GENELLEŞTİRİLMİŞ FARK DİZİ UZAYLARI GENELLEŞTİRİLMİŞ İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIK

Transkript

1 T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ GENEEŞTİRİMİŞ FARK DİZİ UZAYARI VE GENEEŞTİRİMİŞ İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK Haa ŞİMŞİR YÜKSEK İSANS TEZİ MATEMATİK ANABİİM DAI DANIŞMAN Doç.Dr.Miail ET EAZIĞ 6 T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ

2 FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ GENEEŞTİRİMİŞ FARK DİZİ UZAYARI VE GENEEŞTİRİMİŞ İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK Haa ŞİMŞİR YÜKSEK İSANS TEZİ MATEMATİK ANABİİM DAI Bu tez.../.../6 tarihide aşağıda belirtile jüri taraıda oy birliği / oy çoluğu ile başarılı / başarısız olara değerlediriliştir. Daışa : Doç. Dr. Miail ET Üye : Pro. Dr. Riat ÇOAK Üye : Yrd.Doç. Dr. Mahut IŞIK ve Bu tezi abulü Fe Bilileri Estitüsü Yöeti Kurulu u.../.../... tarih... sayılı ararıyla oaylaıştır.

3 ÖZET Yüse isas Tezi GENEEŞTİRİMİŞ FARK DİZİ UZAYARI VE GENEEŞTİRİMİŞ İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK Haa ŞİMŞİR Fırat Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü Mateati Aabili Dalı 6 Saya: 3 V Bu çalışa beş bölüde oluşuştur. Birici bölüde; teel taı ve teoreler veriliştir. İici bölüde; istatistisel yaısalı istatistisel Cauchy dizisi Cesaro yaısalı ve uvvetli - Cesaro yaısalı iceleiştir. Üçücü bölüde; geelleştiriliş ar dizi uzayları iceleiştir. Dördücü bölüde; geelleştiriliş istatistisel yaısalı -istatistisel Cauchy dizisi ve - Cesaro yaısalı iceleiştir. ve Beşici bölüde; odülüs osiyoları yardııyla taılaa ar dizi uzayları -istatistisel yaısalı iceleiştir. ANAHTAR KEİMEER: İstatistisel Yaısalı Kuvvetli -Cesaro Yaısalı. 3

4 SUMMARY Masters Thesis GENERAIZED DIFFERENCE SEQUENCE SPACES AND GENERAIZED STATISTICA CONVERGENCE Haa ŞİMŞİR Fırat Uiversity Graduate School o Sciece Techology Deartet o Matheatics 6 Page: 3 V This study is reared as ive chater. I the irst chater; the udaetal deiitios ad theores are give. I the secod chater; statistical covergece statistical Cauchy seuece ad strog - Cesaro suable are eaied. I the third chater; geeralized dierece seuece saces are eaied. I the ourth chater; ad strog - statistical covergece - Cesaro suable are eaied. -statistical Cauchy seuece I the ith chater; Dierece seuece saces deied by usig a odulus uctio ad - statistical covergece are eaied. Key Words: Statistical covergece strog - Cesaro covergece. 4

5 TEŞEKKÜR Bu tezi hazırlaasıda ve düzeli bir şeilde yürütüleside gereli bütü ialarıı sağlayara baa yardıcı ola her zaa yaı ilgi ve ialarıı esirgeeye değerli hoca Doç.Dr. Miail ET e iet ve şüralarıı suarı ayrıca bu çalışaı oluşuuda desteğii gördüğü değerli hocaları Arş. Gör. Dr. Yavuz ATIN a ve Arş. Gör. Hısı ATINOK a teşeür ederi. Haa ŞİMŞİR 5

6 . BÖÜM TEME TANIM VE TEOREMER.. Teel Taı ve Teoreler Taı.. : X φ ve K reel veya oles sayılar cisi olsu. : X X X ve. : K X X osiyoları aşağıdai özellileri sağlıyorsa X cülesie K cisi üzeride bir vetör uzayı lieer uzay adı verilir. y z X ve λ µ K içi y y y z y z 3 θ olaca şeilde θ X vardır. 4 X içi - θ dır λ. y λ. λ.y 7 λ µ. λ. µ. 8 λ. µ. λ.µ. dır []. Taı.. : X K cisi üzeride bir lieer uzay olsu.. : X IR osiyou aşağıdai özellileri sağlıyorsa. osiyoua X üzeride bir or ve X. çitie de bir orlu uzay deir. y X ve α K içi N N N3 α α. N4 y y dir [] 6

7 Taı..3 : X K cisi üzeride bir lieer uzay olsu.. : X IR osiyou aşağıdai özellileri sağlıyorsa. osiyoua X üzeride bir yarı-or ve X. çitie de bir yarı-orlu uzay deir. y X ve α K içi N N N3 α α. N4 y y dir []. Taı..4 : X. bir orlu uzay ve de X uzayıda bir dizi olsu. Eğer > içi > ie < olaca şeilde bir IN sayısı varsa dizisie bir Cauchy dizisi deir []. Taı..5 : X. bir orlu uzay ve de X uzayıda bir dizi olsu. Eğer > içi > ie < olaca şeilde bir IN sayısı varsa dizisi e yaısatır deir []. dizisi e li veya şelide yazılır. yaısa ise Taı..6: X. orlu uzayıda her Cauchy dizisi yaısa ise bu orlu uzaya ta orlu uzay veya Baach uzayı deir []. Teore.. : Bir X Baach uzayıı bir Y alt uzayıı ta olası içi gere ve yeter şart; Y uzayıı X uzayıda aalı olasıdır []. Bu çalışada oles terili tü 3 dizilerii cülesii w ile göstereceğiz. w ; y y ve α bir saler ola üzere y y ve α α 7

8 şelide taılaa işleler ile bir lieer uzaydır. Bu çalışada sı sı ullaacağıız sıırlı diziler uzayı yaısa diziler uzayı ve sıır diziler uzayı oru ile bir Baach uzayıdır. l { : su < } c { : evcut } li c { : li } su Taı..7 : X bir dizi uzayı olsu. X bir Baach uzayı ve T : X C T... döüşüü süreli ise X uzayıa BK uzayı deir [3]. Taı..8 : X w bir dizi uzayı olsu. y y X ola üzere. y y X oluyorsa ; yai X otasal çara işleie göre aalı ise X uzayıa dizi cebiri deir [4]. Taı..9 : a b IR ve I N ola üzere r r r r a b a b a a b a b... b iadesie ii terilii açılıı veya bio açılıı deir. Taı.. : Bir odülüs osiyou aşağıdai özellileri sağlaya [ aralığıda [ aralığıa taılı bir osiyodur. i ii y y iii arta bir osiyo iv osiyou otasıda sağda süreli [5]. 8

9 Yuarıdai özellilerde bir odülüs osiyouu [ aralığıda süreli olduğu alaşılır. Bir odülüs osiyou sıırlı veya sıırsız olabilir. I.J.Maddo [6] ve W.H.Rucle [7] bir odülüs osiyouu bazı dizi uzaylarıı oluştura içi ullaıştır. Daha soraları bir odülüs osiyou yardııyla taılaa dizi uzayları Bilgi [8] Öztür ve Bilgi [9] taraıda veriliştir. Taı.. : E ola üzere eğer IN içi α şartıı sağlaya tü α α salar dizileri içi α E ise E dizi uzayıa solid oral deir [4]. Taı.. : Eğer Π IN i bir erütasyou ola üzere E Π geretirirse E dizi uzayıa sietri deir [4]. Teore.. : oziti reel sayıları bir dizisi < su H H C a a C ve IN ola üzere dir []. b i i i { a b } a b C E yi 9

10 .. İstatistisel Yaısalı. BÖÜM İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK İstatistisel yaısalı avraı e az 93 te beri arlı görüüşler altıda literatürde yer alatadır. O zaada beri Fourier aaliz teoriside ergodic teoride ve sayılar teoriside ullaılıştır. İstatistisel yaısalı taıı il olara 95 yılıda Fast [] taraıda ısa bir ot olara verildi. 959 yılıda Schoeberg [] istatistisel yaısalığı tolaabile etodu olara iceledi ve istatistisel yaısalığı bazı teel özellilerii verdi. Her ii ateatiçi de sıırlı istatisel yaısa bir dizii Cesaro tolaabilir olduğuu gösterdiler. Daha sora istatistisel yaısalı Kol [] Fridy [3] Salat [4] Coor [5] Maddo [6] taraıda çalışıldı. Taı.. : Poziti tasayılarda oluşa bir K cülesii doğal yoğuluğu δ K li : şelide taılaır Burada { K } elealarıı sayısıı gösteretedir [7]. Eğer { K } : K cülesii de büyü olaya δ K li { : K } ise K cülesie sıır yoğululu cüle deir. Sıır yoğululu cüle taııda esileere istatistisel yaısa dizi taıı aşağıdai şeilde verilebilir: Taı.. : oles sayıları bir dizisi olsu. Eğer > içi li { : } olaca şeilde bir sayısı varsa dizisi sayısıa istatistisel yaısatır deir [3]. dizisi sayısıa istatistisel yaısa ise S- li veya S yazılır. İstatistisel yaısa dizileri uzayı ile gösterilir. S : li { : }

11 olası halide dizisie sııra istatistisel yaısa dizi deir. dizisi sııra istatistisel yaısa ise S - li veya S yazılır. Sııra istatistisel yaısa dizileri uzayı S : li { : } ile gösterilir. Souç.. : Yaısa her dizi istatistisel yaısatır. Faat tersi doğru değildir. Gerçete; şelide taılaa dizisii göz öüe alalı. Her > içi olduğuda { : } { : } li { : } li elde edilir. Bu S - li deetir. Faat bu dizi yaısa değildir. Souç.. : l ve S uzayları birbirlerii asaazlar aca orta eleaları vardır. Gerçete; şelide taılaa dizisi içi S- li dir aca dizisi sıırlıdır. Faat istatistisel yaısa değildir. l dur. Souç..3 : S - li S - li dir. Teore.. : i α IR ve S - li ise S- li α α ii S - li S - li y ise S li y dir [4].

12 Taı..3 : oles sayıları bir dizisi olsu. Eğer > içi li N { : } olaca şeilde bir N N sayısı varsa dizisie istatistisel Cauchy dizisi deir [3]. Teore.. : Bir dizisi istatistisel yaısa ise istatistisel Cauchy dizisidir [3]. İsat : > ve S- li olsu. Bu tatirde h.h.. içi dir. Eğer N olaca şeilde seçilirse h.h.. içi N < < N N N < elde edilir... İstatistisel Yaısalı ve Cesaro Yaısalı Arasıdai İlişi Taı.. : oles sayıları bir dizisi olsu. Eğer li olaca şeilde bir sayısı varsa dizisi sayısıa Cesaro yaısatır deir [8]. dizisi sayısıa Cesaro yaısa ise σ - li veya σ yazılır. Cesaro yaısa dizileri uzayı σ :li e az bir içi ile gösterilir.

13 Teore.. : dizisi sayısıa yaısa ise dizisi sayısıa Cesaro yaısatır [8]. İsat: > olsu N içi < olaca şeilde oziti bir N tasayısı evcuttur. Bu tatirde N içi... N N < olaca şeilde bir oziti N tasayısı evcuttur. a{ N N } ise N olsu. Eğer N < N N < N olur. Teorei tersi doğru değildir. Gerçete dizisi Cesaro yaısatır aca yaısa değildir. Teore.. : S - li ve IN içi < M ise σ - li dır []. İsat: Geelliği bozasızı abul edebiliriz. σ - li ve dizisi sıırlı olsu. Bu tatirde < < < { : } M 3

14 yazabiliriz. { : } li olduğuda li elde edilir. Bu da isatı taalar. Teorei arşıtı doğru değildir. Gerçete şelide taılaa dizii ariteti ortalaası ye yaısatır. Faat bu dizi istatistisel yaısa değildir..3. İstatistisel Yaısalı ve Kuvvetli Cesaro Yaısalı Arasıdai İlişi Taı.3. : oles terili bir dizi ve > reel bir sayı olsu. Eğer li olaca şeilde bir sayısı varsa dizisi sayısıa uvvetli -Cesaro yaısatır deir []. dizisi sayısıa uvvetli -Cesaro yaısa ise w - li veya w yazılır. Kuvvetli -Cesaro yaısa dizileri uzayı w : li P e az bir içi ile gösterilir. Teore.3.: IR ve < < olsu. Bir dizisi sayısıa uvvetli -Cesaro yaısa ise sayısıa istatistisel yaısatır. Sıırlı bir dizisi sayısıa istatistisel yaısa ise sayısıa uvvetli -Cesaro yaısatır [5]. İsat : w ve > olsu. Bu tatirde ; { : } elde edilir. Bu S - li deetir. 4

15 5 Sıırlı bir dizisi sayısıa istatistisel yaısa olsu ve K diyeli verilsi. N > içi N u K : < olaca şeilde seçeli ve : diyeli. Bu tatirde N > içi < K K elde edilir. Burada dizisi sayısıa uvvetli -Cesaro yaısatır.

16 3. BÖÜM GENEEŞTİRİMİŞ FARK DİZİ UZAYARI 3.. l c ve c Dizi Uzayları Taı 3.. : l c ve c dizi uzaylarıı birço tooloji özellileri bilietedir. reel veya oles terili herhagi bir dizi ola üzere şelide taılaa - oeratörü lieer oeratördür. l c ve c dizi uzayları Kızaz [9] taraıda l { : l } c { : c } c { : c } şelide taıladı. Kızaz [9] l c ve c dizi uzaylarıı bazı özellilerii iceledi. Daha sora l c ve c dizi uzayları Et ve Çola [] taraıda; bir oziti ta sayı ve ola üzere v v v v dizi uzaylarıa geişletildi. l { : l} c { : c} c { : c} Teore 3.. : l c ve c dizi uzayları aşiar olara birer lieer uzaydır []. Teore 3.. : c ve c dizi uzayları l dizi uzayıı aalı bir alt uzayıdır []. 6

17 Teore 3..3 : c c ve c c dır. c c ve c c dir. 3 l l ve l l dur []. İsat : c olsu. Bu tatirde içi dır. olduğuda c dır. dir. c c olduğuu bir örele göstereli : dizisii seçeli. Bu duruda IN içi ve! İsatı tüevarıı iici resibi gereğice yaalı: a içi dır. içi ve - içi ve IN içi olsu. içi olduğuu göstereceğiz: b içi! dir. içi ve -.! - içi ve IN içi! olsu. içi ve! olduğuu göstereceğiz: 7

18 ... [! ]! O halde c - c Burada dır. c olsu. Bu tatirde e az bir l içi l dir. l l olur i bu c c deetir. O halde c dir. c c olduğuu bir örele göstereli: dizisii seçeli. Bu duruda IN içi! ve! dir. a içi! dir. Gerçete de içi! c c dir. dir. O halde b içi! dir. 8

19 9 içi ve! içi ve IN içi! olsu. içi ve! olduğuu göstereceğiz:... 3!!!!!! olu c c dir. 3 l olsu. Bu tatirde IN içi K olaca şeilde e az bir K > vardır. Böylece IN içi K ve burada l elde edilir. l l olduğuu bir örele göstereli : dizisii seçeli. Bu duruda IN içi! ve! dir. l l dir.

20 a içi! dir. Gerçete de içi! dir. O halde l l dir. b içi! dir. Gerçete de içi! dir. O halde l l Teore 3..4 : dir. c c ve c c c l ve c l dur []. İsat : c olsu. Bu tatirde c c olu c dir. c c olduğuu göstereli: seçerse.! dir. Gerçete Teore 3..3 de içi.! c olduğuda c c dir. c dir. Böylece c olsu. Bu tatirde c l olu l dur. c l olduğuu göstereli: seçerse dir. Gerçete içi içi olur.. olsu. içi. olduğuu göstereceğiz.

21 [ ] elde edilir. Souç 3.. : l c ve c dizi uzayları birer dizi cebiri olduları halde l c ve c dizi uzayları birer dizi cebiri değildir. İsat: l c ve c dizi uzaylarıı birer dizi cebiri olduları bilietedir. l c ve c dizi uzaylarıı birer dizi cebiri oladılarıı birer örele göstereli: ve y y dizilerii seçeli. y c halde c ; yai. y c dır. ve y y dizilerii seçeli. y c olduğu olduğu halde c ; yai. y c dir. ve y y dizilerii seçeli. y l olduğu halde l ; yai. y l dur. Şidi l c ve c dizi uzayları yerie daha geel bir X dizi uzayı alara X dizi uzayıı taılayalı ve X uzayı ile X dizi uzayı arasıdai ilişileri ve X dizi uzayıı bazı tooloji özellilerii vereli: X herhagi bir dizi uzayı ve IN olsu. X dizi uzayıı şelide taılayalı. { X } X :

22 Teore 3..5 : X bir lieer uzay ise X dizi uzayı da bir lieer uzaydır []. İsat : i X ve y X ise X ve y X dir. X lieer uzay olduğuda y X ve - oeratörü lieer olduğuda y X yazılabilir. Burada y X elde edilir. ii X ve α bir saler olsu. Bu tatirde X dir. X lieer uzay olduğuda α X ve - oeratörü lieer olduğuda α X yazılabilir. Burada α X elde edilir. Teore 3..6 : X dizi uzayı i i oru ile bir orlu uzaydır []. İsat : N i i N i i olsu. Bu tatirde... ve IN içi... olduğuda IN içi elde edilir i burada θ buluur. Tersie θ olası halide olduğu aşiardır.

23 N 3 v i α su α v i v v α i su i v v v v α N 4 y y i i i y i i i y i y y Teore 3..7: X. oru ile bir Baach uzayı ise X dizi uzayı i i oru ile Baach uzaydır []. Teore 3..8 : X. oru ile bir BK - uzayı ise X dizi uzayı i i oru ile bir BK uzayıdır []. İsat : X. oru ile bir Baach uzayı olduğuda ve IN içi BK - uzayıdır. Teore 3..9 : olası geretiğide X dizi uzayı bir X Y ise X Y dir []. Teore 3.. : X herhagi bir dizi uzayı ola üzere < ise X X dir []. 3

24 BÖÜM GENEEŞTİRİMİŞ İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK - İstatistisel Yaısalı Taı 4.. : oles sayıları bir dizisi olsu. Eğer > içi { : } li olaca şeilde bir sayısı varsa dizisi sayısıa deir []. veya S yazılır. ile gösterilir dizisi sayısıa - istatistisel yaısatır - istatistisel yaısa ise S - istatistisel yaısa dizileri uzayı S : li { : } - li olası halide dizisie sııra - istatistisel yaısa dizi deir. dizisi sııra - istatistisel yaısa ise S - li veya S yazılır. Sııra istatistisel yaısa dizileri uzayı S : li { : } ile gösterilir. Teore 4.. : S lieer uzaydır [] İstatistisel Yaısalı ve - Cesaro Yaısalı Arasıdai İlişi Taı 4.. : oles terili bir dizi ve > reel bir sayı olsu. Eğer li olaca şeilde bir sayısı varsa dizisi sayısıa uvvetli - Cesaro yaısatır deir []. dizisi sayısıa uvvetli - Cesaro yaısa ise w - li veya w yazılır. Kuvvetli - Cesaro yaısa dizileri uzayı 4

25 5 içi bir az e w li : ile gösterilir. Teore 4.. : < < R olsu. i S ise w dir. ii w ise S ve l dir []. İsat : i > ve w olsu. Bu tatirde { } : elde edilir. w olduğuda S dir. ii S olsu. l olduğuda M yazabiliriz. verilsi. N sayısıı M : olaca şeilde seçeli ve : diyeli. Bu tatirde N > içi < M M elde edilir. Böylece w olur.

26 Taı 4.. : w olsu. Eğer > içi { : } li N olaca şeilde bir N N sayısı varsa dizisie deir. - istatistisel Cauchy dizisi Teore 4.. : Eğer dizisi - istatistisel Cauchy dizisidir []. - istatistisel yaısa ise dizisi İsat : Kabul edeli i S ve > olsu. Bu tatirde h.h.. içi < yazabiliriz. N sayısıı h.h.. içi N < olaca şeilde seçeli. Bu tatirde h.h.. içi N < N < olur. Burada dizisi - istatistisel Cauchy dizisidir. Teore 4..3 : i c S ve bu asaa esidir. ii S ve l birbirlerii asaazlar aca orta eleaları vardır. iii S ve l birbirlerii asaazlar aca orta eleaları vardır. iv S ve c birbirlerii asaazlar aca orta eleaları vardır. v S ve l birbirlerii asaazlar aca orta eleaları vardır. []. 6

27 İsat : i c S olduğuda c S dir. Şidi şelide seçeli. Bu tatirde S aat c dir. c S c c c l c S c l ve c c φ olduğuda S ile l S ile l S ile S S ile c ve S ile l vardır. Şidi bu uzayları birbirlerii asaadılarıı göstereli. dizi uzaylarıı orta eleaları ii Yuarıda taılaa diziyi gözöüe alalı. S ; aat l dir. seçerse ve l ; aat S dir. iii i de taılaa dizi sıırlı değildir. Aca istatistisel yaısatır. Tersie l seçerse S dir. iv şelide taılaa dizisi bu şıı şartıı sağlar. v dizisii olara taılayalı. S dir aca l dir. Tersie olara alıırsa l dir. Faat S dir. 7

28 5. BÖÜM İSTATİSTİKSE YAKINSAKIK Bu bölüde bir odülüs osiyou geelleştiriliş ar oaratörü bir yarı-or ullaara yei biraç dizi uzayı taılayacağız ve bu dizi uzaylarıı bazı tooloji özellilerii vereceğiz. Ayrıca bu uzaylar arasıda biraç asaa bağıtısıı iceleyeceğiz. 5.. Modülüs Fosiyoları Yardııyla Taılaa Far Dizi Uzayları Taı 5.. : bir odülüs osiyou X loal oves bir Hausdor uzay de oziti reel sayıları bir dizisi olsu. wx X üzeride taılı tü dizileri uzayıı göstersi. Aşağıdai dizi uzaylarıı taılayalı: w w X : [ ] [ ] w w X : w w X : su [ ] < ise w w ve w dizi uzaylarıı sırasıyla w w ve w ile göstereceğiz []. Teore 5.. : dizisi sıırlı olsu. Bu duruda w w ve w dizi uzayları lieer uzaydır []. İsat : İsatı w dizi uzayı içi yaalı. Diğerleri bezer şeilde yaılabilir. şeilde y w olsu. λ µ C içi λ M λ ve µ N µ olaca M λ ve N µ evcuttur. alt tolasal bir yarı-or ve olduğuda eşitsizliği ullaılırsa - oeratörü lieer 8

29 [ λ µ y ] [ λ µ y ] M H [ ] C N [ y ] H C λ µ elde edilir. Bu w dizi uzayıı bir lieer uzay olduğuu gösterir. Teore 5.. : odülüs osiyolar ve < h i H < su olsu. Bu duruda i w w o dur. []. İsat : ii w w w i w olsu. > ve t δ içi t < olaca şeilde < δ < şartıı sağlaya δ sayısıı seçeli. y yazalı ve [ y ] [ y ] [ y ] iadesii göz öüe alalı. Burada il tola y δ iici tola ise y > δ üzeridedir. osiyou süreli olduğuda [ y ] < a h H yazabiliriz. y > δ içi y y < δ < y δ gerçeğii ullaara osiyouu taııda y > δ içi y y y δ δ 9

30 elde edilir. Böylece δ [ ] a y [ y ] H olur. Burada w w o elde edilir. ii w w ullaırsa w elde ederiz. Böylece w w olsu. Bu tatirde eşitsizliğii w olur. Aşağıdai soucu isatı yuarıdai teorei isatıyla bezerdir. Bu yüzde isatsız olara veriyoruz: Souç 5.. : odülüs osiyoları olsu. Bu tatirde i w w o ii w w w iii w w o iv w w w dur []. Teore 5..3 : olsu. Bu duruda aşağıdai asaalar esidir. i w w ii w w iii w w []. İsat : İsatı i içi yaalı. Diğerleri bezer şeilde isatlaabilir. w olsu. Bu tatirde edilir. ve osiyolarıı taııda elde 3

31 yazılabilir. Bu da isatı taalar. i Geelde i 3 - içi w w dur ve asaa esidir. Kasaaı esi olduğuu göstere içi aşağıdai öreği göz öüe alalı: Öre 5.. : X C ve olsu. dizisii düşüeli. IN içi! olduğuda w dir. Faat w dur. Teore 5..4 : Poziti reel sayıları herhagi ii ve t dizileri ve herhagi yarı-orları içi i w w t φ ii w w t φ iii w w t φ dir []. İsat : Sıır eleaı yuarıdai her bir dizi sıııa ait olduğuda boş değildir. Öere 5.. : bir odülüs osiyou olsu. Bu duruda i w ii w w w iii w w dur []. İsat : Teore 5.. i i şııda alıırsa souç elde edilir. 3

32 Teore 5..5 :< dur []. < r ve r sıırlı olsu.bu duruda w r w İsat : w r olsu. IN içi λ ola üzere < λ λ r r w olaca şeilde bir λ sayısı seçeli. [ ] dizilerii aşağıdai gibi taılayalı: diyeli u ve v w içi u w v ve w < içi u v w olsu. Bu tatirde IN içi λ λ λ λ w u v w u v u u w ve v λ λ v elde edilir. Bu edele λ w dir. Böylece w olur. w v Teore 5..6 : içi w w ve w dizi uzayları oral değildir []. İsat : w w ve w dizi uzaylarıı oral oladılarıı göstere içi aşağıdai öreleri göz öüe alalı: Öre 5.. : ve IN içi seçeli. Bu tatirde dizisi w ve w dizi uzaylarıa aittir. α olsu. Bu duruda α dizisi w ve w dizi uzaylarıa ait olaaz. Öre 5..3 : ve yi Öre 5.. dei gibi seçeli. dizisii ele alalı. Bu tatirde w dır. α olsu. Bu duruda α w dır. Teore 5..7 : w ve w dizi uzayları sietri değildir []. İsat : w ve w dizi uzaylarıı sietri oladılarıı göstere içi aşağıdai öreği göz öüe alalı: 3

33 Öre 5..4 : ve Öre 5.. dei gibi olsu. Bu duruda dizisi w ve w dizi uzaylarıa aittir. y y dizisi dizisii y y... şelide yeide düzeleişi olsu. Bu duruda y y dizisi w ve w dizi uzaylarıa ait değildir. Uyarı 5.. : içi w. dizi uzayı sietri değildir. 5.. İstatistisel Yaısalı Bu ısıda yarı-oru ve yaısalığı taılayacağız. - oeratörü ullaılara - istatistisel Taı 5.. : bir yarı-or olsu. Herhagi bir > içi { : } li olaca şeilde bir sayısı varsa dizisie sayısıa - istatistisel yaısa dizi deir []. dizisi sayısıa - istatistisel yaısa ise S li veya S yazılır. istatistisel yaısa dizileri uzayı S : li : { } ile gösterilir. Aşağıdai üç teorede < h i su H < şartıı sağladığıı abul edeceğiz. Teore 5.. : bir odülüs osiyou olsu. Bu duruda w. S dur []. İsat : w olsu. > alalı ile 33

34 34 olaca şeilde üzeride tolaı ve ile de < olaca şeilde üzeride tolaı göstereli. Bu duruda [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i H h { } [ ] [ ] H h i : elde edilir. Bu da S olduğuu gösterir. Teore 5.. : osiyou sıırlı olsu. Bu duruda w S dur []. İsat : Kabul edeli i osiyou sıırlı Q ve > olsu. ve Teore 5.. dei gibi olsu. Bu duruda osiyou sıırlı olduğuda içi < K olaca şeilde bir K > sayısı evcuttur. Bu tatirde [ ] [ ] [ ] [ ] H h K K a { } H h H h K K a : a elde edilir. Bu da w olduğuu gösterir.

35 Teore 5..3 : S w olası içi gere ve yeter şart; osiyouu sıırlı olasıdır []. İsat : Teore 5.. ve Teore 5.. de S w elde edilir. Tersie abul edeli i S w ve osiyou sıırlı olası. Bu tatirde t evcuttur. Eğer 3... olaca şeilde oziti sayıları arta bir dizisi t şelide seçilirse { : } elde edilir. Böylece S aat ve X C içi w dur. Gerçete ; ve X C olsu. Bu tatirde dir t t... t... t t5 s olsu. Bu duruda t olu 3... s 6 olur. s dizisii s alt dizisi sıırlı değildir. Bu edele s w ve böylece s w elde edilir. Bu S w olası ile çelişir. 35

36 KAYNAKAR Maddo I. J. 97 Eleets o Fuctioal Aalysis Cabridge Uiversity Pres.odo. Kreyszig E. 978 Itroductory Fuctioal Aalysis with Alicatios Joh Wiley & Sos New Yor. 3 Goes G. ve Goes S. 97 Seueces o houded variatio ad seueces o Fourier coeiciets Math. Z Kata P.K. ve Guta M. 98 Seuece Saces ad Series Marcel Deer Ic. New Yor. 5 Naao H. 953 Covace odulars J. Math. Soc. Jaa Maddo I.J. 986 Seuece saces deıed by a odulus Math. Proc. Cab. Phıl. Soc Rucle W.H. 973 FK Saces i whıch the seuece o coordiate vectors is bouded Caad. J. Math Bilgi T. 994 The seuece sace l s o seıored saces Bull. Calcutta Math. Soc Öztür E. ve Bilgi T. 994 Strogly suable seuece saces deıed by a odulus Idia J. Pure Al. Math Fast H. 95 Surla covergece statistiue Collo Math Schoeberg I.J. 959 The itegrability o certai uctios ad related suability ethods Aer. Math. Mothly Kol E. 99 The statistical covergece i Baach saces Acta et Coetatıoes Uiv. Tartuesıs Fridy J.A. 985 O statistical covergece Aalysis

37 4 Salat T. 98 O statistically coverget seueces o reel ubers Math. Slovaca Coor J.S. 988 The statistical ad strog -Cesaro covergece o seueces Aalysis Maddo I.J. 988 Statistical covergece i a locally cove sace Math. Proc. Cab. Phıl. Soc Nive I. ve Zucera H.S. 96 A Itroductio to the Theory o Nubers Joh Wiley & Sos New Yor. 8 Powell R.E. ve Shah S.M. 97 Suability Theory ad its Alicatios V.N.R. Coay odo. 9 Kızaz H. 98 O certai seuece saces Caad. Math. Bull Et M. ve Çola R. 995 O soe geeralized dierece seuece saces Soochow J. Math Et M. ve Nuray F statistical covergece Idia J. Pure Al. Math. 3 AltıY. ve Et M. 5 Geeralized dierece seuece saces deied by a odulus uctıo i a locally cove sace Soochow J. Math

38 ÖZGEÇMİŞ 979 yılıda İstabul da doğdu. İloulu babaı esleği edeiyle değişi illerde taaladı. Ortaoulu ve liseyi Sasu da bitirdi. 997 yılıda Fırat Üiversitesi Fe- Edebiyat Faültesi Mateati Bölüü ü azadı. yılıda ezu oldu. Ayı yıl Elazığ ilide Özel Aadei Dershaesi de bir yıl ateati öğretei olara çalıştı. yılıda Isarta da vatai görevii yatı. 3 yılıda Elazığ ilide Özel Eol Dershaesi de bir yıl ateati öğretei olara çalıştı. Ayı yıl Fırat Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü ü açış olduğu Mateati Aa Bili Dalı ı Fosiyoel Aaliz rograıda tezli yüse lisasa başladı. 4 yılıda Sasu Fial Dergisi Dershaesi de çalışaya başladı ve hale burada çalışatayı. Haa ŞİMŞİR 38