3. DİNAMİK. bağıntısı ile hesaplanır. Birimi m/s ile ifade edilir.

Transkript

1 3. DİNAMİK Dinamik konuu Kinematik ve Kinetik alt başlıklarında incelenecektir. Kinematik, hareket halindeki bir itemin konum (poziyon), hız ve ivmeini, bunların oluşmaını ağlayan kuvvet ya da moment etkiini dikkate almadan inceleyen mekaniğin alt dalıdır. Kinetik ie kinematikten farklı olarak doğrudan bir iteme etkiyen kuvvet ve moment etkiini inceleyen bilim dalıdır. KİNEMATİK Bu bölümde biyomekanik item ya da modellerin düzlemel hareketi dikkate alınacaktır. Hareket, dinamik konuu kapamında öteleme, daireel (rotayon - bir eken etrafında dönme) ve bunların her ikiini de içeren genel düzlemel hareket olarak ayrı ayrı incelenebilir. Ancak bu bölüm kapamında hareket tipleri ayrı ayrı ele alınmayacak ve yalnızca en genel hareket davranışını karakterize eden genel düzlemel hareket incelenecektir. Lineer Kinematik Lineer kinematik, doğrual hareket ıraındaki konum (poziyon), hız ve ivme büyüklüklerinin analizi ile ilgilidir. Hız (v), konumun birim zamandaki değişimidir ve ortalama hız değeri; p p pi v t t t i bağıntıı ile heaplanır. Birimi m/ ile ifade edilir. Denklemde p, p i, t ve t i ıraıyla on konumu, ilk konumu, hareketin bitiş ve başlangıç zamanlarını götermektedir. Konum-zaman grafiğinde iki noktadan geçen doğrunun eğimi ortalama hıza eşittir (Şekil 4). p Konum (m) Δp p 1 Δt t 1 Zaman () t Şekil 4: t 1 anında p 1, t anında p konumunda bulunan bir cimin ortalama hızı bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimidir. 3

2 Ortalama hız yerine anlık hız heaplanmak itenire, bu durumda konumun zamana göre birinci. mertebeden türevini heaplamak gerekir. dp v p Hız-zaman grafiğinin altında kalan alan heaplanıra konum bilgiine ulaşılır (Şekil 5). v Hız (m/) A:alan v 1 t 1 t Zaman () Şekil 5. Hız-zaman eğriinin altında kalan alan konuma eşittir. İvme (a), hızın birim zamandaki değişimidir ve ortalama ivme değeri; v v vi a t t t i eşitliği ile elde edilir. Denklemde V ve V i on ve ilk hız değerlerine eşittir. İvmenin birimi m/ ile ifade edilir. Hızzaman grafiğinde iki noktadan geçen doğrunun eğimi ortalama ivmeye eşittir (Şekil 6). v Hız (m/) Δv v 1 Δt t i Zaman() t Şekil 6: t 1 anında v 1, t anında v hızına ahip olan bir cimin ortalama ivmei bu iki noktayı birleştiren doğrunun eğimidir. 33

3 Anlık ivme değerini heaplamak için hızın zamana göre 1.mertebeden türevini heaplamak gerekir. dv a v p İvme-zaman grafiğinin altında kalan alanın toplamı hıza eşittir. a İvme (m/ ) A a 1 t 1 t Zaman () Şekil 6. İvme-zaman eğriinin altında kalan alan konuma eşittir. Örnek: Zaman () Konum (m) Yandaki tabloda, bir kıa meafe koşucuuna ait konum ve zaman verileri göterilmiştir. a) Konum-zaman grafiğini çiziniz. b) Koşucunun hareketin başlangıcından onuna kadar olan üredeki ortalama hızını m/ ve km/aat cininden bulunuz. c) Eğri uydurma (curve fitting) yöntemlerinden birini kullanarak (örneğin en küçük kareler yöntemi) konum veriinin zamana bağlı 3. dereceden polinomik fonkiyonunu elde ediniz. Bu eğrinin grafiğini ham veriler üzerine çiziniz. d) Elde edilen eğrinin denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. aniyelerdeki anlık hızlarını heaplayınız. e) Elde edilen eğrinin denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. aniyelerdeki anlık ivmeini heaplayınız. f) Elde edilen hız ve ivme denklemlerini kullanarak hız ve ivme grafiklerini çiziniz. g) Hız değişiminin olmadığı (hızın abit kaldığı) zaman anını belirleyiniz. h) 10 aniyelik üre içeriinde koşucunun hızının ve ivmeinin naıl bir değişim göterdiğini belirtiniz. Grafikleri fizikel anlamda değelendiriniz. Çözüm 34

4 a) Verilerin grafiği konum (m) zaman () b) Ortalama hız P 94 0 V 9.4 m/ t 10 0 Ortalama hızı km/aat cininden heaplamak iterek 0, 001km V 9.4 9, 4 3, 6 33,84 km/aat 1/ 3600aat c) En küçük kareler yöntemi (leat quare method) kullanılarak zamana bağlı 3. dereceden bir fonkiyon olarak elde edilen konum denklemi 3 Pt ( ) 0.08 t 1.831t 0.71t şeklinde elde edilebilir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir konum (m) zaman () 35

5 d) 3 Pt ( ) 0.08 t 1.831t 0.71t denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. aniyelerdeki anlık hızlarını heaplamak için denklemin zamana göre birinci mertebeden türevini almak gerekir. Buna göre, dp Vt ( ) 3 ( 0.08) t (1.831) t 1 (0.71) t Vt t t ( ) elde edilir. t = 3. ve 10. aniyedeki hızlar ie V (3) 0.46(3) 3.66(3) ,51m/ V (10) 0.46(10) 3.66(10) m/ şeklinde elde edilir. Sonuçlardan anlaşılmaktadır ki koşucunun 10. aniyedeki hızı 3. aniyedekinden,79 m/ daha fazladır. e) 3 Pt ( ) 0.08 t 1.831t 0.71t denklemini kullanarak koşucunun 3. ve 10. aniyelerdeki anlık ivmelerini heaplamak için konum denkleminin zamana göre ikinci mertebeden ya da hız denkleminin birinci mertebeden türevini almak gerekir. Buna göre ivme, dv at ( ) ( 0.46) t 1 (3.66) t at ( ) 0.49t şeklinde elde edilir. t = 3. ve 10. aniyedeki ivmeler ie at ( ) 0.49(3) m/ at ( ) 0.49(10) m/ olarak bulunur. Sonuçlardan anlaşılmaktadır ki koşucu 3. aniyede hızını arttırmakta (ivmenin pozitif olmaından dolayı), ancak 10. aniyede ie azaltmaktadır (ivmenin yönünün negatif olmaından dolayı). f) Hız ve ivme grafikleri aşağıdaki şekillerde verilmiştir. 36

6 15 4 hız (m/) 10 5 ivme (m/ ) zaman () zaman () g) Hızın abit kaldığı zaman anı, yukarıda hız-zaman grafiğinden belirlenebilir. Grafiğe göre, 7. ve 8. aniyeler araında koşucunun hızının değişmediği görülebilir. Bununla birlikte, bu zaman bilgii matematikel olarak kein bir biçimde de belirlenebilir. Bunu gerçekleştirmek için hız fonkiyonunun zamana göre birinci türevi heaplanır (yani ivme belirlenir) ve ıfıra eşitlenir. Buradan at ( ) 0.49t ie t = 7.44 bulunur. Birinci mertebeden türev, fizikel olarak bir eğrinin eğimine karşılık geldiğinden, burada yapılan işlem alında eğimin ıfır olduğu anı belirlemektedir. h) Elde edilen hız ve ivme grafikleri dikkate alındığında koşucunun, başlangıç anından aniye kadar hızını azalan bir ivmeyle arttırdığı ve bu andan itibaren hızını artan bir ivme ile azaltmaya başladığı gözlenmektedir. Hız-zaman eğriinin altında kalan alan konum (poziyon) değişimine, ivme-zaman eğriinin altında kalan alan da hız değişimine karşılık gelmektedir. Açıal Kinematik Açıal kinematik, daireel (rotayonel) hareket ıraındaki konum (açı), hız (açıal hız) ve ivme (açıal ivme) büyüklüklerinin analizi ile ilgilidir. 37

7 r θ Yay uzunluğu () ile yarıçap (r) araındaki ilişki; r. θ açıı yukarıdaki bağıntıda radyan cininden yazılmalıdır. Açıal hız ω, birim zamandaki açıal konum θ değişimidir ve ortalama olarak; i şeklinde heaplanır. Denklemde θ ve θ i on ve başlangıç açı değerlerini t ti götermektedir. Açıal hızın birimi rad/ dir. Anlık olarak d denklemiyle, yani açıal değişimin zamana göre birinci mertebeden türevi ile heaplanır. Açıal ivme α, birim zamandaki açıal hızın ω değişimidir ve ortalama olarak; i t t i denklemiyle heaplanır. Denklemde ω ve ω i on ve başlangıç hız değerlerini götermektedir. Anlık açıal ivme; dw ifadeiyle heaplanır. Lineer ve açıal hız araında aşağıdaki gibi bir ilişki vardır. V w r v r f f: frekan (Hz=1/) Örnek: Açıal hızı ω 4rad/ olan uzun ince bir fizikel itemin dönme ekeninden itibaren 5. ve 10. metredeki çizgiel hızlarını heaplayınız. 38

8 ω = 4 rad/ v r 1 1 v m/ v m/ r 1 =5m r =10m Daireel hareket: Normal (radyal) ve teğetel ivme v a t Teğet Doğrultuu, t a toplam α a n n, Normal Doğrultu Eğriel bir yörüngede hareket eden bir parçacığın çizgiel (doğrual) hızı daima yörüngeye teğettir. Ancak bu parçacığın çizgiel ivmei a, yörünge ile bir açı yapar. Çizgiel ivmenin belirlenebilmei için bileşenlerine ayırma yoluna gidilir. Bir çizgiel ivme, normal (radyal ) ve teğetel doğrultudaki iki ivmenin vektörel toplamına eşittir. Yani, a a + a Toplam t n Teğetel ivme a t parçacığın hızının genliğindeki değişimden kaynaklanır ve doğrultuu hareket yönüne teğet olacak şekildedir ve dv at v r r bağıntıı ile ifade edilir. Normal ivme a n ie hız vektörünün doğrultuunun zamanla değiminden kaynaklanır ve yönü her zaman dönme merkezine doğrudur (merkezcil ivme). a n v r r r r 39

9 Lineer ve daireel hareketler için kullanılan kinematik denklemler Hareket denklemlerinin ıklıkla kullanılan bazıları aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Tablo. Lineer ve daireel hareketler için kullanılan kinematik denklemler Lineer (doğrual) hareket Konum p θ Hız v ω İvme a, Ortalama Hız Anlık Hız Ortalama İvme Anlık İvme İvmenin Sabit Olduğu Durum İçin Kinematik Denklemler v ort p t dp v a ort v t dv a 1 p p0 v0t at Daireel (rotayonel) hareket ort ort t d t d 1 0 0t t v v0 at 0 t v v a( p p ) 0 0 ( ) 0 0 Örnek: a) Bir voleybol oyuncuunun omuz açıı, maç hareketi enaında 0,3 aniye içeriinde 0,5 radyandan 1 radyana değişim götermektedir. Kolun omuz eklemi etrafındaki ortalama açıal hızını rad/ ve derece/ cininden heaplayınız. i 1 0,5 1, 66 rad/ t t 0,3 0 i Hızı derece/ cininden heaplamak için, 0 rad 180 1, 66 95,11 der/ bulunur. Bu heaba göre porcunun omzu, bir aniyede 95,11 derecelik bir açı katetmektedir. b) Voleybolcunun omzu ile eli araındaki uzunluk 70 cm ie elinin çizgiel hızını, merkezcil ivmeini ve teğetel ivmeini heaplayınız. Çizgiel hız; 1,66 rad cm v r 70cm 116, 40

10 Merkezcil (normal) ivme, rad cm an r 70 cm(1,66 ) 19,9 c) Voleybolcunun omuz eklemi etrafındaki açıal hızı 0, içeriinde 1,90 rad/ değerine artıyora teğetel ivmenin değeri ne olur? 1,90 1,66 r cm at r. r. 70cm 8,4 t 0, olarak bulunur. 41

11 Şekildeki harekette ω=(0.5t +0.3t) der/n hızıyla Abduction hareketi yapmaktadır. Ağırlık 3 kg olarak verilmiştir. Kişinin deltoid kaı ile omuz araı uzaklık cm ve yatayla yaptığı açı 0 derecedir. Buna göre 6. n deki, a) ivmeleri, b) kuvvetleri, c) deltoid kaına düşen kuvveti d) koldaki gerilme kuvvetini bulunuz r= 56 cm Çözüm ω(6)=19.8 der/ ω(6)=0.345 rad/, V= ω.r V= m/ a) a n = v r a n = m/ a t = dw r a t = (t + 0.3). r=3.58 m/ b) F n = 3x F n = 0. N F t = 3x3.58 F t = 10.6 N c) 48.6 ϴ(t)=0.5 t t ϴ(6)=41.4 der = N N 30.co(48.6)=19.3 N 30 N 30.in(48.6)=.5 N 0. N 10.6 N M A=(19.83x0.8)+(10.6x0.56)= N.m

12 F deltoid,y x0.0 = F deltoid,y = N F deltoid,y = F deltoid. in (5) 574.4=F deltoid. in (5) F deltoid = 1400 N d) Gerlime kuvveti=.5n+0.n=.7 N