Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı

Transkript

1 Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı ÖZET Bu çalışmada öngerilmeli beton sürekli kirişlerin tasarımını Yük-Dengeleme yöntemiyle yapan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Program sürekli kirişlerin kesit tesirleri rijitlik matrisi yöntemi ile hesaplamakta, kesite uygulanacak öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerini doğrulukla bulmaktadır. Program ile değişik açıklıklarda ve kesiti değişken olabilen sürekli kirişlerin hesabı yapılmaktadır. Öngerilme kuvveti tüm kirişte sabit olarak hesaplanmakta, eksantrisite ise kirişe göre hesaplanmaktadır. Kesitte meydana gelen gerilmeler izin verilen gerilmeleri aşmadan tasarım yapılmaktadır. Yapılan bilgisayar programı ile literatürde mevcut örnekler çözülmüş, sonuçların uyum içinde olduğu görülmüştür. 1. GİRİŞ Yapı mühendisliğinde gelişen teknolojiye paralel olarak daha dayanımlı yapılara ve yüksek mukavemetli malzeme kullanımına doğru etkin çalışmalar yapılmaktadır. Bunun sonucunda kesit boyutlarında azaltmalar yapılarak yapıların daha ekonomik olması sağlanmaktadır. Bu çalışmaların en önemli uygulama alanlarından biri de öngerilmeli betondur. Öngerilmeli beton sisteminde istenmeyen pekçok durum giderilmiş, beton ve çelik daha etkin bir şekilde kullanılmıştır (1). Genel olarak, öngerilmeli basit kirişlerin tasarımında iki tür problem vardır. Birinci tür problemde, kesit boyutları bellidir. Sadece öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerleri bilinmemektedir. Dolayısıyla, bu tür kesitlerin tasarımı sadece öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin bulunmasıyla yapılmaktadır. İkinci tür problemlerde ise kesit boyutları da belli değildir. Bu tür problemlerde hem kesit boyutları, hem de öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerleri belirlenmelidir. Özellikle, geniş açıklıklarda maliyeti düşürmek için bu tür kesitlerin kullanılması gerekmektedir (2). Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımında ise her açıklık için öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin seçimi daha karmaşık bir yapıda olmaktadır. Sürekli kirişlerde, açıklık değerleri değişmekle beraber üzerlerindeki yük değerleri de değişebilmektedir. Böylece, farklı açıklık ve yük değerleri için en emniyetli ve en ekonomik öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin seçilmesi gerekmektedir. Tasarım sırasında işlemlerin kısa sürede tamamlanıp yorumlanabilmesi için bir bilgisayar programı kaçınılmaz olmaktadır. Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımı çeşitli yöntemlerle yapılabilmektedir, (3-14). Günümüzde en yaygın kullanılanlar; yük-dengeleme yöntemi ve elastik teori yöntemidir (15). Genel olarak her iki yöntemde aynı esaslara dayanmaktadır. Sadece analiz adımları birbirinden farklı olmaktadır. Özellikle öngerilme kablosunun yerinin belirlenmesi ve kesite uygulanacak öngerilme kuvvetinin tespiti için en ekonomik yöntem yük-dengeleme yöntemidir. Prof. Dr. İsmail Hakkı ÇAĞATAY Bu çalışmada öngerilmeli sürekli kirişlerin yük-dengeleme yöntemiyle tasarımını yapan bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Öngerilmeli beton sürekli kirişlerin hesabı için sürekli kiriş yük etkilerinin hesaplanması rijitlik matrisi yöntemi ile yapılmaktadır. Ele alınan problem türlerinde; kesit boyut- EKİM 2012 SAYI :

2 ları, açıklık ve yük değerleri bilinmekte, kesite uygulanacak öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerleri bilinmemektedir. 2. KESİTTE MEYDANA GELEN GERİL- MELER Öngerilmeli betonda meydana gelen gerilmeler iki durumda incelenir. 2.1 Transfer Durumu Transfer öngerilme kuvvetinin betona tatbik edilmesidir. Elemana sadece öngerilme kuvveti ve kendi ağırlığı etkimektedir. Öngerilme kayıpları henüz meydana gelmemiştir. Şekil 1 te transfer durumunda kesitte meydana gelen gerilme dağılımı görülmektedir. Şekil 1 de, a. Öngerilme kuvvetinden dolayı meydana gelen gerilmeleri, b. Eksantrik öngerilme kuvvetinden dolayı meydana gelen gerilmeleri, c. Kirişin kendi ağırlığından dolayı meydana gelen gerilmeleri, d. Transfer durumunda kesitte meydana gelen gerilmeleri Transfer durumunda kesitin alt lifinde büyük basınç gerilmeleri, üst lifinde ise eğer izin verilmiş ise, az miktarda çekme gerilmeleri meydana gelmektedir. Bu çekme gerilmeleri, istenilen sınırlar içerisinde kalacak şekilde boyutlandırma yapılabilmektedir. Kesitte hiç çekme gerilmesi yoksa kesit tamamen basınca çalışmaktadır. Kesitte meydana gelen gerilmeler, Üst lifte P PeY t F TT = + -F td Alt lifte P PeY b F TB = + -F bd (1) (2) Şekil 1. Transfer durumunda kesitte meydana gelen gerilmeler denklemleri ile ifade edilmektedir. Burada, P: Öngerilme kuvveti, e : Eksantrisite, A: Kesit alanı, I: Kesit atalet momenti, Y t, Y b : Sırasıyla kesit ağırlık merkezinden üst ve alt liflere olan mesafeleri, F td, F bd : Sırasıyla kirişin kendi ağırlığından dolayı üst ve alt liflerde meydana gelen gerilmeleri Eksantrisite e, kesit ağırlık merkezinden aşağıya doğru pozitif kabul edilmektedir. Diyagramlarda basınç gerilmeleri (+), çekme gerilmeleri (-) ile gösterilmektedir. 2.2 Servis Durumu Şekil 2. Servis durumunda kesitte meydana gelen gerilmeler Servis durumunda kesite, transfer durumundaki kuvvetlerden başka servis yükleri de etkimektedir. Kesite etkiyen öngerilme kuvveti efektif öngerilme kuvvetidir. Öngerilme kayıpları meydana gelmiştir. Kesitte meydana gelen gerilmeler Şekil 2 de görülmektedir. Şekil 2 de, a. Efektif öngerilme kuvvetinden dolayı kesitte meydana gelen gerilmeleri, b. Eksantrik öngerilme kuvvetinden dolayı kesitte meydana gelen gerilmeleri, c. Kirişin kendi ağırlığından dolayı kesitte meydana gelen gerilmeleri, d. Hareketli yükten dolayı kesitte meydana gelen gerilmeleri, e. Servis durumunda kesitte meydana gelen gerilmeleri Servis durumunda kesitin üst bölgesinde büyük basınç gerilmeleri meydana gelir. Alt lifinde ise eğer izin verilmiş ise çekme gerilmeler meydana gelmektedir. Kesitte meydana gelen gerilmeler, Üst lifte P P ey t F ST = - + F td + F tl Alt lifte P P ey b F SB = + - F bd + F bl (3) (4) 18 EKİM 2012 SAYI : 104

3 denklemleri ile hesaplanmaktadır. Burada, öngerilme kayıp faktörünü, F tl, F bl sırasıyla hareketli yükten dolayı üst ve alt liflerde meydana gelen gerilmeleri (1-4) formülleri ile transfer ve servis durumlarında kesitin alt ve üstünde meydana gelen gerilmeler hesaplanmaktadır. Standartlarca bu gerilmeler sınırlandırıldığı için, bu gerilmelerin izin verilen gerilme değerlerinden küçük olması gerekmektedir. 3. ÖNGERİLMELİ SÜREKLİ KİRİŞLE- RİN TASARIMI Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımında öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin bulunması çeşitli yöntemlerle sağlanmaktadır. Önemli olan, servis yükleri altında kirişe emniyetli bir şekilde servis ömrü boyunca kalıcı gerilmeler verilmesidir. Bunun için yüklemeler altında, öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin en ekonomik şekilde seçilmesi gerekmektedir. Sürekli kirişler basit kirişlerden daha fazla yük taşıyabilmektedir. Bunun anlamı, aynı miktar beton ve çelik kullanılmasına rağmen öngerilmeli sürekli bir kirişin yük taşıma kapasitesi fazla olmaktadır. Bu durum tasarım açısından çok önemli bir noktadır. Tasarım sırasında maksimum açıklıklar en ekonomik kesitlerle geçilmeye çalışılmaktadır. Aynı yükleme altında öngerilmeli sürekli bir kirişte kesit boyutları, basit kirişe göre küçültülebilmekte böylece ekonomik açıdan fayda sağlamaktadır. Aynı zamanda aynı kesitlerle daha fazla yükleme altında geniş açıklıklar öngerilmeli sürekli kirişlerle geçilebilmektedir. Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımında iki önemli problem vardır. Birinci tür problemde, standart tipte kesitler kullanılmaktadır. Bu tür kesitlerin boyutları bellidir, öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerleri bilinmemektedir. Dolayısıyla, bu tür kesitlerin tasarımı sadece öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerinin bulunmasıyla yapılabilmektedir. İkinci tür problem birinci türe göre daha karmaşık bir yapıdadır. Çünkü ikinci tür problemde kesit boyutları da belli değildir. Bu tür problemlerde hem kesit boyutları, hem de öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerleri bulunmalıdır. 3.1 Yük Dengeleme Yöntemi Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımı için kullanılan yöntemlerden yük-dengeleme yöntemi T. Y. Lin (15) tarafından geliştirilmiştir. Yük-Dengeleme yönteminde, servis yükleri altında kirişte meydana gelecek eğilmeye zıt yönde bir öngerilme kuvveti tespit edilerek, kirişe üniform olarak uygulanır. Öngerilme kuvveti kirişte üniform dengeli yük olarak oluşmaktadır. Öngerilme kuvveti kirişe aşağıdan yukarıya doğru yayılı yük olarak etki ettirilmektedir. Meydana gelen bu yük, w b = 8Ph L 2 (5) denklemi ile bulunmaktadır. Burada, wb dengeli yük, P öngerilme kuvveti, h kablonun eksantrisitesi, L, kiriş açıklığını Böylece, servis yükleri altında öngerilme kuvvetinden dolayı dengeli yük meydana gelmektedir. Uygulanan öngerilme kuvveti betonda üniform gerilmelere sebep olmaktadır. Bu gerilmeler, f = P A (6) denklemi ile bulunmaktadır. Burada, f gerilme, A kesit alanı olarak gösterilmektedir. Kirişte, servis yükü dengeli yükten büyükse aradaki fark kadar dengelenmemiş yük oluşacaktır. Bu yükten dolayı meydana gelen gerilmeler, M f = y I (7) denklemi ile bulunmaktadır. Burada, M moment, y kesit ağırlık merkezinin alt veya üst life olan mesafesi, I atalet momentini gösterilmektedir. Öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımında, öngerilme kuvveti ve eksantrisite değerlerini bulmak için birkaç yöntem vardır. Bunların hepsi aynı kabullere dayanır. Sadece başlangıçta kabuller farklıdır. Sonuçta aynı değerler bulunmaktadır. Yöntemlerden biri, öngerilme kuvvetini bulmak için hareketli yükleri kirişte dengeleyecek öngerilme değeri, P = w L L2 8h (8) denklemi ile bulunmaktadır. Burada, w L = Hareketli yükü Kirişin alt ve üst liflerinde toplam gerilmeler, a) Üst lifte P M F ST = + Y t (9) denklemi ile ifade edilir. Burada, F ST = Servis durumunda kirişin üst lifinde meydana gelen toplam basınç gerilmelerini b) Alt lifte P M F SB = + Y b (10) denklemi ile ifade edilir. Burada, F SB = Servis durumunda kirişin alt lifinde meydana gelen toplam çekme gerilmelerini EKİM 2012 SAYI :

4 BETON PREFABRİKASYON Öngerilmeli beton sürekli kirişlerin hesabı için sürekli kiriş yük etkilerinin hesaplanması rijitlik matrisi yöntemi ile yapılmaktadır. Programda altı serbestlik dereceli düzlem çerçeve elemanı kullanılmaktadır. Bu serbestliklerden 1, 2 ve 3 sırasıyla elemanının sol uçtaki yatay ötelenme, düşey ötelenme ve dönme serbestliklerini 4, 5 ve 6 ise elemanının sağ uçtaki yatay ötelenme, düşey ötelenme ve dönme serbestliklerini Eleman rijitlik denklemi (11) ve sistem rijitlik denklemi ise (12) formülleri ile ifade edilmektedir. p=k d + f (11) Burada, p, k, d ve f sırasıyla eleman yük vektörü, eleman rijitlik matrisi, deplasman vektörü ve ankastrelik uç kuvvetleri vektörünü Sistem denklemi ise Şekil 3. Çerçeve çubuk elemanı uç kuvvetleri P=K D (12) Burada, P, K ve D sırasıyla sistem yük vektörü, sistem rijitlik matrisi ve deplasman vektörüdür. Sistem üniform yayılı yük (q) ve sol uca mesafesi a olan tekil yük (P) etki yapabilmektedir. Çalışmada eleman rijitlik matrisi ile ilgili terimler Yapı Statiği kitaplarında mevcut olduğundan yer darlığı nedeniyle verilmemiştir. BİLGİSAYAR PROGRAMI Bu çalışmada, öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımını yapan bilgisayar programı Compaq Visual Fortran dilinde hazırlanmıştır. Program, öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımı için gerekli olan eksantrisite değerlerini ve kesite uygulanacak öngerilme kuvvetini Yük- Dengeleme yöntemiyle bulmaktadır. Kesitin açıklık ve mesnet bölgelerinde, alt ve üst liflerde meydana gelen çekme ve basınç gerilmeleri bilgisayar programı ile bulmaktadır. Meydana gelen gerilmeler izin verilen gerilme değerlerini aşmamaktadır. Program ile prizmatik öngerilmeli beton kirişlerin tasarımı incelenmektedir. Kirişlerin kesiti, açıklık sayısı ve değerleri, yüklemeler değişken olabilmekte ve gerek kiriş kesitinde ve gerekse açıklık sayısında sınırlama yapılmamıştır. Kiriş kesiti I, U, T, dikdörtgen veya n düğümlü değişken kesit olabilmektedir. Program ile kiriş kiriş kesitleri simetrik olarak tanımlanmakta ve N adet kiriş kesit koordinatları için N/2 adet veri girilmektedir. Örnek olarak Şekilde makaledeki Örnek 2 kiriş kesiti verilmektedir. X ve Y koordinatları Bilgisayar Programının Yapısı Hazırlanan bilgisayar programı esas olarak bir ana program ve kesme kuvveti ve momentlerin hesabı için rijitlik matrisi yöntemiyle dokuz tane alt program bulunmaktadır. Ana program; alt programlarda hesaplanan verileri kullanarak kesitte meydana gelen gerilmeleri, eksantrisite değerlerini ve öngerilme kuvvetini hesaplar. Program Veri Dosyasının Yapısı Program veri girişi, veri dosyası yardımı ile yapılmaktadır. Veri dosyası, herhangi bir editör yazılımı kullanılarak hesaplanabilmektedir. Veri dosyası aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır. a) İzin Verilen Gerilmeler: b) Paspayı Bölümü: c) Koordinatlar Bölümü: d) Kiriş elemanlarının Tanımlanması: e) Düğüm noktalarının Mesafelerinin Tanımlanması: f) Eleman Uç Tarifleri: g) Düğüm Kodlaması: h) Yüklerin Tanımlanması: i) Zati Yük Tanımlanması: 20 EKİM 2012 SAYI : 104

5 !"# $%# $%# e h 1 h 2 e 1 A B C e 2 3 BETON PREFABRİKASYON Şekil 4. Örnek 1 için öngerilmeli iki açıklıklı sürekli kiriş 4. SAYISAL UYGULAMALAR Örnek 1 Bu örnekte Şekil 4'te görülen öngerilmeli iki açıklıklı sürekli bir kirişin tasarımı yapılmaktadır. Kirişin açıklıkları L 1 =15.24 m, L 2 =15.24 m ve hareketli yük değeri 15 kn/m, toplam ölü yük değeri 8.3 kn/m'dir. İzin verilen gerilmeler, FT=-5.0 N/mm2, FC=15 N/mm 2 'dir. Beton birim ağırlığı 24 kn/ m 3 olarak verilmektedir. Kirişin kesiti dikdörtgen olup b= mm ve h=762 mm'dir. Paspayı mesafesi 76.2 mm olarak verilmektedir. Bu örnek literatürde mevcut olup, burada geliştirilen program ile tekrar çözülmüştür, (3, 16). Tablo 1 de eksantrisite değerleri ve öngerilme kuvvetleri, Tablo 2 de gerilme değerleri verilmektedir. Örnek 1 data dosyası yanda verilmiştir. ORNEK 1 IKI ACIKLIKLI ONGERILMELI KIRIS PROBLEMI :İzin verilen gerilmeler 76.2 :Paspayı 4 :Kesiti oluşturan koordinat nokta sayısı :1. Koordinat (X ve Y koordinatları) :2. Koordinat (X ve Y koordinatları) :Eleman sayısı, Düğüm sayısı, Bilinmeyen sayısı :1. Düğüm noktasının X ve Y koordinatları :2. Düğüm noktasının X ve Y koordinatları :3. Düğüm noktasının X ve Y koordinatları :1. eleman tarifi, atalet momenti, alanı, elastisite modülü :2. eleman tarifi, atalet momenti, alanı, elastisite modülü :1. Düğüm kod numaraları :2. Düğüm kod numaraları :3. Düğüm kod numaraları :Üniform yük, tekil yük, ara tekil yük sayısı 2 :Üniform yüklü eleman sayısı :1. Elemanın yükü (kn/m) :2. Elemanın yükü (kn/m) 8.3 :Zati yük (kn/m) Tablo 1. Örnek 1 için eksantrisite değerleri ve öngerilme kuvvetleri ELEMAN NO EKSANTRİSİTE (mm) e1 e2 e3 ÖNGERİLME KUVVETİ (kn) 1 Bu çalışma T.Y.Lin Bu çalışma T.Y.Lin EKİM 2012 SAYI :

6 BETON PREFABRİKASYON Tablo 2. Örnek 1için gerilme değerleri Örnek 2 GERİLMELER (N/mm 2 ) Bu örnekte Şekil 5 te görülen öngerilmeli üç açıklıklı sürekli bir kirişin ELEMAN MESNET AÇIKLIK NO SOL SAĞ tasarımı yapılmaktadır. Kirişin açıklıkları L 1 =10 m, L 2 =15 m, L 3 =15 m ve ÜST ALT ÜST ALT ÜST ALT hareketli yük değeri 25 kn/m'dir. İzin 1 Bu çalışma verilen gerilmeler, FT=0.0 N/mm 2, T.Y. Lin FC=15 N/mm 2 'dir. Beton birim ağırlığı 2 Bu çalışma kn/m 3 olarak verilmektedir. T.Y. Lin Kirişin kesit boyutları Şekil 6'da verilmektedir. Paspayı mesafesi 50 mm Tablo 3. Örnek 2 için eksantrisite değerleri ve öngerilme kuvvetleri olarak verilmektedir. Sonuçlar Tablo 3 EKSANTRİSİTE ve 4 te verilmektedir. ÖNGERİLME ELEMAN NO (mm) KUVVETİ (kn) e1 e2 e Tablo 4. Örnek 2 için gerilme değerleri GERİLMELER (N/mm 2 ) MESNET ELEMAN NO AÇIKLIK SOL SAĞ ÜST ALT ÜST ALT ÜST ALT *)+,-( Şekil 6. Örnek 2 kiriş kesiti & &'( * &)(. &)( / e h 2 2 e 4 e 1 h 1 e 3 e 5 h 3 Şekil 5. Öngerilmeli üç açıklıklı sürekli kiriş 22 EKİM 2012 SAYI : 104

7 5. SONUÇLAR Bu çalışmada, değişik geometriye sahip, değişik açıklıklarda öngerilmeli sürekli kirişlerin tasarımını yük-dengeleme yöntemi ile yapan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Statik analiz yapılarak kesme kuvvetleri ile açıklıkta ve mesnette moment değerleri bulunmaktadır. Eksantrisite değerleri ile kesite uygulanacak öngerilme kuvveti bulunarak, açıklıklarda ve mesnetlerde meydana gelen gerilmeler hesaplanmaktadır. Bu gerilmeler izin verilen gerilmelerle karşılaştırılarak, kesitte meydana gelen gerilmelerin izin verilen gerilme değerlerini aşmaması sağlanmaktadır. Böylece istenilen şekilde tasarım işlemi yapılmaktadır. Sürekli kirişin açıklık sayısı n sayıda olabilmekte ve açıklık değerleri farklı seçilebilmektedir. Hareketli yük değerleri her açıklık için farklı değerde olabilmektedir. Yapılan bilgisayar programı işlemlerin en kısa sürede ve doğru şekilde yapılmasına olanak sağlamıştır. Teşekkür Yazar MMF2008BAP7 Nolu Öngerilmeli Beton Sürekli Kirişlerin Bilgisayarla Hesabı isimli projenin desteklenmesi nedeniyle Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi ne teşekkür eder. Kaynaklar 1. Çağatay, İ. H., Öngerilmeli Beton Kirişlerin Optimum Tasarımı, Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı, Doktora Tezi, Adana, 207s, Taylor, M. A., Direct Design of Nonprismatic Prestressed Beams:I, J. Struct. Eng., ASCE, Vol.113, No.6, pp , Burgoyne, C. J., Cable Design for Continuous Prestressed Concrete Bridges, Proceedings-Institution of Civil Engineers, V. 85, pp , Magnel, G., Prestressed Concrete, Concrete Publications, London, U.K, Cohn, M. Z., Optimum Limit Design of Continuous Prestressed Concrete Beams, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol.119, No.12, pp , Tong, W., Saadatmanesh, H., Parametric Study of Continuous Prestressed Composite Girders, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol.118, No.1, pp , Campbel, T. I., Kodur, V. K., Deformation Controlled Nonlinear Analysis of Prestressed Concrete Continuous Beams, Journal Prestressed Concrete Institute, Vol.35, No.5, pp.42-55, Ghali, A., Elbadry, M. M., Serviceability Design of Continuous Prestressed Concrete Structures, Journal Prestressed Concrete Institute, Vol.34, No.1, pp , Moucessian, A., Campbell, T. I., Prediction of the Load Capacity of Two Span Continuous Prestressed Concrete Beams, Journal Prestressed Concrete Institute, Vol.33, No.2, pp , Basu, P. K., Sharif, A. M., Ahmed, N., Partially Prestressed Continuous Composite Beams, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol.113, No.9, pp , Nawy, E. G., Flexural Cracking Behaviour of Pretensioned and Post-Tensioned Beams, Journal of the America Concrete Institute, Vol.82, No.6, pp , Lopes, S. M. R., Harrop, J., Gamble, A. E., Study of Moment Redistribution in Prestressed Concrete Beams, Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol.118, No.3, pp , Kirsh, U., Optimum Design of Prestressed Beams, Computers and Structures, Vol.2, pp , Gilbert, R. I., Micleborough, N. C., Design of Prestressed Concrete, Hyman, London, Lin, T. Y., Design of Prestressed Concrete Structures, John Wiley and Sons, America, 646s, Çağatay, İ. H., Araz, M. S. Öngerilmeli Sürekli Kirişlerin Bilgisayar Programı ile Hesabı, Çukurova Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Dergisi, 18, Sayı: 1, , (2003). EKİM 2012 SAYI :