BİYOİSTATİSTİK HİPOTEZ TESTLERİ

Transkript

1 BİYOİSTATİSTİK HİPOTEZ TESTLERİ Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT

2 *Bir ana kütlenin herhangi bir özelliği hakkında karar vermek için ana kütledeki bütün elemanların ölçüme tabi tutulması en iyi yoldur. *Ana kütlenin tamamım incelemek bazen mümkün olmadığı gibi veri sayısı arttıkça işgücü, zaman ve maliyet de artmaktadır. Bu durumda ana kütleden örnekleme metotlarına göre ana kütleyi temsil edebilecek bir örneklem alınır. *Bu örneklem, uygun bir istatistiksel testller ile analiz edilerek bir sonuca ulaşılır ve bu sonuca göre, ana kütlenin herhangi bir özelliği hakkında karar verilir. *Dolayısıyla, ana kütlenin herhangi bir özelliği hakkında karar vermek için, örneklemden elde edilen bilgiden faydalanılır. 2

3 *Örnekler: *Yeni geliştirilen bir ilacın hastalığın tedavisinde etkin olup olmadığı, *Hizmet sürecinde yapılan bir değişikliğin hizmet kalitesini yükseltip yükseltmediği, *Cihazların kalibrasyonunda yapılan bir değişikliğin varyansı değiştirip değiştirmediği, *Geliştirilen bir öğretim sisteminin eskisine göre bir farklılık gösterip göstermediği. *Bu tür kararların verilebilmesi için istatistik karar verme tekniği olarak hipotez testlerinden faydalanılır. 3

4 *Hizmet üretim prosesinde yapılan bir değişiklikten sonra elde edilen ölçüm sonuçları ile önceki ölçüm sonuçları arasında farklılıklar çıkacaktır. *Bu farklılık iki sebepten kaynaklanmış olabilir. Birincisi rassal sebeplerden kaynaklanan farklılıklar, ikincisi ise yapılan ayarlamadan kaynaklanan farklılıklardır. *Üretim prosesinde yapılan değişikliğin kaliteyi yükselttiğine karar verebilmek için bu farkın rassal sebeplerden ileri gelmeyecek kadar önemli bir fark olması gerekir. *Bu farkın belirlenebilmesi için bazı istatistik testlerden faydalanılır. Bu testlere hipotez testleri adı verilir. 4

5 *Genel anlamda hipotez, ana kütle hakkında ileri sürülen, doğru veya yanlış olması mümkün olan iddialardır. *İstatistik hipotez testleri ise belli bir kütle parametresinin (µ,, vs.) değeri hakkında ileri sürülen ve geçerliliği istatistik testlerle ortaya konabilen varsayımlardır. *Mesela şeker hastalarının ortalama ömrünün 67 yıl olduğu şeklindeki varsayım bir hipotezdir. Bu hipotezin doğru ya da yanlış olması mümkündür. *Bunun doğruluğunu test etmek için kullanılabilecek en basit yaklaşım ana kütle için tam sayım yapmaktır. Yani bütün hastaların hangi yaşta öldüğünün belirlenmesidir. 5

6 *Tüm hastaların tek tek kayırlardan çıkarılıp incelenmesi genellikle imkansızdır ya da çok uzun zaman alabilecektir ve dolayısıyla böyle bir yöntemin maliyeti de yüksek olacaktır. *Bunun yerine hastalara arasından rastgele bir örneklem alarak şeker hastalarının ortalama ömrü hakkında ileri sürülen iddia belli bir risk düzeyinde test edilebilir. *Bunun için söz konusu parametrenin (burada ortalama) örnekleme dağılımının bilinmesi gerekir. Örnekleme dağılımı dikkate alınarak hipotezler test edilir. 6

7 *Hipotez testi ile belli bir hata payı içerecek şekilde, ileri sürülen hipotezin doğru veya yanlışlığı hakkında karar verilebilir. Hipotez testinde sıfır ve alternatif hipotez olmak üzere iki farklı hipotez kullanılır. *Sıfır Hipotezi; ana kütlenin araştırmadan önce varsayılan gerçek değeri ile örneklemden elde edilen değeri arasında önemli bir farklılık olmadığını, görülen farklılığın rassal sebeplerden ileri geldiğini ve önemsiz olduğunu iddia eder. *Sıfır hipotezi, ana kütlenin varsayılan değeri ile örneklemden elde edilen değeri arasında önemli bir farklılık olmadığını iddia ettiğinden, bu iki değer eşitlik biçiminde formüle edilir ve reddedilmek maksadıyla kurulur. Sıfır hipotezi H0 sembolü ile gösterilir. Sıfır hipotezinin reddedilmesi durumunda alternatif 7 hipotez kabul edilmiş olur.

8 *Alternatif Hipotez; ana kütlenin araştırmadan önce varsayılan gerçek değeri ile örneklemden elde edilen değeri arasında önemli bir farklılık olduğunu iddia eder. *Araştırmacının şüphe ettiği veya ispatlamak istediği iddia alternatif hipotez biçiminde yazılır. Alternatif hipotez H1 sembolü ile gösterilir. 8

9 *Örnek) Toplumda şeker hastası olanların ortalama yaşam süresi 67 yıldır. Yeni bir tedavi metoduyla, hastanın yaşam süresinin artırılabileceği iddia ediliyorsa, sıfır hipotezi ve alternatif hipotez şöyle kurulur: *H 0 : = 67 yıl (yeni tedavi metodu, hastanın ortalama ömründe bir değişiklik yapmamıştır. Hastanın ortalama ömrü yine 67 yıldır). *H 1 : > 67 yıl (Yeni teknik, hastaların ortalama yaşam süresini artırmıştır). 9

10 * Yeni tedavi metodu, hastaların ortalama ömrünü arttırmıştır biçimindeki alternatif hipotez için ana kütleden alınmış olan örneklemin ortalama değeri X > 67 yıl olarak bulunmayıp, X< 67 yıl olarak bulunmuşsa, alternatif hipotezi > 67 şeklinde yazmak anlamsız olacaktır. *Böyle bir durumda teste gerek kalmadan > 67 yıl hipotezi reddedilir. Bu sebeple. alternatif hipotez belirlenirken; hem iddia edilen değer, hem de örneklemin değeri dikkate alınmalıdır. 10

11 *Eğer yeni teknikle, hastaların ömründe farklılık olacağı iddia edilseydi, sıfır hipotezi ve alternatif hipotez şöyle olurdu: *H 0 : = 67 yıl (yeni tedavi metodu, hastanın ortalama ömründe bir değişiklik yapmamıştır). *H 1 : 67 yıl (yeni teknik, hastanın ömründe farklılık meydana getirmiştir). *Eğer yeni teknikle, hastaların ortalama ömrünün azalacağı iddia edilseydi, sıfır hipotezi ve alternatif hipotez şöyle olurdu: *H 0 : = 67 yıl (yeni tedavi metodu, hastanın ortalama ömründe bir değişiklik yapmamıştır). *H 1 : < 65 yıl (Yeni teknik, hastaların ortalama yaşam süresini azaltmıştır). 11

12 *I. Tip Hata: Gerçekte doğru olan bir sıfır hipotezinin reddedilmesidir. *II. Tip Hata: Gerçekte yanlış olan bir sıfır hipotezinin kabul edilmesidir. *ideal olarak, bir hipotezin gerçekte doğru olup olmadığının anlaşılabilmesi için ana kütledeki bütün elemanların ölçüme tabi tutulması gerekmektedir. *Ana kütlenin tamamı ile çalışılmıyorsa, hata yapma riski daima olacaktır. Hata yapma riskinin minimize edilmesi gerekir. Bu ise kolay bir iş değildir. Çünkü, belli bir örneklem hacmi için bu hatalar her zaman olacaktır. Her iki hata tipini de azaltmanın en ideal yolu veri sayısını arttırmaktır. 12

13 *Örnek) Bir ilacın zehirleme etkisinin olmadığı iddia edilmektedir. *H 0 : İlacın zehirleme etkisi yoktur. *H 1 : İlacın zehirleme etkisi vardır. *I. Tip Hata: İlacın zehirleme etkisi olmamasına rağmen, H 0 hipotezi reddedilerek, ilacın zehirleme etkisinin olduğuna karar verilebilir. *Sonuç: İlacın zehirleme etkisi olduğu düşüncesiyle hastaya verilmez ve hastanın tedavisi uzar. *II. Tip Hata: İlacın zehirleme etkisi olmasına rağmen, H 0 hipotezi kabul edilerek ilacın zehirleme etkisi olmadığına karar verilebilir. *Sonuç: İlaç hastaya verilir ve zehirlenme olur. 13

14 *Birinci tip hata yapma olasılığı ile, ikinci tip hata olasılığı ise ile gösterilir. *P (Birinci Tip Hata) = olmak üzere, sıfır hipotezinin kabul olasılığı 1- olur. *(İkinci Tip Hata) = olmak üzere, alternatif hipotezin kabul olasılığı ise 1- olur. Bu durun aşağıdaki tabloda özetlenmiştir: H 0 Kabul H 0 Ret H 0 Doğru Doğru Karar (p = 1- ) Yanlış Karar (I. Tip Hata) (p= ) 14 H 0 Yanlış Yanlış Karar (2. Tip Hata} (p = ) Doğru Karar (P = 1- )

15 * Birinci tip hata yapma olasılığına, yani doğru olan bir H 0 hipotezinin reddedilmesi olasılığına "önem seviyesi" denir ve ile gösterilir. * Elde edilecek sonuçların araştırmacının seçiminden etkilenmemesi için çoğu zaman, örneklerin alınmasına başlamadan önce, değeri belirlenir. * Genel uygulamada çoğunlukla = 0,05 veya = 0,01 değerleri alınır. * Birinci tip hatanın önemli olduğu durumlarda, belirlenecek önem seviyesi, daha küçük olmalıdır. 15

16 * = 0,05, yani önem seviyesi %5 olmak üzere, doğru bir H0 hipotezinin kabul edilme olasılığı 1- = 0,95 olur. Belli bir önem seviyesinde, sıfır hipotezi reddedilirse, testin sonucu önemli veya anlamlı kabul edilir. *Seçilen anlamlılık seviyesi ( ) örneklem dağılımındaki kabul ve ret bölgelerinin belirlenmesini sağlar. Sağlık bilimleri, mühendislik gibi alanlarda genellikle kullanılan anlamlılık seviyesi 0,05 veya 0,01 gibi düşük değerler olabileceği gibi 0,10 ve üstü değerler de kullanılabilmektedir 16

17 * II. Tip hata yapmama olasılığına, yani, yanlış olan bir H0 hipotezinin reddedilmesi olasılığına testin gücü denir ve 1- ile gösterilir. * I. tip hata ihtimali küçüldükçe, testin gücü de o oranda artar. * Veri sayısının artırılması nın küçülmesini sağlar. Dolayısıyla veri sayısı arttıkça testin gücü de artacaktır. 17

18 1. Sıfır ve Alternatif Hipotezlerin Kurulması, 2. Anlam düzeyinin seçilmesi 3. Olasılık dağılımının belirlenmesi 4. Hipotezin kabul red sınırı için kritik değerin bulunması 5. Test istatistiğinin hesaplanması 6. İstatistik karar 18

19 * 1. Aşama Hipotez testinin oluşturulması: Araştırmanın başında H 0 ve H 1 hipotezlerinin belirlenmesi gerekir. H 0 hipotezi ana kütle parametresinden bir eşitliği temsil ederken; H 1 büyük, küçük ya da farklı şeklinde oluşturulabilir. * 0 ve P 0 parametreleri, örneklemden önce kabul edilmiş ana kütle değerleridir. 19

20 * Aşağıdaki tabloda, sıfır ve alternatif hipotezlerin bütün farklı alternatif durumları verilmiştir. Testin Yönü Tek yönlü test Parametre İki yönlü test Sağ Kuyruk Sol Kuyruk Ortalama ( ) H 0 : = 0 H 1 : 0 H 0 : = 0 H 1 : > 0 H 0 : = 0 H 1 : < 0 Oran (P) H 0 : P=P 0 H 1 : P P 0 H 0 : P=P 0 H 1 :P>P 0 H0:P=P 0 H 1 :P<P 0 Ortalamaların farkı ( 1-2 ) H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 2 H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 > 2 H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 < 2 Oranların farkı (P 1 -P 2 ) H 0 : 20 P 1 =P 2 H 1 : P 1 P 2 H 0 : P 1 =P 2 H 1 :P 1 >P 2 H 0 :P 1 =P 2 H 1 :P 1 <P 2

21 * Hipotezin anlam düzeyi ile gösterilmekte ve doğru hipotezin reddi (I. Tip hata) riskini ifade etmektedir. * ve β hatalarının önemine göre bir anlam düzeyi seçilir. * Genel olarak anlam düzeyi olarak 0,01 ve 0,05 olasılıkları seçilmektedir. 21

22 *Hipotezin testi için kullanılan örnek istatistiğinin hangi olasılık dağılımına sahip olduğunun belirlenmesi gerekir. Zira test işlemi bu dağılım kullanılarak yapılır. *Ortalamaların, oranların ve farkların dağılımı büyük örnek hacimlerinde normale yaklaşırken, küçük örneklerde t dağılımına yaklaşmaktadır. *Varyansların dağılımı Ki-kare dağılımına uyarken, varyansların karşılaştırılması için kullanılan varyans oranlarının dağılımı F dağılımına uymaktadır. 22

23 *2. aşamada belirlenmiş olan anlam düzeyine ve 3. aşamada belirlenmiş olan olasılık dağılımına bağlı olarak alternatif hipotezin yönü de dikkate alınarak örnek istatistiğinin uygun oluğu dağılımdan kritik dağılım değeri belirlenir. Belirlenmiş olan bu kritik değerin ötesi hipotezin red bölgesi olurken, diğer tarafı kabul bölgesi olarak kabul edilir. 23

24 *Örnek istatistiği ile sıfır hipotezinde belirlenmiş olan ana kütle parametresi arasındaki farkı standart hata birimleriyle ifade eden ölçüye test istatistiği ya da deneysel dağılım değeri denir. *Test istatistiği; ana kütleden alınan örneklem değeri ile önceden kabul edilmiş ana kütle değeri arasındaki farkı hesaplar ve H0 hipotezinin doğru veya yanlış olma durumlarının belirlenmesinde kullanılır. 24

25 *Veriler en az interval ölçekli ve normal dağılıyorsa birçok parametrik test istatistiği kullanılabilir. Genel kabul örneklemdeki veri sayısının 30 veya 30 dan büyük olduğu durumlarda dağılımın normal dağılıma yaklaşacağı biçimindedir. Fakat kesin sonuç için normallik testleri kullanılabilir. Örneğin, sayısal verilerin bulunduğu bir ana kütle değeri normal dağılım gösteriyorsa, bu değişkendeki verilerin, belli bir değerden farklılığını araştırmada Z veya student t testi istatistikleri kullanılabilir. Z veya Student t istatistikleri; Z veya t = İstatistik Parametre Standart Sapma genel formülü ile hesaplanır. Formüle dikkat edilirse, örneklem istatistiği ile hipotezde yer alan ana kütle parametresi arasındaki fark, standart sapmaya bölünerek test istatistiği hesaplanmaktadır. 25

26 *Karar modeli, test istatistiğinin hesaplanan değerinin hangi bölgeye düşmesi halinde H 0 hipotezinin kabul veya reddedileceğini gösteren bir şemadır. *Bu şemada H 0 hipotezi için Kabul Bölgesi ve Ret Bölgesi olmak üzere iki bölge vardır. *Test istatistiğinin ret bölgesine düşme ihtimali önem seviyesine eşit, kabul bölgesine düşmesi ihtimali ise 1- ya eşittir. Kabul ve ret bölgelerini ayıran değerlere "Kritik Değerler" denir. *Kritik değerler, örneklem istatistiğinin dağılış tipine göre, özel olarak hazırlanmış tablolardan tespit edilirler 26

27 *Karar modeli, testin yönüne göre farklı şekillerde kurulur. Test iki yönlü ise ret bölgesi karar şemasının her iki tarafında da eşit şekilde yer alır. *Test, tek yönlü ise, yani dağılımın sadece bir ucuyla ilgileniliyorsa ret bölgesi ya dağılımın sağ ucunda (sağ kuyruk testi) veya dağılımın sol ucunda (sol kuyruk testi) yer alır 27

28 *Çift yönlü test için sıfır hipotezi; örneklem istatistiği ile ana kütle parametresi arasında fark yoktur, alternatif hipotez ise fark vardır biçiminde kurulur. Hesaplanan Z (veya t) değeri, kritik değerlerin içine düşerse sıfır hipotezi kabul edilir. Önem seviyesi %5 kabul edilirse, SPSS analizinden elde edilen significance değeri, 0,05 den büyük çıkar (Sig>0,05). *Eğer hesaplanan Z(veya t) değeri, kritik değerlerin dışına düşerse, sıfır hipotezi ret edilerek, alternatif hipotez kabul edilir, Bu durumda, SPSS analizinden elde edilen significance değeri, 0,05 den küçük çıkar (Sig<0,05). 28

29 *Örneğin, = 0,05 önem seviyesi ve s.d = n-l = 5-l = 4 serbestlik derecesine göre düzenlenmiş t tablosundaki kritik değerler, 2,776 dır 29

30 *Tek yönlü sağ kuyruk testi için sıfır hipotezi; örneklem istatistiği ile hipotezdeki ana kütle parametresi arasında fark yoktur, alternatif hipotez ise örneklem istatistiği ana kütle parametresinden büyüktür biçiminde kurulur. *Hesaplanan Z(veya t) değeri, kritik değerden küçükse sıfır hipotezi kabul edilir. Bu durumda, SPSS analizinden elde edilen significane değeri, 0,05 den büyük çıkar (Sig>0,05). *Hesaplanan Z(veya t) değeri kritik değerden büyük ise, sıfır hipotezi reddedilerek, alternatif hipotez kabul edilir. *Bu durumda, SPSS analizini elde edilen significance değeri 0,05 den küçük çıkar (Sig<0,05). 30

31 *Örneğin, = 0,05 önem seviyesi ve s.d = n -1 = 5-1 = 4 serbestlik derecesine düzenlenmiş t tablosundaki kritik değer, 2,132 dir. 31

32 *Tek yönlü sol kuyruk testi için sıfır hipotezi; örneklem istatistiği ile ana kütle parametresi arasında fark yoktur, alternatif hipotez ise örneklem istatistiği, ana kütle parametresinden küçüktür biçiminde kurulur. *Hesaplanan Z(veya t) değeri, kritik değerden küçükse, sıfır hipotezi kabul edilir. SPSS analizinden elde edilen signifîcance değeri 0,05 den büyük çıkar (Sig>0,05). *Hesaplanan Z(veya t) değeri, kritik değerden büyükse, sıfır hipotezi reddedilerek alternatif hipotez kabul edilir. Bu durumda, SPSS analizinden elde edilen significance değeri 0,05 den küçük çıkar (Sig<0,05). 32

33 *Örneğin, = 0,05 önem seviyesi ve s.d = n -1 = 5-1 = 4 serbestlik derecesine göre düzenlenmiş t tablosundaki kritik değer, -2,132 dir 33

34 *Karar vermede özel bir durum olan hesaplanmış Z(veya t) test istatistiğinin değerinin kritik değere eşit çıkması durumunda; önem seviyesi değiştirilebilir veya örneklem hacmi büyültülerek test yeniden yapılır. * önem seviyeleri ve test istatistiği değerlerine göre, önemlilik durumları aşağıdaki tabloda verilmiştir. 34

35 * önem seviyeleri ve test istatistiği değerlerine göre, önemlilik durumları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Koşul Olasılık (Önem Düzeyi) Önemlilik Karar = 0,05 t < K.D P>0,05 Önemsiz H 0 kabul = 0,05 K.D < t P<0,05 Önemli H 0 red, H 1 kabul = 0,01 K.D<t P<0,01 Çok önemli H 0 red, H 1 kabul = 0,001 K.D < t P<0,001 İleri düzeyde önemli H 0 red, H 1 kabul 35

36 36

37 Z X n 37

38 *Örnek: Bir firma tarafından üretilen pillerin ömürlerinin ortalaması 300 saat ve standart sapma 49 saat olarak belirlenmiştir. Bu pillerin satıcısı bir bayi pillerin ömürlerinin 300 saatten az olduğunu düşünmektedir. Bunu araştırmak için üretilen pillerden rastgele 49 pil seçilerek ömür testine tabi tutulmuş ve ortalama ömrün 295 saat olduğu görülmüştür. a) Çekilen bu 49 birimlik bir örneğe göre ortalama ömrünün 300 saat olduğu iddiasını %5 anlam düzeyinde test ediniz. b) 49 birimlik örneğin ortalaması en fazla ne kadar olursa %1 anlam düzeyinde hipotez reddedilerek µ<300 alternatif hipotezi kabul edilir? 38

39 * Z X n Z 0,713

40 * 40

41 X Z 2,33 n X 300 2,33 7 X X 283, 69 saat 41

42 42

43 *Araştırmaların bir çoğunda araştırmaya ayrılan para, zaman ve diğer imkanların sınırlı olması gibi nedenlerle, örneklem hacmini, daha önceki açıklamalarımızda belirtilen büyüklükte (genellikle n 30 birim) sağlamak mümkün olmayabilir. Örneğin; çok nadir görülen bir hastalıkla ilgili araştırmada vaka sayısını, uzun süren deneylere dayanan araştırmalarla ve maliyeti yüksek olan laboratuvar çalışmalarında örneklem hacmini arttırmak çok güçtür. Örneklem hacminin az olduğu bu gibi durumlarda, küçük örneklemler için geliştirilmiş test yöntemlerine başvurulur. 43

44 *Standart normal dağılmış bir rassal değişkenle ki- kare dağılmış bir rasgele değişkenin özel bir fonksiyonu şeklinde tanımlanan yeni rassal değişken t ya da student t dağılımı olarak bilinir. *X 1 N(0,1) ve X 2 2 v olup, *v: serbestlik derecesi *X 1 ve X 2 istatistik olarak bağımsız rassal değişkenler iken, t X 1 X v 2 *Şeklinde tanımlansın. 44

45 *v serbestlik derecesi ile tanımlanan sonsuz sayıda t dağılımı vardır. v parametresi daima pozitif tamsayıdır. t v : v serbestlik dereceli t rassal değişkenini ifade eder. *t v değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği merkezi 0 olan çan eğrisine benzeyen bir grafiktir. *v nin değeri artarken t v rassal değişkeninin varyansı azalır. Böylece serbestlik derecesi artarken t dağılımı normal dağılıma yaklaşır. Esasen t dağılımı simetrik olmakla birlikte normale göre daha basık bir dağılıma sahiptir. 45

46 *t dağılımı gösteren bir değişken standart değişkene şöyle dönüştürülür. t X S n 46

47 Serbest Derece Olasılık ( ) t tablosu [P(T<t)] 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,025 0,010 0, ,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63, ,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9, ,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5, ,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4, ,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4, ,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3, ,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3, ,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3, ,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3, ,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3, ,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3, ,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3, ,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3, ,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik ,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947

48 Serest. derec. Olasılık ( ) t tablosu [P(T<t)] 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,025 0,010 0, ,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2, ,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2, ,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2, ,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2, ,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2, ,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2, ,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2, ,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2, ,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2, ,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2, ,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2, ,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2, ,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2, ,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 M. AKBOLAT-SAU İşletme Fakültesi- Biyoistatistik 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 48

49 *Örnek: Belli bir parçanın üretimi için gereken ortalama zamanın 11,5 dakika olduğu biliniyor. İşe alınan 10 işçinin bu mamulü üretim süreleri gözlemleniyor ve aşağıdaki sonuçlar elde ediliyor. Süre 10, ,4 13,6 12,7 13 *%5 anlam düzeyinde yeni işe alınan işçilerin bu mamulü üretim süresinin eski işçilerden daha fazla olup olmadığını araştırınız. 49

50 *Çözüm: *Örneğin aritmetik ortalaması ve standart sapması hesaplanır. Süre 10,5 12,8 13,0 12,7 11,0 14,0 10,4 13,6 12,7 13,0 Topl 123,7 X i X 2 ( X i X ) -1,87 0,43 0,63 0,33-1,37 1,63-1,97 1,23 0,33 0,63 3,50 0,18 0,40 0,11 1,88 2,66 3,88 1,51 0,11 0,40 Topl 14,6 X S X n i 123, ,37 2 ( X i X ) 14,6 S n ,27 50

51 *H 0 : µ = 11,5 dakika (Yeni işçileri üretim süresi de eskiler gibi 11.5 dakikadır.) *H 1 : µ > 11,5 dakika (Yeni işçilerin üretim süresi 11, 5 dakikadan fazladır.) *Anlam düzeyi: 0,05 *Kritik tablo değeri: t 0,05,10-1 t 0,05,9 = 1,833 *Deneysel dağılım değeri (test istatistiği) X 12,37 11,5 t 2,17 s 1,27 n 10 *Karar: t 0,05,9 = 1,833 < t deneysel =2,17 olduğundan H o hipotezi reddedilir. Yeni işçilerin bu mamulü üretim süresi eskilerden yüksekdir. 51

52 *Problem: Adapazarı İstanbul hattında çalışan trenlerin bu yolu alış sürelerinin ortalamasının 140 dakika olduğu iddia edilmekte, varyansının 625 dk olduğu ve bilinmektedir. *a) Bu hatta çalışan rasgele 36 tren gözlemlendiğinde bu yolu alış süresinin ortalamasının en az 146 dk olma olasılığını bulunuz. *b) Bu yolun alınış süresinin ortalamasının 140 dk. olduğu iddiasının geçerliliği için 36 sefer gözlemlendiğinde ortalama süre 150 dk çıktığına göre trenlerin bu yolu alış sürelerinin ortalamasının 140 dakikadan fazla olup olmadığını %5 anlam düzeyinde test edip karar veriniz. *c) 36 gözlemde ortalama süre için güven aralığı 132; 148 dk 52 arasında çıktığına göre güven düzeyini belirleyiniz.

53 53