Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Transkript

1

2 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl k Say Oriji Etraf da Dödürülmesi Köklerii Bulma

3 KUfi BAKIfiI Saal Say Birimi Argümet Dödürme 0 Kavramlar Reel K s m majier K s m Kutupsal Koordiat Eflleik Modül

4 0 0 0 Bu üiteyi iceledi imizde; gerçek say lar ede geiflletti imizi, saal say birimii kuvvetlerii almay, karmafl k say y aalitik düzlemde göstermeyi, karmafl k say modülüü ve efllei ii bulmay, karmafl k say larda ifllem yapmay, karmafl k say lar aras daki uzakl bulmay, karmafl k say geometrik yerii bulmay, karmafl k say y kutupsal biçimde göstermeyi, karmafl k say y oriji etraf da dödürmeyi, karmafl k say lar köklerii bulmay kavram fl olaca z.

5 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Afla daki deklemleri reel (gerçek) say larda çözüm kümelerii bulal m. a) 9 = 0 b) + 9 = 0 a) 9 = 0 = 9 o halde çözüm kümesi {, } olur. b) + 9 = 9 R içi 0 oldu uda karesi 9 ola gerçek say yoktur. O halde gerçek say lar kümesi, her türlü deklemi çözmeye yetmemektedir. Yai karesi egatif say ola bir say ta mlamak gerekir. a + b + = 0 deklemii < 0 ( = b 4ac) ike reel köküü olmad hat rlayal m. Çözüm a. ò 4 = ó.4 = ói.4 = i b. ò 9 = ó.9 = ói.9 = i c. d. 48 = 48 = i 6 = 4 i 7 = 7 = i 6 = 6 i Örek i = ò olmak üzere, ó 49 ó 6 + ò 4 ifllemii soucuu bulal m. Çözüm ó 49 = ò. ò49 = 7i, ó 6 = ò. ò6 = 6i, ò 4 = ò. ñ4 = i 7i 6i + i = i buluur. Saal ( majier) Say Birimi ò = i olacak flekilde bir i say s ta mlayal m. i say s a saal (imajier) say birimi deir ve i = olur. Örek Etkilik Afla daki deklemleri reel say larda çözüm kümelerii olup olmad a bakal m. + = = = = 0 Afla da verile ifadeleri saal say birimi ile ifade edelim. a. ò 4 b. ò 9 c. ó 48 d. ó 7 Saal Birim Kuvvetleri (i i Kuvvetleri) i 0 = i = i (S f r hariç her say s f r c kuvveti dir.) (Her say. kuvveti kedie eflittir.) i = (Ta mda dolay ) i = i.i =.i = i (Üslü say larda çarpma ta m ) i 4 = ( ) = ( ) = i = i 4.i = i i 6 = i 4.i = Bu flekilde kuvvet almaya devam edildi ide, her dört ad mda bir ay de erler tekrar etmektedir. O halde, saal birimi kuvveti 4 ile bölüdü üde kala 0 ise de eri, i 4 = ( N) kala ise de eri i, i 4+ = i kala ise de eri, i 4+ = kala ise de eri i, i 4+ = i olur. Bir baflka ifadeyle, saal birimi kuvvetii mod 4 e göre de eri i i kuvveti olarak al r ve bua göre ifllem yap l r.

6 0 0 0 Örek Afla daki say lar de erlerii bulal m. a. i 0 b. i 0 c. i 0 d. i 9 Çözüm a. 0 (mod 4) i 0 = i = b. 0 (mod 4) i 0 = i = i c. 0 0 (mod 4) i 0 = i 0 = d. 9 (mod 4) i 9 = i = i Etkilik Tabloda verile say lar eflitlerii bulal m. i 88 i 0 i 9 i 6 i 0 Örek + i + i + i + i i 0 toplam soucu kaçt r? Çözüm 0 da 0 e kadar 0 tae terim vard r. + i i + + i i + i Her 4 lü grubu toplam 0 oluyor. 0 terim 4 lü gruplara ayr ld da 0 : 4 = 0 tae grup oluflur. Her grupta 0 geldi ie göre, souç 0 d r. Örek 6 i = ò ve Z + olmak üzere i i 8 i ifadesii sadeleflmifl biçimii buluuz. Çözüm i 4 = oldu uu görmüfltük. Bua göre, Örek i i 8 i i i i i = ( ). ( ). 4 i.( i ) i i i i 00 toplam soucu kaçt r? = 8 i i i 4 i ( i ) = = 4 i. i i buluur. i Çözüm Örek (mod 4) i 007 = i = i (mod 4) i 008 = i 0 = 009 (mod 4) i 009 = i = i 00 (mod 4) i 00 = i = i i i i 00 = i + + i = 0 buluur. i 7.ò ifadesii eflitii bulal m. Çözüm i 7.ò = i 7.i = i 8 i = (i 4 ).i = buluur.

7 0 0 0 Kümesi a, b R olmak üzere z = a + bi fleklideki say lara karmafl k (kompleks) say lar deir. Karmafl k say lar kümesi C ile gösterilir. C = {z z = a + bi a, b R, i = } z = a + bi karmafl k say s da a de erie karmafl k say reel (gerçek) k sm, b de erie ise karmafl k say saal (imajier) k sm deir. z = a + bi karmafl k say s reel k sm ; Re(z) = a imajier k sm ; m(z) = b fleklide gösterilir. N: Do al Say lar C: Karmafl k (Kompleks) Z: Tam Say lar Say lar olmak üzere, Q: Rasyoel Say lar N Z Q R C R: Reel Say lar Etkilik Afla daki tabloyu iceleyiiz ve boflluklar uygu flekilde dolduruuz. Karmafl k Say Gerçek K sm Saal K sm z = a + bi z = + 4i z = i z = i i z = 7 Her reel say ay zamada bir karmafl k say d r. Fakat her karmafl k say bir reel say de ildir. R C a b Öre i, z = i Re(z ) =, m(z ) = z = i + Re(z ) =, m(z ) = z = i Re(z ) = 0, m(z ) = olur. Örek 9 a < 0 < b olmak üzere z= a b + a + b ab say s içi Re(z) m(z) kaçt r? Örek 8 ò 9. ó 6 ò 4 ifadesii a + bi fleklide yazal m. Çözüm ò 9 = ò. ñ9 = i, ó 6 = ò.ò6 = 4i, ò 4 = ò.ñ4 = i ò 9. ó 6 ò 4 = i. 4i i = i i =.( ) i = i olur. Çözüm z= a b + a + b ab = a b + ( a b) = a i b + a b a < 0 oldu u içi a = a, b > 0 oldu u içi, b = b, a b < 0 oldu u içi a b = b a olarak ç kar. Bu durumda z karmafl k say s z= a b + ( a b) = a i b+ b a= a+ b bi olur. Re(z) = a + b m(z) = b dir. Re(z) + m(z) = a + b b = a olur. òa = a 4

8 0 0 0 Eflitli i z, z C Re(z ) = Re(z ) ve m(z ) = m(z ) ise, z = z dir. z = a + bi, z = c + di, z = z ise a = c ve b = d olur. Yai iki karmafl k say birbirie eflit olmas içi gerçek k s mlar birbirie, saal k s mlar da birbirie eflit olmas gerekmektedir. Örek ve y reel say lard r. + y ( + y + 4)i = 0 oldu ua göre, kaçt r? Çözüm 0 = 0 + 0i biçimide yaz labilir. + y ( + y + 4)i = 0 + 0i Örek 0 ve y reel say lard r. + yi = i oldu ua göre, + y toplam kaçt r? Çözüm + yi = i =, y = olur. + y = 0...() ( + y + 4) = 0...() () ve () deklemleri ortak çözülürse, y = 8 ve = buluur. Örek Örek + y = = buluur. ve y reel say lard r. z = y + ( + y + 4)i ve z = + i karmafl k say lar içi z = z oldu ua göre,. y çarp m kaçt r? ve y gerçek say lar olmak üzere + y 4i = 4 + 6i oldu ua göre, y kaçt r? Çözüm + y 4i = 4 + 6i + y = 4 ve 4 = 6 = 4 olur. = 4 de erii + y = 4 deklemide yerie yazarsak,.( 4) + y = y = 4 y = y = buluur. Çözüm z = y + ( + y + 4)i z = + i ve z = z ise, reel k s mlar birbirie, saal k s mlar birbirie eflitleir. y + ( + y + 4)i = + i y = + y + 4 = deklemleri çözülürse = ve y = buluur. O halde,.y =. = 0 olur.

9 0 0 0 a, b, c R içi ikici derecede a + b + c = 0 deklemii kökleri, = b 4ac olmak üzere,, = b ± dır. a < 0 içi deklemi gerçek say lar kümeside çözümü yoktur. Karekök içideki egatif say lar karmafl k say lar kümesii elema oldu uda ikici derecede her deklemi karmafl k say lar kümeside çözümü vard r. Çözüm = i ise, = + i dir. + = i + + i = 6 olur. Kökleri ve ola ikici derecede deklem, ( + ) +. = 0 Örek = 0 deklemii köklerii buluuz. Çözüm Deklemde a =, b = 4, c = = b 4ac = ( 4) 4.. = 8 < 0 < 0 oldu uda deklemi gerçek say lar kümeside kökü yoktur. = 8 = 4.. = i b ± ± i ± i, = = ( 4) = 4 a i = = + i 4 4 i i = = 4 buluur. Örek k = 0 deklemii kökleride biri = i oldu ua göre, k kaçt r? Çözüm = i ise, = i olur. Kökleri verile do ru deklemi; ( + ) +. = 0 k =. = (i ).( i ) = + = 4 olur. Etkilik 4 Afla daki tabloda bir kökü verile ikici derecede deklemleri di er köklerii bulal m. Kök Kök Reel katsay l, ikici derecede a + b + c = 0 deklemii kökleride biri = m + i ise di er kökü = m i dir. (m, R) Örek a, b R içi + a + b = 0 deklemii kökleride biri = i ise, + toplam kaçt r? + 4i i + 6 7i i + 8 4i

10 0 0 0 Karmafl k Düzlemde Gösterilmesi Gerçek say lar reel say do rusu üzeride gösterildi ii biliyoruz Karmafl k say lar aalitik düzlemde birbirie dik iki ekse yard m yla gösterilir. Yatay ekse üzeride gerçek say lar, dikey ekse üzeride ise saal say lar buluur. Öre i, z = + i karmafl k say s karmafl k düzlemde gösterilifli afla daki gibidir. y saal ekse z = + i eksei: Gerçek say lar eksei (Reel Ekse) y eksei: Saal say lar eksei (Saal Ekse) Her oktas a bir karmafl k say eflleebile düzleme karmafl k düzlem ad verilir. Örek 7 Afla daki karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösterelim. z = + i z = 0 z = + i z 6 = i z = + i z 7 = z 4 = i Reel say do rusu = Reel ekse reel ekse z = + i z = i Etkilik y z = + i z z = 0 + 0i 7 = + 0i = z 4 = i z 6 = 0 i = i Afla da verile karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösterelim. a) z = + i b) z = i c) z = 4i d) z 4 = Saal ekse 4 z = + i Reel ekse 7

11 0 0 0 Efllei i Örek 8 y Afla da verile karmafl k say lar eflleiklerii bulal m. b z = a + bi a) z = i b) z = i c) z = b Bir karmafl k say, saal k sm iflareti de ifltirilerek elde edile karmafl k say ya bu karmafl k say - efllei i deir. z = a + bi say s efllei i ±z fleklide gösterilir ve ±z = a bi dir. z karmafl k say s efllee i, karmafl k düzlemde z i ekseie göre simetri idir. a z = a bi Çözüm a) z = i ise, ±z = + i olur. b) z = i ise, ±z = i olur. c) z = ise, ±z = de iflmez. Etkilik 6 Afla daki karmafl k say lar ve eflleiklerii karmafl k düzlemde gösterelim. a) z = + 4i b) z = i c) z = i d) z 4 = y 4 z = + 4i z = 4i 8

12 0 0 0 Bir Karmafl k Say Mutlak De eri (Modülü) Karmafl k düzlemde bir karmafl k say ya karfl l k gele okta orijie uzakl a, o say mutlak de- eri ya da modülü deir. z = a + bi say s mutlak de eri, z sembolü ile gösterilir. z = a +b dir. Çözüm a) z = + 4i z = + 4i b) z = + i z = + i + 4 = = ( ) + = 69 = y c) z = z = ( ) + 0 = b z = a + b a z = a + bi d) z 4 = i z 4 = Örek = Bu karmafl k say modülü uzakl k belirtti ide z 0 d r. z = + 4i karmafl k say s ve efllei ii mutlak de erlerii bulup karmafl k düzlemde gösterelim. A(a, b), B(c, d) olsu A ve B oktalar aras daki uzakl k: AB = ( a c ) + ( b d) dir. Çözüm y A(a, b) oktas orjie ola uzakl ise, AO = a +b dir. Örek 9 Afla daki karmafl k say lar mutlak de erlerii (modüllerii) bulal m. a) z = + 4i c) z = b) z = i + i d) z 4 = i z = 4 z ±z 4 ±z = 4i +4 = ±z = +( 4) = z = + 4i EKS+RA z=a+bi z = a + b z=a bi z = a + ( b) z = ±z Eflleik karmafl k say lar mutlak de erleri birbirie eflittir. 9

13 0 0 0 Örek p bir reel say d r. z = + (p )i ve z = oldu ua göre, p i alabilece i de erler toplam kaçt r? Çözüm Etkilik 7 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z = () + (p ) = (Eflitlikte her iki taraf karesii alal m.) 44 + (p ) = 69 (p ) = (p ) = p = veya p = p = 6 veya p = 4 O halde, p i alabilece i de erler toplam 6 4 = dir. Örek Karmafl k Say Efllei i Modülü z = a + bi z = 4 i z = z = i C z = + i R ve < 0 olmak üzere, z = + Ai ve z = 4C oldu ua göre, kaçt r? ±z = a bi ±z = a + b Çözüm z = (Eflitlikte her iki taraf karesii alal m.) = 4 veya = 4 tür. < 0 oldu uda = 4 tür. da Toplama ve Ç karma fllemleri Karmafl k say lar topla rke veya ç kar l rke gerçek k s mlar kedi aralar da, saal k s mlarda kedi aralar da topla r veya ç kar l r. z = a + bi ve z = c + di olsu. z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i z z = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i olur. Örek Afla daki z ve z karmafl k say lar içi, z + z ve z z ifllemlerii yapal m. a) z = i b) z = 4i c) z = z = + i z = i z = 4i Çözüm +( ) = 4 + = 4 = 48 = 6 a) z = i z = + i olmak üzere, z + z = i + + i = + i z z = i ( + i) = i i = 4i b) z = 4i z = i olmak üzere, z + z = 4i + i = + i z z = 4i i = 9i c) z = z = 4i olmak üzere, z + z = + 4i = 4i z z = ( 4i) = + 4i = + 4i 0

14 0 0 0 Örek 4 z = + i ve z = + 4i oldu ua göre, z + z ve z z ifllemlerii yaparak karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm Etkilik 8 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z z z + z + i i + 4 i C + Ai i z = + i ve z = + 4i ise z + z = + i + + 4i = + + ( + 4)i = 4 + 6i z z = + i ( + 4i) = + ( 4)i = i buluur. Bu ifllemleri karmafl k düzlemde gösterilifli afla daki gibidir. y 6 z + z 4 z 4 4 i i i C Ai i z z i z z z z + 4i Toplama fllemii Özellikleri. Kapal l k z, z C içi z + z C dir. Yai, C kümesi toplama ifllemie göre kapal d r.. Birleflme Özelli i z, z, z C içi (z + z ) + z = z + (z + z ) tür. C kümeside toplama ifllemii birleflme özelli i vard r.. De iflme Özelli i z, z C içi z + z = z + z dir. C kümeside toplama ifllemii de iflme özelli i vard r. 4. Etkisiz Elema (0 + 0i) karmafl k say s, toplama ifllemii etkisiz elema d r.. Ters Elema Karmafl k say lar kümeside her a + bi karmafl k say - s toplama ifllemie göre tersi vard r. z = a + bi karmafl k say s toplama ifllemie göre tersi z = a bi dir. Örek Karmafl k say lar kümesi üzeride ifllemi, z z = z + z + z z biçimide ta mla yor. Bua göre, ( i) ( + i) ifllemii soucu edir? A) + 8i B) 8i C) 8 + i Çözüm D) 8 i E) i z = i ve z = + i al rsa (ÖSS 007) ( i) ( + i) = i + + i + ( i)( + i) = i + = 8 i buluur. Cevap D

15 0 0 0 Örek 6 z = + 4i karmafl k say s toplama ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z = + 4i ise z = ( + 4i) = 4i olur. da Çarpma ve Bölme fllemi Karmafl k say larda çarpma ifllemi, çok terimlileri çarp m gibi yap l r. Bölme ifllemide ise payda gerçek say olacak flekilde eflleikle çarp l r. z = a + bi ve z = c + di olsu. z.z = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bi.di = ac + i(ad + bc) + bdi z z = a+bi (a + bi)(c di) = c+di (c + di)(c di) (c di) Örek 7 Afla da verile ifllemleri yapal m. a) ( + i) c) ( i) b) ( i) d) ( i) Çözüm = ac bd + (ad + bc)i a) ( + i) = + i + i b) ( i) = (( i)) = 9( i + i ) = + i = i (a + bi)(c di) = c +d = 9.( i ) = 9.( i) = 8i c) ( i) = ( i) ( i) 4 = ( i) [( i) ] 7 = ( i) ( i) 7 i = ( i) ( ) 7.i 7 = 7 ( i).i = 7 ( i) ( i) = 7 i ( i) = 7 i 7 i = 7 i + 7 = 7 ( + i) d) ( i) =..i +..i i Örek 8 = 8 i 6 + i = i buluur. ( + i).( 4i) ifllemii soucuu buluuz. Çözüm ( + i).( 4i) =. +.( 4i) + i. + i.( 4i) = 6 8i + i 4i Örek 9 ( + i).( i) ifllemii soucuu buluuz. Çözüm = 6 8i + i + 4 = 0 i ( + i).( i) = (i) = = z = a + bi ve z = a bi ise, z.z = (a + bi)(a bi) = a + b dir.

16 0 0 0 Örek 0 ( i) 00 ifllemii soucuu buluuz. Çözüm (( i) ) 0 = ( i + i ) 0 Örek = ( i) 0 = 0.i 0 = 0.i bölme ifllemii soucuu buluuz. Çözüm +i = i ( +i) Örek ( + i) + ( i) toplam kaçt r? A) 8 B) C) 0 D) E) 8 (ÖYS 989) Çözüm +i i ( + i) = (( + i) ) ( + i) = (i) ( + i) = 4 4i ( i) = (( i) ) ( i) = ( i) ( i) = 4 + 4i oldu uda ( +i).( +i) ( i).( +i) = +i (i) ( + i) + ( i) = 4 4i 4 + 4i = 8 buluur. = +i 0 Cevap A Örek ifllemii soucuu buluuz. Çözüm 0 ( i) = i 0 ( i)( i) 0 = = i 0 0 = ( i) 0 (+i) +i (+i)( i) ( i) Örek ifllemii soucuu buluuz. Çözüm ( i)( i) i = Etkilik 9 Afla daki tabloyu uygu flekilde doldural m. z z z. z + i i + 4 i i ( i) 0 (+ i) 0 =i = ( )( ) = i i i i 0 (0 = (mod 4), i = i = ) i 4i 6 i 4 7i i + i = ( 4 7i) ( i) z z z z i. ( + i) ( + i) 4 4i 7i + 7 = + = i olur. i

17 0 0 0 Çarpma fllemii Özellikleri. Kapal l k Özelli i z, z C ike, z.z C dir. Yai, C kümesi çarpma ifllemie göre kapal d r.. Birleflme Özelli i z, z C ike (z.z ).z = z.(z.z ) tür. C de çarpma ifllemii birleflme özelli i vard r.. De iflme Özelli i z, z C ike z.z = z.z tür. C de çarpma ifllemii de iflme özelli i vard r. 4. Çarpma fllemii Toplama fllemi Üzeride Da- lma Özelli i z, z ve z C ike z.(z + z ) = z.z + z.z tür.. Birim Elema Karmafl k say larda çarpma ifllemii etkisiz (birim) elema = + 0i dir. 6. Ters Elema z = a + bi karmafl k say s çarpma ifllemie göre ters elema z = z = dir.(z 0) a+bi Örek i karmafl k say s çarpma ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z = i z = i i = = buluur. i i (i) Örek 6 z = 4 + i ifllemii çarpma ifllemie göre tersii buluuz. Çözüm z=4+i z = z = 4+i = 4 i 6 + = 4 i 7 (4 i) Örek 7 z + 4 i = ±z i eflitli ii sa laya z kompleks say s orijie ola uzakl kaç birimdir? Çözüm z = a + bi al rsa ±z = a bi olur. z + 4 i = ±z i a + bi + 4 i = (a bi) i a (b )i = a bi i a (b )i = a + ( b )i a + 4 = a ve b = b a = 4 4b = a = b = z = i olur. 4 z karmafl k say s orijie ola uzakl z dir. z = a + bi içi z = z = a + b = + 4 a + b 4 oldu uda = = = buluur. 4

18 0 0 0 Karmafl k Say Efllei i ve Modülü le lgili Özellikler:. z = ±z 7. z.z = z. z. z. ± z = z 8. N içi z = z. z + z = z + z 9. z = ±z 4. z z = z z 0.. z z = z z. z + z z + z z z = z, (z 0) z Örek 9 oldu ua göre, Çözüm 4 ( + i) z = ( i) z ve z de erlerii bulal m. ±z = z = z oldu uda z de erii bulmak yeterlidir. z 6. z. z z z z z = z, ( z 0 ) Örek 8 z = i ve z = + i say lar içi, 4 ( + i) z = içi, ( i) z ( + i) = ( i) ( + i) + i = = ( i) i 4 + = + ( ) 4 = = buluur. ifllemlerii yapal m. Çözüm z = i ±z = + i z = + i ±z = i dir. Bua göre, z +z, z z, z.z ve z z z +z = z +z =+i+ i = +i Etkilik 0 z = + 4i, z = i, z = + i karmafl k say lar içi isteile ifllemleri yapal m. a) z = z z b) z = z z c) z = z.z z, z ve ±z yi bulal m., z yi bulal m., z ve ±z yi bulal m. z z = z z =+i+( i) = + i + i = + i d) z = z.z z, z i bulal m. z.z =z.z = (+ i)( i) = i + 4i i = +i+ = 4+i e) z = z. ±z, z yi bulal m. z z z = z = + i i ( + i)( + i) = ( i)( + i) + i+ 4i+ i = 4+ + i = = i

19 0 0 0 Örek 40 R + ( 6)( + i), olmak üzere, z = ( + i) ( i) z = 8ñ oldu ua göre, kaçt r? Çözüm ( 6)( + i) z = ( + i) ( i) 6 + i = + i i + 6 ( ( ) + ) = ( + ) + ( ) ( + 6 ) 4 ( + 6 ) = = ( + 6 ) = = 8 veriliyor. + 6 = 64 = 8 = ñ7 veya = ñ7 R + oldu u içi, cevap ñ7 dir. Örek 4 z z = z. z z + 6 eflitli ie göre, z i e küçük de eri kaçt r? Çözüm z + z z + z özelli ii kullaal m. z z z + z = z + z z. z z + 6 z + z z z + 6 z + z z + 4 z 6 0 ( ile sadelefltirelim.) z + z 8 0 ( z + 4)( z ) 0 z 4 (kök gelmez) z = z = z = kökler + + z s f rda büyük de erler alaca içi alabilece i e küçük de er olur. Örek 4 z = 8 oldu ua göre, say s modülü kaçt r? Çözüm z z z z = _ z = 8 de eri yerie yaz l rsa z z z z z = z 8 8 = = olur. Örek 4 Karmafl k düzlemde z = i oldu ua göre, z kaçt r? 0 0 A) B) C) D) E) (ÖYS 99) Çözüm z = = z z z = = = i 0 oldu uda 0 0 buluur. Cevap A 6

20 0 0 0 ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k z = a + bi, z = c + di olsu z ile z aras daki uzakl k, karmafl k düzlemde bu iki say görütüleri ola oktalar aras daki uzakl kt r. z say s görütüsü ola okta A(a, b) z say s görütüsü ola okta B(c, d) ise, AB = z z = (a ƒ ƒ ƒ c ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ b ƒƒ ƒ ƒ d ƒ ) dir. Örek 44 z = + i ve z = + i karmafl k say lar aras daki uzakl bulal m. Çözüm z z = + b d y = + = 0 Etkilik z = a + bi z z z = c + di a ( ( )) ( ) Afla da verile z ve z karmafl k say lar aras daki uzakl klar bulal m. c buluur. Örek 4 z = i, z = 7 + bi karmafl k say lar aras daki uzakl k birim ise, b i alabilece i reel say lar toplam kaçt r? Çözüm z z = ( ( 7)) + ( b) = her iki taraf karesii al rsak ( + 7) + ( b) = 69 + ( b) = ( b) = 69 ( b) = b = veya b = b = 6 veya b = 4 olur. O halde b i alabilece i de erleri toplam = olur. Karmafl k Say Geometrik Yeri Örek 46 A = {z z C ve z = } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z = + y = + y = 9 buluur. Bu deklem aalitik düzlemde merkezi oriji, yar - çap birim ola merkezcil çemberi gösterir. a. z = + i z = i b. z = i z = + i y c. z = 6 z = i d. z = 6 + i z = i 7

21 0 0 0 Örek 47 A = {z z C ve z } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. y Örek 49 z i = eflitli ii sa laya z karmafl k say lar geometrik yerii karmafl k düzlemde belirtiiz. Çözüm z = + yi olsu. + yi i = ( ) + (y )i = ( ) + (y ) = ( ) + ( y ) = Merkezi (, ) ola yar çap birim ola çember belirtir. y z + y olaca içi bu özelli e sahip z karmafl k say lar karmafl k düzlemdeki görütüsü, merkezi orijide ve yar çap br ola bir çember ve çemberi iç bölgesidir. br Örek 48 A = {z z C, z } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z ise + y 9 olur. y i Bu oktalar merkezi orijide ve yar çap br ola bir çember ve çemberi d fl bölgesii belirtir. Souç :. z z = r eflitli ie uya z karmafl k say lar - geometrik yerii bulal m. z = a + bi, z sabit bir say z = + yi, z de iflke bir say olsu. z z = r + yi (a + bi) = r a + (y b)i = r = ( ƒ ƒ ƒ a ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒƒ ƒ ƒ b ƒ ) = r ( a) + (y b) = r buluur. Elde edile deklem, merkezi M(a, b) ve yar çap r ola çember deklemidir. Yai, z z = r eflitli i merkezi z, yar çap r ola çemberi belirtir. b y 0 a r M z = + yi 8

22 z z < r eflitsizli i, merkezi z yar çap r ola çemberi iç bölgesii gösterir. (fiekil ) z z > r eflitsizli i, merkezi z yar çap r ola çemberi d fl bölgesii gösterir. Eflitsizliklerde eflitlik olmad zama çember kesikli çizilir ve çözüm kümesie dahil de ildir. (fiekil ) b y Örek 0 z = i olmak üzere, A = {z z C, z z = } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z z = z 0 a 0 a fiekil - fiekil - + yi ( i) = + (y + )i = ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ) = ( ) + (y + ) = 9 olur. y r = M(, ) Bu deklem, merkezi (, ) ve yar çap br ola bir çember deklemidir. y b z Örek z = + iy ve z = z oldu ua göre, z i karmafl k düzlemdeki geometrik yeri afla dakilerde hagisidir? A) Gerçel eksee dik bir do ru B) Saal eksee dik bir do ru C) birim çapl bir çember D) Bir elips E) Bir parabol Çözüm z = z + iy = + iy + y = ( ) + y (ÖYS 99) + y = 4+4+y 4 = 4 = olur. = do rusu gerçel eksee dik bir do rudur. Cevap A Örek z + i kofluluu sa laya z = + yi karmafl k say lar karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z + i + yi + i ( ) + (y + )i ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒƒ + ƒ ƒ ƒ ) ( ) + (y + ) Bu eflitsizlik, merkezi (, ) ve yar çap br ola çember ve çemberi iç bölgesii gösterir. y Eflitlik oldu u içi, çember geometrik yere dahildir. r = M(, ) 9

23 0 0 0 Örek A = {z z C ve z + + i > } kümesii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. z + + i > + yi + + i > ( + ) + (y + )i > ( ƒ ƒ ƒ ƒ ) ƒ ƒ + ƒ ( ƒ y ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ) > ( + ) + (y + ) > 4 Bu eflitsizlik merkezi M(, ) ve yar çap br ola çemberi d fl bölgesii gösterir. Örek 4 z < 7 eflitsizli ii sa laya karmafl k say lar geometrik yerii karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = + yi olsu. + yi < 7 ƒ+ ƒy < y < 49 M(, ) Eflitlik olmad içi, çember geometrik yere dahil de ildir ve kesik çizgilerle gösterilir. + y 9 ve + y < 49 I II y 7 Örek 4 z 6 I. eflitsizlik merkezi orijide ve yar çap br ola çemberi ve d fl bölgesii, II. eflitsizlik ise merkezi orijide ve yar çap 7 br ola çemberi iç bölgesii gösterir. kofluluu sa laya z karmafl k say lar karmafl k düzlemde oluflturdu u kapal bölgei ala kaç br dir? A) π B) 4π C) 6π Çözüm 7 y 7 D) 8π E) 0π 4 z 6 oldu ua göre, z karmafl k say s karmafl k düzlemde görütüsü, yar çap 4 birim ve yar - çap 6 br ola çemberler ile aralar da kala bölgede olur. y 6 6 Dairei ala πr dir. 4 Bu bölgei ala Taral Ala = π. 6 π. 4 7 = 6π 6π = 0π olur Cevap E 0

24 0 0 0 Örek 6 A = {z z C, z + i < z + i } kümesideki karmafl k say lar geometrik yerii buluuz. Çözüm z = + yi olsu. z + i < z + i + yi + i < + yi + i ƒ +ƒƒ (ƒy ƒ+ ƒ) < (ƒ +ƒ ƒ) ƒ +ƒ (ƒy ƒ ƒ) + (y + ) < ( + ) + (y ) + y + 6y + 9 < y y + 8y + 4 < 4 y + < 0 -/ y B OCP dik üçgeide Pisagor teoremide OP = OC + CP = OP = 0 br P oktas çembere e yak oktas A, e uzak oktas B dir. O halde, 6 8i ifadesii alabilece i e küçük de er AP dir. AP = OP OA AP = 0 = 8 br 6 8i ifadesii alabilece i e büyük de er BP dir. BP = OB + OP BP = + 0 = br olur. 8 y O A P(6, 8) z = 6 + 8i C 6 fiimdi buraya kadar ö rediklerimizle ilgili karma örekler çözelim. Örek 7 z oldu ua göre, z 6 8i ifadesii alabilece i e büyük ve e küçük de eri buluuz. Çözüm z 6 8i = z (6 + 8i) ifadesi z oktalar ile z = 6 + 8i oktas aras daki uzakl gösterir. z eflitsizli i merkezi orijide ve yar çap br ola çemberi gösterir. Örek 8 Re(z) m(±z) = 6 Re(z) + m(z) = 4 oldu ua göre, z karmafl k say s bulal m. Çözüm z = + iy, ±z = iy, Rez =, mz = y, m±z = y ( y) = 6 + y = 6 + y = 4 Deklemleri birlikte çözülürse, =, y = 0 buluur. z = + 0i olur.

25 0 0 0 Örek 9 Bir kökü = + i ola, reel kat say l ikici derecede deklemi yaz z. Çözüm = + i ise = i olur. Kökleri ve ola ola. derecede deklem ( + ) +. = 0 d r. ( + i + i) + ( + i) ( i) = = 0 olur. Çözüm ( + i)z = i z = i +i = ( i)( i) (+i)( i) ( i) = + = z ile z aras daki uzakl z z oldu uu biliyoruz. z z = i ( i) = i + i = i = i = i () +( ) = olur. Örek 60 z = i karmafl k say s içi, z+ ifllemii soucu kaçt r? z z z Çözüm z + z z z ifadesii afla daki gibi düzeleyelim. ( zz. + ) (. (... zz ) zz+ )( zz ) = ( zz. = z ) z z zz. ( z + )( z ) ( z= i, z = ) z ( + )( ) 4 = olur. Örek 6 z + 4i eflitli ii sa laya z karmafl k say lar karmafl k düzlemdeki geometrik yerii bulal m. Çözüm z = + iy olsu. z + 4i + iy + 4i + (y + 4i) ( ) + (y + 4) Merkezi (, 4) ve yar çap birim ola bir çember ve çemberi iç bölgesii belirtir. y Örek 6 ( + i)z = i eflitli ii sa laya z karmafl k say s ile z = i say s aras daki uzakl k kaç birimdir? 4

26 0 0 0 Örek 6 y Çözüm Yada grafi i verile çemberi deklemii bulal m. Merkezi (, ) ola ve yar çap birim ola çemberi deklemi ( ) + (y ) = + (y )i = + yi i = + yi i =, + yi = z olsu. z i = olur. Örek 64 z + i = 0 eflitli ii sa laya z karmafl k say lar geometrik yerii deklemi afla dakilerde hagisidir? A) ( ) + (y ) = 6 B) ( + ) + (y ) = 64 C) ( + ) + (y ) = 00 D) ( 4) + (y ) = 8 E) ( 4) + (y + 4) = Çözüm ( ) +( y ) = z = + iy olsu. z + i = (y )i = 0 (ÖYS 994) ( + ) + ( y ) = 0 ( + ) + ( y ) = 00 buluur. Cevap C Örek 6 z = ±z ± + i oldu ua göre, z i karmafl k düzlemdeki geometrik yer deklemi afla dakilerde hagisidir? A) 6 4y + = 0 B) 6 + 4y = 0 C) 4 + 6y = 0 D) 6 4y = 0 E) 6 + 4y + = 0 Çözüm z = + yi olsu ±z = yi olur. z = ±z + i + yi = yi + i ( ) + yi = + ( y + )i ( ) + y = + ( y) Her iki taraf karesii alal m y = + 4 4y + y y = 0 6 4y = 0 buluur. Bu deklem aalitik düzlemde bir do ruyu belirtir. Cevap D Örek 66 m, gerçek say lard r. + m + = 0 deklemii kökleride biri = + i oldu ua göre, m + toplam kaçt r? A) 6 B) 7 C) 8 Çözüm D) 9 E) 0 Gerçek katsay l deklemlerde köklerde biri karmafl k say ise di eri de karmafl k say d r. Ayr ca kökler birbirii efllei idir. Bua göre, = + i ise = i olur. b m + = =, a + i + i = m ( + i) ( i) = m = 6 = 9 4i m + = 6 + = 7 buluur. c = = = a = 9 4( ) = = Cevap B

27 0 0 0 Kutupsal Biçimi Koordiat sistemide z(, y) oktas bafllag ç oktas a uzakl z = r ve [Oz fl eksei ile pozitif yöde yapt aç ölçüsü θ ise, OzH üçgeide, cos θ = = z. cos θ z siθ = y = z. siθ olur. z 0 θ < π de erie ise z karmafl k say s esas argümeti deir ve Arg(z) = θ biçimide yaz l r. Geel olarak z karmafl k say s kutupsal koordiatlar z = r ve θ + k. π dir. z = z [cos (θ + k.π) + isi (θ + k.π)] eflitli i z i kutupsal biçimidir. k = 0 içi z = z (cosθ + isiθ) = z cisθ O y z = r θ z (, y) y H yaz labilir. Esas argümeti bulabilmek içi afla daki tabloda yararlaabiliriz. z ve θ say lar a z oktas kutupsal koordiatlar deir. z(, y) oktas ( z, θ) = (r, θ) biçimide de gösterilebilir. θ si cos ta ta m s z cot ta m s z 0 Kutupsal Koordiatlar Karmafl k say larda; z = + yi biçimide yaz la z say s içi, = r cosθ, y = r siθ oldu uda ( z = r) z = r cosθ + i. r siθ z = r (cosθ + isiθ) veya z = z (cosθ + isiθ) eflitli i buluur. Bu eflitli e z karmafl k say s kutupsal biçimde yaz l fl deir. k Z, θ R, 0 θ < π olmak üzere zoh aç - s ölçüsü θ + k. π ile ifade edilebilir. Bu say - ya z karmafl k say s argümeti deir. arg(z) = θ + k. π biçimide yaz l r. Örek 67 z = ñ + ñi say s kutupsal biçimde gösterelim. Çözüm cosθ = y θ 6 z = fiekilde de alafl laca üzere karmafl k say m z. bölgededir. = = θ = 4. ( ) + ( ) = 6 z = z (cosθ + isiθ) = ñ (cos4 + isi4 ) 4

28 0 0 0 Örek 68 z = ñ i karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm y si(+) cos( ) ta( ) cot( ) si( ) cos( ) ta(+) cot(+) si(+) cos(+) ta(+) cot(+) si( ) cos(+) ta( ) cot( ) Arg(z) = π θ θ θ Arg(z) = π + θ Arg(z) = θ z θ θ Arg(z) = π θ z = ( ) + ( ) = 6 = 4 fiekilde de alafl laca üzere karmafl k say 4. bölgededir. cos θ = = 4 (, ) oldu uda θ = 0 buluur. z = z (cosθ + isiθ) = 4 (cos0 + isi0 ) Bölgelerdeki trigoometrik foksiyolar iflaretleri karmafl k say lar içi öemlidir. Örek 69 karmafl k say s stadart biçimde yaz z. Çözüm z= cos π + isi π Yadaki trigoometrik bilgileri bilirsek daha kolay ifllem yapabiliriz. cos π =, si π = π π z= cos + isi z= + i = + i olur. Etkilik Afla da verile say lar kutupsal gösterimlerii yaz p karmafl k düzlemde gösterelim. z θ = Arg(z) z. cisθ Karmafl k Düzlem z = i 90.cis90 z = i z = z 4 = 6

29 < α < 90 ise, olur. Örek 70 karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm Karmafl k say y cosθ + isiθ biçimide yazmaya çal flaca z. si π 6 =cos π π 6 =cos π cos π 6 =si π π =si π 6 Buldu umuz de erleri verile eflitlikte yerie yazarsak, z=cos π +isi π =cis π buluur. Örek 7 π si α = cos α ta α π = cot α π cos α = si α π cot α = ta α z=si π 6 +icos π 6 z = si0 + icos0 karmafl k say s kutupsal biçimde yaz z. Çözüm si0 = cos40 ve cos0 = si40 oldu uda z = si0 + icos0 z = cos40 + isi40 z = cis40 buluur. Örek 7 z = 4 + i karmafl k say s kutupsal biçimde yaz - z. Çözüm z = ( 4) + = cos θ= 4 Örek 7 Kutupsal koordiatlar, π stadart yaz l fl bulal m. Çözüm ola karmafl k say - Kutupsal koordiatlar (r, θ) ola karmafl k say z = r cisθ = r(cosθ + isiθ) oldu uda z= cos π +isi π cos π = z 4 θ =arccos, si θ 0 olur. π = z= + i buluur. y 4 si θ= θ=arcsi z = z ( cos θ+isiθ) 4 z= cos arccos +isi arcsi buluur. a a si θ= ise, θ= arcsi b b a a cos θ= ise, θ= arccos b b oldu uda 6

30 0 0 0 Örek 74 z = i say s esas argümeti θ ise, secθ kaçt r? Çözüm 0 cosθ= y θ z = G z z = + ( ) = Örek 76 z + + i = eflitli ii sa laya z karmafl k say lar esas argümetii e küçük ve e büyük de erleri kaçt r? Çözüm z + + i ( + ) + (y + ) = merkezi (, ) ve yar çap birim ola çemberdir. y karmafl k say m z 4. bölgededir. secθ = = = cosθ buluur. Örek 7 Esas argümeti α ola z karmafl k say s içi, z = secα ise, Re(z) i alabilece i de erler çarp m kaçt r? Çözüm z = + iy π Argz π e küçük de eri π ve π e büyük de eri dir. z= +y =secα + y = sec α + y = + ta α + y y = + =, taα y + y + y = = Re(z) =, = veya = de erleri çarp m.( ) = buluur. sec θ = cos θ cosec θ = si θ sec α = + ta α cosec α = + cot α Örek 77 4π Arg(z) = ve z.z = 6 oldu ua göre, z karmafl k say s buluuz. Çözüm z = z.±z oldu uda z = 6 z = 4 buluur. Bua göre, z = z.cisθ oldu uda 4π 4π 4π z = 4cis = 4(cos + isi ) = ñi olur. 7

31 0 0 0 Örek 78 z siα.z + si α = 0 deklemii sa laya z karmafl k say lar içi Arg(z) i alabilece i de erler toplam kaçt r? Çözüm = b 4ac = ( siα) 4..(si α) = 4si α z = b + si α+ 4si α = a = si α+isiαii z = siα + siαi (siα > 0) Arg z = z = siα siαi (siα < 0) Arg z = z = si α 4si z = siα + siαi (siα < 0) Arg(z ) = π 4 z = si α siαi (si α > 0) Argz = 7 π 4 α =siα si I αii π 4 π 4 veya, Çözüm z = + cos40 + isi40 = + cos 0 + i.si0.cos0 = cos 0 + cos0.si0 i = cos0 (cos0 + isi0 ) Arg(z) = 0 Örek 80 ±z = r (cosα + isiα) oldu ua göre, z say s kutupsal biçimde yaz l fl gösterelim. Çözüm ±z = r(cosα + isiα) ise z = r(cosα isiα) α α z = r(cos(π α) + isi(π α)) olur. ±z z Argz i alabilece i de erler toplam, π π π π π = 6 4 =4π siα =.siα.cosα cosα = cos α si α = cos α = si α buluur. Kutupsal Biçimde Verile da Dört fllem. Toplama veya ç karma ifllemleri yap l rke karmafl k say lar mutlak de erleri eflit ise döüflüm formülleri yard m ile toplama ya da ç karma ifllemi yap labilir. Mutlak de erler eflit de il ise karmafl k say lar stadart biçime getirildikte sora toplama veya ç karma ifllemi yap labilir. Örek 79 z = + cos40 + isi40 say s esas argümeti kaç derecedir? Örek 8 z = (cos0 + isi0 ) z = (cos70 + isi70 ) oldu ua göre, z + z toplam bulal m. 8

32 0 0 0 Çözüm z + z = (cos0 + isi0 ) + (cos70 + isi70 ) = [cos0 + cos70 + i(si0 + si70 )] = [cos0. cos0 + isi0. cos0 ] = cos0 +i cos0 = 4 cos 0 +. cos0 = cos 0 ( + i) olur. Döüflüm Formülleri: sia + sib = si a+b cos a b cosa + cosb = sia sib = cos a+b cos a b cos a+b si a b cosa cosb = si a+b si a b. Çarpma ifllemi yap l rke ise karmafl k say lar mutlak de erleri çarp l r. Argümetler ise topla r. Yai; Çözüm π z w= cos + π 6 +isi π + π 6 = 0 cos π ( ) +isi π = 0 0 +i = 0i Örek 8 z z Çözüm Cevap B Yadaki karmafl k düzlemde gösterile z ve z karmafl k say lar içi z. z çarp m soucuu bulal m. Arg(z ) = = 0 z =.cis0 Arg(z ) = = 0 z = 4.cis0 z.z = cis0.4cis0 z.z = cis0 dir. y z = r (cosα + isiα) z = r (cosθ + isiθ) z.z = r (cosα + isiα). r (cosθ + isiθ) Örek 8 = r. r [cos(α + θ) + isi(α + θ)]. Bölme ifllemi yap l rke karmafl k say lar mutlak de erleri bölüür. Argümetleri ise ç kar l r. z = r (cosα + isiα) z = r (cosθ + isiθ) z= cos π +isi π w= cos π 6 +isi π 6 oldu ua göre, z. w çarp m afla dakilerde hagisidir? A) i B) 0i C) 0i D) 0 E) 0 z z = r (cos α+ isi α) = r r (cos θ+ isi θ) r ( cos( α θ ) + isi( α θ )) 9

33 0 0 0 Örek 84 oldu ua göre, karmafl k say s esas argümeti kaçt r? 7π π A) B) C) 0 0 Çözüm Örek 8 9π D) E) 0 π cos z w = +isiπ cos π 4 +isi π 4 =cos π π 4 +isi π π 4 oldu ua göre, Arg(z) kaç derecedir? Çözüm z = ñi ve z = ñ + i olsu. Cevap E Öce karmafl k say lar kutupsal biçimlerde yazal m. z = cis00 z = cis0 z=cos π +isi π w=cos π 4 +isi π 4 z w =cos 7π 7π +isi Arg 0 0 z= i +i z= cis 00 cis 00 0 cis70 cis0 = ( ) = Arg(z) = 70 dir., 7π 0 π 0 z w = 7π 0 Örek 86 cos7 + isi7 z = cos + isi karmafl k say s afla dakilerde hagisidir? +i i A) B) C) Çözüm cos7 + isi7 z = cos + isi Örek 87 i D) E) (ÖSS 009) = cos(7 ) + isi(7 ) = cos60 + isi60 = O merkezli çember üzeride z ve z karmafl k say - lar verilmifltir. z= z z Çözüm kaçt r? z = rcis (90 α), z = rcis (70 + α) z z ise, Arg(z) rcis. ( 70 + α) z = = cis(70 + α 90 + α) rcis. ( 90 α) z Arg(z) = 80 + α d r. y α 0 α + = + i i buluur. Cevap E z z = cis(80 + α) Bir Karmafl k Say y Oriji Etraf da Dödürme z = z (cosθ + isiθ) karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde α kadar dödürülmesiyle elde edile karmafl k say z' = z (cosθ + isiθ)(cosα + isiα) z' = z (cos(θ + α) + isi(θ + α)) olur. +i 40

34 0 0 0 Örek 88 z = (cos7 + isi7 ) say s oriji etraf da pozitif yöde 4 dödürülmesiyle elde edile karmafl k say y buluuz. Çözüm z' = (cos7 + isi7 )(cos4 + isi4 ) z' =.(cos(7 + 4 ) + isi(7 + 4 ) z' =.(cos0 + isi0 ) = z' = Örek 89 π karmafl k say s oriji etraf da egatif yöde kadar dödürülmesiyle elde edile karmafl k say y buluuz. Çözüm π Negatif yöde kadar dödürmek π kadar dödürmek demektir. oldu uda, + i π π z=cos +isi 6 6 π =π π = π +i z' = cos π 6 +isiπ 6 cosπ + isiπ z' = cos π 6 + π +isi π 6 + π z' = cos π 6 +isiπ 6 Örek 90 z = a + bi ve z = c + di karmafl k say lar verilsi. z karmafl k say s pozitif yöde 0 ve z karmafl k say s egatif yöde 60 dödürülmesiyle ay karmafl k say elde edildi ie göre yi buluuz. z z Çözüm z ve z i dödürülmesiyle ay z say s buluuyorsa, z = (a + bi) [cis 0 ] z = (c + di) [cis( 60 )] z z Örek 9 oralarsak a+bi cis( 0 ) z c+di cis z = cis( 0 ( ) ( 60 )) 60 z karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde 40 dödürülmesiyle olufla yei karmafl k say z = + i dir. z karmafl k say s oriji etraf da pozitif yöde 00 dödürülmesiyle olufla karmafl k say y buluuz. Çözüm z z = cis( 0 ) = cis( 60 0 ) = cis0 = + i buluur. fiekilde de alafl - laca üzere z karmafl k say s pozitif yöde 60 dödürürsek yei karmafl k say z elde edilir. = z (cos60 + isi 60 ) = ( + ) i + i = + i( + ) buluur. O y z z 4

35 0 0 0 da Kuvvet Alma z = r(cosθ + isiθ) ve pozitif do al say olmak üzere, z = [r(cosθ + isiθ)] = r [cos(.θ) + isi(.θ)] d r. Bu kurala De Moivre (Dö Muavr) Kural deir. Öre i, z = cos + isi ise z 4 = cos(4. ) + isi(4. ) = cos60 + isi60 = + i olur. z = cis6 ise z = cis(.6 ) = cis80 = (cos80 + isi80 ) = olur. Örek 9 z = + ñi oldu ua göre, z 60 say s afla dakilerde hagisidir? A) 0 B) 60 C) 0 D) 0 E) 0 Çözüm z= + i z = ( ) + = 4 cos θ = 4 = θ =0 = π y ( ) z Örek 9 z=cos π 6 +isi π 6 θ = π 0 oldu ua göre, z 8 say s esas argümeti afla dakilerde hagisidir? π π π A) π B) C) D) E) 4 6 Çözüm 8 z = cos π 6 +isi π 6 8 =cos 8 π 6 +isi 8 π 6 = cosπ +isiπ Arg(z ) = π=π+π 8 π 8 z=4 cos π +siπ 60 = 4 cos 60 π z 60 +i si 60 π 60 = 4 ( cos40π +isi40π ) buluur. 40π = 0.π + 0 oldu uda, aç esas ölçüsü 0 olur. z 60 = 4 60 (cos0 + isi0) = 4 60 = ( ) 60 = 0 0 Cevap A π periyot oldu u içi z 8 say s esas argümeti π olur. Cevap A 4

36 0 0 0 Örek 94 z= cos π +isi π z =.cis0 oldu uda z 9 = 9.cis(0.9) z 9 =.cis70 = i buluur. oldu ua göre, z i hesaplay z. Çözüm z = z = cos π +isi π = cos π π +isi π π z = cos 4π +isi 4π z = 4π cis Örek 9 z oldu ua göre, z 9 afla dakilerde hagisie eflittir? A) i B) C) Çözüm = + D) i E) (ÖYS 998) Öce verile karmafl k say y kutupsal biçimde yazal m. z = ( ) + ( ) = ve taθ = Arg(z) = 0 dir.. Arg(z.z ) = Argz + Argz z. Arg = Argz Argz z. Arg(z) = θ ise, Arg(±z) = π θ 4. Arg(z) = θ ise, Arg(z ) = π θ i + i + i oldu uda Örek 96 z = + ñi say s ile z = cis0 say s içi, z z de eri kaçt r? Çözüm z = ( ) +( ) = z,. bölgede ve cosθ =, θ = 0 z = cis0 z = (cis(0 )) = cis(0.) = cis0 z z = +...cos0 (kosiüs teoremi uygulad k.) z z = ( ki taraf kareköküü al rsak) z z = Iz z I z z 0 y 0 4 = buluur. Cevap A Karekökleri z, v C, v = z ise, v say s a z karmafl k say s - karekökü deir. Reel say larda baz lar karekökü reel say de ildir. Her karmafl k say karekökü yie bir karmafl k say d r. 4

37 0 0 0 Örek 97 z = i oldu ua göre, z kaçt r? Çözüm z = a + bi, (a, b R) olsu. (a + bi) = i a + abi + b i = i (i = ) a b + abi = i Karmafl k say lar eflitli ide a b = ve ab = ab = 6 Örek 98 z =9 cos π +isiπ deklemii köklerii buluuz. Çözüm θ+k π θ+k π z k = z cos +isi θ θ = z cos +k π +isi +k π, k { 0, } b = 6 a z = 9 ve θ = π oldu u içi, a 6 = a a 6 a = a 4 a 6 = 0 a 9 a +4 (a 9) (a + 4) = 0 a 9 = 0, a + 4 = 0 a 9 = 0 a = 9 a = veya a = 6 b = 6 b = 6 = veya b = = a O halde, z = a + bi = i veya z = + i olur. a + 4 = 0 a = 4 karesi egatif ola gerçek say yoktur. π π z = 9 cos +k π +isi k +k π = cos π +k π +isi π +k π k=0 z = cos π 0 +isiπ k = z = cos 4π +isi4π biçimide iki kök buluur. Örek 99 z = i deklemii köklerii buluuz ve karmafl k düzlemde gösteriiz. w = IzI cisθ ve N + olmak üzere, z = w deklemii kökleri, θ +k π z = rcis k k {0,,,..., ( )} dir. Çözüm y θ = 90 0 Iz I = 0 + = cos θ = 0 =0 θ =π z = cos π +isiπ 44

38 0 0 0 π +k π π +k π z=cos +isi =cos π 4 +k π + isi π 4 +k π k=0 z =cos π 4 +isiπ 4 = + i 0 y z 0 0 θ/ 0 z 0 k= z =cos π 4 +isi π 4 = i z de erleri buluur. y z 0, z ve z say lar bir eflkear üçgei köfleleridir. Bu say lar yar çap z ola çember üzeridedir. z 0 π O π 4 Örek 00 z z =8 cos π 4 +isi π 4 Bu kökleri karmafl k düzlemde gösterdi imizde kökleri br yar çapl merkezcil çember üzeride oldu- u ve say lar orijie birlefltire do ru parçalar aras daki aç ölçüsüü π radya oldu u görülür. Küpkökleri z = z cos( θ+k π)+isi( θ+k π) karmafl k say s küpkökleri z = z cos θ+k π +isi θ+k π k olur. (k {0,, }) z karmafl k say s tae küpkökü vard r. (k Z) k = 0 içi z = z cos θ 0 +isi θ k= içi z = z cos +π +isi +π θ θ k= içi z = z cos θ+4π +isi θ +4π deklemii köklerii buluuz ve karmafl k düzlemde gösteriiz. Çözüm z = k eflitli ide k tam say s a 0,, de erlerii verelim. k=0 z = cos π 4 +isi π 0 4 k= z = cos π + isi π k= z = cos 9π +isi9π de erleri buluur. z π π 8 cos π π y O π 4 z 0 π 4 r = 9π z +k π +isi π 4 +k π Bu kökleri karmafl k düzlemde gösterdi imizde kökler, br yar çapl merkezcil çember üzeridedir ve bu say lar bafllag ç oktas a birlefltire do ru parçalar aras da radyal k, yai 0 aç lar vard r. 4

39 0 0 0 Z = w Deklemii Kökleri z C, Z + olmak üzere z = w = r.cisθ deklemii kökleri z k olsu. k = 0 k =. içi içi k = içi z olur. z =r (cis θ+kπ k ), k {0,,,, } =rcis θ+( ) π, Arg(z = θ+( ) π ) O halde ici derecede kök al rke k ya 0 da bafllayarak ( ) e kadar de erler verilir ve tae kök buluur. Örek 0 z 4 = 6(cos80 + isi80 ) karmafl k say s köklerii buluuz. Çözüm z 4 = 6(cos80 + isi80 ) ise, k 60 ) 80 + k 60 z k = 6 (cos( )+isi( )) 4 4 z k =.(cos(0 + k.90 ) + isi(0 + k.90 )) olur. Bua göre, k = 0 içi k = içi k = içi k = içi z = r z =r (cis θ 0 ), Arg(z θ 0) = cis θ+π, Arg(z ) = θ+π z = a + bi deklemii kökleri geel olarak taedir. Bu say lar yar çap z ola merkezcil çember üzeride buluurlar. Say lar görütüleri ola oktalar bafllag ç oktas a birlefltirildi ide aralar da ölçüsü ola aç lar oluflur. Bulua kök- π ler düzgü -gei köfleleridir. z 0 = (cos0 + isi0 ), z = (cos0 + isi0 ), z = (cos00 + isi00 ), z = (cos90 + isi90 ) buluur. Örek 0 z = + i deklemii sa laya z karmafl k say lar bulal m. Çözüm + i = ó + = ñ8 = ñ Arg( + i) = θ,. bölgede θ = 4 z =( ) cis 4 +k.60 k z = k 0 k = 0 içi k = içi k = içi k = içi k = 4 içi olur. Bulua kökler bir düzgü beflgei köfleleridir. Bu 0 say lar yar çap 8 birim ola çemberi üzeridedir. Örek 0 z = i eflitli ii sa laya z karmafl k say lar bulal m. Çözüm 8.[cis(9 +k.7)] z = 0 z = z = z = z = 4 8.(cis97 ) z = cis90 z = cis 90 + k.60 k = cis(8 +7 k) k = 0 içi z 0 = cis8 k = içi z = cis90 k = içi z = cis6 k = içi z = cis4 k = 4 içi z 4 = cis buluur. 0 8 (cis8 ) 0. 8 (cis9 ) 0. 8 (cis ) 0. 8 (cis ) 0. 46

40 0 0 0 Ölçme ve de erledirme 47

41 0 0 0 Etkilik Yapal m Etkilik Afla daki eflitlikleri iceleyerek karfl s daki uygu kutuyu iflaretleyelim. i = i i = i i 00 = i i 90 = D Y Etkilik 4 z = i, z = + 4i karmafl k say lar içi afla daki ifllemleri yapal m. z + z i 00 = 4 i 0 = i i + i i 4 = 0 z. z i0 i 7 = + i i 0 + i 4 z + z i00 + i 0 = + i i 0 i8+ i +9 i = i 4+ + i 6+7 z.z 48

42 0 0 0 Etkilik Afla daki eflitlikleri sa laya karmafl k say lar geometrik yerlerii buluuz ve afla daki karmafl k düzlemlerde gösteriiz. z + i = y Etkilik 6 Stadart biçimde verile karmafl k say lar kutupsal biçimde gösteriiz. z = + ñi z i y z = i z = < z + i y z = ñ ñ6i

43 0 0 0 Birlikte Çözelim. z = ó 49 karmaşık sayısıı reel kısmı a, saal kısmı b olduğua göre a. b kaçtır? A) 7 B) C) 0 D) E) 7. z= i + i karmaşık sayısıı eşleiği aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm ó 49 = ó. 49 = ò. ò7 = 7i z = 0 + 7i a = Re(z) = 0, b = İm(z) = 7 a.b = 0.7 = 0 buluur. A B C D E Çözüm A) + i B) i C) i D) + i E) + i z= i + i = = i i i + = ( i)( i) (+ i)( i) 4i+ = 4 4i = i z = + i buluur. A B C D E. i = olmak üzere, i i 00 + i 0 + i 0 Çözüm işlemii soucu kaçtır? A) i B) i C) 0 D) E) 009 = (mod4) i 009 = i 00 = (mod4) i 00 = 0 = (mod4) i 0 = i 0 = 0(mod4) i 0 = i i 00 + i 0 + i 0 = i i + = 0 A B C D E 4. Gerçel kısmı ve saal kısmı ola karmaşık sayıı çarpmaya göre tersi aşağıdakilerde hagisidir? Çözüm +i A) B) + i C) 0 D) i E) i Re(z) =, İm(z) = ola karmaşık sayı z = i dir. z i çarpma işlemie göre tersi dir. z z = i = i +i +i = +i 9 i = +i 9+ = +i 0 +i 0 A B C D E 0

44 ( i) ( + i) 64 işlemii soucu aşağıdakilerde hagisie eşittir? 7. Karmaşık düzlemde z, z, z karmaşık sayıları gösterilmiştir. y z Çözüm A) 6 B) 0 C) 8 D) 4 E) ( i) (+ i) = ( i)(+ i) = ( i ) 0 0 = ( ) = olur ( i) (+ i) 64 = ( ) 6 4 = =6 A B C D E z 4 z Yukarıdaki verilelere göre z z + z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) 9 i B) 7 + i C) 9 + i D) 7 i E) 0 Çözüm Karmaşık düzlemde alaşılacağı üzere, z = + i z = 4 z = i 6. doğal sayı olmak üzere, P() = olduğua göre, P(i) aşağıdakilerde hagisie eşittir? A) B) 0 C) D) i E) i z z + z = ( + i) ( 4) i = 4 + 6i + 4 i = 7 + i A B C D E Çözüm P(i) = + i + i 4 + i i 6000 i =, i 4 =, i 6 =, i 8 = devam edilirse i 6000 = buluur. P(i) = = A B C D E 8. a ve b iki reel sayıdır. z = (a ) + (b a)i z = a b + (b )i z z = olduğua göre, a + b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E)

45 0 0 0 Çözüm (a ) + (b a)i a b + (b )i = (a ) + (b a)i = (a b + (b )i) (a ) + (b a)i = 4a 6b + (b )i a = 4a 6b 6b a = () b a = b b + a = () () ve () deklemlerii birlikte çözersek, 0. Re(z) İm(±z) = Çözüm Re(z ) + İm(z) = 7 olduğua göre, ±z ± aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) i C) + i D) + i E) i z = + iy ve ±z = iy olsu. Re z = Re ±z = Im z = y, Im±z = y b= 8 9 ve a= 0 9 ve a + b = olur. ( y) = A B C D E + y = 7 Deklemler ortak çözülürse, = y = olur. z = i, ±z = + i 9. a < 0 olmak üzere, A B C D E z = a i ve z = 7i dir. z z = olduğua göre, a kaçtır?. R + olmak üzere, A) P B) P C) r D) r E) ( z= i)( i) ( + i) veriliyor. Çözüm z z = a i ( 7i) = a i + + 7i a= (a+) +4 = (a + ) + 6 = (a + ) = 9 a + = veya a + = a = P veya a < 0 olduğua içi = a + + 4i (Her iki tarafı karesii alırsak) a = r a = r Çözüm z = olduğua göre, kaçtır? A) B) A C) C D) E) G ( z = = i)( i) i i = ( + i) +i ( ) +( ) +( ) + + = 4 = 4 + ( ) A B C D E

46 0 0 0 ó + = + = 4 = (Her iki tarafı karesii alırsak). z + i = eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıı, karmaşık düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerde hagisidir? R + = ñ veya = ñ olur. olduğua göre, = ñ olur. A B C D E A) y B) y C) y D) y. z = + i z = i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık 0 birim olduğua göre, i alabileceği değerler çarpımı kaçtır? E) y A) B) 6 C) 4 D) 0 E) 6 Çözüm Karmaşık sayılar arasıdaki uzaklık z z dir. z z = i i = 8i Çözüm = ( ) + ( 8) = 0 z = + iy olsu. (Her iki tarafı karesii alırsak) + iy + i = ( ) + 64 = 00 ( ) = 6 = 6 veya = 6 = 8 veya = 4 olur. Değerler çarpımı 8.( 4) = A B C D E + (y + )i = ( ) + (y + ) = ( ) + (y + ) = (İki tarafı karesii alırsak) merkezi (, ), yarıçapı birim ola bir çember belirtir. A B C D E

47 z = ñ sayısıı kutupsal şekilde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir? A) cos π 6 +isi π 6 B) cos π 6 +isi π 6 C) 4 cos π 6 + isi π 6 D) 4 cos π 6 +isi π 6 π π E) 4 cos + isi 6 6 Çözüm cos( 70 ) = cos(60 70 ) = cos90 = 0 si( 90) = si(60 90) = si70 = olur. z = (0 i) = i A B C D E Çözüm 6. z = si08 + icos08 z = si48 icos48, C (C, ) z olduğua göre, Arg z kaç derecedir? A) 4 B) 60 C) 6 D) E) 6 z = y ( ) + ( ) = + 4 = 4 Çözüm z = si08 + icos08 z, 4. bölgededir. cosθ = z = 4 = 4 cos π 6 +isi π 6 θ = π 6 olur. A B C D E z = cos(70 08 ) + isi(70 08 ) z = cos6 + isi6 z = si48 icos48 z = cos( ) + isi( ) z = cos8 + isi8 z z = cis6 cis8 = cis(6 8 ) = cis( 6 ). z = (cos( 70 ) + isi( 90 )) karmaşık sayısıı stadart biçimde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) C) D) + i E) i Arg z z = cis(60 6 ) = cis( ) = A B C D E 4

48 z = 7 4i Çözüm deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) 4 + i B) + 4i C) 4 i D) + 4i E) 4 i z = a + bi olsu. z = 7 4i a, b R (a + bi) = 7 4i a + abi + (bi) = 7 4i a + abi b = 7 4i a b = 7 () ab = 4 () ab = b= a () olu deklemde yerie yazarsak, a =7 a a 44 =7 a a 4 44 = 7a a 4 7a 44 = 0 8. z = cis96 Çözüm sayısıı oriji etrafıda egatif yöde 6 dödürülmesi ile oluşa sayı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) i + i C) D) i + i E) 6 dödürülmesiyle oluşa yei karmaşık sayı z olsu. z = cis96. cis( 6 ) + i z = cis(96 6 ) =. cis( 0 ) = cis(60 0 ) = cis0 = i A B C D E (a 6)(a + 9) = 0 a = 6, a = 9 (reel kök yok) a = 4 veya a = 4 bu durumda kökler, a = 4 içi a = 4 içi b= a = 4 = b= a = 4 = z = 4 i ve z = 4 + i olur. A B C D E

49 0 0 0 Ö rediklerimizi Test Edelim. Z olmak üzere, i +i +i i i i ifadesii değeri edir? A) B) C) 0 D) i E) i. i = olmak üzere, işlemii soucu aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) + 4i C) 4i D) E) i. z = + i, z = i, z = + i olduğua göre, aşağıdakilerde hagisi doğrudur? A) z > z > z B) z > z > z C) z > z > z D) z > z > z E) Karmaşık sayılarda sıralama yapılamaz. 6. i = ò olmak üzere, ( i) ( i ) ( i ) ( i 7 ) ( i 9 ) işlemii soucu kaçtır? A) 64 B) i C) 6i D) 6 E) 7. z = ñi. ( ñ i) 00. ( + ñ i) 00 işlemii soucu kaçtır? A) 00 B) 00 C) 00 D) 0 E) 4 0 olduğua göre, z 4 aşağıdakilerde hagisidir? A) + ñ i B) 4 4ñ i C) 8 + 8ñ i D) 6 6ñ i E) ñ i = 0 deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) i B) i C) i D) + i E) + i 8. Kökleride biri + ñi ola, reel kat sayılı ikici derecede deklem aşağıdakilerde hagisidir? A) = 0 B) 4 = 0 C) + 4 = 0 D) = 0 E) 4 + = 0 6

50 f(z) = z 0 z + i i olduğua göre, f(i) i saal kısmı kaçtır? A) B) P C) 0 D) P E). z = i z = 4 + i karmaşık sayıları arasıdaki uzaklık kaç birimdir? A) ñ B) ñ C) ñ D) E) 4ñ 0. z = i ifadesii çarpmaya göre tersi aşağıdakilerde hagisidir? i +i A) + i B) C) 4. z karmaşık sayı olmak üzere, z ±z + z = + 9i ise, Rez. Imz çarpımıı soucu kaçtır? A) B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 +i D) E) + i. z = + i olmak üzere, z z işlemii soucu kaçtır? A) i B) + i C) i D) i E) + i. i z ±z = 0 deklemii sağlaya z karmaşık sayılarıı geometrik yeri aşağıdakilerde hagisidir? A) Reel Ekse B) Saal ekse C) I. bölge D) Orji E) Orji ve saal ekseii egatif parçası. z ±z + i = 4i eşitliğii sağlaya karmaşık sayıı modülü kaçtır? A) ñ B) ñ C) D) ñ E) ñ7 6. z + i = 4 eşitliğii sağlaya z karmaşık sayılarıda modülü e küçük olaı modülü kaçtır? A) B) 9 C) D) E) 7 B - E - C - A I C - E - C - A I B - C - C - D I C - A - E - B 7

51 0 0 0 Ö rediklerimizi Test Edelim. z = ñ i karmaşık sayısıı kutupsal biçimde yazılışı aşağıdakilerde hagisidir?. z = cos0 + isi0 sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 0 C) 6 D) 7 E) 90 A) B) cis 7 π cis 7 π C) 6 6 cis 6 π π D) cis E) 6 4cis 7 π 6 6. z = cos80 + isi80 sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) 40 B) 0 C) 0 D) 40 E) 0 π. Modülü 6, argümetlerde biri ola karmaşık sayısıı stadart biçimde yazılışı 4 aşağıdakilerde hagisidir? A) ñ ñi B) ñ ñi C) ñ + ñi D) ñ + ñi E) ñ ñi. Modülü, esas argümeti 8 ola z sayısı ile modülü 4 esas argümeti ola z sayısı veriliyor. 7. z + 4i = ñ koşuluu sağlaya z karmaşık sayılarıda esas argümeti e küçük olaı esas argümeti kaç derecedir? A) 60 B) 90 C) 0 D) 0 E) 40 Bua göre, z. z çarpımı kaçtır? A) + ñi B) 4 + 4ñi C) 6 + 6ñi D) 6 6ñi E) 4 4ñi 8. z = i(cos + isi) karmaşık sayısıı esas argümeti kaç derecedir? A) B) 6 C) D) E) 4. i = olmak üzere, z = + ñi olduğua göre, z 0 karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) 0 ( + ñi) B) 9 ( ñi) C) 8 ( +ñi) D) 7 ( ñi) E) 6 (ñ i) 9. i = ò olmak üzere, cos00 + isi00 cos40 + isi40 ifadesii eşiti kaçtır? A) ñ B) ñ7 C) ñ D) E) 7 8

52 z = i karmaşık sayısıı oriji etrafıda pozitif yöde 90 dödürülmesiyle elde edile sayı z dir. Bua göre ±z± değeri kaçtır? A) ò B) ñ7 C) D) ñ E) ñ 4. z = ñ + i deklemii kökleride birii argümeti aşağıdakilerde hagisidir? A) 60 B) C) D) 70 E) 0. i = olmak üzere, z + i = 0 π. Hagi sayıı egatif yöde radya dödürülmesiyle elde edile karmaşık sayı ñ i olur? A) ñ i B) ñ + i C) ñ i D) ñ + i E) ñi deklemii kökleri z, z, z tür. Bua göre, Arg(z ) + Arg(z ) + Arg(z ) kaç derecedir? A) B) C) 60 D) 49 E) π. Arg(z + i) = ve Arg(z ) = 4 π 4 6. z 0 + iz = 0 eşitliğii sağlaya sıfırda farklı z karmaşık sayılarıda biri aşağıdakilerde hagisidir? A) cis4 B) cis60 C) cis0 D) cis0 E) cis40 eşitliklerii sağlaya z karmaşık sayısı aşağıdakilerde hagisidir? A) B) C) i i + i 7. z İm(z) D) E) i i 0 A 4 Re(z). i deklemii kökleride biri aşağıdakilerde hagisidir? A) + i B) + i C) + i D) + i E) i Şekildeki karmaşık düzlemde z = birim, z z = ñ birim olduğua göre, aşağıdakilerde z hagisidir? A) + i B) + i C) ñ + i D) ñ i E) ñ + i A - B - C - B I C - E - D - C - D I A - A - A - C I C - D - C - B 9

53 0 0 0 Yaz l sorular Soru < 0 < y olmak üzere, sayısıı reel ile imajier kısımlarıı buluuz. Çözüm y +y + y Soru Aşağıda bir kökü verile gerçel kat sayılı ikici derecede deklemleri yazıız. a) = i b) = 4i c) = i d) π = π i 4 Çözüm Soru π θ π, olmak üzere, z = taθ i olduğua göre, ± ±z değerii buluuz. Çözüm Soru 4 i = olmak üzere, işlemii soucuu buluuz. Çözüm + i i + 4i + i 60

54 0 0 0 Soru < z + i eşitliğii sağlaya z karmaşık sayısıı karmaşık düzlemde gösteriiz. Çözüm Soru 7 ±z = ñi ±z = i olduğua göre, z.z çarpımıı kutupsal biçimde gösteriiz. Çözüm Soru 8 z, w C olmak üzere, Soru 6 z 0 + 4i = deklemii sağlaya ve mutlak değeri e büyük ola karmaşık sayıyı buluuz. Çözüm z = ñi karmaşık sayısıı oriji etrafıda 0 dödürülmesiyle elde edile yei karmaşık sayı w dir. w sayısıı köklerii kutupsal biçimde gösteriiz. Çözüm 6