Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Transkript

1 1

2 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei elemlrı dı verilir. Öreği hftı güleri topluluğu ir küme olup elemlrı pzr, pzrtesi, slı, çrşm, perşeme,cum ve cumrtesidir. Kümeler A, B, C,... gii üyük hrfler ile, elemlrı ise c...,, gii küçük hrflerle gösterilir. Bir esesi ir A kümesii elemı ise yi A kümesii içide ise A,değilse A ile gösterilir. Bir A kümesi üç yrı şekilde ifde edilir. Öreği 5 de küçük rkmlrı kümesi ; 1) Liste yötemi ile : A = {0,1,,3,4 } ) Geelleme (ortk özellik) yötemi ile : A = { x x,5 de küçük rkm} 3) Ve Şemsı ile:

3 şeklide gösterilir. Burd A,4 A fkt 8 A dır. Kümeyi oluştur vrlıklrı syısı kümei elem syısı deir. A kümesii elem syısı sa ( ) ile gösterilir. Elem syılrı solu ol kümelere solu küme, elem syılrı sosuz ol kümelere sosuz kümeler deir. H = { x x, hftı güleri } kümesii elem syısı sh ( ) = 7 dir. Bu küme, H ={ Pzr,Pzrtesi,Slı,Çrşm,Perşeme,Cum,Cumrtesi } olup solu ir kümedir. Hiç elemı olmy kümeye oş küme deir. Ø vey { } semolleride iriyle gösterilir. Öreği oyu 4 metre ol islrı kümesi oş küme olup elem syısı 0 dır. Öyle ise s (Ø) = 0 dır. Tım : A ve B iki küme olmk üzere A kümesii her elemı B kümesii de elemı ise A kümesie B kümesii lt kümesi dir deir ve A B ile gösterilir. A kümesi B kümesii lt kümesi değilse A B şeklide gösterilir. Örek : A= {1,,3,4,5}, B = {1,,4}, C = {4,5,6} kümeleri içi B A dır fkt B C dir. Alt Küme Özellikleri 1) Ø A ) A A 3) A B ve B A ise A = B 3

4 4) A B ve B C ise A C 5) Bir A kümesii lt kümelerii syısı ( ) S A ile hesplır. Örek : { c,, } A = kümesii lt kümeleri, A,{ },{ },{ c},{, },{ c, },{ c, }, olup ulrı syısı sa= ( ) 3 olduğud ( ) S A = 3 = 8 dir. Tım : Bir kümei kedisi dışıdki ütü lt kümelerie u kümei özlt s( ) kümeleri deir.o hlde ir A kümesii özlt kümelerii syısı A 1 ile hesplır. Tım : Bir A kümesii tüm lt kümelerii kümesie kuvvet kümesi deir ve PA ( ) ile gösterilir. Öreği, A = {, xy} kümesii kuvvet kümesi, PA ( ) = {Ø, A,{ x},{ y}} şeklidedir KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Tım : Üzeride işlem ypıl ve tüm kümeleri kpsy kümeye evresel küme deir ve E ile gösterilir. Tım : E evresel küme, A evresel kümei lt kümesi olmk üzere E kümesii A kümeside olmy elemlrıı kümesie A kümesii tümleyei deir ve A ile gösterilir 4

5 Örek: E = { x x< 9, x rkm } ve A = { x x< 9, x tek syılr } ise Tım : İki yd dh fzl kümei ütü elemlrıd oluş yei kümeye irleşim kümesi,ortk elmlrı oluşturduğu kümeye de kesişim kümesi deir. A ve B kümeleri içi ; Birleşim kümesi, A B = { x x A vey x B} Kesişim kümesi, A B= { x x A ve x B} A B kümesi A B kümesi şeklide ifde edilir. Eğer A B = Ø ise A ve B kümelerie yrık kümeler deir. A B = Ø ( A ile B yrık) 5

6 Tım : A ve B iki küme olsu. A kümeside ol fkt B kümeside olmy elemlrı kümesie A frk B kümesi deir ve A \ B = { x x A ve x B } şeklide ifde edilir. A \B Kümesi Örek : A ={1,,3,4} B ={3,4,5,6} kümeleri içi ; A B = {1,,3,4,5,6} A B = {3, 4} A\ B A B B\ A A\ B= { 1,} B\ A= { 5,6} dır KÜMELER İLE İLGİLİ TEMEL ÖZELLİKLER 1) A B= B A B A= A B (Değişme özelliği) ) ( A B) C = A ( B C) ( A B) C = A ( B C) 3) A ( B C) = ( A B) ( A C) A ( B C) = ( A B) ( A C) (Birleşme özelliği) (Dğılm Özelliği) 6

7 4) A A= A A A= A (Tek kuvvet özelliği) 5) A = A A = 6) A E = E A E = A 7) ( A B) = A B (De Morgo Kurllrı) ( A B) = A B 8) sa ( B) = sa ( ) + sb ( ) sa ( B) 9) s( A B C) = s( A) + s( B) + s( C) s( A B) s( A C) s( B C) + s( A B C) 1.. SAYILAR SAYI KÜMELERİ ={0,1,,3,...} kümesii her ir elemı ir doğl syı deir. ={-3,-,-1,0,1,,3,...} kümesii her ir elemı ir tmsyı deir. Bulrd + ={1,,3,...} kümesii her ir elemı pozitif tmsyı, ={...,-3,-,-1} kümesii her ir elemı egtif tmsyı deir. Sıfır syısı ir tmsyı olup e pozitif e de egtiftir. Yi işreti yoktur. =,, 0 kümesii her ir elemı ir rsyoel syı deir. 5, 1,5,3,0,... irer rsyoel syıdır. 4 = x x,,, 0 kümesii her ir elemı ir irrsyoel syı deir., 3 3 3, 10,e, π,... syılrı irer irrsyoel syıdır. 7

8 = kümesii her ir elemı ir reel (gerçel) syı deir. Syı doğrusu reel syılr kümesii temsil eder ,8,,-1,-, 3, 5,... syılrı irer reel syıdır Tım : Syı doğrusu üzeride sıfırd üyük syılr pozitif syılr,sıfırd küçük syılr d egtif syılr deir. Bir syısı içi i) >0 ii) <0 iii) =0 durumlrıd ylızc iri mevcuttur Tım : 1 ve kediside şk ölei olmy syılr sl syı deir. A ={,3,5,7,11,13,...} kümesii elemlrı irer sl syıdır. Asl syılr kümesii e küçük elemı olup de şk çift sl syı yoktur REEL SAYILARIN ÖZELLİKLERİ ve irer reel syı olmk üzere ; 1) >0 ve >0 ise + >0; >0; >0 dır. ) <0 ve <0 ise + <0, >0, >0 dır. 3) >0 ve <0 ise <0, <0 dır. 4) >0 ve ise > 0 dır. 5) <0 ve tek doğl syı ise < 0 dır. 8

9 6) <0 ve çift doğl syı ise > 0 dır. Örek : xy ² ³ < 0, xy ³ > 0 ve x y z > 0 ise x, yz, i işretleri edir? Çözüm : xy< ² ³ 0 ise,her x içi x ² > 0 olduğud y ³ < 0 ise y < 0 dır. xy> ³ 0 ise y < 0 olduğud x ³ < 0 ise x < 0 dır. x y z > 0 ise x < 0, y < 0 ise x y < 0 olduğud z > 0 dır. O hlde x < 0, y < 0, z > 0 dır. Tım :, ve 0 olmk üzere ifdesie rsyoel (kesirli) ifde deir. kesride y kesri pyı, ye de kesri pydsı deir. kesrii py ve pydsı sıfırd frklı ir syı ile çrpılır yd ölüürse kesri değeri değişmez RASYONEL SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) ) 3) c d m c m = d d c d c d c = d = d c 9

10 ARİTMETİKSEL İŞLEMLERDE İŞLEM ÖNCELİĞİ 1) İşleme,prtezler ve kesir çizgileri yö verir. ) Vrs üslü işlemler ypılır. 3) Çrpm ve Bölme (öce ol) 4) Toplm ve Çıkrm Örek : Aşğıdki işlemleri ypıız ) + =? Çözüm : + = = = = ) : =? 3 4 Çözüm : : = + : = : = = (3) (1) () (1) ) 3 : =? Çözüm : = = = (5) (3) (5) 4) : =? Çözüm: = 6 + = 6 = 6 = 5= (6) () (3) 10

11 17 5) =? Çözüm : = = = = Tım : Pydsı 10 u pozitif tm kuvveti ol kesirlere odlıklı syı deir = 0,1; = 4,13; = 0,043 syılrı irer odlıklı syıdır Eğer ir kesir odlıklı yzıldığıd odlıklı kısımdki syılr elli ir rkmd sor tekrr ediyors u syıy devirli odlıklı syı deir =, =,3; =, =, 5 Syılrı irer devirli odlıklı syıdır Her devirli odlıklı syı rsyoel olrk yzılilir. Örek : 0,15 devirli odlıklı syıyı rsyoel şekilde yzlım Çözüm: x = 0,15 = 0, olsu Yukrıdki eşitliği her iki trfıı öce 1000 sor 10 ile çrpıp trf trf çıkrlım x = 15, x =, x= 13 x= = olur

12 1.3. ÜSLÜ İFADELER Tım : ve + olmk üzere te ı çrpımı ol ifde deir. ifdeside y t, ye de üs (kuvvet) deir. ifdesie üslü = dir. te Örek : 5 = 5 5= 5 4³ = = 64 4 ( 3) = ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 81 5 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ÜSLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ 1) çükü = ) 0 olmk üzere 0 = 1 3) 0 0 elirsiz. 4) 1= 1 dir. 5) ( ) = dir. m m ( ) 3 ( ) ( ) = = = 1

13 6) ve sıfırd frklı olmk üzere ; ) = 1 ) = dir. 7) m = m = dir.( 0, 1, -1) 8) = =, tek ise = m, çift ise = 1, 9) = 1 = 0, 0 = 1ve çift ise Örek : =? 5 Çözüm : = (5) = = = ) ) x > 0 x > 0 x < 0, tek ) x < 0 x > 0, çift Örek : ( ) + ( 1) + ( 1) =? 13

14 Çözüm: ( ) ( 1) + ( 1) = = = UYARI: çift, olmk üzere ( ) dir. 4 = ( ) = 16 4 ( ) =( ) ( ) ( ) ( )=16 11) Toplm ve Çıkrm: Tlrı ve üsleri yı ol üslü ifdeler toplıp çıkrılilir. x + x c x = x ( + c) Örek: = 3 (+ 3 4) = 13 = 3 = 9 1) Çrpm: ) Tlrı eşit ol üslü ifdeler çrpılırke ;üsler toplır,ortk t ye yzılır. 0 olmk üzere ; m m = + ) Üsleri eşit ol üslü ifdeler çrpılırke;tlr çrpılır,ortk üs ye yzılır. 0ve 0 olmk üzere ; = ( ) m m m Örek : x y x y x y 5 3? y = x

15 Çözüm:Üsler yı olduğu içi x y x y 5 3 x y 1 1 y x = = 3 5 Örek: ( ) ( ) ( ) işlemii soucu edir? Çözüm: ( ) = 9 9 ( ) = 4 4 ( ) = olduğu içi ( ) ( ) ( ) = ) Bölme: ) Tlrı eşit ol üstlü ifdeler ölüürke, üstler çıkrtılır,ortk t ye yzılır. 0 olmk üzere m = = m m ) Üsleri eşit ol üslü ifdeler ölüürke; tlr ölüür, ortk üst ye yzılır. 0 olmk üzere m m = m Örek : Çözüm: =4 ise kçtır? = ( ) = 3+ 4= 10 3 = 10 4 = 14 15

16 Örek : - -3 (0, ) 5 15 = ise hgi syıdır? Çözüm: 3 (0,) 5 = = ( ) 5 5 = = = 5 + ( 3) 3 ( ) + 3 = 3 1= 3 = 4 uluur. Örek : (x 1) ( x 7) 3 3 = + ise x kçtır? Çözüm: 3 tek syı olduğud x 1= x+ 7 x = 8 olur. Örek : ( x 5) (x 7) = + olduğu göre x i lileceği değerler toplmı kçtır? Çözüm: 4 çift syı olduğud ; ) x+ 5= x+ 7 x 1 = ) x+ 5 = (x+ 7) x = 4 x1+ x = ( ) + ( 4) = 6 uluur. Örek : x 8 ( ) x = 1 ifdesii sğly x değerlerii toplmı kçtır? Çözüm: x 8 = 0 ve x 0...1) x 8 ( x ) = 1 x = 1...) x = 1 ve x 8 çift...3) 16

17 1) durum: x 8= 0 ve x 0 ise x = 8 x = 4 x = vey x = ) durum: x = 1 x = 3 x 0 ise x olcğıd x 1 = 3) durum: x = 1 ve x 8 çift ise x = 1 ve x 8 çifttir. Burd x 3 = 1 x1+ x + x3 = = 1.4. KÖKLÜ İFADELER Tım :,1 de üyük ir doğl syı olmk üzere, x syısı ı.derecede kökü deir ve = ifdesii sğly x x = şeklide gösterilir. = ; krekök, 3 ; küp kök 4 ; dördücü derecede kök şeklide okuur. UYARI: çift syı ve <0 ise ifdesi ir reel syı elirtmez. 3 3, 5, 5 syılrı reeldir. Ack 6 4 5,, 16 syılrı reel değildir. Reel syılrd tımlı ol her köklü ifdeyi rsyoel üst şeklide yziliriz. m = m olup; tek ise = m çift ise m m ; 0 = ; < 0 17

18 Örek : (-4) =? Çözüm: (-4) + (-) = (-) = = 11 uluur KÖKLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ 1) t > 0 olmk üzere t = t ) tek doğl syı ve t içi t t = dır. Örek: 5 = 5 = = 3 3 = 3 = = 7 = = = 3) Köklerii dereceleri ve içleri yı ol ifdeler toplır vey çıkrılır. x + x c x = ( + c) x Örek : işlemii soucu kçtır? Çözüm: = = 6 4) ) Kök dereceleri yı ol köklü ifdelerde İ) x y = x y İİ) x y = x y 18

19 ) Kök dereceleri eşit olmy köklü ifdelerde ise kök derecelerii e küçük ortk ktlrı lııp kök dereceleri eşitleir ve işlemler ypılır. Örek : 1) = = 900 = 30 ) 3) 4) = 1 18 = 3 3 = 3 = 3 = = 6 = = = 5 = 5 = 15.4 = 500 (Burd ile 3 ü e küçük ortk ktı 6 dır) 5) 0, c 0 üzere ) ) = = ( c) c = m ± c Örek : Örek : ,9 = = = = ( 10) = = = = 5+ 5 ( 5 ) ( 5+ ) ( 5+ ) 1.5. ORAN VE ORANTI Tım : ve reel syılrıd e z iri sıfırd frklı olmk üzere ye ı ye orı deir. 19

20 Orl çokluklrı irimleri yı olup orı irimi yoktur. cm i 5cm ye orı cm 5cm = 5 dir. cm i 5kg orı söz kousu değildir. Örek : Bir sııftki öğrecileri %30 u İgilizce diğerleri ise Almc ilmektedir. İgilizce ileleri syısıı Almc ileleri syısı orı kçtır? Çözüm : İgilizce ileleri syısı %30 ise, Almc ileleri syısı %70 olur. O hlde İgilizce ileleri syısıı Almc ileleri syısı orı 30 = 3 dir Tım : ve c gii iki orı eşitliğii ifde ede öermeye, yi d eşitliğie ortı deir. c = d ORANTININ ÖZELLİKLERİ c = d ise 1) d = c ) = c d 3) 4) d c = d = c 5) c c = = k ve k 0 ise = = k d d c m+ c 6) = = k ve m 0, 0 ise = k dır. d m+ d 0

21 Örek : + 5 = olduğu göre, 3 ı değeri kçtır? Çözüm + = = = = = 3 = 3 Bu göre = 3 1 = 1 = dir. Örek : 5 c = = ve + c= 0 olduğu göre kçtır? 3 Çözüm : 5 = = 3 c = k olsu. Bu göre = 5 k, = 3 k, c= k olur. + c= 0 eşitliğide,, ve c i k ciside değeri yzılırs; 5k 3k+ k = 0 k = 0 = 5k = 5 0 = 100 olur. Tım : x1, x, x3,..., x olmk üzere te syıı ; x Aritmetik ortlmsı 1+ x+ + x Geometrik ortlmsı x1 x x dır. Örek : 16 kız, 34 erkek öğrecii ktıldığı ir sıvd kız öğrecileri pulrıı ortlmsı 50, erkek öğrecileri pulrıı ortlmsı 40 olduğu göre,tüm öğrecileri pulrıı ortlmsı kçtır? 1

22 Çözüm : 16 kızı pu ortlmsı 50 ise pulrı toplmı = erkeği pu ortlmsı 40 ise pulrı toplmı = 1360 Tüm öğrecileri pu ortlmsı, pulrıı toplmıı öğreci syısıı ölümüe eşit olduğud : Tüm öğrecileri pulrıı ortlmsı = 160 = 43, uluur. Örek : ile i ritmetik ortlmsı 5 dir. ile geometrik ortlmsı 3, ile geometrik ortlmsı 4 3 ol syı kçtır? Çözüm : istee syı x olsu. Verilelere göre ; + = 5, x = 3, x = 4 3 dir. + = 10, x = 1, x = 48 olduğud, x + x = 60 x ( + ) = 60 x 10 = 60 x = 6 dır. Tım : İki çoklukt iri rtrke(zlırke), diğeri de yı ord rtr(zlır) ise u iki çokluk doğru ortılıdır yd ortılıdır deir. k ir sit ve x ile y rlrıd ortılı ise y ğıtıı grfiği ; = kx e doğru ortı ğıtısı deir. Bu y 3k k k 1 3 (k > 0 içi) y=kx x

23 x, yz, syılrı sırsıyl,, c syılrı ile ortılı ve ğıtısı vrdır. x y z = = = k ortı siti c Örek : 50 km. lik yol 1 st te gidilirse 400 km. lik yol kç stte gidilir? Çözüm : rtr 50 km. yol 1 stte gidilirse rtr 400 km. yol x stte gidilir. Doğru ortı = x 50 x = 8 st Örek : U, yğ ve şeker ğırlık kımıd sırsıyl 8 : : 3 syılrı ile ortılı olrk krıştırılrk 39 kğlik ir hmur ypılıyor. Bu hmurd kç kg yğ kullılmıştır? Çözüm : u y ş = = = k, u+ y+ ş = u = 8 k 8 k + k + 3 k = 39 k = 3 y = k ş = 3k Burd yğ y = k = 3= 6 kg uluur. 3

24 Tım : İki çoklukt iri rtrke(zlırke) diğeri yı ord zlıyor(rtıyor) ise u iki çokluk ters ortılıdır deir. k sit ve x ile y rlrıd ters ortılı ise k y = ğıtısı ters ortı ğıtısı deir. Bu ğıtıı grfiği ; x y k k 1 1 k (k>0 içi) y= k x x x, y, z syılrı sırsıyl,, c syılrı ile ters ortılı ve k ortı siti olmk üzere x = y = cz = k dır. Örek : Kpsiteleri eşit ol 11 işçi ir işi 4 güde ypiliyor. Bu göre yı işi 6 işçi kç güde ypr? Çözüm : 11 işçii 4 güde ypcğı işi 6 işçi dh fzl güde ypr. Yi işçi syısı ile işi ypılm süresi rsıd ters ortı vrdır. 11 işçi 4 güde ypıyor zlm 6 işçi x güde ypr rtm Ters Ortı ; 11 4 = 6 x x = 44 güde ypr. Örek : Ali, Bület ve Cem 58 te ilyeyi sırsıyl 6,8 ve 9 syılrı ile ters ortılı olrk pylşıyorlr. Alii pyı düşe ilye syısı kçtır? 4

25 Çözüm : Ali, Bület ve Cemil sırsıyl c,, te ilyesi olsu. Bu durumd k k k 6= 8= 9 c= k =, =, c= k k k + + = 58 k = Burd Ali ye düşe ilye syısı ; k 144 = = = 4 dir. 6 6 Tım : k ileşik ortı siti olmk üzere, y ; x ile doğru ve z ile ters ortılı ise k x y = ifdesie ileşik ortı ğıtısı deir. z Örek : x,6 ile ters ortılı ve y,8 ile doğru ortılıdır. x+ y = 98 ise y x kçtır? y k Çözüm : 6 x = = k x=, y = 8k 8 6 k x+ y = 98 ise + 8k = k = 588 k = 1 1 x = = ve y = 81 = 96 y x= 94 olur. 6 Örek : 1 işçi 8m hlıyı 4 güde dokuyor. Bu göre, 9 işçi 3m hlıyı kç güde dokur? Çözüm : 1 işçi 8m hlıyı 4 güde yprs (-) (-) (+) (-) 9 işçi 3m hlıyı x güde ypr 98 x = 314 x = 1 güde ypr. Ters Ortı-Doğru Ortı 5

26 1.6. ARALIK KAVRAMI Syı doğrusu üzerideki syılrı üç frklı rlık olrk ifde ederiz. 1) Kplı Arlık : x, x [, ] ) Açık Arlık : < x<, x (, ) 3) Yrı Açık Arlık : < x, x (, ] Örek : Küme Olrk { x x, 1 x 3 } Arlık Olrk x [ 1,3] Küme Olrk { x x, 4 x< 3 } Arlık Olrk x [ 4,3) NOT : = (, + ) rlığı her zm çık rlıktır. Bir syısı ile ± rsıdki rlık şğıdki şekilde ifde edilir. (, ) = { x x, x > } (, ] = { x x, x } [ 4, + ) = { x x, x 4 } Örek : x x x toplmıı ir reel syı elirtmesi içi x hgi rlıkt olmlıdır? 6

27 Çözüm: Bu toplmı reel syı elirtmesi içi terimleri üçüü de yrı yrı reel syı elirtmesi gerekir. Bu göre x reel ise x 0=> x...1) 4 5 x reel ise 5 x 0=> 5 x => x 5...) 3 x 8 reel ise x...3) (1),() ve (3) de x 5 vey x [,5] olur MUTLAK DEĞER Tım : Syı doğrusu üzerideki ir x syısıı sıfır ol uzklığı u syıı mutlk değeri deir. Ve x ile gösterilir. Örek : 3 = 3 + x ; x > 0 x = 0 ; x = 0 şeklide tımlır. x ; x < 0 5 = ( 5) = 5 0 = 0 5 = = (1 3) = 3 1 7

28 MUTLAK DEGERE AİT ÖZELLİKLER 1) > 0 olmk üzere ) x = x = vey x = ) x < < x< c) x > x > vey x < ) x y = x y x x 3), y 0 y = y 4) x = x, 5) x = x Örek : 1) x = 4 x = 4 vey x = 4 ) x < 4 4< x < 4 3) x > 4 x > 4 vey x < 4 4) 8 3 = ( 8) ( 3) = 4 = 4 5) = = = 6) ( ) 3 = 3 = 3 = 8 7) 10 = 10 = 10 Örek : x +1 = 5 eşitliğii sğly x değerlerii çrpımı kçtır? Çözüm : x +1 = 5 ve x +1 = -5 x = 4 x = -6 x 1 = x = -3 x 1 x = (-3) = -6 8

29 BÖLÜM ALIŞTIRMALARI 1) A = { x x< 45, x pozitif ve 3 ü ktı} kümesii lt kümelerii syısı kçtır? A= {1, 3}, B = {, 3, 4} kümeleri içi A D ve B D olck şekilde dört ) elemlı D kümesii uluuz. 3) E = { x 1< x 0, x tmsyı} A= {,3,4,7}, B = {9,1,16,0}, C = {,3,5,7,9} kümeleri içi şğıdkileri uluuz: ) ( A B) C ) ( A C) B c) A \( B C) d) ( A B) 4) 16 kişilik ir sııft Frsızc ileleri kümesi F,Almc ileleri kümesi A dır. sf ( ) = 8, sa ( ) = 9, sa ( F) = 14 olduğu göre u sııft sdece Almc ile kç kişi vrdır? 5) A ve B herhgi iki kümedir. A \ B, A B, B\ A kümelerii özlt küme syılrı sırsı ile 15,31,0 dır. A B kümesii elem syısı kçtır? 6) K, LM, yrık olmy kümeler olsu.aşğıd elirtile ölgeleri Ve şemsıd gösteriiz. ) ( K L)\M ) ( K \ L) ( M \ L) c) ( L M)\ K d) ( K L) M 9

30 7) Aşğıd trlı ölgeleri küme işlemleri ile ifde ediiz 8)Aşğıdki işlemleri soucuu uluuz: ) 1 1 : ( ) =? ) =? 0,7 0,7 0,7 K =? c) (,4) (0,4) d) : =? 6 6 (1,1) (0,11) e) 0,16 0, ,384 =? f) =? ) Aşğıdki işlemleri soucuu uluuz: ) ) c) d) 1 5 0, ? = =? 0, =? ? = 30

31 e) f) g) h) i) j) 1,3 0,7 1,4 =? =? 0,7 0,4 4 =? 0,3 1,4 5 5 =? =? = 4 1,5 9 3? k) =? 15 10) Aşğıdki prolemleri çözüüz: ) 0 Kız ve 8 Erkek öğrecii uluduğu ir sııft mtemtik sıv soucu kız öğrecileri ortlmsı 6,8 ve erkek öğrecileri ortlmsı 7,5 ise sııf ortlmsı kçtır? )1 işçi güde 6 şr st çlışrk ir işi 15 güde itiriyorlr. Ayı işi 9 işçi güde 8er st çlışrk kç güde itirir? c) x, yz, mddelerii, sırsıyl 0, ; 0,8 ve 0,6 syılrı ile ortılı olck şekilde krıştırrk 11 kg.lık ir krışım ypılıyor. Bu krışımd z mddesi kç grmdır? d) 465 milyo üç krdeş rsıd ile doğru 3 ve 4 syılrıyl ters ortılı olrk pylştırılırs e z ol kç lir lır? e) Bir işyeride çlış işçi syısı 6 ktı, gülük çlışm süresi ktı ve iş miktrı 18 ktı çıkrılırs işi tmmlm süresi kç ktı çıkr? 31

32 11) Aşğıdkileri hesplyıız: ) 3 3 ( 5,5) (1,5 5) 1 =? ) ( ) (5 4) =? 75 5 c) ( ) : 0, , =? ,16 d) 6 + : 5 =? 4 0, 1) Aşğıdki ğıtılrd x i hesplyıız: ) ) c) x 6 =,5 x x 3 6,5 = x 1,5 x 4,8 = x + 5 1, d) 4 x 5 = 1, x + 3 3

33 BÖLÜM TESTİ 1) Aşğıdki ifdelerde hgisi ir kümeyi tm olrk elirlemez? A) { x x irer doğl syı B) {Slı, Cum, Pzr} C) ,,,,, D) { x x Türkiye i şu dki ir il merkezi} E) { x x uzu oylu ir is} ) " KARAR " kelimesideki hrfleri kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) { KAR,, } B) { AARR,,, } C) { KR, } D) { AAKRR,,,, } E) { A, AK, } 3) A = { x x " ARKADAŞ " sözcüğüdeki hrflerde iri} kümesi veriliyor.bu kümei elem syısı sa ( ) edir? A) 3 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7 4) Aşğıdki kümelerde hgisi {1,3, 5, 7, 9} kümesii ir lt kümesi değildir? A) {1, 5} B) {3, 9} C) {0, 1, 3, 5} D) {1, 3, 5, 7} E) 33

34 5) Aşğıdki kümelerde hgisi { SINAV,,,, } kümesii ir lt kümesi değildir? A) B) { V, I, A } C) { SAV,, } D) { ANV,,, R } E) { SINA,,,,} 6) {, 0, } kümesi şğıdkilerde hgisii ltkümesi değildir? A) {, 1, 0, 1, } B) { 3,, 0, } C) {0, 1,, 3} D) { 4, -, 0, } E) {, 0, } 7) A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve B = {,4,6,8} olduğu göre şğıdkilerde hgisi ylıştır? A) A B = B B) A B = A C) A B= {1, 3, 5, 7, 9} D) B A= E) ( A B) ( A B) = {1, 4, 8} 34

35 8) A = {0, 1,, 3}, B = {0, 3} ve C = {0,, 4} olduğu göre şğıdkilerde hgisi ylıştır? A) A B = {0, 1,, 3} B) A C = {0, } C) C A= {4} D) A ( B C) = {0, 1} E) ( A B) C = {1, 3} 9) K = {5, 10, 15}, L = { r, s, t}, M = {1,, 3, 4, 5} olduğu göre, şğıdkilerde hgisi ylıştır? A) K M = {5} B) K L = {10, 15} C) K L M = D) K L = K E) M K 10) M = {3, 5, 7}, K = {, 4, 6, 8} olduğu göre, şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) M K B) M K C) M K = D) K M = {, 4, 6, 8} E) M K = {, 3, 4, 5, 6} 35

36 11) A = {1,, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} ve C = {6, 7, 8} olduğu göre şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) B = {4, 5, 6} B) B A = {4, 5} C) A C = {6} D) B C = E) B C = {4} 1) A B C olduğu göre şğıdkilerde hgisi ylıştır? A) A B B) A C C) A B= A D) B C = C E) A B = C 13) Aşğıdkilerde hgisi ir rsyoel syıdır? A) π B) 3 C) D) E) ) Aşğıdki syılrd hgisi rsyoel syı değildir? 3 A) 5 B) 7 C) D) 0 E) 4 15) [ 3, 0] şğıdki kümelerde hgisi ile ifde edilir? A) { x x, 3 x 0} B) { 3, 0} C) { 3,, 1, 0} D) { x x, 3 < x < 0} E) { x x, 0 < x 5} 36

37 16) Aşğıdkilerde hgisi ( 0, 5] yrı çık rlığıı gösterir? A) { x x, x 5} B) { x x, 0 x 5} C) { x x, x> 5} D) { x x, 0 < x< 5} E) { x x, 0 < x 5} 17) { xx, x < 5} kümesi şğıdki rlıklrd hgisi ile gösterilir? A) (, 5) B) [, 5) C) (, 5] D) [, 5] E) [, ] 18) { x 4 x 1, x } kümesi şğıdki rlıklrd hgisi ile gösterilir? A) ( 4, 1] B) ( 4, 1) C) [ 4, 1) D) [ 4, 1] E) [ 1, 4 ] 19) \{1} kümesi şğıdkilerde hgisie eşittir? A) (, 1) B) ( 1,1) C) (,1) D) (,1) (1, ) E) (, ) 0) x 1 3 eşitsizliğii e geiş çözüm kümesi şğıdki rlıklrd hgisidir? A) [, 4] B) [ 3, 3] C) [1, 3] D) [ 1, 3] E) [0, 3] 1) x + 1 eşitsizliğii e geiş çözüm kümesi şğıdki rlıklrd hgisidir? A) [ 3, 1] B) [ 1, 3] C) [ 1, 0] D) (0, + ) E) (, + ) 37

38 ) x 5 < 4 eşitsizliğii çözüm kümesi edir? A) 1< x< 5 B) 5 < x< 4 C) 4 < x< 5 D) 1< x< 1 E) 1< x< 9 3) x + < 8 eşitsizliğii çözüm rlığı edir? A) 0 < x < 3 B) 3 < x < 6 C) 6 < x < 10 D) 0 < x < 5 E) 10 < x < 6 4) x 1 1 eşitsizliğii çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) [0, 1] B) (, 0] [, + ) C) (, 1] (, + ) D) (0, ) E) (, 1] [, + ) 5) 5x + 3 eşitsizliğii çözüm kümesi şğıdki rlıklrd hgisidir? A) [ 3, 3] B) (, ) 1 1 C) 1, D) 1, 5 5 E) ( 5, 1) 6) x eşitsizliğii e geiş çözüm kümesi şğıdki rlıklrd hgisidir? A) [5, 7] B) [ 6, 1] C) [, 5] D) [, 7] E) [ 1, 6] 7) x + 5 = 9 eşitliğii sğly x değerlerii toplmı kçtır? A) 3 B) 5 C) 3 D) 4 E) 1 38