T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

2

3 Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39

4

5 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme işlemine kapalı olmadığı için, Polinomlar Kümesi ni genişleterek, içinde bölme işlemi yapılabilen Rasyonel Fonksiyonlar kümesini elde ediyoruz. Bu genişleme, Tamsayılar Kümesi nden Rasyonel Sayılar Kümesi ne geçişe benzer. Zaten, şimdiye kadar, rasyonel ifadelerle işlemler yapmayı iyice öğrendik. Bu bölümde, bildiklerimizi bir araya getirerek, Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi nin yapısını ortaya koyacağız., Q() gerçek katsayılı iki polinom olsun. Her a R için, P(a) ve Q(a) birer gerçek sayıdır. Dolayısıyla, Q(a) 0 ise, P(a) oranı bir Q(a) rasyonel sayıdır. Şimdi bunu, değişkenin mümkün bütün değerlerine yayabiliriz. Tanım:, Q() gerçek katsayılı iki polinom ise, f :, Q() 0 () Q() fonksiyonuna bir rasyonel fonksiyon, denir. Fonksiyonun tanım bölgesi, kümesidir. A { R, Q() 0} (2) Q() biçimindeki ifadelere, bazan, rasyonel ifadeler de denilir. Böyle bir ifadeyi gördüğümüzde, gereksiz tekrardan sakınmak için, ile Q() in gerçek katsayılı iki polinom olduğunu; R ve Q() 0 koşulunun sağlandığını kabul edeceğiz. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi üzerinde, eşitlik bağıntısı ile toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin tanımlarını, Rasyonel Sayılar Kümesinde yaptıklarımıza benzer olarak yapabiliriz. Rasyonel Fonksiyonların Eşitliği Rasyonel fonksiyonlarının eşitliği aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır: (3)

6 6 calculus Q() R() S() S() Q() R() (4) Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi Üzerinde İşlemler, Q(), S() ve R() polinomları verilsin. Her a sabit değeri için, Rasyonel Sayılar Kümesinde, P(a) Q(a) + S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) S(a) R(a), P(a) Q(a) : S(a) R(a) tanımlıdır. Bu işlemlerin, ortak tanım bölgesindeki her için geçerli olduğunu düşünürsek, rasyonel fonksiyonlar kümesi üzerindeki toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz. Toplama Çıkarma Çarpma Bölme Q() + R() S() + Q() R() S() Q() S() Q() R() S() Q() R() S() Q() S() Q() R() R() S() Q() S() Q() : R() S() Q() S() R() Rasyonel Sayılar Kümesinde olan özeliklerin benzerleri Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde de vardır. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde,. Q() rasyonel fonksiyonunun, toplama işlemine göre tersi, aşağıdaki denk ifadelerden birisidir. Q() Q() Q() 2. Toplama işlemine göre birim öğe O() 0 (sıfır) polinomudur. 3. Çarpma işlemine göre birim öğe, u() sabit polinomudur. 4. e() özdeşlik polinomunun çarpma işlemine göre tersi dir.

7 rasyonel fonksiyonlar 7 5. Bir polinomunun çarpma işlemine göre tersi, [] dir. Bu fonksiyon, 0 koşulunu sağlayan değerleri için tanımlıdır. 6. Bir polinomunun çarpma işlemine göre tersi, Q() [ ] Q() Q() Q() dir. Bu fonksiyon, 0 koşulunu sağlayan değerleri için tanımlıdır. (5) (6) 7. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır. Önerme. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi + işlemine göre Yer Değişimli bir Gruptur. 2. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir cisimdir. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydası bir polinom ile çarpılırsa, ifadenin tanımlı olduğu yerde, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel fonksiyon elde edilir:. 2. Q().T(), Q().T() 0. Q().T() Q() ifadesi,.t() ifadesinin sadeleşmişi (kısaltılmışı) dır. Q().T().T() Q().T() ifadesi, ifadesinin genişletilmişi dir. Q() 3. 0 ile bölme tanımsız olduğundan, kısaltma ya da genişletme yapılırken, T() 0 kabulü ihmal edilemez. Örnekler. + 4 ( ) + 5 rasyonel fonksiyonu 5 koşulunu sağlayan her gerçek sayısı için tanımlıdır. Şimdi bunun pay ve paydasını T() ( 4) ile çarparsak, 2 6 ( ) ( 4)( + 5)

8 8 calculus Ortaya çıkan (**) rasyonel fonksiyonu 5 ve 4 için tanımsızdır. Tanım bölgeleri farklı olduğundan, verilen (*) ifadesine denk değildir. Tersine olarak, 5 ve 4 için tanımsız olan (**) ifadesinin pay ve paydası T() ( 4) ile bölünürse (*) bulunur. Gene, tanım bölgesi değiştiği için, verilene denk olmayan bir rasyonel fonksiyon ortaya çıkmış 2. Ancak, şunu söyleyebiliriz: 4 için (*) ve (**) rasyonel fonksiyonları birbirine eşittir. Bu nedenle, verilen bir rasyonel ifadenin sadeleştirilmesi ya da genişletilmesi işlemlerinin, pay ve payda ile çarpılan (bölünen) T() polinomunun sıfır olmadığı yerlerde geçerli olduğu kabul edilecektir. Örnekler Aşağıdaki sadeleştirmeleri inceleyiniz. Herbirinin geçerli olmadığı yerleri belirleyiniz ( + 2)( + 3) ( + 3) a 2 + 2a b 8b 2 a 2 b + 4a b 2 ( a + b ) 2 9b 2 a b (a + 4b ) ( (a 2b )(a + 4b ) ) a 2b a b a a b (a + 4b ) 2b a + b a b 2 + b a b 2a ( + 2)( + 3) ( 2)( + 2) ( + 2)( + 3) ( 2)( + 2) Uygulamalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz.

9 rasyonel fonksiyonlar 9 a) c) ( )( ) ( + )( ) 2 3( + )( + 2) e) 2a + 6a 3 4a 2 + 0a 5 b) 6ay + 4y + 3a + 2 8ay + 2y + 4a + d) 2 5y + 4y 2 2 3y 4y 2 f) (a3 b 3 )(a 3 ab 2 ) a 3 + a 2 b + ab 2 2 a 2 + a g) a 2 h) (22 98)( ) 2( + 7) 2 ( ) Uyarı: Rasyonel fonksiyonlarla işlem yaparken, rasyonel sayılardaki işlem yöntemlerinin benzerlerini kullanınız.. Verilen rasyonel ifadelerin her birisinin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırıp, mümkün olan sadeleştirmeleri yapınız. 2. Toplama ve çıkarma işlemleri için, rasyonel ifadelerin paydalarının ekok nı bulunuz. Terimleri genişleterek, ekok ortak paydasına alınız. Sonra toplama ya da çıkarma formülünü uygulayınız. 3. Çarpma ve bölme işlemi için, doğrudan formülleri uygulayınız. 4. İşlemlerden sonra ortaya çıkan sonucu en sade biçime getiriniz. Örnekler. Aşağıdaki işlemi inceleyiniz a + 2 a 4 4 a 2 2(2 a) (2 a)(2 + a) a (2 a)(2 + a) 4 (4 a 2 ) 4 2a (4 a 2 ) a (4 a 2 ) 4 (4 a 2 ) 4 2a a 4 (4 a 2 ) (2 + a)

10 0 calculus 2. Aşağıdaki çarpma işlemini inceleyiniz. ( 2 ) ( ) ( 4)( + 2) ( 3)( + ) ( ) ( ) ( ) ( ( 3)( + 5) ( 4) ( ) ( 4)( + 2)(( 3)( + 5)( + ) ( 3)( + )( 4)( + 2)( + 5) ( + ) ( + 2)( + 5) ) 3. Aşağıdaki bölme işlemini inceleyiniz. ( 2 2 ) : 2 ( ) ( 4)(2 + 7) : ( )(3 + 2) ( 4 2 ) ( ) (2 + )(2 + 7) ( + 3)(3 + 2) ( ) ( ) ( 4)(2 + 7) ( + 3)(3 + 2) ( )(3 + 2) (2 + )(2 + 7) ( 4)( + 3) ( ( )(2 + ) Basit Kesirlere Ayırma Verilen bir rasyonel fonksiyonu, paydası indirgenemez rasyonel ifadelerin toplamı olarak yazmak, işlemlerde çok kolaylık sağlar. Şimdi, bu işin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz. Tanım: a, b, c, A, B, C gerçek sayılar, m, n sayma sayıları ve a 2 + b + c indirgenemez bir polinom olmak üzere A (a + b) m ove B + C (a 2 + b + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Örnekler 7 (5 2) 3, , rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir; ama , , 8 ( 5)( + 6)

11 rasyonel fonksiyonlar rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan rasyonel fonksiyonların, basit kesirlerin toplamı olarak yazılabileceğini örneklerle göstereceğiz. Örnekler. 5 ( + )( 2) A ( + ) + B ( 2) A( 2) + B( + ) ( + )( 2) A 2A + B + B ( + )( 2) (A + B) 2A + B ( + )( 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, olmalıdır. Buradan da, A + B 0 2A + B 5 } 5 (A + B) 2A + B A + B 0 2A + ( A) 5 bulunur. Bunlar, yukarıda yerlerine yazılırsa } A 5 3 B çıkar. 3 2 ( ) 5 ( + )( 2) ( ) 2 A + B 2 + C + D A( ) + B( ) + 2 (C + D) 2 ( ) (A + C)3 + (A + B + D) 2 + (2A + B) + 2B 2 ( ) Bu denkliğin sağlanabilmesi için, 3 (A + C) 3 + (A + B + D) 2 + (2A + B) + 2B olmalıdır. Buradan,

12 2 calculus A + C 0 A + B + D 0 2A + B 3 2B bulunur. Buradan, aşağıdaki eşitlik yazılır. A 7/4 B /2 C 7/4 D 5/4 3 2 ( ) ( Alıştırmlar. Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız. (a) (b) (c) (d) ( + y) 2 ( 2 + y 2 ) + 2 ( + y) 3 ( + y ) (e) (f) y y 2 y y + y Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) ( ) ( + ) y + 4y 2 y + 4y y 2 + 6y + 5y ( )

13 rasyonel fonksiyonlar 3 3. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız. (a) a + 2ay b 2by 2 + y 2y 2 : (b) ( ) : ( ) 2 (c) a 2 + ab b 2 2 2y + y 2 : (d) ( 2 + y 2 y + y) : ( 2 y 2 + y + y) (e) ( 2 2 ) : ( ) 4. Aşağıdaki polinomların ebob ve ekok larını bulunuz. (a) 2 3y 4y 2, 3y 2 + 4y 2 (b) y 2 2 y 2, y + 9y 2 (c) 5 2 y 3 z 2, 68 4 y 2 z (d) , (e) , Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A, B sayılarını bulunuz. ( 3)(+) 3 A + + B 5 A + +6 B a) 4 b) Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız a) b) c) d) e) f) g) y y2 2 y : (y y2 ) 2 ( 2 y) 2 h) rasonel ifadeler ve Denklemler Polinomlarda EKOK ve EBOB Tanım: ve Q() en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,

14 4 calculus ve Q() polinomlarının her ikisiyle de tam bölünebilen en küçük dereceli (en az birinci dereceden)bir polinoma, bu iki polinomun en küçük ortak katı (EKOK) denir ve EKOK[, Q()] biçiminde gösterilir. Polinomlarda EKOK, sayılardakine benzer biçimde bulunur. Bunun için ilk önce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan derecesi en büyük olanlarla ortak olmayanların tümünün çarpımı EKOK u verir. Örnekler:. 2 4 y 2 z, Q() 24 5 y 2 z 3 polinomlarının EKOK nu bulalım y 2 z olduğundan, Q() y 2 z 3 EKOK[, Q()] y 2 z 3 2. ( )( 2 + 2), Q() ( 2 )( + 2), T() ( )( ) polinomlarının EKOK nu bulalım. Verilen polinomları, ( )( 2 + 2) ( )( )( + 2) ( ) 2 ( + 2) Q() ( 2 )( + 2) ( )( + )( + 2) T() ( )( ) ( + 2) 2 ( ) biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EKOK[, Q(), T()] ( ) 2 ( + )( + 2) 2.3 Alıştırmalar Aşağıdaki polinomların EKOK nu bulunuz.

15 rasyonel fonksiyonlar y 3, 4 3 y 2. 2, y, 6y 2, 8y 4.3 +, 2 9, , ( ) 2, 2 6.6y 2 5 y 2, y 3 8y y 4y 2, 3y 2 + 4y 2 Tanım: ve Q() en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere, ve Q() polinomlarının her ikisini de tam bölebilen en büyük dereceli bir polinoma (en az birinci dereceden) bu iki polinomun en büyük ortak böleni (EBOB) denir ve EBOB[, Q()] biçiminde gösterilir. Polinomlarda EBOB bulunurken ilkönce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır; ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanların çarpımı EBOB u verir. Örnekler:. 6 4 y 2 z, Q() 8 3 y 3, T() 24 4 y 3 z 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. Verilen polinomları, 6 4 y 2 z y 2 z Q() 8 3 y y 3 T() 24 4 y 3 z y 3 z 2 biçiminde asal çarpanlarına ayıralım. EBOB[, Q(), T()] y 2 2. P(, y) 4 3 y 20 2 y y 3, Q(, y) y 2 2 y 2 polinomlarının EBOB nu bulalım. P(, y) 4 3 y 20 2 y y 3 4y( 2 5y + 6y 2 ) 2 2 y( 2y)( 3y) Q(, y) y 2 2 y ( 2 y 6y 2 ) 2 2 ( + 2y)( 3y)

16 6 calculus ALIŞTIRMALAR EBOB[P(, y), Q(, y)] 2( 3y). Aşağıdaki polinomların EBOB nu bulunuz. a) 6 4 y 2, 6 3 y 4 b) 5 2 y 3 z 2, 68 4 y 2 z c) 22 2, 4 4, d) , e) , f) 3 + 2, 4 2 9, Aşağıdaki polinomların EKOK nu ve EBOB nu bulunuz. a) 42 2 y 2 z 4, 65 4 y 2 z 2 b) 5 + 4, 8 6 c) 3 + 2, d) , e) y 2 2 y 2, y + 9y 2 f) 2 y 2 y 4, 2 2 2y 2, 4 y 4 g) (2 3y) 2, 4 2 9y 2, 4 2 6y h) 6 2 6, , Rasyonel İfadeler Polinomlar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik. Dolayısıyla, bu kümeyi genişleterek içinde bölme işlemi yapılabilen bir matematiksel yapı kurmak gerekir. Bu işin sağlam matematiksel yöntemlerle yapılması mümkündür. Ancak, bu işler bu kitabın kapsamı dışındadır. Bu nedenle, burada konuyu sezgisel olarak ele alacak ve iki polinomun birbirine oranı (bölümü) biçimin de olan nesneleri tanımlayacağız. Daha sonra, bu nesnelerden oluşan küme üzerinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini tanımlayacağız. Tanım:, Q() gerçek katsayılı iki polinom ve Q() 0 olmak üzere, Q() biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir. Rasyonel ifadeler kümesi, rasyonel sayılar kümesine benzer biçimde. (+) ve ( ) işlemlerine göre bir cisim oluşturur. Bu cisme rasyonel ifadeler cismi denir. Rasyonel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılardakine benzer biçimde yapılır. R alınırsa Q() i sıfır yapan gerçek sayıların dışında Q() de bir gerçek sayı Bu nedenle,

17 rasyonel fonksiyonlar 7 R için F() ile tanımlı F bağıntısı, R nin bir alt Q() kümesinden R ye bir fonksiyon tanımlar. Rasyonel ifadeler cisminde, 2 2, 3 3, olacağı için in negatif kuvvetleri de vardır. in tamsayı kuvvetlerinin çarpımı ve toplamı, reel sayıların tamsayı kuvvetlerinde olduğu gibi yapılır. Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi gibi rasyonel bir ifadenin pay ve paydası T() 0 polinomu Q() ile çarpılırsa, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel ifade elde edilir. Yani, Q() Q().T() Q().T() dir. Burada,.T() rasyonel ifadesine rasyonel ifadesinin sadeleşmiş Q().T().T() Q().T() (kısaltılmış) biçimi, rasyonel ifadesinede Q() rasyonel ifadesinin genişletilmişi denir. biçimindeki rasyonel ifadeleri sadeleştirirken elemanını Q() belirsiz (tanımsız) kabul ediyoruz. Eğer R alırsak bazı gerçek değerleri için bu sadeleştirme yapılamaz. Örneğin, 2 9 ( 3)(+3) 3 rasyonel ifadesi 3 biçiminde yazılabilir. Burada 3 için 3 0 olduğundan 3 ile sadeleştirme yapılamaz. 3 oiin ( 3)( + 3) 3 Örnekler: rasyonel ifadesini sadeleştirelim ( 2 6) ( 2 2 3).2 ( + 2)( 3) 2 ( + 2) ( + )( 3) + bulunur rasyonel ifadesini sadeleştirelim ( ) + (5 6) (5 2) + 3(5 2) 5 2 (5 2)(22 + 3)

18 8 calculus y 5y y 2 rasyonel ifadesini sadeleştirelim y 5y 2 (4 3y)( + 5y) 6 2 9y 2 (4 3y)(4 + 3y) + 5y 4 + 3y 4. 2 m+2 rasyonel ifadesi sadeleştirilebildiğine göre m Z nedir? Verilen polinom, 2 m m + 2 ( )( 3) biçiminde yazılabilir. Bu rasyonel ifadenin sadeleştirilebilmesi için 2 m + 2 polinomunun ( ) veya ( 3) ile tam bölünmesi gerekir. Yani polinomunun veya 3 ile bölünmesinden elde edilecek kalan sıfır olmalıdır. Buna göre, P() 0 m m 3 veya P(3) 0 9 3m m 3 Z dir..5 Alıştırmalar Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz. ) a 2 + 2a + a 3 2) 9 a + b + b + a 3) ) 2 5y + 4y 2 y + 2y + y 2 3y 4y 2 5) ) (3 y 3 )( 3 y 2 ) y + y 2

19 rasyonel fonksiyonlar 9 7) 2 + y 2 + 2y 2 2y + y 2 8) (22 98)( ) 2( + 7) 2 ( ) 9) ( )( ) ) ) 6 64 ( 2 4)( ) 2) ) m y m 2m y 2m 4) Rasyonel İfadelerin Toplamı Tanım: R() ve rasyonel ifadelerinin toplamı, Q() S() Q() + R().S() + Q().R() S() Q().S() biçiminde tanımlanır. Paydaları farklı rasyonel ifadelerin toplamında yapılması gerekli işlemleri aşağıdaki biçimde sıralayabiliriz.. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarındaki polinomlar çarpanlarına ayrılır. Varsa gerekli sadeleştirme yapılır. 2. Rasyonel ifadelerin paydalarındaki polinomların EKOK u bulunur. 3. Her rasyonel ifade, paydası EKOK olacak biçimde genişletilir. Böylece, verilen rasyonel ifadelerin paydaları eşitlenmiş 4. Payların toplamı paya, ortak paydada paydaya yazılır. 5. Bulunan sonuç en sade biçime getirilir. Örnekler: toplamını bulalım

20 20 calculus ( 3)(+2) ( 2) + 2 ( 3)( + 2) + ( 2)( 3) ( + 2) ( 2) ( 2)( 3)( + 2) + ( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( + 2) + ( 2)( 3)( + 2) ( 2) + ( 3)( + 2) + ( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( 3)( + 2) ( 2)( + 3) ( 2)( 3)( + 2) + 3 ( 3)( + 2) y 2 y 2 y y +y toplamını bulalım:

21 rasyonel fonksiyonlar y y y y + y 4 2 ( y)( + y) + + y y ( y) (+y) ( + y) ( y) 4 2 ( y)( + y) + ( + y) 2 ( y)( + y) ( y) 2 ( y)( + y) 42 + ( + y) 2 ( y) 2 ( y)( + y) y + y y y 2 ( y)( + y) y ( y)( + y) 4( + y) ( y)( + y) 4 y.7 Alıştırmalar Aşağıdaki işlemleri yapınız. ) + y 5) 6) 3) 2 2 y 2 2) ) y + y y + y y 2 Rasyonel İfadelerin Çarpımı Tanım: rasyonel ifadelerinin çarpımı, Q() ve R() S() Q(). R() S().R() Q().S() biçiminde tanımlanır. Rasyonel ifadelerin çarpımında, her rasyonel ifadenin pay ve paydası çarpanlarına ayrılarak sadeleştirmeler yapıldıktan sonra paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır.

22 22 calculus Örnekler: y 2 y +2 çarpımını bulalım y y ( + 2)( + 3) yy + 3 y y ( + 2) bulunur. 2. (4 + + ).( ) işlemini yapalım. (4 + + ) (2 + 4( + ) + ) (2 + ) (2 + )2 + (2 + ) ( + ) 2 + 4(2 + ).8 Rasyonel İfadelerde Bölme R() R() Tanım: ile iki rasyonel ifade ve 0 olmak üzere, Q() S() S() Q() rasyonel ifadesinin R() rasyonel ifadesine bölümü S() Q() : R() S() Q() biçiminde tanımlanır. Rasyonel ifadelerin bölümünde,.[ R() S() ].S() Q().R(). Verilen rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrılır. 2. Birinci rasyonel ifade, ikinci rasyonel ifadenin çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. 3. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra, paylar çarpılarak paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır. Örnekler:

23 rasyonel fonksiyonlar : işlemini yapalım: : ( 3)( + 3) 3( + 3) : ( 3)( 3) 7( 3) ( 3)( + 3) 7( 3) ( 3)( 3) 3( + 3) 7 3 çıkar : işlemini yapalım : ( + 3) ( + )( + 3) ( 3)( + 3) + ( 3).9 Alıştırmalar. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sonucu en sade biçimde yazınız. ( + 3)2 a) 3 : b) : c) ( 5)2 2 : e) : d) f) : : g) : h) ( ) : ( ) 2.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. 3 a) b) ( + 3) 2 c) d) (2 + 5) Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız. a) b)

24 24 calculus c) d) Aşağıdaki işlemleri yapınız. + 4 a) b) c) y 3 + y d) 2 y 2 + e) y y 2 y y + y 2 f) y + y g) ( + ) h) 2 + 5y + 4y 2 y + 4y y 2 + 6y + 5y 2 a + 2ay b 2by a 2 + ab b 2 i) 2 + y 2y 2 : 2 2y + y j) : k) : l) m) y : y 4 2 y ( ) n) ( ) o) ( )( ) p) ( ) ( + ) r) ( 2 + y 2 y + y) : ( 2 y 2 + y + y) s) ( ) : ( + 2 ) t) ( + y) 2 ( 2 + y 2 ) + 2 ( + y) 3 ( + y ) u) ( ) : ( ) 2.0 Polinom Denklemler Tanım: Sıfır polinomundan farklı bir polinomunu sıfır yapan

25 rasyonel fonksiyonlar 25 (varsa) her gerçek sayısına, polinomunun kökü, o 0 koşuluna da bir polinom denklem denir. polinomunun köklerine aynı zamanda 0 denkleminin kökleri denir. Bir polinom denklemin bütün köklerini (varsa) bulmak için yapılan işleme denklemi çözme, bütün köklerden oluşan kümeye de denklemin çözüm (doğruluk) kümesi denir. Çözüm kümeleri eşit olan denklemlere de denk denklemler adı verilir.. Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü a, b R ve a 0 olmak üzere, a + b 0 biçimindeki polinom denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. a + b 0 (a 0) denkleminin çözüm kümesini bulalım: a + b 0 a + b + ( b) 0 + ( b) a + 0 b a b a.a a ( b) b a { b a } Örnekler:. 6 3( + ) + denkleminin çözüm kümesini bulalım: 6 3( + ) {2} denkleminin çözüm kümesini bulalım:

26 26 calculus ( ) 30 ( 0 2 ) 30( 4 2 ) 30( ) {6} 3. 3a + 5b 3b + 5a denkleminin çözüm kümesini bulalım: 3a + 5b 3b + 5a 3a 3b 5a 5b 3(a b) 5(a b) 5 3 (a b 0) { 5 3 } denkleminin çözüm kümesini bulalım: ( ) (8 6) ( 2) 8( 2) 0 ( 2)(2 2 8) 0 2( 2)( 2 4) 0 2( 2)( 2)( + 2) 0 2( 2) 2 ( + 2) { 2, 2} 5. 2 a+b 2 + ab 4 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım: 2 a + b 2 + ab (a + b) + ab 0 (2 a)(2 b) 0 2 a 0 2 b 0 a 2 b 2 { a 2, b 2 }

27 rasyonel fonksiyonlar 27.2 Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ) ) ) 8 (7 ) 33 6) 4 (3 + 2) 7 7) 5( + 3) 4( + 2) 2 8) 60 2[(37 + 2) 3] 20 0) 2 + 5( 2) 3[2( 5) + 3] + 2 ) 2( + 5) 4( + 5) 2) (2 3)( 5) 2 9( 5) 3) 4( ) 2 8( ) 4) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 4( ) ) 2 ( 3) 9 27) ) a b a 2 + b 2 2a 2b 29) a a a 3 + 3a 2 30) 6a 4 3a 2 5a + 2 3) (2 + 4)(2 4a) (2 + 8)(3 4a) 32) 5 [6(2 + a) (5 3)(2 a)] ( 2)(3 4a) 7a 33) 6[5 (6 2)(5 + 3a)] 3[5a 5(8 2a)] 53a 54 34) ab m + ab n m+n mn 35) m cd + a + ad m + c 0 36) 2+4a a 37) 2ab 2ab 38) 2a + 4(a+b) ab + 2b 4b+2 b 2b 2 a a + a a 2 2a a a+b + 39) a a b + b 2ab a 2 b a 40) +5 a+ 6 a 7a 9 a 2 0 Rasyonel Denklemler Tanım:, Q() iki polinom, Q() 0 ve R olmak üzere,

28 28 calculus biçimindeki her ifadeye rasyonel fonksiyon denir. Q() Q() 0 koşuluna bir rasyonel denklem, bu koşulu sağlayan gerçek sayılarına (varsa) rasyonel denklemin kökleri denir. Rasyonel denklemler çözülürken payın kökleri bulunur. Bunlar arasından paydayı sıfır yapanlar rasyonel denklemin çözüm kümesine dahil edilmezler. Yani, 0 0 Q() 0 Q() Örnekler: denkleminin çözüm kümesini bulalım ( + 2) 3 0 3( + 2) 5 5 3( + 2) ( + 2) 0 {} denklemini çözelim ( + )( 4) 0 ( 4) ( + )2 5 0 ( + )( 4) 6 6 ( + )( 4) ( + )( 4) 0 [ 4] { } 2a b + 2b + a denkleminin çözüm kümesini bulalım:

29 rasyonel fonksiyonlar 29 2a + + b 2b + + a 2a + 2(a b) + 2b + a b a b 2 (a b) {}.3 Alıştırmalar Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( + 3) ) ) ) ) ) ) ) )

30 30 calculus 8) a b a2 b 2 a + b 2 2 (a + b)2 9) + a + a + (2 + 2a)(a ) 20) (a + 3)(2 a) 2) a + a a a a 22) a + 2b 23) + b a 3 + b a + 2a 2 4 ( + b) + a 2 4a 2 a b b + 2a 2b( + )2 a a 2a ) 2a 2b 2a + 2b 4a2 b 2ab 2 a 2 b 2 (2 + 6a)( + 9b) 2b a 25) (3b + )( a) a 6b ) c + (a b) 27) 3c2 2b 2 a 2 b (a + b) + 2a a 2 b 2 + 2b2 c(5c2 + 3b 2 ) c + b2 (c + ) + 2b 2b 28) a a 29) a + b b a b + a b a 30) a + 2 2a 4a 2 2 3a + 2a 2 Rasyonel İfadelerin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması Tanım: a, b, c, A, B, C R, m, n N + ve a 2 + b + c asal bir polinom ise, A B + C (a + b) m ove (a 2 + b + c) n biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir. Buna göre, 4 (3 + 2) 5, , rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir , , 5 4 ( a)( b) rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir. Teorem: a) indirgenemez rasyonel bir fonksiyon, Q() b) der[] < der[q()], c) Q() polinomu aralarında asal M(), N() polinomlarının çarpımı, ise, Q() A() rasyonel fonksiyonu M(), B() indirgenemez rasyonel kesirlerinin toplamı olarak yazılabilir. N() Bu bölümde yukarıdaki teoremin bazı uygulamalarını göreceğiz.

31 rasyonel fonksiyonlar 3 Örnekler: 2. rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım. ( 2)(+2) 2 ( 2)( + 2) A ( 2) + B ( + 2) A( + 2) + B( 2) ( 2)( + 2) A + 2A + B 2B ( 2)( + 2) (A + B) + 2A 2B ( 2)( + 2) bu iki rasyonel ifadenin denk olması için, olmalıdır. Buradan da, A + B 0 2A 2B 2 bulunur. Buna göre, 2 (A + B) + 2A 2B } A + B 0 A B 6 } A 3 B 3 rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yaza lım ( 2)( + 2) (3 4)( 2) dir. 5 3 (3 4)( 2) A B 2 A( 2) + B(3 4) (3 4)( 2) 5 3 A( 2) + B(3 4) İki polinom özdeş ise, R için doğrulanır. 2 için; A(2 2) + B(3.2 4) B için; A( 4 3 2) + B( ) A 2

32 32 calculus bulunur. Buna göre, Not: Yukarıda ler belirlenirken verilen rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapan değerler tercih edilecektir rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım dir (4 + )(2 ) (4 + )(2 ) A B (2 ) biçiminde yazılabilir. A yı bulmak için, a) A nın paydasının kökü bulunur: () b) () eşitliğinin birinci yanından A nın paydası atılırsa, ifadesi elde edilir. Bu rasyonel ifadenin 4 için aldığı değer A yı verir: Aynı biçimde B yi bulalım. 4 A 2( 4 ) + 7 2( 4 ) Buna göre, 2 B 2.( 2 ) + 7 4( 2 ) (4 + )(2 ) Uyarı.. Paydanın gerçek kökleri yoksa yukarıdaki kural geçerli değildir. dir rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım ( 2 + 2)

33 rasyonel fonksiyonlar 33 veya ( 2 + 2) A + B + C A2 + 2A + B 2 + C ( 2 + 2) (A + B)2 + C + 2A ( 2 + 2) (A + B) 2 + C + 2A Buradan da, bulunur. Buna göre, A + B 0 C 5 2A 2 A B C ( 2 + 2) Alıştırmalar. Aşağıdaki eşitliklerde A, B nin alacağı değerleri bulunuz. 4 a) (+)(+4) 2+ b) A + + A + +4 B B Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız. 3 4 a) b) c) e) d) f)

34

35 Bibliography

36

37 bibliography 37

38

39 Inde çıkarma, 6 çarpma, 6 bölme, 6 basit kesirlere ayırma, 0 eşitlik, 5 ebob, 3 ekok, 3 grup, 7 işlemler, 6 rasyonel fonksiyon, 5 sadeleştirme, 7 toplama, 6