Kalman Filtresi ile LQR ve PI Denetleyicilerin DC Motor Sistemine Uygulanması LQR and PI Controller with Kalman Filter Applied to DC Motor System

Transkript

1 Eleo 2014 Elektrik Elektronik Bilgisayar ve Biyomedikal Mühendisliği Sempozyumu, Kasım 2014, Bursa Kalman Filtresi ile LQR ve PI Denetleyiilerin DC Motor Sistemine Uygulanması LQR and PI Controller with Kalman Filter Applied to DC Motor System Yusuf Muratoğlu 1, Alkan Alkaya 2 1 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Mersin Üniversitesi, Mersin muratogluyusuf@gmail.om 2 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Mersin Üniversitesi, Mersin alkanalkaya@mersin.edu.tr Özetçe Bu çalışmada bir doğru akım (d) motorunun modellenmesi, denetlenmesi, gürültü ortamında kalman filtresinin etkisi ve filtreli denetleyiilerin performanslarının karşılaştırılması sunulmuştur. D motorun hız denetimi için optimal kontrol tekniklerinden doğrusal kuadratik regülatör (linear quadrati regülator-lqr) ve oransal integral (proportional integral-pi) yöntemleri kullanılmıştır. D motor sistemine hem işlem gürültüsü hem de ölçüm gürültüsü uygulanmıştır. Denetleyiilerin gürültü ortamındaki performansını arttırmak için kalman filtresinin tasarımı yapılmıştır. Filtreli LQR ve PI denetimli sistemlerin performansları karşılaştırılmıştır. Bu çalışma Matlab/Simulink ortamında gerçekleştirilmiş ve sistemin ortalama karesel hata ve yatışma süresi kriterlerine bakıldığında PI, taşma miktarı ve tepe genliği kriterlerine bakıldığında LQR denetiminin daha başarılı olduğu gösterilmiştir. Abstrat In this paper, linear quadrati regulator(lqr) and proportinal integral(pi) optimal ontrollers are used to ontrol the speed of d motor. Firstly, LQR and PI ontrollers are tested without noise. Seondly, both ontrollers are tested under proess noise and measurement noise. hen a kalman filter is designed to improve ontrollers performane under proess and measurement noises. LQR and PI ontrollers are ompared their performanes(without noise,with noise, with kalman filter under noisy ondition) and are also ompared performanes with kalman filter to ontrol the speed of d motor. he simulation result show that LQR ontroller gives less maximum peak and overshoot, on the other hand PI ontroller gives less mean square error and settling time. 1. Giriş Günümüzde doğru akım motorları hız veya konum denetimi gerektiren sistemlerde yüksek performans ve kolay denetlenebilme özelliklerinden dolayı sıkça kullanılmaktadır. Elektrikli ev aletlerinde, klimalarda, otomatik kapı sistemlerinde, robotik uygulamalarında kullanılan d motorların; teknolojinin gelişmesiyle elektrikli araçlardaki (elektrikli otomobil,elektrikli tren vs.) kullanımı ve önemi artmaktadır[1-2]. Son zamanlarda d motor denetim performansını arttırmaya yönelik çalışmaların arttığı görülmektedir[6],[7]. D motor hız denetiminde yaygın olarak: Fuzzy Logi, Geneti Algorithm, Partile Swarm Optimization, LQR, PID gibi teknikler kullanılmaktadır[1-4]. Referans [2] de d motor sistemi için tasarlanan PID denetleyiisinde geneleksel Ziegler-Nihols yöntemi ile modifiye Ziegler-Nihols yöntemi karşılaştırılmış ve modifiye Ziegler-Nihols yönteminin daha başarılı olduğu sunulmuştur. Referans [8] de d motor hız denetimi için LQR ve LQG tasarımı yapılmış ve önerilen denetleyiilerin taşma miktarı ve yatışma süresi performanslarının daha başarılı olduğu sunulmuştur. Referans [3] te d motor sisteminde LQR ve PID denetleyiileri tasarlanmış ve karşılaştırılmıştır. LQR denetimli sistemin yatışma süresi ve taşma miktarı performanslarının daha başarılı olduğu sunulmuştur. Yapılan çalışmalarda genellikle sistemler ya gürültüsüz ya da sadee ölçüm gürültülü inelenmiştir. Bu çalışmada d motor hız denetimi için sistemin durum-uzay modelini kullanılarak LQR ve PI denetleyiileri tasarlanmıştır. Sisteme hem işlem gürültüsü hem de ölçüm gürültüsü eklenerek denetleyiilerin performansları inelenmişitir. Kalman filtresi tasarımı ile denetleyiilerin gürültü ortamındaki performansları arttırılmış ve filtreli denetleyiilerin performansları karşılaştırılmıştır. 322

2 Eleo 2014 Elektrik Elektronik Bilgisayar ve Biyomedikal Mühendisliği Sempozyumu, Kasım 2014, Bursa 2. D Motorun Durum-Uzay Modeli D motor sisteminin durum-uzay modelinde kullanılan şematik model Şekil 1 de gösterilmiştir. 1 A P PA PBR B P Q 0 (5) Riatti denkleminin çözümünden bulunan P ebirsel değeri yardımıyla durum-geri besleme kazanı şu şekide hesaplanır. 1 K R B P (6) 3.2. PI Denetleyii Şekil 2: LQR Denetleyiisi. Şekil 1: D Motorun Şematik Modeli. Doğrusal bir sistemin durum-uzay modeli şu şekilde ifade edilir. x Ax Bu (1) y Cx Burada x durum vektörü, u giriş vektörü, y çıkış vektörü, A sistem matrisi, B kontrol matrisi ve C çıkış matrisidir. Durum vektörü, x i seçilen d motor sisteminin durum-uzay modeli aşağıdaki şekildedir. x1 b J Kt J x1 0 u x2 K e L R L x2 1 L (2) x y 1 x2 Burada b sürtünme sabiti, J eylemsizlik momenti, Ke elektro motor kuvveti sabiti, Kt tork sabiti, R direnç değeri ve L indüktans değeridir. 3. Kullanılan Yöntemler Bu bölümde d motor sisteminde kullanılan yöntemler verilmiştir LQR Denetleyii LQR, durum geri besleme ile daha gürbüz bir denetim sağlayan optimal kontrol tekniklerinden biridir[5]. Denetleyiinin şematik modeli Şekil 2 de gösterilmiştir. u( t) Kx( t) (3) Denklemi ile ifade edilen optimal kontrol vektörünün çözümü için maliyet fonksiyonu en aza indirilmelidir. Durum-uzay denklemleri yardımıyla performans indeksi (4) 0 J x Qx u Ru dt Şeklinde ifade edilir. Burada Q pozitif tanımlı veya pozitif yarıtanımlı simetrik bir matristir. R ise tek giriş tek çıkış (SISO) bir sistem olduğundan pozitif sabit bir sayıdır. Denklem (4) ile ifade edilen maliyet fonksiyonunu en aza indirmek için durumgeri besleme kazanı, K, hesabında kullanılan P ebirsel değeri, riatti diferansiyel denklemi yardımıyla bulunur. PI, endüstriyel kontrol sistemlerinde yaygın kullanılan optimal kontrol tekniklerinden biridir[4]. Denetleyiinin şematik modeli Şekil 3 te gösterilmiştir. PI denetleyiisinin genel ifadesi şu şekildedir[4]. u( t) K e( t) K e( t) (7) p i Şekil 3: PI Denetleyiisi. Burada Kp oransal kazanı, Ki integral kazanı, e(t) hata sinyali ve u(t) denetleyii girişidir. Denetleyii parametreleri Matlab/Simulink ortamında test edilerek belirlenmiştir Kalman Filtresi Kalman filtresi, doğrusal dinamik sistemlerde, modelin giriş ve çıkış bilgilerinden sistemin durumlarını tahmin edebilen bir filtredir[5]. Filtrenin şematik modeli Şekil 4 te gösterilmiştir. Gürültü ortamında doğrusal sistemlerin durum-uzay denklemleri şu şekilde tarif edilir. x Ax Bu w y Cx v İşlem gürültüsü w~n(0,q) ve ölçüm gürültüsü v~n(0,q) olarak ifade edilmiştir. Burada Q giriş kovaryans matrisi ve R çıkış kovaryans matrisidir. Maliyet fonksiyonunu en aza indiren eden Pe ebirsel sabiti, riatti denkleminden hesaplanır. 1 e e e w e v P A AP PC R CP Q 0 (9) Riatti denklemi yardımıyla filtre kazanı, Ke, şu şekilde hesaplanır. K 1 e PC e R w (10) (8) 323

3 Eleo 2014 Elektrik Elektronik Bilgisayar ve Biyomedikal Mühendisliği Sempozyumu, Kasım 2014, Bursa Şekil 4: Kalman Filtresi. 4. Simulasyon Çalışmaları Bu çalışmada LQR ve PI denetleyiilerin gürültülü ve gürültüsüz ortamlardaki performansları inelenmiştir. Ayrıa gürültü altındaki sistemin performansının arttırılması için kalman filtresi kullanılmıştır. Kullanılan d motor sisteminin simulink modeli Şekil 5 te verilmiştir. Şekil 5: D Motorun Simulink Modeli. D motor simulasyonunda ablo 1 de verilen parametre değerleri kullanılmıştır. Kullanılan parametre değerleri ile oluşan sistem matrisi, kontrol matrisi ve çıkış matrisi şu şekildedir. A B (11) C ablo 1: Parametre Değerleri. Parametre Sembol Değer Birim Eylemsizlik momenti J kg m Sürtünme sabiti b N m s Elektro motor kuvveti sabiti ork sabiti K e V s / rad K t N m / A Direnç değeri R Ohm İndüktans değeri L H Bir sistemde denetleyii ve gözlemleyii tasarımından öne sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olması gerekir. D motor sisteminin kontrol edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik analizinde sistemin kontrol edilebilirlik matrisi P ve gözlemlenebilirlik matrisi Po inelenmiştir. P B AB (13) P o C CA (14) Kontrol edilebilirlik ve gözlemlenebilirlik matrisleri tekil olmayan matrisler olduklarından sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olduğu belirlendi LQR Denetleyiisinin Simulasyonu Bu bölümde LQR denetleyiisinin tasarımı, hesaplamaları ve simulasyonu yapılmıştır. Kalman filtreli LQR denetleyiinin simulink modeli Şekil 6 da gösterilmiştir. LQR denetiminde kullanılan ağırlık matrisleri Q 0 1 R 100 (15) Olarak seçilmiştir. Q, R, A, B matrisleri kullanılarak LQR kazanı şu şekilde hesaplanmıştır. K (16) Optimal kontrol eşitliği u K x() t ile sistemin durum-uzay modeli hesaplanmıştır. x x 0 u y x (17) Daha gürbüz bir denetim için Matlab/Simulink ortamındaki d motor modeline gürültü eklenmiştir. LQR denetleyiisinin gürültü altındaki performansı arttırmak için kalman filtresi kullanılmıştır. Kalman filtresinde kullanılan kovaryans matrisleri Q e 0 1, Re 1 (18) Olarak seçilmiştir. Q, R, A, B matrisleri kullanılarak kalman kazanı şu şekilde hesaplanmıştır. e e K e (19) LQR denetimli sistemin simulasyon sonuçları Şekil 7 de, yakınlaştırılmış sonuçlar Şekil 8 de verilmişitir. Doğrusal kontrol sistemlerinde en önemli unsurlardan biri sistem kararlılığıdır. Kararlılık analizi için sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunun karakteristik denklemi inelenmiştir. 2 s 108.4s (12) Routh hurwitz kararlılık ölçütüne göre sistemin kararlı olduğu belirlenmiştir. Şekil 6: LQR Denetimli Sistemin Simulink Modeli. 324

4 Şekil 9: PI Denetimli Sistemin Simulink Modeli. Şekil 7: LQR Denetimli Sistemin Performansı. Şekil 10: PI Denetimli Sistemin Performansı. Şekil 8: LQR Denetimli Sistemin Performansı (yakınlaştırılmış) PI Denetleyiisinin Simulasyonu Bu bölümde PI denetleyiisinin tasarımı ve simulasyonu yapılmaktadır. PI denetleyiisinin simulink modeli Şekil 9 da verilmişitir. PI denetleyii kazançları K p 1.09 ve K olarak kullanılmıştır. Aynı gürültü ortamı PI denetleyisine de uygulanmıştır. PI denetleyiisinin gürültü ortamındaki performansını arttırmak için denklem (17) ve denklem (18) kullanılarak kalman filtresi uygulanmıştır. PI denetimli sistemin simulasyon sonuçları Şekil 10 da, yakınlaştırılmış sonuçlar Şekil 11 de verilmiştir. i Şekil 11: PI Denetimli Sistemin Performansı(yakınlaştırılmış). LQR ve PI denetleyiilerinin filtreli performansları Şekil 12 de verilmiştir. Denetleyiilerin filtresiz ve filtreli performanslarını karşılaştırmak için ortalama karesel hataları ablo 2 de, yatışma süresi, tepe genliği, taşma miktarı değerleri ablo 3 te verilmiştir. 325

5 Eleo 2014 Elektrik Elektronik Bilgisayar ve Biyomedikal Mühendisliği Sempozyumu, Kasım 2014, Bursa ablo 2: LQR ve PI Denetimli Sistemlerin Ortalama Karesel Hataları. Ortalama Karesel Hata Kalman Filtresiz Kalman Filtreli LQR PI ablo 3: LQR ve PI Denetleyiilerin Karşılaştırma Sonuçları. Denetleyii Yatışma Süresi epe Genliği aşma Miktarı LQR 0.55 s 6 %0 PI 0.49 s 6.71 %11.8 Şekil 12: Kalman Filtreli LQR ve PI Denetimli Sistem. 5. Sonuçlar Bu çalışmada d motor hız denetimi için optimal kontrol tekniklerinden LQR ve PI tasarımı yapılmıştır. LQR ve PI denetimli sistemin simulasyonu gürültüsüz ve gürültülü ortamlarda gerçekleştirilmiştir. Denetleyiilerin gürültü ortamındaki performanslarını yükseltmek için kalman filtresi tasarlanmıştır. Kalman filtresinin denetleyiiler üzerindeki etkisi Şekil 7 ve Şekil 10 da gösterilmiştir. Daha sonra kalmanlı LQR ve kalmanlı PI denetleyiileri karşılaştırılmıştır. Çalışma sonuçlarına göre LQR denetimli sistemin tepe genliği ve taşma miktarı kriterlerinin, PI denetimli sistemin ise ortalama karesel hata ve yatışma süresi kriterlerinin daha başarılı olduğu görülmüştür. 6. Kaynakça [1] Aydemir, S., Sezen, S. ve Ertun, H.M., Fuzzy Logi Speed Control of A D Motor, Power Eletronis and Motion Control Conferene, ilt:2, s: , 2004 [2] Meshram, P.M. ve Kanojiya, R.G., unnig of PID Controller using Ziegler-Nihols Method for Speed Control of DC Motor, International Conferene On Advanes in Engineering and Management (ICAESM), s: , 2012 [3] Ruba, M.K. Al-Mulla Hummadi, Simulation of Optimal Speed Control for A DC Motor Using Linear Quadrati Regulator (LQR), Journal of Engineering, ilt:18, s: , 2012 [4] Kanojiya, R.G. ve Meshram, P.M., Optimal uning of PI Controller for Speed Control of DC motor drive using Partile Swarm Optimization, Advanes in Power Conversion and Energy ehnologies (APCE), International Conferene, s:1-6, 2012, doi: /APCE [5] C. Hajiyev and S. Vural, LQR Controller with Kalman Estimator Applied to UAV Longitudinal Dynamis, Positioning, ilt:4, s:36-41, 2013, doi: /pos [6] İbrahim, H.E.A., Hassan, F.N., Shomer, A.O., Optimal PID Control of Brushless DC Motor using PSO and BF ehniques, Ain Sahms Engineering Journal, ilt:5, s: , 2014 [7] Janpan, I., Chaisriharoen, R., Boonyanant, P., Control of Brushless DC Motor in Combine Mode, Proedia Engineering, ilt:32, s: , 2011 [8] Molavi, R. ve Khaburi, D.A., Optimal Control Strategies for Speed Control of Permanent-Magnet Synhronous Motor Drives, World Aademy of Siene, Engineering and ehnology, ilt:2, s: , 2008 Şekil 13: Kalman Filtreli LQR ve PI Denetimli Sistem. 326