Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Transkript

1 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım. üçgene Pisagorun teoremini uygulayarak ye uzaklığını yani doğru parçasının ( ) ( ) ile gösterilen uzunluğunu buluruz. Eğer [ ] [ ] vektörler ise, o zaman bu vektörlerin bitiş noktaları sırasıyla ( ) ve ( ) dedir. Böylece u ve v vektörleri arasındaki uzaklığı, noktaları arasındaki uzaklık gibi tanımlarız. [ ] olduğundan u ve v vektörleri arasındaki uzaklık ( ) ( ). 2.Ö.: [ ] [ ] ise ( ) ( ) =5 Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminini iki kere kullanarak ( ). elde edilir. Eğer ( ) ve ( ) noktalar ise, o zaman arasındaki uzaklık ( ) ( ) ( ) ile verilir. [ ] [ ] de vektörler ise, bu durumda u ve v arasındaki uzaklık ile verilir. ( ) ( ) ( ) 3.Ö.: [ ] ise 4.Ö.: [ ] [ ] ise ( ) ( ) ( ) 1

2 [ ] [ ] sıfırdan farklı iki vektörler olsun. Kosinüs kuralından ifadesine sahibiz. Böylece, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O halde. Benzer yolla, eğer [ ] [ ] de sıfırdan farklı vektörler ve, u ve v arasındaki açı ise, bu durumda yazılır. 5.Ö.: [ ] [ ] ise olduğundan ve üzerinde standart iç çarpımı 10.1.Tanım: [ ] [ ] de sıfırdan farklı vektörler olsun. de standart iç çarpım veya nokta çarpım sayısı olarak tanımlanır ve ile gösterilir. de [ ] [ ] sıfırdan farklı iki vektörler olsun. de standart iç çarpım veya nokta çarpım sayısı olarak tanımlanır ve ile gösterilir. 6.Ö.: de [ ] [ ] ise, bu durumda 2

3 veya te olduğunu görürüz tanıma göre ( ) olur. Böylece veya te iki u ve v vektörlerinin dik olması için gerek ve yeter şartın olduğu bulunur. 7.Ö.: [ ] [ ] vektörleri ( ) olduğundan birbirine diktir Teorem: u, v ve w, veya te vektörler ve c bir sabit olsun. veya üzerindeki standart iç çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir. i. olması için gerek ve yeter şart u=0 olmasıdır. ii. iii. ( ) iv. Herhangi reel c sabiti için ( ) veya te bir birim vektör uzunluğu 1 olan vektördür. Eğer x sıfırdan farklı bir vektör ise, bu durumda vektörü x in yönünde bir birim vektördür. 8.Ö.: [ ] olsun. Bu durumda ( ) ( ) Böylece ( ) ( ) olduğundan [ ] vektörü bir birim vektördür. [ ] ve [ ] de x- ve y- pozitif eksenleri boyunca birim vektörlerdir. i ve j birbirine diktir. Eğer [ ] de bir vektör ise, bu durumda [ ] [ ]. Benzer şekilde, de [ ] [ ] [ ] birbirine dik olan birim vektörlerdir. Böylece, [ ] de bir vektör ise, bu durumda 3 dır.

4 10.3. İç çarpım uzayları 10.2.Tanım: V herhangi reel vektör uzayı olsun. V üzerindeki bir iç çarpım, V deki vektörlerin sıralı herbir çiftleri için ( ) reel sayısına karşılık getiren ve aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur: i. ( ) ( ) olması için gerek ve yeter şart olmasıdır. ii. V de herhangi için ( ) ( ) iii. V de herhangi ve için ( ) iv. V de herhangi ve reel sayısı için ( ) ( ) 9.Ö.: üzerinde standart iç çarpımı, de [ ] [ ] için ( ) olarak tanımlanır. 10.Ö.: sonlu-boyutlu herhangi bir vektör uzayı ve { }, V için sıralı bir baz olsun. Eğer ve ise ( ) ([ ] [ ] ) şeklinde tanımlanır. V üzerinde iç çarpım olarak ( ) nin bu tanımı, üzerindeki standart iç çarpımı olarak kullanılır. 11.Ö.: [ ] [ ] de vektörler olsun. ( ) tanımlayalım. Bunun de bir iç çarpım verdiğini gösteriniz. 12.Ö.: [0,1] birim aralığı üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar vektör uzayı V olsun. için ( ) ( ) ( ) alalım. 13.Ö.: V=P olsun. Eğer p(t) ve q(t), P de iki polinomlar ise ( ) ( ) ( ) şeklinde iç çarpımı tanımlayalım Teorem: { }, sonlu-boyutlu V vektör uzayı için sıralı bir taban olsun ve V üzerinde bir iç çarpımın verildiğini kabul edelim. ( ) [ ] alalım. Bu durumda i. bir simetrik matristir. ii. V deki her v ve w için (v,w) ifadesini belirler. i. ( ) ( ) ii. ( ) ( ) ( ) ( ) 4

5 ( ) ( ) [ ] [ ] Bu da C nin her v ve w için (v,w) belirlemesi demektir Tanim: Üzerinde bir iç çarpım sahip reel bir vektör uzayına bir iç çarpım uzayı denir. Eğer uzay sonlu boyutlu ise, bu uzaya Öklid uzayı denir. Bir iç çarpım uzayında bir u vektörün uzunluğunu ( ) ile tanımlarız. Uzunluğun bu tanımı eğer ise olduğundan geçerlidir ve 10.3.Teorem(Caushy-Schwarz-Bunyakovskii eşitsizliği): Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda ( ). Eğer ise,. ( ). Böylece eşitsizlik sağlanır. Şimdi duruma bakalım. r bir sabit olmak üzere vektörünü gözönüne alalım. ( ) ( ) ( ) ( ) Eğer u ve v sabitse, bu durumda ( ) polinomu r nin bütün değerleri için negatif değildir. Buda eşitsizliği verir. 14.Ö.: de [ ] [ ] ise, bu durumda ( ) ( ) ( ), ( ) Sonuç: (Üçgen eşitsizliği) Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olduğuna göre ( ). Şimdi de [ ] [ ] ise bu durumda ( ) ( ) ( ) olur. Eğer [0,1] üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar ise, o zaman ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ). 5

6 10.4.Tanim: Eğer V bir iç çarpım uzayı ise, V deki u ve v vektörleri arasındaki uzaklığı, ( ) olarak tanımlarız Tanim: V bir iç çarpım uzayı olsun. Eğer ( ) ise, V deki iki u ve v vektörleri diktir Tanim: V bir iç çarpım uzayı olsun. V deki bir S kümesi, eğer S de farklı herhangi iki vektör birbirine dik ise dik olarak atlandırılırç Ayrıca, eğer S de her bir vektör birim uzunlukta ise, bu durumda S ortonormal olarak atlandırılır. Sıfırdan farklı x vektör için vektör x ile aynı doğrultuda olan birim vektördür Teorem: { }, V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin sonlu dik (ortogonal) kümesi olsun. Bu durumda S lineer bağımsızdır. olduğunu kabul edelim. Bu durumda ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olup S nin dik olduğundan ( ) olur. Buradan ( ) olup, dır. <bu işlemi her bir i=1,2,,n için tekrarlarsak buluruz. 15.Ö.: V, [- ] üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar vektör uzayı olsun. V de f ve g için ( ) ( ) ( ) alalım. V de olduğu açık olan 1, cost,sint,cos2t,sin2t,, cosnt,sinnt, fonksiyonları gözönüne alalım. 6

7 10.KONU: Ödevler 1. [ ] [ ] vektörlerin arasındaki uzunluğu ve iç çarpımı bulunuz. 2. [ ] [ ] vektörlerin arasındaki uzunluğu ve iç çarpımı bulunuz. 3. [ ] [ ] vektörlerin arasındaki iaçısının kosinusunu bulunuz. 4. [ ] [ ] vektörlerin dik olacak şekildeki c yi bulunuz. 5. [ ] [ ] vektörlerin dik olacak şekildeki c yi bulunuz. 6. V iç çarpım uzayı olsun. Eğer u ve v, V de vektörler ise, ( ) olduğunu ğösteriniz. 7. ( ) ve ( ) olsun. ( ) ( ) ( ) şeklinde iç çarpımı tanımlayalım. nın hangi değerleri için p(t) ve q(t) diktiğini gösteriniz. 8. { }, V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin sonlu dik (ortogonal) kümesi olsun. Bu durumda S nin lineer bağımsızdığını gösteriniz. 9. Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda ( ) olduğunu gösteriniz. 10. V, [- ] üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar vektör uzayı olsun. V de f ve g için ( ) ( ) ( ) şeklinde iç çarpımı tanımlayalım. { } kümenin diktiğini gösteriniz. 7