T.C. MUSTAFA KEMAL ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Petrol ve Doğalgaz Mühendisliği Bölümü. PETROL ve DOĞALGAZ MÜHENDİSLERİ İÇİN MUKAVEMET

Transkript

1 T.C. MUSTF KEML ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Fakültesi Petrol ve Doğalga Mühendisliği Bölümü PETROL ve DOĞLGZ MÜHENDİSLERİ İÇİN MUKVEMET DERS NOTU Prof. Dr. Ergül YŞR ISKENDERUN-01 1

2 MUKVEMET 1. GİRİŞ Mekanik Tanımı Elastisite İdeal Kavramlar (elastik cisim- homojen- İotrop- Hooke yasası). KESİT TESİRLERİ DİYGRMLRI (Basit Mukavemet Halleri) Statik hesaplar, Yayılı yük, Kesit tesirleri Kesme kuvveti, eğilme momenti arasındaki bağıntılar 3. NORML KUVVET ve GERİLME Normal Gerilme 4. HOOKE YSSI Gerilme ve Şekil Değiştirme İlişkisi 5. DEĞİŞKEN KESİTLİ Y D BİLEŞİK ÇUBUKLR 6. GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YSSI 3 eksenli Gerilme 7. TLET MOMENTLERİ 8. İNCE CİDRLI BSINÇ KPLRI (HLKLR) 9. BURULM 10. KESME-MKSLM- 11. EĞİLME 1. NORML KUVVET ve EĞİLME 13. BURKULM 14. ÇUBUK SİSTEMLERİNDE BURKULM 1. GİRİŞ Mukavemet; Kuvvetlerin tesiri altındayken üerinde şekil değişikliği meydana gelen, kuvvetlerin etkisi kalktıktan sonra eski şeklini alan elastik cisimlerin mekaniğidir. Teknik alanda kullanılan malemelerin çeşitli yüklere dayanması için gerekli hesap esaslarını inceler. Bir mühendisin vaifelerinden en mühimi elemanın (malemenin) bütün kullanma şartlarını gö önüne alarak yapı, makine ve tahkimat elemanlarının boyutlarını hesaplamak olduğuna göre; bu boyutları hesaplarken iki şartı gö önünde tutmak orundadır. 1

3 a) Mukavim olma şartı: Yani elemanın boyutlarını o şekilde tayin edecektir ki, eleman kendisine tesir eden dış kuvvetlere mukavemet etsin. O halde bu şart elemanın kesitinin et kalınlığının fala olmasına sebep olur. b) Ekonomi şartı: Yani elemanın ucua mal edilmesidir. Bu şartta elemanın et kalınlığının daha a olmasıyla daha a maleme kullanılır. Mühendis bu iki ıt şartın en uygun çöümünü arar. Mukavemet bilgisi matematikten ve maleme bilgisinden çok yararlanır. Deneylere önem verir. Baı kabuller neticesinde bulunan formüllerin deney sonuçlarına uygun olup olmadığına bakılır. Sonuç olarak; Mukavemet cisimlerin (malemenin) kesitlerinde meydana gelen iç kuvvetlerin elastik cisimlerin kesitlerinde nasıl dağıldıklarını, birim kesit alanına düşen kuvveti, yani gerilmeyi, elastik cisimlerin kuvvetler etkisi altında nasıl ve ne kadar şekil değiştirdiklerini (deformasyonlarını = uama, kısalma, sehim, eğilme, burulma, burkulma) miktarını araştırır. DIŞ KUVVET: Bir cisme diğer cisimler tarafından yapılan etkiye dış kuvvet denir. a) Doğrudan doğruya belli olanlar; Kendi ağırlığı Üerine yüklenmiş ağırlıklar Diğer kuvvetler) b) İrtibatlardan gelenler (mesnet tepkileri); Cisimlerin diğer cisimlere bağlanmasından meydana gelen Döşemenin kirişe Kirişin kolona Kolonun temele Temelin emine Tahkimat direğinin tavana Tavan taşının çelik iksaya İÇ KUVVET: Bir cismin iki parçasının birbirine yaptığı etkiye iç kuvvet denir. Dış kuvvetlerin tesiri altındaki bir cisim şu orlamalarla karşı karşıya kalmaktadır. 1. Normal kuvvet (çekme, basınç). Kesme kuvveti 3. Eğilme momenti 4. Burulma momenti Burkulma momen 5. Döndürme momenti

4 MEKNİĞİN çeşitli yönlerden sınıflandırılması mümkündür. Eğer uğraştığı cismin fiik halini gö önüne alarak bir sınıflandırma yaparsak, mekanik üç ana guruba ayrılır: 1. Katı cisimlerin mekaniği;. Sıvıların mekaniği; 3. Gaların mekaniği. Mekaniğin bu üç dalı da mühendisliğin çeşitli kollarında ayrı ayrı önem taşır. Katı cisimler, dış yüklerin etkisi ile a veya çok şekillerini değiştirirler. Teknik problemlerin pek çoğunda bu şekil değiştirmeler küçüktür. Şekil değiştirmelerin tamamen ihmal edilebileceği pek çok problem vardır. Bu nedenle ideal bir cisim olan rijit cisim tanımlanır: Rijit cisim, dış yüklerin etkisi ile herhangi iki noktası arasındaki uaklığı değişmeyen cisimdir. Bu ideal cismi konu alan mekaniğe rijit cisimler mekaniği adı verilir. Katı cisimler kuvvetlerin etkimesi sonucunda şekillerini değiştirdikten sonra rijitleşmiş kabul edilir ve bunlara rijit cisimler mekaniğinin yöntemleri aynen uygulanır. Bu kabul, katı cisim mekaniğinin dayandığı ilkelerden bir tanesidir ve rijitleme adını alır. Katı cisimlerin yükler altında şekil değiştirmesi, kullanılan konstrüksiyon malemesinin cinsine bağlı olarak çeşitli öellikler gösterir. Yumuşak çeliğin, fontun, betonun, kilin aynı yük altındaki şekil değiştirmeleri farklıdır. Birçok durumlarda yükler kaldırıldığı aman cisim ilk haline geri döner. Malemenin bu davranışına elastiklik adı verilir. Yükler kaldırıldıktan sonra cisim ilk haline dönme ve şekil değiştirmiş olarak kalırsa bu davranışa da plastiklik denir. Malemenin pek çoğunda yükün bir sınırına kadar elastik davranış görülmektedir. Plastik davranış gösteren ve göstermeyen malemeler vardır. Çeşitli malemenin öelliklerini kapsayacak çok geniş bir mekanik geliştirmek imkânsı olduğundan bir ideal maleme tanımlayıp onun mekaniğini kurmaktan başka çare yoktur. Elastik cisimler, elasto plastik cisimler, viskoelastik cisimler, v.b. bu tip ideal cisimlerdir. İşte bu ideal cisimlerin mekaniği, bu arada malemenin pek çoğunun ortak öelliğini yansıtan elastik daimlerin mekaniği bunların içinde mühendis için en önemli bölümdür. Bu DERSİN konusunu da esas itibariyle elastik cisimler teşkil edecektir. Elastoplastik cisimlere de a miktarda yer verilecektir. Elastik cisimlerin mekaniğini konu alan bilim dalına elastisite teorisi denir. Yalnı elastisite teorisinde inceleme yolu değişiktir. Orada problem, matematik açısından gö önüne alınır, denklemler kurulur ve çöüm yolu aranır. Bu teori pratik mühendislik hesapları için elverişli değildir. ncak, bir yandan teoriden, bir yandan deneylerden elde edilen sonuçlara dayanılarak 3

5 varılan basit kabuller, pratik problemlerin çöümü için biim inceleyeceğimi bir bilim dalını- MUKVEMET- ortaya çıkarmıştır. Mukavemette incelenen problemlerden biri, cismin dış yükler altındaki davranışıdır. Dış yüklerin etkisi ile cismin içinde iç kuvvetler meydana gelir. Bir konstrüksiyonda bu iç kuvvetlerin malemenin dayanma sınırını aşmaması gereklidir. Bu da mühendisin vereceği uygun boyutlarla sağlanır, işte bu dersin başlıca amacı, boyutlandırmayı sağlamak üere iç kuvvetlerin hesabıdır. MUKVEMET VE İLGİLİ DİĞER BİLİM DLLRI Mukavemet yukarda anlatılan ödevini yapabilmek için diğer birçok bilim dallarından faydalanmak orundadır; bu arada rijit cisimler mekaniği başta gelir. Fakat mukavemetin uğraştığı malemenin, dış yük altındaki davranışı gö önünde tutularak, rijit cisim mekaniğinin, yalnı ortamın öelliği ile ilgili olmayan teoremlerinden faydalanmak gerekeceğine dikkat etmelidir. Bunlar arasında denge şartları başta gelir. Mukavemet, deneysel esaslara dayanan bir bilim dalıdır, incelediği cismin gerçek öelliklerini tanımak, bilmek orundadır; bu sebeple maleme deneme bilgisinden elde edilen sonuçlardan faydalanır. Kısaca söylemek gerekirse, şekil değiştirme ve kuvvet mekanimasıyla uğraşan maleme mekaniği veya modern adı ile reoloji ilgili bilim dalları arasında önemli yer tutar. Mukavemeti, konusu itibariye, şekil değiştiren cisimler mekaniğine sokmuştuk. Yalnı bir mekanik dalında, konu işlenirken, kullanılan metodun kesinlik derecesi farklı olabilir; böyle bir durum, konuları aynı olan, cisimlerin mukavemeti ile elastisite teorisinde vardır. Pratik amacı dolayısıyla, sırf konuyu sadeleştirmek için, mukavemet bahsinde birçok kolaylaştırıcı varsayımlar yapılır, bundan ötürü varılan sonuçlar yaklaşıktır. Elastisite teorisi aynı probleme daha kesin bir anali metodu uygular; dolayısıyla elde edilen çöüm diğerinden daha kesin olur. Birçok halde, yeter yaklaşıklık elde ettiği için, sonuca daha hıla varan elemanter mukavemet metotları, mühendisler tarafından elastisite teorisine tercih edilir. Fakat kesin teori, sonuçları kontrol bakımından, hiç bir aman göden uakta tutulama, ayrıca yeter yaklaşıklığın sağlanamadığı hallerde, elastisite teorisine başvurmaktan başka çare de yoktur. Mukavemetin faydalandığı dallardan biri deneysel elastisitedir. Karışık birçok problemin çöümü, model yardımı ve ölçü metotlarıyla bulunur. Mukavemetin kısımları Her mekanik dalında olduğu gibi burada da konuyu iki büyük parçaya ayırmak kabildir. Birine Elasto-statik adı verilir ve denge problemlerini kapsar. Diğeri ise yapı elemanlarının ivmeli 4

6 hareketlerinden doğan atalet kuvvetlerinin etkisini araştırır ve elasto kinetik adını alır, Bu son kısım, öellikle makine mühendisliğini ilgilendiren problemlerle uğraşır. Tarihçe Mukavemetin, çok gerilere gitmeyen tarihine ait burada kısa bir bilgi ile yetinmek istiyoru. Kirişlerin ilk eğilme problemi ile Galilei ( ) uğraşmıştır, fakat o, kirişte çekme ve basınç gibi iki bölgenin bulunduğunu fark etmemiştir. Kuvvet ve şekil değiştirme arasındaki ilk matematik bağıntı Robert Hooke ( ) tarafından kuruldu. Eğilmeye çalışan kirişte iki çeşit normal gerilme bulacağını ilk fark edenler arasında Mariotte (1680) ve Leibnit (1684) den bahsetmek gerekir. Bernoulli 1694 de eğrilik ile moment arasındaki orantılılığı, ileri sürdü. ynı bilgin kiriş kesitlerinin eğilmede dülem kalması gibi önemli hipotei 1705 de ortaya attı. Leonhard Euler ( ) elastik eğri ve ona dayanan elastik stabilite problemlerini 1744 de çödü. Kiriş teorisini geliştiren ve çeşitli mühendislik problemlerinin çöüm metotlarını ortaya koyan Navier ( ) dir. Mukavemet ve Elastisite teorisinin gelişmesi için büyük çabalar sarfeden diğer isimleri şöyle sıralamak kabildir. Poisson ( ), Cauchy ( ), de Saint-Venant ( ), C. Maxwell ( ), Kirechh off ( ), Wöhler ( ), Betti ( ), O. Mohr ( ),. Castigliano ( ) ve Engesser ( ) [4]. MEKNİK: a) 1. Katı cisimlerin mekaniği. kışkanlar mekaniği b) 1. Rijit cisimler mekaniği. Şekil değiştiren cisimler mekaniği c) 1. Sürekli ortamlar mekaniği. Parçacıklı (Kuantum) mekaniği d) 1. Newton (vektörel) mekaniği. nalitik (Lagrange) mekaniği 3. İstatistik mekanik. 5

7 Cisimlerin mukavemeti esas itibariye, şekil değiştiren cisimlerin mekaniğidir; yalnı güdülen amaç boyutlandırma adı verilen belirli tip mühendislik problemlerini çömek olduğu için, daha çok tatbikî mekanik kategorisine girer. Mühendis, tasarlayacağı her çeşit yapı elemanına boyut verirken, gö önüne alacağı en önemli noktalardan biri de, bunların dış etkenlere dayanmasını sağlamaktır. İşte cisimlerin mukavemeti ve baen de mukavemet adı verilen bu bilim dalı bununla ilgili esas ve metotları haırlar. Mühendis, tasarlayacağı her çeşit yapı elemanına boyut verirken, gö önünde bulundurmak orunda olduğu önemli noktalardan biri de, bunların dış etkilere karşı dayanmasını sağlamaktır. İşte mukavemet bilim dalı, bu yolda gerekli esas ve metotları haırlar. Boyutlandırma, daima birbirine ıt olan, şu iki şartı uyuşturmağa çalışır. 1. Emniyet şartı. İktisat şartı Yapı, hiçbir aman etkiyen dış kuvvetlere tam dayanacak şekilde boyutlandırılma, bunların geçici de olsa, muhtemel artışlarını ve yapının emniyeti ile ilgili diğer faktörleri de hesaba katmak gerekir. Bütün bu noktalar, boyutların arttırılmasını, diğer bir deyimle yapının ağır ve rijit olmasını icap ettirir (emniyet düşüncesi). İktisat şartına gelince, lüumsu maleme ve işçilik sarfından kaçınarak, yapı elemanlarına yeter boyut vermeyi öngörür. Bu iki esas şart yanında, yapıya uygun form vermekte hiçbir aman ihmal edilmemelidir. Eser doğru olduğu kadar güel de olmalıdır; terim eğer yerinde ise, bu üçüncü şarta da 3. Estetik olma şartı denilebilir. Mukavemet, her teknik problemde bütün şartları gerçekleştirecek optimum bir çöüm arar. Mukavemeti elde etmek için yapılan basitleştirme ve ideal kavramlar: 1. Ortamın yapısı için kabul edilen ideal kavramlar Mukavemette kullanılan ideal kavramlar arasında tam elastik cisim ve tam plastik cisim sınırda olan iki cismi gösterir. 6

8 Elastik Cisim: Bir cisme dış yükleri uyguladığımıda cisim şekil değiştirme yapacaktır. Dış yükler kalktığında cisim 1. şekline dönüyorsa buna elastik cisim denir. Tam elastik öellik, cisimde şekil değişmenin dış etki ile birlikte geri dönmesi demektir. Bunun ıddına, tam plastik cisimde, dış tesirler ortadan kalktığı halde yaptıkları şekil değiştirme olduğu gibi kalır. Yapıda kullanılan cisimler genel olarak, bu iki ideal durumun arasında bulunur; yani dış etkiler geri dönerken, şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner bir kısmı kalır. Buna Elastoplastik cisim denir. Elastoplastik Cisim: Dış yükler kalktığında cisim ne son şeklinde kalıyorsa ne de ilk şekline dönüyorsa cisme Elastoplastik cisim denir. Homojen: Eğer ele aldığımı cismin öellikleri her noktası için aynı ise buna homojen cisim denir. İotrop: Eğer cismin öellikleri cismin içindeki doğrultuya bağlı değilse buna İotrop cisim denir. Mukavemet için önemli kavramlardan biri de, dış etkilerle şekil değiştirmeler arasındaki bağıntı, şekil değiştirme kanunudur. İlk basit kanun Robert Hooke tarafından verilmiştir. Hooke Yasası: Kuvvet ne kadarsa uama o kadardır Böyle cisimlere Hooke yasasına uyan cisimler denir. Buna göre kuvvetle şekil değiştirme arasında lineer bir bağıntı olduğu kabul edilmektedir. Şekil değiştirme kanunu lineer olan cisimlere kısaca Hooke Cismi adı verilir.. Şekil değiştirmenin kinematiğinde yapılan basitleştirmeler ve ideal kavramlar: 7

9 a) Rijitleştirme İlkesi: Denge denklemleri cismi şekli değiştirdikten sonra rijit hale geldiği kabul edilerek uygulanılır. b) yırma İlkesi: Cismin dış etkilere uygunluğunu anlamak için, bir dülemle herhangi bir yerinden kuramsal olarak kesilir. Dülemin ayırdığı kısımlardan sadece bir parçasına denge denklemleri uygulanır. Cismi iki parçaya ayırıp, bir tarafı atarak kalan kısmın incelenmesine ayırma prensibi adı verilir. Denge denklemleri cismin bütünü için geçerli ise, her parçası içinde geçerlidir. c) Eşdeğerlik İlkesi: Statikçe eşdeğer olan mukavemetçe eşdeğer olmayabilir. Statik yönden eşdeğer olan kuvvetler, şekil değiştirme yönünden de eşdeğer değillerdir. Örnek: İki ayrı yükleme statik yönden eşit olduğu halde biri kirişte şekil değiştirme doğurur. Diğerinde ise hiçbir şekil değişikliği olma. Örnek: Rijit cisim mekaniğinde kuvvet, kayan bir vektör sayıldığı halde, şekil değiştiren cisim mekaniğinde kuvvetin kaymasına iin verilme. Bu kuvvetler çubuğu uatmaya orladığı halde, kuvvetler kaydırılacak olursa, yani Böyle olursa şekil değiştirme tamamen ters bir hal alır. Çubuk kısalır. Saint Venant İleride görülecek mukavemetçe eşdeğerlilik. d) Birinci Mertebe Teorisi: Rijitleştirme ilkesinin tersine mukavemette bağ kuvvetleri hesaplanırken cismin ilk hali yani yükleme yapılmadan önceki durumu rijit olarak kabul edilir. Yani statikte kullanılan bağ kuvvetleri bulma işlemleri aynen uygulanacaktır. Birçok halde, cismin şekil değiştirmiş durumu ile ilk durumu arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri yaılırken gerekli boyutlar şekil değiştirmemiş durum üerinden alınır. 8

10 e) Süperpoisyon (lineer toplama) İlkesi: Bir elastik sistemin iki ayrı yüklemesini gö önüne alalım. Her iki yüklemenin birden yapıldığı durumda ynı noktası f kadar yer değiştirsin. Eğer sistemin bu üç yüklemesi arasında F = f1 + f gibi bir bağıntı varsa, burada süperpoisyon kanunu geçerliktedir denir. Süperpoisyon kanunun geçerli olması için, şekil ve yer değiştirmelerin küçük ve cismin Hooke kanununa uygun bir şekil değiştirme yapması gerekmektedir. Mukavemetin amacı mühendislik yapılarına dış yükler altında uygun boyut vermektir 9

11 İÇ KUVVETLER ve NORML KUVVET HLİ DIŞ KUVVET Cisme diğer cisimlerin yapmış olduğu etki olarak tanımlanabilir. Bu etkiler iki kısma ayrılabilir: a) Doğrudan doğruya belli dış kuvvetler b) Bağ kuvvetleri (Reaksiyon, mesnet kuvvetleri) Birinci sınıftaki kuvvetler, bilinen verilmiş kuvvetlerdir. İkincisi ise cisimlerin arasındaki bağdan doğar. Bağın şekli ve denge fikri esas rolü oynar. İç kuvvet ise bir cismin çeşitli parçaları arasındaki etki ve tepkiden ibarettir. Mukavemette bir cismin tüm durumu hakkında fikir edinebilmek için, cismi parçalara ayırmak ve her parçayı sanki diğerinden bağımsı, ayrı bir cisim olarak düşünmek gerekir. İç kuvvet, cismin parçalarını belirten ayırma yüeyi ve kesit kavramından ayrı olarak düşünüleme. τ ve σ nın İşaretlerinin Bulunması: (σ) Normal gerilme kesitin normali yönündeyse poitif (+) ters yönündeyse (-) negatif olur. (τ) Kayma gerilmesi kesitin normali saat ibresinin tersi yönünde 90 yatırıldığında kayma gerilmesi ile aynı yönde geliyorsa (+) ters yönde geliyorsa (-) olur. Çubuk: Katı cisimlerin teknik mekaniğinde inceleme yolu, cismin geometrisine yakından bağlı olmaktadır. Boyutları bakımından öel olan cisimler için tamamen farklı bir inceleme yolu ilenmektedir. Bu tür öel cisimlerden biri çubuklar, öteki plâk ve kabuklardır. Çubuklar, iki boyutu üçüncü boyutunun yanında küçük olan cisimlerdir. Bu küçüklük oranı genel olarak bir mertebe küçük olma şeklinde söylenebilir, yani 1/10 dur. Çubukların iki öğesi vardır: 1) Çubuk ekseni. Bu genel olarak bir uay eğrisidir. ) Çubuğun enine kesiti. Kısaca kesit de denilen enine kesit kapalı bir alan parçasıdır.[] Kesitin ağırlık merkei çubuk ekseniyle üst üste düşer ve kesit dülemi eksen eğrisine diktir. Her en kesitinin ağırlık merkeinin geometrik yerinden geçen eğriye çubuk ekseni denir. 10

12 Çubuk eksenine dik olan dülemlerle kesildiğinde meydana gelen kesite dik kesiti denir. Teknikte çubuklar, eksen eğrisinin şekline ve çubuklara gelen kuvvetlere göre çeşitli adlar almaktadır. (Şek. l-a). Eksenin şekline göre: 1. Doğru eksenli çubuklar, etkiyen kuvvete göre kiriş, mil, şaft, kolon vb. adlar alır.. Eğri eksenli çubuklar, kemer, halka gibi adlar alırlar. En kesitinin durumuna göre: 1. Sabit eksenli çubuklar. Değişken kesitli çubuklar Bir boyutu diğer iki boyutu yanında çok büyük olan elemanlara çubuk denir. Çubukların. boyutu 3. boyutu yanında küçük olduğu için eksenleriyle gösterilebilir. Bir çubuğun belli olabilmesi için ekseninden başka en kesitinin ve boyunun bilinmesi gerekir. Çubuğun ekseni en kesitlerin ağırlık merkeinin üerinde bulunduğu bir eğridir. En kesit eksene dik kesit olarak tanımlanır. Birden fala çubuğun birbirine bağlanması ile meydana gelen çubuklara çubuk sistemi denir. Eğer bir sistemde çubuklar rijit bağlı ise bunlara, çerçeve adı verilmektedir. Mafsalla bağlandığı kabul edilen ve yükleri bu bağ noktalarına etkiyen çubuk sistemlerine kafes sistemler denir. Bunlar dışında olan çubuk sistemleri de vardır. Çubuğun kesiti çeşitli geometrik biçimlerde olabilir. Bu biçime göre dikdörtgen, daire, halka vb. kesitli çubuk adı verilir. Çubuk kesiti çubuk ekseni boyunca sabit veya değişken olur. Değişken kesitli çubuklarda da kesit değişimi ani veya sürekli olabilir. 11

13 Plak ve kabuklar, iki boyutu üçüncüsünün yanında büyük olan cisimlerdir. Bina döşemeleri, kubbeler, haneler, kaanlar bu tip cisimlere birer örnektir. Boyutları yönünden bu iki öel tipe uymayan çubuklar için genel çöüm yöntemlerinden yararlanmaktan başka çare yoktur. Çubuğa etkiyen dış yükler çubukta iç kuvvetler meydana getirir. Bu kuvvetleri görünür hale getirmek için çubuk hayali iki parçaya ayrılır. Her aman kullanacağımı bu temel ilkeye ayırma ilkesi adı verilir. [1]. Kuvvetlerin etkisinde bulunan bir çubuk gö önüne alalım. Çubuğu bir kesit boyunca ikiye ayıralım. Parçalardan bir tanesi, kendisine etkiyen dış kuvvetlerin etkisi altında dengede olmayacaktır. Öteki parçadan o parçaya gelen iç kuvvetleri de hesaba katarsak denge sağlanır. Bu iç kuvvetler bütün kesit yüeyi üerine yayılmıştır. Değerleri de genellikle kesit içinde noktadan noktaya değişiktir. Bir noktadaki değeri bir limit işlemiyle tanımlanır: alanına gelen kuvvet P ise; Değerine gerilme denir. Gerilmenin boyutu K/L olduğuna göre kg/cm ve ya kg/mm gibi birimlerle ölçülür. Kısaca gerilme birim alana gelen iç kuvvettir. Dülemsel Yükler İç Kuvvetlerin Hesabı Kesim Yöntemi Doğru eksenli bir çubuğa etkiyen bütün dış kuvvetlerin aynı dülemde bulunduğunu kabul edelim. Kuvvetlerin dülemini y dülemi olarak alıyoru. Çubuğun statikçe belirli şekilde mesnetlendiği kabul edildiğine göre bağ kuvvetleri statikçe bilinen yollarla hesaplanır ve bunlarda aynı dülemde 1

14 bulunur. İç kuvvetlerin hesabı yönünden bağ kuvvetleri ile doğrudan doğruya belirli öteki dış kuvvetleri ayırt etmeye gerek yoktur. Bi daima bağ kuvvetlerinin hesaplanmış olduğunu kabul edecek ve dış kuvvetler yönünden dengede olan bir çubuktan hareket edeceği. Ondan sonra iç kuvvetlerin bulunmasını istediğimi kesitten çubuğu iki parçaya ayırırı. Soldaki veya sağdaki parçayı bir serbest cisim olarak gö önüne alırı. Kesitteki iç kuvvetler de hesaba katılmak şartıyla gö önüne alınan parça dengede olmalıdır. Dülemde bulunan kuvvetler için üç denge şartı bie N, T, M bilinmeyenlerini hesaplamak olanağını sağlar. Çubuğu yeteri kadar çok kesitten ayırarak bütün çubuk boyunca iç kuvvetler hesaplanır. Bu, kesim yöntemidir. Kesim yönteminin pratik uygulaması için önce iç kuvvetlerin işaretli olanlarını yeniden göden geçirelim. Poitif yönleri dülemsel hale indirgersek durum elde edilir. İç kuvvetleri hesaplarken gö önüne alınan çubuk parçasına bilinmeyen iç kuvvetleri poitif yönleri ile koymalıdır. Böylece hesap sonucunda poitif çıkan büyüklüklerin poitif, negatif çıkanların negatif olduğu anlaşılmış olur. Çubukta iç kuvvetler eksen boyunca bütün noktalarda hesaplanır. Sonra bunların grafikleri çiilir. Bu grafikler çubuk üerindeki her noktada N, T, M değerlerini (işaretli olarak) gösterir ve normal kuvvet diyagramı, kesme kuvveti diyagramı ve eğilme momenti diyagramı adını alır. Diyagramların çiimi için çubuğu kaç noktada kesmek gerektiği akla gelen bir sorudur. Çubuğa etkiyen tekil yükler; yayılı yüklerin başlangıç, bitim ve yayılma kanununun değiştiği noktalar çubukta bölgeler ayırır. Her bölgede bir kesim yapmak, iç kuvvetleri koordinatının fonksiyonları olarak hesaplamak ve sonra o bölge içinde yi değiştirmek suretiyle kesim sayısını minimumda tutmak mümkün olur. Tekil yüklerin etkidiği noktalarda iç kuvvetlerde süreksilikler olduğundan kesimi tam o noktalarda yapmamalıdır. Hesabın yapılışı ve diyagramların çiilişi örnek problemlerden ilenebilir. Hesabın yapılış adımlarını bir daha öetleyelim: 1. Bağ kuvvetleri hesaplanır.. Yükün değişmesine göre çubukta bölgeler ayrılır. Her bir bölgede bir kesim yapılır. Çubuğun bir parçası gö önüne alınır. Kesitteki yüeye iç kuvvetler poitif yönlerde konur ve nin fonksiyonu olarak hesaplanır. 3. ye bölge içinde değerler vererek iç kuvvet diyagramları çiilir. 13

15 100kg/m 3m 7m 100kg/m.10m=1000kg x y 500kg 400kg B m 500kg 400kg By Soru a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme moment) diyagramlarını çiini. ÇÖZÜM Σx = 0 x 400 = 0 x = 400kg Σy = 0 y+by = 0 y + By = 1500kg ΣMB=0 y*9m-1000*7m= kg.m =9m*y By= 7, kg, y= 777,8kg 0 3m arası 100* M T N Σx = 0 N = 0 Σy = 0 T + 100* = 0 T = -100* ( = 0 T = 0 kg ; = 3 T = kg ) ΣM = 0 M + 100**/= 0 M = -50* ( = 0 M = 0 kg ; = 3 M = kg) 3 10 m arası 100* ,8 M T N Σx = 0 N + 400= 0 N = kg Σy=0 T+100*-777,8 = 0 T = 777,8-100* ( = 3 T = 477,8 kg ; = 10 T = -, kg ) ΣM = 0 M 777,8*(-3) + 100**/= 0 M= 777,8* - 333,4-50 ( = 3 M = -450 kg ; = 10 M = 444,6 kg) N T M , 0 m arası Σx = 0 N + 400= 0 N = Σy = 0 T + 7, T = -, ΣM = 0 M + 500* - 7,*= 0 M =,* ( = 0 M = 0 kg ; = 3 M = 444,4 kg) M ()= 777,8-100*= 0 = 7,778cm M (7,778)= 777,8* - 333,4-50 M (7,778)=6049,7-333,4-304,86=691,46 14

16 100kg/m 500kg B 400kg 3m 7m m N 477, , - T M 444,6 7,778m 691,5 15

17 N/cm Soru a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin B kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti, 800 cm 400 cm eğilme moment) diyagramlarını çiini. ÇÖZÜM x N/cm.800cm=1600N y By Σx = 0 x = 0 Σy = 0 y+by-1600 y + By = 1600 N ΣM=0 1600*400cm - 100cm*By= 0 By = 533 N, y = 1067 N 1067 * M T N cm arası Σx = 0 N = 0 Σy = 0 T * = 0 T = * ( = 0 T = 1067 ; = 800 T = ) ΣM = 0 M 1067* + **/= 0 M = 1067* - N T M 533 ( = 0 M = 0 ; = 800 M = ) cm arası Σx = 0 N = 0 Σy = 0 T = 0 T = ΣM = 0 M - 533*= 0 M = 533* ( = 0 M = 0 ; = 400 M = 1300 ) M ()= * = 0 = 533,5 cm M (533,5)= 1067* - M (533,5)= 1067*533,5 533,5 =

18 N/cm B 800 cm 400 cm 0 N T ,5cm M

19 SORU kn/m 10kN a-) Şekildeki gibi yüklü olan sabit kesitli kirişin B 15kN kesir tesir (normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme moment) diyagramlarını çiini. Maksimum eğilme momenti, kesme kuvveti ve 3 m 6 m 3 m normal kuvvetin şiddeti nedir? x kn/m.6m=1kn 10kN 15kN ÇÖZÜM Σx = 0 x + 15 = 0 x = -15 kn y By Σy = 0 y + By = 0 y + By = kn -15 0,7 M T N ΣM = 0 1*6m +10*1m- 9*By= =9By By = 1.3, y = m arası Σx = 0 N -15 = 0 N = 15 Σy = 0 T 0,7 = 0 T = 0,7 ΣM = 0 M 0,7* = 0 M = 0,7* -15 0,7 *(-3) M T N ( = 0 M = 0 ; = 3 M =,1 ) 3 9 m arası Σx = 0 N -15 = 0 N = 15 Σy = 0 T 0,7+ *(-3) = 0 T = 6,7-* ( = 3 T = 0,7 ; = 9 T = -11,3) ΣM = 0 M 0,7* + *(-3)*(-3)/ = 0 M = - ( + 9-6,7*) N T M ( = 3 M = -,1 ; = 9 M = - 9,7 ) 0 3 m arası Σx = 0 N -15 = 0 N = 15 Σy = 0 T 10= 0 T = 10 ΣM = 0 M + 10* = 0 M = - 10* ( = 0 M = 0 ; = 3 M = - 30) M ()= 6,7-* = 0 * = 6,7 = 3,35 M (3,35)= - ( + 9-6,7*) M (3,35)= - (11,5 + 9,445) =,5 18

20 kn/m 10kN 15kN B 3 m 6 m 3 m 15 + N 10 0,7 + + T - -11,3,1, + M - -9,7 19

21 NORML KUVVET: Bir çubuk yalnıca ekseni doğrultusundaki dış kuvvetlerin yani çekme ya da basınç kuvvetlerinin etkisindeyse kesitlerde meydana gelen iç kuvvete Normal Kuvvet, probleme de normal kuvvet hali denir. GERİLME: Birim alana düşen kuvvet. Normal kuvvet halinde gerilme, normal kuvvetin kesit alanına bölünmesi ile elde edilmektedir. Çekme uygulanması durumu Basınç uygulanması durumu F ç F : Normal kuvvet (basınç ya da çekme), kg b : Basınç gerilmesi, kg/cm ç : Çekme gerilmesi, kg/cm b F. emn : Emniyet gerilmesi, kg/cm m : Sınır gerilmesi, maksimum gerilme kg/cm n : Emniyet katsayısı (> 1) : Kesit alan, cm d : Dairenin çapı, cm lan: daire ise * d 4, * r lan: kare ise a lan: dikdörtgen ise a * b Boyutlandırma ve Emniyet Gerilmesi Malemeler en genel olarak iki farklı grupta toplanabilir: 1. Sünek (düktil) maleme: Yükün belirli bir sınırında malemede çok büyük şekil değiştirmeler meydana gelir. Buna akma denir.. Gevrek (frajil) maleme: Bu tip malemede akma olma. Belirli bir σ gerilmesinde maleme birdenbire kırılır. Her iki hali bir araya toplayarak malemeler için bir σ m sınır gerilmesi olduğunu söyleyebiliri. 0

22 ncak bir konstrüksiyonda gerilmelerin σ m sınır gerilmesine kadar çıkması istenme. Bu nedenle σ m sınır gerilmesi, emniyet katsayısı (n) denilen, birden büyük bir n katsayısına bölünür. Böylece elde edilen gerilmeye emniyet gerilmesi denir. Malemelerin yeteri kadar emniyetli çalıştırılmaları aşağıdaki sebeplerden doğmaktadır. 1. Dış kuvvetler çoğu aman tam olarak belli değildir.. Taşıyıcı elemanın her yerinde aynı öellik bulunmayabilir. 3. İç kuvvetlerin hesabında yapılan kabullerden dolayı sonuçlar yaklaşıktır. 4. İmalatlarda bir takım hatalar ortaya çıkabilir. 5. Zamanla elemanın kesitinde ayıflama olabilir. 6. Elemanlar uun aman çalışması neticesinde yorulmakta dolayısıyla sınır gerilmelerinde değişiklik olmaktadır. m F emn ç emn n Sınır gerilmesine örnek b emn F ÇÖZÜM F Soru = Yanda verilen çubuğun emniyetli gerilmesi σem=1400 kg/cm ve emniyet katsayısı (n=1,5) ise çelik çubuğun sınır gerilmesi (maksimum gerilme) ne kadardır. emn n m m ,5 m Pratikte üç tip boyutlandırma problemi sö konusu olur: 1750kg / cm Problem 1: Çubuktaki F bellidir; malemenin ne olacağına karar verilmiştir, dolayısıyla bilinmektedir. Bu bie gerekli kesit alanını verir. Çubuğa verilecek kesitin değeri aranmaktadır. σ emn de 1

23 F F emn. Problem : Çubuktaki F ve her yerde bellidir; çubuk malemesi de bellidir, dolayısıyla σ emn bilinmektedir. Çubukta meydana gelen gerilmenin σ emn in altında olup olmadığının kontrolü istenmektedir. F emn Problem 3: Dış yükün hesabı (Normal kuvvet) ve σ emn bilinmektedir. Çubuğun ne kadar yük taşıyacağı aranmaktadır. Normal kuvvet diyagramı bilinmeyen yük cinsinden çiilir. Gerilmenin en fala olduğu yerdeki değer, σ emn ile karşılaştırılarak taşınacak yüke geçilir. emn. * F Problem 1 e örnek ÇÖZÜM 100 cm F Soru = Yanda verilen çubuğa uygulanan P kuvveti kg ise dairesel kesitli çubuğun çapı ne olmalıdır? (σem=1400 kg/cm ) F kg 1400 d * 4 4 *17584kg d d 16 d 4cm 3,14*1400

24 Problem ye örnek Fy 0 S B * sin 30 5t S B 50t F 50000kg * 3,14* 10 8 d d d i kg kg / emn olmalı idi olduğu için kesit yeterli değildir. cm Problem 3 e örnek ÇÖZÜM 100 cm F Soru = Yanda verilen çubuğun çapı (d = 4cm), σem=1400 kg/cm ve E=.10 6 kg/cm olduğuna göre taşıyabileceği P kuvveti ne kadardır; bu durumda boyu ne kadar uar? 1400 kg/cm P = 3,14* (cm) = 1,56 cm P = kg 3

25 ŞEKİL DEĞİŞTİRME (HOOKE YSSI) F F Ls L L Ls F Çekme F Basınç Sabit normal kuvvet etkisinde bulunan bir çubuk gö önüne alalım. Kuvvetin etkisi ile çubuğun boyu bir miktar uar ya da kısalır. Uama ya da kısalmayı daha iyi karakterie etmek üere birim boyun uaması veya kısalması diye bir ε (Epsilon) büyüklüğünü tanımlıyoru. Bu ifadeler çapta meydana gelen daralma ya da genişleme için de geçerlidir. Ls L L eks L eks * L L L ε eks > 0 çubuk uar ε eks < 0 çubuk kısalır ds d d yanal d çap * d d d ε çap < 0 çubuk uar ε çap > 0 çubuk kısalır ε, iki uunluğun oranı olmak bakımından, boyutsu ve birimsi bir büyüklüktür. Hooke yasası: Uama ile kuvvet arasındaki ilk bağıntı Hooke tarafından ifade edilmiştir. (1680 yılında) Hooke, uama ile kuvvetin orantılı olduğunu şu cümle ile söylemiştir; Kuvvet ne kadarsa uama o kadardır. Hooke kanunu, birim alana gelen kuvvet, yani gerilme ile birim boyun uaması arasında bir orantılılık vardır şeklinde yorumlayacağı ve aşağıdaki gibi yaacağı: Buna Hooke kanunu denir. E 4

26 F O HLDE; F * E L * L İDİ L F * L * E Buradaki ν (vü) ye Poisson oranı denir. Poisson oranı da malemeye bağlı bir katsayıdır. Basınç etkisindeki bir cisimde hacmin artmayacağı düşüncesi ile Poisson oranının 0 < ν < 0.5 olması gerektiği çıkar. çap eks. Young Modülü ve Poisson Oranı Mühendislik yapılarının çoğunda uygulanan gerilmeler sonucu oluşacak deformasyon oldukça küçük bir değerde gerçekleşir. Bu deformasyon esnasında gerilme-strain diyagramının başlangıç kısmı olan elastik bölgede gerilme (σ) ve strain-birim deformasyon- (ε) arasında doğru orantıyla açıklanabilen bir ilişki vardır. 5

27 Bu ilişki İngili matematikçi Robert Hooke ( ) tarafından ortaya konmuştur ve Hooke Kanunu olarak bilinmektedir. Buradaki (E) sabiti İngili bilim adamı Thomas Young ( ) tarafından Elastisite Modülü veya Young Modülü olarak isimlendirilmiştir. E sabiti, mekanik anlamda kayaçların katılığının, ya da sertliğinin bir belirtisidir. Gerilmenin basınç veya çekme olması durumunda elastisite modülünün değeri değişme. Normal gerilmelerin etkisi altında orlanma dülemleri içinde oluşan strainin (x- ve -dülemleri), etkime doğrultusundaki straine olan oranına poisson oranı denir ve (ν) ile belirtilir (birimsi bir sabittir) Elastisite modülü ve poisson oranının her ikisi birden elastik sabitler olarak isimlendirilir. 6

28 1 F 1 1 P 144 P 7 F P 100 P P 700kgf olmalıdır. 7

29 8 GENELLEŞTİRİLMİŞ HOOKE YSLRI 3 EKSENLİ YÜKLEME DURUMU Üç boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları 0 x 0 y 0 0 x 0 y 0 BU DURUMD; ) *( * 1 y x x E ) *( * 1 x y y E ) *( * 1 y x E

30 9 EKSENLİ YÜKLEME DURUMU İki boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları 0 x 0 y 0 0 x 0 y 0 BU DURUMD; y x x E * * 1 x y y E * * 1 ) *( * 1 y x E

31 TEK EKSENLİ YÜKLEME DURUMU Tek boyutlu gerilme halinin Genelleştirilmiş Hooke Yasaları x y x BU DURUMD; y 1 x * * y E 1 y y E * 1 * * y E * y x E y y E * y E Burada x 30

32 TLET MOMENTİ 31

33 3

34 33

35 PRLEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE TLET MOMENTİ HESBI; Ix Iy ( Ix1 1 * y1 ) ( Ix * y )... ( Iy1 1 * x1 ) ( Iy * x )... Ix ;Iy 1 1 : 1. cismin kendi atalet momenti (x ve y) x : 1. cismin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine uaklığı (x ve y) ; y : 1. cismin alanı 34

36 y 0 cm 6cm Ş1 5cm G + x 18 cm 13,8 cm Ş 10 cm NO x y *x *y 1 10 cm 0 1 cm cm 0 9 cm Σ 300 cm * * * y 4140 y G 13, 8cm (tabandan itibaren*xy koordinat dülemi burada) 300 Birleşik cismin ağırlık merkei tabandan itibaren 13,8 cm yukarıdadır. Bu durumda; 1. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y 1: 4,8 cm. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y : 7, cm PRLEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN TLET MOMENTİ HESBI; Ix ( Ix1 1 * y1 ) ( Ix * y ) 3 3 0*6 10*18 Ix ( 10* 4,8 ) ( 180*7, 1 1 Ix ( *3,04) ( *51,84) Ix ( 314,8) (14191,) 17316cm Iy ( Iy1 1 * x1 ) ( Iy * x *6 10 *18 Ix ( 10*0 ) ( 180* Ix ( 4000) (1500) 5500cm ) ) ) 35

37 y 10 cm Ş1 + 4 cm Ş + 6 cm 5,3 cm Ş3 cm + 4,71 cm x NO x y *x *y 1 40 cm = 10 cm cm = 5 cm ,83 cm Σ 86,83 cm * * * r 3,14* 4,71 4* r 4* 4,71 Ş3 alan= 34, 83 Ş3 = y 3* 9,4 * y 460 y G 5, 3cm (xy koordinat dülemine göre) 86,83 Birleşik cismin ağırlık merkei yarım dairenin ağırlık merkei ile çakışan xy koordinat düleminden itibaren 5,3 cm yukarıdadır. Bu durumda; 1. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y 1: 10-5,3= 4,7 cm. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y : 5,3-5= 0,3 cm 3. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y 3 : 0 cm PRLEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN TLET MOMENTİ HESBI; Ix ( Ix1 1 * y1 ) ( Ix * y ) ( Ix3 3 * y *4 *6 *4,71 Ix ( 40*4,7 ) ( 1* 0,3 ) ( 34,83* 0 ) Ix ( 53,33 883,6) (36 1,08) (8,707) 93,717cm 3 ) 36

38 Iy ( Iy1 1 * x1 ) ( Iy * x ) ( Iy3 3 * x 3 3 4*10 6* * 4,71 Ix ( 40*0 ) ( 1*0 ) ( Ix ( 333,33) (4) (8,707) 346,037cm 4 3 ) 34,83* 0 ) 9 cm y cm Ş1 3,5 G + 1 cm 9 cm Ş x cm NO x y *x *y 1 18 cm 0 13 cm cm 0 6 cm Σ 4 cm * * * y 378 y G 9cm (tabandan itibaren) 4 Birleşik cismin ağırlık merkei tabandan itibaren 9 cm yukarıdadır. Bu durumda; 1. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y 1: 4 cm. şeklin ağırlık merkeinin bileşik cismin ağırlık merkeine olan uaklığı y : 3 cm PRLEL EKSEN TEOREMİNE GÖRE BU ŞEKLİN TLET MOMENTİ HESBI; Ix ( Ix1 1 * y1 ) ( Ix * y ) 3 3 9* *1 Ix ( 18* 4 ) ( 4*3 ) 798cm Iy ( Iy1 1 * x1 ) ( Iy * x Ix 9 * 1 * ( 18* 0 ) ( 4* 0 ) 19,5cm ) 37

39 ince CiDRLI BSINÇ KPLRI -İç basınç etkisindeki ince halkalar (Kaanlar) Uygulamada rastladığımı otomobil lastikleri, boru, tank ve LPG tüpleri gibi basınç kapları temelde eksenel kuvvet taşıyan araçlardır. Basınç kaplarının et kalınlığı/ iç yarıçap, 1/10 dan küçük ise bu tip basınç kaplarını ince cidarlı olarak sınıflandırmaktayı. İnce cidarlı basınç kaplarında normal gerilme kalınlık boyunca sabit kalırken kalın cidarlı basınç kaplarında değişmektedir. İnce cidarlı basınç kaplarında ayrıca iç ve dış yarıçap ayrımı yapılma (Bu iki değer birbirine çok yakındır). Burada, ince cidarlı silindirik ve küresel basınç kaplarını ele alacağı. Basınç kabının cidarları ar gibi membran- davrandığından eğilme momenti oluşmayacaktır. Kap eksenel simetrik yapısı ile taşıdığı maddeden kaynaklanan basınç etkisi ile serbestçe şekil değiştirirken yalnıca membran gerilmeleri adı verilen dügün yayılı normal gerilmeler oluşur. Bu kabul, kabın rahatça şekil değiştiremediği uç bölgeleri ile mesnetleri dışında oldukça isabetlidir. Silindirik kapların uçlarındaki kapak kısımlarında kesme kuvvetleriyle eğilme momentleri ortaya çıkar. Kesme kuvveti ile Eğilme momentinden kaynaklanan bu gerilmelere süreksilik gerilmeleri adı verilir. Süreksilik gerilmelerini aaltmak için kapaklara uygun bir eğrilik verilir. Bu bölümde verilen bağıntılar, sıvı veya gadan oluşan P iç basıncı halinde kullanılabilir. Vakum kapları ile denialtılar gibi dış basınç altında kalan araçların incelenmesinde P nin işaretinin negatif alınması yeterlidir. Dış basınç halinde hesaplanacak gerilmelerin kap cidarlarında burkulma oluşturan kritik gerilmelerden küçük olmalıdır. DIŞ BSINÇ SÖZ KONUSU İSE; P = (Piç-Pdış) olarak alınmalıdır. r r r r L L P P L * * r N: İnce halka içinde oluşan gerilme P: İnce halka içinde oluşan basınç kuvveti r: Basınç kabının yarıçapı L: Basınç kabının basınç öncesi çevresi : Basınç kabının kesit alanı T: Basınç kabının-borunun- et kalınlığı N P*r N P * r P * r E * E 38

40 39 L * r * L L E r P * * E r P L L * * E r P L * * * * r r E r P * * E r P r * * BORULR İnce cidarlı basınç kapları için geçerli olan tüm formülasyon burada da geçerlidir. Sadece formüllerde yerine t (et kalınlığı) değeri konulmalıdır. t P*r E t r P * * E t r P L * * * * E t r P r * * *****1 metresinin dayanacağı kadarı olup metre ise ile çarpacağı.)

41 DİRESEL KESİTLERİN BURULMSI Burulmaya orlanmaya kısaca "torsiyon" denir. Basit bir çubuk düşünelim (Şek. 1.35). Bu çubuğun eksenine dik iki dülem içinde her bir dülemde karşılıklı iki kuvvet ile yükleyelim. Bu iki eksene dik dülemin arasında bir kesit düleminde gerilmeyi hesaplamak istersek görürü ki bu kuvvetler kesitte "burmaya orlayan kuvvet çifti" ni oluştururlar. Bu kuvvet çifti kesitin iki yüeyini burmaya orlayacaktır. Bunun içinde bu orlama şekline kuvvette olduğu gibi parçada "burulmaya orlanma" veya kısaca "burulma" veya "torsiyon" adı verilir. Bir yüeyin içinde olan kuvvete çapra kuvvet ve bunun oluşturduğu gerilmeye de kayma gerilmesi dediğimie göre burada oluşan gerilme de "kayma gerilmesi" nin bir türüdür. Mb L r G E L d r Mb I 0 : Kayma rijidlik- modülü : Elastisite modülü : Poisson oranı : Çubuk boyu : Çubuk çapı : Çubuk yarıçapı : Burulma momenti : Toplam atalet momenti : Dönme açısı (radyan) : Kayma birim uaması-kayma açısı (radyan) : Sabit (Birim boydaki dönme açısı) : Kayma-makaslama- gerilmesi 40

42 Bu orlanma malemeyi B basit kesme durumuna uğratır (normal gerilme yok) şağıdaki grafik tam kesme-birim uama eğrisini göstermektedir. Bir diğer maleme öelliği elastik kayma deformasyonunu gösterir. Bu maleme öelliği kayma modülü (G) veya rijidilik modülü olarak adlandırılır. E G *(1 ) *** * L İSE Mb *** L G * I 0 L Mb G * I 0 Mb * L G * I 0 *** G * *** * r G * * r G * (1) r *** Mb G * I 0 Mb * G * I0 Mb * G () I 0 1- DEN Mb I r Mb * r I

43 Mb * r I BOYUTLNDIRM ŞRTI max emn. İçi dolu dairede burulma 0 I 0 d 3 * 4 d r İçi boş dairede (halka) burulma d Mb* 16* Mb max 4 max 3 * d * d 3 I 0 4 *( d d1 ) d r 3 4 max d Mb * 4 *( d d ) max 16* Mb 3 d 1 * d * 1 d 4 4 şağıdaki tablo baı çok kullanılan malemelerin kayma modüllerini vermektedir. Maleme Yumuşak Çelik lüminyum Beton hşap Naylon Lastik Kayma Mod, G (GPa) 81 6 * 0,7 1 0,0014 4

44 KESME KYM-MKSLM GERİLMESİ Bir eksene göre birbirine ıt ve aralarında çok küçük uaklık bulunan iki kuvvetin malemeye etkimesi sonucu malemede kesme gerilmeleri ve şekil değişimleri görülür. Bu deneyde yalnıca açılarda değişiklikler olur. yrıca saptanması en or ve en a bilinen dayanımdır. γ γ T τ τ τ τ τ τ Çift makaslama-kesme- durumu T * T n d : Kayma-makaslama- gerilmesi : Kesit alan : Kesme kuvveti : Perçin-pim-sayısı : Pim-perçin- çapı P P T P n P * d n* 4 4* P n* * d emn. 43

45 P/ P/ P T P * n P * d * n * 4 * P n* * d emn. 44

46 DÜZ (BSİT) EĞİLME Eğilmeye orlanmaya kısaca "eğilme" denir. Eğilmede, şekil değişimiyle ilgili bu hipotei Bernoulli bulmuş ve Navier de düenlemiştir. Bernoulli- Navier hipotei iki bilim adamının ismi ile anılmaktadır. Bu hipotee göre: Çubuk eksenine dik dülem kesitler eğilme neticesinde gene dülem kalırlar. Çubuk eksenine dik kesitler şekil değiştirmeden sonra da şekil değiştirmiş eksene dik kalırlar. Dolayısıyla başlangıçta çubuk eksenine dik ve dülem olan kesitlerin şekil değiştirmeden sonra dik ve dülemliği korunmaktadır. O halde en kesit üerinde kayma gerilmeleri sıfırdır. Denge denklemlerinin kayma gerilmeleri ile ilgili olanları otomatik olarak sağlanır. Eğilmeden önce kiriş ekseni doğru olup en kesit sabittir. Basit eğilmeye orlanan bir çubukta Bernoulli hipoteini gö önüne alarak liflerin uama ve kısalmasını hesaplayalım. Şekilde görüldüğü gibi yukarıdaki lifler kısalmış aşağıdaki lifler uamış ve tarafsı eksenden y uaklığındaki bir lifin (ab lifinin) uama oranı ε x dir. Eğilmiş eksenin eğrilik yarıçapı ρ olmak üere birim boydaki uama, 45

47 Gerilmelerin hesabı için Hooke kanununu tatbik edersek, y x 1 x E * (1.) E * y x E * x Kesit, düşey eksene göre simetrik olduğundan çarpım atalet momenti sıfırdır. Eksen takımı en kesitin alan merkeine yapıştırıldığından statik moment de sıfır olacaktır. Dolayısıyla birinci ve üçüncü denge denklemleri sağlanır. M 1 (.) E * I Son olarak en kesit üerindeki normal gerilmenin değişimi Hooke yasasından belirlenir. 1 ve nolu denklemler birbirine eşitlenirse; x M E * y E * I x y M I x M * y I M * y max. max. max. emn. I I y BU ORN MUKVEMET MOMENTİ (ω) OLRK BİLİNİR. BU DURUMD; max. M max. emn. 46

48 BZI KESİT ŞEKİLLERİ İÇİN EĞİLME HESPLRI b h b * h 3 I 1 y h M b* h * h max. max. max. 3 max. emn. 1 6* M b* h a a 4 a a I y 1 M * a max. max. max. 4 max. 3 emn. a 1 6* M a d I d 64 * 4 y d max. M max. * d * d 4 64 max. 3* M * d max. 3 emn. 47

49 NORML KUVVET VE EĞİLME 48

50 BURKULM (FLMBJ) Burkulma basınca maru çubuklarda görülür. Çubuğun burkulabilmesi için bir kuvvet (P) uygulanmalıdır. 0 Pkr P ise çubuk doğrusaldır, burkulma oluşma. P Pkr ise çubuk burkulur. Elastik eğrinin büküm noktaları arasındaki uaklık, (Lb) burkulma boyu olarak tanımlanırsa, Euler kritik burkulma yükü formülünü farklı mesnet koşullarına sahip çubukların burkulma yüklerinin hesaplanmasında kullanmak mümkündür. Burkulma olayı, en kesitin en küçük atalet momentini veren eksene dik doğrultudaki yer değiştirmesi ile meydana gelir. Bu sebeple ince dikdörtgen ve L kesitler yerine her eksene göre atalet momentleri aynı olan Daire, halka, tüp yada geniş başlıklı I profil kesitlerin kullanılmaları daha uygun olur. P kr * E * I L b min iki ucu mafsallı kolonlar için EULER DENKLEMİ 49

51 a) Basit mesnetli b) her iki ucu bağlı c) bir ucu sabit diğer ucu basit mesnetli d) bir iki serbest diğer ucu bağlı KRİTİK GERİLME NRİNLİK İLİŞKİSİ Bir kolonda burkulmaya yol açan en küçül normal gerilme σkritik (σkr), Euler burkulma yükü bağıntısının alana bölünmesiyle elde edilebilir. İki ucu mafsallı bir kolonda, L b I i min atalet yarıçapı i narinlik katsayısı kr Pkr * E * I L b * min * E * i L b * E * i L b kr * E 50

52 ÇUBUK SİSTEMLERİNDE BURKULM 51

53 5