KÜMELER. Kümeler YILLAR MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

Transkript

1 MTEMTĐK ĐM YILLR ÖSS-YGS /1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul ederler Örneğin ; Ülkemizin ırmakları iyi tanımlanmıştır ve bir küme oluşturur Çünkü sayıları da isimleri de bellidir ncak, sınıfımızın başarılı öğrencileri iyi tanımlanmamıştır Çünkü bir dersten başarılı olan bir öğrenci, başka bir dersten başarısız olabilir u yüzden de küme oluşturmaz KÜMELERĐN GÖSTERĐMĐ 1) LĐSTE YÖNTEMĐ: Küme elemanlarını aralarına virgül koyarak küme parantezi arasında yazma yöntemidir ={a,b,c,d,e,f} ) Venn Şeması: Küme elemanlarını kapalı bir geometrik şekil içinde, soluna nokta koyarak belirtme yöntemidir MTEMTĐK ĐM UYRI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez EVRENSEL KÜME Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye denir ve E ile gösterilir EŞĐT KÜME ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir ={1,,,4} ve ={x 0<x<5, x N} ise = dir DENK KÜME: Eleman sayıları eşit olan kümelere denir s()=s() ise dir ={a,b,c} ve ={1,,}, s()=s()= olduğundan dir ) ORTK ÖZELLĐK YÖNTEMĐ: Kümenin elemanları değil ortak özellikleri belirtilir ={x <x<5, x Z} ELEMN SYISI ir kümesinin eleman sayısı s() ile gösterilir ={a,b,c,d,e,f} s()=6 OŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir φ veya {} ile gösterilir YRIK KÜME : Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir ve ayrık kümeler ise =φ dir ={1,,,4} ve ={a,b,c,d,e} ise ve kümeleri ayrık kümelerdir = φ LT KÜME : ve boş olmayan iki küme olsun kümesinin her elemanı, kümesinin de elemanıysa kümesi kümesinin alt kümesidir denir ve veya ile gösterilir wwwglobalderscom 88

2 MTEMTĐK ĐM 5 Örneğin i hesaplayalım Pay a 5 ten geriye tane sayı, paydaya da den 1 e kadar yazılır ÖZELLĐKLER: 1) Her küme kendisinin alt kümesidir ) oş küme her kümenin alt kümesidir φ ) ve = 4) ve C C 5) s()=n ise kümesinin alt küme sayısı n dir ÖZLT KÜME ir kümenin kendisinden başka tüm alt kümelerine denir s()=n ise nın özalt küme sayısı n 1 dir = = = 10 1 bir örnek daha: 6 hesaplayalım: Pay a 6 ten geriye tane sayı, paydaya da ten 1 e kadar yazılır = = 0 bulunur 1 ÖRNEK(1) ir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir u kümenin eleman sayısı 1 arttırılırsa alt küme sayısı ve özalt küme sayısı kaç olur? NOT 1 : n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n,r) ile hesaplanır(n r) n n! C(n, r) = = r (n r)!r! n!=1n 0!=1!=1 = = 1 0 n n = = n 1 n 1 MTEMTĐK ĐM u kümenin eleman sayısı n olsun n n i) n= + = 5 = ii) özelliğini hatırlarsak eleman sayımızın 5 olduğu görülür Kümenin eleman sayısını 1 arttırırsak 6 olur u durumda 6 lt küme sayısı : = 64 6 Öz alt küme sayısı : 1= 64 1= 6 olur n = p r i) n ii) p = p+ r = r ÖRNEK() 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı kaçtır? n = r n r = 0 1 n n Pratik Yol-1: kombinasyon hesabında aşağıdaki pratik hesaplamayı kullanın: wwwglobalderscom ! 5! 10 C(5, ) = = = = = 10 (5 )!!!! 6 veya pratik yol-1 den : 5 54 = = 10 bulunur 1

3 MTEMTĐK ĐM Pratik yol-: in bulunur-bulunmaz soruları için kolay uygulanabilir aşağıdaki yöntem çok işinize yarayacak; n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümeleri için n C(n,r)= şablonu yazılır ve ; r ulunur derken hem n den hem r den, bulunmaz derken de sadece n den istenen kadar eksiltme yapılır ÖRNEK() ={1,,,4,5,6} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde; a) 1 ve birlikte bulunur? b) 1 ve bulunmaz? c) bulunur bulunmaz? d) 1 veya bulunur? e) 1 veya bulunmaz Şablonumuz : n 6 r 4 a) 1 ve birlikte bulunur? hem n den, hem de r den sayı eksiltilir n = = = = 6 r b) 1 ve bulunmaz? sadece n den eksiltilir n = = = 1 r c) bulunur bulunmaz? önce bulunur için hem n den, hem r den bir eksiltilir n = = r sonra da bulunmaz için sadece r den bir eksiltilir n = = = 4bulunur r MTEMTĐK ĐM bu dört durumdan istenmeyen (1 ve bulunmaz) durumudur O halde tüm 4 elemanlı alt kümelerden (1 ve bulunmaz) durumunu çıkarsak amacımıza ulaşmış oluruz Sonuç : (tüm 4 elemanlılar)- (1 ve bulunmaz) = = 15 1= e) 1 veya bulunmaz d şıkkındaki mantığın bir benzerini bu şık için de düşünürsek; (tüm 4 elemanlılar)- (1 ve bulunur) = = 15 6= ÖRNEK(4) 5 elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? En çok elemanlı demek,1,0 elemanlı alt kümeler demek, = = 16 olur 0 1 ÖRNEK(5) 6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? En az 4 elemanlı demek 4,5,6 elemanlı alt kümeler demek, = = bulunur ÖRNEK(6) 6 elemanlı bir kümenin 4 ten az elemanlı alt küme sayısı kaçtır? d) 1 veya bulunur? 1 ve için tüm 4 elemanlı alt kümeler düşünüldüğünde aşağıdaki durum gözlenir; (1 bulunur),( bulunur), (1 ve bulunur),(1 ve bulunmaz) 4 ten az demek,,1,0 elemanlı alt kümeler demek = = bulunur wwwglobalderscom 90

4 MTEMTĐK ĐM Pratik yol-: in tüm alt kümeleri için bulunur-bulunmaz sorularına da bir pratiğimiz var n elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri için n şablonu yazılır ve ; ulunur derken de, bulunmaz derken de sadece n den istenen kadar eksiltme yapılır KÜMELERDE ĐŞLEMLER ĐRLEŞĐM: ÖRNEK(7) ={a,b,c,d,e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) a bulunur? b) a ve b bulunmaz? c) a veya b bulunmaz? d) a bulunur, b bulunmaz? 5 Şablonumuz : olur a) a bulunur? 5 1 bir eleman eksiltilir = 4 =16 b) a ve b bulunmaz? iki eleman eksiltilir 5 = =8 c) a veya b bulunmaz? (tüm alt kümeler)-(a ve b bulunur) = 5 4 = 16=16 d) a bulunur, b bulunmaz? a bulunur: 5-1 = 4 b bulunmaz : 4-1 = = 8 olur SIR SĐZDE: ÖRNEK(8) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a) a bulunur, b bulunmaz? 16 b) a ve b bulunur? 16 c) a ve b bulunmaz? 16 d) a veya b bulunur? 48 e) a veya b bulunmaz? 48 ve kümelerinin elemanlarının tümünün oluşturduğu kümeye denir ve ile gösterilir ={x x veya x } KÜMELERDE KESĐŞĐM: ve kümelerinin ortak elemanlarından oluşan kümeye denir ve ile gösterilir ={x x ve x } ÖRNEK(9) ={a,b,c,d} ve ={c,d,e,f} ise a) =? ={c,d} b) =? ={a,b,c,d,e,f} ortak eleman demektir Ortak elemanlar c ve d dir: ={c,d} ortak olanlarla olmayanların hepsi demektir ={a,b,c,d,e,f} a c e b d f f) a ve b bulunur, c bulunmaz? 8 wwwglobalderscom 91

5 MTEMTĐK ĐM ÖRNEK(10) ={x <x<8 ve x Z} ve ={x <x<5 ve x Z} ise ; a) =? ={x <x<5 ve x Z} b) =? ={x <x<8} ve Z} c) \ =? \ ={x 5 x< 8} ve Z} Küme elemanları tamsayı olduğundan tek tek yazılabilir ={,4,5,6,7} ve ={-,-1,0,1,,,4} Şimdi istenenleri bulabiliriz a) = {,4} b) = {-,-1,0,1,,,4,5,6,7} c) \ = {5,6,7} NOT : Kesişimde; alt sınırın en büyüğü ve üst sınırın en küçüğü alınır irleşimde; alt sınırın en küçüğü ve üst sınırın en büyüğü alınır ÖRNEK(11) ={x <x<8 ve x R} ve ={x <x<5 ve x R} ise ; a) =? b) =? c) \ =? u sefer elemanlar reel sayı olduğundan tek tek yazılamazlar Notumuzu dikkate alırsak; a) ={x <x<5 ve x R} b) ={x <x<8} ve x R} c) \ ={x 5 x< 8} ve x R} wwwglobalderscom 9 MTEMTĐK ĐM KESĐŞĐM VE ĐRLEŞĐM ĐLE ĐLGĐLĐ ÖZELLĐKLER: = 1) Değişme özelliği = ( ) C= ( C) ) irleşme öz ( ) C= ( C) = ) Tek Kuvvet öz = 4) ( C) = ( ) ( C) Dağılma ( C) = ( ) ( C) öz 5) φ=, φ=φ, E=E, E=, 6) s( ) = s() + s() s( ) s( ) = s(\) + s(\) + s( ) s 7) s( C) = s()+s()+s(c) s( ) s( C) s( C) +s( C) ÖRNEK(1) s(\)=10, s(\)=8 ve nin özalt küme sayısı 6 ise s( )=? s( )=n olsun nin özalt küme sayısı 6 ise n 1= 6 n 6 = 64= n =6 dır s( ) = s(\) + s(\) + s( ) = = 4 elde edilir ÖRNEK(1) ={x x<1} ve ={x 1<x 8} ise ( ) kümesi şağıdakilerden hangisidir? ) x > 1 veya x 8 ) 1< x <1 C) 1< x 8 D) x 1 E) x 8

6 MTEMTĐK ĐM x ile ilgili herhangi bir bilgi verilmediğinden reel sayı kabul ederiz Yine notumuzu hatırlayacak olursak; (alt sınırın en büyüğü, üst sınırın en küçüğü) ( ) = { x 8 } olur Yani cevap E şıkkıdır ÖRNEK(14) [ ( / )] ( )=? ) ) C) E D) E) 1yol: ĐKĐ KÜMENĐN FRKI ve aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olsun da olup de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark denir ve (\) veya ( ) ile gösterilir ={x x ve x } FRK ĐŞLEMĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ 1) E \ = E / = /, \ E = φ a b c şekildeki gibi her boşluğa bir eleman yerleştirdikten sonra kümeleri bulalım / [ ( )] ( ) yol: / [( ) )] ( ) = / = [ ] ( ) a b {a,b} = bulunur [ ( / )] ( ) = [( ) / )] ( ) = [ / ] ( ) = [ ( / )] = [ E] = MTEMTĐK ĐM ) \ = / ) ise \ = φ 4) ( \ ) / = / 5)( \ ) = ( ) 6) ( \ ) \ C = \ ( C) 7) ( \ ) = \ ( ) 8) \ ( C) =( \ ) ( \ C) \ ( C) =( \ ) ( \ C) SĐMETRĐK FRK wwwglobalderscom 9 ( \ ) ( \ ) kümesine simetrik fark denir ve ile gösterilir

7 MTEMTĐK ĐM KUVVET KÜMESĐ ir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ={a,b,c} için nın kuvvet kümesi ={{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c}, {a,b,c}} TÜMLEME ĐŞLEMĐNĐN ÖZELLĐKLERĐ 1) E / =φ ) φ / =E ) ( / ) / = 4) / / ÖRNEK(15) ={1,,,4,5} ve ={4,5,6,7,8} olsun buna göre; a) \=? b) \=? c) =? Çz; \={1,,} \={6,7,8} ={1,,,6,7,8} 5) s()+s( / )=s(e) 6) / =φ, / =E / / / ( ) = 7) De Morgan Kuralı / / / ( ) = 8) / E= /, / E=E MTEMTĐK ĐM NOT : lmanca, Đngilizce ve Fransızca bilen bir topluluk için TÜMLEME E olmak üzere E kümesinin kümesinde olmayan elemanlarının oluşturduğu kümeye kümesinin tümleyeni denir ve / veya ile gösterilir / ={x x E ve x } dır Üçünü bilen : t Hiç birini bilmeyen : k En az birini bilen : a,b,c,x,y,z,t En az ikisini bilen : x,y,z,t En fazla birini bilen : a,b,c,k En fazla ikisini bilen: a,b,c,x,y,z,k En fazla üçünü bilen : a,b,c,x,y,z,t,k En az birini bilmeyen : a,b,c,x,y,z,k En az ikisini bilmeyen: a,b,c,k Sadece bir dil bilen : a,b,c Sadece iki dil bilen : x,y,z lm bilip Đng bilmeyen : a,y lm ve Đng ilip Fransızca bilmeyen: a,x,b lm bilip Đng ve Frans ilmeyen : a wwwglobalderscom 94

8 MTEMTĐK ĐM GENEL ÖRNEKLER ÖRNEK(16) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyorşağıdakilerden hangisi nın bir elemanı değildir? ) a ) b C) c D) d E) e ÖRNEK(0) E evrensel kümesinde tanımlı ve kümeleri için; s() + s() + s( / )=4 ve s(e)=18 ise s( / )=? a,b,d ve e elemandır, c değildir Cevap C şıkkı / ( ) ( ) ( ) s + s + s = 4 s(e) = 18 s() = 6 ÖRNEK(17) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyor şağıdakilerden hangisi nın hem elemanı hem de altkümesidir? ) {a} ){b} C){a,b,c} D){a,b} E) {a,e} a tek başına bir eleman iken {a} bir alt kümedir {a} ise yine tek başına bir elemandır O yüzden cevap şıkkıdır ÖRNEK(18) ={a,b,{a},d,{a,b,c},e} kümesi veriliyor u kümenin eleman sayısı kaçtır? Küme parantezi içinde virgülle birbirinden ayrılan her terim bir eleman olduğundan s()=6 dır ÖRNEK(19) E evrensel kümesinde tanımlı ve kümeleri için; s()+s( / )=17 s()+s( / )=15 ise s(e)=? s()+s( / )=17 + s()+s( / )=15 / / s( ) + s( ) + s( ) + s( ) = s(e) s(e) s(e) = s(e) = 16 MTEMTĐK ĐM s() + s( / ) = s(e) 6 + s( / ) = 18 s( / ) = 1 bulunur ÖRNEK(1) ={1,,,4,5,6,7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir tane tek sayı bulunur? En az bir tane tek sayı olsun istiyorsak, içinde hiç tek sayı olmayan {yani çift elemanlılar} alt kümeleri tüm alt kümelerden çıkarırız öylece kalan alt kümelerde en az bir tek sayı bulunmuş olur s() = 7 ve Ç={,4,6} s(ç) = olmak üzere {tüm alt kümeler} {sadece çift elemanlılar} 7 = 18 8= 10 tanesinde en az bir tek sayı vardır ÖRNEK() oş olmayan ve kümelerinde s()=5x 1, s()=x 1 dir ile nin alt kümelerinin sayıları oranı 64 ise alt kümelerinin sayıları çarpımı kaçtır? 5x 1 kümesinin alt küme sayısı : x 1 kümesinin alt küme sayısı : ile nin alt kümelerinin sayıları oranı: 5x 1 5x 1 x+ 1 6 = 64 = x 1 x = 6 x = wwwglobalderscom 95

9 MTEMTĐK ĐM kümesinin alt küme sayısı: = = kümesinin alt küme sayısı : = = alt kümelerinin sayıları çarpımı: = = bulunur 5x x ÖRNEK() ={x : x ve x Z}, ={1,,} ve \={ 1,5} ise kümesini bulun x - x- -1 x 5 {-1,0,1,,,4,5} şekil üzerinde gösterecek olursak; Örnek( ) ir toplulukta Đngilizce ve lmanca bilenlerin sayısı 1, Đngilizce veya lmanca bilenlerin sayısı dir Sadece Đngilizce bilenler, lmanca bilip Đngilizce bilmeyenlerin 4 katı ise Đngilizce bilen kaç kişidir? öyle soruları şekil üzerine yerleştirip çözmek daha kolaydır Đ 4x 1 x 4x+1+x = 5x = 0 x = 4 s(đ) = 4x+1 = 44+1 = 8 bulunur o halde ={0,1,,,4} olur ÖRNEK(4) ={x 40 x 169, x Z} veriliyor nın kaç elemanı 4 ve 7 ile bölünür? ir sayının 4 ve 7 ile bölünmesi demek 4 ve 7 nin okek i ile bölünmesi demektir Okek(4,7)=8 olduğundan aradığımız sayılar 8 ile bölünmeli, diğer bir değişle 8 in katı olmalı; Sayılarımız 8kat şeklinde ise kat a değer verip 40 x 169 aralığına giren sayıları küme içine alırız Kat =,,4,5,6 için bulunan 56,84,11,140,168 sayıları aradığımız elemanlardır O halde {56,84,11,140,168} 5 tane eleman hem 4 hem de 7 ye bölünür MTEMTĐK ĐM Örnek( ) ir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı 9 ise bu kümenin elemanlı alt kümeleri kaç tanedir? u kümenin eleman sayısı n olsun En çok elemanlıların sayısı; n n n n(n 1) + + = 1+ n+ = n n+ n = 9 1 n + n = 8 n + n= 56 n + n 56= 0 (n+ 8)(n 7) = 0 n = -8 ve n = 7 bulunur bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından bu kümenin eleman sayısı 7 olur u kümenin elemanlı alt küme sayısı ise = = 5 bulunur 1 wwwglobalderscom 96

10 MTEMTĐK ĐM Örnek( 4 ) bu durumda s( )= = olur Şekildeki taralı bölge H ile ifade edilir? Örnek( 7 ) ={1,,,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde veya 4 bulunur? ) ( ) ) E\( ) C) ( ) E D) ( ) ( / / ) E) ( / / ) ( ) Taralı kısım ( ) ile ( ) / nin birleşimidir ( ) ( ) / ( ) ( / / ) bu durumda doğru cevap D şıkkıdır Örnek( 5 ) ve kümeleri için,, s( )=1, s( )=5 olduğuna göre kümesinde en çok kaç eleman olabilir? Şekil üzerinde düşünelim MTEMTĐK ĐM Tüm alt kümeleri ve 4 için düşündüğümüzde karşımıza aşağıdaki tablo çıkar; - vardır - 4 vardır - ve 4 vardır - ve 4 yoktur bunların dışında bir durum söz konusu olamaz Đlk üç durum zaten veya 4 bulunurun açılımıdır Đstenmeyen durum veya 4 bulunmazdır iz de veya 4 bulunmazı tüm durumlardan çıkarır ve isteneni buluruz { veya 4 bulunur} = {Tüm alt kümeler} { ve 4 bulunmaz} 5 = = 8= 4 olur Örnek( 8 ) u kısmı en az seçmeliyiz ki büyüsün u kısım 0 elemanlı seçilirse, nın alt kümesi olur ki bu duruma soruda izin verilmiyor ( ) O halde s() = 11 olur Örnek( 6 ) s(\)=15, s(\)=1 ve nin alt küme sayısı ise s( )=? kümesinin eleman sayısı n olsun n nin alt küme sayısı = =5 olur Şimdi bilgileri şekil üzerine taşıyalım wwwglobalderscom 97 Taralı ölge H ile gösterilir? ) \( ) ) C\( ) C) \( C) D) C\( C) E) \( C) Şekilde ve C kümelerinin boş, sadece nin ortak olmayan kısmının dolu olduğu görülüyor Yani bir nevi den ve C çıkarılmış, yani; \( C) olur Doğru cevap C şıkkıdır

11 MTEMTĐK ĐM Örnek( 9 ) s(\)=0, s(\)=11 s( )= ise s( )=? ve Verileri şekil üzerine yerleştirirsek; u sorularda en güzeli şekil üzerinde çözmektir Verileri şekil üzerine yerleştirirsek ; 0 x 11 s( )= 0 + x + 11 = x + 1 = x = bulunur 4x x 7x 8s()=5s() 8(5x) = 5s() 40x = 5s() s() = 8x s( )=6 4x+x+7x = 6 1x = 6 x = s( )= ise alt küme sayısı 8x-x=7x = 8 olur Örnek( 0 ) ir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı, elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir u kümenin eleman sayısı arttırılırsa elemanlı alt küme sayısı kaç olur? Kümemizin eleman sayısı n olsun n n i) n= 5+ = 8 = 5 ii) 5 özelliğini hatırlarsak eleman sayımızın 8 olduğu görülür u kümenin eleman sayısı arttırılırsa 8+=10 olur 10 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı = = 45 bulunur 1 Örnek( 1 ) s(\)=4s( ), 8s()=5s() ve s( )=6 ise ( ) nin alt küme sayısı kaçtır? MTEMTĐK ĐM Örnek( ) ={1,,,4,5,6} ve C ={,5,7,8} ise ( C) kümesini bulunuz ( C) ifadesine dağılma özelliğini uygularsak ; ( C) = ( ) ( C) = {1,,,4,5,6} {,5,7,8} = {,5} bulunur Örnek( ) ir sınıfın 0 kişilik öğrencisinin 18 i erkek, 1 si bayandır Öğrencilerin 10 kişisi mavi gözlüdür Mavi gözlü olmayan erkek sayısı mavi gözlü bayan sayısının katıdır Mavi gözlü olmayan erkek sayısı kaçtır? u sorularda da tablo çizmek en iyisidir Verileri tabloya yerleştirirsek; Mavi Mavi gözlü Toplam gözlü olmayan Erkek x 18 ayan x 1-x 1 Toplam x+1-x = 0 x = 8 x = 4 Mavi gözlü olmayan erkek sayısı x =4 =1 dir wwwglobalderscom 98

12 MTEMTĐK ĐM Örnek( 4 ) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde b ve c birlikte bulunur? Pratik yol- ü hatırlayalım; 6 Şablonumuz : 6 4 Cevabımız : = = 16 olur Örnek( 5 ) ={a,b,c,d,e,f} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde a ve b bulunup e ve f bulunmaz? Sonuç : a + b = +9 = 51 bulunur Örnek( 7 ) {1,} {1,,,4,5} ise kaç tane kümesi yazılabilir? (*5 = ) kümesi en çok {1,,,4,5} elemanlarını, en az {1,} elemanlarını içereceğinden {1,,,4,5} kümesinin içinde {1,} elemanları bulunana alt kümelerini buluruz (pratik yol-) 5 5 cevap : = = 8 olur Pratik yo- yi hatırlayalım 6 Şablonumuz : a ve b bulunur : = 4 4 e ve f bulunmaz : = = 1 olur Örnek( 6 ) s()=, s()=8, ( ) φ dir ( ) kümesinin eleman sayısı en az a, en çok b ise a+b=? ( ) nin en az olması için ( ) en çok olmalıdır MTEMTĐK ĐM yol: {1,} {1,,,4,5} tipindeki sorularda farklı bir şart verilmemişse soldaki küme elemanlarını sağdan silip kalanların alt kümesini bulun soldakini sağdan silersek {,4,5} kalır alt kümeleri de = 8 olur Örnek( 8 ) Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n)=4s(m) s(n\m)=5s(m\n) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? (ÖSS 00) ilgileri şekil üzerine yerleştirirsek; N\M N 5x a x M M\N u durumda a = s( )= = olur ( ) nin en çok olması için ( ) en az olmalıdır( ( ) φ) s(n)=4s(m) 5x +a = 4(a+x) 5x+a = 4a + 4x x = a s(n) = 5x+a = 5a+a = 16a olur M N boştan farklı olduğundan a ya minimum 1 verirsek s(n) = 16a =161 = 16 bulunur u durumda b = s( )=1+1+7 = 9 olur wwwglobalderscom 99

13 MTEMTĐK ĐM Örnek( 9 ) ={1,,,4,5,6,7,8} kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur, ama 4 bulunmaz? (ÖSS 00) Pratik yol- yi hatırlayalım 8 Şablonumuz: bulunur = bulunmaz = = = 0 olur 1 Örnek( 40 ) Pozitif tamsayılardan oluşan ={x x < 100, x = n, n Z + } ={x x < 151, x = n, n Z + } kümeleri veriliyor buna göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? (ÖSS-001) yol: Şimdiki çözüm daha çok hoşunuza gidecek(daha kısa ya ) s() = s() = s( ) = 16 sayıları 99 ve 150 almamızın sebebi sınırların < (yani dahil değil) olmasıdır s( ) = s() + s() s( ) = = 8 bulunur s( ) = s() + s() s( ) formülünü hatırlayalım; Önce ve kümelerinin elemanlarını bulalım = {,4,6, 98} ( nin katı sayılar) = {,6,9, 150} ( ün katı sayılar) Şimdi de ( ) kümesini bulalım ( ) kümesi ortak elemanlardan oluştuğu için hem nin hem de ün katı olmalı ( kümesinin 100 den sonra elemanı olmadığından x < 100 için 6 nın katlarına bakarız) ( )= {6,1,18, 96} son olarak eleman sayılarını ardışık sayılardan öğrendiğimiz terim sayısı formülünü kullanarak bulalım ; 98 s( ) = + 1= s( ) = + 1= s( ) = + 1= 16 6 s( ) = s() + s() s( ) = = 8 bulunur MTEMTĐK ĐM wwwglobalderscom 100 YZN ĐRHĐM HLĐL OĞLU Matematik Öğretmeni wwwglobalderscom ibrahimhalilbaba@mynetcom