Çözüm. Ali'nin gömlekleri G 1. seçebilir? TEST Bir sınıfta 13 kız öğrenci ve 7 erkek öğrenci
|
|
- Ilhami Yiğit
- 2 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1
2
3
4
5 Toplama Yoluyla Sayma Örnek Ali'nin farklı 4 pantolonu ve gömleği vardır. Buna göre, Ali pantolon veya gömleğini kaç farklı şekilde seçebilir? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 Ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmaya " toplama yoluyla sayma yöntemi" denir. Ali'nin pantolonları P, P, P, P 4 Ali'nin gömlekleri G, G, G olsun. Ali bir pantolonu 4 şekilde, bir gömleği şekilde seçebilir. O halde Ali pantolon veya gömleği 4 + = 7 farklı şekilde seçer. Cevap D TEST -. Nur'un farklı şalı ve 7 farklı şapkası vardır. Buna göre, Nur bir şal ya da bir şapkayı kaç farklı şekilde seçebilir? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. Bir sınıfta kız öğrenci ve 7 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan bir sınıf başkanı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6. Bir hastanede kadın doktor ve 4 erkek doktor çalışmaktadır. Buna göre, bu hastaneden bir kadın doktor ya da bir erkek doktor kaç farklı şekilde seçebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 4. Bir kitaplıkta farklı yayınlara ait matematik, 4 geometri ve fizik kitabı vardır. Buna göre, bu kitaplıktan bir kitap kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E). B. D. A 4. E
6 Çarpma Yoluyla Sayma - I Örnek 4 farklı pantolon ve farklı gömleği olan Murat pantolon ve gömleği kaç farklı şekilde seçebilir? A) B) C) 4 D) E) 6 Pantolon P P P Gömlek G G G G G G G G G P G P G P G P 4 G P 4 G G G P G P G P G P 4 G P G P G P G P 4 G farklı kıyafet Yani 4. = farklı kıyafet giyilebilir. Cevap A TEST -. Bir sınıfta 0 farklı sıra vardır ve her sırada öğrenci oturmaktadır. Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır? A) B) 8 C) 4 D) 0 E) 6 4. Birbirinden farklı fizik, 4 kimya ve biyoloji kitabı arasından fizik, kimya ve biyoloji kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 0 B) 4 C) 60 D) 7 E) 90. kişilik bir ekipten bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) B) C) 4 D) 78 E). 6 kişilik bir kulübün üyeleri arasından bir başkan, bir başkan yardımcısı ve bir yazıcı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 0 B) 0 C) 40 D) 0 E) kız ve erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan bir kız öğrenci ve bir erkek öğrenci kaç farklı şekilde seçilir? A) 4 B) 4 C) 4 D) 9 E) farklı ana yemek, farklı içecek ve farklı tatlı arasından ana yemek, içecek ve tatlıdan oluşan kaç farklı menü hazırlanabilir? A) 8 B) C) 6 D) 0 E) 4. D. E. B 4. C. A 6. E 6
7 Çarpma Yoluyla Sayma - II Örnek A kentinden B kentine farklı yol ve B kentinden C kentine farklı yol vardır. Buna göre, A kentinden C kentine, B kentine uğramak şartı ile kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 8 B) C) D) 9 E) 6 A B C A dan B ye gitme olayı farklı yolla gerçekleşebilir. B den C ye gitme olayı farklı yolla gerçekleşebilir. Buna göre, A dan C ye B ye uğramak koşuluyla. = farklı yolla gidilebilir. Cevap B TEST -. A B C 4. A B C A dan B ye 4 farklı yolla, B den C ye farklı yolla gidilebilmektedir. Buna göre, A dan C ye B ye uğramak koşuluyla kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. A kentinden B kentine farklı yol ve B kentinden C kentine 4 farklı yol vardır. Buna göre, A kentinden C kentine, B kentine uğramak şartı ile kaç farklı yoldan gidilebilir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 Verilen şekilde A, B ve C kentleri arasındaki yollar gösterilmektedir. A dan B ye farklı, B den C ye farklı ve A dan C ye doğrudan farklı yoldan gidilebilmektedir. Buna göre, A dan C ye kaç farklı yoldan gidilebilir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). A kentinden B kentine 4 farklı yoldan, B kentinden C kentine farklı yoldan gidilmektedir. Buna göre, A kentinden C kentine, gidilen yolları dönüşte kullanmamak şartı ile kaç farklı yoldan gidip gelinebilir? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. A kentinden B kentine, B kentinden C kentine farklı yoldan gidilebilmektedir. Buna göre, A kentinden C kentine gidilen yoldan aynı şekilde geri dönmemek şartı ile kaç farklı yoldan gidip gelinir? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. B. E. C 4. D. A 7
8 Çarpma Yoluyla Sayma - III Örnek a) farklı mektup 4 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir? b) farklı mektup 4 farklı posta kutusuna aynı kutuya birden çok mektup atılmaması şartıyla kaç farklı biçimde atılabilir? a). mektup 4 kutudan birine atılabileceğinden, birinci mektup için 4 seçenek vardır. İkinci mektup için de 4 seçenek vardır.. mektup için de 4 seçenek vardır = 4 = 64 olur. b). mektup 4 kutudan birine. mektup kutudan birine. mektup kutudan birine atılabilir. 4.. = 4 olur. TEST - 4. farklı kitap öğrenciye kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 4. 4 farklı gömleği olan bir memur her gün bir gün önce giydiği gömleği giymemek koşuluyla günde kaç farklı şekilde giyinebilir? A) 4. B) 4. 4 C) 4. 6 D) 4. 8 E) farklı forma futbolcuya aynı kişiye birden çok forma verilmemesi şartıyla kaç farklı şekilde dağıtılabilir? A) B) C) 0 D) 4 E) 60. Bir kişinin farklı 4 çift çorabı vardır. Bu kişi birbirine uymayan bir sağ ve bir sol tek çorabı kaç farklı şekilde seçebilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E). farklı spor dalından birini yapmak isteyen kişi seçimlerini kaç farklı yolla yapabilir? A) 0 B) C) 0 D) E) 0 6. Bir mezuniyet yemeğinde herkes birbiriyle tokalaşmıştır. Toplam 4 tokalaşma olduğuna göre, yemekte kaç kişi vardır? A) 0 B) C) D) E) 4. C. E. D 4. B. E 6. A 8
9 Çarpma Yoluyla Sayma - IV Örnek A = {,,, 4,, 6 } A kümesinin elemanları kullanılarak a) Üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? b) Üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? c) Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? d) Üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? a) Her basamakta, verilen kümenin 6 elamanı da kullanılabilir. Buna göre, Yü zler B. Onlar B. Birler B = 6 = 6 tane sayı yazılabilir. b) Rakamları farklı olması istendiğinden bir basamakta kullanılan sayı diğer basamakta kullanılamaz. Buna göre, Yü zler B. Onlar B. Birler B. 6 4 = 0 tane rakamları farklı sayı yazılabilir. c) Burada istenilen koşul sayıların çift olması bunun için birler basamağı çift olmalı. ( Dikkat rakamları farklı denmiyor, soruya kendimizden bir şey katmayalım. ) Yü zler B. Onlar B. Birler B. 6 6 {, 4, 6 } = 08 sayı yazılabilir. d) Rakamları farklı olması istendiği için bir defa kullanılan rakamı tekrar kullanamayız. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 {, 4, 6 } = 60 tane rakamları farklı çift sayı yazılabilir. TEST -. A = {,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 4 D) 8 E) 64. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak dört basamaklı kaç çift doğal sayı yazılabilir? A) B) 0 C) 7 D) 00 E) 6. A = {,, 4,, 7, 9 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 60 B) 90 C) 0 D) 0 E) A = {,,,, 7 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç tek doğal sayı yazılabilir? A) B) 4 C) 6 D) 48 E) 60. E. C. B 4. D 9
10 Çarpma Yoluyla Sayma - V Örnek A = {,,, 4,, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı a) ile tam bölünebilen kaç sayı yazılabilir? b) 00 den büyük rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? a) Beş ile tam bölünebilmesi için birler basamağı olmalı. Buna göre, Yü zler B. Onlar B. Birler B. 6 6 = 6 tane sayı {,,, 4,, 6} {,,, 4,, 6} { } yazılabilir. b) 00 den büyük olması istendiğinden yüzler basamağından, 4,, 6 rakamlarından biri olmalı. Rakamları farklı olması istendiğinden yüzler basamağında kullanılan rakamı onlar basamağında kullanamayız. Onlar basamağı farklı sayı, birler basamağına 4 farklı sayı yazılır. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 4 {, 4,, 6} = 80 tane sayı yazılabilir. TEST - 6. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) B) 0 C) D) 40 E) 4 4. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak 00 den büyük üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? A) B) 0 C) 4 D) 60 E) 7. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak ile tam bölünebilen üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak 00 den büyük üç basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) 4 B) 0 C) 6 D) 4 E) 48. A = {,,, 4,, 6, 7 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç değişik tek sayı yazılabilir? A) 90 B) 0 C) 0 D) 80 E) 0 6. A = {,,, 4,, 6, 7 } kümesinin elemanları kullanılarak 400 den küçük üç basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) 90 B) 0 C) 0 D) 80 E) 0. A. D. B 4. E. C 6. A 0
11 Çarpma Yoluyla Sayma - VI Örnek A = { 0,,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı a) Kaç farklı sayı yazılabilir? b) Rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir? a) 0 rakamı yüzler basamağında kullanılamayacağından bu basamakta geriye kalan tane rakamı kullanırız. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 6 6 = 80 tane sayı {,,, 4, } { 0,,,, 4, } { 0,,,, 4, } yazılabilir. Yü zler B. Onlar B. Birler B. b) 4 {,,, 4, } = 00 tane sayı yazılabilir. TEST - 7. A = { 0,,,, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 90 B) 00 C) 0 D) 0 E) 0 4. A = { 0,,, 4,, 6 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı 400 den büyük kaç sayı yazılabilir? A) 0 B) 0 C) 40 D) 0 E) 60. A = { 0,,,, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç değişik sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 48 D) 64 E) 0. A = { 0,,,, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı ile tam bölünebilen kaç değişik sayı yazılabilir? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 0. A = { 0,,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 48 B) 60 C) 7 D) 84 E) A = { 0,,,, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak 00 den büyük üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) B) 8 C) 4 D) 0 E) 6. B. C. A 4. E. B 6. D
12 Çarpma Yoluyla Sayma - VII Örnek A = { 0,,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? Örnek A = { 0,,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı ile tam bölünebilen kaç sayı yazılabilir? Bu soruda rakamları farklı olma koşulu olduğundan ve sıfır hem birler basamağını hem de yüzler basamağını ilgilendirdiğinden iki ayrı değerlendirme yapmalıyız. Sıfır birler basamağında ise; Burada da soruyu iki farklı durumda inceleyeceğiz. Sayının ile kalansız bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya olmalıdır. Sıfır birler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 {,,, 4, } { 0} =. 4. = 0 tane sayı yazılabilir. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 {,,, 4, } { 0} =. 4. = 0 tane sayı yazılabilir. Sıfır birler basamağında değil ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 4 = = tane sayı yazılabilir. {, 4} 0 + = tane çift sayı yazılabilir. Beş birler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 4 = = 6 tane sayı {,,, 4} { } = 6 tane sayı yazılabilir. yazılabilir. TEST - 8. A = { 0,,,, } kümesinin elemanları kullanılarak ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 0 B) 40 C) 60 D) 80 E) 00. A = { 0,,,, 4 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 40 B) 4 C) 0 D) E) A = { 0,,, 4,, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak 400 den büyük ve ile tam bölünebilen üç basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) B) 7 C) 9 D) 4 E) 4. A = { 0,,, 4, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak 400 den büyük rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. A = { 0,,,, 4, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 60 B) 64 C) 68 D) 7 E) A = { 0,,,, 4, } kümesinin elemanları ile 00 den büyük 400 den küçük, rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0. B. E. C 4. A. A 6. E
13 Çarpma Yoluyla Sayma Karma Örnek A = {,,, 4, } kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı ve rakamlarından biri olan kaç sayı yazılabilir? Örnek A = {,,, 4,, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı ve içinde 6 rakamını bulunduran kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir? Üç farklı durumda inceleyelim. rakamı birler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 = 4.. = tane sayı yazılabilir. { } rakamı onlar basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 = 4.. = tane sayı yazılabilir. { } rakamı yüzler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 =. 4. = tane sayı yazılabilir. { } + + = 6 tane sayı yazılabilir. Üç farklı durumda inceleyelim. 6 rakamı birler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 =. 4. = 0 tane sayı yazılabilir. { 6} 6 rakamı onlar basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 = 4.. = 8 tane sayı yazılabilir. { 6} {, 4} 6 rakamı yüzler basamağında ise; Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 =. 4. = 8 tane sayı yazılabilir. { 6} {, 4} = 6 tane sayı yazılabilir. Örnek A = {,,, 7, 9 } kümesinin elemanlarıyla üç basamaklı iki rakamı aynı olan kaç farklı doğal sayı yazılabilir? Örnek 4 A = {,,, 4,, 6 } kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı 0 ile 00 arasında kaç farklı tek doğal sayı yazılabilir? Tümü Rakamları farklı Üç rakamı aynı 4 {,,, 777, 999 } 60 = 60 sayı yazılabilir. Yüzler basamağı ise onlar basamağı {, 6 } ve birler basamağı {,, } olur. Yü zler B. Onlar B. Birler B. Yü zler B. Onlar B. Birler B. + { } { } {, } { } { 6} {,, } = tane sayı yazılabilir. Yüzler basamağı ise birler basamağı {, } olur. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 =. 4. = 8 tane sayı yazılabilir. { } {, } Yüzler basamağı 4 ise birler basamağı {,, } olur. Yü zler B. Onlar B. Birler B. 4 =. 4. = tane sayı yazılabilir. { 4} {,, } O halde 0 ile 00 arasında toplam = tane rakamları farklı tek doğal sayı yazılabilir.
14 Faktöriyel ( Çarpansal ) - I Örnek 8! + 7! işleminin sonucu kaçtır?! + 4! A) 4 B) 60 C) 8 D) 00 E) den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n! denir. 0! =! =! =.! =.. n! =.... n 8! + 7! 8. 7! + 7! 7!( 8 + ) 7!. 9 = = =! + 4!. 4! + 4! 4!( + ) 4! !. 9 = 4!. 6 Cevap E TEST - 9.! +! toplamının değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 4.! -! işleminin sonucu kaçtır? 0! + 9! A) 77 B) 88 C) 99 D) 0 E). 9! işleminin sonucu kaçtır? 8! A) B) 7 C) 9 D) E). 9! - 8! işleminin sonucu kaçtır? 7! A) 64 B) 68 C) 7 D) 76 E) 80. 8! sayısı 6! sayısının kaç katıdır? 6. a = 7.! +.! b = 6!! olduğuna göre, a b kaçtır? A) 48 B) 6 C) 60 D) 64 E) 68 A) 8 B) 6 C) 4 D) E) 0. D. C. B 4. D. A 6. E 4
15 Faktöriyel ( Çarpansal ) - II Örnek ( n + )! = 4 olduğuna göre, n kaçtır? ( n - )! n! = n. ( n )! veya n! = n. ( n ). ( n )! olarak da yazılabilir. A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ( n + )! = 4 ( n - )! & ( n + ). n.( n - )! = 4 ( n - )! ( n + ). n = 4 ( n + ). n = 7. 6 n = 6 Cevap B TEST - 0. ( n )! = 4 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 4. n! = 0 olduğuna göre, n kaçtır? ( n - )! A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). ( n + )! = olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) D) 4 E). n! ( n + )! + ( n - )! ( n + )! ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) n + B) n + C) n + D) n + E) n +. ( n + )! = 0 olduğuna göre, n kaçtır? ( n + )! 6. ( n + )! - n! = 6 ( n - )! olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) B) 4 C) D) 6 E) 7. A. C. B 4. E. D 6. B
16 Faktöriyel ( Çarpansal ) - III Örnek a ve b birer doğal sayıdır. 0! = a. b olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) Örnek a ve b birer sayma sayısıdır. 4! = a. b olduğuna göre, b nin en küçük değeri için a kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 0! sayısında kaç tane çarpanı vardır sorusunda 0 u bölebildiğimiz kadar ikiye böleriz = 8 tane vardır. O halde, a nın en büyük değeri 8 dir. Cevap A 4! sayısında çarpanının sayısını bulurken; 4! sayısındaki ve çarpanlarının sayısına bakmak gerekir. ( =. ) = = 4! sayısında çarpanı sayısı, çarpanı sayısından az olduğundan çarpanı sayısı kadar çarpanı vardır. Cevap D TEST -. x ve y birer doğal sayıdır.! = x. y olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 4. x ve y birer doğal sayıdır. 6! = x. y olduğuna göre, y nin en küçük değeri için x kaçtır? A) 9 B) 0 C) D) E). x, y ve z birer sayma sayısıdır.! = x. y. z olduğuna göre, x + y toplamı en çok kaçtır? A) 46 B) 48 C) 0 D) E) 4. 7! 0 m ifadesini tam sayı yapan kaç farklı m doğal sayısı vardır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. x ve y birer doğal sayıdır. 8! = 6 x. y olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 6. a ve b birer sayma sayısıdır. 49! = a. b eşitliğinde b sayısı in katı bir doğal sayı olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). D. A. E 4. A. D 6. B 6
17 Faktöriyel ( Çarpansal ) - IV Örnek a ve b birer doğal sayıdır. 8! = 8 a. b olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 8! = ( ) a. b = a. b 8! sayısındaki çarpanı sayısını bulalım a en çok 6 olur. 6 Buna göre, a nın en büyük değeri olur. Cevap D TEST -. a ve b birer doğal sayıdır. 7! = 4 a. b olduğuna göre, a nın en büyük değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 4. x ve y birer sayma sayısıdır. 6. 9! = 9 x. y olduğuna göre, y nin en küçük değeri için x kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7. x ve y birer doğal sayıdır. 47! = 7 x. y olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 9. 6! 8 x ifadesinin çift sayı olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E).! 4 x ifadesi bir doğal sayı olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır? 6. 4! 9 x ifadesi bir doğal sayı olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 9 B) C) D) E) 7 A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7. B. D. A 4. C. E 6. A 7
18 Faktöriyel ( Çarpansal ) - V Örnek! + 4! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 Faktöriyelli ifadelerde " sondan kaç basamağı sıfırdır " demek " o sayıda kaç tane 0 çarpanı var" demektir.! + 4! = 0 n. m! ( + 4 ) = 0 n. m 7 6.! = 0 n. m = (. ) n. m 7..! = 0 n. m tane var 7 tane var n max = 8 Verilen sayının sondan 8 basamağı 0 dır. Cevap C TEST -. 7! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4.! sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 İpucu : Herhangi bir sayının sonunda kaç sıfır varsa, o sayıdan çıkarıldığında sıfır sayısı kadar sonunda 9 elde edilir.. 67! 4! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. 4! sayısının sondan kaç basamağı 8 dir? A) B) C) D) 4 E). 99! + 98! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) ! 7! sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. B. D. E 4. D. A 6. C 8
19 Faktöriyel ( Çarpansal ) - VI Örnek A =! +! +! ! olmak üzere, A sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) B) C) D) 4 E) Örnek A =! +! +! + 4! + + 4! olmak üzere, A sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 9! ve sonrasındaki tüm faktöriyelli sayıların birler basamağı sıfırdır. O halde;! +! +! + 4! = = A sayısının birler basamağı tür. Cevap C 4! = 4 sayısı, 4 ile tam bölündüğünden 4! den sonraki faktöriyelli sayılar da 4 ile tam bölünür. O halde;! +! +! = = 9 A sayısının 4 ile bölümünden kalan 9 dur. Cevap E TEST ! +! +! + + 8! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 4.! +! +! ! toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7. 0! +! +! + + 7! toplamının ile bölümünden kalan kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E).! + 0! +! + + 6! toplamının onlar basamağındaki rakam kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6.! + 4! + 6! + + 6! toplamının 0 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6.! +! +! + + 6! toplamının ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) 4 E). D. D. B 4. E. A 6. C 9
20 Permütasyon - I Örnek P( n, ) = P( n +, ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) n ve r birer doğal sayı ve r n olmak üzere, n tane elemanın r li sıralanışına n nin r li permütasyonu denir ve P ( n, r ) ile gösterilir. n! P ( n, r ) = ( n - r )! P ( n, r ) = n. ( n ). ( n ) ( n r + ) r tane Pratik yol P ( 7, ) = = 0 tane P ( 6, ) = 6. = 0 tane P( n, ) = P( n +, ) & & & n! ( n - )! ( n + )! ( n + - )! n! ( n - )! = ( n - )! ( n + )! n.( n - ).( n - )! ( n - )! = ( n - )! ( n + ). n.( n - )! n - & = n + & n - = n + & n = olur. Cevap C TEST -. P( 6, 4) P(, ) işleminin sonucu kaçtır? P ( n, ) = P ( n +, ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B) C) D) 4 E). P( 0, 4) işleminin sonucu kaçtır? P( 8, ) A) B) C) D) 4 E). 9. P ( n +, ) = P ( n +, ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). 6. P ( n, ) = P ( n +, 4 ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 6. P ( n +, 4 ) = 0. P ( n, ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8. C. E. B 4. C. D 6. B 0
21 Permütasyon - II Örnek A = { a, b, c, d, e } kümesinin lü permütasyonların kaç tanesinde d bulunur? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) 48 A kümesinin eleman sayısı, tüm lü permütasyonlarının sayısı P (, ) =. 4. = 60 tır. { a, b, c, e } kümesinin lü permütasyonlarının sayısı; P ( 4, ) = 4.. = 4 ( d yi bulundurmayanlar ) İstenen = Tüm durumlar d nin bulunmadığı durumlar durum 60 4 = 6 tanesinde bulunur. Cevap D TEST - 6. A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin lü permütasyonlarının sayısı kaçtır? A) 40 B) 60 C) 80 D) 00 E) 0 4. A = { 0,,,, 4 } kümesinin lü permütasyonlarının kaç tanesinde bulunur, 4 bulunmaz? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. İkili permütasyonlarının sayısı 0 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8. A = {,, 4, } kümesinin lü permütasyonlarının kaç tanesinde 4 ve bulunur? A) 6 B) C) 8 D) 4 E) 0. A = { 0,,,, 4 } kümesinin lü permütasyonlarının kaç tanesinde bulunur? A) 8 B) 4 C) 0 D) 6 E) 4 6. A = {,,, 4 } kümesinin li permütasyonlarının kaç tanesinde veya bulunur? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. E. C. D 4. A. B 6. B
22 Permütasyon - III Örnek kişi yan yana duran sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilir? A) 4 B) 6 C) 48 D) 60 E) 7 I. yol. sandalye. sandalye. sandalye 4... kişiden herhangi biri II. yol Kalan 4 kişiden herhangi biri Kalan kişiden herhangi biri. 4. = 60 farklı şekilde oturabilirler. Soruda elemanın yere sıralanması istenmiştir. Buna göre, P (, ) =. 4. = 60 farklı biçimde oturabilirler. Cevap D TEST - 7. kişi yan yana duran sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) öğrenci yan yana duran koltuktan dördüne oturacaktır. Buna göre, kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 7840 B) 7860 C) 7880 D) 7900 E) 790. kişi yan yana duran 6 sandalyeye kaç farklı şekilde oturabilirler? A) B) 0 C) 60 D) 90 E) 0. a, b, c, d, e, f, g harfleri yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 7! B) 8! C) 9! D) 0! E)!. 7 kişinin katıldığı bir koşuda ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 0 B) 80 C) 0 D) 40 E) KALEM kelimesinin harfleri kaç değişik biçimde sıralanabilir? A) 90 B) 0 C) 0 D) 80 E) 0. A. E. C 4. E. A 6. B
23 Permütasyon - IV Örnek Birbirinden farklı 4 fizik, kimya kitabı bir rafa a) kaç farklı şekilde dizilebilir? b) Kimya kitapları bir arada olmak üzere, kaç farklı şekilde dizilebilir? c) Aynı türden kitaplar bir arada olmak üzere, kaç farklı şekilde dizilebilir? d) İki fizik kitabı arasında bir kimya kitabı olmak üzere, kaç farklı şekilde dizilebilir? b) K K K F, F, F, F 4 Kimya kitapları yan yana dizileceğinden bunları bir eleman gibi almalıyız. 4 fizik kitabıyla eleman olur. eleman! kadar farklı şekilde dizilir. Ayrıca kimya kitapları kendi aralarında! kadar farklı şekilde dizilirler. Buna göre, bu diziliş!.! kadar farklı şekilde olur. c) K K K F F F F 4 Aynı türden kitaplar birer kitap gibi düşünülürse! kadar farklı şekilde dizilirler. Kimya kitapları kendi aralarında!, fizik kitapları kendi aralarında 4! kadar farklı şekilde dizilirler. Buna göre, tüm dizilişlerin sayısı!.!. 4! olur. a) 4 + = 7 kitap rafa, P ( 7, 7 ) = 7! farklı şekilde dizilebilir. d) F K F K F K F 4 Diziliş yukarıdaki gibi olacağından fizik kitapları kendi aralarında 4!, kimya kitapları kendi aralarında! kadar dizilebilirler. Buna göre, tüm dizilişlerin sayısı 4!.! olur. TEST kız ve erkek öğrenci, kızlar yan yana olmak şartı ile bir sıraya kaç farklı şekilde sıralanır? A) 6!.! B) 6!. 4! C) 6!.! D) 6!. 6! E) 6!. 7!. 6 kız, erkek öğrenci, kızlar kendi aralarında yan yana, erkekler kendi aralarında yan yana olmak şartı ile kaç farklı şekilde sıralanır? A)!.! B) 6!.! C) 6!. 4! D) 6!.!.! E) 6!.!.!. Birbirinden farklı 4 matematik ve biyoloji kitabı bir rafa, matematik kitapları bir arada olmak koşulu ile kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 4!. 4! B) 4!.! C) 4!. 6! D)!.! E) 4!. 7! 4. 6 kız ve erkek öğrenci bir sıra boyunca her iki kız arasına bir erkek öğrenci gelmek üzere, kaç farklı şekilde sıralanır? A) 6!.! B) 6!. 4! C) 6!.! D) 6!. 6! E) 6!. 7!. B. A. D 4. C
24 Permütasyon - V Örnek 4 doktor, mühendis, öğretmen yan yana duran dokuz farklı sandalyeye, a) mühendislerin tümü bir arada olmamak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler? b) Başta ve sonda birer öğretmen oturmak koşulu ile kaç farklı şekilde otururlar? b) Ö, D, D, D, D 4, M, M, M, Ö bunları sıralamalıyız 7 kişi 7! şekilde oturabilir. Öğretmenlerde kendi aralarında yer değiştirir,! şekilde otururlar. Buna göre, 7!.! farklı şekilde oturabilirler. c) M M M D D D D 4 Ö Ö a) c) Aynı meslekte olanlar birlikte ve mühendisler ortada olmak üzere, kaç farklı şekilde otururlar? Mühendislerin Yan f yana p = f p f Yan yana p Gelmemesi Tüm Durumlar Mühendislerin Gelmesi Doktorlar kendi aralarında 4! Mühendisler kendi aralarında! Öğretmenler kendi aralarında! Doktor ve öğretmenler kendi aralarında yer değiştirebilirler! Buna göre, 4!.!.!.! farklı şekilde otururlar. Tüm durumlar = D, D, D, D 4, M, M, M, Ö, Ö = 9 kişi, 9! şekilde sıralanır. Mühendislerin yan yana gelmesi; M M M D, D, D, D 4, Ö, Ö Mühendisler bir eleman olur = 7 kişi 7! şekilde sıralanır. Mühendisler kendi aralarında! şekilde sıralanır. Buna göre, 9! 7!.! farklı şekilde oturabilirler. TEST - 9. farklı matematik, farklı fizik kitabı, fizik kitapları başta, matematik kitapları sonda olacak şekilde kaç farklı biçimde dizilebilir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. Aralarında doktorun bulunduğu 6 kişilik bir grup yan yana fotoğraf çektirecektir. Doktorların üçünün yan yana gelmemesi koşulu ile bu grup kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilir? A) 76 B) 78 C) 80 D) 8 E) 84. " M İ L A S " kelimesinin harflerini yer değiştirerek elde edilecek anlamlı ya da anlamsız harfli kelimelerin kaç tanesi A ile başlar S ile biter? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 4. doktor ve 4 hemşire bir sıra boyunca her iki doktor arasına bir hemşire gelmek üzere, kaç farklı şekilde sıralanırlar? A) 4!.! B) 4!. 4! C)!.! D)!. 4! E)!.!. C. A. A 4. D 4
25 Permütasyon Karma Örnek Aralarında Büşra ve Duygu'nun bulunduğu 6 kişi düz bir sıraya Büşra, Duygu'nun daima sağında olmak üzere, kaç farklı şekilde otururlar? A) 4 B) 90 C) 80 D) 60 E) 70 Örnek A = {,,, 4,, 6 } kümesindeki elemanlar ile 6 basamaklı ve herhangi iki çift sayı yan yana gelmeyecek şekilde rakamları farklı kaç doğal sayı yazılır? A) 7 B) 78 C) 84 D) 90 E) 96 6 kişi 6! = 70 kadar farklı şekilde oturabilir. 70 dizilişin yarısında Büşra Duygu'nun sağında, diğer yarısında Duygu Büşra'nın solunda olur. Buna göre, 6! 70 = = 60 farklı şekilde oturabilirler. Cevap D Herhangi iki çift sayı yan yana gelmeyeceğine göre, herhangi iki tek sayı da yan yana gelemez. O halde, 6 basamaklı sayının rakamları tek sayı, çift sayı, tek sayı, çift sayı, şeklinde sıralanacaktır. Aynı şekilde çift sayı, tek sayı şeklinde de sıralanabileceğinden durum söz konusudur. T Ç T Ç T Ç ve Ç T Ç T Ç T tek sayı! ve çift sayı! şekilde sıralandığından her bir sıralama!.! kadardır. Tüm sıralama;.!.! kadardır. Cevap A Örnek A = {,,, 4,, 6, 7 } kümesindeki elemanlar ile,, 4 rakamları yan yana gelmek koşulu ile 6 basamaklı rakamları farklı kaç doğal sayı yazılabilir? A) 4!.! B) 4!. 4! C) 4!.! D) 4!. 6! E)!. 6! Örnek 4 7 kişilik bir öğrenci grubunda Nur ve Can'ın arasında daima öğrenci oturmak şartıyla bir sıra üzerinde bu 7 öğrenci kaç değişik şekilde oturabilir? A).! B) 0.! C). 6! D) 0. 6! E). 7!,, 4 rakamları yan yana geleceğinden bu üç sayı kendi aralarında! kadar fakat bu sayılar 4 ayrı yerde bulunacağından 4.! kadar sıralanır. Kalan 4 sayının farklı yerde sıralanması ise; P ( 4, ) = 4.. kadardır. Bu durumda,,, 4 rakamları yan yana gelmek şartı ile 6 basamaklı rakamları farklı sayılar: 4.!. 4! = 4!. 4! tanedir. Cevap B N C Nur ve Can şekildeki gibi N C farklı konumda yer alabilir. N C Nur ve Can kendi aralarında N C yer değiştirdiklerinde N C farklı durum daha oluşur. Her iki durumda da diğer kişi! kadar dizilebilir. O halde, 7 kişilik öğrenci grubu istenen şartlar sağlanacak şekilde 0.! farklı şekilde oturabilir. Cevap B
26 Dönel ( Dairesel ) Permütasyon - I Örnek Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etrafına a) kaç değişik şekilde oturabilirler? b) anne ve baba yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? c) anne ve baba yan yana olmamak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler? n tane elemanın bir çember üzerindeki farklı her bir dizilişine bu kümenin bir dönel ( dairesel ) permütasyonu denir. n n n sabit n olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin dönel permütasyonlarının sayısı; ( n )! dir. a) 6 kişi yuvarlak masa etrafına ( 6 )! =! = 0 farklı şekilde oturabilir. b) Ç AB Anne ve babayı kişi gibi düşünelim. Bu durumda çocuklar Ç Ç ve anne - baba kişi yuvarlak masa etrafına; Ç ( )! = 4! = 4 farklı şekille oturabilir. Ayrıca anne ve baba kendi aralarında! kadar farklı şekilde oturabilir. Buna göre, anne ve baba yan yana olması koşuluyla bu aile yuvarlak masa etrafına, 4!.! = 4. = 48 farklı şekilde oturabilir. c) Anne - babanın Tüm Anne - babanın fyan yana olmama p = fdurumlarp f yan yana olma p durumu durumu =! 4!.! = 0 48 = 7 olur. TEST - 0. kız ve erkekten oluşan bir grup yuvarlak masa etrafına kaç farklı şekilde oturabilir? A) 4! B)! C) 6! D) 7! E) 8!. Yıldız ve Necdet'in de aralarında bulunduğu kişilik bir grup, Yıldız ve Necdet yan yana olmak koşuluyla yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilir? A) B) 4 C) 4 D) 48 E) 60. erkek ve bayan öğretmen yuvarlak bir masada toplantı yapıyor. Bayan öğretmenler bir arada olmak koşuluyla kaç değişik şekilde oturabilirler? A) 4 B) 0 C) 6 D) 4 E) kişilik bir aile yuvarlak bir masada yemek yiyeceklerdir. En büyük kardeş ile ortanca kardeş yan yana gelmemek şartıyla kaç değişik şekilde oturabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. D. A. C 4. D 6
27 Dönel ( Dairesel ) Permütasyon - II Örnek 4 doktor, mühendis, öğretmen yuvarlak bir masa etrafındaki sandalyelere a) Mühendisler bir arada olmak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler? b) Aynı meslekte olanlar bir arada olmak üzere, kaç farklı şekilde otururlar? Ayrıca, Doktorlar kendi aralarında 4! Mühendisler kendi aralarında! Öğretmenler kendi aralarında! kadar farklı şekilde oturabilirler. Buna göre, istenen durum;!. 4!.!.! = 76 olur. a) Ö Ö D 4 D M M M D D Mühendislerin bir arada olmaları istendiği için, mühendisleri kişi gibi düşünelim. Bu durumda 7 kişi yuvarlak masa etrafına Örnek Anne baba ve 4 çocuktan oluşan 6 kişilik bir ailenin bütün bireyleri yuvarlak masa etrafına en küçük çocuk anne ve babanın arasında olacak şekilde kaç farklı şekilde oturabilirler? ( 7 )! = 6! kadar farklı şekilde oturabilirler. Ayrıca mühendisler kendi aralarında! değişik şekilde oturabilirler. Buna göre, mühendisler bir arada olmak üzere, herkes yuvarlak masa etrafına 6!.! kadar farklı şekilde oturabilir. b) Aynı meslekten Ö, Ö M M M olanları birer kişi sayarsak, D, D, D, D 4 kişi yuvarlak masa etrafına ( )! =! farklı şekilde otururlar. Ç A Ç 4 B En küçük çocuğu anne baba arasına yerleştirdiğimizde bunları bir eleman gibi düşünürsek yuvarlak masaya 4 Ç kişi ( 4 )! =! kadar farklı Ç şekilde oturabilirler. Ayrıca anne baba kendi aralarında yer değiştirebilirler. Onlarda! kadar farklı şekilde oturabilirler. Buna göre, istenen durum;!.! = 6. = olur. TEST -. 4 evli çift yuvarlak bir masa etrafında evli çiftler yan yana olmak koşulu ile kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 4 B) 48 C) 4 D) 96 E) 0. 4 öğretmen, 4 öğrenci yuvarlak masa etrafında iki öğretmen arasında bir öğrenci olmak üzere, kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 44 B) 0 C) 6 D) 6 E) 68. öğretmen, bir sınıf başkanı, ve aynı sınıftan öğrencinin katılacağı bir toplantıda yuvarlak masa etrafına sınıf başkanı iki öğretmenin arasında olacak biçimde kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) farklı anahtar, maskotsuz bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir? A) 6 B) 4 C) 48 D) 4 E) 60. D. A. C 4. E 7
28 Tekrarlı Permütasyon - I Örnek A K A R S U L A R kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız a) 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? b) R ile başlayıp K ile biten 9 harfli kaç farklı kelime yazılabilir? a) A K A R S U L A R kelimesindeki harfler \ A, A, A, [ R, R, U K, U S, U, U L tane tane tane tane tane tane 9! 9! = kadar farklı sözcük yazılır.!.!.!.!.!.!!.! Genel olarak sıralanmış n tane elemanın n tanesi birinci türden, n tanesi ikinci türden n r tanesi r. türden ve n + n + + n r = n ise bu n elemanın yerlerinin değiştirilmesiyle oluşan farklı sıralamaların sayısı, n n! f p = tanedir. n, n,, n ( n )! ( n )! ( n )! r r b) R K Buraya gerikalanharfler A, A, A, R, S, L, U, L Geriye kalan 7 harfin sıralanışı 7! 7! = kadar farklı sözcük yazılır.!.!.!.!.!! TEST -. "A R A B A" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız beş harfli kaç kelime yazılabilir? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 4. "KELEBEK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek E harfi ile başlayan yedi harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir? A) 0 B) 60 C) 80 D) 00 E) 0. "BERABER" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız yedi harfli kaç kelime yazılabilir? A) 70 B) 600 C) 60 D) 660 E) 690. "KELEBEK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek K harfi ile başlayıp K harfi ile biten yedi harfli anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabilir? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6. Özdeş 4 sarı, kırmızı boncuk bir ipe kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 0 B) 6 C) D) 8 E) "464" sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek birbirinden farklı 7 basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 8 B) 90 C) 9 D) 00 E) 0. E. C. B 4. C. A 6. E 8
29 Tekrarlı Permütasyon - II Örnek 0 0 sayısının rakamları kullanılarak 8 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 60 B) 400 C) 440 D) 480 E) 0 Verilen rakamlar kullanılarak 8 basamaklı sayı yazabilmemiz için " 0 " başa gelmemeli. 8! 7! = -!.!.!!.!... Tüm durumlar "0" başa gelme durumu = = 0 olur. Cevap E TEST sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek kaç tane 6 basamaklı sayı yazılabilir? A) 6 B) 40 C) 44 D) 4 E) sayısının rakamları kullanılarak 9 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 900 B) 90 C) 940 D) 960 E) sayısının rakamları yer değiştirilerek beş basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 4 B) 8 C) 0 D) E) sayısının rakamları yer değiştirilerek altı basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) B) 4 C) 7 D) 0 E). sayısındaki rakamları kullanılarak altı basamaklı rakamlarının yan yana olduğu kaç farklı sayı yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek ye tam bölünebilen altı basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) B) 6 C) 40 D) 44 E) 48. B. A. C 4. E. D 6. B 9
30 Tekrarlı Permütasyon - III Örnek A B Güney Doğu Yukarıdaki şekilde birbirini dik kesen sokaklar gösterilmiştir. A dan hareket edip B noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? A dan B ye en kısa yoldan gidecek bir kişi sokak güneye ( G ) ve 4 sokak doğuya ( D ) gitmelidir. GGDDDD, GDDDDG,, GDGDDDgibi Buna göre, 6! = farklı yolla gidebilir.!. 4! A dan C ye en kısa yoldan gitmek isteyen bir kişi önce A dan B ye en kısa yoldan daha sonra B den C ye en kısa yoldan gitmelidir. A dan B ye en kısa yoldan gidecek olan bir kişi; sokak doğuya ( D ) sokak güneye ( G ) gitmelidir. DGG,, gibi Buna göre, A dan B ye! = farklı yolla gidebilir. ( I )!.! B den C ye en kısa yoldan gidecek olan bir kişi; D ve G gitmelidir. Buna göre, B den C ye 4! = 4 farklı yolla gidilebilir. ( II )!.! Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, A dan hareket edip B ye uğrayarak C noktasına gidecek olan bir kimse; ( I ). ( II ) Örnek! 4! =. 4 = değişik yol izleyebilir.!.!!.! A B Yandaki şekilde birbirini dik kesen sokaklar gösterilmiştir. C A dan hareket edip B ye uğrayarak C noktasına en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol izleyebilir? TEST - 4. A Yandaki şekilde A dan B ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? B A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). A Yandaki şekilde A dan B C ye B noktasına uğramak koşulu ile en kısa yoldan kaç farklı şekilde C gidilebilir? A) B) C) 8 D) E) 4. D. A 0
31 Kombinasyon Kavramı - I Örnek A = {,, } kümesinin li kombinasyonlarını ve li permütasyonlarını yazınız. A = {,, } kümesinin li kombinasyonları ve li permütasyonları aşağıdaki gibidir, li Kombinasyon li Permütasyonları n, r N ve r n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinden herbirine A kümesinin r li kombinasyonu denir. r li kombinasyonlarının sayısı n n! C ( n, r ) c m = dir. r r!( n - r )! {, } {, } {, },,,,,, tane 6 tane KOMBİNASYON : SEÇMEK PERMÜTASYON : SEÇMEK + SIRALAMAK Örnek elemanlı bir kümenin elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? A) 6 B) 0 C) 4 D) 8 E)!!. 4.! f p = = =!( - )!!.!!.! = 0 olur. Cevap B TEST -. A = { a, b, c } kümesinin li kombinasyonlarını ve li permütasyonlarını yazınız.. 7 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? (). A = {,,, 4 } kümesinin elemanlı kombinasyonlarını yazınız elemanlı bir kümenin elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? (0)
32 Kombinasyon Kavramı - II Örnek n + f p = C ( n, ) + olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 n + f p = C ( n, ) + ( n + )! ( n - )! = +!.( n + - )!!.( n - - )! ( n + )! ( n - )! = +!.( n - )!!.( n - )! ( n + ). n.( n - )! ( n - ).( n - ).( n - )! = +.( n - )!.( n - )! n + n = n n n = n = 8 olur. Cevap B TEST - 6 n + n +.. f p = f p olduğuna göre, n kaçtır? n A) B) 4 C) D) 6 E) 7 4. C ( n, ) + C ( n, ) = 6 olduğuna göre, n kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. C ( n, ) + C ( n, ) = 8 olduğuna göre, n kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. C ( n, ) + C ( n, 0 ) = olduğuna göre, n kaçtır? 4. C( n, ) n A) B) 4 C) D) 6 E) 7 n. c m = C( n, ) olduğuna göre, n kaçtır? A) 9 B) 7 C) 6 D) E) C ( n, n ) = C ( n +, ) olduğuna göre, n kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E). B. B. D 4. C. A 6. D
33 Kombinasyonin Özellikleri - I Örnek n n c m = c m 8 - n 4 olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 n n c m = c m 8 - n 4 8 n = 4 veya n = 8 n + 4 n = 4 veya n = n = 6 olur = 0 olur. n n n n. c m =, c m =. c m n, n 0 n = c m = n n n c m = c m ise a = b veya n = a + b a b n n c m = c m r n - r Cevap E TEST - 7. n n c m = c m olduğuna göre, n kaçtır? 6 7 A) B) C) D) 4 E) 4. C ( n, 0 ) + C ( n, ) + C ( n, n ) = olduğuna göre, n kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7. f p + f p + f p toplamının değeri kaçtır? 0 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. n n c m = c m 7 - n olduğuna göre, n nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) n n. c m - c m = (, ) 0 n C n olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 6. n n c m + c m = olduğuna göre, n kaçtır? n - A) B) C) 4 D) E) 6. C. B. E 4. A. B 6. E
34 Kombinasyonin Özellikleri - II Örnek f p + f p + f p + f p + f p 4 6 işleminin sonucu kaçtır? Örnek f p + f p + f p + + f p toplamı kaçtır? 4 9 A) 498 B) 0 C) 06 D) E) A) f p B) f p C) f p D) f p E) f p n n n r - + r = + c m c m f p dir. r Buna göre, f p + f p + f p + f p + f p f p + f 4 p + f p + f 6 p 4 4 f p + f p = f p 4 4 f 8 8 p + f 6 p f p olur. 6 Cevap D n n n n c m + c m + c m + + c m = n 0 n f p + f p + f p + + f p = A f p + f p + f p + f p + + f p = A 9 9 f p + f p + A = A = A = 0 olur. 9 Cevap B TEST f p + f p + f p + f p 4 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? f p + f p + f p + + f p 4 8 işleminin sonucu kaçtır? A) f p B) f p C) f p D) f p E) f p 4 4 n n n c m + c m + f + p = f p A) 9 B) 4 C) 4 D) 4 E) f p + f p + f p + f p + f p + f p 0 4 olduğuna göre, n kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 A) 6 B) 0 C) 4 D) 8 E). E. C. E 4. B 4
35 Kombinasyon Problemleri - I Örnek Bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 7 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise bu küme kaç elemanlıdır? A) B) C) D) 4 E) Örnek 6 elemanlı bir kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 9 Kümenin eleman sayısı n olsun. 6 elemanlı bir kümenin en az iki elemanlı alt küme sayısı; f p + f p + f p + f p + f p dır elemanlı alt küme sayısı 7 elemanlı alt küme sayısı n c m 4 n c m 7 n n c m = c m n = = olur. 4 7 Cevap A f p + f p + f p + f p + + f p = istenilen f p + f p + + f p = - > f p + f ph 6 0 = 64 6 = 7 dir. Cevap D TEST elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme sayısı kaçtır? A) 40 B) 48 C) 6 D) 64 E) 7 4. elemanlı bir kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6. A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı 0 ise, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. 6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0. Bir kümenin üç elemanlı alt kümelerinin sayısı, iki elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6. C. B. B 4. E. A 6. D
36 Kombinasyon Problemleri - II Örnek A = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b elemanı bulunmaz, e elemanı bulunur? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 4 elemanlı alt kümeleri oluşturmak için A kümesinden b elemanını atalım ve e elemanını ise 4 elemanlı alt kümelerinin içine yerleştirelim. Bu durumda A kümesi { a, c, d, f, g } kümesine ve istenilen kümenin eleman ihtiyacı e düşecektir. Bu durumda, istenilen çözüm, elemanlı olan { a, c, d, f, g } kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısıdır.. 4.! f p = = 0 olur.!.! Cevap C TEST - 0. A = { a, b, c, d, e } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde d elemanı bulunmaz? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) 4. A = { 0,,,, 4,, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanı bulunmaz, 6 elemanı bulunur? A) 0 B) C) 0 D) 0 E). A = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde g ve h elemanları bulunmaz? A) 6 B) 0 C) D) 8 E) 0. A = { x : < x < 0, x Z } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ve 6 elemanları bulunur? A) 0 B) C) D) 6 E) 0. A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur? A) B) C) 6 D) 0 E) 6. A = {,, 4,, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 veya 7 elemanı bulunur? A) 0 B) 8 C) 4 D) E) 0. B. C. D 4. C. E 6. A 6
37 Kombinasyon Problemleri - III Örnek kız ve 4 erkek öğrenci arasından ü kız, si erkek olmak üzere, kişilik kaç farklı grup seçilir? A) 6 B) 4 C) 48 D) 4 E) 60 kız öğrenci arasından ü f p 4 4 erkek öğrenci arasından si f p kadar seçilir. 4 Burada, f p. f p =... = 0. 6 = 60 farklı grup seçilir. Cevap E TEST -. 8 öğrenci arasından 4 öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 0 B) C) 60 D) 6 E) kişilik bir gruptan biri, diğeri kişilik iki farklı takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) B) C) 7 D) 9 E). farklı defter arasından 0 defter kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 8 B) 6 C) 66 D) 70 E) doktor ve hemşire arasından doktor ve hemşireden oluşan 4 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 60 B) 66 C) 7 D) 78 E) kişilik bir sporcu grubunda 6 kişilik bir basketbol takımına girecek kişi belli ise takım kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 0 B) C) 40 D) 4 E) erkek ve 4 kız öğrenciden, erkek ve kız öğrenci kaç farklı şekilde yan yana oturabilir? A) f p. f p. 4! B) f p. f p.! C) f p. f p.! D) f p. f p. 4! 6 E) f p. f p.!. E. C. A 4. E. B 6. B 7
38 Kombinasyon Problemleri - IV Örnek 4 erkek ve kız arasından a) en az biri erkek olan kişilik kaç farklı komisyon kurulabilir? b) en çok bir kız bulunan kişilik kaç farklı komisyon kurulabilir? a) I. yol En az biri erkek olması istendiğinden kişilik komisyonda erkek, erkek, erkek olmalı. Buna göre, komisyonlar aşağıdaki gibi olur. EKK + EEK + EEE f p. f p+ f p. f p + f p = + + = 74 olur..... II. yol kişilik grupta en az bir erkek olması istendiğinden, kişilik tüm komisyon sayısından hiç erkek bulunmayan kişilik komisyonların sayısını çıkardığımızda, içinde en az bir erkek olan kişilik komisyonların sayısını buluruz. 4E + K = 9 kişi f p - f p = - = 84-0 = 74 olur..... Tümü Sadece kızlar b) En çok bir kız bulunan kişilik komisyonda ya hiç kız olmayacak ya da sadece bir kız olacak. Buna göre, EEE + KEE 4 4 f p + f p. f p = + = = 4 olur.... TEST -. kız ve 4 erkek öğrenci arasından en az biri erkek olan kişilik bir öğrenci grubu kaç farklı şekilde seçilebilir? A) B) 4 C) D) 6 E) 7. doktor ve 4 hemşire arasından kişilik bir ekip Van'a gönderilecektir. En çok bir hemşire bulunan kaç farklı ekip kurulabilir? A) 0 B) C) D) E) 4. 4 ü subay, si astsubay olan bir gruptan kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Ekipte en az bir subay bulunması gerektiğine göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 4. i doçent 4 ü asistan olan bir gruptan 4 kişilik bir ekip bir seminere katılacaktır. Ekipte en az bir doçent bulunması istenirse, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. B. D. E 4. A 8
39 Kombinasyon Problemleri - V Örnek Bir öğrenci bir sınavda 0 sorudan 7 sini cevaplamak zorundadır. a) öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçilebilir? b) ilk 4 sorudan sadece ünü cevaplamak şartıyla cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir? a) 4 0 0! f p = = = 0 farklı şekilde 7 7!.!.. seçilebilir. b) S S S S 4 S S 6 S 7 S 8 S 9 S İlk 4 sorudan ünü 4 6 f p. f p 4 Geriye kalan sorulardan, toplam 7 soru cevaplaması için 4 ünü seçmeli = = 4. = 60 farklı şekilde seçebilir TEST -. Bir öğrenci bir sınavda 8 sorudan ini cevaplamak zorundadır. Öğrenci cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir? A) 46 B) 48 C) D) 4 E) 6 4. Bir öğrenciden 7 soruluk bir sınavın 4 sorusunu cevaplaması isteniyor. İlk sorudan en az birini cevaplaması zorunluluğu olduğuna göre, bu öğrenci soruları kaç farklı şekilde cevaplayabilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. Bir öğrenci 7 soruluk bir sınavdan soruyu cevaplamak zorundadır. İlk sorudan sadece sini cevaplamak şartıyla cevaplayacağı soruları kaç farklı şekilde seçebilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. Gülcan ve Kübra'nın da aralarında bulunduğu 6 kişilik bir grup arasından kişilik bir müzik grubu oluşturacaktır. Kübra ve Gülcan birlikte olmaları durumunda gruba katılacaklarsa bu kişilik grup kaç değişik şekilde oluşturulabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. Kübra belirlediği 6 kurstan 4 tanesine gitmek istiyor. Bu kurslardan tanesi aynı saate denk geldiğine göre, Kübra kaç farklı seçim yapabilir? A) 9 B) 0 C) D) E) 6. 4 erkek ve 4 kız arasından belirli bir kız ve belirli bir erkeğin bulunduğu kız ve erkekten oluşan kaç farklı folklor grubu kurulabilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. E. D. A 4. E. B 6. D 9
40 Kombinasyon Problemleri - VI Örnek Herhangi üçü doğrusal olmayan 7 nokta en fazla a) kaç doğru oluşturur? b) kaç üçgen oluşturur? Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane n noktadan en çok c m tane doğru geçer. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan n tane n nokta ile en çok c m üçgen çizilir. a) b) f p = = tane doğru oluşur f p =.. = üçgen oluşur. TEST - 4. Herhangi üçü doğrusal olmayan farklı noktanın ikisinden geçen en fazla kaç doğru çizilebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 4. Şekilde verilen çember üzerindeki 6 noktadan en çok kaç tane doğru çizilir? A) 9 B) C) D) E) 7. Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 farklı noktadan köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4. Herhangi üçü doğrusal olmayan 9 noktadan biri A dır. Köşeleri bu noktalardan seçilen ve bir köşesi A noktası olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6. Bir çember üzerindeki nokta ile kaç farklı çokgen oluşturulabilir? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 6. Şekilde verilen çember üzerindeki 8 noktadan en çok kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 0 B) 6 C) 6 D) 68 E) 74. E. C. D 4. D. A 6. B 40
41 Kombinasyon Problemleri - VII Örnek A D E B F C G d d // d a) Şekildeki 7 noktadan kaç doğru geçer? b) Şekildeki 7 nokta ile, köşeleri bu noktalar d olan kaç üçgen oluşturulabilir? b) Üçgen oluşturmak için d üzerinde bir nokta ile d üzerinde iki nokta veya d üzerinde iki nokta ile d üzerinde bir nokta seçilmelidir. d f d de nokta d p + f de nokta d de nokta p de nokta 4 4 f p. f p + f p. f p = +.. = 8 + = 0 üçgen oluşturulabilir. a) d + d + d doğrusu üzerinde herhangi bir nokta f p. f p d doğrusu üzerinde herhangi bir nokta = + = 4 tane farklı doğru geçer. TEST -. d d d // d olmak üzere,. A B Şekildeki yarım çember üzerindeki 7 noktadan kaç doğru oluşur? Şekildeki 6 noktadan kaç doğru geçer? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). d d d // d olmak üzere, 4. d M d d doğrusu üzerinde nokta, d doğrusu üzerinde 4 nokta vardır. d doğrusu üzerindeki noktalardan biri M dir. Şekildeki nokta ile köşeleri bu noktalar olan kaç üçgen çizilebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 Bu noktalardan çizilen doğruların kaç tanesi M noktasından geçer? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8. D. D. A 4. B 4
42 Kombinasyon Problemleri - VIII Örnek I. yol Doğru üzerinde nokta Bir düzlemde bulunan 9 tane noktadan tanesi doğrusaldır. Geriye kalan 4 noktadan herhangi üçü doğrusal değildir. Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) 74 B) 78 C) 8 D) 86 E) 90 Çember üzerinde nokta Doğru üzerinde nokta Çember üzerinde nokta Çember üzerinde nokta f p. f p + f p. f p + f p II. yol Düzlemde 9 nokta 9 f p kadar üçgen belirtir. Ancak bunlardan tanesi doğrusal olduğundan f p kadar üçgen oluşmaz Buna göre, f p - f p = = 84 0 = 74 tane üçgen oluşur. Cevap A = = 74 tane üçgen oluşur. Cevap A TEST - 6. Bir çember üzerindeki 6 farklı nokta birleştirilerek kaç farklı doğru çizilebilir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. A D B C E F d. Bir düzlem üzerinde bulunan 8 noktadan 4 ü doğrusaldır. Geriye kalan 4 noktadan herhangi üçü doğrusal değildir. Köşeleri bu noktalar olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) 6 B) 40 C) 44 D) 48 E) Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F noktalarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir? A) 9 B) 0 C) D) E) 4. d d d ve d doğruları üzerinde toplam 6 tane nokta vardır. Köşeleri bu noktalardan üçü olan kaç farklı üçgen çizilebilir? A) B) C) 4 D) E) 6. A. E. B 4. D 4
TEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
Detaylı16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)
SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal
DetaylıPERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma
TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
DetaylıÖrnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,
PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.
DetaylıPermütasyon Kombinasyon Binom Olasılık
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A
Detaylı1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25
1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37
Detaylı( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
DetaylıSayma. Test - 1. Permütasyon. 1. Birbirinden farklı 3 sarı, 5 lacivert kalemin içinden 1 sarı veya 1 lacivert kalem kaç değişik şekilde seçilebilir?
.Ünite. Birbirinden farklı sarı, lacivert kalemin içinden sarı veya lacivert kalem kaç değişik şekilde seçilebilir? A) B) C) D) E) 0. Bir kitaplık rafında bulunan farklı fizik ve farklı kimya kitabı arasından,
DetaylıPERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)
PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)
Detaylı( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
Detaylı4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.
Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,
DetaylıCebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı
Detaylıkişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
Detaylı1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ
İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme
DetaylıPERMÜTASYON - KOMBİNASYON
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler
DetaylıKombinatorik {\} /\ Suhap SAHIN
Kombinatorik 0 {\} /\ Suhap SAHIN Kombinatorik Kombinatorik Permutasyon Kaç farklı sekilde sıralanır? Permutasyon n tane x tane P(n,x) = n! (n-x)! kaç farklı sekilde sıralanır? P n x Permutasyon 6 tane
DetaylıMateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
Detaylı10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim
DetaylıÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı
DetaylıTanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
DetaylıPERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1
ERMÜTASYON SAYMANIN TEMEL KURALI A) Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
Detaylı1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum
DetaylıOkul kantininde 6 değişik türde yemek vardır. İki değişik türlü yemek, yemek isteyen bir öğrenci kaç seçim yapabilir? A) 30 B) 15 C) 10 D) 6 E) 3
KOMBİNASYON ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU Okul kantininde 6 değişik türde yemek vardır. İki değişik türlü yemek, yemek isteyen bir öğrenci kaç seçim yapabilir? 8 yemekten 3'ü seçilecek. 8 8.7. 6 3 3..1 Cevap:
DetaylıAÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI
ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,
DetaylıLYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM)
LYS MATEMATÝK II Soru Çözüm Dersi Kitapçýðý 5 (MF-TM) Permütasyon Kombinasyon Binom Açýlýmý Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de
DetaylıÜnite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.
DetaylıPERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK
YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon
Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir.
DetaylıBasým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri
Detaylıtmoz.info ozeldersci.com 1 PERMÜTASYON Not Örnek 1.1 FAKTÖRİYEL Örnek Örnek Çözüm Çözüm
Tüm hakları yazarı Bora Arslantürk'e aittir. Kaynak belirtmek şartı ile tüm öğretmen ve öğrencilerimizin - 1 permütasyon kombinasyon olasılık kullanımına açıktır.007 yılı sonuna dek kaynak belirtmek şartı
DetaylıKPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin
DetaylıMATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ünite Kazanımları Sayma Permütasyon (Sıralama) (6 saat) Konu Kavrama (Kazanım 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)...
İÇİNDEKİLER VERİ, SAYMA VE OLASILIK (8 Saat) Ünite Kazanımları... 4 Sayma Permütasyon (Sıralama) (6 saat)... 7 Konu Kavrama (Kazanım,,, 4,, 6, 7, 8)... 8 Pekiştirme Testi... Tekrarlı Permütasyon (6 saat)...
DetaylıFikret ÇELENK & Merve ÇELENK
İLK SÖZ Herşeyin çok hızlı tüketildiği bir zamanda hayatımıza giren YENİ liklerin birçoğu daha anlaşılmadan tekno çöplüklere dönüşüyor. BİLGİ ise artık eskisi gibi değil, heryerde; zamandan ve mekandan
DetaylıEBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:
EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,
DetaylıTam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Akıllı Ödev 1
Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Akıllı Ödev 1 Öğrenci Adı Soyadı Sınıfı Ödev Teslim Tarihi Öğretmen Görüşü Soru 1 Aşağıda sayma pulları ile modellenen matematik işlemlerini bulunuz. Soru 2 Aşağıda
DetaylıYGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
Detaylıİl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.
Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince
DetaylıÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
Detaylı2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem
DetaylıTEMEL SAYMA. Bill Gates
Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;
Detaylı2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıTEST. Tam Sayılar 1. ( 36) : (+12).( 3) : ( 2) 3 + [( 6) ( 2)] işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 9 B) 1 C) 1 D) 9
Tam Sayılar 1. ( 6) : (+12).( ) 7. Sınıf Matematik Soru Bankası 5. 4 2 : () + [( 6) ()] TEST 1 A) 9 B) C) 1 D) 9 A) B) 4 C) D) 2. 6. Yukarıdaki sayı doğrusu üzerinde modellenen işlem aşağıdakilerden (
DetaylıÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni
DetaylıYarışma Sınavı A ) -5 B ) -3 C ) -1 D ) -8 E ) Ölçüsü olan bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?
MTEMTİK (TÜRKÇE) ÖĞRETMENİ 1 4 parabolüne teğet olur? -5-3 -1-8 -10 2 5 Ölçüsü - 3816 olan bir açının esas ölçüsü kaç derecedir? 6 124 114 134 144 154 denkleminin kaç farklı kökü vardır? 3 4 1 3 2 5 1
DetaylıCebir Notları. Permutasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
www.mustafayagci.com, 005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Matematikçiler üçe ayrılır: Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler Matematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
Detaylı4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA
4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
DetaylıİÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıCebir Notları Mustafa YAĞCI, Tekrarlı Permutasyon
www.mustafayagci.com.tr, 01 ebir Notları Mustafa ĞI, yagcimustafa@yahoo.com ekrarlı Permutasyon G eçen dersimizde n kişinin n! kadar değişik şekilde sıralanabileceğini öğrenmiştik. Şimdiyse bu n kişinin
DetaylıALES EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI. Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan. Eğitimde
ALES 2017 EŞİT AĞIRLIK VE SAYISAL ADAYLAR İÇİN ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Eğitimde 30. yıl Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve Sayısal Soru
DetaylıASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
DetaylıMatematik. Sayma ve Olasılık 1. FASİKÜL 10
Matematik 1. FASİKÜL 10 Sayma ve Olasılık 439 soru Kavram Yanılgıları Müfredat Dışı Konu Uyarıları Bilgi Teknolojileri Uyarlamaları PISA Tarzı Sorular ÖSYM Çıkmış Sınav Soruları Video Çözümler Teşekkürler
Detaylı2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıMATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DetaylıA GRUBU Her bir yüzü düzgün beşgen olan düzgün 12-yüzlünün kaç ayrıtı vardır? A) 30 B) 24 C) 12 D) 36 E) 48
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ 2. K 5 tam çizgesinin bir kenarı çıkarılarak elde edilen çizgenin köşe noktaları en az kaç renk ile boyanabilir? A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 İşaretlemelerinizde kurşun
Detaylıezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ SORU BANKASI KPSS 2018 eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl
ezberbozan MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2018 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30.yıl KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN: 978-605-241-121-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu
DetaylıMATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde
ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıMATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.
MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıBİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
DetaylıTABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
DetaylıBÖLÜNEBĐLME KURALLARI
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS - 2 2-2 1 1-1 1 kalanı bulmak için sağdan ve + ile başlamak gerekir BÖLÜNEBĐLME KURALLARI 2 Đle Bölünebilme: tüm çift sayılar, yani birler
Detaylı2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM
2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
Detaylıales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan
ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve
Detaylı5. BÖLÜM EKİ SAYMANIN TEMEL PRENSİPLERİ
5 ÖLÜM EKİ SYMNIN TEMEL PRENSİPLERİ elirli bir takım deneylerde olanaklı tüm sonuçları belirlemek için geliştirilmiş tekniklere kombinasyon analizi denir Örneğin iki farklı denemede 1 denemenin m 2 denemenin
DetaylıSONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,
Detaylı2000 Birinci Aşama Sınav Soruları
2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
Detaylı5. Ankara'dan İstanbul'a yolcu taşıyan 12 otobüs firması,
Permütasyon BÖLÜM Test. değişik matematik kitabı, değişik kimya kitabı, değişik biyoloji kitabı bir rafa sıralanacaktır.. Ankara'dan İstanbul'a yolcu taşıyan otobüs firması, İstanbul'dan Edirne'ye yolcu
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
DetaylıTEST-8. Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D)
TEST-8 Matematik Yarışmalarına Hazırlık 1 Yandaki at resminin bir bölümü silinmiştir. Aşağıdaki şekillerden hangisi bu resmi tamamlar? A) B) C) D) 2 Yandaki kareden çizgiler boyunca kesilerek çeşitli şekiller
DetaylıYGS MATEMAT K DENEME SINAVI
MATEMAT K DENEME SINAVI I Muharrem ŞAHİN muharrem49@gmail.com Maatteemaatti ikk Deeneemee Sınaavvı I Muhaarrrreem Şaahi in. 9 8 0 0 0 0 5 işleminin sonucu kaçtır? x x 3. 0, 0, 3 0, 0, olduğuna göre, x
DetaylıBÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR
BÖLÜNEBİLME ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 435a sayısı 2 ile tam bölünüyor fakat 4 ile tam bölünemiyor ise a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8
DetaylıŞEHİRDE GEZİNTİ. İlk kez 2001 yılı ÖSYS de sorulan bir soru tipini her yönü ile incelemeğe çalışalım.
ŞEHİRDE GEZİNTİ İlk kez 2001 yılı ÖSYS de sorulan bir soru tipini her yönü ile incelemeğe çalışalım. Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklarını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına
Detaylı12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
DetaylıSERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI
SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.
DetaylıÖrnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
Detaylı8.Sınıf MATEMATİK. Çarpanlar ve Katlar Konu Testi. Test sayısının tek bölenlerinin sayısı aşağıdakilerden
Çarpanlar ve Katlar Konu Testi MATEMATİK 8.Sınıf Test-01 1. I. 1, her sayının bölenidir. II. 2, asal bir çarpandır. III. Her sayı kendisinin bir çarpanıdır. IV. Bir sayının çarpanları, aynı zamanda o sayının
Detaylı1. Ünite - ÜTT. 1. Ünite. Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? Aşağıdakilerden hangisi 256 sayısına eşit değildir? 1 57 < < 3 4
. Ünite - ÜTT. Ünite. şağıdakilerden hangisi 6 sayısına eşit değildir?. şağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? < 6 < 3 = 6 3 > 3. ir postacı, her gün tane eve birer adet fatura bırakmaktadır.
DetaylıStarboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
DetaylıSERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI
SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)
DetaylıTemel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN
Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir
Detaylı