8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar"

Coskun Erbakan
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde çarpma 7. Doğal sayılar kümesinde sıralama 8. Doğal sayılar kümesinde çıkarma 9. Doğal sayılar kümesinde bölme 10. Alıştırmalar 1. Eşit güçlü kümeler 1.Tanım: A, B iki küme, bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu birebir ve örten ise bu fonksiyona birebir eşleme denir. A dan B ye en az bir birebir eşleme varsa A ve B kümelerine eşit güçlü kümeler denir. Simgesi: 1.Örnek: A={a,b,c} ve B={x,y,z} 1.Teorem: Herhangi bir kümeler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. İspat: kümeler ailesinde {( ) bir bağıntı olsun. Denklik olmak için bağıntı: 1. Yansıyan, 2. Simetrik. 3. Geçişli olmalıdır. 1. Yansıyan: ( ) ( ) 2. Simetrik: ( ) birebir ve örtendir birebir ve örtendir ( ) 3. Geçişli: [( ) ve ( ) ] ( birebir ve örtendir) ve ( birebir ve örtendir birebir ve örten 2.Sonlu ve sonsuz kümeler 1.Tanım: En az bir öz alt kümesine eşit güçlü olan bir kümeye sonsuz küme denir. Sonsuz olmayan bir kümeye sonlu küme denir. 1.Teorem: Boş küme sonlu küme 2.Teorem: A={a} olduğuna göre, A kümesi sonlu küme 3.Teorem: A ve B iki küme ve olsun. A kümesi sonsuz küme ise B kümesi de sonsuz küme 4.Teorem: A ve B iki küme ve olsun. B kümesi sonlu küme ise A kümesi de sonlu küme 5.Teorem: En az biri sonlu olan iki kümenin arakesiti sonlu küme 6.Teorem: A sonlu küme ve B herhangi bir küme olsun. küme sonlu küme 1

2 7.Teorem: A bir küme ve olsun. A kümesi sonsuz küme ise { kümesi de sonsuz küme 8.Teorem: Sonlu iki kümenin birleşimi sonlu küme 9.Teorem: Sonlu iki kümenin kartezyen çarpımı sonlu küme 3.Doğal sayılar kümesi 1.Tanım: Herhangi sonlu bir X küme için, { kümeye X in denklik sınıfı denir. Doğal sayıların elemanlarını aşağıdaki gibi tanımlayalım: kümenin denklik sınıfını 0 ile gösterelim, yany 0= { {0} kümenin denklik sınıfını 1 ile gösterelim, yany 1= { { { {0,1} kümenin denklik sınıfını 2 ile gösterelim, yany 2= { { { 3= { { { 4= { { {.. Doğal sayılar kümesi ile gösterilir: { 2.Tanım: Sonlu kümeler ailesinde tanımlanan eşit güçlü olma bağıntısına göre elde edilen ve 0,1,2,3,4, ile gösterilen denklik sınıflarının her birine doğal sayı denir. 1.Teorem: İki doğal sayı ya eşittir, veya birbirinden farklıdır. 2.Teorem: Doğal sayılar kümesi sonsuz bir küme 4.Sayılabilir kümeler 1.Tanım: Doğal ayıların bir alt kümesine eşit güçlü olan kümeye sayılabilir küme denir. Bir küme sayılabilir değilse bu kümeye sayılamayan küme denir. 1.Örnek: A={a,b,c,x,y} kümesi {0,1,2,3,4} kümeye eşit güçlüdür. 2.Örnek: kendisine eşit güçlü olduğuna göre sayılabilir sonsuz küme 2.Tanım: Bir küme {1,2,3,..,n} kümesine eşit güçlü ise n sayısına A nın elemanlarının sayısı denir. Boş kümenin elemanlarının sayısı 0 dır. n(a) veya s(a) biçimde gösterilir. 3.Tanım: { kümesine sayma sayıları kümesi denir. { 1.Teorem: Boş kümeden farklı bir A kümesinin sayılabilir olması için A den ye birebir bir f fonksiyonunun var olması gerektir ve yeter. 2.Teorem: Sayılabilir bir kümenin her alt kümesi sayılabilir 5.Doğal sayılar kümesinde toplama 1.Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A kümesi ile y yi temsil eden ve A ile ayrık olan B kümesinin birleşiminin bulunduğu denklik sınıfına x ile y nin toplamı denir. Toplamı bulmak için yapılan işleme toplama denir. 2

3 Simgesi: x+y 1.Örnek: 2 ile 3 doğal sayılarının toplamını bulunuz., olmak üzere A ve B kümeleri seçelim. A={a,b}, B={x,y,z}. { olduğundan 2+3=5 olur. 1.Teorem: Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur. a) Doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. b) Toplama işleminin değişme özelliği vardır. c) Toplama işleminin birleşme özelliği vardır. d) Doğal sayılar kümesinin toplama işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 0 dır. İspat: olsun., olmak üzere A, B ve C kümeleri seçelim. a) (, ) b) (, ) c) (, ) ( ) ( ) ve ( ) ( ] ) ( )=( ) d) (, ve ) = 2.Teorem: ( ) İspat:,, biçiminde olacak A,B,C,D kümeleri seçelim. Buna göre, birebir ve örtendir birebir ve örten ( ) { ( ) birebir ve örtendir ( ) Buradan elde edilir. 1.Sonuç: 3.Teorem: 4.Teorem: İspat:,, olmak üzere A,B kümeleri seçelim. ( ) ( ) x=0 ve y=0 x+5=3 açık önermesinin deki doğruluk kümesinin boş küme olduğunu gösteriniz. Çözüm: x+5=3 x+(2+3)=3 (x+2)+3=0+3 3

4 (x=0 ve 2=0) Bu önermeyin yanlış olduğundan açık önermesinin doğruluk kümesi 6.Doğal sayılar kümesinde çarpma 1.Tanım: x ve y iki doğal sayı olsun. x sayısını temsil eden bir A kümesi ile y yi temsil eden B kümesinin Kartezyen çarpımının bulunduğu denklik sınıfına x ile y nin çarpımı denir. Çarpımı bulmak için yapılan işleme çarpma denir. Simgesi: x.y 1.Teorem: Aşağıdaki önermelerden her biri doğrudur. a) Doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. b) Çarpma işleminin değişme özelliği vardır. c) Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. d) Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 1 İspat: olsun., olmak üzere A, B ve C kümeleri seçelim. a) ( ) A,B kümeler sonlu AxB de sonludur. Buna göre x.y= b) (, ) c) (, ) ( ) ( ) ve ( ) ( ] ) ( )=( ) d) (, { ) { ve { = 2.Teorem: İspat: = ve 0.x= x.0=0.x= = =0 3.Teorem: ( ) 1.Sonuç: 4.Teorem: ( ) 5.Teorem: 6.Teorem: ( ) 7.Doğal sayılar kümesinde sıralama { { { { solu kümelerinin her biri sıra ile, 4

5 0,1,2,3,4, doğal sayılarını temsil eder. Bu kümelere doğal sayıların kanonik temsilcileri diyelim. 1.Tanım: x ve y iki doğal sayılarının kanonik temsilcileri A ve B olsun. ise x doğal sayısı y doğal sayısından küçüktür denir. x<y (x<y veya x=y) ifadesi kısaca biçiminde yazılır. 2.Tanım: x ve y iki doğal sayılar olmak üzere, x<y,x>y,, açık önermelerden her birine doğal sayılar kümesinde bir eşitsizlik denir. 1.Teorem: x ve y iki doğal sayılar olsun. x<y,x>y, ifadelerden biri ve yalnız biri doğrudur. 2.Teorem: x doğal sayısının y den küçük olması için, x+k=y olacak biçimde sıfırdan farklı bir tek k doğal sayısının var olması gerektir ve yeter. 3.Teorem: Doğal sayılar kümesinin en küçük elemanı 0 dır. 4.Teorem: kümesinde tanımlanan bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. kümesi bu bağıntıya göre tam sıralı bir küme 5.Teorem: 1.Sonuç: 6.Teorem: ( ) 2.Sonuç: ( ) 7.Teorem: 8.Teorem: 0 ile 1 arasında olan doğal sayı yoktur. 9.Teorem: ) 10.Teorem: ( ) 11.Teorem: Doğal sayılar kümesinin boş kümeden farklı her alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır. Bu eleman yalnız bir tane 12.Teorem: Doğal sayılar kümesinin boş kümeden farklı her sonlu alt kümesinin bir en büyuk elemanı vardır. Bu eleman yalnız bir tane 8.Doğal sayılar kümesinde çıkarma 1.Tanım: olsun. a+x=b olacak biçimde bir x doğal sayısı varsa, b ile a nın farkı x dir, denir. Farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma denir. Simgesi: b-a 1.Teorem: 1.Sonuç: Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değil 2.Teorem: olsun. (z+x)-(y+x) veya z-y ise (z+x)-(y+x)=z-y 3.Teorem: için (x+y)-y=x 4.Teorem: için y ise x+(y-z)=(x+y)-z 5.Teorem: olsun. (x-y)-z veya x-(y-z) ise 5

6 (x-y)-z = x-(y-z) 6.Teorem: olsun. x-(y-z) veya (x-y)+z ise x-(y-z)= (x-y)+z 9.Doğal sayılar kümesinde bölme 1.Tanım: ve olsun. a=bx olacak biçimde bir x doğal sayısı varsa, x sayısına b ye bölümü, b sayısına a nin bir çarpanı veya böleni denir. a sayısının b doğal sayısına bölümü varsa bu bölüm a:b ile gösterilir ve a bölü b diye okunur. Öte yandan b sayısının a nın bir böleni olduğu b a biçiminde gösterilir ve b böler a diye okunur. 1.Örnek: Her a doğal sayı için a=1.a ve olduğundan 1 a dır. a:1=a 2.Örnek: Her a { için 0=a.0 ve olduğundan a 0 dır. 0:a=0 1.Teorem: bağıntısıdır. { kümesi bölünebilme bağıntısına göre bir sıralama İspat: { a=a.1 a a (yansıyan) { olsun. (a b ve b a) (,b=ax ve a=by) (,b=(by)x=b(yx)) (,xy=1) (,x=1 ve y=1) Yanı b=a olur. { olsun. (a b ve b a) (,b=ax ve c=by) (ters simetrik) (, c=(ax)y=a(xy)) a c (geçişli) 2.Teorem: { olsun. a b 3.Teorem: olsun a) ise (ab):b=a dır. b) a b ve c d ise (ac) (bd) olup (bd): (ac)=(b:a)(d:c) c) a b ve a c ise a (b+c) olup (b+c): a=(b:a)+(c:a) d) a b, a c ve c<b ise a (b-c) olup (b-c): a=(b:a)-(c:a) e) a b ise a (cb) olup (cb): a=c(b:a) 6

7 10.Alıştırmalar 1. 3 ve 4 doğal sayılarının toplamını bulunuz. 2. x+6=4 açık önermesinin deki doğruluk kümesinin boş küme olduğunu gösteriniz. 3. A kümesi ile Ax{a} kümesinin eşit güçlü olduğunu gösteriniz. 4. A,B,C,D kümeler olsun. ise ( ) ( ) olduğunu gösteriniz. 5. için x+x=2x olduğunu gösteriniz. 6. de 2x+7=29 açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz den ne ye kadar doğal sayıların çarpımına faktöriyel denir ve n! Biçiminde gösterilir. n!=1.2.3 n. Özel olarak 0!=1. Buna göre 2!,3!,4!,5! sayıları bulunuz. 8. önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. 9. { olduğuna göre, A kümesinin liste yöntemi ile gösteriniz. 10. olsun, y x, z (x:y) ve yz x ise (x:y):z=x:(yz) olduğunu gösteriniz. 11. olsun, z y, (y:z) x ve y x ise x:(y:z)=(x:y)z olduğunu gösteriniz. 12. olsun, (yz) (xy), z x ve y 0 ise (xy):(yz)=x:z olduğunu gösteriniz. 13. ve n>1 oduğuna göre, n(n!+(n-1)!) doğal sayısını en sade biçimde gösteriniz sayısına bölünebilen her doğal sayının ardışık iki tek tek sayının toplamı biçimine yazılabileceğini gösteriniz. 15. Ardışık dört doğal sayının çarpımının 8 sayısına bölündüğünü gösteriniz. Tanımlar: 1. Eşit güçlü küme. 2. Doğal sayılar. 3. Sonlu ve sonsuz kümeler 4. Doğal sayılar kümesinde toplama 5. Doğal sayılar kümesinde çarpma 6. Doğal sayılar kümesinde sıralama 7. Doğal sayılar kümesinde çıkarma 8. Doğal sayılar kümesinde bölme 7

Benzer belgeler

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama