MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu"

Esin Görgülü
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu 06-Bahar Dönemi Gebze Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof.Dr. Selim Sivrioğlu

2 Hareket denklemi: Enerji Metodu Konservatif bir sistemin hareket denklemi enerji ilişkisinden oluşturulabilir. Hareket eden bir konservatif sistemde toplam mekanik enerji, kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır. T U (toplam mekanik enerji)=sabit d ( T U ) 0 dt

3 Hareket denklemi: Enerji Metodu Şekildeki sistemde kütlenin hızından dolayı kinetik enerji T ve yayın deformasyonundan dolayı potansiyel enerji U söz konusudur. Sistem konservatif olduğundan toplam mekanik enerji sabittir ve zamana bağlı türevi sıfır olmak zorundadır. Yayın serbest uzunluğu Statik çökme st m k 0 Statik denge 0 mg Yay kuvveti 0 0 st Yaydaki potansiyel enerji Yay deformasyonu 3

4 Enerji Metodu Hareket denklemini çıkarmak için kütlenin hareketi (t) nin statik denge konumundan ölçüldüğünü düşünelim. Yayın kütlesi ihmal edilirse sistemin kinetik enerjisi: T m Tüm sistemin potansiyel enerjisi () yaydaki gerilme enerjisi, () kütlenin yükseltisinin değişmesinden dolayı enerjinin toplamıdır. Statik denge konumunda sistemin net potansiyel enerjisi: U (toplam yay kuvveti) d mg 0 ( mg k) d mg 0 k 4

5 Enerji Metodu d ( T U ) 0 dt d dt m k ( m k) 0 0 m k n 0 0 n k m : sistemin doğal frekansı Doğal frekans sistemin bir özelliğidir. m ve k nin bir fonksiyonudur ve titreşimin genliğinden veya sistemin hangi yolla hareket ettirildiğinden bağımsızdır. 5

6 Enerji Metodu Problem: Kütlesi m olan üniform bir silindir denge konumundan küçük bir q 0 açısı kadar döndürülüp bırakılıyor. Hareket denklemini enerji metodu ile bulunuz. Silindirin kaymadan döndüğü kabul edilmektedir. k q + a r k Çözüm: Eğer silindirin ekseni mesafesi kadar hareket ederse ve q açısı kadar dönerse: rq + + yazılabilir. Görüldüğü gibi silindir hem dönme hareketi hem de öteleme hareketi yapmaktadır. Dolayısı ile kinetik enerji denkleminde bu durum dikkate alınacaktır. 6

7 Enerji Metodu Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketinin kinetik enerjisi : T m Jq Burada J J mr silindirin kütlesel atalet momenti Enerji denklemini q bağlı yazmak istersek rq T 3 m( rq ) mr q mr q mr q mr q 4 4 7

8 Enerji Metodu Potansiyel enerjide yayların maruz kaldığı toplam deplasman: a + a + q Potansiyel enerji sadece yayların genleşmesi veya sıkışmasından dolayıdır. U k( a ) k( rq aq ) k( r a) q Ötelemeden dolayı yerdeğiştirme dönmeden dolayı yerdeğiştirme 8

9 Enerji Metodu d ( T U ) 0 dt d dt 3 mr q 4 k( ra) q 0 3 mr qq k( r a) qq mr q k( r a) q q 0 4 q 0 3 mr 4 k( r a) q k( r a) q 0 q q 0 3 mr 4 9

10 Enerji Metodu Şekilde gösterilen disk kütle merkezi O etrafında dönmektedir. Diskin O noktası etrafında atalet momenti Io dur. Ayrıca k yayı a yarıçapına ve m kütlesi b yarıçapına bağlanmıştır. Hareket denklemini enerji metodunu kullanarak bulunuz. 0

11 Enerji Metodu Kinetik enerji T IOq my y bq Potansiyel enerji U k ka q aq ( ) T IO mb q T U sabit d ( T U ) 0 dt d dt ( IO mb ) q ka q 0 ( IO mb ) qq ka qq 0 ( IO mb ) q ka q q 0 ( IO mb ) q ka q 0

12 Enerji Metodu R 0 a silindir R m J 0 mg R 0 q a a R q m 0 mg silindir ( R R) q b Sekil m kütlesine ve R yarıçapına sahip R yarıçaplı eğri bir yüzey üzerinde kaymadan dönen bir silindiri göstermektedir. Sistemin hareket denklemini enerji metodu ile çıkartınız. Doğal frekansını bulunuz.

13 Enerji metodu Silindirin kinetik enerjisi öteleme ve dönme hareketlerinden dolayıdır. Silindirin kütle merkezinin öteleme hızı v ( R R ) q t Silindirin açısal hızı q q a q açısının q cinsinden ifadesi gereklidir. Silindir kaymadan döndüğünden ab yayı ab yayına eşittir. Rq Rq R R q q q q R R R R Açısal hız ifadesi: a q q a q q a q R R 3

14 Enerji Metodu Silindirin toplam kinetik enerjisi: T mv J t o a m[( R R ) q] J [( R / R ) q] o burada J silindirin 0 noktasindan eksene göre atalet momentidir. 0 J o mr ( R R) cos q q Statik denge konumuna göre silindirin kütle merkezinin yükselmesindeki değişimden dolayı U potansiyel enerjisi U mg[( R R ) ( R R ) co sq ] U mg( R R )( cosq ) R 0 { a m 0 mg b 4

15 Enerji Metodu d ( T U ) 0 dt d dt m[( R R) q] Jo[( R / R ) q] mg( RR )( cos q ) 0 m( R R ) qq J ( R / R ) qq mg( R R )sinqq 0 J o mr o yazılır ve düzenlenirse: 3 ( ) q ( m R R mg R R )sinq q 0 q g sinq 0 (Nolineer model) 3( R R ) sin q q alınırsa q g q 0 3( R R ) n g 3( R R) 5

16 g q sinq 0 (Nolineer model) 3( R R ) g q q 0 (Lineer model) 3( R R ) R 0 q a R q m 0 silindir ( R R) q b a mg R 0.8m R 0.m m 0kg q 0 o o 5,30 6

17 7

18 6 Silindirin q 0 =5 o için sonuçlar 4 q0 5 o q [ degree ] lineer nonlineer t [ s ] Silindirin q 0 =30 o için sonuçlar 30 0 q0 30 o q [ degree ] lineer -30 nonlineer t [ s ] 8

19 Ödev k r O R R yarıçapında üniform bir tekerlek eğimli bir düzlem üzerinde kaymadan yuvarlanmaktadır. Tekerleğe sabitlenmiş tekerlekle eş merkezli r yarıçaplı bir tambur etrafında bir telin ucu bağlanmıştır. Telin diğer ucu k yay katsayılı bir yaya bağlanmıştır. Hem yay hem de tel düzleme paraleldir. Tekerlek/tambur toplam kütlesi m ve tekerleğin O merkezi içinden geçen eksene göre atalet momenti J dir. Eğer tekerlek denge konumundan küçük bir miktar yerdeğiştirilir bırakılırsa hareket denklemini enerji metodu ile bulunuz. 9

20 Hareket denklemi: Newton Kanunu Newton kanunu dinamik sistemlerin hareketinin diferansiyel denklemini oluşturmak için kullanılmaktadır. Newtonun ikinci kanunu momentumdaki değişimin etkiyen kuvvetle orantılı ve kuvvetin etkidiği yönde yer aldığını belirtir. Eğer kütle sabit ise momentumdaki değişim kütle ile ivmesinin çarpımına eşittir. Momentum: p mv Momentumun değişimi: dp d( mv) dt dt dv dm dv m v ( m=sabit) a dt dt dt F dp dt ma 0

21 Hareket denklemi: Newton Kanunu Hareket denkleminin çıkartılmasında Newton kanununa göre kütlenin ivme ile çarpımı kütleye uygulanan toplam kuvvetlere eşittir ve ivme kuvvetin etkidiği yöndedir. Doğrusal hareket yapanlar sistemler için m (kuvvetler) Açısal hareket yapanlar sistemler için Jq (momentler) q

22 Hareket denklemi: Newton Kanunu Tek serbestlik dereceli yay-kütle sönüm sistemi için Newton kanunu uygulanırsa: d ( ) ( ) d m ( ) sin st k st c st mg F t dt dt m c k F sint mg k st Serbest cisim diyagramı hareket doğrultusundaki m kuvvetine karşı etkiyen tüm dış kuvvetlerin gösterilmesi ile oluşturulur. k c k ( st ) c Statik denge konumu 0 m Fsint Fsin t m mg m

23 Hareket denklemi: Newton Kanunu f (t) M (kuvvetler) k M c M M k k ( ) c ( ) f k M ( ) c( ) k f (t) k k ( ) M M M c ( ) k ( ) c ( ) M 3

24 Mekanik sistemlerin modellenmesi M k c M Free body diagram M d dt k M c ( ) ( ) k f (t) k c ( ) ( ) M d dt M k f (t) M k k ( ) c ( ) f M ( ) c( ) k 4

25 Mekanik sistemlerin modellenmesi M k k k c c f M k k c c 0 Lineer hareket denklemleri matris formunda yazılabilir ve toplam sistem dinamiği bu matris yapısına bağlı olarak analiz edilebilir. Durum uzayı denklemi matris yapısında elde edilebilir. M 0 c c k k k f 0 M c c k k 0 MX CX KX F 5

26 Mekanik sistemlerin modellenmesi Durum uzayı denklemi: MX CX KX F X M CX M KX M F d X 0 I X 0 u dt X M K M C X M X y I 0 X 6

27 Hareket denklemi: Newton Kanunu Örnek: Hareket denklemlerini bulunuz. M 0 0 c 0 0 k k3 k M 0 0 c 0 k k k k k f ( t) M k4 k M C K F 7

28 Mekanik sistemlerin modellenmesi-burulma sistemleri A Two-Inertia System with Angular Displacement Input Jq (momentler) q I q k ( q ) c ( q q ) T T I q c ( q q ) c q T T I q k q c ( q q ) T T T m T T I q c ( q q ) c q 0 T m k T 8

29 Mekanik sistemlerin modellenmesi-burulma sistemleri Hareket iletimi yapmak için bir tahrik kaynağından dişli çark kullanarak belli bir çevrim oranı ile iletim gerçekleştirilebilir. I q T T I e q T T e Giriş torku I q n, r n, r T I r rq r q q q Nq r r r n n N N : dişli çevrim oranı Aynı zamanda T T N T q q q T q q T Dişli grubu I q T NT I q T N( I q ) e e I q T N( I e ( I N I ) q T Nq ) tahrik mili üzerindeki toplam kütlesel atalet momenti e çıkış 9

30 Mekanik sistemlerin modellenmesi-burulma sistemleri Hareket denklemini elde ediniz. Hareket iletiminde kullanılan şaftların burulma durumundaki davranışı burulma yay katsayısı ve sönümü olarak kabul edilmektedir. T e I q c T n, r c k n, r I k q T Dişli grubu ( I N I) q ( c N c) q ( k N k) q Te 30

Benzer belgeler

1.1 Yapı Dinamiğine Giriş

1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı Dinamiği, dinamik yükler etkisindeki yapı sistemlerinin dinamik analizini konu almaktadır. Dinamik yük, genliği, doğrultusu ve etkime noktası zamana bağlı olarak değişen