sayda reasürans anlama tipi arasndan yalnzca toplam hasar fazlas anlamalar, sedann saklad# riskin varyansn en küçük yapt# için, en uygun olandr [5, 2, 10, 3, 4, 1]. Literatürde yer alan optimal reasürans çalmalarnn ço#unda beklenen prim ilkesi varsaym kullanlmtr [12]. Beklenen prim ilkesi dnda literatürde sklkla karlalan çok sayda temel prim hesaplama yöntemlerinden bazlar; standart sapma, varyans ve ortalama de#er prim ilkeleridir [13]. Cai ve Tan (2007) in çalmasndan yola çkarak Tan vd. (2009), toplam hasar fazlas yöntemine ek olarak yine yaygn bir biçimde kullanlan kot-par yöntemini analiz etmilerdir. Ayrca, 17 farkl reasürans prim ilkesi altnda optimal saklama payn de#erlendirerek konuyu iki farkl yöne do#ru geniletmilerdir. Seçilen prim ilkelere ba#l olarak kot-par ve toplam hasar fazlas reasürans yöntemlerini, VaR ve CTE risk ölçümleri altnda optimal çözüm aramannn anlaml olup olmad#n ve optimal çözüm var ise, analitik olarak çözümün elde edilip edilemedi#ini göstermitir. Aa#da Çizelge 1 de sadece toplam hasar fazlas reasürans yöntemi ve dört prim ilkesi için bulduklar sonuçlar verilmitir. Çizelge 1. Prim ilkeleri / reasürans yöntemleri. Çizelge 1. de; Prim Toplam Hasar Fazlas Ilkesi VaR CTE Beklenen NT NT Standart sapma - - Varyans NT NT Ortalama de#er T T T : optimal çözümün anlamsz oldu#unu (trivial), NT : optimal çözümün anlaml oldu#unu (nontrivial), - : optimizasyon probleminin karkl# nedeniyle analitik olarak optimal çözümün elde edilemedi#ini ifade etmektedir.

3 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Bu çalmada, son yllarda finans sektöründe yaygn olarak kullanlan VaR risk ölçümü ile toplam hasar fazlas reasürans yöntemi altnda iki farkl prim ilkesi açsndan sigortacnn maruz kalaca# toplam ödemeyi Monte Carlo stokastik optimizasyon yöntemi ile minimize ederek sigortac için optimal saklama paynn hesaplanmas incelenmitir. Böylece analitik çözümün elde edilemedi#i durumlarda optimal saklama paynn Monte Carlo stokastik optimizasyon yöntemi ile elde edilebilece#i gösterilmitir. Çalmann birinci bölümünde konuya giri yaplm, önceki çalmalar hakknda bilgi verilmi ve bu çalmada ne yapld# belirtilmitir. Kkinci bölümde VaR risk ölçütü ksaca açklanmtr. Üçüncü bölümde Monte Carlo stokastik optimizasyon yönteminden genel olarak bahsedilmitir. Dördüncü bölümde toplam hasar fazlas reasürans benzetim optimizasyon modeli verilmi; beinci bölümde alt farkl stokastik reasürans optimizasyon senaryosu için Crystal Ball yazlm kullanlarak Monte Carlo stokastik optimizasyon yöntemiyle optimal saklama paylar hesaplanm ve altnc bölümde çalmann sonuçlar de#erlendirilmitir. 2. VaR risk ölçütü VaR, bir mali kuruluun ya da firmann risk durumunu bir bütün olarak ortaya koyabilen, klasik risk ölçümlerine kyasla anlalmas daha kolay olan ve risk tutarlarn riskin meydana gelme olasl#yla ilikilendirerek ifade edilebilen bir ölçüm olarak bilinmektedir. VaR n çeitli kullanm alanlar bulunmaktadr: Toplam risk hedeflerini ayarlama, irket içi sermaye da#tmn belirleme, farkl yatrm seçeneklerin de#erlendirme. Daha ayrntl bilgi için Dowd [7] yeterli bir kaynaktr. X ba#msz de#ikeni toplam hasar gösteriyor olsun. 0< < 1 olmak üzere (1 ) X in VaR ; güven aral#nda VaR ( ) = inf{ x : P( X > x) } (1) X biçiminde verilir. 3. Monte Carlo stokastik optimizasyonu Bir optimizasyon modelinin üç önemli unsuru bulunmaktadr. Bunlar; karar de#ikenleri, kstlar ve amaç fonksiyonudur. Optimizasyon, kstlar sa#layacak ekilde amaç fonksiyonunu maksimize ya da minimize eden karar de#ikeni de#erlerinin en iyi kombinasyonunu belirleme sürecidir. Verilen amaç fonksiyonunu minimize eden bir optimizasyon modelinin genel gösterimi; min J ( ) (2) biçiminde verilebilir. Burada; girdi de#ikenlerini, J ( ) amaç fonksiyonunu ve ise kst kümesini göstermektedir. J amaç fonksiyonu için kullanlabilecek en yaygn gösterim E. 3 de verilen beklenen de#er biçimindedir. [ ] J( ) = E L(, ) (3)

4 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Burada bir benzetim tekrarlamasnda sistemin stokastik etkisini, L(, ) ise benzetim tekrarlamalar sonucunda elde edilen örneklem tahminlerini göstermektedir [8, 9]. Optimal de#erler elde etmek genellikle, hedefe do#ru ve tekrarlayan ilemlerden oluan bir aratrma sürecini gerektiririr. Bu süreç, karar de#ikenlerinin balangçtaki de#erleri için amaç fonksiyonu de#erleri hesaplama, sonuçlar analiz etme, bir veya daha fazla karar de#ikenini de#erlerini de#itirme, modeli tekrar çaltrma ve tatmin edici bir sonuç bulana dek ayn ilemleri tekrar etmeyi içerir. E#er problem basit ve durum de#ikenlerinin de#erleri tam olarak biliniyorsa, optimizasyon modelindeki tüm girdiler sabit ise, model deterministik olacaktr. Rekil 1. de deterministik bir optimizasyon modeli görülmektedir. )ekil 1. Deterministik optimizasyon modeli [11] Ancak birçok durumda deterministik bir model, karar verme probleminin içerdi#i tüm karmakl# açklayamayabilir. Bir modeldeki baz girdiler belirsiz ve dolaysyla sadece olaslk da#lmlar ile tanmlanabiliyor ise karar de#ikenlerinin seçilen çözüm kümesi için amaç fonksiyonu de#erlerinin olaslk da#lm elde edilebilir. )ekil 2. Stokastik optimizasyon modeli [11] En az bir tane rastgele parametre içeren bu tür modeller ise stokastik optimizasyon modeli olarak adlandrlr. Rekil 2. de stokastik bir optimizasyon modeli görülmektedir. Karar de#ikenlerinin seçilen bir çözüm kümesi için amaç fonksiyonun kesin bir de#eri olmayaca# da ekilden görülmektedir. Deterministik bir modelin optimal çözümü analitik olarak ya da Monte Carlo optimizasyonu ad verilen, rastgele seçilen çok sayda uygun çözüm kümeleri içinde amaç fonksiyonuna en iyi de#eri verenin bulunmas yöntemiyle olabilir [6].

5 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Stokastik modellerin optimizasyonu, deterministik modellere göre daha karmaktr. Stokastik bir modelin optimal çözümü analitik yollarla bulunamyorsa; optimal çözüm, hem model girdilerinin (durum de#ikenleri, sistem parametreleri vs.) belirlenmesinde, hem de optimal sonucun aranmasnda belli bir olaslk da#lmna uygun rastgele saylar üreten Monte Carlo benzetimi kullanlarak elde edilebilir [11]. Optimal saklama paynn belirlenmesi gibi risk analizlerinde kullanlan deterministik modeller günümüzde etkinli#ini kaybetmekte, gerçek karar verme süreçlerindeki karmakl# açklamamaktadr. Bunun yerine rastlantya ba#l olaylarn ortaya çkma durumunu içeren stokastik modeller tercih edilmelidir. Ancak stokastik modellerin optimal çözümünün analitik olarak bulunmas çok basitletirici varsaymlar yapld#nda bile ço#u zaman mümkün de#ildir [12]. Bu çalmada optimal saklama pay belirleme stokastik modelinin çözümü, hem model girdilerinin hem de optimal sonucun aranmasnda belli bir olaslk da#lmna uygun rastgele saylar üreten Monte Carlo tekni#ini kullanan Crystal Ball program ve bu programn kendi içinde kulland# optimizasyon algoritmas olan OptQuest yardmyla elde edilecektir. 4. Toplam hasar fazlas- reasürans benzetim optimizasyon modeli Sigortacnn balangçta öngördü#ü toplam hasar miktarn belirten negatif olmayan bir rastlant de#ikeni X olsun. Toplam hasar fazlas reasürans anlamalarnda sigorta irketi toplam hasarn X I kadarlk ksmn üstlenir ve geri kalan XR = X XI ksmn reasüröre devreder. Saklama pay d > 0 olmak üzere, sigortacnn ve reasürörün ödeyecekleri toplam hasar miktarlar srasyla XI = min{ x, d} ve X = max{0, x d} biçiminde hesaplanr. R Reasürans anlamas yoluyla riskin devredilmesi sürecinde sigorta irketi saklama paynn seviyesine göre reasüröre bir prim ödemek durumundadr. Saklama pay seviyesi arttkça, reasüröre ödenmesi gereken primin azalmas beklenir. Dolaysyla, reasürans primi R ( d ), d saklama paynn azalan bir fonksiyonudur. > 0 yükleme katsays olmak üzere beklenen de#er ve standart sapma prim ilkelerine göre reasürans primi srasyla, R( d) = (1 + ) E( XR), (4) ( d) = E( X ) + V( X ), (5) R R R biçimlerinde yazlabilir. Burada EX ( R ) reasürans ödemesinin beklenen de#erini, V( X R ) reasürans ödemesinin varyansn göstermektedir. Sigorta irketi açsndan toplam ödeme T, devredilmeyen hasar ve reasürans priminden oluur [3]. T = XI + R ( d ) (6) Toplam hasar fazlas reasürans yöntemi ile sigortacnn maruz kald# toplam ödeme için VaR ölçümünü minimize eden stokastik optimizasyon modeli E. 7 de verilmitir. Beinci bölümde farkl durumlar için * d optimal saklama pay de#erleri bu model üzerinden elde edilecektir. min EVaR [ ( d,, )] d[0, ) T (7) 5. Benzetim sonuçlar- Çalmann bu bölümünde E. 7 de verilen stokastik optimizasyon modelinin benzetimi ve optimizasyonu için OptQuest benzetim optimizasyoncusunu kullanan Crystal Ball program deneme sürümünden yararlanlmtr.

6 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Sigortacnn optimal saklama pay seviyesi; hasar da#lm, reasürör güvenlik yükleme katsays, reasürans prim ilkeleri açlarndan ele alnmtr. Cai ve Tan, 2007 nin örneklerinin sonuçlar ile karlatrabilmek amacyla sigortacnn toplam hasar da#lm için ortalama ve standart sapmas 1000 olan üstel da#lm 0,001x F( x) = 1 e, x 0; ile ortalamas 1000 standart sapmas yaklak 1732 olan pareto da#lm, 2000 ( ) 3 F( x) = 1, x 0 incelenmitir. Ayrca, ortalamas ve standart sapmas 1000 olan lognormal x da#lm ( µ = 6, 637 ; = 0,541) da ele alnmtr. Reasürans prim ilkelerinden beklenen ve standart sapma için de ayr durumlar oluturulmutur. Ayrca reasürörün güvenlik yükleme katsays = 0, 2 ve 2 oranlarnda ayr durumlar gerçekletirilmitir. Toplamda oluturulan 6 durum için sigortacnn optimal saklama pay seviyleri VaR ölçümü için (1 ) = 0, 90 güven aral#nda hesaplanmtr. Kullanlan programda her bir durum için belirlenen optimal saklama pay seviyelerinin makul bir bilgisayar çalma süresinde elde edilebilmesi ve tutarl olabilmesi için örnekli (sample) sonuç (solution) elde edilmitir. Çalmada 6 farkl durum için elde edilen sonuçlar aa#da Çizelge 2 de verilmitir. Tabloda verilen sonuçlar kesin analitik çözüm sonuçlar de#il, yaklak çözüm sonuçlardr. Bu durum Cai ve Tan, 2007 çalmasnda Durum1 ve Durum2 için = 0, 2 olmas durumunda elde edilen optimal saklama pay seviyelerinin analitik sonuçlar srasyla 182,32 ve 125,32 ile bu çalmada elde edilen yaklak çözümler 184 ve 128 de#erleri karlatrld#nda da görülebilmektedir. Çizelge 1 de görüldü#ü üzere Tan vd. (2009) optimizasyon probleminin karkl# nedeniyle analitik olarak optimal çözümün elde edilemedi#ini belirtti#i standart sapma prim ilkesi için de stokastik optimizasyon yöntemiyle sonuçlarn elde edilebildi#i Çizelge 2 de görülmektedir. Çizelge 2. Alt farkl durum için elde edilen stokastik optimizasyon sonuçlar Optimal Saklama Pay d* VaRT ( d,, ) Toplam Hasar Da#lm Prim Ilkeleri Yükleme katsays (W) Yükleme katsays (2W) Yükleme katsays (W) Yükleme katsays (2W) Durum1 Üstel Beklenen 184,00 336, , ,63 Durum2 Pareto Beklenen 128,00 239, , ,46 Durum3 Lognormal Beklenen 312,00 440, , ,07 Durum4 Üstel Standart sapma 0,00 0, , ,00 Durum5 Pareto Standart sapma 0,00 0, , ,82 Durum6 Lognormal Standart sapma 44,00 48, , ,98 Durum sonuçlar incelendi#inde, beklenen prim ilkeleri için optimal saklama paylarnn standart sapma prim ilkelerlerine göre yüksek oldu#u görülmektedir. Toplam hasar seviyesinin ortalama 1000 oldu#u düünüldü#ünde her iki prim ilkesi için elde edilen optimal saklama paylarnn, sigorta sektöründe uygulanabilir olmad# görülmektedir. Reasürörün güvenlik yükleme katsays arttkça, beklendi#i gibi, optimal saklama pay seviyesinin de artt# Çizelge 2. de gözlemlenmektedir. Bununla birlikte optimal saklama pay seviyesine etki eden bir baka faktör de sigortacnn toplam hasar da#lm olarak göze çarpmaktadr. Beklenen prim ilkesi için pareto da#lmn optimal saklama pay seviyesinin daha düük oldu#u görülmektedir. Bunun nedeni olarak pareto da#lmnn kaln kuyruklu olmas söylenebilece#i gibi, Durum1 ve Durum4 de üstel da#lmn standart sapmalar 1000 iken Durum2 ve Durum5 de pareto da#lmnn standart sapmasnn yaklak 1732 olmas da söylenebilir. Standart sapma büyüdükçe risk de artaca#ndan, sigorta irketi açsndan saklama pay seviyesini düürmek tercih edilebilir bir durum olur.

7 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) Rekil 3 de = 0, 2 olmak üzere beklenen prim ilkesi varsaymna dayal Durum1, Durum2 ve Durum3 için VaRT ( d,, ) grafikleri saklama paynn (0,1000) tanm bölgesinde ve (0,3000) tanm bölgesinde ayr olarak verilmektedir. Rekil 4 de ise = 0, 2 olmak üzere standart sapma prim ilkesi varsaymna dayal Durum4, Durum5 ve Durum6 için VaRT ( d,, ) grafikleri saklama paynn (0,1000) tanm bölgesinde ve (0,3000) tanm bölgesinde ayr olarak verilmektedir Durum1 (ustel) Durum2 (pareto) Durum3 (lognormal) 2400 Durum1 (ustel) Durum2 (pareto) Durum3 (lognormal) VaR T (d,,) VaR T (d,,) < d < < d < 3000 )ekil 3. Beklenen prim ilkesine dayal durumlar için VaRT ( d,, ) grafikleri Durum4 (ustel) Durum5 (pareto) Durum6 (lognormal) Durum4 (ustel) Durum5 (pareto) Durum6 (lognormal) VaR T (d,,) VaR T (d,,) < d < < d < 3000 )ekil 4. Standart sapma prim ilkesine dayal durumlar için VaRT ( d,, ) grafikleri Durum4 ve Durum5 de optimal saklama paylarnn 0 çkmasnn nedeni, bu durumlar için VaRT ( d,, ) fonksiyonunun saklama pay d arttkça sürekli artan fonksiyonlar olmasdr. Bu durum Sekil 4 de gözlemlenebilmektedir. 6. Sonuç Literatürde stokastik reasürans problemlerinin baz durumlarda analitik çözümünün elde edilebildi#i ço#u durumda ise elde edilemedi#i görülmektedir. Bu çalmada, analitik çözümün elde edilemedi#i durumlarda optimal saklama paynn Monte Carlo stokastik optimizasyonu ile elde edilebilece#i gösterilmitir. Ayrca Rekil 3 ve Rekil 4 incelendi#inde fonksiyonlarn en küçük de#er aldklar nokta bölgesinde e#rilerin hzl artan ve azalan olmadklar, küçük bir e#imle azalp arttklar görülmektedir. Bu nedenle, hesaplanan saklama paylarnn optimal de#erden bir miktar daha artrlmas durumunda VaRT ( d,, ) de#erindeki art da küçük olacaktr. Örne#in Durum6 için Çizelge 2 de verilen optimal saklama pay 44 ve buna karlk (,, ) T VaR d de#eri 1399,98 dir. Rekil 4 de 0< d < 1000 tanm

8 M. Büyükyazc, E. Taar / statistikçiler Dergisi 4 (2011) bölgesinin gösterildi#i grafikte Durum6 fonksiyon e#risi incelendi#inde saklama paynn 0< d < 300 bölgesinde VaRT ( d,, ) de#erinin az miktarda de#iti#i görülebilmektedir. Baz de#erleri vermek gerekirse; saklama pay 73,22 iken VaRT ( d,, ) de#eri 1400; saklama pay 243,31 iken VaRT ( d,, ) de#eri 1404,74 dür. Bu durumda sigorta irketinin, daha yüksek bir VaRT ( d,, ) riskini göze alarak saklama payn hesap edilen optimal saklama paylarndan daha yüksek bir seviyede belirleyebilece#i açktr. Bu durum modele kst ekleyerek, etkin snr analizleri ile ya da model üzerinde yaplcak di#er de#iikliklerle gelecek çalmalarda incelenebilir. Kaynaklar [1] A. Balbas, B. Balbas, and A. Heras, 2009, Optimal Reinsurance with General Risk Measures, Insurance: Mathematics and Economics, 44, [2] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt, 1997, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, USA. [3] J. Cai, and K. S. Tan, 2007, Optimal Retention For a Stop-Loss Reinsurance Under the VaR and CTE Risk Measures, ASTIN Bulletin, 37(1), [4] J. Cai, K. S. Tan, C. Weng, and Y. Zhang, 2008, Optimal Reinsurance Under VaR and CTE Risk Measures, Insurance Math. and Econom., 43, [5] C. D. Daykin, T. Pentikainen, and M. Pensonen, 1994, Practical Risk Theory for Actuaries, London: Chapman and Hall. [6] B. H. Dickman, and M. J. Gilman, 1987, Monte Carlo optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, Tecnical note, Vol. 60, No 1, [7] K. Dowd, 2004, Value-at-risk, in Encyclopedia of Actuarial Science, ed. Sundt, B. and Teugels, J. (New York: John Wiley & Sons, Ltd. [8] M.C. Fu, FW Glover, and J. April, Simulation optimization: a review, new developments, and applications, In: M.E. Kuhl, N.M. Steiger, J.A. Joines, editors, Proceedings of the 2005 winter simulation conference, [9] M.C. Fu, C.H. Chen, and L. Shi, Some topics for simulation optimization, In: S.J. Mason, R.R. Hill, L. Mönch, O. Rose, T. Jefferson, and J.W. Fowler, editors, Proceedings of the 2008 winter simulation conference, [10] T. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, and M. Denuit, 2001, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston. [11] J. Mun, 2006, Modeling Risk Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting, And Optimization Techniques, New Jersey. [12] K. S. Tan, C. Weng, and Y. Zhang, 2009, VaR and CTE criteria for Optimal Quota-Share and Stop-Loss Reinsurance, The North American Actuarial Journal, Volume 13, No: 4. [13] V. R. Young, 2004, Premium Principles, In Encyclopedia of Actuarial Science, vol. 3, ed. J. Teugels and B. Sundt, pp , John Wiley.