Aktif Titreşim Kontrolü için Bir Yapının Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelinin Elde Edilmesi ve PID, PPF Kontrolcü Tasarımları

Transkript

1 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran 15 Aktif Titreşim Kontrolü için Bir Yapının Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelinin Elde Edilmesi ve PID, PPF Kontrolcü Tasarımları E. Gülbahçe* M. Çelik KTO Karatay Üniversitesi KTO Karatay Üniversitesi Konya Konya Özet Bu çalışmada, ankastre bağlanmış bir kirişin aktif titreşim kontrolünde kullanılmak üzere PID ve PPF (Pozitif Pozisyon Geri besleme) olmak üzere iki farklı kontrolcü tasarlanmıştır. Bu kirişin dinamik karakteristiklerini belirlemek için deneysel ve sayısal modal analizler yapılmış ve karşılaştırılmıştır. Ansys yazılımında sunulan yapının modal analiz sonuçlarına göre sonlu elemanlar yöntemi ile sayısal matematiksel modeli elde edilmiştir. Bu model durum uzay matrisleri şeklinde Matlab /Simulink ortamına aktarılmıştır. Model doğrulama işlemi için sayısal ve deneysel modele uygulanan bir tahrik sonucunda yapının cevapları karşılaştırılmıştır.matlab /Simulinkortamında bozucu darbe girişi ile tahrik edilen yapının üzerindeki eş konumlu olarak tasarlanan PPF kontrolcünün, PID kontrolcüye göre daha etkili olduğu görülmüştür. Anahtar kelimeler: aktif titreşim kontrolü, akıllı yapılar, PPF kontrol, PID kontrol, piezoelektrik Abstract In this paper, PID and PPF controllers are designed to be used in active vibration control of cantilever beam. In order to determine the dynamic characteristics of the beam, both numerical and experimental analysis are conducted and compared. Numerical results are utilized to derive a mathematical model of the structure by using finite element method in Ansys. This model is transferred to Matlab /Simulink as state space model. The verification of the models is obtained by comparing numerical and experimental structural responses under any excitation. The designed controllers aretested with a impulse distortion input by using Matlab /Simulink. As a result, it is seen that collocated PPF controller has an impact on system more effectively than the PID controller. Keywords: active vibration control, smart structures, PPF control, PID control, piezoelectric I.Giriş 1 Geçmişten günümüze gelen ve sürekli gelişme gösteren mühendislik sistemlerinde akıllı yapıların önemi gitgide artmakta ve ihtiyaç alanları genişlemektedir.bu ihtiyaç ve ilerlemenin temelinde piezoelektrik malzeme tabanlı yapılar ve bu yapıların oluşturdukları sistemler * erdi.gulbahce@karatay.edu.tr mehmet.celik@karatay.edu.tr yer almaktadır. Piezoelektrik malzemeler genellikle titreşimleri sönümlemek için eyleyici veya titreşim genliklerini ve frekanslarını ölçmek için sensör olarak kullanılabilmektedir.piezoelektrik malzeme tabanlı akıllı yapılar mühendisliğin birçok alanında kullanılmakta ve sürekli gelişme göstermektedir. Öte yandan aktif titreşim kontrolü çalışmalarında bütün kontrolcü tasarımı çalışmaları gibi yapının dinamik karakteristiğinin iyi bir şekilde anlaşılması ve irdelenmesi gerekmektedir.bu dinamik karakteristikler farklı şekillerde elde edilebilmektedir. Birincisi literatürde de çokça yer alan analitik bir çözüm olan parametreler dağılımı en küçük kareler yöntemi gibi yaklaşımlardır [1,,3].Fakat karmaşık sistemlerin veya yapıların analitik çözümlerinin zorluğu göz önünde bulundurularak yapının davranışının elde edilmesi için gelişen teknoloji ile beraber yeni yaklaşımlar doğmuştur[].örneğin sonlu elemanlar yöntemini baz alan sayısal çalışmalar son yıllar da literatürde çokça yer almaktadır ve etkinliği son derece önem kazanmıştır. Yapının davranışına bakılan bir diğer yöntemde deneysel olarak uygulanan testler ve analizlerdir. Fakat her sisteme doğrudan testler ve analizler uygulayabilmek mümkün olamamaktadır. Bu yüzden bir yaklaşım yöntemi de olan sayısal analizlerin önemi her geçen gün artmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemini kullanan paket programlardan Ansys yazılımı en etkin sayısal analiz programlarından bir tanesidir. Sunulan çalışmanınsayısal analizleri ve model indirgeme çalışmaları bu yazılımda yapılmıştır. Yine piezoelektrik malzeme modelleme teknikleri bu yazılımında uygulanmıştır [5]. Aktif titreşim kontrolü çalışmalarında bir diğer önemli konuda kontrolcü tasarımlarıdır. Bu çalışmada eş konumlu PID, PPF kontrolcü tasarımları üzerinde durulmuştur. Çalışmada sunulan teorik olarak uygulanan kontrolcü tasarımı çalışmaları Matlab /1b yazılımında uygulanmıştır. II. Akıllı Kirişin SayısalOlarak Modellenmesi Çalışmanın bu kısmında modelleme aşamaları anlatılmıştır. x35x1.7 mm ölçülerinde alüminyum bir kiriş, üzerine yapıştırılmış piezoelektrik yama ile beraber modellenmiştir. Piezoelektrik yama için sekiz düğümlü SOLID5 elamanı, alüminyum kiriş için yine sekiz düğümlü SOLID185 elamanı seçilmiştir. Modelleme aşamaları Şekil 1 de gösterilmiştir.sayısal modelleme 1

2 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran 15 Ansys /Workbench ortamında gerçekleştirilmiştir. Fakat bu sürümde piezoelektrik malzeme özelliklerigibi bazı eksiklikler mevcuttur. Bu yüzden yazılımdaki uygulamalar, parametrik tasarım dili olan Mechanical APDL formatında komutlar ile desteklenmiştir. Şekil. 1.Modelleme aşamaları Kirşin yazılımda modellenmesinden sonra deneysel ve sayısal olarak modal analizler yapılmıştır. ve sayısal modal analiz sonucunda yaklaşık olarak elde edilen doğal frekanslar Tablo1 deverilmiştir. Yapının doğal frekanslarına ait mod şekillerine de ayrıca tabloda yer verilmiştir. Mod Frekans [Hz] Mod Şekilleri (x-y düzlemi) Sayısal Düzleme Dik Eğilme Düzleme Dik Eğilme Düzleme Dik Eğilme Düzlemsel Eğilme TABLO 1. Doğal frekanslar Kirişin Ansys ortamında matematiksel modelinin elde edilmesi için literatürde etkin bir şekilde yer alan SPMWRITE komutu kullanılmıştır [5].Bukomut ilgili yapının dinamik karakteristiklerine göre durum uzay matrislerinin elde edilmesi işlemidir. Yapılan çalışmalarda modal analiz sonuçlarının çok fazla bilgi içerdiği görülmüştür. Bu yüzden model indirgeme teknikleri kullanılmaktadır. Bu çalışmada akıllı kirişin bütün modlarının incelenmesine gerek duyulmamıştır. Gerekli sınır şartları Ansys yazılımında tanımlandıktan sonra ilk dört mod için durum uzay matrisleri elde edilmiştir. Şekil..Aktif titreşim kontrolü için kurgulanmış sistem Akıllı kirişin aktif titreşim kontrolü için kurulmuş olan genel sistem Şekil de görüldüğü gibidir. Sistem bozucu ve kontrolcü girişi olmak üzere iki giriş, doğrusal gerinim ve uç deplasman çıkışı olmak üzere iki çıkıştan meydana gelmektedir. Sistemin sayısal modeli elde edilirken gerçekçi bir dinamik karakteristik ve gerçek modele iyi bir yakınsama için Ansys ortamında bu bilgiler kullanılarak komutlar oluşturulmuştur. Burada piezoelektrik yama girişi için voltaj (V) ve sarsıcı girişi için kuvvet (N), çıkışlar ise doğrusal gerinim (mm/mm) ve uç deplasman (mm) olarak olarak tanımlanmıştır. III. Akıllı Kirişin ve Sayısal Modellerinin Doğrulanması Sistem modelleme çalışmalarında sayısal olarak elde edilen modelin herhangi bir tahrik altında yapı cevapları ile deneysel modelin yapı cevapları uyum halinde olmaz ise sayısal model düzeltilmektedir ve deneysel modele uyumlu hale getirilmektedir. Bu yüzden akıllı kirişin hem deneysel sistemde, hem de simülasyon ortamında belirli bir tahrik altında dört farklı şekilde yapı cevaplarına bakılmış ve karşılaştırılmıştır. Model doğrulama işlemi için daha öncede anlatıldığı gibi Şekil deki sistem kurulmuştur. Akıllı kiriş piezoelektrik yama ile hem deneysel olarak hem de simülasyon ortamında Şekil3 de görüldüğügibiilk doğal frekansına sahip ±5V luk bir sinyal ile saniye boyunca tahrik edilmiştir. Volt [V] 5 8 Hz Şekil. 3. Piezoelektrik yama giriş sinyali Akıllı kirişin deneysel yapı cevapları hem gerinim ölçer vasıtasıyla, hemde lazer deplasman ölçüm sensörü ile eş zamanlı olarak ölçülmüştür. Şekil ve 5 de

3 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran 15 görüldüğü gibi yapının piezoelektrik yama etkisi altındaki sayısal ve deneysel cevapları karşılaştırılmıştır. Doğrusal Gerinim [mm/mm] Deplasman [mm] x Şekil.. Piezoelektrik yama etkisi altında doğrusal gerinim Şekil. 5. Piezoelektrik yama etkisi altında uç deplasman Burada yapının deneysel ve sayısal modellerinin doğrusal gerinim ve uç deplasman ölçümleri örtüşmüştür. Akıllı kirişin sayısal olarak elde edilen modeli piezoelektrik yama tahriki altında doğrulanmıştır. Fakat yapının birde bozucu etki olan sarsıcı tahrikine göre doğrulanması gerekmektedir. Bunun için yapı sarsıcı ile hem deneysel olarak hem de simülasyon ortamında Şekil da görüldüğü gibi +1 N luk bir darbe sinyali ile tahrik edilmiştir. Kuvvet [N] Şekil.. Sarsıcı giriş sinyali Yine akıllı kirişin deneysel yapı cevapları hem gerinim ölçer vasıtasıyla, hemde lazer deplasman ölçüm sensörü ile eş zamanlı olarak ölçülmüştür. Şekil 7 ve 8 de görüldüğü gibi yapının sarsıcı etkisi altındaki sayısal ve deneysel cevapları karşılaştırılmıştır. Doğrusal Gerinim [mm/mm] Deplasman [mm] Şekil. 7. Sarsıcı etkisi altında doğrusal gerinim - x Şekil.8. Sarsıcı etkisi altında uç deplasman IV.Akıllı Kirişin Aktif Titreşim Kontrolü Genel olarak gerçek sistemler net ve açık tanımlamalar yapmak için fazlası ile karmaşıktır. Bu yüzden bir yaklaşım yapmak zorunluluğu vardır. Gerçek sistemler için bilgiler iki kaynaktan elde edilmektedir. Birinci kaynak; insan deneyimleri, diğer kaynak ise sensör ölçümleri ve fiziksel kanunlardan elde edilen matematiksel modellerdir. Hedef, bu iki bilgi kaynağını kullanarak sistem tasarımını yapmaktır. Aktif titreşim kontrol çalışmalarında da genel olarak farklı sistem tasarımları ve etkin kurgular kullanılmaktadır. Bu çalışmada literatürde de son yıllarda sıkça yer alan eş konumlu kontrol sistemleri üzerinde durulmuştur.algılayıcıların ve eyleyicilerin aynı konumda bir arada kullanıldıkları kontrol sistemlerine genel olarak eş konumlu kontrol sistemleri denilmektedir [5,,7].Bu yüzden akıllı kirişin aktif titreşim kontrolü için kurulmuş olan sistemde piezoelektrik yama ve gerinim ölçer aynı konumda seçilmiştir. Kontrolcü metodolojiside buna uygun tasarlanmıştır. Eş konumlu kontrolcü sisteminin genel blok diyagramı Şekil 9 da görülmektedir. Şekil. 9. Eş konumlu kontrol sistemi A. PID kontrolcü tasarımı 3

4 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran 15 Bu çalışmada akıllı kirişin aktif titreşim kontrolü için belirli bir bozucu etkiye karşı aktif titreşim kontrolü PID kontrolcü kullanılarak yapılmıştır. Sistem performansını incelemek amacıyla yapılan simülasyonlar da kontrolcü performansına bakılmıştır. Yapılan simülasyonlar da Matlab /Simulink/PID Toolbox yazılımı kullanılmıştır. PID kontrolcü kullanılarak oluşturulan sistemin kapalı çevrim blok diyagramı Şekil 1 da verilmiştir. Şekil. 1. Kapalı çevrim PID kontrol blok diyagramı Burada eş zamanlı kontrol sistemi kurgulandığı için uç deplasman yerine doğrusal gerinim sistemin çıkışı olarak ele alınmış ve geri besleme olarak kullanılmıştır. Aktif titreşim kontrolü sisteminde kullanılmak üzere tasarlanan PID kontrolcünün kazanç parametreleri Kp, Ki, Kd nin en uygun değerleri, Kp=5, Ki=5 ve Kd= olarak elde edilmiştir. Şekil 11 ve 1 de N değerinde olan bozucu darbe fonksiyonu etkisindeki kirişte PID kontrolcü kullanılması durumu için sırasıyla doğrusal gerinim ve uç deplasmana ait grafikler verilmiştir. Doğrusal Gerinim [mm] Şekil. 11. PID kontrollü ve kontrolsüz doğrusal gerinim cevabı Uç Deplasman [mm] x PID Kontrollü PID Kontrollü Şekil. 1. PID kontrollü ve kontrolsüz şekil uç deplasman cevabı yapının dinamik davranışından dolayı iyi cevap verememektedir. Gerinim ölçerin olduğu noktada doğrusal gerinim minimuma indirilmesine rağmen küçükte olsa bir salınım mevcuttur. Buda uç deplasmanın sönümlenmesini geciktirmektedir. Kritik sönümlemeden uzaklaştıkça cevap gecikmekte ve salınım artmaktadır. B. PPF (Pozitif pozisyon geri besleme) kontrolcü tasarımı Pozitif pozisyon geri besleme kontrolcü tasarımı literatürde de yer aldığı gibi en etkin eş konumlu veya modal kontrolcü tasarımlarından bir tanesidir [5,,7]. Uygulamada asıl hedef bu ilgilenilen doğal frekanslarda titreşim kontrolü yapabilmektir. Bu kontrolcü tasarımında yapının ilgilenilen doğal frekanslarını kullanarak ikinci dereceden transfer fonksiyonları yardımıyla bir filtreleme tekniği oluşturmaktır. PPF kontrolcü için ikinci derece transfer fonksiyonu denklem (1) de verilmiştir. (1) Burada,,, sırasıyla ilgili modlarda sönümleme oranı, doğal frekans ve kazancı temsil etmektedir. PPF kontrocü tasarımında kullanılacak olan ilk üç mod için elde edilen transfer fonksiyonları denklem (),(3) ve () de verilmiştir.... (). (3). () Akıllı kirişin ilk üç modu için kritik sönümleme oranı ξ.1 olarak seçilmiştir. Yine daha gerçekçi bir yaklaşım için deneysel olarak elde edilen doğal frekanslar kullanılmıştır. Ayrıca kazanç katsayısı yapılan çalışmalar sonucu ve literatürde yer alan diğer çalışmalar baz alınarak K 1 seçilmesi uygun görülmüştür. Pozitif geri besleme esasına dayalı olan PPF kontrolcü tasarımının genel olarak şematik gösterimi Şekil 13 de verilmiştir. Bu grafiklerden görüldüğü gibi doğrusal gerinim yönünden PID kontrolcü kritik sönümleme etkisi yapmasına rağmen uç deplasmanın azaltılması için çok etkin değildir. Çünkü kapalı çevrim PID kontrolcüsü

5 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran EYLEYİCİ H(s)3 H(s) H(s)1 Sistem SENSÖR Doğrusal Gerinim [mm/mm] 8 x 1- - PPF Kontrollü Şekil. 15. PPF kontrollü ve kontrolsüz doğrusal gerinim cevabı Şekil. 13. PPF kontrolcü tasarımı PPF kontrolcü tasarımında her bir modal frekansa eşdeğer transfer fonksiyonları belirli katsayılar yardımıyla sisteme pozitif olarak geri besleme olarak etki ettirilmektedir. Sisteme geri besleme yapılırken bazı kazanç katsayıları yardımıyla en iyi sonuçlar elde edilebilmektedir. Denemeler sonucunda kullanılan katsayıların en uygun değerleri seçilmiştir. Katsayılar ve transfer fonksiyonlarını da içeren sistemin genel blok diyagramı Şekil 1 de gösterilmiştir. Sistem performansını incelemek amacıyla yapılan simülasyonlar da kontrolcü performansına bakılmıştır. Yapılan simülasyonlar Matlab /Simulink ortamında gerçekleştirilmiştir. Şekil.1. Kapalı çevrim PPF kontrol blok diyagramı PPF kontrolcü tasarımında yine eş konumlu kontrol sistemi kurgulandığı için uç deplasman yerine doğrusal gerinim sistemin çıkışı olarak ele alınmıştır. Etkin bir kontrol için kullanılan K 1, K, K 3, K katsayıları belirli iterasyonlar ve denemeler sonucu olarak K 1 =8, K =, K 3 =1, K =1 seçilmiştir. Şekil 15 ve 1 da N değerinde olan bozucu darbe fonksiyonu etkisindeki kirişte PPF kontrolcü kullanılması durumu için sırasıyla doğrusal gerinim ve uç deplasmana ait grafikler verilmiştir. Uç Deplasman [mm] PPF Kontrollü Şekil.1. PPF kontrollü ve kontrolsüz uç deplasman cevabı PPF kontrollü ve kontrolsüz sistem cevaplarından anlaşılacağı gibi doğrusal gerinim yönünden PPF kontrolcü bozucu etkiye karşı kontrol etkinliği açıkça görülmektedir. Buna karşın uç deplasman genliği de önemli ölçüde azalmıştır. Titreşimin tamamen sönümlenmesi için geçen süre yaklaşık olarak 1 saniye civarındadır. Bu rakam kirişin boyutları ve dinamik karakteristiği göz önünde bulundurulduğu zaman iyi bir kontrolcü tasarlandığını ifade etmektedir. V. Sonuçlar Ankastre olarak bağlanmış bir kirişin dinamik karakteristiklerini belirlemek için deneysel ve sayısal modal analizler yapılmıştır. Gerçekçi modele iyi bir yaklaşım için sunulan yapının modal analiz sonuçlarına göre sonlu elemanlar yöntemi ile sayısal matematiksel modeli elde edilmiştir. Model doğrulama işlemi için sayısal ve deneysel modele uygulanan bir tahrik sonucunda yapının gerçek ve simülasyon ortamında ki cevaplarının örtüştüğü görülmüştür. Akıllı kirişin aktif titreşim kontrolünde kullanılmak üzere PID ve PPF (Pozitif Pozisyon Geri besleme) olmak üzere iki farklı kontrolcü tasarlanmıştır. Farklı bozucu sinyalleri ile tahrik edilen yapının üzerindeki eş konumlu olarak tasarlanan PPF kontrolcünün, PID kontrolcüye göre daha etkili olduğu görülmüştür. Çalışmada ayrıca deneysel kontrol uygulamaları ve daha başarılı kontrolcü tasarımları için gerekli alt yapı oluşturulmuştur. Kaynakça [1] Karagulle H., MalgacaL.ve Oktem H.F.Analysis of active vibration control in smart structures by ANSYS Smart Materials and Structures.13():1 7, Ağustos. 5

6 Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 1-17 Haziran 15 [] ÜlkerF.D., YamanY., NalbantoğluV. ve KırcalıÖ.F.Akıllı Bir Plağın Burulma Titreşimlerinin Kontrolü. 1. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu, , Kayseri. Haziran 5. [3] Türker Ö. Pzt/polimer esaslı aktif titreşim kontrolüne uygun akıllı kiriş tasarımı ve imalatı. Yüksek lisans tezi, Haziran 9. [] JaliliN. Piezoelectric-Based Vibration Control: From Macro to Micro/Nano Scale Systems. Springer, 9. [5] Lüleci F. Active vibration control of beam and plates by using piezoelectric patch actuators. Yüksek lisans tezi, ODTÜ, Ocak 13. [] HongC., ShinC., ve JeongW.Active vibration control of clamped beams using PPF controllers with piezoceramic actuators. Proceedings of th International Congress on Acoustics, Sydney, 3-7 Ağustos 1. [7] SMoheimani. O.R., Vautier B.J.G., ve BhilkkajiB.Multivariable PPF Control of an Active Structure. Proceedings of the th IEEE Conference on Decision and Control, Seville, 1-15 Aralık 5.