KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

Transkript

1 KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının ortaya konulmasıyla sayılar ve şekiller dışındaki nesnelerin birbirleriyle ilişkilerini düzenleyen kuralların da en azından sayılar ve şekiller kadar geçerli matematiksel yapılar oluşturabildiği görüldü. ir matematiksel yapı, kendi içerisindeki problemlerin ve matematiksel modelleri kurulan gerçek yaşam problemlerinin çözümlerinin gerçekleştirildiği bir usa vurma ortamıdır. Kümeler kuramı da temel tanımları, aksiyomları ve bunlardan çıkarılan sonuçları ile bir matematiksel yapıdır. u kuramın temellerini 19. yüzyılda Rus asıllı lman matematikçisi Georg antor ( ) ortaya koymuştur. Kuramın yetkinleşmesi, diğer matematiksel yapılarda olduğu gibi yüzyıllar almamış, bir kaç yıl gibi kısa bir sürede gerçekleşmiştir Kümeler kuramı bağımsız bir matematiksel yapı olmasının yanında diğer yapıları da etkiledi. Diğer matematiksel yapılar kümeler kuramının kavram ve ilkeleri ile yeniden ele alındı; yeniden yapılandırıldı. u yeniden yapılanma ile matematiğin gücü arttı, ufukları genişledi. Matematiğin günümüzdeki güçlü ve görkemli varlığında kümeler kuramının payı büyüktür. iz bu bölümde kümeler kuramına, gelecek matematik konularının aktarılmasında gerekli olacağı ölçüde gireceğiz. 1

2 2.1 Temel Kavramlar Küme Kavramı Küme sözcüğü topluluk, sınıf veya yığın anlamlarına gelir. Matematikteki küme terimi de bu anlamlara gelen kavramın adıdır. Georg antor kümeyi belirli ve birbirinden farklı nesnelerin topluluğu olarak tanımlamıştır. ncak bu tanım, örneğin, bir doğru parçasının tanımı gibi zihinde kesin bir tasarım oluşturmaz. öyle, zihinde kesin bir tasarım oluşturacak küme tanımı yapılamamıştır. Tanımsız terim olarak alacağımız küme terimini örnekler ve açıklamalarla sezdirmeye çalışacağız. Kümenin elirtilmesi Etkinlik 2.1 Sınıfınızdan iki arkadaşınızla, aşağıda özelikleri belirtilen elemanların adlarını, aranızda fikir alışverişi yapmadan ayrı ayrı yazınız. Yazdıklarınızı karşılaştırarak, hangi maddelere karşılık farklı adlar yazdığınızı görünüz. Farklılıkların nedenlerini belirtiniz a. Sınıfınızdaki gözlüklü öğrenciler. b. Sınıfınızdaki en sıcakkanlı üç öğrenci. c. Sınıfınızdaki öğrencilerden dördü. d. Okulunuzdaki yaşlı öğretmenler. e. 1 den küçük bir doğal sayı. f. 8 den küçük bir doğal sayı. Örnek 2.1 şağıda belirtilen toplulukların her biri bir küme oluşturur. a. Sınıfınızdaki öğrenciler. b. İki basamaklı doğal sayılar. c. Güneş sistemindeki gezegenler. d. Evrendeki yıldızlar. e. 1 x < 10 eşitsizliğini sağlayan gerçek sayılar. f. a,,, 3, 5 ten oluşan semboller topluluğu. g. M. K. tatürk, İsmet İnönü h. 1, 2, 3, 4, 5 sayıları +Elemanları tek tek belirtilen her topluluk bir küme oluşturur. ncak, bir küme elemanlarının ortak özelikleri ile belirtilmişse, bu özelikler ayırt edici biçimde açıklanmış olmalıdır. Öyle ki, aynı koşullardaki herkes o açıklamaya dayanarak aynı kümeyi yazabilmeli Hangi nesnelerin kümenin içinde olacağının böyle kesinlikle belirtilmesine kümenin iyi tanımlanması denir. Örneğin; ursa, İzmir, Muğla bir küme oluşturduğu hâlde, Türkiye deki illerden üçü. Tanım 2.1 ir kümeyi oluşturan nesnelere bu kümenin elemanları (ögeleri) denir. Kümeler,,,... gibi büyük harflerle adlandırılırlar. Kümenin elemanları da a, b, c,... gibi küçük harflerle temsil edilirler. ir a nesnesi bir kümesinin elemanı ise bu a biçiminde, değilse bu da a biçiminde gösterilir. u ifadeler sırasıyla a eleman ve a eleman değil biçiminde okunur. ifadesi bir küme belirtmez. Çünkü bu ifadeye dayanılarak çok sayıda değişik kümeler yazılabilir. Kümelerin Gösterilmesi Kümeler, ortak özelik yöntemi, liste yöntemi ve şema yöntemi olmak üzere üç değişik yöntemle gösterilir. Kümelerin gösterilmesi derken, bunların kağıt, ekran, tahta,... üzerinde gösterilmesinden söz ettiğimiz açıktır. 2

3 Ortak Özelik Yöntemi ir kümenin bütün elemanlarının sağladığı, bu kümenin elemanı olmayan nesnelerin sağlamadığı bir özelik varsa; bu küme o özeliği belirten açık önermeden yararlanılarak yazılır. Örneğin; bir kümesinin elemanları bir p(x) açık önermesini doğru yapan elemanlardan oluşmuşsa bu küme, x p x veya x : px biçiminde gösterilir. ve : sembolleri öyle ki deyimi yerine kullanılır. kümesi, x öyle ki p x doğrudur. veya kısaca x öyle ki p x diye okunur. x p x ifadesinin içerisine yazıldığı büyük ayıraca küme ayıracı denir. Örnek 2.2 İki basamaklı doğal sayıların kümesi ise, bu küme ortak özelik yöntemi ile x x N, x iki basamaklıdır. biçiminde gösterilir. px önermesinin belirttiğine göre, örneğin, 23 ve 5 dır. Liste Yöntemi Kümenin elemanları küme ayıracının içine tek tek yazılır; elemanların arasına virgül konulur. Elemanlar istenilen sıra ile yazılabilir. ir kümede her eleman yalnız bir kere yazılır. Örnek 2.3 KZK sözcüğündeki harflerin kümesi H ise, bu küme liste yöntemi ile H K,,Z biçiminde gösterilir. Daha önce bir kümenin elemanlarının küçük harflerle gösterildiğini söylemiştik. ncak burada elemanların temsilcilerini değil, doğrudan doğruya kendi sembollerini kullandık. ir kümenin elemanlarının sayısı bunların tek tek yazılmasına olanak vermiyorsa, küme zorunlu olarak ortak özelik yöntemi ile gösterilir. ununla birlikte, bazı kümelerde kümelerin elemanlarının ortak özelikleri liste yöntemi ile de sezdirilebilir. Örnek 2.5 a. N x x bir doğal sayıdır. kümesi liste yöntemi ile N 0,1,2,3,... biçiminde yazılabilir. b. Ç x x çift tam sayıdır. kümesi Ç..., 4, 2,0,2, 4,... biçiminde yazılabilir. c. x x N, 9 x 100 kümesi 10,11,12,...,99 biçiminde yazılabilir. yıraçlar içindeki yan yana üç noktalar, elemanların sıralamasında gözlenen özeliğin aynen sürdürüleceğini belirtir. Şema Yöntemi Ortak özelik yöntemi ya da liste yöntemi ile yazılmış kümeleri şemalarla da göstermek, bu kümeler arasındaki ilişkileri kavramada kolaylık sağlar. u amaçla kullanılan şemalar, kapalı eğrilerle sınırlandırılmış düzlemsel bölgeler biçiminde seçilirler. Kümenin elemanları bu kapalı bölgeye serpiştirilmiş noktalarla temsil edilirler. u şemalar İngiliz mantıkçısı John Venn ( ) tarafından önerildiğinden Venn Şeması diye adlandırılırlar. Örnek 2.6 a. {0, 2, 4, 6, 8} kümesi Venn şeması ile yandaki gibi gösterilir Örnek 2.4 Haftanın P harfi ile başlayan günlerinin kümesi liste yöntemi ile Pazartesi,Perşembe,Pazar biçiminde yazılır. b. 0,2,4,6,8 ve 2,3,5,7 kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilir

4 Etkinlik 2.2 MTEMTİK sözcüğündeki harflerin ve NLİTİK sözcüğündeki harflerin kümelerini bildiğiniz yöntemlerle gösteriniz. Eleman Sayılarına Göre Kümeler Etkinlik 2.3 şağıda ortak özelik yöntemi ile verilmiş kümeleri liste yöntemi ile gösteriniz. g. x 90 x 96, x asal sayı h. x x R, x 2 0 i. x x 9 ve x tek doğal sayıdır. j. D x x 9 ve x tek doğal sayıdır. ir kümenin eleman sayısı hesaplama yoluyla da bulunabilir. Örneğin, x x dört basamaklı çift sayıdır. kümesi liste yöntemi ile yazılırsa, 1000,1002,1004,...,9998 olur. u kümenin eleman sayısının s() olduğunu bulabilirsiniz. Peki, örneğin x x 10, x N kümesinin elemanlarını sayabilir misiniz? Eleman sayıları bir doğal sayı ile belirtilebilen kümelere sonlu kümeler; sonlu olmayan kümelere sonsuz kümeler adı verilir. oş Küme Tanım 2.2 Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. oş küme, ve sembollerinden biri ile gösterilir. Örneğin; x x 4 metre boyunda insandır. kümesi liste yöntemi ile yazılırsa küme parantezinin içine yazılabilecek bir eleman bulunamaz. ya da olur. Örnek 2.7 a. x 2 x 9, x N kümesi sonlu küme b. x 3 x 7, x R kümesi sonsuz küme kümesi 3, 7 biçiminde de gösterilir. Örneğin; 7 kümeye dahil olmasaydı, o zaman küme 3, 7 ya da 3, 7 biçiminde gösterilecekti. c. x x yeryüzünde bir canlıdır. kümesinin elemanlarını saymak olanaksız olsa da bu küme sonlu küme d. D x x asal sayıdır. kümesi sonsuz küme Sonlu Kümeler, Sonsuz Kümeler ir kümesinin elemanlarının sayısı s sembolü ile gösterilir. Örneğin, x x 10, x N kümesi liste yöntemi ile yazılırsa; 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 olur. Kümenin elemanları sayılırsa, s 10 olduğu görülür. Doğal sayı ve sayma kavramlarını sezgisel olarak öğrenmiştiniz. Şimdi de sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını yine sezgisel olarak kavratmaya çalıştık. u kavramlar matematiğin tanımlanmış kavramlarıdır. ncak, tanımlarda 3. bölümde tanıtacağımız terimler geçecektir. u yüzden, bu tanımları 4. bölümde verebileceğiz. 4

5 Eşit Kümeler, Denk Kümeler Tanım 2.3 ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Örnek 2.9 a. Sınıfınızdaki gözlüklü kız öğrencilerin kümesi, sınıfınızdaki öğrencilerin kümesinin bir alt kümesi b. 1,2,3 ve 0,1,2,3,5 ise kümesi kümesine eşit ise bu, biçiminde; değilse bu da, biçiminde gösterilir. ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler Örnek ve x 2x 5, x N x x 7, x N kümeleri liste yöntemi ile yazılırsa, bunların aynı elemanlardan oluştuğu görülür. 0,1,2 ve 0,1,2 olup ynı sayıda elemandan oluşan kümeler denk kümeler kümesi kümesine denk ise bu biçiminde; değilse bu da biçiminde gösterilir. Eşit olan kümelerin denk olacakları açıktır. Denk kümeler teriminin tam bir tanımı 4. bölümde verilecektir. Örneğin; a,b, 12,23 ve 1,2, 3 ise ve c. a,b, c ve b, c,d,e ise ve dır. ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler. önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x,x x x,x x yazılabilir. Teorem 2.1 Her küme kendisinin alt kümesi a b c e d Teorem 2.1 i sembollerle kısaca lt Küme Tanım 2.4 ir kümesinin her elemanı bir kümesinin de elemanı ise, kümesine kümesinin bir alt kümesi denir. u durumda kümesi kümesini kapsar. ir kümesi bir kümesinin alt kümesi ise bu veya biçiminde gösterilir. İlki alt küme, ikincisi kapsar diye okunur. kümesinin kümesinde olmayan en az bir elemanı varsa, bu durum da veya biçiminde gösterilir. dır. biçiminde ifade edebiliriz. Teorem 2.2 oş küme her kümenin alt kümesi Teorem 2.2 nin sembollerle ifadesi dır. biçiminde olur. Etkinlik 2.4 şağıdaki teoremleri niceleme mantığında sembolleştirerek ispatlayınız. a. b. 5

6 Teorem 2.3 Teorem 2.3, sözle şöyle ifade edilebilir: ve kümelerinin eşit olması için gerek ve yeter koşul bu kümelerden her birinin diğerinin alt kümesi olmasıdır. Etkinlik 2.5 ve birer küme olmak üzere önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı Teorem 2.4 n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı Etkinlik 2.6 da Teorem 2.4 ü sezdiğinizi düşünüyoruz. u teoremin ispatı 8. sınıfta öğrendiğiniz 11. sınıfta daha geniş biçimde incelenecek olan permütasyon, kombinasyon, binom açılımı kavramlarını gerektirmekte Konumuzu dağıtmamak için burada bu kavramlarla ilgili ispatlamaları yapmayacağız. n 2 x, x x una göre, teoremini x x x önermesinden yararlanarak ispatlayınız. ir Kümenin lt Kümelerinin Sayısı Etkinlik 2.6 a. olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. b. {a} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. c. {a, b} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerini yazınız. d. D {a, b, c} olduğuna göre, D kümesinin alt kümelerini yazınız. e. E {a, b, c, d} olduğuna göre, E kümesinin alt kümelerini yazınız. f. ulduğunuz sonuçları kullanarak yandaki tabloyu doldurunuz. Tablodan yararlanarak n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısını tahmin ediniz. Kümenin eleman sayısı Kümenin alt kümelerinin sayısı n Elemanlı ir Kümenin r Elemanlı lt Kümelerinin Sayısı n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin her birine n in r li bir kombinasyonu denildiğini; n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısının,! n n n,r r n r! r! olduğunu 8. sınıfta öğrendiniz. Örneklerle uygulamaları hatırlatalım: Örnek elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 8! 8! ! 56 5 (8 5)! 5! 3! 5! ! bulunur. n n! r (n r)! r! formülü incelenirse; n n olduğu kolayca görülür. r n r 6

7 Örnek elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Çözüm Küme n elemanlı olsun. n n 3 6 olduğundan n 3 6 n 9 olur. 9 9! 9! ! (9 4)! 4! 5! 4! 5! bulunur. Çözüm 7 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı u toplamdaki terimleri ayrı ayrı hesaplamak yerine, eşitliğinden yararlanacağız. una göre, bulunur. 7 n r olarak alındığında n 2 r kolaylaştırılabilir. Örneğin; sayısının hesabı eşitliğinde payda ve paydada tane (r tane) çarpan olduğuna dikkat ediniz. Örnek elemanlı bir kümenin 7 elemanlı alt kümelerinin sayısını, yukarıda verdiğimiz kolaylıktan yararlanarak bulalım: Öz lt Kümeler Tanım 2.5 ir kümenin, kendisinden farklı alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 n olduğuna göre, öz alt kümelerinin sayısı da n 2 1 olur Kombinasyon tanımına göre, n n n n... n n n Kuvvet Kümesi Tanım 2.6 ir kümesinin alt kümelerinin kümesine, kümesinin kuvvet kümesi denir. kümesinin kuvvet kümesi P ile gösterilir. Örnek elemanlı bir kümenin, en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. Örneğin, a,b, c ise P(), a, b, c, a,b, a, c, b, c, a,b, c olur. 7

8 Etkinlik 2.7 a,b,c,d, e, f kümesinin, a. üç elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. b. dört elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. c. öz alt kümelerinin sayısını bulunuz. d. kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısını bulunuz. lıştırmalar ve Problemler şağıdaki ifadelerden hangileri bir küme belirtir? elirtilen kümeleri bildiğiniz yöntemlerle gösteriniz. a. Türkiye nin büyük kentleri. b. ilenizdeki erkekler. c. İki basamaklı üç doğal sayı. d. oş kümenin alt kümeleri. Etkinlik 2.8 a,b,c,d, e, f kümesinin alt kümelerin kaç tanesinde a. a bulunmaz? b. b bulunur? c. a ve b bulunur? d. a veya b bulunur? e. a veya b bulunur ve c bulunur. f. a veya b bulunur veya c bulunmaz. Etkinlik 2.9 a,b, c ve a,b,c, d,e, f, g olduğuna göre, D E koşulunu sağlayan a. kaç değişik D kümesi vardır? b. kaç değişik E kümesi vardır? c. 4 elemanlı kaç değişik E kümesi vardır? d. 5 elemanlı kaç değişik E kümesi vardır? Etkinlik 2.10 a,b, c ve a,b,c,d, e, f kümeleri veriliyor. kümesinin alt kümelerinin kaçında kümesinin, e. yalnız bir elemanı bulunur? f. yalnız iki elemanı bulunur? g. üç elemanı da bulunur? h. en az bir elemanı bulunur? e. ütün kümelerin kümesi. f tarihinde doğan çocuklar. 2. şağıdaki kümelerin eleman sayılarını belirtiniz. a. b. 0 c. 2 a,b, ab e. d. a,2a, a f. m,n, m g. a, b,c, a,b, c h. a,b, a, b, a,b 3. şağıdaki ifadelerde? işaretlerinin yerine uygun semboller koyarak doğru önermeler elde ediniz. a. a,c? a, b,c b.?,, c. 2, 3? 1,2,3, 4 d. a,b, c? b, c,d,e e. a, a,b,b, c? a,b, a,b f. a, a,b? a,b, b,a 4. şağıdaki önermelerin doğru olması için ve sembollerinin yerine hangi elemanlar konulmalıdır? a. a,,b,k,a b. 1,3,,9 3,5,,9 c.,3,5 3,5, d. 2, 4,6, 2,, 4,6 e. 2,5, 1,2,3, 4,5, 6 f. a,b, b,c,d, 5., a, a kümesinin tüm alt kümelerini yazınız. 8

9 6., a, a,b, c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur? a. a b. a,b c. d. e. a f. c g. a,b, c h., a 7. Yandaki Venn şeması ile verilen,, kümelerini liste yöntemi ile yazınız. 8. şağıda verilen kümeleri birlikte Venn şemaları ile gösteriniz. a. 1,2,3, 4, 2,3,5, 1,2,5 b. 1,2, 4, 2, 3, 4,5, 4,5, 6 c. a,b,c, b,c,d, a,d d. 3,5, 6, 1,2,5, 2, 4,5 9. şağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. 10. {a, b, c, d, e, f} kümesinin a. bir elemanlı b. iki elemanlı c. üç elemanlı d. beş elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz ,2,3, 4,5,6,7 kümesinin alt kümelerinin kaçında, a. 2 bulunur? b. 5 bulunmaz? c. 2 ve 3 bulunur? d. 3 veya 5 bulunur? e. 3 bulunmaz veya 5 bulunmaz? f. 2 bulunur veya 3 ile 5 bulunur? a b c d f e 12. a,b, c 2,4,5, c,d,e 1,3,5, a,c,e 3, 4,5 olduğuna göre a, b, c, d, e değerlerini bulunuz. 13. şağıda öz alt kümelerinin sayıları verilen kümelerin, iki elemanlı alt kümelerinin sayılarını bulunuz. a. 7 b. 31 c. 63 d ,2 ve 1,2,3, 4,5,6,7 olduğuna göre K koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? 15. 1,3,5,6, 2, 3, 4,5 ve 1,2,3, 4,5,6, 7, 8,9 kümeleri veriliyor. a. K ve K koşulunu sağlayan kaç K kümesi vardır? b. R ve R koşullarını sağlayan kaç R kümesi vardır? 16. ir kümesinin alt kümelerinin sayısı bir kümesinin alt kümelerinin sayısının 3 katından 80 fazladır. nın eleman sayısı nin eleman sayısından 3 fazla olduğuna göre, kümesi kaç elemanlıdır? 17. a,b, c ve a,b,c, d,e, f, g kümeleri veriliyor. kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaçında kümesinin a. yalnız iki elemanı bulunur? b. en çok iki elemanı bulunur? c. en az iki elemanı bulunur? d. en az bir elemanı bulunur? 18. ir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısının 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına oranı 2 : 3 tür. u kümenin en az üç elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 9

10 2.2 Kümelerde İşlemler u kısımda kesişme, birleşme, tümleme ve fark işlemlerini tanıtacağız irleşme ve Kesişme İşlemleri irleşme işlemi sembolü ile; ile kümelerinin birleşim kümesi de ile gösterilir. kümesinin elemanları ya nın ya nin ya da hem nın hem nin elemanlarıdır. una göre, kümesi ortak özelik yöntemi ile x x veya x biçiminde yazılır. Etkinlik 2.11 ir okul matematik ve fizik dallarında yarışmalara katılacaktır. Matematik takımı li, em, aşak ve Miray dan; fizik takımı da yine li ve em ile Mert ve Sinan dan oluşturulmuştur. Örnek 2.14 a. 1,3, 4 ve 0,1,2 ise 0,1,2,3, 4 olur M, matematik dalındaki yarışmacıların kümesi; F, fizik dalındaki yarışmacıların kümesi; b. a,b, c a,b,c a,b, c olur. Y, yarışmacıların kümesi; D, iki dalda da yarışacak olan yarışmacıların kümesi olduğuna göre; a. M ve F kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. b. Y kümesini şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. c. D kümesini, ayrıca çizeceğiniz şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. d. Yarışmacıların M ve F kümelerinden en az birinin ya da ikisinin de elemanları olmaları özeliklerine dayanarak, Y ve D kümelerini ortak özelik yöntemi ile yazınız. c. a,b, c ve d, e ise a,b,c,d, e olur. d. 1,2,3, 4,5 ve 2,4 ise 1, 2,3, 4,5 olur. a c b d e Etkinlik 2.12 x x, 12'nin böleni ve x x, 18'in böleni olduğuna göre; a. ve kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. b. x x, 12'nin ve 18'in böleni kümesini şema üzerinde tarayarak belirtiniz. Liste yöntemi ile yazınız. Tanım 2.7 İki kümenin tüm elemanlarının kümesine bu iki kümenin birleşim kümesi; birleşim kümesini veren işleme de birleşme işlemi denir. Tanım 2.8 İki kümenin ortak elemanlarının kümesine bu iki kümenin kesişim kümesi; kesişim kümesini veren işleme de kesişme işlemi denir. Kesişme işlemi sembolü ile; ile kümelerinin kesişim kümesi de ile gösterilir. kümesinin elemanları hem nın hem nin elemanlarıdır. una göre, kümesi ortak özelik yöntemi ile x x ve x biçiminde yazılır. 10

11 Tanım 2.9 Kesişim kümesi boş küme olan iki kümeye ayrık kümeler denir. Teorem 2.6 a. dır. b. Örneğin, a,b ve d,e, f ise ile ayrık kümeler Örnek 2.15 a. a,b,c,d ve c,d, e ise c, d olur. b. 1,2,3 1,2,3 1,2,3 olur. c. 1,2,3 ve 7, 8 ise olur. ile ayrık kümeler d. a,b,c, d,e ve c,d ise c, d olur. a b b a c d d e f e a c d b e Etkinlik 2.14 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.6 yı ispatlayınız. ( x önermesinin daima yanlış olduğuna dikkat ediniz.) Değişme Özeliği Teorem 2.7 a. dır. (irleşimin değişme özeliği) b. dır. (Kesişimin değişme özeliği) Etkinlik 2.15 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.7 yi ispatlayınız.. irleşme ve Kesişme İşlemlerinin Özelikleri Tek Kuvvet Özeliği Teorem 2.5 a. dır. (irleşimin tek kuvvet özeliği) b. dır. (Kesişimin tek kuvvet özeliği) Etkinlik 2.13 x x veya x x x ve x tanımlarından ve önerme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.5 i ispatlayınız. irleşme Özeliği Teorem 2.8 a. (irleşimin birleşme özeliği) b. (Kesişimin birleşme özeliği) irleşme özeliğine dayanılarak parantezler kaldırılabilir: ; yazılabilir. Etkinlik 2.16 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.8 i ispatlayınız.. 11

12 Dağılma Özeliği Teorem 2.9 a. (irleşimin kesişim üzerine soldan dağılma öz.) b. (irleşimin kesişim üzerine sağdan dağılma öz.) c. (Kesişimin birleşim üzerine soldan dağılma öz.) d. (Kesişimin birleşim üzerine sağdan dağılma öz.) Etkinlik 2.17 Önerme işlemlerinden yararlanarak, Teorem 2.9 u ispatlayınız.. Etkinlik 2.18 a. 0,1,2, 3 ve 1,2,3, 4 olduğuna göre, ( ) kümesini yazınız. b. a,b, c,d,e ve c, d,e, f olduğuna göre, kümesi en az kaç elemanlıdır? c. a,b,c,d, e c,d,e, f olduğuna göre, şemadaki taralı bölgeye karşılık gelen kümeyi liste yöntemi ile yazınız. Teorem 2.10 a. b. dır. c. dır. d. Etkinlik 2.19 önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x, x x ; önermesinin niceleme mantığındaki karşılığı x, x x u bilgileri kullanarak Teorem 2.10 u ispatlayınız. Etkinlik 2.20 Önerme işlemlerinden yararlanarak, a. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. b. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. c. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. d. önermesinin önermesini gerektirmediğini gösteriniz. ir örnek veriniz. Etkinlik 2.21 şağıdaki kümeleri birlikte Venn şeması ile gösteriniz. a. a,b,c, b,d, e, b, d,f b. 1,2, 2,3, 4,5, 5, 6 c. a,b,c, f, b,c, d,e, a,c,d, f d. 1,2,3, 3, 4,5,6, 2,5, 6, Evrensel Küme ve Tümleme İşlemi Etkinlik 2.22 Sınıfınızdaki kız öğrencilerin kümesi K olsun. a. Sınıfınızda K nın elemanı olmayan öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. b. Okulunuzda K nın elemanı olmayan kız öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. c. Okulunuzda K nın elemanı olmayan öğrencilerin K kümesini ve K K kümesini yazınız. d. Türkiye de K nın elemanı olmayan lise öğrencilerinin K kümesini ve K K kümesini yazınız. e. K nın elemanı olmayan tüm nesnelerin kümesini yazabilir misiniz? f. K nın elemanı olmayan nesnelerin kümesini yazabilmek için, K yı kapsayan bir kümenin verilmesi gerekli midir? Tartışınız. 12

13 Etkinlik x 3x 2x 3 0 denkleminin, a. çift doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. b. doğal sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. c. tam sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. d. rasyonel sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. e. gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümesini yazınız. Tanım 2.10 İncelenen bir konuda gerekli olabilecek tüm elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme E ile gösterilir. ir evrensel küme istenildiği kadar geniş seçilebilir. Değişik konularda seçilebilecek evrensel kümeler farklı olabileceği gibi, aynı konuda da değişik kişilerin seçeceği evrensel kümeler farklı olabilir. Hatta aynı kişi aynı konuda daha dar ya da daha geniş evrensel kümelerle çalışabilir. Örneğin; iki basamaklı asal sayılarla ilgili bir uygulamada evrensel küme; İki basamaklı tek doğal sayılar. ; İki basamaklı doğal sayılar. ; Tek doğal sayılar. ; Doğal sayılar. ; Tam sayılar. ;. kümelerinden herhangi biri olarak seçilebilir. ncak bir uygulamada bir evrensel küme seçildikten sonra, artık bu kümenin elemanları dışındaki elemanlardan söz edilemez. u küme bu uygulama için evren sayılır. İlgilenilecek her nesne bu kümenin içerisinde aranmalıdır. Herhangi bir kümeden ayırt edilmesi için, evrensel küme genellikle dikdörtgen biçiminde bir Venn şeması ile gösterilir. E Teorem 2.11 E evrensel küme ve herhangi bir küme olmak üzere; a. E b. E dır. c. E E Etkinlik 2.24 Önerme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.11 i ispatlayınız. ( x E önermesinin daima doğru olduğuna dikkat ediniz.) Tanım 2.11 E evrensel kümesi ile bir kümesi verilmiş olsun. E de olan fakat da olmayan elemanların kümesine nın tümleyeni; kümesinin tümleyenini bulma işlemine de tümleme denir. kümesinin tümleyeni ile gösterilir. u tanıma göre, x x E x x, x E 1 ve 1 x x olduğundan x x yazılabilir. E, ve kümeleri Venn şeması ile yandaki gibi gösterilirler. Örnek 2.16 E x x tam sayıdır. ve x x çift sayıdır. ise x x tek sayıdır. olur. Örnek 2.17 E 0,1,2,3, 4,5 ve 2,3,5 ise 0,1, 4 olur. Örnek 2.18 E {x x sınıfınızdaki bir öğrenci} ve {x x sınıfınızdaki gözlüklü bir öğrenci} ise {x x sınıfınızdaki gözlüksüz bir öğrenci} olur. E 13

14 Teorem 2.12 E evrensel küme ve ile herhangi bir küme olmak üzere; a. E b. c. dır. d. E e. E f. dür. Etkinlik 2.25 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak Teorem 2.12 yi ispatlayınız. irleşim ve Kesişim Kümelerinin Tümleyenleri De Morgan Kuralları Fark ve Simetrik Fark İşlemleri Tanım 2.12 ve herhangi iki küme olmak üzere, kümesinde olup kümesinde olmayan elemanların kümesine kümesinin kümesinden farkı denir. kümesinin kümesinden farkı, veya \ biçiminde gösterilir; fark diye okunur. Tanım 2.12 ye göre, x x ve x Etkinlik 2.26 E Yandaki şemada ve kümelerine karşılık gelen bölgeleri farklı doğrultulardaki çizgilerle tarayarak a., ve kümeleri arasındaki bağıntıyı bulunuz. b., ve kümeleri arasındaki bağıntıyı bulunuz. Örnek 2.19 a,b,c,d ve c,d, e ise a,b, e a b c d e a b c d e Teorem 2.13 ve herhangi iki küme olmak üzere, a. dür. b. dür. Etkinlik 2.27 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak, Teorem 2.13 ü ispatlayınız. Etkinlik 2.28 E 1,2,3, 4,5,6,7, 3,7 ve 1,2,3,5,7 olduğuna göre; a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. Etkinlik 2.29 a. 1,2,3 ve 3, 4,5 kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise diyebilir misiniz? b. a,b, c ve d, e kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise ve eşitlikleri doğru mudur? c. a,b, c, d ve kümeleri için ve kümelerini yazınız. ve eşitlikleri doğru mudur? d. 2, 4 ve 1,2,3, 4,5 kümeleri için ve kümelerini yazınız. ise eşitliği doğru mudur? 14

15 Teorem 2.14 E evrensel küme ve ile herhangi iki küme olmak üzere; a. dür. b. c. dır. d. e. E dür. f. Etkinlik 2.30 Niceleme mantığını kümelere uygulayarak veya küme işlemlerinden yararlanarak Teorem 2.14 ü ispatlayınız. Etkinlik 2.31 şağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. c. d. dür. e. f. Etkinlik 2.32 ve birer küme olmak üzere, olduğunu küme işlemlerinden yararlanarak gösteriniz. Etkinlik 2.33 Kümelerde kesişim işleminin simetrik fark işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özeliği olduğunu ispatlayınız. Etkinlik 2.34 şağıda verilen Venn şemalarında taralı bölgelere karşılık gelen kümeleri,, türünden en sade biçimde ifade ediniz. a. b. Tanım 2.13 c. d. ve birer küme olmak üzere kümesi ile kümesinin birleşimine ile nin simetrik farkı denir. ve kümelerinin simetrik farkı ile gösterilir; simetrik fark diye okunur. Tanım 2.13 ün sembolik ifadesi e. f. dır. Örnek ,2,3, 6 ve 1,3,5 ise 2,6 ve 5 2,6 5 2,5,6 olur g. h. 15

16 Etkinlik 2.35 şağıda belirtilen kümeleri hem küme işlemlerinden hem de Venn şemasından yararlanarak, en sade biçimde yazınız. a. b. c. d. e. f. g. h. Etkinlik ,3, 4, 3, 4,7, 3, 4,6, 1,2,3, 4,6,7,8 ve 2,3, 4,5, 6,7, 8,9 olduğuna göre;,, kümelerini birlikte Venn şeması ile gösteriniz. Teorem 2.15 ve herhangi iki küme olmak üzere, s s s s Etkinlik 2.38 olup, ve kümelerinin ayrık olması nedeniyle s s s s olacağını düşünerek Teorem 2.15 i ispatlayınız. Etkinlik 2.39 Yandaki Venn şemasından yararlanarak s sayısını veren bağıntıyı bulunuz. irleşim Kümesinin Eleman Sayısı Etkinlik 2.37 a. a,b, c ve d, e ayrık kümeleri için kümesini yazınız. ise s s s olduğunu gösteriniz. b. a,b,c, d,e d,e, f,g a kümeleri için d f b ve e c g kümelerini yazınız. s s s s olduğunu gösteriniz. a b c d e Teorem 2.16,, herhangi üç küme olmak üzere, s s s s s s s Etkinlik 2.40 Teorem 2.16 yı, Teorem 2.15 ten yararlanarak ispatlayınız. Etkinlik 2.41,, kümeleri için s 7, s 8, s 1, s 1 ve s Venn şemasından yararlanarak s sayısını bulunuz. 16

17 lıştırmalar ve Problemler şağıdaki şemalarda taralı bölgelerle belirtilen kümeleri sembollerle gösteriniz. 1. Evrensel küme E 0,1,2,3, 4,5,6,7, 8,9, 1,2,3, 2,3, 4,5 ve 3,5, 6 olduğuna göre; aşağıdaki kümeleri liste yöntemi ile yazınız. a. b. a. b. c. \ d. e. f. c. d. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. r. e. f. s. t. u. 2.,, kümeleri Venn şeması ile verilmiştir. d una göre, aşağıdaki kümeleri liste yöntemi ile yazınız. a b c e g. h. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. i. j. 3. şağıdaki kümeleri birlikte Venn şeması ile gösteriniz. a. a,b,c,d c,d,e, f, d, e, f,g b. 1,2,3, 2,3, 4,5, 5, 6 c. a,b,c, a,d, c,d, e d. 1,3,5,7, 2,5, 6, 3, 4,5, 6 e. a,b, c, d, e, f f. 2,3,5,7, 2,3, 4, 6,8 g. 1,2,3, 4, 1,2, 4,5, 6 2, h. a,d, d, c,d a, c,d,e, f, a,b,c,d,e 5.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. şağıdaki kümelerin her birine karşılık gelen bölgeleri, aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 17

18 6.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. 5. alıştırmada verilen kümelere karşılık gelen bölgeleri aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E 12. a,b, c ve b, c, d olduğuna göre, a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. c. kümesini yazınız. 7.,, kümeleri şemadaki gibi verilmiştir. 5. alıştırmada verilen kümelere karşılık gelen bölgeleri aynı biçimde çizeceğiniz şemalar üzerinde tarayınız. E 13. şağıdaki kümeleri en sade biçimde yazınız. (E evrensel küme) a. b. E c. E d. E e. f. 8. şağıda verilenlere göre, istenenleri bulunuz. a. a,b, c ve d,e ise? b. 1,2,3 ve 4 ise? c. 1,2,3, 4,5, 1,3 ve 2 ise? d. a,b,c, d, e, f ve a,c,e ise? 9. a. a,b, c ve b, c, d ise kümesini yazınız. b. 1,2,3, 4 ve 2, 4,5,6 ise kümesini yazınız. 14. şağıdaki kümeleri hem Venn şemasından hem de küme işlemlerinden yararlanarak en sade biçimde yazınız. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k ,2,3, 4,5 ve 3, 4,5, 6 ise kümesini yazınız. 11. a,b, d ve c, e ise kümesini yazınız ,2,3, 4 2,3, 4,5, 6 olduğuna göre, şemadaki taralı bölgeye karşılık gelen kümeyi yazınız. 18

19 16. 1,2,3, 4 ve 3, 4,5,6,7 olduğuna göre, a. en dar kümesini yazınız. b. en geniş kümesini yazınız. 20., ve kümeleri için; a. s 7, s 9, s 6, s 3, s 2 ve s 0 ise s kaçtır? b. s 5, s 6, s 8, s s 3, s 4 ve s 2 ise s kaçtır? 17. 1, 2,3, 4,5,7,9 ve 1,3,5,6,7,8,9 olduğuna göre kümesini yazınız ,2, 3, 4,5, 1,2,3, 4,5,6, = 3,4,5,7,8 olduğuna göre, kümesini yazınız. 19. ve kümeleri için; a., s 7 ve s 9 ise s en çok kaç olabilir? b., s 12 ve s 8 olduğuna göre, s en az kaç olabilir? c. s s 16 ve s s 10 olduğuna göre, s kaçtır? d.,, s 13 ve s 5 ise s() en çok kaçtır? e. s 5, s 3 ve s 9 ise s kaçtır? f. s 8, s 3 ve s 3 s ise s kaçtır? g. s 3, s 16 ve s 3 s ise s() kaçtır? h., s 8 ve s s 12 ise s() en az kaçtır? 21. 1,2,3, 4,5, 3, 4,5,6 ve 5,6,7 olduğuna göre; a. Şemadaki taralı bölgelerin birleşimine karşılık gelen kümeyi yazınız. b. Şemadaki taralı bölgelerin birleşimine karşılık gelen kümeyi yazınız ,3 ve 1,3,5 olduğuna göre; a. koşulunu sağlayan 3 elemanlı kümesini yazınız. b. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. c. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. d. koşulunu sağlayan 3 elemanlı bir kümesi yazınız. 23. ve kümeleri için; s 30, s 10 ve 3 s 4 s 2 s olduğuna göre, s() kaçtır? 19

20 24. x x 400 ve x 4k; k Z x x 600 ve x 6k; k Z, kümeleri veriliyor. a. s kaçtır? b. s kaçtır? c. s kaçtır? d. s kaçtır? 2.3 Küme İşlemleri ile Problem Çözümü u kısımda küme kavramının, ilgili problemlere nasıl uygulandığını aşağıdaki etkinlikleri yaparak öğreneceksiniz. 25. ve kümeleri için; 3, 4,5, 6,7 ve 1,2,3,5,6,7 olduğuna göre; a. kümesini yazınız. b. kümesini yazınız. 26. E evrensel küme;, ve birer küme olduğuna göre, aşağıdaki teoremleri ispatlayınız. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. D D q. D D Etkinlik kişilik sınıfta Türkçe den geçenlerin sayısı 20, matematikten kalanların sayısı 15, bu derslerin en çok birinden geçenlerin sayısı 19 dur. İki dersten de kalan öğrenci sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn Şemasında K, sınıftaki tüm öğrencilerin kümesini; T, Türkçe den geçenlerin Kümesini; M, matematikten geçenlerin kümesini göstermekte a. sm, T M, sm T, st M sayılarını sırasıyla bularak ait oldukları alt kümelere karşılık gelen bölgelerin içine yazınız. b. İki dersten de kalan öğrenci sayısını bulunuz. Etkinlik kişilik bir sınıfta öğrencilerden her biri müzik ve resim kurslarından en az birine katılmaktadır. Müzik kursuna katılanların sayısı resim kursuna katılanların sayısından 4 fazla olup her iki kursa da katılan öğrenci sayısı 6 dır. Müzik kursuna katılan öğrenci sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn şemasında M, müzik kursuna; R, resim kursuna katılanların kümesi M a. sm x diyerek, sr yi ve sr M yi x türünden yazınız. b. sm, sr M ve sm R arasındaki bağıntıyı kullanarak x sayısını bulunuz. K T M R 20

21 Etkinlik 2.44 ir sınıftaki öğrencilerin kümesi ile bu sınıfta, ve derslerinden kalan öğrencilerin kümeleri yandaki Venn şemasında gösterilmiştir. yrık alt kümelere karşılık gelen bölgelerdeki harfler bu alt kümelerin eleman sayılarını göstermekte a. Yalnız bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. b. En çok bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. c. En az bir dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. d. Yalnız iki dersten kalan öğrencilerin sayısını ve- ren harfli ifadeyi yazınız. e. En çok iki dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. f. En az iki dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. g. Üç dersten de kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. h. En çok üç dersten kalan öğrencilerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. E a y x k c z b t s s olduğundan bu kümelerin eleman sayıları aynı k harfi ile gösterilmiştir. a. Satılan gazetelerin toplam sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. b. Dairelerin sayısını veren harfli ifadeyi yazınız. c. En az iki gazete alan dairelerin sayısını bulunuz. Etkinlik 2.46 Türk ve lman öğrencilerden oluşan bir grubun %30 u lman, %40 ı kızdır. lman erkeklerinin sa-yısı Türk kızlarının sayısından 3 eksik, Türk erkek-leri ile lman kızlarının toplam sayısı 19 dur. a. Gruptaki öğrencilerin kümesi yandaki şema ile gösterilirse; I, II, III, IV numaralı alt kümeler hangi öğrencilerden oluşur? Kız öğ. Erkek öğ. b. Gruptaki öğrencilerin sayısını 10x ile, Türk kızlarının sayısını y ile göstererek; I, II, III, IV numaralı alt kümelerin sayılarını veren harfli ifadeleri bunlara karşılık gelen bölgelere yazınız. c. Gruptaki öğrencilerin sayısını bulunuz. Türk lman I. II. d. Gruptaki Türk kızlarının sayısını bulunuz. III. IV. Etkinlik daireli bir apartmanda,, gazetelerinden toplam 70 tane satılmaktadır. Gazete almayan dai-relerin sayısı ile üç gazete alan dairelerin sayısı eşittir. En az iki gazete alan dairelerin sayısı bulunacaktır. Yandaki Venn şemasında E dairelerin kümesini;,, bu gazeteleri alan dairelerin kümelerini; a, b, c, x, y, z, k ayrık alt kümelerin eleman sayılarını göstermekte (ynı türden bölgelere a, b, c,...; x, y, z,... gibi birbirlerini çağrıştıran harfler yazıldığına dikkat ediniz.) E a y x k c z b t 21

22 lıştırmalar ve Problemler Hasta ziyaretine giden 12 kişilik bir grupta herkesin elinde çiçek vardır. unlardan 9 unda gül, 7 sinde karanfil bulunduğuna göre kaçında hem gül hem de karanfil bulunur? 7. ir sınıfın bütün öğrencileri,, derslerinin en az birinden kalmıştır. ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 15, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 12, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 11 ve her üç dersten de kalan öğrenci sayısı 5 olduğuna göre, bu üç dersin yalnız ikisinden kalan öğrenci sayısı kaçtır? 2. ir gazete dağıtıcısı ve gazetelerinden 32 tanesini 23 kişiye satmıştır. Okurlardan kaçı yalnız bir gazete almıştır? 8. ir sınıfta İngilizce bilen öğrenci sayısı lmanca bilen öğrenci sayısından 7 fazladır. İngilizce bilmeyen öğrenci sayısı 12 olduğuna göre, lmanca bilmeyen öğrenci sayısı kaçtır? 3. ir grupta İngilizce bilen 7 kişi, lmancı bilen 12 kişi, bu iki dili de bilen 6 kişi bulunduğuna göre, bu grup en az kaç kişidir? kişilik sınıfta, resim kursuna gidenlerin kümesi R, müzik kursuna gidenlerin kümesi M olmak üzere; sr 13, sm 16 ve sr M 8 ise bu kurslardan hiçbirine gitmeyen öğrenci sayısı kaçtır? 5. ir sınıftaki 32 kişiden 18 inin bisikleti, 17 sinin bilgisayarı vardır. unlardan; a. en az kaçının, b. en çok kaçının hem bisikleti, hem de bilgisayarı olabilir? 9. veya dilini bilenlerin oluşturduğu bir grupta yalnız dilini bilenlerin sayısı 6, yalnız dilini bilenlerin sayısı 8 Grubun üyelerinin sayısı, hem hem dillerini bilenlerin sayısının 3 katı olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? 10.,, dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu bir grupta, dilini bilenlerin her biri dilini de bilmekte; dilini bilmemekte dilini bilenlerin sayısı 8, dilini bilenlerin sayısı 13, dilini bilenlerin sayısı 11, ve dillerinden ikisini de bilenlerin sayısı 4 tür. una göre, grup kaç kişidir? 11. ve dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu kızlı erkekli bir grupta, gözlük kullananlar vardır. { dilini bilenler}; 6. ir sınıftaki öğrencilerden 17 si Matematik veya Türkçe derslerinden kalmıştır. Matematikten kalan öğrenci sayısı, Türkçeden kalan öğrenci sayısından 3 fazladır. Öğrencilerin 4 ü hem Türkçe hem de Matematikten kaldığına göre, yalnız Matematikten kalan öğrenci sayısı kaçtır? { dilini bilenler}; K {Gruptaki kızlar}; E {Gruptaki erkekler}; G {Gözlük kullananlar} olduğuna göre, { dilini bilmeyen dilini bilen gözlüksüz erkekler} kümesini,, K, E, G kümeleri ile ifade ediniz. 22

23 12. Kız veya erkek Türkler ile kız veya erkek lmanlardan oluşan bir grubun üyelerinden bir kısmı mavi gözlüdür. b. Verilen bilgilerle sınıftaki gözlüklü erkek öğrencilerin sayısı bulunabilir mi? K {Gruptaki kızlar}; E {Gruptaki erkekler}; T {Gruptaki Türkler}; {Gruptaki lmanlar}; M {Gruptaki mavi gözlüler} olduğuna göre, {Gruptaki mavi gözlü olmayan lman erkekler} kümesini K, E, T,, M kümeleri ile ifade ediniz daireli bir apartmanda her daire ve gazetelerinden en çok ikisini almaktadır. gazetesini alan daire sayısı, gazetesini alan daire sayısından 6 fazladır. İki gazete alanların sayısı 6, hiç gazete almayanların sayısı 12 olduğuna göre, gazetesini alan daire sayısı kaçtır? kişilik bir sınıfta öğrencilerin 10 u matematikten, 6 sı fizikten kalmıştır. u derslerin ikisinden de geçen öğrenci sayısı, ikisinden de kalan öğrenci sayısının 5 katıdır. Yalnız matematikten kalan öğrenci sayısı kaçtır? kişilik bir grupta İngilizce bilenlerin sayısı, lmanca bilenlerin sayısının 3 katıdır. u grupta her iki dili bilenler 4 kişi, bu dilleri bilmeyenler 6 kişi bulunduğuna göre, yalnız İngilizce bilenler kaç kişidir? 18. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 15 kişilik bir grupta; lmanca bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin sayısının 2 katından 2 eksik olup iki dili de bilenlerin sayısının 3 katıdır. u grupta yalnız Fransızca bilenlerin sayısı kaçtır? 19. ir sınıftaki 32 öğrenciden 18 inin bisikleti, 17 sinin bilgisayarı vardır. unlardan ikisine de sahip olanların sayısı, hiçbirine sahip olmayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, ikisine de sahip olanların sayısı kaçtır? 15. ir sınıftaki öğrencilerin % 60 ı Matematik dersinden, % 80 i Türkçe dersinden başarılı olmuştur. Her iki dersten başarılı olanların sayısı, bu iki dersten de başarısız olanların sayısından 12 fazladır. a. İki dersten de başarılı olanların sayısı en çok kaç olabilir? b. İki dersten de başarılı olanların sayısı en az kaçtır? 16. ir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız, % 30 u gözlüklüdür. Gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısından 3 fazla olduğuna göre, 20. ir sınıftaki 28 öğrencide kurşun kalem ve tükenmez kalemden en az biri bulunmaktadır. Kurşun kalemi bulunanların sayısı, tükenmez kalemi bulunanların sayısından 4 fazla olup hem kurşun hem tükenmez kalemi bulunanların sayısı, yalnız tükenmez kalemi bulunanların sayısına eşittir. Yalnız kurşun kalemi bulunanlar kaç kişidir? 21. ir sınıftaki öğrencilerin % 75 i müzik kursuna, % 60 ı resim kursuna, % 40 ı hem müzik hem resim kursuna gitmekte 2 öğrenci bu kursların hiçbirine gitmediğine göre, yalnız müzik kursuna giden öğrenci sayısı kaçtır? a. Sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır? 23

24 22. lmanca ve İngilizce dillerinden en az birini 3 bilenlerin oluşturduğu bir grubun 4 ü lmanca, 2 ü İngilizce bilmekte 3 Yalnız lmanca bilenlerin sayısı 16 olduğuna göre, yalnız İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? 26. Piyano, gitar ve kemandan en az birini çalabilenlerin oluşturduğu bir toplulukta, piyano ve gitar çalabilen 7 kişi, gitar ve keman çalabilen 6 kişi, piyano ve keman çalabilen 5 kişi, piyano veya gitar çalabilen 21 kişi, gitar veya keman çalabilen 19 kişi, piyano veya keman çalabilen 18 kişi bulunmaktadır Türk ve 8 lmandan oluşan bir grupta 9 kadın vardır. unların üçünü de çalabilen 4 kişi bulunduğuna göre, toplulukta kaç kişi vardır? Türk kadınların sayısı, lman erkeklerin sayısından kaç fazladır? 24. ir köydeki evlerin % 45 inde televizyon, % 50 sinde telefon bulunmaktadır. hem televizyonu hem telefonu olan ev sayısı 16 dır. Telefonu olan ev sayısı, televizyonu olan ev sayısından 4 fazladır. a. Köyde kaç ev vardır? b. Kaç evde televizyon da, telefon da yoktur? 27. ir sınıfta dersinden kalan öğrencilerin hepsi veya dersinden de kalmıştır. Hem hem dersinden kalan öğrenci yoktur. Öğrencilerin 8 i yalnız dersinden, 7 si yalnız dersinden, % 50 si dersinden kalmış; % 20 si bu üç dersten geçmiştir. dersinden kalan öğrenci sayısı, dersinden kalan öğrenci sayısından 6 fazla olduğuna göre; dersinden kalan öğrenci sayısı kaçtır? kişilik bir sınıfta; dersinden kalan öğrenci sayısı 20, dersinden kalan öğrenci sayısı 23, dersinden kalan öğrenci sayısı 27, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 12, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 13, ve derslerinden kalan öğrenci sayısı 15 tir. u derslerin üçünden de geçen öğrenci sayısı 2 olduğuna göre, üçünden de kalan öğrenci sayısı kaçtır? 28. ir yazarlar grubunda roman yazmayanların sayısı 16, şiir yazmayanların sayısı 14, deneme yazmayanların sayısı 16 dır. u türlerden yalnız birini yazanların sayısı 11, en az ikisini yazanların sayısı 13 olduğuna göre; bu türlerden yazmayanların sayısı en az kaçtır? 24