MUKAVEMET I : 09/10 4.H. Gerilme & Genleme

Transkript

1 : 09/10 4.H 4. Hafta (Deformations Under xial Loading) EKSENEL YÜKLEMEY 11 : 09/10 4.H Stress & Strain: xial Loading Gerilme & Genleme Genleme (birim uzama, birim şekil değiştirme) : Önceki bölümde bir yapıya yada makine elemanına uygulanan yüklerle çeşitli bağlantılar ve elemanlarda oluşturulan gerilmelerin analizi yapıldı, bundan başka belirli yük koşulları altında basit eleman ve bağlantıların hasara uğramadan tasarımı öğrenildi, Yapıların analiz ve tasarımının diğer bir yönü de uygulanan yükler sonucunda ortaya çıkan şekil değiştirmeleri (deformasyonları) ilgilendirir. Bir yapının amacını gerçekleştirmesini engelleyecek büyük deformasyonlardan kaçınmak gerekir, Deformasyonların analizi elemanda gerilmelerin dağılımının belirlenmesinde yardımcı olur. ynı zamanda statikçe belirsiz yapılarda statikçe belirsiz kuvvetlerin ve tepki kuvvetlerinin bulunmasında da yardımcı olur, Bu bölümde eksenel yükleme etkisindeki elemanların deformasyonu ile ilgileneceğiz.

2 : 09/10 4.H Eksenel yükleme altındaki elemanların n deformasyonu ; P 3 P stress δ normal genleme, ε normal strain L gerinim, birim uzama δ P δ ε L P P δ δ ε L L 4 : 09/10 4.H Bir katı cismin uygulanan kuvvetlere karşı gösterdiği tepki mekanik davranış olarak adlandırılır. Bu davranışın biçimini de mekanik özellikler belirler. Bu özelliklerde değişik zorlamalar altında malzemedeki gerilme ve şekil değiştirmeleri ölçerek ve gözleyerek saptanır. İki aşamada olur; 1. Malzeme sürekli ortam kabul edilir ve dış kuvvetlere karşı tepki uygula-gözle yöntemi ile deneysel olarak saptanır. Böylece mekanik davranış ile ilgili olarak temel bilgiler şekil değiştirme, gerilme, sertlik, mukavemet, süneklik tanımları yapılır,. Şekil değiştirme ile kırılma mekanizmaları ele alınır; atomların nasıl davrandığı, iç yapıda ne tür değişikliklerin olduğu iç yapı ile mekanik özellikler arasında ne tür ilişkilerin bulunduğu incelenir. Özellikle basit çekme deneyi en çok uygulanan deneydir.

3 : 09/10 4.H Çekme deneyi (Stress Stress-Strain Strain Test) 5 : 09/10 4.H Gerçek kopma gerilmesi ç k ak o Orantı sınırı elastik sınır kma g. En Büyük Çekme gerilmesi Kopma gerilmesi Elastik bölge kma bölgesi Pekleşme bölgesi Boyun bölgesi Elastik davranış Plastik davranış 6 Sünek malzemeler için tipik gerilme-genleme diyagramı.

4 : 09/10 4.H Sünek bir çelik için i in gerilme-genleme genleme diyagramı 7 : 09/10 4.H Stress-Strain Strain Diagram: Ductile Materials Ductile Materials (Sünek nek malzemeler) Pekleşme bölgesi Boyun oluşumu ( ecking) sünek bir malzemenin KIRILM tipi 8

5 : 09/10 4.H Stress-Strain Strain Diagram: Brittle Materials (gevrek malzeme) gevrek bir malzemenin çekme ile KIRILM tipi Kopmadan önce belirgin bir plastik şekil değiştirme yok. 9 : 09/10 4.H kma Gerilmesi (Yield Stress) Plastik (kalıcı) şekil değiştirmenin başladığı gerilme seviyesine denir ve bir çok sünek malzeme belirgin bir akma gösterdiği için akma gerilmesi gerilme-genleme diyagramından direkt tespit edilebilir. Belirgin akma göstermeyen malzemeler için kaydırma (offset) yöntemi ile akma gerilmesi bulunur. Bu da 0.00 (yada 0.%) şekil değiştirme noktasından elastik doğruya paralel bir doğru çizerek elde edilir, bu doğrunun gerilme-genleme diyagramını kestiği gerilme seviyesine teknolojik akma gerilmesi de denir ve 0. ile gösterilir. 10

6 : 09/10 4.H Offset Yield Stress ( 0. ) 11 1 : 09/10 4.H Şekilde görüldüğü gibi orijinden noktasına kadar olan kısımda gerilme ile E C B genleme arasındaki ilişki O doğrusal (lineer) dır. noktasına ORNTI SINIRI adı verilir, B noktasına da ELSTİK SINIR denir ( ile B arasında durum nonlineer dir) Lineer bölgede gerilmenin genlemeye oranına ELSTİSİTE MODÜLÜ (Young Modülü) adı verilir E ile gösterilir E < O ε Noktaların yerleri abartılı olarak aralıklı belirtilmiştir, gerçekte birbirine çok yakındır. Pratikte çoğu u zaman akma gerilmesine kadar orantılı (lineer) elastik şekil değiştirme olduğu u kabulü yapılır.

7 : 09/10 4.H Design Properties 1. MUKVEMET (Strength). RİJİTLİK (Stiffness) 3. SÜNEKLİK (Ductility) Yük taşıyan elemanların tasarımı yapılırken kullanılacak malzemelerin en önemli üç mekanik özelliği. Malzemenin mekanik davranışı (yada özelliği) gerilme ile genleme arasındaki ilişki ile tanımlıdır 13 : 09/10 4.H Mukavemet - (Strength) 1. kma Mukavemeti-or Dayanımı (Yield Strength). Maksimum Çekme Mukavemeti-or Dayanımı (Ultimate Strength ) 3. Kırılma or Kopma Gerilmesi (Fracture Stress) 14

8 : 09/10 4.H kma Dayanımı (Yield Strength) Malzemenin kalıcı bir deformasyon (yada belirgin akma) olmadan dayanabileceği en büyük gerilme değeri. Y Y or YP YS k. veya : 09/10 4.H Maksimum Çekme Mukavemeti (Ultimate Strength) Mühendislik gerilme-genleme diyagramında en büyük gerilme değeri (mühendislik açısından malzemenin taşıyabileceği). U ç Kırılma (kopma) Gerilmesi Gerilmesi (Fracture Stress) Kopma anındaki gerilme değeri. F K 16

9 : 09/10 4.H RĐJĐDLĐK (Stiffness) Şekil değiştirmeye karşı gösterilen dirençtir, gerilmenin genlemeye oranı (veya yükün deplasmana oranı) ile tanımlanır. Genellikle elastik bölgede anlamlıdır. Malzemenin rijidliğini elastisite modülü (E; Young Modulus) temsil eder. 17 : 09/10 4.H SÜNEKLĐK (Ductility) (plastik şekil değiştirme kabiliyetidir) 1. Kırılıp-kopmadan önce büyük genlemelerin (yani şekil değiştirmelerin) olduğu malzemeler SÜNEK (ductile materials) olarak sınıflandırılır.. Yukardakinin aksi küçük genleme (şekil değiştirme) miktarlarında kırılıp-kopan malzemeler GEVREK (brittle materials) olarak sınıflandırılır. 3. Bunlar malzemenin hasarlanma (kopma, kırılma) tipini belirleyen özellikleridir. 18

10 : 09/10 4.H Ductile/brittle behaviour - Sadece sünek malzemeler boyun verir. SÜNEK ; %δ 5 > 8% (approximately) GEVREK; %δ 5 < 5% (approximately) Sünekliğin Ölçümü : Yüzde Uzama ((L k L 0 )/ L 0 )) x (100%) (sünek sayılan çelikler için bu değer ~38%) Yüzde kesit büzülmesi (( 0 f )/ 0 ))x(100%) (sünek sayılan çelikler için bu değer ~ 60%) 19 Sünek malzemelere örnek : çelik (Steel bakır (Copper), Nickel, Nylon, pirinç (Brass), luminum, Steel), pirin : 09/10 4.H 0

11 : 09/10 4.H Mühendislik Gerilmesi / Gerçek ek Gerilme P/( o ) Mühendislik Gerilmesi (burada, P uygulanan yük, o ilk (orijinal) kesit alanı) g P/ Gerçek Gerilme burada, anlık kesit alanıdır. Mühendislik Malzemesi Gerilme-Genleme diyagramlarında genellikle şu beş bölge anlamlıdır; - Lineer elastik bölge (The linear elastic region) - kma platosu (The yield plateau) - Pekleşme bölgesi veya homojen plastik şekil değiştirme bölgesi (The strain-hardening region) - Mühendislik açısından kullanılamaz bölge (The post-ultimate stress or strain-softening region) 1 : 09/10 4.H Mühendislik gerilmesi ile gerçek ek gerilme arasındaki ilişki : g F/ True Stress burada, anlık kesit alanıdır. plastik şekil değiştirmede hacim sabitliğinden, o L o L and L L o (1 + ε) Therefore o / L/L o (1+ ε) yazılabilir, Buradan mühendislik gerilmesi ile gerçek gerilme arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde edilir: g F/ (F/ o )(1 + ε) (1+ ε)

12 : 09/10 4.H Mühendislik genlemesi ile gerçek ek genleme arasındaki ilişki : ε g Σ ε Σ ( L/L) gerçek genleme küçük L artışlarının o andaki L ye bölünmesiyle elde edilir ve bunlar toplanarak toplam gerçek genleme değeri bulunur. L dl L ε g ln ln (1+ε ) L L L 0 0 * Önemli : ε mm/mm boyutsuzdur 3 : 09/10 4.H Lineer er gerilme-genleme genleme yasası Genelde birçok mühendislik malzemesinin akma dayanımına kadar lineer elastik olarak şekil değiştirdiği kabulü yapılır, Bu bölgedeki lineer ilişki de, burada, E.ε tek eksenli çekme için (for uniaxial case), E elastic constant, E is Young s modulus (Elastisite Modülü) Thomas YOUNG (1773 ( ) 189) Yukarda bahsedilen lineer ilişki HOOKE YSSI olarak bilinir. E pl /ε pl (orantı sınırı) Typically E 10 GPa (steel) ; E 70 GPa (aluminium) 4 Sir Robert HOOKE ( ) 1703)

13 : 09/10 4.H Hooke Yasası (Hooke s s Law) * Tek eksenli gerilme hali için i in tanıml mlıdır * Eε x x 0 x ak. (aralığında geçerlidir) 5 : 09/10 4.H laşımlama ile, ısıl işlem ile, imalat yöntemi ile malzemenin mukavemeti ( ak. ) değiştirilebilir M elastisite modülü değişmez. 6

14 : 09/10 4.H Elastik e karşı şılık k plastik davranış ış (pekleşme) : Yük (gerilme) kaldırıldığında parçada herhangi bir genleme kalmıyorsa (orjine dönüyorsa) elastik davranış sözkonusudur. Bu şekilde ulaşılan en büyük genlemeye karşılık gelen gerilmeye de elastik sınır denir Yük kaldırıldıktan sonra genleme sıfır olmuyorsa yani parça üzerinde bir kalıcı şekil değişimi oldu ise plastik davranış söz konusudur. 7 : 09/10 4.H Grey Cast Iron Beton (Concrete( Concrete) (Çekme dayanımını arttırmak için çelik ile takviye edilir) 8

15 : 09/10 4.H Genleme Enerjisi Strain Energy Density (u) u (1/) ε (elastik bölgede) u (1/) ( / E) Modulus of Resilience (u r ) u r (1/) pl ε pl (1/) ( pl / E) z (1/) ( ak. / E) Modulus of Toughness (TOKLUK) toplam alan under the stress-strain curve 9 30 : 09/10 4.H Gerilme- genleme eğrisinde önemli noktalar; Gerilme- genleme diy. tasarımda önemlidir çünkü malzemenin fiziksel şekli ve boyutundan bağımsız olarak çekme ve basma dayanımı hakkında bilgi verir, Müh. Gerilme-genleme diy. orijinal kesit alanı ve ölçü uzunluğundan elde edilir. Sünek malzemeler yük etkisi atında dört belirgin davranış gösterir; elastik davranış ış,, akma, pekleşme ve boyun oluşumu umu, elastik bölgede gerilme ile genleme orantılı ise mazeme lineer elastik tir. Malzeme Hooke yasasına uyar, doğrunun eğimi elastisite modülünü, (E ) verir. Diy. üzerindeki en önemli noktalar; orantı sınırı,, elastik sınır, s akma gerilmesi, en büyük b çekme gerilmesi ve kırılma k (kopma) gerilmesi dir, Sünek malzemeler % uzama ve % kesit büzülmesib ile tanımlanır, Dökme demir gibi gevrek malzemeler çok az veya hiç akma göstermeden birdenbire (aniden) kırılır, Pekleşme (strain( strain-hardening) malzemenin akma dayanımını arttırır ancak sünekliğini düşürür, Genleme enerjisi malzemede deformasyon nedeniyle depolanan enerjidir (bu da eğri altındaki alandır). Birim hacim için genleme enerjisi yoğunlu unluğu olarak tanımlanır. Orantı sınırına kadar ki genleme enerjisi rezilyans modülünü, kopana kadarki genleme enerjisi de tokluğu tanımlar.

16 : 09/10 4.H ÖRNEK SORU: şağıda bir alaşımlı çeliğin çekme testinde elde edilmiş gerilme-genleme diyagramı görülmektedir. Buna göre, Elastisite modülünü, %0. akma gerilmesini hesaplayınız. Diy. üzerinden çekme dayanımını ve kopma dayanımını okuyunuz 31 : 09/10 4.H Orjinden doğrusal bölgede bir noktasına kadar olan bölgede diy dan okunarak; KM DY IM 0.% offset yöntemi ile E BÜYÜK B ÇEKME DY IM -ε eğrisininde en üst nokta B okunarak KOPM (KIRILM) DY IM ε k 0.3 e karşılık gelen gerilme değeri -ε eğrisininde C noktası okunarak 3

17 : 09/10 4.H Eksenel yükleme altında deformasyon Homojen, L uzunluğu boyunca sabit kesitli bir çubuk (sabit E) Ortaya çıkan gerilmeler akma dayanımını aşmaz ise Hooke Kanunu geçerlidir P E ε, ε E E From the definition of strain: δ ε L Equating and solving for the deformation, δ PL E Sabit kesitli çubuklar için Eğer çubuk değişik yerlerinden yüklenmiş, değişik kesit alanlarından ve değişik malzemelerden oluşmuş ise çubuk yukardaki formülün uygulanabildiği i parçaya bölünür ve toplam deformasyon, ile hesaplanır. 33 : 09/10 4.H Đşaret kuralı Çekme ve uzama pozitif olarak gösterilir Basma ve kısalma negatif olarak 34

18 : 09/10 4.H Örnek B C D 30 kn 75 kn 45 kn E 00 GPa D 8 mm d 18mm. L1 L 300 mm L3 400 mm 1 615mm 3 54mm SOLUTION: Divide the rod into components at the load application points. pply a free-body analysis on each component to determine the internal force Evaluate the total of the component deflections. Yükleme hali yukarda verilen da ankastre bağlı değişken kesitli çubuğun toplam uzamasını (deformation) hesaplayınız : 09/10 4.H SOLUTION: R Üç kısma ayırıp SCD ları çizilirse : kN 75kN Normal Kuvvet Diyagramı (N) -15 B 45kN 45kN 45kN C 30kN 30kN 30kN D 30kN +30 Her bir parçanın SCD çizilerek o kısımdaki iç kuvvetler bulunur, + ΣF ΣF ΣF ΣF x x x x 0 R 0 P 3 0 P 0 P R P P P Evaluate total deflection, δ i Pi Li i Ei 1 P1 L1 E 1 P L N P3 L3 + 3 N N N - D ucu mm sağa doğru gitmiştir ( ) 300 ( ) 300 ( ) mm. δ mm -Toplam uzama or, - D ucunun yer değiştirmesi or, 3 3

19 : 09/10 4.H Şekilde görülen çubuk 35 mm genişliğinde ve 10 mm kalınlığındadır. Çubuğun toplam uzamasını hesap ediniz (E00 GPa, L B L BC L CD 150 mm) Sonuç ; PB. LB δtop. E B. B PCD. LCD ECD. CD δtop mm PBC. LBC + + EBC. BC ya da ; BC arasındaki gerilme Normal kuvvet diy. 37 B C D : 09/10 4.H Değişken kesitli çubukta deformasyon L Herhangi bir Q noktasındaki genleme, δ dδ ε lim x 0 x dx P dδ ε dx. dx. E -Toplam deformasyon çubuğun L boyu üzerinden integrasyonu ile en genel çözüm, δ L P( x). dx ( x). E 0 38 Örneğin ; PP(x) kendi ağırlığından dolayı (x) x e bağlı kesit için elde edilir. Sabit kesitli çubuk için P(x)P ve (x) ile önceki ifade elde edilir.

20 : 09/10 4.H Örnek soru : özgül ağırlığı γ ve elastisite modülü E olan malzemeden yapılmış olan koni şeklindeki eleman tabanından şekilde gürüldüğü gibi düşeyde asılmıştır. Yerçekimi nedeniyle olacak toplam deformasyonu bulunuz. ÇÖZÜM M : Herhangi bir noktadaki eksenel iç kuvvet elemanın uzunluğu boyunca ağırlığına W(y) bağlı olarak değişir. Bu değişimi ifade edebilmek için koninin y ekseni boyunca boyutu x e bağlı olarak ifade edilmeli. 39 : 09/10 4.H Kesit alanını da y nin fonksiyonu olarak yazarak, y0 dan yl ye kadar değişken kesitli çubuk için çıkardığımız deformasyon ifadesi ile, elde edilir. 40

21 41 : 09/10 4.H Örnek Problem.1 Rijid BDE çubuğu B and CD çubukları ile bağlanmıştır. B aluminum (E 70 GPa) ve kesit alanı 500 mm, CD çelik olup (E 00 GPa) kesit alanı 600 mm. Şekildeki gibi 30-kN yük etkisinde a) B ucunun yer değiştirmesini, b) D ucunun yer değiştirmesini ve c) E ucunun yer değiştirmesini bulunuz. SOLUTION: pply a free-body analysis to the bar BDE to find the forces exerted by links B and DC. Evaluate the deformation of links B and DC or the displacements of B and D. Work out the geometry to find the deflection at E given the deflections at B and D. : 09/10 4.H Sample Problem.1 SOLUTION: BDE nin S.C.D. Displacement of B: δ B PL E M F F B 0 M CD D 0 B 0 ( 30kN 0.6m) ( 30kN 0.4m) + F + 90kN tension 0 F CD B 60kN compression 0.m 0.m Displacement of D: δ D 3 ( N)( 0.3m) -6 9 ( m )( Pa) PL E 6 m δ B mm 3 ( N)( 0.4m) -6 9 ( m )( Pa) m δ D mm 4

22 : 09/10 4.H Sample Problem.1 Displacement of D: BB DD BH HD mm mm x 73.7 mm EE DD δ E mm δ E HE HD 1.98 mm ( 00 mm) x x ( ) mm 73.7 mm δ E 1.98 mm 43 : 09/10 4.H PRB.1: Önce (MD MD Solids) Rod Rod and Collar Şekildeki değişken kesitli dairesel kesitli çubuk şekilde görüldüğü gibi düzgün eksenel yükleme etkisindedir. B ve BC kısımlarındaki iç kuvveti bulunuz. Her bir kısımdaki gerilmeleri bulunuz. 44

23 : 09/10 4.H Example Solution Free Body Diagram Equations of Equilibrium + 1 ( x) F 0 F 30k + 10k 0 F 1 0 k + ( x) F 0 F + 10k 0 F 10k 45 : 09/10 4.H 1 F1 1 F xial Stresses 0k 314.mm 10k 176.7mm 0k 314.mm reas: 1 10k 176.7mm π d 4 π d 4 ( 1000mm) 1 1m π 4 π 4 ( 1000mm) 1m ( 0mm) ( 15mm) 176.7mm 314.mm M 63.7 m M 56.6 m MPa 63.7 MPa 56.6MPa ( C) 56.6MPa( T) 46

24 : 09/10 4.H Şekilde görülen çubuk sabit 35 mm genişik ve 10 mm kalınlıktadır. Şekildeki gibi yüklendiğinde en büyük ortalama normal gerilmeyi bulunuz. P Sonuç ; max. BC P BC PBC 30 k 35*10mm MPa k 47 B C D : 09/10 4.H problemler prob.1 ( çubuklu bağlantı) prob. (değişken kesitli bileşik çubuğun deformasyonu) prob.3 (pimli jijid çubuk) prob.4 (axial stress check) prob.5 (3 çubuklu bağlantı) problemler (ÇZL.) (ssakaf ) word belgesi Prob. ve çözümleri Beer&Johnston dan Stress Check Swf file Mec Movie den sorular 1 48

25 : 09/10 4.H Relatif Deplasman (yer değiştirme) : Eğer bir çubuğun her iki ucu da hareket ediyorsa bu durumda çubuğun deformasyonu bir ucunun diğerine göre relatif deplasmanı ile ölçülür. şağıdaki şekilde olduğu gibi δ B/ ile gösterilir ve hesaplanır. Bu da B ucunun ucuna göre relatif yer değiştirmesi demektir. burada B ; EE B veya B δ B / δ + δ 49 : 09/10 4.H Relative Deformation ; eğer yük B den uygulanırsa üç çubuk ta deforme olur C and C çubukları C ve C de sabit bağlıdır, bunların deformasyonu noktasının δ deformasyonu ile ölçülür. ncak, B çubuğunun her iki ucu da hareket ettiğinden, B nin deformasyonu ve B noktalarının deformasyonları olan δ ve δ B arasındaki farka eşittir. Buna B ucunun ya göre relatif yer değiştirmesi denir ve aşagıdaki gibi hesaplanır, 50

26 : 09/10 4.H ÖRNEK SORU: -36 çeliğinden yapılmış olan çelik çubuk iki farklı kesitten oluşmuştur. B ve BD nin kesit alanı B 600 mm ve BD 100 mm. ucunun yerdeğiştirmesini ve B nin C ye göre yerdeğiştirmesini hesap ediniz. E10 GPa 51 : 09/10 4.H Sabit D mesnetine göre nın düşeyde relatif deplasmanı, pozitif ve negatif iç kuvvetlere dikkat ederek ; Sonuç pozitif olduğu için çubuk toplam olarak uzar ve cu yukarı doğru hareket eder. B nin C ye göre relatif yerdeğiştirmesi (δ B -δ C ) BC arasındaki iç kuvvet ile olur ve, Sonuç pozitif olduğu için B ucu C den uzaklaşır, yani BC kısmı uzar. 5

27 : 09/10 4.H ÖRNEK SORU: Kesit alanı 400 mm olan bir alüminyum tüp içine 10 mm çapında bir çelik çubuk sokuluyor ve B de rijid bir plaka ve somunla şekilde görüldüğü gibi bağlanıyor, da rijid bir duvara yaslanıyor. C den çubuğa uygulanan 80 kn luk yük nedeniyle çubuğun C ucu ne kadar hareket eder. E st 00 GPa, E l. 70 GPa. l. tüp ve çelik çubuğun SCD dan görülür ki tüp 80 kn luk basmaya, çelik çubuk ta 80 kn luk çekmeye zorlanmaktadır 53 : 09/10 4.H - Đlk önce B ye göre C ucunun yer değiştirmesini hesaplamalıyız (Sonucun pozitif çıkması C ucunun B ye göre relatif olarak sağa doğru hareket ettiğini gösterir, çünkü çubuk uzuyor) - Sabit olan ya göre B ucunun yer değiştirmesi ; (Buradaki negatif sonuç tüpün kısaldığını gösterir ve B ucunun ya göre relatif olarak sağa doğru hareket ettiğini gösterir) - Sonuç olarak her iki deplasman da sağa doğru olduğu için ; 54

28 : 09/10 4.H ÖRNEK SORU: Rijid B bloğu şekilde görüldüğü gibi iki kısa çubuk üzerinde duruyor. C çubuğu çelik olup çapı 0 mm, BD çubuğu alüminyum olup çapı 40 mm dir. F noktasından uygulanan 90 kn luk düşey yük nedeniyle F noktasının yer değiştirmesini bulunuz. E ç 00 GPa, E l. 70 GPa. B nin S.C.D. C nin S.C.D. BD nin S.C.D. 55 : 09/10 4.H C nin deformasyonu (kısalma) ; BD nin deformasyonu (kısalma) ; Deformasyon üçgenleri ; ve F noktasının deformasyonu ; 56

29 : 09/10 4.H ÖRNEK Prob: B ve C noktalarındaki iç kuvveti ve daki tepki kuvvetini hesap ediniz. ÇÖZÜM M : S.C.D. F 0 y y +y y 8 kn 57 : 09/10 4.H B D 4 kn C 1 kn 16 kn B FBD N B y B den keserek, üst tarafı atalım. y y F 0 y N 0 B N 8kN B y 58

30 : 09/10 4.H B den keserek, alt tarafı atalım. D 4 kn C 1 kn D 4 kn C 1 kn B 16 kn y 8 kn B 16 kn N B B B F 0 y N N 8kN 59 : 09/10 4.H B D 4 kn C 1 kn 16 kn C den keserek S.C.D. (alt tarafı atalım) D C C C 4 kn N C F 0 y N 4 0 N 4 kn y 60

31 : 09/10 4.H D B 4 kn C den keserek C 1 kn 16 kn N C S.C.D. (üst tarafı atalım) C 1 kn 16 kn C F 0 y N N C 4kN y y 8 kn 61 : 09/10 4.H THE END yani dersin sonu 6