ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

Transkript

1 ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

2 MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir fonksiyonun itinin ne oldu unu ö renip kavrayacaks n z. * Fonksiyonun iti varsa sa dan ve soldan itlerinin eflit oldu unu ö renecek ve kavrayacaks n z. *Özel fonksiyonlar gerçek fonksiyon olarak yaz p, itlerine bakmay ö reneceksiniz. * Limit teoremlerini kavray p, üzerinde ifllem yapmay ö reneceksiniz. *Trigonometrik fonksiyonlar n itini kavray p, problem çözme yetene inizi gelifltireceksiniz. * Limit hesaplar ndaki belirsizlik durumlar n inceleyerek, her belirsizlik durumu için ayr bir yoldan it hesab n yapmay ö reneceksiniz. BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Ön bilgi olarak lise II s n f Matematik konusundaki trigonometri bilgisine ihtiyac n z olacak. * Birinci bölümü çok iyi kavray p bu bölüme geçiniz. * Tan mlar çok dikkatli okuyun. * Örnek ve çözümlerini çok iyi inceleyin yazarak çal fl n. * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n çözmeniz yarar n za olacakt r. 56

3 ÜN TE II L M T Limit kavram ve tan m, kavram olarak eski olmas na karfl n, tan mlanmas ve kullan lmas çok eski de ildir. Örne in it ünlü ε δ tekni i ile tan mlanmas ve kullan lmas ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine ( ) taraf ndan olmufltur. Limit fizik ve mühendislikte yayg n olarak kullan l l r. Limit kavram n n ö rencilere verilmesi, tan t lmas, ö retilmesi ve ö renilmesi öyle o kadar da kolay de ildir. Bunun için, itin tan t lmas na önce sezgisel olarak yaklaflal m. Daha sonra tam tan m n vere. f() fonksiyonu verilsin. noktas bir a noktas na yeteri kadar yaklafls n. noktas n n a noktas na reel eksen üzerinde sa dan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklafl m vard r.. a - 1 n + 1 n Burada, de erinin a de erine eflit olmas gerekmez. Bir çok durumda, a noktas, f() fonksiyonunun tan m bölgesinde olmayabilir. Yani, noktas a noktas na ( a) sa dan ve soldan yaklafl rken f() fonksiyonu bir L say s na yaklafl yorsa f() fonksiyonunun bu a noktas nda iti vard r denir ve k saca it; f() = L ile gösterilir. a ( noktas a ya giderken f() fonksiyonunun iti L dir, diye okunur.) E er noktas, a ya yaklafl rken f() fonksiyonu bir L say s na yaklaflm yorsa, f() fonksiyonunun iti yoktur, diyece iz. Yukardaki aç klamalar gösteriyor ki, f() fonksiyonunun =a noktas na sa dan ve soldan yaklafl mlar için, f() fonksiyonunun de erine eflit olmas gerekir. Yani; a - f() = L 1 ve a + f() = L 2 L 1 =L 2 = L ise a f() = L dir. Aksi takdirde bu noktada it yoktur diyece iz. 57

4 y = 2 fonksiyonu için, noktas 2 de erine yaklafl rken, y de eri hangi de ere yaklafl r? Bu durumda Reel eksen üzerindeki bu 2 say s na sa dan ve soldan de erler vererek yaklaflal m. y = 2 y = 2 1,5 2,25 2,9 8,41 1, ,5 6,25 1,9 3,61 2,1 4,41 1,99 3,9601 2, Soldan yaklaflma Sa dan yaklaflma Soldan yaklaflma. 2 Sa dan yaklaflma Yukarda görüldü ü gibi say s, reel eksen üzerinde gerek sa dan ve gerekse soldan 2 say s na yaklafl rken y de eri de her iki hâlde de 4 say s na yaklaflmaktad r. Öyleyse Benzer olarak Lim 2 = 4 2 Lim [ ] oldu u kolayca yaz l r. de eri var m d r? f() = [ ] f() = [ ] 1,9 1 0,5 0 1,5 1 0,6 0 1,4 1 0,8 0 1,1 1 0,9 0 1, ,001 1 Soldan yaklaflma Sa dan yaklaflma Görüldü ü gibi, soldan yaklafl l rsa it de eri 0, sa dan yaklafl l rsa it de eri 1 olmaktad r. O hâlde, Lim [ ] de eri yoktur denir. 58

5 MATEMAT K 5 A R, f : A R bir fonksiyon olsun. a R sabit bir say olmak üzere, terimleri A-{a} kümesinde olan ve a ya yak nsayan her ( n ) dizisi için (f( n )) görüntü dizileri bir L R say s na yaklafl yorsa., a ya yaklafl rken ( a için) f fonksiyonunun iti L dir denir ve it; Lim f() = L biçiminde gösterilir. a f = R R, f()= 2-1 fonksiyonu veriliyor., 1 e giderken fonksiyonun itini bulunuz. Yani, 2-1 nedir? Lim Çözüm: 1 e soldan yak nsayan 1-1 n dizisi için, f ( n ) = (1-1 n )2-1 = 1-2 n + 1 n 2-1 = 1 n 2-2 n = 1 n n 0 Ayr ca 1 e sa dan yak nsayan n dizisi için, f n = (1+ 1 n )2-1 = 1+ 2 n + 1 n 2-1 = 1 n n = 1 n n 0 O halde ; olarak yaz l r. f() = f() = 0 oldu undan - + f() = 0 Pratik yöntem ile, itin var oldu u kesin olarak biliniyorsa f() = 2-1 = = 0 59

6 f: R R, f() = 2-2, < 0 ise 3, 0 ise fonksiyonu veriliyor. f () 0 de erini bulunuz. Çözüm: 0 noktas na soldan yaklafl rsak, f() = 2-2 O hâlde; 0 noktas na sa dan yaklafl rsak f() = 3 al r z. 2 f() 0 2 = = - 0 (2 - ) = 2- f() = 3 = oldu undan it yoktur. A R, f = A R bir fonksiyon olsun vea IR olsun. ε R + için -a < δ (delta) oldu unda f()- L < ε olacak biçimde bir δ(ε) R + say s varsa, a için f nin iti L dir, denir ve f() = L fleklinde gösterilir. ε R + için δ(ε) R + öyleki -a <ε f()- L < ε f() = L a a Bu tan m önceki it tan m na denktir. Çünkü -a < δ olmas demek, n -a < δ yani n a olmas demektir. Bu durumda f() - L <ε olmas demek f( n ) -L <ε olmas yani f n L olmas demektir. Di er bir deyiflle - a < δ olmas, δ istenildi i kadar küçük seçildi inde ile a aras ndaki uzakl n δ dan küçük kalmas ve s f ra yaklaflmas, dolay s yla a 60

7 Bu durumda f () -L <ε olmas ise, çok küçük ε lar için f() ile L aras ndaki uzakl n 0 a yaklaflmas f() Lolmas anlam na gelir. Bu yönteme δ ε tekni i ad verilir. f : R R, f() = 2 +1 ise Lim = 5 oldu unu ispatlay n z. MATEMAT K 5 ε R + in f R 2 öyleki, -a < δ iken f -L < ε olmal d r. - 2 < δ 2-2 < 2δ 2-4 < 2 δ < 2 δ O hâlde 2 δ < ε dersek. δ < ε 2 bulunur. Yani ε R + verildi inde δ(ε) = ε 2 veya δ = ε 2 den küçük pozitif bir say olarak al nabilir. ε R + en az bir δ bulundu unda tan ma göre Lim = 5 olur. 2 SA DAN VE SOLDAN L M T Abir aç k aral k, a A ve f, A da ya da A-{a} da tan ml bir fonksiyon olsun. 1. de iflkeni a ya sa dan yaklaflt rd m zda f() bir L 1 say s na yaklafl yorsa, f nin = a da sa dan iti L 1 dir, denir ve bu durum ; a + 2. de iflkeni a ya soldan yaklaflt nda f() bir L 2 say s na yaklafl yorsa, f nin = a da soldan iti L 2 denir ve bu durum ; a - f() = L 1 ile gösterilir. f() = L 2 ile gösterilir. 3. de iflkeni soldan ve sa dan a ya yaklaflt nda f() bir L say s na yaklafl yorsa, f nin = a da iti L dir denir ve bu durum a f() = L ile gösterilir. 61

8 MATEMAT K 5 1. f () = f () = L ise f () = L d r. a - a + a 2. f () f () ise f () yoktur. a + a - a 3. h > 0 olmak üzere, f () = f (a-h) ve f () = f (a+h) dir. a - h 0 a + 4. a f () varsa bu it tekdir. h 0 Parçal fonksiyonlarda, parçalanma noktalar nda (kritik noktalarda) sa dan ve soldan ite mutlaka bak lmal d r. f: R R f() = 2-1, < 0 ise 2+1, 0 ise f() nedir? 0 Çözüm: f () = ( 2-1) =0 2-1 = f() = (2+1) =2.0+1 = O hâlde 0 + f () yoktur. 0 Örnek fiekildeki f () fonksiyonun = 1 noktas nda iti var m d r? Varsa nedir? 62

9 Çözüm f() =3 + f() =2-3 2 oldu undan f() yoktur. Örnek fiekildeki f() fonksiyonunun = 1 noktas nda iti var m d r? Varsa nedir? Çözüm f() =1 + f() =1 - f (1) = Tan ms z f() =1 fonksiyonun iti vard r. Limit de eri 1 dir. Bir fonksiyonun = 0 noktas nda itinin olmas için = 0 noktas nda tan ml olmas gerekmez. ÖZEL FONKS YONLARDA L M T Bütün özel tan ml fonksiyonlar n iti araflt r l rken, verilen özel tan ml fonksiyon parçal fonksiyon olarak yaz lmal, sonra sa dan ve soldan it de erlerine bak lmal. E er verilen noktada sa dan it de eri soldan it de erine eflit ise 0 noktada iti vard r denir. Aksi hâlde verilen noktada iti yoktur deriz. 63

10 Sgn(-2) =? 2 Çözüm: f() = Sgn( -2) fonksiyonunu parçal fonksiyon olarak yazarsak. - 2 = 0 = 2-1, < 2 ise f() = 0, = 2 ise 1, > 2 ise f() = f() = oldu undan = 2 noktas nda it de eri yoktur denir ve sgn ( -2) yoktur diye ifade edilir =? Çözüm: f () = +2 = = = 1 oldu unu düflünürsek f() = f() = olur. 4 3 oldu undan it yok. Örnek - 4 =? 4 64

11 Çözüm: f () = - 4 fonksiyonunu parçal fonksiyon olarak yazal m , < 4 ise -4 = 0, = 4 ise - 4, > 4 ise f() = = = f() = 4 f() = ( - 4) = 4-4 = MATEMAT K 5 =? 0 Çözüm: = 0-1, < 0 Tan ms z, = 0 1 > f() = 1 = f() = ( -1) = oldu undan 0 yoktur. cos π 2 =? Çözüm: cos = cos, 0 < π 2 -cos, π 2 < π ( π 2 )+ ( π 2 )- cos = (- cos ) = -cos π 2 = 0 ( π 2 )+ cos = (cos ) = cos π 2 = 0 ( π 2 )- O hâlde (cos ) = 0 ( π 2 ) 65

12 f() = - Sgn 2-1 ise f () nedir? 0 - Çözüm : f () = Sgn [ ] = -1 - Sgn ( -0,002-1) = -1+1 = f () = 1 - Sgn [ ] =1-1 = oldu undan 0 f () = Sgn =? Çözüm : 2 + iken 2- = -2+ Sgn (3+4) = 1 +2 = 4 dür (-2) (+2) + Sgn = = = 1 2 L M T TEOREMLER a f() = L 1, a g() = L 2 ve λ IR ise A R, f: A R ve g : A R iki fonksiyon olsun. 1) f±g () = f() ± g() = L 1 ±L 2 a a a 2) λ f () =λ f() = λ.l 1 a a 3. f.g () = f(). g() = L 1.L 2 a a a 4) A için g() 0 ve L 2 0 ise a f a f() g() g () = = L 1 a L 2 66

13 Örnekler a) (2 +3) = 2+ 3 = = 5 b) = TEOREM = = 3 (1) 2-2. (1) + 2 = = 3 c) = 2 +4 = = 5-1 = - 5 d) 3 + sgn [ ] 2 = (3) + sgn ( 2-1) + [ ] 2 = = f() = f() dir. a a 2. c f() =c a f () a 3. a) n bir çift do al say ve f() 0 ise n n a f() = a f() b) n bir tek do al say ise n n a f() = a f() dir. 4. log b f() a =log b f() a dir = 2-2 = = =3 4 = 81 4 = 4 = = = 3 67

14 68 MATEMAT K 5 e (ln) = ln = lne = 1 e A R ve f : A R bir fonksiyon olsun. 1. ( n ), ( n ) için (f( n )) L 1 ise için f fonksiyonunun iti L 1 denir ve (f () = L 1 biçiminde gösterilir. 2. ( n ), ( n ) için (f( n )) L 2 ise için f fonksiyonunun iti L 2 denir ve f () = L 2 fleklinde gösterilir. - Geniflletilmifl reel say larda ifllem ve özellikleri: a olsun 1) a. = 2) + = 3) = belirsiz 4) - = belirsiz 5) - a = 6) 0 = belirsiz 7) 0 0 = belirsiz Polinom fleklindeki ifadelerde ± için it hesab k R, n N + f() = a n + b n-1 +c n k n ± f () = a + b + c k 2 = ± n n. a ± Pratik kural p() Q(), Q () 0 E er, der p() > der Q() ise itin de eri veya - dur. E er, der p() = der Q () ise en büyük dereceli terimlerin katsay - lar n n bölümü E er der p () < der Q() ise itin de eri 0 d r. 1 = = = (- 1) = = -1 Teorem: a < 1 ise a = 0 d r. 1 3 = 1 3 = =

15 TR GONOMETR K FONKS YONLARIN L M T Teorem: a,b,c R olmak üzere, 1. a sin = sin a 2. a cos = cos a 3. sin = sin = tan = tan b sin c = b 0 c 7. sin b sin c = b 0 c 8. tan b tan c = b 0 c 9. sin b tan c = b 0 c 3-9 aras ifadelerin anlamlar türev konusunda l Hospital kural ile daha iyi anlafl lacakt r. BEL RS ZL K DURUMLARI Limit hesaplamalar nda, 0 0,, 0., -, belirsizlik durumlar n göre A) 0 0 biçimindeki belirsizlikler. a f() g() için f() a g () a = 0 0 olmas durumunda pay ve payda da (-a) çarpan var demektir. Pay - a). f 1 () payda da ( -a). g 1 ( ) fleklinde çarpanlar na ayr l rsa 69

16 a f () = a g () hâline gelir. E er yine a ( -a) f 1 () (- a) g 1 () a = 0 0 a f 1 () g 1 () a hâlinde ise ayn yol ile pay ve payda çarpanlar na ayr l r = = 0 0 belirsiz. ( -2) ( + 2) = + 2 = ( +1) ( - 2) + 1 = = = - 2 = -1-2 = = 0 0 belirsiz. y 3-3 y 2-2 = y3 -y 3 y 2 -y 2 y (y -) y 2 + y + 2 y = 3y2 2y = 3 2 y (y- ) (y + ) = 0 0 = y y 2 + y + 2 y + = y2 +y 2 +y 2 2y B) biçimindeki belirsizlikler. f () g () için f () g () = durumunda pay ve payda en yüksek dereceli parantezine al n p k saltmalar yap l r ve it hesab na geçilir. 1 = = = o hâlde, = = = = = 1 70

17 = o hâlde, MATEMAT K = = = = 3 = = = 1-0 = - C) - B Ç M NDEK BEL RS ZL K f () - g () için f() - g () = - durumunda f () ifadesi, eflleni i olan f () + g () ifadesi ile çarp l p bölünürse 0 0 veya belirsizli i ile karfl lafl l r. Bundan sonra, önceki yöntemlerle it bulunmaya çal fl l r. Çözüm - ifadesini bulunuz. - = - o hâlde, ( - ) ( + ) ( + ) yöntemlerle = = bu durumdan sonra önceki 2 ( 1-1 ) ( ) = = 71

18 ifadesini bulunuz. Çözüm: = - O hâlde, = ( +1) - ( - 1) ( - 1) ( + 1) = = = de erini bulunuz. Çözüm: = - o hâlde eflleni i ile çarp p böle = = = bulunur = = 2 D) 0. B Ç M NDEK BEL RS ZL KLER a f (). g() için a f (). a g () = 0. olmas durumunda bu belirsizlik g () f (). g () = ya da f () hâlinde yaz l rsa 1 1 ya da 0 a a a 0 f () g () belirsizlikleri hâline dönüfltürürüz itini bulunuz. Çözüm: = 0. o hâlde, = = 1-1 = 72

19 L M TE A T ÖRNEKLER 1) 1 de eri var m d r? 0 Çözüm: 1 = +, 1 = = 1 1 yok ) =? 0 + Çözüm: > 0 2 = 2; 1+ 2 = = ) 1+ 2 =? 0 - Çözüm: < 0 ise 2 = = = = 1 2 4) de eri var m d r? Çözüm: = (-1) + = = (-1) + (-1) + (-1) = (-1) - = -2 - = + it yok. (-1) - 0 5) 2 0 Çözüm: 2 = 0 de eri var m d r? 0 > 0 ise = < 0 ise = - d r. o hâlde, = = -1 = oldu undan it yok. oldu undan 73

20 6) 0 Sgn + (2-1) de eri var m d r? Çözüm: Sgn = Sgn [ 0 + ] =0-1 = -1 Sgn = Sgn [ 0 - ] = Sgn (-1) + (-1) 7) 2 + = = o hâlde it yok Sgn ifadesini hesaplay n z. Çözüm: 2 + ( - 2) Sgn = (1 + Sgn ) 2 + = 1 + Sgn (2 + ) = 1+ 1 = 2 8) de eri var m d r? Çözüm: = = = 1+ = = = = 1 it yoktur. 2 9) ifadesini hesaplay n z. Çözüm: = 0 0 belirsiz. ( - 3) ( - 3) ( - 3) ( +1) = = 0 4 = ) ifadesini hesaplay n z Çözüm: = 0 0 = belirsiz ( - 1) = 1 2 = 1 2 =

21 11) ifadesini hesaplay n z. Çözüm: = 0 0 belirsiz. 1 = ( ) ( ) = ( 2 1-1) ( 3+ +2) ( 2-1) ( ( -1) ( - 1) ( + 1) ( 3+ +2) = 1 1 ( + 1) ( ) 1 = 1 2 (2+2) = ) ± ifadesini hesaplay n z Çözüm: = belirsiz ± ± = = 2 = 0 13) cos π 2 de eri var m d r? Çözüm: ( π 2 )+ ( π 2 )- cos = cos = π 2 cos ( π 2 )+ = π 2 cos ( π 2 )- = cos yoktur. ( π 2 ) π = + π = - 15) cos 0 de eri var m d r? Çözüm: cos cos = = cos (0+ ) 0 + = = cos = = - 0 cos yoktur. 75

22 ÖZET Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r: 1. Limitin tarihçesi, ite sezgisel yaklafl m ve itin tan m verilmifltir. 2. Limitde sa dan ve soldan yaklaflman n ne oldu u anlat larak örneklerle pekifltirilmifltir. 3. Limitin var olup olmad n anlamak için ε-δ (Epsilon- Delta) tekni i ö rencilere tan t lm flt r. 4. Sa dan ve soldan itin tan m verilerek ve gerekli uyar larda bulunduktan sonra örneklere geçilmifltir. 5. Özel fonksiyonlar n itinin nas l al naca ö rencilere anlat lm fl, ilgili örneklerle it konusu aç kl k kazanm flt r. 6. Limit teoremleri verilip, pekifltirmek için örneklere baflvurulmufltur. 7. Limitte belirsizlik durumlar verilip, ilgili örneklerle baz belirsizlik durumlar için it al nm flt r. 76

23 DE ERLEND RME TEST 2 1) de eri afla dakilerden hangisidir? A) 4 B) -3 C) -2 D) 1 2) f () = sgn ( ) + 1 ise f () de eri afla dakilerden hangisidir? 4 - A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 3) f : R R f () = 2 + 1, < 0 ise 2 + 1, 0 ise 0 f () de eri afla dakilerden hangisidir? A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 4) y flekildeki f () fonksiyonun grafi i verilmifltir. Buna göre = 1 noktas için ne söylenir? a) = 1 noktas nda it yoktur. b) = 1 noktas nda it vard r. c) = 1 noktas nda it vard r ve 2 dir. d) f() = 3-5) sin de eri afla dakilerden hangisidir? π 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) iti yoktur. 6) A) e B) 1 2 de eri afla dakilerden hangisidir? C) 0 D) 7) ( -) de eri afla dakilerden hangisidir? A) 0 B) - 1 C) 1 D) - 77

24 DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER 1) [ ] = Do ru cevap B 2) < 0 d r. Sgn = - 1 f () = = Do ru cevap C 3) = = Do ru cevap C 4) f () = it yok. f () = 3 + Do ru cevap A sin 0 < < π 2 5) sin = -sin π 2 < < π = sin = sin = sin π π 2 2 = 1 π 2 Do ru cevap B 78

25 6) I. Yol der > der (-3) oldu undan = II. Yol = = Do ru cevap D 7) - biçiminde, ( - ). ( +) = = - Do ru cevap D = = biçiminde belirsiz. 79

26 80 MATEMAT K 5