Ders 10: Bazı Tek Kitleli Hipotez Testleri

Transkript

1 Ders 10: Bazı Tek Kitleli Hipotez Testleri

2 Hipotez testi kavramı Ortalama için hipotez testi (bilinen varyans) Ortalama için hipotez testi (bilinmeyen varyans) P-değeri yaklaşımı Güven aralıkları ile hipotez testi ilişkisi Tek kitlenin varyansı için hipotez testi

3 İstatistiksel hipotez: bir veya birden fazla kitle hakkındaki varsayım veya iddia. İstatistiksel hipotezi doğruluğunu kesin olarak sınamak için tamsayım gerekir. Hipotez testi, istatistiksel hipotezin doğruluğunu belli bir hata payı ile sınamak için yapılır. Test edilen hipotez H 0 ile gösterilir ve sıfır hipotezi olarak adlandırılır. H 1 veya H a olarak gösterilen karşıt hipotezin kabul edilmesi, H 0 reddedildiği anlamına gelir.

4 Hipotez testleri, test istatistiği denilen örneklem istatistiği üzerine kurulur. KARAR HİPOTEZ H 0 Reddetme H 0 Reddet Doğru Doğru karar I. Tip hata Yanlış II. Tip hata Doğru karar I. Tip hata yapma olasılığı α, test yapılmadan önce seçilir ve testin önem düzeyi olarak adlandırılır. 0,10; 0,05; 0,01 ve 0,001 yaygın olarak kullanılan α değerleridir. II. Tip hata yapma olasılığı ise β ile gösterilir. Yanlış olan H 0 ı reddetme olasılığı olan 1 β ya testin gücü denir.

5 H 0, mevcut durumu (statüko) gösterdiği için istatistiksel olaran anlamlı olan H 0 ın reddedilip yerine H 1 in kabul edilmesidir. Test istatistiği kritik bölgede yer alırsa H 0 reddedilir. Kritik bölgenin dışına kabul bölgesi denir. Çoğu zaman yapılan testler iki yönlüdür, H 0 eşitlik (=), H 1 ise eşitsizlik ( ) içerir. Tek yönlü testlerde H 0, veya, H 1 ise < veya > içerir,.

6 H 0 : μ = μ 0 H 0 doğru ise: X~N μ 0, σ n Test istatistiği: Z = X μ 0 σ n Z > Z α 1 H a : μ μ 0 H 0 ı reddet α 1 α α

7 15 yıl önce yapılan kapsamlı bir çalışma ile 10 yaşındaki kız çocukların boy ortalamasının 138cm, standart sapmasının ise 7,5cm olduğu tespit edilmiştir. Son günlerde yapılan bir çalışmada rastgele seçilen 10 yaşındaki 50 kızın ortalama boyu 141cm olarak ölçülmüştür. Buna göre, son 15 yıl içinde 10 yaşındaki kızların boy ortalamasının değiştiği %10 önem derecesi ile söylenebilir mi?

8 15 yıl önce yapılan kapsamlı bir çalışma ile 10 yaşındaki kız çocukların boy ortalamasının 138cm, standart sapmasının ise 7,5cm olduğu tespit edilmiştir. Son günlerde yapılan bir çalışmada rastgele seçilen 10 yaşındaki 50 kızın ortalama boyu 141cm olarak ölçülmüştür. Buna göre, son 15 yıl içinde 10 yaşındaki kızların boy ortalamasının değiştiği %10 önem derecesi ile söylenebilir mi? H 0 : μ = 138cm H a : μ 138cm Kritik değer: Z α 1 Z = X μ 0 σ n = Z 0,95 = 1,65 = ,5 50,8 > 1,65 H 0 reddet. Kızların boy ortalamasının değiştiği söylenebilir.

9 H 0 : μ μ 0 H 0 doğru ise: X~N μ 0, σ n Test istatistiği: Z = X μ 0 σ n H a : μ > μ 0 Z > Z 1 α H 0 ı reddet α H a : μ < μ 0 H 0 : μ μ 0 Z < Z α H 0 ı reddet

10 Normal labaratuvar koşullarında deney farelerinin ortalama ömürleri ortalaması 3 ay, standart sapması 4,5 ay olan normal dağılım göstermektedir. Bir araştırmacı farelere verilen besinlerin toplam kalorisi %30 azaltılır, vitamin miktarı arttırılır ise daha uzun yaşayacaklarını iddia etmektedir. 5 farelik örneklem, araştırmacının önerdiği şekilde beslenmiş ve örneklemin ortalamasının 33,5 ay olduğu gözlemlenmiştir. Buna göre, %1 önem derecesinde söz konusu şekilde beslenen farelerin daha uzun yaşadığına dair yeterli delil var mıdır?

11 H 0 μ 3 H a : μ > 3 Kritik değer: Z 1 α = Z 0,99 =,33 Test istatistiği: Z = 33,5 3 4,5 5 1,667 Z <,33 H 0 ı reddetmek için yeterli delil yok.

12 Dağılımın varyansı bilinmiyorsa test istatistiği Z hesaplanamaz, onun yerine kullanılır. t = X μ 0 S X n Test istatistiği tek yönlü H a için t n 1,± 1 α, çift yönlü H a için t α n 1,1 ile karşılaştırılır.

13 Portlant Çimentosunda SiO oranının %1 olması istenmektedir. Bir çimento santralindeki üretimden rastgele 16 örnek alınmış ve oranları aşağıdaki gibi ölçülmüştür: 1,51 1,0 1,67,4,3 1,17 0,93 1,3,3 1,79,03 3,30 1,3,9 1,09,36 Buna göre ortalama SiO oranının %1 den farklı olduğu %5 önem derecesi ile söylenebilir mi?

14 1,51 1,0 1,67,4,3 1,17 0,93 1,3,3 1,79,03 3,30 1,3,9 1,09,36 H 0 : μ = %1 H a : μ %1 Kritik değer: t 15;0,975 =,1315 X = 1,83 S = 0,688 Test istatistiği:t = X μ 0 S X n = 1,83 1 0, = 4,80 t >,1315 SiO oranı %1 den farklıdır

15 Önceden belirlenen önem düzeyine göre H 0 ın test edilmesi sonucunda kritik değere ne kadar yaklaşıldığı hesaba katılmaz. P-değeri, H 0 ın reddedileceği en küçük önem düzeyidir; reddedilip reddedilmediğinden daha fazla bilgi içerir. P-değeri, aynı zamanda H 0 doğru ise en az eldeki kadar uç bir örneklemin elde edilme olasılığıdır.

16 Önceki 3 alıştırmada hesaplanmış olan test istatistiklerine ait P-değerlerini bulunuz.

17 Önceki 3 alıştırmada hesaplanmış olan test istatistiklerine ait P-değerlerini bulunuz. a)z =,8 P Z >,8 = 0,004 P değeri = 0,0048 b)z = 1,667 P Z > 1,67 = 0,0475 P değeri = 0,0475 c)t = 4,80 P t 15 > 4,80 = 0, P değeri = 0,00034

18 H 0 : μ = μ 0 H a : μ μ 0 Testi için kabul bölgesi X μ Z α 1 < σ n < Z 1 α μ için güven aralığı: σ X Z α 1 n < μ < X + Z 1 α σ n

19 X Z 1 α Z 1 α Z 1 α < σ σ n < μ < X + Z 1 α n < μ X < Z 1 α μ X σ n < Z 1 α X μ Z α 1 < σ n < Z 1 α α önem düzeyinde H 0 ın kabul edilmesi 1 α güven aralığının μ 0 ı kapsaması ile eşdeğerdir. σ σ n n

20 Normal dağılımlı ve σ varyanslı bir kitleden n örnek alındığında elde edilen örneklemin varyansı S ise, test istatistiği χ n 1 S = σ n 1 serbestlik dereceli χ dağılımı gösterecektir. H 0 H a Red Bölgesi σ = σ 0 σ σ 0 χ < χ α/ ve χ > χ 1 α/ σ σ 0 σ < σ 0 χ < χ α σ σ 0 σ > σ 0 χ > χ 1 α

21 Dietil eter üretiminde saflığın yüksekliği kadar değişkenliğin düşüklüğü de önemlidir. Gaz fazı dehidrasyonu yöntemi ile yapılan üretimde yeni geliştirilen bir katalizörün kullanımı ile yapılan 30 deneme üretiminde saflığın standart sapmasının %0,35 olduğu görülmüştür. Buna göre, yeni katalizörün kullanımının standart sapması %0,5 olan mevcut prosesten daha düşük varyanslı olduğu %5 önem derecesi ile söylenebilir mi?

22 H 0 : σ %0,5 H a : σ < %0,5 Kritik değer: χ 9;0,05 = 17,7 Test istatistiği:χ n 1 S = = 9 0,35 = 14,1 σ 0,5 χ < 17,7 Yeni katalizörün kullanımı varyansı azaltmaktadır.