Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde

Transkript

1 DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun 0 5 5,,,, K,,,, K,,,,, K r gii ifadelerin, daha genel olarak her r kesirli saısı için ifadesinin anlamını lise ilgilerinden hatırladığını kaul edioruz. Dolaısıla, üstel fonksion, her kesirli saı için tanımlıdır. Diğer andan, her reel saının ir sonsuz ondalık gösterimi ulunduğu ve dolaısıla her reel saıa sonlu ondalık kesirlerle ani kesirli saılarla aklaşılaileceği hatırlanırsa, üstel fonksionun her reel saı için tanımlı olduğu görülür. Bölece, üstel fonksionun tanım kümesi R dir. üzerindeki varsaımımızdan, üstel fonksionun değer kümesi de (0, ) aralığıdır. 3 3 Örnek. taanında ve taanında üstel fonksionları ir arada ele alalım. 0 0 = = olduğu ve aşağıdaki hususlar kolaca gözlemleneilir: için ve için 0. için 0 ve için. Bu gözlemlerden görülür ki = 0 doğrusu her iki fonksion için ata asimtottur ve fonksionların grafikleri aşağıdaki giidir. ( ) = f f ( ) =

2 Ders 4 60 Yukarıdaki örnekten de anlaşılaileceği üzere, taanında üstel fonksion, azı ortak temel özellikleri anında, > vea 0 < < oluşuna göre farklı özellikler ve grafiklere sahiptir. f ( ) =, > 0 f ( ) =. 0 < < Üstel fonksionun azı özelliklerini aşağıda listelioruz. Bu özelliklerden ir kısmını lise ilgilerinizden hatırlaacaksınız. -kesişimi (0, ) dir. -ekseni ata asimtottur. ( > ise, için 0 ; 0 < < ise, için 0.) > ise, artarken de artar; 0 < < ise, artarken azalır. a a ( ) ( ) = = +, =, =, a = a, = = ; 0 ise, a = a =. Üstel fonksion içeren ifadelerle tanımlanmış fonksionların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz(.5 e akınız) elemanter dönüşümlerden ararlanailiriz. Örnek. f ( ) = nin grafiğini çizelim. Önce, aşağıdaki elemanter dönüşümü düşünelim: = u( ) = = u( ) = = f ( ) Buradan görüoruz ki = f ( ) = nin grafiği, kadırılmasıla elde edilir. = in grafiğinin irim sağa 4 (,) = f ( ) =

3 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 6 Anı grafiğin = u( ) = = u( ) = = elemanter dönüşümünden ararlanılarak edileileceğine dikkat ediniz. = in grafiğinin üzülmesile de elde Örnek 3. f ( ) = + in grafiğini çizelim. Bu fonksionun grafiğinin irim ukarıa kadırılmasıla elde edileceği açıktır. = in grafiğinin (,3) = f ( ) = + f ( ) = + in grafiği elde edilirken, önceki grafiğin -kesişiminin irim ukarıa kadırılarak e geldiğine ve ata asimtot olan = 0 doğrusunun da irim ukarıa kaarak = doğrusuna dönüştüğüne dikkat ediniz. Örnek 4. f ( ) = + in grafiğini çizelim. Aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek = = = = + u grafiği elde etmek için = in grafiğini önce irim sağa kadırıp elde edilen grafiği -ekseni etrafında ansıtmak ve sonra da elde edilen grafiği irim ukarıa kadırmanın eterli olduğu görülür. (,0) f ( ) = +

4 Ders 4 6 Ugulamalarda en çok karşımıza çıkan üstel fonksionlardan iri, taanı e ile gösterilen ir saı olan ve doğal üstel fonksion olarak adlandırılan fonksiondur. e saısının tanımını şöle özetleeiliriz. Her > reel saısı için + < < 3 olduğu ilinmektedir. Arıca, sınırsız olarak üüdükçe, + saısının ile 3 + arasında ir saıa aklaştığı da ilinmektedir. İşte sınırsız olarak üüünce aklaştığı u saı ukarıda sözü edilen e saısıdır. Daha önceki gösterimlerimizle in için + e. e saısı irrasonel ir saı olup ondalık açılımındaki ilk irkaç asamak şöledir: e = e > olduğundan doğal üstel fonksionun grafiği aşağıdaki giidir. ( ) e f = 4. Ugulama : Faiz Hesapları. Sürekli ileşik faiz hesaında ve nüfus artışı ile ilgili hesaplarda e taanında üstel fonksion doğal olarak ortaa çıkar. Belki u nedenle u fonksiona doğal üstel fonksion denmektedir. A irim para r faiz oranı ile, t ıl faizde ekletilirse elde edilecek faiz miktarı I = Art, atırılan melağın ulaştığı değer a da irikimli değer de B = A + Art = A(+rt) formülü ile hesaplanır. Bu tür faiz hesaına asit faiz hesaı denir. Burada, atırılan para A a anapara, kapital vea sermae denir. Faiz oranı r, ondalık kesir olarak ifade edilir.

5 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 63 Örnek. 000 YTL, %0 faiz oranı ile 3 ıl faizde kalırsa, ulaştığı değer YTL olur. B = 00(+(0.0). 3) =30 Basit faiz hesaında anapara uzun ıllar faizde kalsa dahi her ıl elde edilen faiz arıca hesaplanıp anaparaa katılmaz; faiz dönem sonunda hesaplanır. Her ıl, hatta daha kısa dönemlerde, elde edilen faiz anaparaa katılarak hesaplanan faiz türleri de vardır. Yani elirlenen dönem sonunda kazanılan faiz anaparaa ilave edilir ve o andan itiaren u ilaveli miktar anapara olarak işlem görür. Bu tür faiz hesaına ileşik faiz denir. Bileşik faiz hesaında ir ıl, elli saıda, m saıda dielim, eşit döneme ölünür; irinci dönem sonunda irikimli değer hesaplanır : A( + r) m ve ikinci dönemin sonunda irikimli değer hesaplanırken anapara olarak u değer kullanılır: A( m + r)( m + r) = A( m + r). Bu işlem sürdürülerek, ir ıl sonundaki irikimli değer A ( m + r) m, ıl sonundaki irikimli değer m m m r r r A + + = A + m m m ve t ıl sonundaki irikimli değer olarak elde edilir. B = A + r m tm

6 Ders 4 64 Örnek. 000 YTL, %0 faiz oranı ile her a irleştirilerek 0 ıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne olur? Her a irleştirildiğinden, m =. Arıca, A = 000 ve t = 0. Bölece 0. B = = YTL olur. Örnek YTL, %0 faiz oranı ile her altı ada ir irleştirilerek 0 ıl faizde kalırsa, ulaştığı değer ne olur? Her altı ada ir irleştirildiğinden, m =. Arıca, A = 000 ve t = 0. Bölece 0. B = YTL olur. Bileşik faiz formülünde r = i oranına dönemsel faiz oranı denir. Dönemsel faiz oranı ve m faiz süresi ounca toplam dönem saısı olan tm = n cinsinden azılırsa, ileşik faiz formülü içiminde ifade edileilir. ( i) n B = A + Örnek YTL, %0 faiz oranı ile her üç ada ir irleştirilerek 0 ıl faizde kalırsa ulaştığı değer ne olur? Her üç ada ir irleştirildiğinden, m = 4, i = (0.)/4 = Arıca, n= mt = 4.0 = 40. Bölece, YTL olur. B = 000 ( ) 40 = Bileşik faiz formülüne tekrar akalım : tm r B = A +. m Burada her an irleştirme apıldığı düşünülürse, sürekli ileşik faiz dediğimiz faiz türü elde edilir. Bu durumda m olacaktır. m için B nin limit değerini elirlemeğe çalışalım.

7 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 65 m için m r olduğu; ölece rt m m tm r r + + = r m m r rt e ve uradan m için B Ae rt olduğu görülür ve sürekli ileşik faiz formülü elde edilir: B = Ae rt. Sürekli ileşik faiz, faizde ulunan anaparanın faizi ile her an (anlık) irleştirildiği faiz türüdür. Örnek YTL, sürekli ileşik faiz ve ulaştığı değer ne olur? %0 faiz oranı ile 0 ıl faizde kalırsa YTL olur. (0.) 0 B = 000 e = 78 Faizle ilgili formüllerimizi ir arada görelim: ( rt) B = A + Basit Faiz tm r B = A + = A( + i) n Bileşik Faiz m B = rt A e Sürekli Bileşik Faiz

8 Ders Logaritmik Fonksionlar. Üstel fonksionların tanımına vea grafiklerine aktığımız takdirde, tanım kümesinin tüm reel saılar kümesi R, değer kümesinin de (0, ) aralığı olduğunu ve her (0, ) reel saısının ir ve alnız ir reel saısının görüntüsü olduğunu görürüz. Başka ir deimle, her (0, ) için = olan ir ve alnız ir R vardır. Verilen ir (0, ) için = olan R saısına nin taanında logaritması denir ve = log azılır. Bölece = log = olduğunu görüoruz. Son ifadede ve semollerine er değiştiriterek = = log () elde edilir. = log denklemi ile tanımlanan log fonksionuna taanında logaritma fonksionu denir. Bu fonksionun tanım kümesi (0, ) aralığı, değer kümesi R dir. log fonksionunun tanımını özetleen () ifadesi, logaritmik ve üstel fonksionları iririne ağlaan en temel ağıntıdır. Logaritmik ve üstel fonksionlarla ilgili hesaplarda çoğu zaman u temel ağıntı kullanılır. Örneğin, u ağıntıdan, > 0 ve olan her için log = 0 olduğu görülür. Çünkü, = log = = 0. Logaritmik fonksionun değerleri ile ilgili irkaç alıştırma apalım. Örnek. log 4 6 saısını elirleelim. Bunun için, = log 4 6 alırsak, () ağıntısından 6 = 4 ve dolaısıla, = olduğunu görürüz. O halde, log 4 6 = dir. Benzer düşünce ile, aşağıdakileri kanıtlaailirsiniz: log 9 =, log 3 7 = 3, log 3 = 4, log 00 0 =. 8 3 Örnek. log 5 = olduğuna göre saısı kaçtır? Bu sorunun anıtı için logaritma fonksionunun tanımını kullanalım ve () ağıntısından log 5 = 5 = azalım. Buradan hemen görülür ki = 5 tir.

9 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 67 Örnek 3. ulunur: log 3 = olan saısı nedir? Bu sorunun anıtı da tanım kullanılarak kolaca log3 = = 3 = 3. Logaritma fonksionunun tanımından çıkarılailecek diğer önemli ir sonuç ta şudur: Eğer (u, v) noktası taanında logaritma fonksionunun grafiği üzerinde ise, (v, u) noktası da taanında üstel fonksionun grafiği üzerindedir; ve karşıt olarak, eğer (u, v) noktası taanında üstel fonksionun grafiği üzerinde ise, (v, u) noktası da taanında logaritma fonksionunun grafiği üzerindedir. Gerçekten, (u, v) noktasının taanında logaritma fonksionunun grafiği üzerinde ulunması demek v = log u denkleminin sağlanması demektir. () ağıntısına göre, v = log u u = v olduğundan, u durumda (v, u) noktası da taanında üstel fonksionun grafiği üzerinde ulunur. () ağıntısı çift önlü olduğundan, karşıt önermenin doğruluğu da açıktır. Bu gözlemin fadası şu ki, (u, v) ve (v, u) noktaları, andaki şekilde görüldüğü üzere, = doğrusuna göre simetrik noktalardır. Dolaısıla, üstel ve logaritmik fonksionların grafikleri = doğrusuna göre simetriktir. > olması durumunda üstel ve logaritmik fonksionların grafikleri aşağıda anı düzlem üzerinde gösterilmiştir. (v, u) (u, v) = =, > = log, >

10 Ders < < olması durumunda grafikler aşağıdaki giidir. = log, 0 < < =, 0 < < = Üstel fonksionun azı grafik özellikleri logaritma fonksionunun grafiğine ansır. = 0 doğrusu(-ekseni) logaritma fonksionu için düşe asimtottur. Logaritma fonksionunun grafiği -eksenini (,0) noktasında keser. Logaritmik fonksionların diğer önemli özelliklerini ileride listeleeceğiz. Önce irkaç grafik çizimi apacağız. Logaritmik fonksion içeren ifadelerle tanımlanmış fonksionların grafiklerini çizerken ikinci derste gördüğümüz(.5 e akınız) elemanter dönüşümlerden ararlanailiriz. Örnek 4. f ( ) = log( ) in grafiğini çizelim. Kolaca görüleileceği üzere, u fonksionun grafiği, = log in grafiğinin irim sağa kadırılmasıla elde edilir. = log = log ( )

11 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 69 Örnek 5. f ( ) = 3 + log in grafiğini çizelim Bu fonksionun grafiği, = log in grafiğinin 3 irim ukarıa kadırılmasıla elde edilir. = 3 + log (,3) = log Örnek 6. f ( ) = 3 + log ( + ) in grafiğini çizelim. = log in grafiği ile aşlaıp önce u grafiği irim sola ve sonra da elde edilen grafiği 3 irim ukarıa kadırırsak f ( ) = 3 + log ( + ) in grafiğini elde ederiz. = 3 + log ( + ) (0,3) = log -

12 Ders 4 70 Logaritma fonksionunun azı temel özelliklerini aşağıda listelioruz. Bu özellikler, üstel fonksionun özellikleri, logaritma fonksionunun tanımı ve u tanımı özetleen () ağıntısı kullanılarak kanıtlanailir. Aşağıda, > 0, ; M, N > 0 kaul edilmektedir. -kesişimi (, 0) dır. log = 0 log = log = log M = M log ( MN) = log M + log N M log = log M log N N p log M = plog M log M = log N M N =. Grafik, > için artan ; 0 < < için azalandır. Örneğin, aştan üçüncü özellik log = = = içiminde; dördüncü özellik log M = M = M = log M içiminde ve ir çarpımın logaritması ile ilgili olan eşinci özellik de log M + log N = log M l log N = MN = log MN log MN = log M + log N içiminde kanıtlanır. Bu kanıtlarda her adımda üstel ve logaritmik fonksionların hangi özelliklerinin kullanıldığını görmee çalışınız. Logaritma ile ilgili hesaplar aparken ukarıda listelenen özelliklerden ararlanılailir. Örnek 7. log6 4 + log6 9 toplamının değeri, çarpımın logaritması ile ilgili özellikten ararlanılarak log 4 + log 9 = log 36 = log = içiminde; log0500 log05 farkının değeri de ölümün logaritması ile ilgili özellik kullanılarak 500 log0 500 log05 = log0 = log000 = 5 içiminde hesaplanır.

13 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 7 e taanında logaritmik fonksiona doğal logaritma fonksionu denir ve azılır. Bölece, log = ln e = = ln e () Doğal logaritmanın temel özelliklerinden ir kaçını eni gösterimle ifade edelim: ln = 0, lne =, lne =, e ln =. 0 taanında logaritma da çok kullanılan ir logaritma olduğundan onun için de özel ir gösterim kullanılır : log 0 erine sadece log azılır. Bölece, 0 = log =. 0 taanında logaritmanın temel özelliklerinden irkaçını eni gösterimle ifade edelim: log = 0, log 0 =, log 0 =, 0 log =. Logaritmik vea üstel fonksionlar içeren denklemlerin çözümünde de ilgili fonksionların özellikleri kullanılır Logaritmik Denklemler. Logaritmik fonksionlar içeren irkaç denklem örneği vereceğiz. 3 Örnek. log 4 log 8 + log = log denklemini çözelim. Logaritma fonksionunun 3 özelliklerini kullanarak u denkleme denk olan aşağıdaki denklemleri azıoruz: 3 log log 3 Son denklemden = 4 olduğu görülür. 3 + log = log 3 log log + log = log log = log = log log log 4 = log

14 Ders 4 7 Örnek. log + log( + ) = log6 denklemler azıoruz: log + log( + ) = log( ( + ) ) denklemini çözmek için de ine u denkleme denk olan olduğundan ve uradan ( ( + ) ) log6 log = ( + ) = = 0 ( + 3)( ) = 0 {, 3}. -3 saısı logaritma fonksionunun tanım kümesi içinde ulunmadığından, verilen denklemin çözüm kümesi {} dir. Örnek 3. ln (3-3) - ln ( -) = ln denklemini çözerken, kaul edeiliriz. Logaritma fonksdionunun özelliklerini kullanarak 3 3 ln (3-3) - ln ( -) = ln ln = ln ln 3 = ln = 3 elde edeileceğimiz gii aşka özellikler kullanarak da anı sonuca ulaşailiriz: ln (3-3) - ln ( -) = ln ln [3( -)] - ln ( -) = ln ln [3( -)] - ln ( -) = ln ln 3 + ln ( -) - ln ( -) = ln ln 3 = ln = 3. Örnek 4. ln = denklemini çözelim. = ln e olduğundan ln = ln = lne = e = e e = e. e 4.5. Üstel Denklemler. Üstel fonksion içeren denklemlere kısaca üstel denklemler dioruz. Örnek. 0 = olarak elde edilir. denkleminin çözümü logaritma fonksionunun tanımından = log Örnek = 0 denklemini çözelim. Soldaki ifade 3 0 olduğu kullanılarak çözüm ulunur. 3 parantezine alınıp = 0 3 (3 ) = 0 3 = 0 {0,3}.

15 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 73 Örnek 3. 4 = + denklemini çözelim. 4 = + ( ) = + = + = 3. = + Örnek 4. e e ( + ) 7 = e denklemini çözelim. e e ( ) 7 = e e = e + + = = 0 ( + 3)( ) = 0 {, 3} Faiz Hesaı. Faiz hesaında kullandığımız formüllerdeki her ir değişken için diğer değişkenlere değerler atandığında o değişkenin hangi değeri alacağını elirlemek u ağlamdaki önemli prolemlerden iridir. Örneğin, elli ir faiz oranı ile elli ir zaman sonunda ulaşacağı değer, ani gelecekteki değeri ilinen paranın u günkü değeri nedir? Bu prolem, şimdiki değer prolemi olarak ilinir. Benzer şekilde, elli ir anaparanın elli ir faiz oranıla ne kadar zamanda iki katı değere ulaşacağı prolemi de önemli ir prolemdir. Bu proleme de ikie katlanma zamanı prolemi denir. Örnek (Şimdiki Değer). Basit faizle, ıllık faiz oranı %6 ise, ir ıl sonunda hesaınızda 00 YTL olailmesi için u gün ankaa atırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen değerler (B = 00, t =, r =0.06) asit faiz formülünde erine konursa 00 B = A( + rt) 00 = A( ) = (.06) A A= YTL..06 elde edilir. Örnek. Yıllık irleştirilen ileşik faizle, faiz oranı %6 ise 0 ıl sonunda hesaınızda 00 YTL olailmesi için u gün ankaa atırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. B = 00, t =0, m =, r = 0.06 değerleri formüle erleştirilirse mt r B = A + 00 = A + = (.06) A A = m (.06) YTL.

16 Ders 4 74 Örnek 3. Faiz oranı %6 ise, sürekli ileşik faizle ir ıl sonunda hesaınızda 00 YTL olailmesi için u gün ankaa atırmanız gereken miktar ne kadardır? Çözüm. Verilen değerler (B = 00, t =, r =0.06) formülde erine konursa rt B = Ae 00 = Ae A = = 00e 94.8 YTL e Örnek 4(İkie Katlanma Zamanı). Faiz oranı % olan ir atırım sürekli ileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır? Çözüm. Sürekli ileşik faiz formülünde B = A, r =0.0 alınırsa ıl. ( 0.0) t ( 0.0) r t t B = Ae A = Ae = e ln = (0.0) t lne t = ln Örnek 5. Faiz oranı % olan ir atırım ıllık irleştirilerek ileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır? Çözüm. Bileşik faiz formülünde B = A, m =, r =0.0 alınırsa B = A + r m m t 0.0 A = A + = ln ln = t ( ln(.0) ) t = ln t t (.0) (.0) ıl. Örnek YTL parası ulunan ir kişi 8 ıl sonunda, YTL lik ir ev satın alailmek amacıla u paraı sürekli ileşik faizle ankaa atırmak istior. Faiz oranı ne olursa u kişinin isteği gerçekleşir? Çözüm. Sürekli ileşik faiz formülü ile B = Ae r t 0000 = 0000e r 8 = e 8r ln = 8r lne r = ln Örnek YTL parası ulunan ir kişi, YTL lik ir ev satın alailmek amacıla u paraı sürekli ileşik faizle ankaa atırmak istior. Faiz oranı %8 olursa u kişinin isteği kaç ıl sonra gerçekleşir? Çözüm. Sürekli ileşik faiz formülü ile r t 0.08t 0.08t B = Ae 5000 = 0000e.5 = e ln.5 = 0.08t lne t ıl. = ln

17 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 75 Prolemler 4. Verilen fonksionun gösterilen aralık üzerinde grafiğini çiziniz. a) 5, [, ] = ( ),, 5 = ) [ ] c) = 5, [, ] ç) = 5 +, [, 3]. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. a) ( 4 ) 3 ) e e 3 4 c) (.4) ( 3e ) ç) Verilen fonksionun grafiğini çiziniz. a) = + ) = e + c) ç) = e d) = e e) = e = e YTL, %5 ıllık faiz oranı ile her a irleştirilerek faizde kalırsa, 0 ıl sonunda kaç YTL e ulaşır? YTL, %5 ıllık faiz oranı ve sürekli ileşik faizle ankaa atırılırsa, 0 ıl sonunda kaç YTL olarak geri döner? 6. Düna nüfusu aşlangıçtan itiaren 830 ılında milara; 00 ıl sonra, ani 930 ılında milara ve 60 ıl sonra da 3 milara ulaşmıştı. 995 ılında düna nüfusu 5.7 milar olarak tahmin ediliordu. Düna Bankası, 994 ılında, 995 ten 030 ılına kadar, düna nüfusunun sürekli irleştirilmek üzere, %.4 oranında artacağı tahmininde ulundu. Buna göre, a) 995 ılını aşlangıç ılı, ani 0, alarak, 995 ten 030 a kadar olan sürede düna nüfus artışını ifade eden ir denklem azınız. ) Yazdığınız denklemi kullanarak düna nüfusunun 00 ılında ve 030 ılında aklaşık olarak (örneğin, üz inler merteesinde) ne olacağını tahmin ediniz. 7. Hesap makinesi kullanmadan,, vea değerlerini ulunuz: 4 = a) log 3 = ) log 0 4 c) log = 4 ç) log 4 = d) log 9 = 3 e) ln =

18 Ders Aşağıdaki denklemlerin her irinin grafiğini çiziniz. a) = ln ( ) ) = + ln ( ) c) = ln ( + ) ç) = ln( ) d) = ln e) = ln 9. Logaritma fonksionunun özelliklerini kullanarak, aşağıdaki ifadeleri mümkün olduğu kadar daha asit logaritmalar cinsinden azınız. 5 a) log ) log ( 3 0. ) 3 c) log0(67 0 ) 0. i ulunuz. a) log = log 8 + log 9 log 6 3 ) log + log( 4) = log c) log0 ( + ) log0( ) = ç) ln ( ) + ln ( + ) = ln (). Aşağıdaki denklemleri çözünüz a) 0 = 0 ) c) 3e + e = 0 ç) = 4 6 ( ) = ( ) 5. Sürekli ileşik faizle, ıllık faiz oranı %6 ise, ir ıl sonunda hesaınızda 00 YTL olailmesi için u gün ankaa atırmanız gereken miktar ne kadardır? 3. Faiz oranı % olan ir atırım ıllık irleştirilerek ileşik faizle ne kadar zaman sonra iki katına ulaşır? 4. Paranın sürekli ileşik faizle %8 getiri sağladığı ir dönemde, 0 ıllık vadesi dolunca YTL nakit ödemei garanti eden ir hazine onosu için u gün kaç YTL ödenmesi ugun olur? 5. Sürekli ileşik faizle ankaa atırılan YTL nin 7 ıl sonra YTL olarak geri dönmesi için ıllık faiz oranı ne olmalıdır? 6. Yeni evli ir çift gelecekte ir ev sahii olmak için gerekli ödemeleri apmak üzere 8 ıl sonunda YTL sahii olmak istiorlar. Bu amaçla, aile akınlarının düğün hediesi olarak verdiği YTL paraı sürekli ileşik faizle ankaa atırmağa karar veriorlar. Faiz oranı ne olmalı ki, 8 ıl sonunda istekleri gerçekleşsin? ( ln alınız)