OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS)

Transkript

1 ÖZET/ABSTRACT DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 2 Sayı: 2 sh Mayıs 2000 OCAK HAVALANDIRMA ŞEBEKE ANALİZİ İÇİN KOMBİNE BİR YÖNTEM (A COMBINED METHOD FOR THE ANALYSIS OF MINE VENTILATION NETWORKS) Saim SARAÇ*, Cem ŞENSÖĞÜT** Havanın serbest olara dağıldığı havalandırma şebeelerinin çözümü, oca havalandırmasında temel bir problemdir. Bu problemi çözme için bir ço sayısal teni ullanılmatadır. Bu maalede, hem lasi Hardy Cross Metodu hem de ısıtsız optimizasyon tenilerinin avantalarını birleştiren yeni bir metod önerilmetedir. Örne havalandırma şebeeleri üzerindei denemeler, bu metodun havalandırma şebee analizinde bir taım olaylılar sağladığını göstermetedir. Solving ventilation networs of natural splitting is a basic problem in mine ventilation. Several mathematical techniques are used to solve this problem. This paper proposes a new method which combines the advantages of both classical Hardy Cross method and unconstrained optimisation techniques. The trials carried out on model networs have shown that the method offers some facilities in the analysis of mine ventilation networs. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Havalandırma şebee analizi, Hardy cross metodu, En hızlı iniş metodu Ventilation networ analysis, Hardy cross method, Steepest descent method *Mersin Üniversitesi, Mühendisli Faültesi, Mezitli/MERSİN **Selçu Üniversitesi, Mühendisli Mimarlı Faültesi, Maden Müh. Böl., Kampüs/KONYA

2 Sayfa No: 50 S. SARAÇ, C. ŞENSÖĞÜT 1. GİRİŞ Oca havalandırma şebeeleri, temel olara serbest ve ontrollü hava dağılımına sahip şebeeler olara ii grup altında sınıflandırılabilir. Havanın serbest olara dağıldığı durum için, tüm hava yollarının dirençleri, vantilatör loasyonları ve vantilatör arateristi eğrilerine ait atsayılar bilinmelidir. Bu tip şebeeler için problem, tüm ollardai hava mitarının tespit edilmesi şelindedir. Gelenesel olara, bir oca havalandırma şebeesi Kirşof un aım ve volta anunlarını apsayan iteratif teniler ile çözümlenmetedir. Bu tenilerin en popüler olanı ise Hardy Cross Algoritması dır. Bu algoritmayı temel alan ço sayıda bilgisayar programı geliştirilmiştir (Yalçın, 1999). Tüm avantalarına rağmen, Hardy Cross Metodu ve bu metodun modifiyeleri bazı dezavantalara sahiptir. Bunlar belirsiz yalaşım arateristilerine sahip olup, optimum çözüme yalaşım ve çözüm süresi ço yüse oranlarda, tüm havayolları için eyfi olara atanan il hava mitarları değerlerine bağlıdır. Bu güçlüleri aşma için ise, pe ço araştırıcı tarafından telif edilen lineer ve lineer olmayan programlama tenileri ile şebee analiz metodları gibi farlı sayısal yöntemleri temel alan değişi çözüm tenileri ullanılmatadır (Ueng ve Wang, 1984; Wang, 1984; Bhamidipati ve Procariona, 1986). Bu maalenin amacı, serbest hava dağılımına sahip havalandırma şebeesinin analizi için telif edilen ombine bir metodu ve bu metodun uygulanabilirliğini irdelemetir. 2. SAYISAL MODEL Havalandırma şebeelerinde, havayolları boyunca oluşan basınç düşüşlerinin toplamı, şebeedei toplam basınç düşüşünü vermemetedir. Bununla birlite, bir şebeedei toplam hava gücü tüetimi, hava yollarında oluşan güç tüetimlerinin te te toplamına eşittir. Böylece, şebeedei toplam hava gücü tüetimini tanımlayan matematisel bir fonsiyon obetif fonsiyon olara adlandırılabilir (Wang, 1984). (B) havayolu, (N) düğüm notası ve (F) vantilatör sayısına sahip bir şebee için, obetif fonsiyon aşağıdai gibidir. 3 M B M F 1 = U + 3 Ri Qi Ri biq - AiQi Bi Qi CiQi (1) 3 = = + = 2 3 i 1 i M 1 1 i = 1 Burada R i : havayolu (i) nin direnç fatörü, Nsn 2 /m 8 Q i : havayolu (i) nin hava mitarı, m 3 /sn M : göz sayısı (M = B N + 1) b i : temel göz matrisinin bir elemanı A i, B i, C i : vantilatör (i) ye ait atsayılar. Bu şeliyle problem M sayıda bilinmeyen değişene sahip ısıtsız bir minimizasyon problemi haline gelmiştir. Obetif fonsiyon için şunlar söylenebilir. a-ısıtsız, ço değişenli, artan ve lineer olmayan bir fonsiyondur, b-onves, süreli ve ayrılabilir bir fonsiyondur, c-sadece bir minimuma sahip bir fonsiyondur, d-sistemde tüetilen gücün 1/3 üne eşittir,

3 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : 2 Sayı : 2 Sayfa No: 51 e-her bir nota için bağımsız değişen ve gradyan vetörüne bağlı olara il ısmi türevi hesaplanabilir, f-ii ez süreli olara diferansiyeli alınabilen bir fonsiyondur ve buradan Hessien matrisi elde edilir. Obetif fonsiyonda, M sayıda bağımsız değişen mevcuttur. Bu fonsiyonun minimum değerinde U nun her bir bağımsız değişene göre ısmi türevi sıfır olmalıdır. Eğer bu hesaplama yapılırsa, M sayıda bilinmeyenli M simültane lineer olmayan eşitli elde edilir. Optimum notasında bu eşitliler sıfıra eşit olduğu için, Kirşof un aım anunu tatmin edilmiş olur. Diğer bir deyişle, ısmi türevlerin yeteri adar sıfıra yaınsadığı optimum notasındai hava mitarlarının tespiti, obetif fonsiyonun çözümünü vermetedir. 3. LİNEER OLMAYAN PROGRAMLAMA TEKNİKLERİ Yuarıda verilen obetif fonsiyonu çözme için pe ço lineer olmayan programlama teniği uygulanabilir. Bunların arasında, Gradyan Teniği, ısıtsız modellerin optimizasyonu için en hızlısı olara abul görmetedir. Bu metodlarda, problem mevcut notadai obetif fonsiyonun gradyanının ullanılmasıyla çözümlenmetedir (Himmelblau, 1972). Eğer bir f(x) fonsiyonunun süreli olara diferansiyeli alınabiliyorsa, bu fonsiyon herhangi bir x notasında f(x) gradyanına sahiptir. Herhangi bir x notasındai gradyan, elemanları o notadai fonsiyonun il ısmi türevleri olan bir vetördür ve mevcut notadai fonsiyonun eğimini vermetedir. Herhangi bir notada, fonsiyondai en büyü loal artış, gradyanın doğrultusunda hareet edildiğinde oluşmatadır. Bu durumun tersi olara, gradyan vetörünün asi yönünde de, fonsiyon en fazla azalışı göstermetedir. Diğer bir deyişle, gradyan vetörünün negatifi, f(x) dei en fazla düşüşün yönünü tanımlamatadır ve bu yol minimizasyon için ullanılmatadır (Fiacco ve McCormic, 1968). Obetif fonsiyonun gradyanını ullanan lineer olmayan programlama tenileri arasında en temel ve basit olanı En Hızlı İniş Metodu dur. Bu metodun temeli, il notadan başlama üzere en hızlı iniş yönündei ardışı notaları bulmatır (Mysis, 1975). Bu metot, bir iteratif yalaşım teniğidir. İşlem, önceden belirlenmiş olan bir X o başlama notasında başlar ve bu notadai gradyan fatörü hesaplanır. Bir sonrai nota ise şöyle hesaplanır; X + 1 = X - r f (x ) (2) Burada, r optimum adım boyutu olara adlandırılan bir parametredir. Bu parametre, fonsiyon değerini arttırmasızın en hızlı iniş yönündei hareetin boyutunu tanımlamatadır. Diğer bir deyişle, eğer bir fonsiyon aşağıdai gibi tanımlanaca olursa h(r) = - f(x r f (x )) (3) r, h(r) i minimize eden bir değerdir. h(r), te değişenli bir fonsiyon olduğundan, r nın değerini bulma için herhangi te boyutlu bir çözüm metodu uygulanabilir (Kowali ve Osborne, 1968). X +1 taımının değerinin saptanmasından sonra, bu notadai gradyan vetörü hesaplanır ve işlem terarlanır. Gradyan vetörünün elemanlarının sıfıra yeteri adar yaınsamasından sonra, iterasyon işlemi sonlandırılır. Böylece aranan optimumlu şartı tatmin edildiği gibi ve optimum çözüm taımı elde edilir.

4 Sayfa No: 52 S. SARAÇ, C. ŞENSÖĞÜT Oca havalandırma şebeelerinin En Hızlı İniş Metodu nu ullanma suretiyle çözümünde aşağıdai algoritma ullanılabilir. Adım 1: Gözleri seç (M = B N + 1) Adım 2: Q o ın başlangıç değerini, hassasiyet derecesi ( ε ) ni ve = 0 ı ata Adım 3: U(Q ) yı hesapla (i = 1,2,...,M) i Pi = - U(Q ) değerini ata i Adım 4: Tüm havayolları için P ı hesapla (J = 1,2,...,N) Adım 5: U(Q r P ) + yı minimize edece optimum adım boyutu r yı hesapla. Bunun için herhangi te boyutlu optimizasyon tenilerinden birisini ullan. + 1 Adım 6: Ardaşı notayı Q = Q + r P yı ullanara bul. Adım 7: = +1 alara P i < ε olunca işlemi sonlandır, asi tadirde Adım 3 e dön. İşlem sonlandığında, Q seti şebeedei en düşü güç tüetimini sağlayan hava mitarı dağılımını verecetir. En Hızlı İniş Metodu na e olara, Fletcher-Reeves, Newton ve Davidon-Fletcher-Powell metodlarıda obetif fonsiyona uygulanmıştır. Bu algoritmaları temel alan bir bilgisayar programı yazılara, değişi şebee modellerine uygulanmıştır. Elde edilen sonuçlar aşağıda özetlenmiştir: Havalandırma şebee problemleri Hardy Cross Metodu yanısıra lineer olmayan programlama tenileri ile çözümlenebilir. Her ii metodun çözümü ile elde edilen hava mitarları birbirine ço yaın değerler vermetedir. En Hızlı İniş Metodu hariç diğer optimizasyon tenileri, Hardy Cross Metodu ndan daha az iterasyon sayısına geresinim duymatadır. Anca bu üstünlü ço geniş şebeelerde ortadan almatadır. Her iterasyon zaman alıcı prosedür geretirdiği için, toplam çözüm süresi diate alındığında, lineer olmayan programlama tenilerinin hiçbiri Hardy Cross Metodu ndan üstün değildir. Hardy Cross Metodunda, başlangıç hava mitarı değerlerinin sıfır olara atanması iterasyon sayısı ile birlite çözüm süresini arttırmatadır. Kirşofun aım anunu tatmin edilece şeilde, şebeedei tüm hava yolları için başlangıç hava mitarı değerleri sıfır olmayaca şeilde atanmalıdır. Bu işlem ise sııcı, zaman alıcı ve ompliedir. Bununla birlite, lineer olmayan programlama tenilerinde başlangıç hava mitarı değerlerinin sıfır olara alınması, toplam çözüm süresi ve iterasyon sayısını büyü ölçüde etilememetedir. Bu özelli optimizasyon tenileri için önemli bir avanta olara ifade edilebilir. İl iterasyonda elde edilen nota, Hardy Cross Metodu ile elde edilen optimum notadan ço uzata olmasına rağmen, daha sonrai iterasyonlarda hızlı bir yaınsama gözlemlenmetedir. Optimum nota yaınında aşırı dalgalanmalar meydana gelmemetedir. Bununla birlite, optimizasyon tenilerinin uygulanışında asi oluşumlar görülmetedir. İl biraç iterasyonda optimum notaya yalaşılabilmetedir. Ayrıca, optimum nota yaınında oluşan sonrai yalaşım oranları toplam çözüm süresini arttıraca adar yavaştır. 4. ÖNERİLEN KOMBİNE METOD Hardy Cross ve ısıtsız optimizasyon tenilerinin avantalarından ayrı ayrı faydalanma üzere ombine bir metot geliştirilmiştir. Kombine metot il iterasyonlar için En Hızlı İniş

5 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : 2 Sayı : 2 Sayfa No: 53 algoritmasını ullanıren, bu işlemin sonucunda hemen hemen tüm hava mitarı değerleri optimum notaya yalaşmatadır. Optimum nota etrafındai yaınlaşmanın hızlandırılması için, ombine metot sonrai iterasyonlar için Hardy Cross Algoritmasını uygulamatadır. Önerilen algoritma aşağıda verilmiştir. Adım 1: Gözleri seç (M = B N + 1). Adım 2: Hassasiyet derecesi ( ε ) ni ata, ve Q o ı sıfır olara başlat. Adım 3: U(Q ) yı hesapla (i = 1,2,...,M). i Pi = - U(Q ) değerini ata. i Adım 4: Tüm havayolları için P ı hesapla (J = 1,2,...,N). Adım 5: U( Q r P ) + yı minimize edece optimum adım boyutu r yı hesapla. Te boyutlu bu problem için 4. Dereceden enterpolasyon metodunu ullan. + 1 Adım 6: Ardışı notayı Q = Q + r P yı ullanara bul. Adım 7: yı +1 alara işleme devam et ve eğer <2 ise Adım 3 e dön. Adım 8: Her göz için Hardy Cross Metodundai düzeltme fatörünü ( Q) hesapla. Adım 9: Hava mitarı değerlerini düzeltme fatörlerini ullanara ayarla. Adım 10: yı +1 alara işleme devam et ve eğer Qmax < ε ise işlemi sonlandır, asi tadirde Adım 8 e geri dön. Basit ve diğer lineer olmayan programlama tenilerindei her bir iterasyon için daha az süreye geresinim duyduğundan, bu algoritmanın il ii iterasyonu için En Hızlı İniş Metodu ullanılmıştır. Söz onusu algoritmayı temel alan bir bilgisayar programı geliştirilmiş ve değişi model şebeelere uygulanara çalışma performansı Hardy Cross Algoritması ile arşılaştırılmıştır. Kombine metot, optimum çözüme daha az sayıda iterasyon ve sürede ulaşmatadır. Ayrıca, başlangıç hava mitarı değerlerine sıfır dışı değerlerin atanmasına geresinim duymamatadır. Bütün havayolları için, hava mitarı değerlerinin başlangıçta sıfır olara alınması çözüm süresini etilememetedir. 5. SONUÇ Klasi Hardy Cross Metodu ve lineer olmayan programlama tenileri içinde en basiti olan En Hızlı İniş Metodu aynı algoritma içinde birleştirilmiştir. Bu algoritmayı temel alan bir bilgisayar programı geliştirilmiştir. Bilgisayar uygulaması, ombine metodun Hardy Cross Metodu ile muayesede çözüme ço çabu ulaştığını, daha az iterasyon sayısı ve daha ısa çözüm süresine geresinim duyduğunu açığa çıarmıştır. Bahsedilen avantalarına e olara, önerilen bu metot ile başlangıç hava mitarı değerlerinin tahmin edilmesi zorunluluğu elimine edilmetedir. KAYNAKLAR Bhamidipati S., Procarione J.A., (1986): Nonlinear Programming Techniques for Analysis of Mine Ventilation Networs, Trans. Ins. Min. And Metal. Eng., Vol. 95, A8-A14. Fiacco A., Mc Cormic G.P., (1968): Nonlinear Programming Sequantial Unconstrained Minimisation Techniques. New Yor, John Wiley and Sons. Himmelblau D.M., (1972): Applied Nonlinear Programming, McMillan Pub. Co.

6 Sayfa No: 54 S. SARAÇ, C. ŞENSÖĞÜT Kowali J., Osborne M.R., (1968): Methods for Unconstrained Optimisation Problems, New Yor, Elsevier Pub. Co. Mysis A.D., (1975): Advanced Mathematics for Engineers, Moscow, MIR Pub., Ueng T.H., Wang Y.J., (1984): Analysis of Mine Ventilation Networs Using Nonlinear Programming Techniques, Int. Jour. of Min. Eng., Vol. 2, Wang Y.J., (1984): A Nonlinear Programming Formulation for Mine Ventilation Networs with Natural Splitting, Int. Jour. Of Roc Mech. Min. Sci. And Geomech. Abs., Vol. 21, No. 1, Yalçın E., (1999): Havalandırma Şebee Analiz Programı Yardımı ile Madenlerde Kontrollü Hava Dağılımı, DEÜ Müh. Fa., Fen ve Mühendisli Dergisi, İzmir, Cilt 1, Sayı 2,