Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
|
|
|
- Aysun Renda
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1) dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 18
2 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1) dx diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in bir fonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa, Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 18
3 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1) dx diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in bir fonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa,yani dy dx = g(x)h(y) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 18
4 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1) dx diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in bir fonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa,yani ise dy dx = g(x)h(y) veya dy dx = g(x)/k(y) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 18
5 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1) dx diferansiyel denkleminde f(x, y) fonksiyonu yalnız x in bir fonksiyonu ile yalnız y nin bir fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabiliyorsa,yani dy dx = g(x)h(y) veya dy dx = g(x)/k(y) isedenkleme değişkenlerine ayrılabilir denir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 18
6 Ayrılabilir Denklemler Bu durumda denklem k(y)dy = g(x)dx şeklinde yazmak suretiyle x ve y değişkenlerine ayrılabilir (bir denklemin zıt yanlarda tek değişkene ayrılması). Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 2/ 18
7 Ayrılabilir Denklemler Bu durumda denklem k(y)dy = g(x)dx şeklinde yazmak suretiyle x ve y değişkenlerine ayrılabilir (bir denklemin zıt yanlarda tek değişkene ayrılması).bu özel tip diferansiyel denklemi çözmek kolaydır. Her iki yanın integralini alırsak k(y)dy = g(x)dx + C elde edilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 2/ 18
8 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 1 dy dx = x denklemini çözünüz. y Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 18
9 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 1 dy dx = x denklemini çözünüz. y ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi şeklinde yazabiliriz. ydy = xdx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 18
10 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 1 dy dx = x denklemini çözünüz. y ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi ydy = xdx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alırsak, ydy = xdx + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 18
11 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 1 dy dx = x denklemini çözünüz. y ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi ydy = xdx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alırsak, ydy = xdx + C Sonuç olarak y 2 = x 2 + 2C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 18
12 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 1 dy dx = x denklemini çözünüz. y ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi ydy = xdx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alırsak, ydy = xdx + C Sonuç olarak y 2 = x 2 + 2C veya x 2 + y 2 = K elde ederiz.(c ve K keyfi sabitler.) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 18
13 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
14 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi şeklinde yazabiliriz. dy y 2 = x3 dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
15 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi dy y 2 = x3 dx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alalım, dy y 2 = x 3 dx + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
16 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi dy y 2 = x3 dx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alalım, dy y 2 = x 3 dx + C 1 y = x4 4 + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
17 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi dy y 2 = x3 dx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alalım, dy y 2 = x 3 dx + C 1 y = x4 4 + C Düzenlersek y = 4 x 4 + 4C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
18 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 2 y = y 2 x 3 denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi dy y 2 = x3 dx şeklinde yazabiliriz.her iki tarafında integralini alalım, dy y 2 = x 3 dx + C 1 y = x4 4 + C Düzenlersek y = 4 x 4 + 4C elde ederiz.(c ve K keyfi sabitler.) veya y = 4 x 4 + K Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 18
19 Ayrılabilir Denklemler Örnek 2 deki diferansiyel denklemi değişkenlerine ayırırken eşitliğin her iki tarafını 1/y 2 ile çarptık. Bu işlemi y 0 kabul ederek yapabiliriz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 18
20 Ayrılabilir Denklemler Örnek 2 deki diferansiyel denklemi değişkenlerine ayırırken eşitliğin her iki tarafını 1/y 2 ile çarptık. Bu işlemi y 0 kabul ederek yapabiliriz. Soru: y(x) = 0 bir çözüm müdür? Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 18
21 Ayrılabilir Denklemler Örnek 2 deki diferansiyel denklemi değişkenlerine ayırırken eşitliğin her iki tarafını 1/y 2 ile çarptık. Bu işlemi y 0 kabul ederek yapabiliriz. Soru: Cevap: y(x) = 0 bir çözüm müdür? EVET. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 18
22 Ayrılabilir Denklemler Örnek 2 deki diferansiyel denklemi değişkenlerine ayırırken eşitliğin her iki tarafını 1/y 2 ile çarptık. Bu işlemi y 0 kabul ederek yapabiliriz. Soru: Cevap: y(x) = 0 bir çözüm müdür? EVET. Fakat y(x) = 0, K nın hiç bir değeri için y(x) = çözümünden elde edilemez. 4 x 4 + K genel Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 18
23 Ayrılabilir Denklemler Örnek 2 deki diferansiyel denklemi değişkenlerine ayırırken eşitliğin her iki tarafını 1/y 2 ile çarptık. Bu işlemi y 0 kabul ederek yapabiliriz. Soru: Cevap: y(x) = 0 bir çözüm müdür? EVET. Fakat y(x) = 0, K nın hiç bir değeri için y(x) = çözümünden elde edilemez. 4 x 4 + K genel Bu kural dışı çözümlere genellikle aykırı (tekil) çözüm denir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 18
24 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 3 dy = 6xy, y(0) = 7 dx başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 6/ 18
25 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 3 dy = 6xy, y(0) = 7 dx başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi şeklinde yazabiliriz. dy y = 6xdx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 6/ 18
26 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 3 dy = 6xy, y(0) = 7 dx başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi şeklinde yazabiliriz.buradan dy y = ( 6x)dx + C dy y = 6xdx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 6/ 18
27 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 3 dy = 6xy, y(0) = 7 dx başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Yukarıdaki diferansiyel denklemi dy y = 6xdx şeklinde yazabiliriz.buradan dy y = ( 6x)dx + C ln y = 3x 2 + C elde ederiz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 6/ 18
28 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
29 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C y(x) = e 3x2 +C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
30 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C y(x) = e 3x2 +C y(x) = e 3x2 e C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
31 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C y(x) = e 3x2 +C y(x) = e 3x2 e C C keyfi sabit olduğu için e C yerine A keyfi sabitini yazabiliriz. y(x) = Ae 3x2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
32 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C y(x) = e 3x2 +C y(x) = e 3x2 e C C keyfi sabit olduğu için e C yerine A keyfi sabitini yazabiliriz. y(0) = 7 koşulu y(x) = Ae 3x2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
33 Ayrılabilir Denklemler y(0) = 7 başlangıç koşulundan y(x) in x = 0 komşuluğunda pozitif olduğunu görürüz. Böylece mutlak değer işaretini kaldırabiliriz. ln y = 3x 2 + C y(x) = e 3x2 +C y(x) = e 3x2 e C C keyfi sabit olduğu için e C yerine A keyfi sabitini yazabiliriz. y(x) = Ae 3x2 y(0) = 7 koşulu A = 7 yi verir. Böylece istenen çözüm y(x) = 7e 3x2 dir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 18
34 Ayrılabilir Denklemler Uyarı Bir önceki örnekte başlangıç koşulunun y(0) = 4 olduğunu varsayalım. Bu takdirde y(x), x = 0 komşuluğunda negatiftir. Dolayısıyla y yerine y koyabilir ve ln( y) = 3x 2 + C elde ederiz. Başlangıç koşulu C = ln4 verir. Buradan elde edilir. y(x) = 4e 3x2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 8/ 18
35 Ayrılabilir Denklemler dy Figure : dx = 6xy diferansiyel denleminin yönlü alanı ve y(0) = 7, y(0) = 4 başlangıç koşulları için çözümleri. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 9/ 18
36 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 4 dy dx = 4 2x 3y 2 5 diferansiyel denklemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 18
37 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 4 dy dx = 4 2x 3y 2 5 diferansiyel denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Değişkenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak (3y 2 5)dy = (4 2x)dx + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 18
38 Ayrılabilir Denklemler ÖRNEK 4 dy dx = 4 2x 3y 2 5 diferansiyel denklemini çözünüz. ÇÖZÜM Değişkenleri ayırır ve her iki yanın integralini alırsak (3y 2 5)dy = (4 2x)dx + C y 3 5y = 4x x 2 + C elde ederiz. Bu çözüm, x in açık bir fonksiyonu olarak y ye göre çözülemez. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 18
39 Ayrılabilir Denklemler Bir önceki örnekte olduğu gibi çözüm y(x) = F (x) şekline getirilemeyebilir. G(x, y) = C (C keyfi sabit.) Formunda elde edilen ve y(x) = F (x) halinde yazılamayan çözüme Kapalı Çözüm adı verilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 11/ 18
40 Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler BİRİNCİ MERTEBEDEN DOĞRUSAL(LİNEER) DENKLEMLER dy + P (x)y = Q(x) (2) dx formunda olan diferansiyel denklemlere birinci mertebeden doğrusal (lineer) diferansiyel denklem adı verilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 12/ 18
41 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler YÖNTEM Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 18
42 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler YÖNTEM 1. Çözüme µ(x) = P (x)dx e (3) fonksiyonunu hesaplıyarak başlayınız. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 18
43 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler YÖNTEM 1. Çözüme µ(x) = e P (x)dx (3) fonksiyonunu hesaplıyarak başlayınız. µ(x) fonksiyonuna integral çarpanı adı verilir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 18
44 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler YÖNTEM 1. Çözüme µ(x) = e P (x)dx (3) fonksiyonunu hesaplıyarak başlayınız. µ(x) fonksiyonuna integral çarpanı adı verilir. 2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile çarpınız. Denklemin sol tarafı e P (x)dx dy dx + P (x)e P (x)dx y Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 18
45 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler YÖNTEM 1. Çözüme µ(x) = e P (x)dx (3) fonksiyonunu hesaplıyarak başlayınız. µ(x) fonksiyonuna integral çarpanı adı verilir. 2. Diferansiyel denklemin her iki tarafını µ(x) ile çarpınız. Denklemin sol tarafı olacaktır. e P (x)dx dy dx + P (x)e P (x)dx y = d dx [µ(x)y(x)] Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 18
46 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklememiz şeklini alır. d [µ(x)y(x)] = µ(x)q(x) dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 14/ 18
47 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklememiz şeklini alır. d [µ(x)y(x)] = µ(x)q(x) dx 3. Her iki tarafın integralini aldığımızda Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 14/ 18
48 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklememiz şeklini alır. d [µ(x)y(x)] = µ(x)q(x) dx 3. Her iki tarafın integralini aldığımızda µ(x)y(x) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 14/ 18
49 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklememiz şeklini alır. d [µ(x)y(x)] = µ(x)q(x) dx 3. Her iki tarafın integralini aldığımızda µ(x)y(x) = µ(x)q(x)dx + C buluruz ve genel çözümü elde etmek için y(x) e göre çözeriz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 14/ 18
50 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 5 y 2y = 3e 2x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 15/ 18
51 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 5 y 2y = 3e 2x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Diferansiyel denklemimizde P (x) = 2 ve Q(x) = 3e 2x dir. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 15/ 18
52 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 5 y 2y = 3e 2x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Diferansiyel denklemimizde P (x) = 2 ve Q(x) = 3e 2x dir. İntegral çarpanımız µ(x) = e ( 2)dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 15/ 18
53 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 5 y 2y = 3e 2x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM Diferansiyel denklemimizde P (x) = 2 ve Q(x) = 3e 2x dir. İntegral çarpanımız dir. µ(x) = e ( 2)dx = e 2x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 15/ 18
54 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
55 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Elde ettiğimiz denklemin sol tarafı aslında e 2x y(x) çarpımının türevidir d dx [e 2x y(x)] Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
56 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Elde ettiğimiz denklemin sol tarafı aslında e 2x y(x) çarpımının türevidir d dx [e 2x y(x)] = 3 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
57 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Elde ettiğimiz denklemin sol tarafı aslında e 2x y(x) çarpımının türevidir d dx [e 2x y(x)] = 3 İntegral alalım d dx [e 2x y(x)]dx = 3dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
58 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Elde ettiğimiz denklemin sol tarafı aslında e 2x y(x) çarpımının türevidir d dx [e 2x y(x)] = 3 İntegral alalım d dx [e 2x y(x)]dx = 3dx e 2x y(x) = 3x + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
59 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemimizin her iki tarafını e 2x ile çarparsak e 2x y 2e 2x y = 3e 2x e 2x Elde ettiğimiz denklemin sol tarafı aslında e 2x y(x) çarpımının türevidir d dx [e 2x y(x)] = 3 İntegral alalım d dx [e 2x y(x)]dx = 3dx e 2x y(x) = 3x + C y(x) i yanlız bırakırsak y(x) = 3xe 2x + Ce 2x genel çözümünü elde ederiz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 18
60 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 6 (x 2 + 1) dy dx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 18
61 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 6 (x 2 + 1) dy dx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM İntegral çarpanımızı hesaplayalım Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 18
62 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 6 (x 2 + 1) dy dx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM İntegral çarpanımızı hesaplayalım µ(x) = e 3x x 2 +1 dx Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 18
63 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 6 (x 2 + 1) dy dx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM İntegral çarpanımızı hesaplayalım µ(x) = e 3x x 2 +1 dx µ(x) = e 3 2 ln(x2 +1) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 18
64 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler ÖRNEK 6 (x 2 + 1) dy dx + 3xy = 6x diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz. ÇÖZÜM İntegral çarpanımızı hesaplayalım µ(x) = e 3x x 2 +1 dx µ(x) = e 3 2 ln(x2 +1) = (x 2 + 1) 3/2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 18
65 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemin her iki yanını µ(x) ile çarpalım (x 2 3/2 dy + 1) dx + (x2 + 1) 1/2 3xy = (x 2 + 1) 3/2 6x (x 2 + 1) Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 18
66 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemin her iki yanını µ(x) ile çarpalım (x 2 3/2 dy + 1) dx + (x2 + 1) 1/2 3xy = (x 2 + 1) 3/2 6x (x 2 + 1) d dx [(x2 + 1) 3/2 y(x)] = 6x(x 2 + 1) 1/2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 18
67 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemin her iki yanını µ(x) ile çarpalım (x 2 3/2 dy + 1) dx + (x2 + 1) 1/2 3xy = (x 2 + 1) 3/2 6x (x 2 + 1) d dx [(x2 + 1) 3/2 y(x)] = 6x(x 2 + 1) 1/2 İntagral alalım (x 2 + 1) 3/2 y(x) = 6x(x 2 + 1) 1/2 dx + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 18
68 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemin her iki yanını µ(x) ile çarpalım (x 2 3/2 dy + 1) dx + (x2 + 1) 1/2 3xy = (x 2 + 1) 3/2 6x (x 2 + 1) d dx [(x2 + 1) 3/2 y(x)] = 6x(x 2 + 1) 1/2 İntagral alalım (x 2 + 1) 3/2 y(x) = 6x(x 2 + 1) 1/2 dx + C (x 2 + 1) 3/2 y(x) = 2(x 2 + 1) 3/2 + C Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 18
69 Birinci Mertebeden Doğrusal Denklemler Denklemin her iki yanını µ(x) ile çarpalım (x 2 3/2 dy + 1) dx + (x2 + 1) 1/2 3xy = (x 2 + 1) 3/2 6x (x 2 + 1) d dx [(x2 + 1) 3/2 y(x)] = 6x(x 2 + 1) 1/2 İntagral alalım (x 2 + 1) 3/2 y(x) = 6x(x 2 + 1) 1/2 dx + C y(x) i yanlız bırakırsak (x 2 + 1) 3/2 y(x) = 2(x 2 + 1) 3/2 + C y(x) = 2 + C(x 2 + 1) 3/2 Öğr.Gör.Dr. A. Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 18
MAT 2011 MATEMATİK III
} MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2
Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller
Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Evrenin yasaları matematik dilinde yazılır. Cebir, birçok statik problemi çözmek için yeterlidir; ancak en ilginç doğal olaylar değişim içerir ve değişen
2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3. Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3 Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA İÇİNDEKİLER BÖLÜM 2 2.1. GİRİŞ 2.2. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ 2.3. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
Şeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır.
5. Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri X=bağımsız, Y, Z, W = bağımlı değişkenler olmak üzere; Y= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Z= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) W= (X, Y, Y, Y,,
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
Değişken Katsayılı Adi Diferensiyel Denklemler Katsayıları bağımsız(x) değişkene bağlı diferensiyel denklemlerdir. Genel ifadesi şöyledir.
3. Yüksek Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Geçmiş konularda şu ana kadar ele alınan 1.mertebe-1.dereceden adi diferensiyel denklemler ancak 1.mertebe seviyesindeki belirli problemleri ifade edebilmektedir.
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ
İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı
Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.
-- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini
Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.
Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1
Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları
4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor
Cebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Ders 07. Çok katlı İntegraller. 7.1 Alıştırmalar 07. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru 1
Bölüm 7 ers 7 Çok katlı İntegraller 7. Alıştırmalar 7 Prof.r.Haydar Eş Prof.r.Timur Karaçay. Soru a) 6x yd y 6x yd y 6x y +C (x) 3x y +C (x) 6x yd y 3x y 3x ( ) 3x 93 94 BÖLÜM 7. ERS 7 b) 6x ydx 6y x dx
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira
2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte
ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -
MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226
Cahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 2
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1) 4y x xy 4 4y x xy 4 ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? 4 x 4 x x A) B) C) 4 x 4 x 4 x x x 1 D) E) 4 x x 1 1) İkili ikili gruplayarak ortak paranteze
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 2010 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI
DÜCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 00-0 Güz Yar y l D IFERANS IYEL DENKLEMLER I ARA SINAV 9 Kas m 00 Süre: 90 akika CEVAP ANAHTARI. (0p) y e x (x + 9) fonksiyonunun y 0 y e
PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 10.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI
PENDİK ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 0-0 EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI 0.SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI EYLÜL EKİM. Gerçek katsayılı ve tek değişkenli polinomu kavram olarak örneklerle açıklar, polinomun derecesini,
1. Açık Bir Ekonomide Denge Çıktı (Gelir)
IKTI 2 Mayıs 24 DERS NOTU 5 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI (3) Dersin içeriği:. AÇIK BİR EKONOMİDE DENGE ÇIKTI (GELİR)... A. DENGE İÇİN SIZINTILAR/ENJEKSİYONLAR YAKLAŞIMI... 5 B. DEVLET HARCAMALARI ÇARPANI...
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3
Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.
MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar
Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x,y,z) sıralı üçlüsüne, f(x,y,z) ile gösterilen tek
İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI
İSTANBUL III. BİLİM OLİMPİYATI MATEMATİK SBELIAN Bu çalışma notunda İstanbul Bilim Olimpiyatı matematik sorularının bir bölümünün soru metinleri ve çözümleri verilmiştir. Soruların tamamının yayın hakkı
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr
ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS'de matematik testinde
Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden
Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.
DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen
S4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
1. Açık Bir Ekonomide Denge Çıktı (Gelir)
IKTI 02 20 Mart, 202 DERS NOTU 04 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI - III Bugünki dersin içeriği:. AÇIK BİR EKONOMİDE DENGE ÇIKTI (GELİR)... A. DENGE İÇİN SIZINTILAR/ENJEKSİYONLAR YAKLAŞIMI... 5 B. DEVLET
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var