OLASILIK. Olasılık sonucu önceden kestirilemeyen gözlem ya da denemelerde ortaya çıkabilecek her bir mümkün durum için:

Transkript

1 ölüm 4 OLASILIK 1

2 OLASILIK Anakütle hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebebi ana kütledeki elemanların ilgilenilen özellik açısından farklılıklar göstermesi ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılabilmesidir.. 2

3 OLASILIK Olasılık; sonucu önceden kestirilemeyen herhangi bir deneyin uygulanması sonucunda gözlenebilecek farklı durumlar ile hangi sıklıkla karşılaşılacağı bir başka ifadeyle ortaya çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına gelir. 3

4 OLASILIK Olasılık sonucu önceden kestirilemeyen gözlem ya da denemelerde ortaya çıkabilecek her bir mümkün durum için: atanan bir ölçüdür. ya da meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 4

5 OLASILIK 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalı olarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamada önemli uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Madeni paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, ir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın en az birinin papaz olma olasılığı, Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.??? 5

6 Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarak kestirimlenemeyen bir çıktı şans değişkeni oluşturan bir eylem, gözlem ya da süreçtir. Örnek: Madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan bir taş çekilmesi. ÖRNEK UZAYI: Sonucu önceden kestirilemeyen bir deneyin sonucunda karşılaşılabilecek tüm mümkün durumların oluşturduğu kümedir. Genellikle S ile tanımlanır. 6

7 Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı; Sayılabilir sonlu elemanlı örnek uzayı Sayılabilir sonsuz elemanlı örnek uzayı kesikli şans değişkeni örnek uzayı Sayılamaz sonsuz elemanlı örnek uzayı sürekli şans değişkeni örnek uzayı olarak ifade edilir. 7

8 x : herhangi bir gün içinde yağmur yağması x = 0 yağmur yağmaz x = 1 yağmur yağar Örnek Uzayı; S = { x / 0, 1 } veya S = { e / Yağmursuz, Yağmurlu } olarak belirlenir ve sayılabilir sonlu bir örnek uzayıdır. 8

9 x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S = { x / 1,2,3,.. } olarak belirlenir ve sayılabilir sonsuz bir örnek uzayıdır. kesikli şans değişkeni x : öğrencilerin boyları Örnek Uzayı; S = { x / 150 < x < 200 } olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek uzayıdır. sürekli şans değişkeni 9

10 Temel Tanımlar ve Kavramlar ASİT OLAY: ir deneyin çıktısı daha basit bir çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa basit olaydır. Diğer bir deyişle örnek uzayının her bir elemanı tek başına bir basit olayı tanımlar. Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu 2 gelmesi, ir deste iskambil kağıdından çekilen kağıdın maça as olması. OLAY: irden fazla basit olayın bir araya gelmesi sonucu oluşur. Örnek: hilesiz bir zarın atılması sonucu asal sayı gelmesi, içinde 5 sarı 7 lacivert bilye bulunan torbadan 2 bilye çekildiğinde birinin sarı birinin lacivert olması. 10

11 Temel Tanımlar ve Kavramlar Ayrık Olay: Eğer ir S örnek uzayında tanımlı A ve gibi iki olay aynı anda geçekleşemiyor ise bu olaylara ayrık birbirini engelleyen olaylar denir Örnek: Madeni para atılması sonucunda yazı ve tura gelmesi ayrık olaylardır. 11

12 Temel Tanımlar ve Kavramlar Eşanlı bileşik Olay: Eğer ir S örnek uzayında tanımlı A ve gibi iki olay aynı anda geçekleşebiliyor ise bu olaylara eşanlı bileşik olaylar denir Örnek: Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi olayları ayrık olaylar değildirler. Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler. 12

13 Temel Tanımlar ve Kavramlar irbirini ütünleyen Tümleyen Olaylar: S örnek uzayı üzerinde bir A olayı tanımlanmış olsun. A olayının dışında kalan elemanlar ise A olayı ile tanımlanmış olsun. A olayına A olayının tümleyen olayı adı verilir. Tüm basit olaylar A veya A olaylarının içerisinde yer aldığı için A olayı aynı zamanda A olayının bütünleyen olayıdır. 13

14 Temel Tanımlar ve Kavramlar Eşit Olasılıklı Olaylar: ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma şansı eşit ise bu olaylara eşit olasılıklı olaylar denir. Örnek: ir deste iskambil kağıdından bir adet kağıt çekilmesi. Not: Şans oyunları eğer hilesiz ise eşit olasılıklı olaylardır. 14

15 Olasılık için Notasyon olasılığı temsil eden semboldür. A,, ve C örnek uzayı üzerine tanımlı olayları sembolize eder. A - A olayının meydana gelmesi olasılığını ifade eder. 15

16 Olasılığın Limitleri İmkansız bir olayın olasılığı 0 dır. Kesin bir olayın olasılığı 1 dir. ir A olayı için 0 A 1. 16

17 Olasılığın İki Temel Kuralı; 1 Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1 arasındadır. 2 ir örnek uzayındaki tüm basit olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. DİKKAT!!!! Hiç bir olayın OLASILIĞI 1 den büyük olamaz!!!! 17

18 Olasılığın Gelişim Aşamaları Klasik A riori Olasılık Frekans A osteriori Olasılığı Aksiyom Olasılığı NOT:u sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır. 18

19 Klasik Olasılık Eğer bir örnek uzayı ns adet sonlu sayıda eşit olasılıkla ortaya çıkan basit olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındaki basit olaylardan na adedi A olayının özelliğine sahip ise A nın olasılığı: A = na / ns kesri ile elde edilir. 19

20 Örnek: ir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adet beyaz bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyenin sarı olma olasılığı nedir? A: Çekilen bir bilyenin sarı olması ns: Örnek uzayı eleman sayısı = 15 na: Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5 n A 5 1 A n S

21 Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından dolayı yetersizdir. 21

22 Ne Yapılabilir? Araştırılan anakütle üzerinde tekrarlı deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz edilmek üzere kayıt edilmelidir. 22

23 Frekans Olasılığı Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı na defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı yaklaşık olasılığı: A = na / n olarak bulunur. 23

24 Örnek: ir fabrikanın üretmiş olduğu televizyonların hatalı olma olasılığı H nedir? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klasik olasılığa göre eşit olasılıklı olaylar H=0.5 olup gerçeği yansıttığı şüphelidir. Yapılması gereken örneklem alarak fh= nh / n Göreli frekansı hesaplamaktır. 24

25 üyük Sayılar Kanunu ir deney dizisi tekrarlandıkça, göreli frekans değeri gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir. 25

26 Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça A olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. u duruma kararlılık özelliği adı verilir. ir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının alacağı limit değer olarak tanımlanır: A = lim n na / n 26

27 Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir? Göreli frekansın kararlılık değerine ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir. Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile gerçekleştirildiğinde elde edilen göreli frekanslardan hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir? 27

28 Aksiyom Olasılığı Nedir? Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar. u teorinin oluşturduğu onayladığı ideal modeller yaşadığımız dünyanın olasılık problemlerini çözmede kullanılır. 28

29 Aksiyomlar Aksiyom 1: A örnek uzayı S deki her A olayı için A0 olan bir gerçel sayıdır. Aksiyom 2: S=1 { =0 } Aksiyom 3: Eğer A 1,A 2,...Olaylarının her biri S deki ayrık olaylar ise,diğer bir deyişle A i A j = tüm ij için ise, A 1 A 2...=A 1 +A

30 Sadece Aksiyomlar Yeterli mi? HAYIR u aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir A olayı için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinim vardır 30

31 azı Temel Olasılık Aksiyomları 1. S = 1 2. = 0 3. A olayının tümleyeni A olarak gösterilir. A 1 A 4. A ve herhangi iki olay olmak üzere; A U = A + A 5. A ve ayrık iki olay ise; A U = A + 31

32 enzer Koşullarda Tekrarlı Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Çok hoşlandığınız bir arkadaşınızla çıkma olasılığı nedir? Fenerbahçe - Galatasaray maçının 6-0 bitmesi olasılığı nedir? 32

33 Subjektif Olasılıklar A olayının meydana gelme olasılığı A, konu ile ilgili bilgileri ve inanışlarına bağlı olarak belirlenir. Örnek: Kişisel yatırımcıların hiçbiri borsanın gelecekteki davranışı konusunda aynı görüşü paylaşmaz. u kişilerin subjektif olasılıkları, ulaşabildikleri bilgiye ve onu yorumlama biçimlerine bağlıdır. 33

34 Oranlar Özellikle bahis oyunlarında olasılıklar, oranlar ile açıklanır. Organizatörler her üç sonuç için kendi değerlendirmelerine göre birer olasılık subjektif belirliyorlar. Ev sahibi galibiyeti=.60, beraberlik=.25, deplasman galibiyeti=.15 gibi. Ev sahibinin kazanması olayı E olsun. u durumda E nin lehindeki oran, E/1-E, E nin aleyhine oran 1-E/E olur. 34

35 Örnek Uzayı ve Olay Sayısını elirleyen Sayma Yöntemleri Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı olayların geçerli olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlgilenilen olayın eleman sayısının belirlenmesi gereklidir. Kullanılan iki temel prensip; 1 Toplama Yöntemi 2 Çarpma Yöntemi 35

36 Toplama Yöntemi ir A olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ayrık olaylar ise; A veya olayı n + m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: İstanbul dan İzmir e 2 farklı tren seferi, 4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve 1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göre İstanbul dan İzmir e kaç farklı şekilde gidilir? = 47 36

37 Çarpma Yöntemi ir A olayı m farklı şekilde, başka bir olayı da n farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar ise; A ve olayı n * m farklı şekilde oluşabilir. Örnek: ir iskambil destesinden çekilen iki kartın birinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklı şekilde gerçekleşebilir? 13 * 13 =169 NOT: Çarpma yöntemi eşanlı olaylar için kullanılır. 37

38 Örnek Uzayı ve Olay Sayısının üyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemleri; ermütasyon Kombinasyon 38

39 Notasyon Faktöriyel sembolü! Azalan pozitif tamsayıların çarpımını ifade eder. Örneğin, 4! Tanım gereği, 0! = 1. 39

40 ermütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri sadece bir kez kullanılmak üzere gerçekleştirilen her bir dizilişe permütasyon seçme ve sıralama adı verilir. S={a,b,c} ise b,a,c ya da c,b,a birer permütasyondur. 40

41 ermütasyon n nesnenin mümkün sıralamalarının permütasyonlarının sayısı: n n-1 n nn-1n =n! n n = n! 41

42 Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek sıralamaların permütasyon sayısı şu şekilde hesaplanır: n x n! n x! Kullanıldığı durumlar İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemli 42

43 Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarışmasında ilk üç dereceye girenler kaç farklı şekilde belirlenir? 8! 8 3 8*7* ! Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur? 6! 6 4 6*5* 4* ! =360 43

44 Çok Terimli Kuralı n nesne verilmiş olsun. u n nesnenin n 1 tanesi birinci çeşit, n 2 tanesi ikinci çeşit,... n k tanesi k. çeşit olsun. k grup ve her bir grupta sırayla n 1, n 2,... n k nesne olacaktır. Tümü birlikte alınan n nesnenin permütasyonlarının sayısı n! n 1!. n 2! n k! 44

45 52 kartlık standart bir deste 4 oyuncu arasında kart tiplerine göre kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 45

46 Kombinasyon n adet nesne arasından seçilen x tanesinin kombinasyon sayısı C n x ile gösterilir. Sıralama önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak ifade edilir. u sayı şu şekilde hesaplanır: n C x n! n x! x! Kullanıldığı durumlar; İadesiz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsiz 46

47 Örnek: eş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilir? 5! 5*4*3*2 5 3!3! 2*3*2 5C3 10 Örnek: 10 bay ve 5 bayan arasından 2 bay ve 1 bayan üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde oluşturulur? 10! 10*9 10 2!2! 2 10C2 5! 5 1!1! 5C bay arasından 2 bay 5 bayan arasından 1 bayan Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde oluşturulur. 47

48 Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisi arasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır. Rasgele bir seçim yapıldığında komisyonda çoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir? 5 işletme 0 iktisat, 4 işletme 1 iktisat, 3 işletme 2 iktisat C C C C 5 18 C C C C C 0,62 48

49 İADELİ yada TEKRARLI k farklı sonuç veren bir deney r kez tekrar edilirse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; olarak hesaplanır. DENEMELER k r Örnek: ir zarı 3 kez attığımızda ortaya çıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 3 = 216 adettir. Örnek uzayının eleman sayısı 216 dır. 49

50 50 Şartlı Olasılık A ve gibi iki olaydan olayının gerçekleştiği bilindiği durumda A olayının gerçekleşmesi olasılığına A olayının şartlı olasılığı denir. A / ile gösterilir. A nın gerçekleştiği bilindiğinde nin ortaya çıkma olasılığı; / A A / A A A. /. / A A A A

51 Örnek: ir üniversitede okuyan öğrencilerin % 70 i tiyatroya, % 35 ise sinemaya ilgi duymaktadır. a ir öğrencinin sinemaya ilgi duyduğu bilindiğinde tiyatroya ilgi duyma olasılığı 0,40 ise her iki aktiviteye birden ilgi duyma olasılığı nedir? b ir öğrencinin tiyatro veya sinemaya ilgi duyma olasılığı nedir? T:Tiyatroya ilgi duyma S:Sinemaya ilgi duyma T = 0,70 S = 0,35 a T / S = 0,40 T S =? T/S T S S T S T/S *S 0,40*0,35 0,14 b T U S T S - T S 0,70 0,35-0,14 0,91 51

52 Şartlı Olasılıkların ilindiği Durumlarda Tek ir Olayın Olasılığının ulunması Aşağıdaki şekilde A olayının birbiriyle ayrık olan 5 farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür. 2 1 A

53 53 A olayı her bir olayı ile kesişimleri cinsinden ifade edildiğinde; birbirini engelleyen olayların birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre A A A A. / i i i A A / / / / / A A A A A A

54 Örnek: ir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir. 1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır. Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı nedir. A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı A =? i = Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi 1 = = 1 olduğundan; 1 = 0,50 2 = 3 = 0,25 olarak elde edilir. A A/ 1 1 A/ 2 2 A/ 3 3 A= =0,025 Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır. 54

55 55 ayes Teoremi Sonucun bilindiği durumda sebebin hangi olasılıkla hangi olaydan meydana geldiği ile ilgilenir. Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan gelmesinin olasılığı araştırıldığında ayes Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır. k i i i i i i i A A A A A 1 / / /

56 Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma olasılığı; /A 1 A/ 1 1 A/ 1 1 A/ 2 2 A/ 3 3 /A ,40 56

57 ağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan birinin gözlenip gözlenmemesinin olasılığı diğer bir olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etkilemiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. A / = A ve / A = olur. A ve olayları bağımsız ise bir başka ifadeyle olayının meydana gelme olasılığı A olayının meydana gelme olasılığına bağlı değil ise ve iki olay aynı anda meydana gelebiliyor ise; A = A /. = / A. A Sonuç olarak A ve olayları bağımsız iseler A = A. eşitliği elde edilir. Aynı şekilde A = A. ise A ve 57 olayları bağımsızdır denir.

58 Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıkları sırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikte ateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir? A = Ali nin hedefi vurması A = 0,65 C = Can ın hedefi vurması C = 0,40 A U C =? A U C = A + C A C Ali ile Can nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan; A C = A. C = 0,65 * 0,40 = 0,26 A U C = 0,65 + 0,40 0,26 = 0,79 58

59 üyük anakütlelerden küçük örnekler Eğer örnek miktarı anakütlenin %5 inden az ise, seçim işlemini bağımsız olarak varsayabiliriz. gerçekte seçimler iadesiz ve dolayısı bağımlı olsalar bile 59