ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Transkript

1 TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI K. Melikoğlu 1, M. Melikoğlu 2 1 İller Bakası Geel Müdürlüğü, Harita Dairesi Başkalığı, Akara, kmelikoglu@yahoo.com 2 Bahcesehir Üiversitesi, Eerji Sistemleri Mühedisliği Bölümü, İstabul, mehmet.melikoglu@bahcesehir.edu.tr ÖZET Bu çalışmada, kuramsal olarak bir iregi oktası bir, bir kear iki, iki kear üç yada dört ve sayıda iregi okta ise bilimeyeli olarak taımlamıştır. Bir ve okta sayısı kadar kuramsal eşitlikler kurulmuştur. Kurula bu eşitlikler sıfır ile yüzücü derece arasıda açılmıştır. Açıımları sıfır ile yüzücü derece arasıda stadart sapmaları (SS) hesaplamıştır. Değişkeleri üstel açıımlarıa göre elde edile kuramsal açıımlarıı maksimum ve miimum hata değişim aralığıı bire bir örte üç kat SS kuramsal hata değişim aralığıda aramıştır. Yüzlerce açıım içerside, sadece iki bilimeyeli dokuzucu derece açıımda elde edile üç birimlik SS ı istee özellikte olduğu görülmüştür. Üç birimlik SS iregi kearlarıı GPS ile ölçüsü yapılırke ölçü sürelerii okta sayısıa göre değiştiğii göstermiştir. Aahtar sözlük: Ağ aalizi, Jeodezi ağları, GPS, Mühedislik Ölçmeleri, Optimizasyo, ABSTRACT ESTIMANTION OF MEASURMENT INTERVALS IN MAIN GPS NETWORKS BASED ON TRIANGULATION POINTS I this study, the followig was defied as theoretically a triagulatio poit oe, oe edge two, two edge three or four ad "" umber of the triagulatio poits as "" ukows. Theoretical equatios was established as oe ad "" umber of poits. These equatios were solved upto 100th order. The stadard deviatios (SS) of the fuctios were calculated. The solutios were assessed based o the miimum ad maximum error margis based o triplicate SS s. Oly two variable 9th order fuctio satisfied these coditios. Three uits SS values o triagulatio poits showed that the measurmet itervals varied with the triagulatio poits durig the operatio. Keywords: Egieerig Measurmets, Geographical Networks, GPS, Network Aalysis, Optimisatio 1. GİRİŞ Haritası yapılacak alada bulua eski, yei, ve ülke aa iregi oktalarıı yaklaşık eşgüdüm değerleri iki saatlik sürelerle GPS aleti ile ölçülür. Daha sora serbest ağ degelemesi ile aa iregi ağıa ilişki oktalarıı eş güdüm değerlerii kesi ortalama hatası hesaplaır. Tekik Yöetmelik (TY) gereği ortalama hataı e fazla 3 cm iceliğide olması zoruludur. Nokta sayısı ikide fazla oluca ölçü sürelerii iki saat ile sıırladırılmamalıdır. Buu edei; aa iregi ağıdaki oktalar arasıdaki ilişkiler birbirleride bağımsız değildir. Dörtge aa iregi ağı ile beşge aa iregi ağıı içsel ve dışsal özellikleri ayı değildir. Niregi kearlarıı oluşturduğu kapalı yersel şekilleri kedi aralarıda diamik ilişkileri vardır. Bu bağlamda; her hagi bir aa iregi ağıdaki okta sayısıa göre GPS ölçüm süreleri Deklik 1 e göre kurula işlevlerde hesaplamış, elde edile souçlar Tablo 1 de gösterilmiştir. 1.1 Geel Değerledirme Aa iregi ağlarıda, GPS ölçü sürelerii buluması; haritası yapılacak alaı büyüklüğüe göre kurulacak iregi sayısıa bağlıdır [1]. Bu bağlamda, GPS ölçü süreleri; iregi ağıdaki iregi sayısıa göre değişmektedir [2]. Alımı yapılacak ala doğu batı yöüde 200 km, kuzey güey yöüde 100km olarak varsayılırsa. Bu büyüklükte bir alaa 20 km eşit aralıklarla e az 50 adet aa iregi oktası atılmalıdır. Böylesie büyük bir alada harita alımı yapmak içi mühedislik ölçmelerie gereksiim vardır. Kurulacak aa iregi ağıı büyüklüğüe göre iregi sayılarıı buluması GPS ölçü sürelerii etkiler. Bu aşmamda, GPS ölçü sürelerii doğru saptaması öem kazamaktadır [3]. Bir kear içi verile iki saatlik süre, bir ağda bulua değişik sayıdaki kearları içi değişmez ölçü olarak alımamalıdır. Niregi ağıı büyüklüğüe göre, GPS ölçü sürelerii belirlemesi gerekir. Dört oktalı aa iregi ağıı ölçü süresi ile beş, altı ve daha çok sayıda kearlı ağları ölçümleri ayı sürede yapılmamalıdır. Bu çalışmada, bir iregi oktasıı bir ve bir kear, iki bilimeyeli olarak taımlamıştır [4]. İki bilimeyeli bir işlev, sıfır ile yüzücü derece arasıda açılarak[5] her bir açıımı kuramsal SS değeri hesaplamıştır. Böylece, iki bilimeyeli bir

2 Aa Niregi Ağlarıda Niregi Sayısıa Göre GPS Ölçü Sürelerii Kurumsal Olarak Buluması işlev içi yüz adet SS bulumuştur. Degeleme soucu bulua ortalama hataı üç katı ölçme soucu bulua hatalar ile bire bir örtüşüyorsa yapıla ölçüler doğru ve yeterli sayıdadır kuramı doğrultusuda iki bilimeyeli kuramsal açıımda bulua SS ları üç katı alımıştır. Her bir açıımda bulua aritmetik ortalamada, farkları maksimum ve miimum hata aralıkları ile bire bir örtüşe dağılım aramıştır. Araa bu dağılım, iki bilimeyeli bir kearı dokuzucu derece açıımda elde edile üç birimlik SS'ı üç katı ile kuramsal hata dağılım aralığıı bire bir örtüştüğü dağılımdır. Matematiksel olarak, dokuzucu derece açıımda elde edile dağılım GPS ölçüleri içi e uygu dağılım olarak kabul edilmiştir. Bu makalei yazarları tarafıda daha öce yapıla kuramsal çalışmalarda, tekik yöetmeliğe uygu olarak 20 km lik bir kearda GPS ölçü süresii iki saat, ölçü kayıt aralığıı obeş saiye kabul ederek, aa iregi ağıda bulu okta sayılarıa göre ölçü süreleri belirlemiştir. 1.2 Üç Birimlik Stadart Sapmaı Özellikleri Verile sürelere uymak koşulu ile serbest ağ degelemesi soucu bulua ortalama hata üç birimde küçük olabilir, acak daha büyük olmamalıdır. Kuramsal SS yı elde etmek içi her hagi bir kear GPS ile dokuz silsile, e az iki saat ölçülmelidir. Kuramsal olarak, 20 km lik bir kearı iki saat ölçmek yeterlidir. İki saatte fazla ölçüler her e kadar ekoomik yöde artı harcamaları getirmiş olsa da sorada kullaılabilecek yedeklemiş ölçülerdir. İki saatte az ölçüler ise bu makalei kısım 1,4 ve 1,5 ide alatıldığı gibi yeterli sürede yapılmadığı içi kabul edilmemiştir. Bir iregi ağıda bulua e az, üç, dört, beş ve daha çok sayıda kearları ölçüm süreleri, kuramsal SS yı aa iregi ağıda her zama e fazla üç birim olarak buluması içi hesaplamıştır. Bulua souçlar Tablo 1 de gösterilmektedir. Tablo 1. GPS Ağlarıda Kuramsal Oturum Sayısı ve GPS Ölçü sürelerii Buluması NS BS SS OS= ÖS KS ÖS=Gü, S ÖS = ÖSx Saat 2S 30D , Saat 3S 45D , Saat 6S 15D , Saat 8S 45D Saat 12S 30D , Saat 16S 15D Saat 17S 30D Saat 22S 30D Saat 25S Saat 27S 30D , Saat 28S 45D Saat 1G 7S 15D G 6 S 1G 13S 30D G 12 S 1G 21S G 16 S 2G 2S G 2 S 2G14S 30D , G 7S 2G 20S 45D G 12 S 3G 3S G 18 S 3G 10S 30D G 22 S 3G 15S 30D G 8 S 4G 4S G 18 S 4G16S 30D G 4 s 5G 5 S 1.3 Çok Bilimeyeli Deklemleri Matematiksel Modeli Kuram: sayıda ki işlevleri sayıda değişkelerii derecede açıımlarıda bulua sayıda SS ları; iki değişkeli bir işlevi derece açıımıda elde edile sayıdaki SS larıa eşittirler. Bu kuram, işlevleri çözümü içi yeter sayıda, kök iki, üst değerleri ile bu değerleri üstüde kala SS ları içi geçerlidir. İşlevleri çözümü içi yeter sayıdaki üst değerlerii altıda kala SS lar ise o işlevi öz değerleridir. Bu kuram bu makalei yazarları tarafıda geliştirilmiştir. Üç, dört, beş ve sayıda ki kearlarda GPS ölçü sürelerii doğru biçimde bulmak içi çok bilimeyeli deklemleri açıımlarıa gereksiim vardır. Bu açıımlar içerside üç birimlik SS, üç, dört, beş ve sayıda oktalar içide araıp buludukta sora kuramsal GPS ölçü süreleri saptamıştır. Çok bilimeyeli deklemleri açıımı daha öcede bu makalei yazarları tarafıda yapıldığı içi burada sadece geel deklem olarak verilmiştir, Deklem [5, 6, 7]. Çok bilimeyeli deklemleri geel taımıı;

3 F = x ) = b ( x ) F ( x, x 2,..., x i ) = F ( x 1 + x 2 i Melikoğlu 1 (1) Deklik 1 de, F(x) = İşlev (Foksiyo), X i = Bilimeye; alt kümeler, b = İşlevdeki bilimeye sayısı, i 2 = İşlevi bilimeye sayılarıı tamsayı değeri, = Silsile; üst sayısı; bilimeyei derecesi olarak taımlamıştır. Deklik 1, iki, üç, dört, beş, altı ve daha fazla sayıda bilimeyeli deklemlere döüştürülerek ayrı, ayrı açılmıştır. Açıımlarda, her bir değişkee göre açıımları SS ları hesaplamıştır. Hesaplaa, SS ları her biri icelediğide; iki değişkeli bir işlevi açıımıda elde edile SS ları sayısal souçlarıı üç, dört, beş, altı, yüz ve değişkeli işlevleri, yeterli ölçü sayısıda soraki yüksek derece açıımlarda elde edile SS larla ayı olduğu hesaplamıştır. Tablo 1 de farklı sayıda değişkeleri yeterli ölçü sayısıa göre bulua SS ları üstüde kala, tüm SS ları tamamı, bir birlerie eşit olup, sadece SS ları sıralaış satırlarıı yerleri değişiktir. Örek olarak, üç bilimeyeli bir değişkei açıımıda bulua üç birimlik SS oüç ile odört derece arasıda yer alırke, dört bilimeyeli bir işlevi açıımıda bulua üç birimlik SS osekizici sırada yer almaktadır. Bu bulgu bizi; GPS ölçüleride oturum sayıları ve ölçü sürelerii üç, dört, beş, altı ve daha çok sayıda iregi oktalı ağlarda e fazla üç birimlik SS yı elde etmek içi kaç saat, kaç ölçü yapılması gerektiğii araştırmaya yöeltmiştir. Bu bağlamda, elde edile souçlar Tablo 1 de toplu halde verilmiştir. Bir dekliğii altı bilimeyeli altıcı derecede açıımıda elde edile matematiksel çatı Şekil 1 de, bu çatıda oluşturula aa iregi ağı Şekil 2 de, dörtge aa iregi ağı ise Şekil 3 de silsile sayıları ve ölçü süreleri ile birlikte gösterilmiştir. Şekil 1 Altı Bilimeyeli ve Altıcı Derecede Bir İşlevi Açıımı Şekil 2. Dört bilimeyeli Aa Niregi ağı, GPS Ölçüleri: 18 Silsile, 4 Saat Şekil 3. Altı Bilimeyeli Aa Niregi Ağı, GPS Ölçüleri:27 Silsile, 6 Saat

4 Aa Niregi Ağlarıda Niregi Sayısıa Göre GPS Ölçü Sürelerii Kurumsal Olarak Buluması x 2 x 3 x 1 x 4 x 6 x Niregi Ağlarıda GPS Ölçü Süreleri Niregi ağlarıda kear ölçü sürelerii az ya da çok sürede yapılması işi maliyetii etkilediğide doğru olarak saptaması gerekmektedir. Niregi oktalarıda, GPS ölçüleri az sürede yapılırsa, kear içi isteile hassasiyet elde edildiği düşüülse de bu makalei kısım 1,5 ide alatıldığı gibi bu doğru bir karar değildir. Tekik yöetmelik de istee ölçü süresii iki saati altıda tutularak, kuramsal süreye uyulmamaktadır. Bu durumda, yapıla ölçüü hassasiyeti hakkıda güvesizlik duyulur. Şayet, bir kear içi GPS ölçüleri iki saatte fazla yapılırsa, istee sürei üstüde ölçü yapılmış olur. Ölçüler fazla yapılsa dahi, bir kear içi SS e fazla üç birim olarak buluur. Fazlada yapıla ölçüler içi ekoomik yöde kayıplar olmaktadır, acak yapıla ölçümleri güve aralığı artmış olur. Bir kear içi saptaa iki saatlik ölçü süresii, aa iregi ağıdaki birde çok kearlar içide iki saat olarak alıamaz. Aa iregi ağıda, iregi sayısıa bağlı olarak kearları ölçü sürelerii değiştiği göz ardı edilmiş olur. 1.5 Üç Birimlik Stadart Sapmaı Nedei Yüz yirmi dakikalık, GPS ölçülerie göre bir silsile kuramsal olarak oüç dakika olarak hesaplamıştır. Uygulamada bir GPS silsilesi o dakika olup, 15 saiyelik aralıklar ile bir silsile 40 kayıt içermektedir Bir uzuluk iki kez ölçülürse; 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 2 alıp Deklik 1 e göre hesaplaacak kuramsal açıımı stadart sapması birim olur [7]. Kuramsal hata dağılım aralığı (±2) birim, 3 kat SS ı dağılım aralığı ise 3.2 birimdir. 3.2 birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±2) birimlik hata sıırlarıı dışıa taşmaktadır. İki silsile 20 dakika yapıla ölçü ortalama hatası her e kadar (±1.414) birim bulusa dahi, yapıla GPS ölçüsü yeterli sayıda olmadığı içi kabul edilemez Bir uzuluk üç kez ölçülürse, 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 3 alıp Deklik 1 e göre hesaplaacak kuramsal açıımı stadart sapma değeri birim olarak buluur. Kuramsal hata dağılım aralığı, (±3) birim, 3 kat SS ı dağılım aralığı ise 5.2 birimdir. 5.2 birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±3) birimlik hata sıırlarıı dışıa taşmaktadır. Üç silsile, 30 dakika yapıla ölçü ortalama hatası her e kadar (±1.732) birim olarak hesaplasa dahi yapıla GPS ölçüsü yeterli sayıda olmadığı içi kabul edilemez Bir uzuluk dört kez ölçülse, 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 4 alıp, Deklik 1 e göre bulacağımız kuramsal açıımı stadart sapması 2 birim olur. Kuramsal hata dağılım aralığı (±4) dört birim, üç kat SS ı dağılım aralığı ise 6 birimdir. Altı birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±4) birimlik hata sıırlarıı dışıa taşmaktadır. Dört silsile 40 dakika yapıla ölçü ortalama hatası her e kadar (±2) birim olarak hesaplasa dahi, yapıla GPS ölçüsü yeterli sayıda olmadığı içi kabul edilemez Bir uzuluk sekiz kez ölçülse 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 8 alııp, Deklik 1 e göre bulacağımız kuramsal açıımı stadart sapması birim olur. Kuramsal hata dağılım aralığı (±8) birim, üç kat SS ı dağılım aralığı ise 8.5 birimdir. 8.5 birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±8) birimlik hata sıırlarıı dışıa taşmaktadır. 8 silsile 80 dakika yapıla ölçü ortalama hatası her e kadar (±2.828) birim olarak hesaplasa, dahi yapıla GPS ölçüsü yeterli sayıda olmadığı içi kabul edilemez Bir uzuluk dokuz kez ölçülürse, 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 9 alıp Deklik 1 e göre hesaplaacak kuramsal açıımı stadart sapması 3 birim olarak buluur. Kuramsal hata dağılım aralığı (±9), üç kat SS ı dağılım aralığı ise 9 birimdir. Dokuz birimlik, SS kuramsal dağılım alaı ile bire bir örtüşmektedir. Dokuz silsile yapıla ölçü hem kuramsal hem de eylemsel yöde doğru olup kabul edilebilir bir ölçüdür Bir uzuluk o kez ölçülürse, 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesi 10 alııp Deklik 1 e göre bulacağımız kuramsal açıımı stadart sapma değeri 3.2 birim olarak buluur. Kuramsal hata dağılım aralığı (±10) birim, üç kat

5 Melikoğlu SS ı dağılım aralığı ise 9.6 birimdir. 9.6 birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±10) birimlik hata sıırlarıı içide kalmaktadır. O silsile yapıla ölçü yeterli sayıda ölçü olup, bir silsile fazla ölçü yapılmıştır Bir uzuluk 11 kez ölçülürse, 2 değişkeli bir işlevi açıım derecesii 11 alıp Deklik 1 e göre hesaplaacak kuramsal açıımı stadart sapması 3.3 birim olur. Kuramsal hata dağılım aralığı (±11) birim, üç kat SS ı dağılım aralığı ise 9.9 birimdir. 9.9 birimlik SS kuramsal dağılım alaıı örte (±11) birimlik hata sıırlarıı içide kalmaktadır. Obir silsile yapıla ölçü yeterli sayıda ölçü olup iki silsile fazla ölçü yapılmıştır GPS ölçüleri sorası yapıla serbest ağ degelemesi ile hesaplaa ortalama hata üç ve üç birimi altıda çıkması yapıla GPS ölçüsüü doğru olduğuu göstermez. Bu doğruluk yapıla GPS ölçülerii, ölçü sürelerii Tablo 1 de verile sürelerde yapılıp yapılmadığıa da bağlıdır. Fazla yapıla ölçüler uyuşmazlık durumuda kullaılabilir. Eksik ölçüler içi, araziye çıkıp yeide ölçü yapılmasıı gerekmektedir. Bu durum hem mühedislik, hem de ekoomik yöde büyük bir kayıptır. 1.6 SONUÇ GPS ölçü sürelerii, alada kurula iregi okta sayısıa göre değişmekte dedir. 55 oktalı aa iregi ağıı 55 GPS aleti ile bir seferde ölçmek içi, 2 gü 7 saat sürekli alımıı yapılması gerekmektedir. Bu kuramsal bir souçtur. 55 iregi oktalı bir alaı batı ucudaki iregi oktası ile doğu, kuzey ve güey ucuda ki iregi oktasıı buluduğu yeri yapısı, ulaşım soruları ile hava koşullarıı ayı olması olaaklı değildir. Bu koşullarda, göz öüe alıarak, alada ve yerleşik yerde (şatiye) gerekli ö çalışmalar yapılarak elde edile ölçü süreleri, 5 güe kadar çıkabilir. Bu büyüklükteki alaı, 3 GPS aleti ile hiç ara vermede, 24 saat/gü, 42 güde ölçülebilir. Ölçü ayıklamaları içi bu süre 53 güe, 3 GPS aletii oktalar arası taşıması, iş kayıpları elde olmaya edelerde dolayı bu süre 92 güe kadar çıkabilir. Şayet böyle bir ala, 10 GPS aleti ile ölçülmeye kalkılırsa, 12 gü, 14 saat, 30 dakikalık bir alım yapılmalıdır. yüzde yirmi beş fazla ölçü içi bu süre 15 gü 18 saat 7 dakika olarak hesaplamıştır. Elde olmaya edelerde dolayı bu süre 27 gü 13 saat 43 dakika olarak tasarlaabilir. Normal büyüklükte, dört beş oktalı aa iregi ağıda, GPS ölçü süresii hesaplamak içi ölçü kayıpları da dikkate alıarak ölçü süresie yüzde yirmi beşlik bir ilave yapılabilir. Başka bir örek olarak, 100 oktalı aa iregi ağı 100 GPS aleti ile 4 gü 4 saatte ölçüldüğü varsayılırsa. %25 ölçü ayıklamaları ve %75 elde olmaya edeler de ekleirse bu süre 9 gü 2 saat 45 dakika olarak hesaplaır. 10 GPS aleti ile 100 oktalı bu ağ; 41 gü 16 saatte ölçülür. Bu süreye, %25 lik fazla ölçü süresi ile elde olmaya edelerde doğabilecek kayıplarda ekleirse, ölçü süresi 91 güe olarak hesaplaır. Yukarda verile GPS ölçü süreleri, 20 km.lik, kearlar içi geçerlidir. Kear boyları arttığıda bu sürelerde artabilir. GPS ölçüleride ayıklamalar yapıldıkta sora yapıla serbest ağ degelemesi ile buluacak ortalama hataı üç ve üç birimi altıda çıkması, yapıla ölçüleri doğru olup olmadığıı göstermez. Bu doğruluk içi ölçüleri Tablo 1 de verile sürelerde yapılıp yapılmadığı da kotrol edilmelidir. GPS ölçüleri bir mühedislik çalışması olup tekik bir ekip tarafıda, Tablo 1 deki değerlere göre yapılmalıdır. Aa iregi ağıdaki okta sayısı esas alıarak tekik yöetmelik bu bağlamda yeide düzelemelidir. TEŞEKKÜRLER Bilgilememe ışık tuta ve 1977 yılıda yüksek lisas yapmamda bei yürekledire; Sayı Prof. Dr. Macit Erbudak, Sayı Prof Dr. Ekrem Ulsoy, Sayı Prof. Dr. Burhaetti Tasu, Degeleme kitapları ile gruplara ayırma Dr. Tezide yararladığım Sayı Prof Dr. Muzaffer Şerbetçiyi rahmetle aar, aıları öüde saygı ile eğilirim. Degeleme ve yüzey ağı kitapları ile aydılamama ışık tuta Sayı Prof Dr. Ergu Öztürk e teşekkürü bir borç bilirim. KAYNAKLAR [1] Melikoğlu K. Melikoğlu M., 2010 Aa GPS Ağlarıda Ölçüle Bazları Ortalama Hataları Ça Eğrisi Ve Çok Değişkeli İşlevleri Kuramsal Açıımları İle Saptaması 5.Ulusal Mühedislik Ölçmeleri Sempozyumu Ekim 2010, ZKÜ Zoguldak. [2] Melikoğlu K. Melikoğlu M., 2010 Deprem alalarıda Yüzey Hareketlerii Saptamak İçi GPS Ağlarıda Baz Bilimeyeleri Ortalama Hatası ile GPS Ölçü ve Oturum Sürelerii Buluması Türkiye 19. Jeofizik Kogresi ve Sergisi Kasım Sherto Otel ve Kogre Merkezi Akara. [3] Melikoğlu K., Melikoğlu M., 2009b. Dört ve Daha Fazla Noktalı Aa GPS Ağlarıda (AGA) Kuramsal Stadart Sapma Değerlerie Göre Ölçü Sürelerii Buluması, 4.Mühedislik Ölçmeleri Sempozyumu.

6 Aa Niregi Ağlarıda Niregi Sayısıa Göre GPS Ölçü Sürelerii Kurumsal Olarak Buluması [4] Melikoğlu, K., GPS tekiği ile ölçüle ANA GPS Ağlarıda (AGA) kuramsal olarak stadart sapma ve güve aralıklarıı bulumasıa ilişki dört boyutlu bir foksiyou açıımı ve olası souçları, 11. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı. [5] Melikoğlu K., Melikoğlu M., 2009a. GPS Tekiği İle Ölçüle Aa Niregi Ağlarıda Kuramsal Olarak Stadart Sapma ve Briç Eli Dağılımlarıı Buluması İçi Dört Boyutlu 13. Derecede Bir Foksiyou Açıımı, 12.Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı. [6] Melikoğlu, K Üçlü Dağılım ve Olasılığı, Türkiye 1.Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı. [7] Melikoğlu, K. 1991a. Olasılık ve Evre, İller Bakası Vakıf Dergisi, Vol. 1, pp [8] Melikoğlu, K., Üçlü Dağılım ve Olasılığı, Türkiye 2. Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı.