Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Transkript

1 apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan döndürelim. Böylece elde edilen yüzeye dik koni ya da döndürü konisi ad verilir, kolayl k olsun diye biz sadece koni diyece iz. oninin Düzlemlerle esiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr Q Q a a fiekilde, a do rusu do rusu etraf nda döndürülerek elde edilen dik koni görülüyor. ki do runun kesiflim noktas na koninin merkezi, sabit do rusuna koninin ekseni, koninin yüzeyindeki do rulara koninin yüzey do rular ya da koniyi geren do rular denir. oniyi geren do rular eksen etraf nda dönerek gerçekten koniyi gererler. Yüzey do rular koninin ekseniyle hep ayn derecede aç da (resimde ) kesiflirler; bu aç ya koninin aç s denir. oninin eksenine dik olan her düzlem koniyi bir çemberde keser elbet. Bu çemberlerin yar çaplar üstünde bulunduklar düzlemin noktas ndan uzakl na göre 0 dan sonsuza kadar de iflir. Bu yaz da bir koninin herthangi bir düzlemle kesiflimnin ne tür e riler olduklar n bulaca z. Geometrik Yer larak oni. oninin merkezine diyelim. oninin yüzeyinden herhangi bir noktas alal m. nin koninin eksenine olan izdüflümüne diyelim. Tales Teoremi nden dolay, koninin yüzeyinden al nan noktas ne olursa olsun, elde edilen tüm üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir, dolay s yla / oran her zaman bir sabittir, yani koninin yüzeyinden al nan noktas ndan ba ms zd r. say s n n nin do rusuna olan mesafesi ve say s n n nin noktas na olan mesafesi oldu unu düflünürsek, koninin, bir do ruya ( ye) ve bu do ru üstündeki bir noktaya ( ya) olan uzakl klar n n oran n n sabit oldu u noktalar kümesi oldu unu görürüz. oninin Geometrik Tan m 3 uzay nda bir do rusu ve bu do ru üstünde bir noktas verilmifl olsun. E er 3 ise, d(, ), noktas yla do rusu aras ndaki en k sa mesafe olsun. d(, ) da, ile aras ndaki mesafe olsun. Ayr ca bir s > 0 say s verilmifl olsun. { 3 : d(, ) = s d(, )} kümesi bir konidir ve tüm koniler bu türden bir kümedir. Sadece / oran de il, / oran da sabittir. Bu pozitif sabite r dersek, = r denklemini buluruz. Bu formülü koninin geometrik denklemi olarak alg layabiliriz. * stanbul Bilgi Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. 33

2 x z = (0, 0, z) = (x, y, z) = (0, 0, 0) x 2 + y 2 = z tan ya da bir r say s için x 2 + y 2 = r 2 z 2. oninin ebirsel Denklemi. oninin cebirsel bir denklemi yukarda buldu umuz = r denklemininden hareketle elde edilebilir. Bu denklemin karesini alal m: 2 = r 2 2. fiimdi koninin ekseninin uzay n z ekseni ve merkezinin de (0, 0, 0) noktas oldu unu varsayal m. Herhangi bir koni, bir öteleme ve bir döndürüyle bu konuma getirilebilir. zaman, flekilden de görülece i üzere, e er noktas n n koordinatlar (x, y, z) ise, noktas n n koordinatlar (0, 0, z) dir ve dolay s yla, 2 = x 2 + y 2, 2 = z 2 dir. Bundan da, x 2 + y 2 = r 2 z 2 denklemi bulunur. flte bu, (0, 0, 0) merkezli ve ekseni z ekseni olan konilerin cebirsel denklemleridir. oniyle Düzlemlerin esiflimi. Bir koniyle uzaydaki düzlemleri kesifltirelim ve bu kesiflimle elde etti imiz e rileri anlamaya çal flal m. oniyi sabitleyelim ve koniyle kesifltirece imiz düzleme ad n verelim. de ifltikçe sabitlenen koniyle kesiflimin nas l bir e ri oldu unu bulaca z. Bu kesiflim e risi düzlemine göre de iflir elbette ama hiçbir zaman boflküme olmaz, çünkü koninin yüzeyi her iki tarafa do ru sonsuza kadar geniflleyerek gider. Önce düzleminin noktas n içerdi i durumlara bakal m, bunlar n çözümlemesi oldukça kolay: 1. E er düzlemi, noktas yla birlikte koninin yatay do rular ndan birini içeriyorsa, o zaman kesiflim, afla daki flekillerde görüldü ü gibi bir ya da iki yüzey do rusudur; e er düzlem koninin yüzüne te- etse kesiflim tek bir do rudur, yoksa iki do rudur. 2. E er düzlemi noktas n içeriyorsa ama koninin bir yüzey do rusunu içermiyorsa, o zaman kesiflimde sadece noktas vard r. Solda bu durum resmedilmifltir. y Bundan böyle düzleminin koninin merkezi olan noktas n içermedi ini varsayal m. Bu durumda düzleminin koninin eksenini kesti i aç n n büyüklü üne göre afla da teker teker ele alaca m z üç fl k belirir. Bir sonraki flekilde durum özetleniyor. fiekilde, üç boyutlu uzaydaki nesnelerin sayfan n bulundu u düzlemle kesiflimi gösterilmifltir: hiperbol 0, <, hiperbol parabol, >, elips 90 çember oninin tam cepheden kesitleri. 0,,,, 90 düzlemleri koninin eksenini s ras yla 0 < < < < 90 derecelik aç larda kesiyor. 0 ve düzlemlerinin koniyle kesitleri birer hiperbol. n n kesiti bir parabol, n n kesiti bir elips, 90 n kesiti ise bir tür elips olan çember. 3. Düzlem, koninin eksenini, koninin aç s ndan daha büyük bir aç da keser. Düzlemin koninin eksenine dik oldu u durum bu fl kk n özel bir halidir; bu özel durumda kesiflimin bir çember oldu unu biliyoruz, yaz n n birinci sayfas nda görmüfltük bunu. Düzelmin, koninin eksenini, koninin aç - s ndan daha büyük bir aç da kesti i durumda kesiflim, daha sonra kan tlayaca m z üzere elipstir. 4. Düzlem, koninin eksenini koninin aç - s ndan daha küçük bir aç da keser. Düzlemin ye paralel oldu u durum (0 derecelik aç ) bu fl kk n özel bir halidir. Bu durumda kesiflim bir hiperboldür. esiflimin hiperbol olmas için düzlemin koninin her iki taraf n da kesmesi gerekir. 5. Düzlem koninin bir yüzey do rusuna paraleldir. Yani düzlem eksenini koninin aç s na eflit aç da keser. Bu durumda kesiflim bir paraboldür. 34

3 T r T fiimdi yukarda resmetti imiz bu üç durumu teker teker ele alal m. 3. Düzlem, koninin eksenini, koninin aç - s ndan daha büyük bir aç da kesiyorsa. Düzleme ad n verelim. oninin içine tam s an (yani koninin içinde ve koniye bir çemberde te et) ve ayr ca bir de düzlemine te et, biri düzlemin bir taraf nda, di eri di er taraf nda olmak üzere tam iki tane küre vard r. Bu kürelere ve ad n verelim. Afla- daki flekilde bu kürelerin bir kesiti gösterilmifltir. ve kürelerinin koniye te et olduklar çemberlere s ras yla ve ad n verelim. (Bkz. yan sütunun tepesindeki flekil.) oninin herhangi bir yüzey do rusunu alal m ve bu do runun ve çemberlerini (dolay s yla ve kürelerini de) kestikleri noktalara s ras yla T ve T diyelim. TT = r olsun. Bu r uzunlu u seçilen TTyüzey do rusundan ba ms zd r, sadece düzlemine ve koniye göre de- iflir. Nitekim r say s ve çemberlerinin birbirine en yak n iki noktas aras ndaki mesafedir. Son olarak, ve kürelerinin düzlemine te- et oldu u noktalara s ras yla ve ad n verelim. Bu noktalara ve ad n vermifl olmam z niyetimiz konusunda okura ipucu vermeli. oniyle düzleminin kesifliminin tam olarak { : + = r} kümesi oldu unu, yani odak noktalar ve ve asal uzunlu u r olan bir elips oldu unu savlay p hemen kan ta geçiyoruz. E er = ise, merkezli bir çember elde ederiz elbette, bu da ancak düzlemi yataysa mümkündür. an t m za bafllayal m., düzlemiyle koninin kesifliminden al nan herhangi bir nokta olsun. Afla daki flekilden izleyelim. oninin yüzey do rusunu çizelim. Bu do ru ve çemberlerini (dolay s yla ve kürelerini de) s ras yla S ve S noktalar nda kessin. Hem S hem de do rusu küresine te ettir (çünkü do ru parças, küresine te et olan düzlemindedir.) Demek ki S =. Benzer biçimde, S =. Bu iki eflitli i altalta toplarsak, + = S + S = T + T = TT = r buluruz. T T S S 35

4 Bunun tersi de do rudur: E er, + = r = TT eflitli ini sa l yorsa, o zaman noktas n n koninin üstünde oldu unu kan tlayal m. S noktas, çembe- T S r T S r rinin ye en yak n noktas olsun. S noktas da çemberinin üstünde ayn görevi görsün. zaman, + = r = TT SS S + S +. ( S, çünkü den geçen bir do runun küreyi kesti i iki noktadan ye en yak n olan n n ye olan uzakl, den geçen ve küreye te et olan do runun küreye de im noktas n n ye olan uzakl ndan daha küçüktür; sezgisel olarak da do rulu u çok bariz olan bu olgu, bir noktan n bir çembere göre gücü [MD-2005-II, sayfa 40-44] kullan larak kolayl kla kan tlanabilir.) Dolay s yla SS = S + S = TT. Demek ki SS iki çember aras ndaki en k sa mesafedir. Ayr ca, bu eflitliklerden, noktas n n SS do ru parças n n üstünde, SS do ru parças n n da koninin üstünde oldu u ç kar. Demek ki noktas da koninin üstünde. an t m z bitmifltir. Burada bir de odak noktalar n n nas l bulunaca- n gösterdik: ürelerle düzlemin te et noktalar. Bu sonuca Dandelin ve Quételet Teoremi ad verilir. 4. Düzlem, koninin eksenini dan daha küçük bir aç da kesiyorsa. an t m z aynen yukardaki gibi olacak, bir önceki fl kla ayn inflaat yapaca- z. Sa sütundaki flekillerden takip edin. oniye cuk oturan, yani koniye bir çemberde te et olan kürelerden ikisi ayr ca düzleme de te ettir. Bir önceki fl kk n tersine bu iki küre bu sefer düzlemin ayn taraf nda yer al rlar. Bu kürelere ve diyelim. ürelerin koniyle kesiflimi olan çemberlere de s ras yla ve diyelim. (Bkz. sa sütundaki ikinci flekil.) ve noktalar, bir önceki fl kta oldu u gibi gene ve kürelerinin düzlemle kesiflim noktalar olsun, bu s rayla elbet. ve çemberleri aras ndaki çapraz mesafe (yani dan geçen en k sa yolun uzunlu u) r olsun. Demek ki, çemberinde al nan herhangi bir S noktas için, S, S do rusuyla çemberinin kesiflim noktas ysa, r = SS dir. fiimdi, düzlemle koninin kesifliminden al nm fl herhangi bir nokta olsun. ve do rular, düzlemde olduklar ndan, küreye ve noktalar nda te ettirler. do rusunu çizelim. Bu do ru koninin bir yatay do rusudur ve ve çemberlerini keser, bu kesiflim noktalar na s ras yla S ve S diyelim. S ve S do rular da ve kürelerine S ve S noktalar nda te etler. Demek ki S = ve S =. Dolay s yla, S S düzlemiyle koninin kesiflimi olan e riyi (hiperbolü) çizemedik, çok zor geldi. 36

5 = S S = SS = TT = r. Böylece koniyle düzlemin kesifliminin, { : = r} kümesinin bir altkümesi oldu unu göstermifl olduk. Bu kümeye H diyelim: H = { : = r}. Demek ki H. Tersini, yani H iliflkisini göstermek kald. Tuhaf bir biçimde H iliflkisinin kan t na kaynaklarda rastlayamad k. Elips fl kk nda da kan t n bu k sm gördü ümüz kadar yla atlanm fl. B A m Bu arada H kümesinin düzlemi üstünde bir hiperbol oldu una dikkatinizi çekerim. H olsun. Demek ki. nin koninin üstünde oldu unu gösterece iz. düzlemi üstünde koninin bir yüzey do rusuna paralel sadece iki do ru olabilir, çünkü düzlemini öteleyerek yi ya getirirsek, kayd r lm fl düzlemi koniyi sadece bu iki do ruda keser. düzlemi üstünde ve den geçen ama bu iki do rudan birine eflit olmayan bir do rusu alal m. do rusu koniyi iki de- iflik noktada keser. Bu noktalara A ve B diyelim. A ve B noktalar hem düzleminde hem de koninin üstünde, dolay s yla, yukarda yapt m zdan, hiperbolün üstündeler. Demek ki A, B ve noktalar do rusuyla hiperbolün kesifliminde. Ama bir do ruyla bir hiperbol en fazla iki noktada kesiflirler. Demek ki noktas ya A ya ya da B ye eflit, yani koninin üstünde. 4. Düzlem, koninin eksenini aç s yla kesiyorsa. Bu durumda kesiflim bir parabole eflit. an t okura al flt rma olarak b rak yoruz. Çember ve do rularla parabol çizmek Çemberlerle do rular n kesiflimlerini birlefltirerek parabol elde edebiliriz. Yukardaki parabollerin odak noktas çemberlerin ortak merkezidir. Dikey do rular parabollerin do rultaylar d r. Bir parabolün noktalar oda a ve do rultaya eflit uzakl kta oldu undan yukardaki parabollerin do rultaylar n bulabilirsiniz. 37