Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN

Transkript

1 Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN

2 Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n

3 Örnek Uzay S: Bir deneyin olası tüm sonuçlarıdır Para atma: S = {Yazı, Tura} Tüm durumların sayısı

4 Örnek Uzay S: Bir deneyin olabilecek tüm sonuçlarının olusturdugu küme Iki parayı atma: S = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}

5 Örnek Uzay S: Bir deneyin olabilecek tüm sonuçlarının olusturdugu küme Gün içinde alınan e-postalar: S = { x x Z, x 0}

6 Örnek Uzay S: Bir deneyin olabilecek tüm sonuçlarının olusturdugu küme Gün içinde sosyal medyada geçirilen süre: S = {x x R, 0 x 24}

7 Örnek Uzay Gün içinde sosyal medyada geçirilen süre: S = {x x R, 0 x 24} x sonlu sayıda ise; SONLU ÖRNEK UZAYI Tüm x leri toplamı 1 ise;sonlu OLASILIK UZAYI

8 Olay Uzayı Örnek uzayının (S) alt kümesidir. S

9 Olay Uzayı Örnek uzayının (S) alt kümesidir. S E E S

10 Olay Uzayı E: Para atma deneyinde paranın yazı gelmesi S = {Yazı, Tura} E = {Yazı} S E

11 Olay Uzayı E: iki adet madeni paradan en az birinin yazı gelmesi E = {(Y, Y)} S E

12 Olay Uzayı E: Gün içinde gelen postaların ilk 20 tanesi S = { x x Z, 0 x 20}

13 Olay Uzayı Gün içinde sosyal medyada 5 saatten fazla geçirmek; S = {x x R, 5 x 24}

14 Olasılık istenen durumların sayısı Tüm durumların sayısı

15 Olasılık Olay istenen durumların sayısı Tüm durumların sayısı Örnek Uzay

16 Olasılık Örnek Uzay = {1,2,3,4,5,6} 3 den büyük sayı gelmesi: Bir gelmesi: Olay= {1} 1 6 Olay= {4,5,6} 3 6

17 Olasılık P(E) = E olayının gerçeklesme olasılıgı P(E) + P(E ) = 1 Aa Aa Aa aa aa { { P(E ) = E olayının gerçeklesmeme olasılıgı aa 1/2 1/2

18 Olasılık Aksiyomları Aksiyom 1: 0 P(E) 1 Hiç ölmemek Sahra çölünde Paranın TURA iyi bir ögrenci Günesin tekrar kar yagması gelmesi olmak dogması

19 Olasılık Aksiyomları Aksiyom 2: P(S) = 1 S = {Yazı, Tura} P(S) = =

20 Olasılık Aksiyomları Birbirini engelleyen olaylar (mutually exculsive events): Bir olayın olması durumunda diger olayın gerçeklesmemesi Aksiyom 1: E ve F birbirlerini dıslayan olaylar ise S = {Yazı, Tura} (E F = ) P(E) + P(F) = P(E F) E = {Yazı}, F = {Tura}

21 Olasılık Özellikleri Olasılık aksiyomlarından hareketle asagıdaki özellikleri belirlenebilir. Özellik 1: P(Ec) = 1 P(E) = P(S) P(E) Özellik 2: Eger E F ==> P(E) P(F) dir. S = {Yazı, Tura} E = {Yazı}, F = {Tura} Özellik 3: P(E F) = P(E) + P(F) P(EF)

22 Olasılık Özellikleri Olasılık aksiyomlarından hareketle asagıdaki özellikleri belirlenebilir. Eger E1,E2,E3,...,En birbirlerini engelleyen (mutually exclusive) olaylar ise n n P( E ) = P(E ) i i i=1 i=1

23 Esit Sanslı Olaylar Bazı örnek uzaylarının esit derecede olası sonuçları vardır.

24 Esit Sanslı Olaylar Para atma: S={Yazı, Tura} 2 madeni para atma: S={(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)} 6 yüzlü zar atma: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

25 Esit Sanslı Olaylar P(Her sonuç için) = P(E) = E deki sonuçların sayısı S deki sonuçların sayısı 1 s = E s

26 Olasılık: 1 Para atma 1 Para atıldıgında Yazı gelme olasılıgı: Olay= {Yazı} 1 2 Örnek Uzay = {Yazı, Tura}

27 Olasılık: 1 Para atma 1 Para atıldıgında Tura gelme olasılıgı: Olay= {Tura} 1 2 Örnek Uzay = {Yazı, Tura}

28 Olasılık: 2 Para atma 2 Para atıldıgında ikisininde Yazı gelme olasılıgı: Olay= {YY} 1 4 Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2=4 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay = {YY, TY,YT,TT}

29 Olasılık: 2 Para atma 2 Para atıldıgında ikisininde Tura gelme olasılıgı: Olay= {TT} 1 4 Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2=4 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay = {YY, TY,YT,TT}

30 Olasılık: 2 Para atma 2 Para atıldıgında birinin Yazı, birinin Tura, gelme olasılıgı: Olay= {YT,TY} Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2=4 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay = {YY, TY,YT,TT} 1 2

31 Olasılık: 3 Para atma 3 Para atıldıgında Üçününde Yazı gelme olasılıgı: Olay= {YYY} 1 8 Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2*2=8 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay3 = {Y, T} Örnek Uzay = {TTT, TTY,TYT,YTT,TYY,YTY,YYT,YYY}

32 Olasılık: 3 Para atma 3 Para atıldıgında 2 Tura 1 Yazı gelme olasılıgı: Olay= {TTY,TYT,YTT} 3 8 Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2*2=8 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay3 = {Y, T} Örnek Uzay = {TTT, TTY,TYT,YTT,TYY,YTY,YYT,YYY}

33 Olasılık: 3 Para atma 3 Para atıldıgında birinin Yazı, birinin Tura, gelme olasılıgı: Olay= {YT,TY} 1 2 Örnek Uzay1 = {Y, T} 2*2*2=8 Örnek Uzay2 = {Y, T} Örnek Uzay3 = {Y, T} Örnek Uzay = {TTT, TTY,TYT,YTT,TYY,YTY,YYT,YYY}

34 Olasılık: >3 Para atma 4 para atıldıgında Hepsinin Tura gelme olasılıgı: Olay= {TTTT} *2*2*2 = 24 = 16 Örnek Uzay = 16 durum

35 Olasılık: >3 Para atma 4 para atıldıgında 3 Tura, 1 yazı, gelme olasılıgı: Olay= {TTTY,...} TTTY 5!/3! 16 2*2*2*2 = 24 = 16 Örnek Uzay = 16 durum Tekrarlı Permutasyon 5! 3!

36 Olasılık: >3 Para atma 6 para atıldıgında Tekrarlı Permutasyon 2 Tura, 4 yazı, gelme olasılıgı: Olay= {TTYYYY,...} TTYYYY 6!/(2!*4!) = 64 Örnek Uzay = 64 durum 6! 2!*4!

37 Olasılık: >3 Para atma 6 para atıldıgında En az 1 Yazı gelme olasılıgı: 1 - istenmeyen olasılık = 64 Örnek Uzay = 64 durum Olay= {YTTTTT,...,YYTTTT,...} istenmeyen olasılık = TTTTTT istenmeyen olasılık degeri = 1 64

38 Olasılık: >3 Para atma 6 para atıldıgında Tekrarlı Permutasyon 2 Tura, 4 yazı, gelme olasılıgı: Olay= {TTYYYY,...} TTYYYY 6!/(2!*4!) = 64 Örnek Uzay = 64 durum 6! 2!*4!

39 Olasılık: 1 Zar atma 1 Zar atıldıgında 2 gelme olasılıgı: Olay= { 2 } 1 6 Örnek Uzay = {1, 2, 3, 4 5, 6}

40 Olasılık: 1 Zar atma 1 Zar atıldıgında 2 den büyük sayı gelme olasılıgı: Olay= { 3, 4, 5, 6 } 4 6 Örnek Uzay = {1, 2, 3, 4 5, 6}

41 Olasılık: 2 Zar atma 2 Zar atıldıgında 2 ve 5 gelme olasılıgı: Olay= { 2,5 ; 5,2 } Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6 = 36 durum 2 36

42 Olasılık: 2 Zar atma 2 Zar atıldıgında Toplamı 8 olan sayıların gelme olasılıgı: Olay= { 2,6; 3,5; 4,4; 3,5; 2,6 } Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6 = 36 durum 5 36

43 Olasılık: 3 Zar atma 3 Zar atıldıgında 1, 2 ve 3 gelme olasılıgı: Olay= { 1,2,3 ;... } Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6*6 = 216 durum 6! 216

44 Olasılık: 3 Zar atma 3 Zar atıldıgında Aynı olan sayıların gelme olasılıgı: Olay= { 1,1,1; 2,2,2; 3,3,3; 4,4,4; 5,5,5; 6,6,6 } Örnek Uzay1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Örnek Uzay = 6*6*6 = 216 durum 6 216

45 Olasılık: 1 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Çekilen 1 topun mavi olma olasılıgı: Olay= { mavi } 5 12

46 Olasılık: 1 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Çekilen 1 topun yesil olmama olasılıgı: Olay= { kırmızı, mavi } 8 12

47 Olasılık: 1 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Çekilen 1 topun kırmızı ve mavi olma olasılıgı: Olay= { mavikırmızı } Örnek Uzay = =

48 Olasılık: 1 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Çekilen 1 topun kırmızı veya mavi olma olasılıgı: Olay= { kırmızı, mavi } 8 12

49 Olasılık: 2 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Çekilen 2 toptan biricisinin mavi, ikincisinin yesil olma olasılıgı: Olay= { mavi, yesil } 5 4 * 12 11

50 Olasılık: 2 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Geri bırakılmak sartı ile çekilen 2 toptan biricisinin mavi, ikincisinin yesil olma olasılıgı: Olay= { mavi, yesil } 5 4 * 12 12

51 Olasılık: 2 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Ard arda çekilen 2 toptan ikisininde kırmızı olma olasılıgı: Olay= { kırmızı, kırmızı } 3 2 * 12 11

52 Olasılık: 2 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Ard arda çekilen 2 toptan ikisininde aynı renkte olma olasılıgı: Olay= { MM veya YY veya KK } 5 4 * * * 12 11

53 Olasılık: 2 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Rastgele çekilen 2 toptan birinin mavi, digerinin yesil olma olasılıgı: Olay= { MY veya YM } 5 4 * * 12 11

54 Olasılık: 3 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Geri bırakılmak sartı ile ard arda çekilen 3 toptan biricisinin kırmızı, ikincisinin yesil, ücüncüsünün mavi, olma olasılıgı: Olay= { KYM } Örnek Uzay = = * 12 5 * 12 12

55 Olasılık: 3 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Çekilen 3 toptan her renkten olma olasılıgı: Örnek Uzay = = 12 Olay= { KYM, KMY,... } 6* 3 4 * 12 5 * 11 10

56 Olasılık: 3 Top çekme 3 Kırmızı 4 Yesil 5 Mavi Örnek Uzay = = 12 Geri bırakılmak sartı ile çekilen 3 toptan ikisinin yesil, birinin mavi, olma olasılıgı: Olay= { YYM, MYY,... } (3!/2!)* 4 4 * 12 5 * 12 12

57 Olasılık: Permutasyon Hero ve Wasabi ninde aralarında oldugu 6 kisi yanyana dizilecektir. Hero ve Wasabi nin yanyana olma olasılıgı: Olay= { HWTFhG,...} H W T F Örnek Uzay = 6! h G 5!*2! 6!

58 Olasılık: Permutasyon 3 kız, 4 erkek yanyana dizilecektir. Erkeklerin yanyana olma olasılıgı: Olay= { HWTFhGM,...} H W T F Örnek Uzay = 7! h G M 4!*4! 7!

59 Olasılık: Permutasyon KERTENKELE Örnek Uzay = 10!/(2!*4!) Kelimesindeki harfler yerdegistirilerek anlamlı veya anlamsız 10 harfli kelimeler yazılacaktır. Bu kelimelerin kaçı R harfi ile baslayıp E harfi ile bitme olma olasılıgı: Olay= { R...E, } 8!/(2!3!) 10!/(2!*4!)

60 Olasılık: Permutasyon Anne, baba ve 3 çocuktan olusan bir aile yuvarlak masa etrafına oturacaklardır. Anne ile babanın yanyana oturmama olasılıgı: Tüm durumlar - yanyana oturma Olay= { Aç1ç2ç3B,...} Örnek Uzay = (5-1)! 4! -(3!)*2! 4!

61 Olasılık: Permutasyon 0 dan 9 a kadar olan rakamlardan olusan 4 haneli sifrenin farklı rakamlardan olusma olasılıgı: Olay= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9; } Örnek Uzay = 10*10*10*10

62 Olasılık: Permutasyon 4 cocuklu bir ailenin çocuklarının cinsiyetlerinin 2 kız 2 erkek olma olasılıgı: Olay= { EEEE; EEEK, } XY XX XX XY XY { { XX 1/2 1/2 Örnek Uzay = 2*2*2*2 4!/(2!*2!) 2*2*2*2

63 A Olasılık: Permutasyon A dan C ye en kısa yoldan gitmek isteyen bir kisinin B ye ugrayarak gitme olasılıgı: saga = 8 kare asagı = 5 kare Olay= { A ->B; B -> C } B C Örnek Uzay = 9!/(5!*4!) 5!/(2!*3!)*4!/(3!*1!) 2*2*2*2

64 Olasılık: KOMBiNASYON Hiro ile Wasabi ninde aralarında oldugu 8 kisi arasından 3 kisi secilecektir. Hiro nun secilenler arasında olup Wasabi nin olmama olasılıgı: Olay= { H. ; } W H W T F h G Örnek Uzay = C(8,3) M R C(6,2) C(8,3)

65 Olasılık: KOMBiNASYON 4 doktor, 5 hemsire arasından 3 kisilik ekip seçilecektir. Seçilenler arasında 1 doktor 2 hemsire olma olasılıgı: Olay= { DHH ; } Örnek Uzay = C(9,3) C(4,1)*C(5,2) C(9,3)

66 Olasılık: KOMBiNASYON 4 Kırmızı 5 Yesil 3 Mavi Örnek Uzay = C(12,3) Bir torbada 3 mavi, 4 kırmızı, 5 yesil top vardır. Torbadan 3 top çekildiginde üçününde farklı renkte olma olasılıgı: Olay= { KYM ; } C(3,1)*C(4,1)*C(5,1)* C(9,3) Kombinasyon kullanılmaz!!! Çekilen top geri bırakılıyorsa Sıra belirtiyorsa

67 Olasılık: KOMBiNASYON 10 evli cift arasından 3 kisi secilecektir. Secilenler arasında 1 evli cift olma olasılıgı: Olay= { Gelin Damat ; } Örnek Uzay = C(20,3) C(10,1)*C(18,1) C(9,3)

68 Olasılık: KOMBiNASYON A B C D Noktalardan rastgele ücü seçiliyor. Seçilen noktların üçgen olusturma olasılıgı: Olay= { ABE; } E F G Örnek Uzay = C(7,3) C(4,2)*C(3,1) + C(4,1)*C(3,2) C(7,3)

69 Olasılık: KOMBiNASYON 4 kız 5 erkek arasından 3 kisi seçiliyor. Seçilenler arasında hiç kız olmama olasıgı: Olay= { EEE; } Örnek Uzay = C(9,3) C(4,0)*C(5,3) C(9,3)

70 Olasılık: KOMBiNASYON 15 i saglam, 5 i bozuk 20 yumurta vardır. Omlet yapmak için alınan 4 yumurtadan hiçbirinin bozuk olmama olasıgı: Olay= { SSSS; } Örnek Uzay = C(20,4) C(15,4)*C(5,0) C(9,3)

71 Sorular