ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇKOVA ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Merve BENLİCE YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ VE YAIGPLA MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 204

2 ÇKOVA ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ VE YAIGPLA Merve BENLİCE YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu tez../../... tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oy birliği / oyçokluğu ile kabul edilmiştir... Prof. Dr. Hayrullah AYIK Prof. Dr. Gonca AYIK Yrd. Doç. Dr. Ersin KIAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof.Dr. Mustafa GÖK Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ VE YAIGPLA Merve BENLİCE ÇKOVA ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Prof. Dr. Hayrullah AYIK Yıl:204, Sayfa:0 Jüri : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Prof. Dr. Gonca AYIK : Yrd. Doç. Dr. Ersin KIAL Bilgisayar bilimlerinin üzerinde çalışılan temel alanlarından birisi otomoto teorisi ve yerine-yazma sistemleridir (automoto theory and rewriting systems). Yerine-yazma sistemleri, cebirdeki bazı teorilerde kullanılmakla birlikte, cebir de yerine-yazma sistemlerinde oldukça sık kullanılmaktadır. Örneğin, kelime problemlerinin çözülebilirliği gibi bazı sonluluk koşullu cebirsel problemlerin çözümünde ve bazı monoidlerin homolojilerinin hesaplanmasında yerine-yazma sistemleri ile ilgili teoriler oldukça sık kullanılmaktadır. Daha da özel olarak, cebirdeki grup ve yarıgrupların takdimleri bilgisayar bilimindeki yerine-yazma sistemleri ile iç içe girmiş durumdadır. Her cebirsel yapının bir takdimi vardır. Özellikle, sonlu takdime sahip olmak sonlu yerine-yazma sistemleri açısından oldukça önemlidir. Biz de bu tezde sonlu takdim edilebilir yarıgruplar ile sonlu tam yerine-yazma sistemleri arasındaki ilişkiyi inceleyen bazı önemli çalışmaları derleyeceğiz. Anahtar Kelimeler: Yarıgrup, Doğuray kümesi, Takdim, Yerine-yazma sistemleri I

4 ABSTACT MSc THESIS EWİTİNG SISTEMS AND SEMIGOPS Merve BENLİCE ÇKOVA NIVESITY INSTITTE OF NATAL AND APPLIED SCIENCES DEPATMENT OF MATHEMATICS Supervisor : Prof. Dr. Hayrullah AYIK Year: 204, Page:0 Jury : Prof. Dr. Hayrullah AYIK : Prof. Dr. Gonca AYIK : Asst. Prof. Dr. Ersin KIAL The one of the studies on computer sciences is automoto theory and rewriting systems. ewriting systems are used in some theories in algebra and also algebra is used in some thesis in rewriting systems. For example, the theories of rewriting systems are quite often used in solutions of some finiteness conditional algebraical problems such as solubility of word problems and in some monoids homology measurement. More especially, group and semigroup presentations on algebra are one within rewriting systems on computer sciences. Every algebraical structure has a presentation. Especially, having a finite presentation is more important in terms of finite rewriting systems. In this thesis we are going to compile some important studies which researches relation between finite presentable semigroups and finite complete rewriting systems. Key Words: Semigroup, Generating set, Presentation, ewriting systems II

5 TEŞEKKÜ Çalışmamın her aşamasında bana yardım eden, bilgi ve tecrübeleri ile bana yol gösteren ve desteğini esirgemeyen danışman hocam Sayın Prof. Dr. Hayrullah AYIK a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca Ç.Ü Matematik bölümü araştırma görevlisi Leyla Bugay a yardım ve desteklerinden dolayı teşekkür ederim. Yüksek lisans eğitimim süresince her daim yanımda olan ve bana destek veren sevgili babam Habib BENLİCE, annem Sabriye BENLİCE, kardeşim Miray BENLİCE, arkadaşlarım Alev ALTINEL, Kübra YILMAZ ve Volkan DEAN a teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLE SAYFA ÖZ... I ABSTACT... II TEŞEKKÜ... III İÇİNDEKİLE.....IV ŞEKİLLE DİZİNİ... VI. GİİŞ TEMEL TANIM VE TEOEMLE Yarıgrup Tanımları Homomorfizmler Bağıntılar ve Denklik Kongrüanslar Green Denklik Bağıntıları egüler (Düzgün) Yarıgruplar Basit Yarıgruplar Doğuray Kümeleri Tek Doğuraylı (Monogenic) Yarıgruplar Takdimler YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Serbest Monoidlerde Sıralamalar Yerine-yazma Sistemleri EES MATİS YAIGPLAI İÇİN YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ KÜÇÜK GENİŞLEMELE İÇİN YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Bir Kriter Yarıgrup Takdimi Değiştirme İndirgeme Süreci Ana Sonuç KÜÇÜK GENİŞLEMELE İÇİN DOĞLABİLİLİK Monoidlerin Küçük Genişlemesi için Sonlu Tam Yerine-yazma Sistemleri IV

7 KAYNAKLA ÖZGEÇMİŞ V

8 ŞEKİLLE DİZİNİ SAYFA Şekil 2.. Green Denklik Bağıntılarının Hasse Diyagramı VI

9 VII

10 . GİİŞ Merve BENLİCE. GİİŞ Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 904 te Monsieur l Abbé J. A. Séguier in Éléments de la Théorie de Groupes Abstraits adlı kitabında yer almıştır. 926 ve 928 yıllarında A.K. Sushkevich in bir sonlu yarıgrubun minimal idealinin yapısını belirlemesiyle gelişim sürecine başlamıştır. Bu dönemden itibaren çalışmalar hızla artmış ve nihayet 950 li yılların sonunda yarıgrup teorisinin kendisi modern cebirin başlı başına bir alt dalı haline gelmiştir. Yarıgrupların zengin bir soru içeriğine sahip olmasının yanı sıra grup ve halka teorisi başta olmak üzere matematiğin diğer alanları ile olan bağlantısı yarıgrup teorisinin önemini arttırmıştır. Yerine-yazma sistemleri cebirdeki birçok teoride kullanır. Cebirdeki birçok teori de yerine-yazma sistemlerinde kullanılır. Her cebirsel yapının bir takdimi vardır. Özellikle sonlu takdime sahip olmak, sonlu yerine-yazma sistemleri açısından daha önemlidir. Biz de bu çalışmamızda sonlu takdim edilebilir yarıgruplar ile sonlu tam yerine-yazma sistemleri arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Tezin ikinci bölümünde, çalışmamızın kaynağını oluşturan temel tanım ve teoremlere yer verdik. Üçüncü bölümde, yerine-yazma sistemleri ile ilgili temel tanım ve teoremleri verdik. Dördüncü bölümde, bir ees matris yarıgrubunu tanımlayan tek türlü sonlanan yerine-yazma sistemini inşa ettik. Beşinci bölümde, S yarıgrubu T altyarıgrubunun küçük genişlemesi olmak üzere, eğer S sonlu bir tam yerine-yazma sistemine sahip ise T nin de sonlu bir tam yerine-yazma sistemine sahip olduğunu gösterdik. Altıncı bölümde, S yarıgrubu T altyarıgrubunun küçük genişlemesi olmak üzere, eğer T sonlu bir tam yerine-yazma sistemi tarafından doğurulabiliyorsa S nin de doğurulabilir olduğunu gösterdik.

11 . GİİŞ Merve BENLİCE 2

12 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE 2.. Yarıgrup Tanımları Bu bölümde ileride kullanacağımız yarıgrup teorisindeki önemli tanım ve teoremleri vereceğiz. Tanım 2... S boştan farklı bir küme olsun. S S den S ye tanımlı bir µ fonksiyonuna S üzerinde bir (kapalı) ikili işlem denir. Her xy, S için x ve y elemanlarına uygulanan bu ikili işlem xµy şeklinde gösterilir. Eğer µ, S üzerinde bir ikili işlem ise (S,µ) ikilisine bir grupoid denir. Tanım (S,µ) bir grupoid olsun. Eğer µ ikili işlemi S üzerinde birleşme özelliğine sahip, yani her x, yz, S için xµ(yµz) =(xµy)µz ise ( S,) grupoidine bir yarıgrup denir. Genelde ikili işlem yerine çarpma işlemi diyeceğiz ve bu işlemi ile göstereceğiz. Eğer çarpma işleminin ne olduğu içerikten belli ise, biz ( S,) yerine S ve x y yerine de xy yazacağız. Tanım S yarıgrubu değişme özelliğine sahip, yani her xy, S için xy = yx ise S yarıgrubuna değişmeli yarıgrup denir. Tanım S bir yarıgrup ve z Solsun. Her a S için za= z ise z ye S nin bir sol sıfır elemanı, her a S için az = z ise z ye S nin bir sağ sıfır elemanı denir. Eğer z S hem sol hem de sağ sıfır eleman ise z ye S nin bir sıfır elemanı denir. 3

13 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Bir yarıgrupta birden fazla sağ veya sol sıfır eleman olabilir. Fakat bir yarıgrupta sıfır eleman varsa aşağıdaki önermeden dolayı sıfır eleman tektir ve 0 ile gösterilir. Önerme Bir S yarıgrubunun sıfır elemanı varsa tektir. İspat: 0 ve 0, S nin iki sıfır elemanı olsun. O halde 0=00 =0 ( 0, sıfır eleman olduğundan) ( 0, sıfır eleman olduğundan) olur. Tanım S bir yarıgrup ve e Solsun. Her a S için ea= aise e ye S nin bir sol birim elemanı, her a S için ae= aise e ye S nin bir sağ birim elemanı denir. Eğer e S hem sağ hem de sol birim eleman ise e ye S nin bir birim elemanı denir. Birim eleman genellikle veya kısaca ile gösterilir. Bir yarıgrupta birden fazla sağ veya sol birim eleman olabilir. Fakat bir yarıgrupta birim eleman varsa aşağıdaki önermeden dolayı tektir. Önerme Bir S yarıgrubunun birim elemanı varsa tektir. İspat: Benzer şekilde ispatlanır. Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer S nin birim elemanı varsa S ye bir monoid denir. S herhangi bir yarıgrup olsun. Eğer S S = S {} S ˇS 4

14 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE olmak üzere, S üzerindeki ikili işlem her st, S için st = st st, S s t = t s= s= t = şeklinde tanımlanırsa S bir monoid olup S den elde edilen monoid denir. S e gerekir ise birim eleman eklenerek Tanım S bir yarıgrup ve e S olsun. Eğer 2 e = ee= e ise e ye S nin bir idempotent elemanı denir. S yarıgrubunun tüm idempotent elemanlarının kümesi ES ( ) ile gösterilir. Eğer S yarıgrubunun tüm elemanları birer idempotent yani ES ( ) = S ise S yarıgrubuna bir band denir. Eğer S yarıgrubu hem değişmeli hem de bir band ise S ye bir yarılatis denir. Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer, her için ve ise S ye bir grup denir. Bu tanım cebir alanında çok kullanılmaz ve genellikle bu tanıma denk olan aşağıdaki tanım kullanılır. S bir yarıgrup olsun. Eğer, her için ex= x ( xe= x) olacak şekilde - - bir ve her bir için x x e ( xx e) = = olacak şekilde bir x - S mevcut ise S ye bir grup denir. Burada ye de x elemanının tersi denir. Sadece birim elemandan oluşan grup denir. ye grubun birim elemanı ve kümesi bir grup olup bu gruba aşikâr 5

15 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Tanım 2... S bir yarıgrup ve T S olsun. Eğer T, S deki çarpma işlemine göre kapalı yani her ab, T için ab T ise T ye S nin bir altyarıgrubu denir ve T S şeklinde gösterilir. 2 S SS { st: st, S} S = = olup olur. Ayrıca S de bir sıfır eleman var ise ve S bir monoid ise olur. Bu altyarıgruplara aşikar altyarıgruplar ve bunların dışındaki altyarıgruplara öz altyarıgruplar denir. S bir yarıgrup ve T de S nin bir altyarıgrubu olsun. Eğer T, S deki çarpma işlemiyle bir monoid oluyorsa T ye S nin bir altmonoidi, eğer bir grup oluyorsa T ye S nin bir altgrubu denir. Benzer şekilde bir monoidin altmonoidi, bir monoidin altgrubu ve bir grubun altgrubu kavramları tanımlanabilir. Tanım S bir yarıgrup ve de S nin bir altgrubu olsun. Eğer S nin olacak şekilde bir H altgrubu mevcut olduğunda veya olmak zorunda kalıyor ise G ye S nin maksimal altgrubu denir. Tanım S bir yarıgrup ve olsun. Eğer ve için sa I ( as I) yani SI { sa: s S ve a I} I ( IS I) = ise I ya S nin bir sol (sağ) ideali denir. Eğer I, S nin hem sol hem de sağ ideali ise I ya S nin bir ideali denir ve < ile gösterilir. Her ideal bir altyarıgruptur. Benzer şekilde < olur. Ayrıca S de bir sıfır eleman varsa < olur. Bu ideallere aşikâr idealler denir. (ve 0 S olduğunda ) olacak şekildeki bir < idealine bir öz ideal denir. Tanım G bir grup ve H, G nin bir altgrubu olsun. Herhangi bir için tanımlanan xh={xh:h H} ve Hx={hx:h H} kümelerine sırasıyla H nin G deki sol koseti ve sağ koseti denir. Ayrıca, H nin G deki tüm sol kosetlerinin kümesi ve sağ kosetlerinin kümesi ile gösterilir. Teorem G bir grup ve denktir. olsun. O halde aşağıdaki önermeler birbirine 6

16 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE (i) G nin ikili işlemi kümesine taşınabilir. (ii) için dir. (iii) için dir. (iv) için dir. İspat: Karakaş (2008), Ders 8, Teorem e bakınız. Tanım G bir grup ve de G nin bir altgrubu olmak üzere yukarıdaki teoremde denk olan önermelerden biri sağlanıyorsa N ye G nin bir normal altgrubu denir ve < ile gösterilir. G değişmeli bir grup ise her altgrubu bir normal altgruptur. < ise N nin her sol koseti aynı zamanda bir sağ koset olduğundan sağ koset ve sol koset yerine kısaca koset denir. Bu durumda N nin G deki tüm kosetlerinin ailesi G N ={xn : x G} ile gösterilir. Bu küme G N için (xn)(yn)=(xy)n şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile birim elemanı N olan bir grup olup bu işleme koset çarpımı ve bu gruba da G nin N ile olan bölüm grubu denir Homomorfizmler Tanım S ve T iki yarıgrup ve f de S den T ye bir dönüşüm (fonksiyon) olsun. Eğer her xy, S için 7

17 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE ise f ye bir homomorfizm denir. Tanım S ve T iki yarıgrup ve f, S den T ye bir homomorfizm olsun. (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Eğer f birebir ise f ye bir monomorfizm denir. Eğer f örten ise f ye bir epimorfizm denir. Eğer f hem monomorfizm hem de epimorfizm ise f ye bir izomorfizm denir. Eğer f, S den S ye bir homomorfizm ise f ye bir endomorfizm denir. Eğer f, S den S ye bir izomorfizm ise f ye bir otomorfizm denir. Eğer S den T ye bir izomorfizm mevcut ise S ile T ye izomorfik yarıgruplar denir ve T şeklinde yazılır. S ve T iki monoid ve f de S den T ye bir (yarıgrup) homomorfizm olsun. Eğer S nin birim elemanının f altındaki görüntüsü T nin birim elemanı, yani ise f ye bir monoid homomorfizmi denir. Benzer şekilde, yukarıdaki diğer tanımlar da monoidler için genelleştirilebilir. Tanım S ve T iki yarıgrup ve bir homomorfizm olsun. O zaman, olarak tanımlanan kümelere sırasıyla denir. nin çekirdek kümesi ve görüntü kümesi 8

18 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Tanım S ve T iki yarıgrup olsun. kümesine S ile T nin kartezyen çarpımı denir. Ayrıca ss, S ve tt, T olmak üzere S T kartezyen çarpım kümesi üzerinde (,)( st s, t ) = ( ss, tt ) tanımlanan çarpma (ikili) işlemi ile S T de bir yarıgruptur. Bu yarıgruba S ile T nin direkt çarpımı denir Bağıntılar ve Denklik Tanım X ve Y boş olmayan iki küme olmak üzere altkümesine X ten Y ye bir bağıntı denir. X in her bir X in her bir r altkümesine ise X üzerinde bir bağıntı denir. X üzerindeki tüm bağıntıların kümesi BX ( ) ile gösterilir., X = {( xx, ): x X} kümesi ve X X in kendisi X üzerinde birer bağıntı olup bunlara sırasıyla boş bağıntı, birim bağıntı ve evrensel bağıntı denir. Tanım Her için ao b = {( xy, ) X X : z X için ( xz, ) a ve ( zy, ) b} şeklinde tanımlanan ikili işlem ile bir yarıgruptur. Bu yarıgruba tüm bağıntılar yarıgrubu denir. Ayrıca, birim elemanı olan bir monoid olur. Her r B( X) için r - = xy X X yx {(, ) :(, ) r} bağıntısına r nun ters bağıntısı (tersi) denir. Tanım r, X üzerinde herhangi bir bağıntı ve olsun. O zaman 9

19 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE ve, kümelerine sırasıyla bağıntısının tanım kümesi, in altındaki görüntü kümesi ve bağıntısının görüntü kümesi denir. Kolayca gösterileceği üzere her için ve, o o o o, ve o o o o o o olur. Tanım olsun. Eğer için ise ya X üzerinde bir kısmi dönüşüm denir. Eğer için ise ya X üzerinde bir (tam) dönüşüm denir. bir (kısmi) dönüşüm ve ise genel olarak veya şeklinde gösterilir. Tanım r, X üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. Eğer (i) X r ise r ya yansımalı bağıntı; (ii) r r - = ise r ya simetrik bağıntı; (iii) ro r r ise r ya geçişmeli bağıntı; (iv) ise ya ters-simetrik bağıntı; 0

20 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE denir. Eğer r bağıntısı yansımalı, simetrik ve geçişmeli bir bağıntı ise r ya X üzerinde bir denklik bağıntısı denir. Tanım , X üzerinde bir denklik bağıntısı ve olsun. O zaman { :(, ) } x r = xr = y X xy r kümesine bir denklik sınıfı denir. Ayrıca X in tüm denklik sınıflarının ailesi olan X r = { xr: x X} kümesine de X in r vasıtasıyla oluşturulan bölüm kümesi denir. Önerme , X üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. O halde her için ya ya da olur. İspat: Karakaş (2008), Ders, Teorem e bakınız. Tanım X ve Y boş olmayan iki küme ve f : X fi Y bir fonksiyon olsun. O zaman f f xy X X xf yf o - = {(, ) : = } şeklinde tanımlanan küme X üzerinde bir denklik bağıntısı olup bu bağıntıya f nin çekirdeği denir ve kerf = fo f - şeklinde de yazılabilir. Tanım X boş olmayan bir küme ve, X kümesi üzerinde herhangi bir bağıntı ise X X olduğundan yi içeren denklik bağıntılarının ailesi boştan farklıdır. Böylece, yi içeren tüm denklik bağıntılarının kesişimi de bir denklik

21 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE bağıntısıdır ve bu denklik bağıntısı yi içeren en küçük denklik bağıntısıdır. Bu en küçük denklik bağıntısına tarafından doğrulan denklik bağıntısı denir ve ile gösterilir. Başka bir ifade ile olur. Ayrıca, bir denklik bağıntısı ise ve e = ( - ) e özellikleri sağlanır. Tanım X boş olmayan bir küme ve, X üzerinde yansımalı bir bağıntı olsun. O zaman o o o o olup benzer şekilde devam edilirse olur. Bu durumda X üzerinde bağıntısı = n Z + n olarak tanımlanır. 2

22 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Önerme X boş olmayan bir küme olmak üzere X üzerindeki herhangi bir yansımalı bağıntısı için tanımlanan, X üzerinde yi içeren en küçük geçişmeli bağıntıdır. İspat: Eğer ( xy, ),( yz, ) ise ( xy, ) vardır. Bu durumda m n ve ( yz, ) olacak şekilde m n m n ( xz, ) o = + olup ( xz, ) dur. Ayrıca olup, yi içeren bir geçişmeli bağıntıdır. T, yi içeren herhangi bir geçişmeli bağıntı olsun. T geçişmeli olduğundan 2 = T T T o o olup 2 T olur. Benzer şekilde devam edilir ise her n için n T olduğu ve dolayısıyla, T olduğu gösterilir. Böylece, yi içeren en küçük geçişmeli bağıntıdır. Önerme X boş olmayan bir küme ve, X üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O halde e - = Ø º D ø X ß olur. İspat: S - = D X ve E S = olsun. Bir önceki önermeden E, yi içeren yansımalı ve geçişmeli bir bağıntıdır. Ayrıca S simetrik olduğundan her için S S - = olup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n S - = SoLoS - = S - olos - - = S - - olo S - - = SoLo S = S olur. Böylece 3

23 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE n n n E = ( S ) = S = S = S = E Ł - ( ) ł n= n= n= olup E simetriktir. O halde E, yi içeren bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca s, X üzerinde yi içeren bir başka denklik bağıntısı ise - - s s = olup = olur. Bir önceki önermeden E = S s - S X s olur. O halde E, yi içeren en küçük denklik bağıntısıdır Kongrüanslar Tanım S bir yarıgrup ve de S üzerinde bir bağıntı olsun. Eğer, her a S ve her (,),( st s, t) için (i) ( as, at) (ii) ( sa, ta) ise bağıntısına sol uyumlu; ise bağıntısına sağ uyumlu; (iii) ( ss, tt ) ise bağıntısına uyumlu bağıntı denir. Ayrıca sol uyumlu denklik bağıntısına bir sol kongrüans; sağ uyumlu denklik bağıntısına bir sağ kongrüans ve uyumlu denklik bağıntısına bir kongrüans denir. Önerme S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir denklik bağıntısı olsun. nin bir kongrüans olması için gerek ve yeter koşul nin hem sol hem de sağ kongrüans olmasıdır. İspat: Howie (995), Proposition.5. e bakınız. Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir denklik bağıntısı olmak üzere tanımdan kolayca görülüyor ki, nin bir kongrüans olması için gerek ve yeter koşul nin nin bir altyarıgrubu olmasıdır. O halde nin altyarıgrubu olan ve 4

24 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE, S üzerinde birer kongrüanstır. Bu kogrüanslara sırasıyla S nin aşikâr kongrüansı ve evrensel kongrüansı denir. Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir kongrüans olsun. S nin ile elde edilen bölüm kümesi üzerinde bir çarpma işlemi S r için ( xr)( yr) = ( xy) r şeklinde tanımlanır ise S r bu çarpma işlemi ile bir yarıgrup olup bu yarıgruba S nin ile elde edilen bölüm yarıgrubu denir. Kolayca görülüyor ki, eğer S birim elemanı olan bir monoid ise S da birim elemanı olan bir monoiddir. Burada r x = { y S: xr y} şeklinde göstereceğiz. r Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde bir kongrüans olsun. O zaman her a S için ar # = ar olarak tanımlanan homomorfizm olup bu homomorfizme doğal homomorfizm denir. r # : S fi S dönüşümü bir örten r Önerme S, T iki yarıgrup ve f : S fi T bir homomorfizm olsun. Bu durumda - ker f = fo f = {( xy, ) X X : xf = yf} S üzerinde bir kongrüanstır. İspat: Howie (995), Teorem.5.2 ye bakınız. 5

25 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Teorem (. İzomorfizm Teoremi) S, T iki yarıgrup ve f : S fi T örten bir homomorfizm ise S T olur. İspat: ( xra ) r = kerf alalım ve a : S T r fi dönüşümü her xr S r = xf olarak tanımlayalım. Her xr, yr S r için için xr = yr ( xy, ) r = ker f xf = yf ( xra ) = ( yra ) ve ( ) ( ) ( ) ( xr yra ) = ( x y) ra = ( x y) f = ( xf)( yf) = ( xra ) ( yra ) olduğundan hem iyi tanımlı hem de bir monomorfizmdir. Ayrıca örten olduğundan olup Tanım , bir S yarıgrubu üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O zaman kümesi c c = {( xay, xby): xy, S,( ab, ) } c olarak tanımlanır. Bu durumda kolayca görülür ki, S yarıgrubu üzerinde yi içeren en küçük sol ve sağ uyumlu bağıntıdır. Ayrıca, Q da S üzerinde herhangi bir bağıntı olmak üzere, - c c - ( ) = ( ), ( Q) c = c Q c ve bir kongrüans ise olur. 6

26 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Tanım S bir yarıgrup ve, S üzerinde herhangi bir bağıntı olsun. O halde olup S üzerinde yi içeren en az bir kongrüans vardır. S üzerinde yi içeren tüm kongrüansların arakesiti de yi içeren bir kongrüans olup bu kongrüansa tarafından doğurulan kongrüans denir ve # ile gösterilir. Başka bir ifade ile # olur. Tanımdan kolayca görülür ki # yi içeren en küçük kongrüanstır. Teorem S bir yarıgrup ve, S yarıgrubu üzerinde bir bağıntı olsun. O halde # c e = ( ) olur. İspat: Howie (995), Proposition.5.8 e bakınız Green Denklik Bağıntıları Tanım S bir yarıgrup ve sağ ve iki taraflı idealleri sırasıyla olsun. S nin a elemanını içeren en küçük sol,, ve şeklindedir. Bunun yardımı ile S üzerinde tanımlanan, ve 7

27 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE bağıntılarına sırasıyla sol-green (L-Green), sağ-green (-Green) ve Green (J- Green) bağıntısı denir. Bu bağıntıların birer denklik bağıntısı olduğu açıktır. Önerme S bir yarıgrup ve olsun. (i) olacak şekilde vardır. (ii) olacak şekilde vardır. (iii) olacak şekilde vardır. İspat: (i) ( ) olup olacak şekilde vardır. Benzer şekilde olacak şekilde olduğu gösterilebilir. ( ) ve olacak şekilde var olsun. olup olur. buradan olduğu elde edilir. Diğerleri benzer şekilde gösterilebilir. Önerme S bir yarıgrup olmak üzere S üzerindeki sol-green bağıntısı L ve sağ- Green bağıntısı değişmeli yani L o = o L dir. İspat: Howie (995), Proposition 2..3 e bakınız. Tanım S bir yarıgrup olsun. L, sırasıyla S yarıgrubu üzerindeki L-Green ve -Green bağıntıları olmak üzere H=L olarak tanımlanan denklik bağıntısına H- Green bağıntısı ve S yarıgrubu üzerinde L ve bağıntılarını içeren en küçük denklik bağıntısını da D-Green bağıntısı denir. D-Green bağıntısının tanımından D= L = ( L ) e 8

28 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE olur. Dikkat edilirse L ile simetrik ve yansımalı olduğundan - ( ) ( ) S L L D = L olup, ayrıca o o ve o o olduğundan o o o o o o o o ve o o o olur. Dolayısıyla için o olur. Böylece D = L = L L D = L e - ( ) [( ) ( ) S] ( ) n = ( L ) = ( L ) ( L ) n= n= 2 = ( L ) ( Lo) n= = ( L ) Lo n olur. Bir S yarıgrubu üzerindeki L,, J, H ve D-Green denklik bağıntıları için, olup aralarındaki bu ilişki aşağıdaki diyagram ile ifade edilebilir. Bu diyagrama Hasse Diyagramı denir. 9

29 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE J D L H Şekil 2.. Green Denklik Bağıntılarının Hasse Diyagramı Önerme G bir grup ise L==J=H=D= olur. İspat: için ve olup ve alınırsa ve olacak şekilde bulunmuş olur. O halde için olup dir. Benzer şekilde olup L==J=H=D= olduğu elde edilir. Önerme S değişmeli bir yarıgrup ise L==H=D olur. İspat: Önerme in ispatına benzer şekilde gösterilir. Tanım S bir yarıgrup olmak üzere S üzerindeki L,, H, D ve J-Green denklik bağıntılarına göre elde edilen denklik sınıflarının kümeleri sırasıyla 20

30 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE ve için a yı içeren L,, H, D ve J-Green denklik sınıfları sırasıyla ile gösterilir. Eğer L,, H, D ve J-Green denklik bağıntılarının S yarıgrubu üzerinde tanımlı olduğu içerikten belli olmuyor ise bu denklik bağıntıları sırasıyla ile gösterilir. S bir yarıgrup ve olmak üzere ve olduğu tanımlardan açıktır. O halde bir D-Green denklik sınıfı D, ayrık L-Green denklik ve -Green denklik sınıflarının birleşimidir. Bu yüzden Clifford ve Preston bir D sınıfını, her satırı bir -sınıfını, her sütunu bir L-sınıfını ve her hücresi de bir H- sınıfını temsil eden bir yumurta kefesi olarak düşünmüşlerdir. Teorem (Green Teoremi) S bir yarıgrup ve olmak üzere (i) Eğer ise ve olacak şekilde mevcut olup şeklinde tanımlanan dönüşümleri birbirinin tersi olan iki bire-bir ve örten dönüşümlerdir. Ayrıca daki her bir H-sınıfını de bu H-sınıfının bulunduğu -sınıfındaki H- sınıfına eşler. Benzer şekilde de deki her bir H-sınıfını da bu H-sınıfının bulunduğu -sınıfındaki H-sınıfına eşler. (ii) Eğer ise ve olacak şekilde mevcut olup 2

31 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE şeklinde tanımlanan dönüşümleri birbirinin tersi olan iki bire-bir ve örten dönüşümlerdir. Ayrıca daki her bir H-sınıfını de bu H-sınıfının bulunduğu L-sınıfındaki H- sınıfına eşler. Benzer şekilde de deki her bir H-sınıfını da bu H-sınıfının bulunduğu L-sınıfındaki H-sınıfına eşler. İspat: Howie (995), Lemma 2.2. ve Lemma ye bakınız. Sonuç aynı D- sınıfında iki H-sınıfı ise olur. İspat: Howie (995), Lemma e bakınız. Sonuç S bir yarıgrup olsun. Eğer H, S de bir H-sınıfı ise olur. Ayrıca olduğunda H, S nin bir altgrubudur. veya İspat: Howie (995), Teorem e bakınız. Sonuç S bir yarıgrup ve H, S de bir H-sınıfı olsun. Eğer H bir idempotent eleman içeriyor ise S nin bir altgrubudur. Dolayısıyla bir H-sınıfı en fazla tane idempotent eleman içerir egüler (Düzgün) Yarıgruplar Tanım S bir yarıgrup olsun. Eğer bir a S için axa a = olacak şekilde bir x S varsa elemanına S nin bir regüler elemanı denir. Eğer S nin her elemanı regüler ise S ye bir regüler yarıgrup denir. Örneğin; S bir yarıgrup ve e S bir idempotent eleman ise e bir regüler elemandır. Ayrıca, her grup bir regüler yarıgruptur. 22

32 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Önerme S bir yarıgrup ve olsun. Eğer a bir regüler eleman ise ve sınıflarının her elemanı regülerdir. İspat: S bir yarıgrup ve a S bir regüler eleman olsun. O halde axa a şekilde x S vardır. Herhangi bir b La ve tb = a olacak şekilde st, = olacak yani ( ab, ) L alalım. O zaman sa= b S mevcut olup bxt ( ) b bx( tb) = bxa= ( sa) xa saxa ( ) = sa= b olduğundan b L regüler olur. a Benzer şekilde " c elemanının da regüler olduğu gösterilebilir. a Sonuç S bir yarıgrup ve a S olsun. Eğer a bir regüler eleman ise a her elemanı da regülerdir. D nın Sonuçtan kolayca görülüyor ki bir D -Green denklik sınıfı D nin ya hiç regüler elemanı yoktur ya da tüm elemanları regülerdir. D nin tüm elemanları regüler ise D ye regüler D -sınıfı denir. Önerme egüler bir D -sınıfında her L -sınıfı ve her -sınıfı en az bir tane idempotent eleman içerir. İspat: D bir regüler D -sınıfı ve a D olsun. O halde axa a x S vardır. Bu durumda = olacak şekilde ( xa)( xa) = xaxa ( ) = xa ve ( ax)( ax) = ( axa) x= ax olup xa ve ax birer idempotent elemandır. Ayrıca 23

33 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE axa ( ) = a ve xa ( ) = xa ve ( ax) a= ave ax ( ) = ax olup sırasıyla xala ve axa yani xa La ve ax a olur. Sonuç egüler bir D -sınıfı en az bir tane idempotent eleman içerir. Önerme S bir yarıgrup ve e S bir idempotent eleman olsun. O zaman e nin bir sol birim elemanı ve L e nin bir sağ birim elemanıdır. İspat: e bir idempotent eleman ve a olsun. O halde a= ex olacak şekilde e x S mevcut olup 2 ea= eex ( ) = ex= ex= a olur. Benzer şekilde, b L için be= b olduğu da gösterilebilir. e Tanım S bir yarıgrup ve a S olmak üzere eğer axa= a ve xax= x olacak şekilde bir x S mevcut ise x elemanına a nın bir tersi denir ve a nın tüm terslerinin kümesi V( a ) ile gösterilir. Yani V( a) = { x S: axa= a ve xax= x}. olur. Eğere S bir idempotent eleman ise eee= e olup e Ve () dir. Önerme S bir yarıgrup olsun. a S ve yeter koşul a S nin regüler olmasıdır. nin bir tersinin var olması için gerek 24

34 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE İspat: a S nin bir tersi varsa aynı zamanda regüler olduğu tanımdan kolayca görülür. Tersine; a S regüler iken a nın bir tersinin var olduğunu gösterelim. a S regüler iken axa= a olacak şekilde bir x S var olup y xax alırsak = olarak aya= axax ( ) a= ( axa) xa= axa= a ve yay= ( xax) axax ( ) = xaxa ( )( xax) = xa( xax) = xaxa ( ) x= xax= y olduğundan y, a nın bir tersi olur. Teorem S bir yarıgrup, D bir D -sınıfı ve a D olsun. (i) a Va ( ) ise a D olur. Ayrıca L a ve La a a H - (ii) b D sınıfları sırasıyla aa ve için a Lb ve b a aa idempotent elemanlarını içerir. L H - sınıfları e ve f idempotent elemanlarını içeriyor ise aa = e ve aa= f olacak şekilde a Va ( ) vardır. Ayrıca a H b olur. (iii) nın birden fazla tersini içeren H -sınıfı yoktur. İspat: Howie (995), Teorem e bakınız. Önerme S bir regüler yarıgrup ve ab, S olsun. (i) alb aa bb = olacak şekilde a Va ( ) ve b Vb () vardır. 25

35 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE (ii) ab aa bb = olacak şekilde a Va ( ) ve b Vb ( ) vardır. (iii) ahb aa= bbve aa = bb olacak şekilde a Va ( ) ve b Vb () vardır. İspat: Howie (995), Proposition 2.4. e bakınız Basit Yarıgruplar Tanım S, sıfır elemansız bir yarıgrup olsun Eğer S nin kendisi dışında başka ideali yok ise S ye bir basit yarıgrup denir. S, sıfır elemanlı ve sıfırın dışında en az bir başka elemanı olan bir yarıgrup 2 olsun. Eğer S nin {0} ile kendisi dışında başka ideali yok ve S {0} ise S ye bir 0-basit yarıgrup denir. Önerme S, sıfır elemanlı bir yarıgrup olsun. S nin 0 -basit yarıgrup olması için gerek ve yeter koşul " 0 a S için SaS = S olmasıdır. İspat: Howie (995), Proposition 3.. e bakınız. Sonuç S, sıfır elemansız bir yarıgrup olsun. S nin bir basit yarıgrup olması için gerek ve yeter koşul " a S için SaS = S olmasıdır Doğuray Kümeleri Tanım S bir yarıgrup ve altyarıgruplarının arakesiti de olsun. S nin X kümesini içeren tüm X kümesini içeren bir altyarıgrup olup bu altyarıgruba S nin X tarafından doğurulan altyarıgrubu denir ve S X ile gösterilir. Yani 26

36 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE I X = { T: X TT, S} S olur. Böylece S X X kümesini içeren en küçük altyarıgruptur. Ayrıca, kolayca gösterileceği üzere S X, X üzerindeki tüm sonlu çarpımların kümesidir. Yani X = x S Lxn n Z + K xn X { : ve x,, } olur. Benzer şekilde X tarafından doğurulan altmonoid ve X tarafından doğurulan altgrup da tanımlanabilir. Bunlar da sırasıyla = { L : ve x, K, } {} ve X x x n Z + x X M n n e en + { : ;, {, },,, } X = x G L x n Z x X i n n i ei - + = K olur. Tanımdan kolayca görülüyor ki - - X x x X = { : } olarak tanımlanırsa G X = X X - S olur. Eğer X kümesinin bir yarıgrup, monoid veya grup doğuray kümesi olduğu içerikten anlaşılıyorsa X tarafından doğurulan altyarıgrup, altmonoid veya altgrup kısaca X ile gösterilir. X S bir yarıgrup (monoid/grup), X S ve Y S olsun. Eğer Y ise X Y olduğu açıktır. Tanım S bir yarıgrup olmak üzere eğer S = X olacak şekilde bir X S kümesi var ise bu X kümesine S nin bir yarıgrup doğuray kümesi, 27

37 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE X in her bir elemanına S nin bir doğurayı ve S ye de X tarafından doğurulan yarıgrup denir. Eğer S S ye sonlu doğuraylı yarıgrup denir. = X olacak şekilde S nin sonlu bir X altkümesi varsa Özel olarak, sonlu bir yarıgrup aynı zamanda kendisi için bir sonlu doğuray kümesi olduğundan sonlu doğuraylıdır. S bir yarıgrup ve S = X olsun. Eğer X {} x küme ise S ye tek doğuraylı (monogenic) yarıgrup denir ve S yazılabilir. Benzer tanımlar monoid ve grup için de yapılabilir. = şeklinde tek elemanlı bir = x şeklinde de Tanım S, sonlu doğuraylı bir yarıgrup olmak üzere min{ X : S = X ve X sonlu} S tamsayısına S nin yarıgrup rankı denir ve rank ( ) şekilde monoid rankı ve grup rankı da tanımlanabilir. S S ile gösterilir. Benzer Önerme S, T birim elemanları sırasıyla S, T sırasıyla S ile T nin birer doğuray kümesi olsun. O zaman olan iki monoid ve X, Y Z = {( x, ): x X} {(, y): y Y} T S kümesi S T monoidinin bir doğurayıdır. İspat: ( st, ) S T olsun. O halde s S ve t T s= xx K x ve olup 2 m t = yy 2K yn olacak şekilde xi Xi, {,2, K, m} ve yj Y, j {,2, K, n} vardır. Bu durumda 28

38 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE (,) st = ( xx Kx, yy Ky ) = ( x, ) K( x, )(, y ) K (, y ) olup S T = Z olur. 2 m 2 n T m T S S n Kolayca görülüyor ki S ve T sonlu doğuraylı iki yarıgrup ise S doğuraylı olur. T de sonlu Önerme S sonlu doğuraylı bir yarıgrup ve A, S nin herhangi bir doğuray kümesi olsun. O halde S nin bir doğuray kümesi olacak şekilde sonlu bir A0 altkümesi vardır. A İspat: S sonlu doğuraylı bir yarıgrup ve A, S nin herhangi bir doğuray kümesi olsun. B= { b, b2, K, b n }, S nin bir sonlu doğuray kümesi olmak üzere " bi B için b = aa K a i i i i 2 k olacak şekilde a a A i K vardır. Böylece i k n A {,, } 0 = a K a olarak alınır ise i= i i k S = B A0 A = S olup A 0, S nin bir sonlu doğuray kümesi olur Tek Doğuraylı (Monogenic) Yarıgruplar n S bir yarıgrup ve a S olsun. O zaman a = { a : n Z + } olur. Eğer, her n m için a m n a ise + F: a fi ( Z, + ) a n fi n 29

39 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE dönüşümü bir izomorfizm olup Z +, + ) olur. Eğer en az bir çift n m için a m n = a ise + + x y I = { x Z : $ y Z x y ve a = a } kümesi boş değildir. Böylece I Z + ve Z + alttan sınırlı olduğundan I nın bir tek en küçük elemanı mevcuttur. Ayrıca + + x+ m m J = { x Z : $ y Z a = a } kümesi de boş olmayıp bir tek en küçük elemanı mevcuttur. Şimdi T = aa K a a K a 2 m m+ m+ r- {,,,,,, } alalım. Bu elemanların hepsi birbirinden farklıdır. Gösterelim. Eğer i< j m+ r- için a i j = a ise i I olup nin seçiminden m i iolur. O zaman i= m+ q olacak şekilde q Z + {0} vardır. Ayrıca < j olduğundan j= m+ p olacak şekilde p Z + mevcut ve q< p olur. ve lar mecburen den küçük olup a = a = a a = a a = a = a m+ p- q m+ r+ p- q m+ p r- q m+ q r- q m+ r m olur. Bu durumda p-q J ve p- q< r olur ki bu nin seçimi ile çelişir. Böylece T nin tüm elemanları farklı olup T = m+ r- olur. Herhangi bir n m+ r tamsayısı için bölme algoritmasından n- m= qr+ s ve 0 s r- olacak şekilde qs, Z + {0} vardır. Böylece 30

40 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE a = a = a a = a a = L = a = a n m + qr + s m + r ( q - ) r + s m ( q - ) r + s m + r + s m + s olup n m+ s a a T = olur. O halde a aa a a a 2 m m+ m+ r- = {,, K,,, K, } olup, bu tek doğuraylı yarıgrup m+ r Mmr, ( a) = a: a = a m şeklinde gösterilir. Teorem S bir yarıgrup ve a S olsun. a sonlu ise 2 m m+ m+ r- {,,,,,, } a = aa K a a K a ve a m + r = a m olacak şekilde mr, Z + vardır. Tanım Yukarıdaki notasyonlar ile ye nın indeksi ve ye nın periyodu denir. Teorem S bir yarıgrup ve a S olmak üzere nın indeksi ve periyodu olsun. Eğer kl, {0,,, r-} K elemanları m+ k 0(mod r) m+ l (mod r) olacak şekilde seçilir ise olan ve tarafından doğurulan bir devirli gruptur. kümesi birim elemanı İspat: Howie (995), Lemma.2.3 e bakınız. 3

41 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE 2.0. Takdimler Tanım A boş olmayan bir küme olsun. Bu kümenin elemanlarını bir alfabe sisteminin tüm harfleri olarak düşünürsek her a,,, {0} K a A n Z + n için w al an ifadesine uzunluğu n olan bir kelime denir ve w kelimesinin uzunluğu (boyu) lw ( ), Lw ( ), w veya w sembollerinden biri ile gösterilir. Eğer lw ( ) sonlu bir tamsayı ise w kelimesine bir sonlu kelime denir. Eğer lw= ( ) 0 ise w kelimesine boş kelime denir ve boş kelime e veya ile gösterilir. A boş olmayan bir küme (alfabe) olmak üzere, A üzerindeki tüm sonlu boş olmayan kelimelerin kümesi A + ile ve A + {} e = A + {} kümesi de gösterilir. Diğer bir ifade ile A ile { L n K n } A + = a a : n Z + ve a,, a A ve A = A + {} e = A + {} olur. Tanım A + kümesi, her m a La, bl b A + için n ( a Ka )( bkb ) = a LabL b n m n m şeklinde tanımlanan çarpma işlemi ile bir yarıgrup olur. Bu yarıgruba A üzerinde ki serbest yarıgrup denir. Ayrıca, olan bir monoiddir ve bu monoide serbest monoid denir. A kümesi de aynı ikili işlemle ile birim elemanı 32

42 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Tanım F bir yarıgrup, A F ve i: Afi F, a A " için ( ) ai = a olarak tanımlanan gömme dönüşümü olsun. Eğer her S yarıgrubu ve her f : Afi S fonksiyonu için İ A f S y F diyagramı değişmeli yani io y = iy = f olacak şekilde bir tek y : F fi S homomorfizmi varsa F, A üzerinde bir serbest yarıgruptur denir. Bu durumda y A = f olur. A +, A üzerinde bir serbest yarıgruptur. Tanım A bir alfabe ve A + da A üzerindeki serbest yarıgrup olsun. + + A A olmak üzere A ikilisine bir yarıgrup takdimi ve # A + üzerinde tarafından doğrulmuş kongrüans olmak üzere A + # bölüm yarıgrubuna A tarafından takdim edilen (tanımlanan) yarıgrup denir. Bu durum + A # şeklinde ifade edilir. Eğer #, A A ise A ikilisine bir monoid takdimi ve A üzerinde tarafından doğurulmuş kongrüans olmak üzere # A bölüm monoidine A monoid takdimi tarafından takdim edilen monoid denir. Önerme Her yarıgrubun bir takdimi vardır. 33

43 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE İspat: S bir yarıgrup ve A i: Afi A bir gömme dönüşüm olmak üzere = S olsun. A +, A üzerindeki serbest yarıgrup ve A i S i f diyagramı değişmeli (yani A i f = ) olacak şekilde bir tek f : A + fi S homomorfizmi vardır. Bu homomorfizmin örten olduğu açık olup,. İzomorfizm Teoremi nden A + S olur. kerf mevcuttur, en azından, kerf nin bir kongrüans doğurayı (böyle bir doğuray daima = kerf alınabilir) olmak üzere A olur. + Tanım S bir yarıgrup olsun. S A olacak şekildeki bir A yarıgrup takdimine S nin bir yarıgrup takdimi denir. Bu durumda S nin elemanları A + üzerindeki kongrüans sınıfları ile bire-bir eşlenmiştir. Başka bir ifade ile de A + daki her kelime S nin bir elemanını temsil eder. S bir monoid ise A # olacak şekildeki A monoid takdimine S nin bir monoid takdimi denir. 34

44 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Bir monoid aynı zamanda bir yarıgrup olduğundan hem yarıgrup hem de monoid takdiminden bahsedilebilir. Bu durumda yarıgrup takdimi S A ve monoid takdimi M A ile gösterilir. Eğer A ve sonlu kümeler ise A ye bir sonlu takdim ve eğer bir S yarıgrubunun/monoidinin sonlu bir takdimi mevcut ise S ye sonlu takdimli (takdim edilebilir) yarıgrup/monoid denir. Tanım A bir yarıgrup takdimi olsun. Eğer (, rs) ise bu elemana bir ilişki (bağıntı) denir ve genellikle ( r = s) veya sadece r = s şeklinde yazılır. Eğer A= { a, K, a m } ve şeklinde ise A yerine = { r = s, K, r = s } ( mn, Z + {0}) n a, K, am r = s, K, rn = sn yazılabilir. w, w2 A + olmak üzere eğer ile tamamen aynı kelime ise w w2 şeklinde ve eğer n ile S = A nin aynı elemanını temsil ediyor yani ( w, w ) 2 # ise w = w şeklinde yazılır. Bu durumda w = w2 S de sağlanıyor denir. 2 Tanım A bir yarıgrup takdimi ve w, w2 A + olsun. Eğer w aub, w2 avb olacak şekilde, A ve ( uv, ) ab veya ( vu, ) mevcut ise w 2, deki bir ilişki bir kez uygulanarak w den elde edilmiştir denir. Eğer w w veya her i=,2,, n- 2 K için i a i den elde edilmiş olmak üzere kelimelerin sonlu bir a +, deki bir ilişki bir kez uygulanarak w a fia fil fi a w 2 n 2 35

45 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE dizisi mevcut ise w 2, w den deki ilişkiler kullanılarak elde edilmiştir denir. w Ayrıca 2 = w, A nin veya sadece nin bir sonucudur da denir. Tanım = A, S için bir takdim ve W A + olsun. Eğer W kümesi S nin her bir elemanını sadece bir elemanla temsil eden kelimelerden oluşuyor ise W ya S için bir kanonik form veya normal form denir. Önerme = A bir yarıgrup takdimi ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. w, w2 A + w gerek ve yeter koşul 2 olmak üzere w = w2 nin S de sağlanıyor olması için = w nin nin bir sonucu olmasıdır. İspat: Howie (995), Proposition.5.9 a bakınız. Önerme = A bir yarıgrup takdimi ve S, P tarafından tanımlanan yarıgrup olsun. Ayrıca T, bir B kümesi tarafından doğurulan yarıgrup olsun. Eğer f : Afi B örten bir fonksiyon mevcut ve f : A T + fi nin tek genişlemesi olarak tanımlanan doğal homomorfizm olmak üzere "(, rs) için rf sf T, S nin bir homomorfik görüntüsüdür. Diğer bir ifade ile T S üzerinde bir r kongrüansı vardır. = S r olacak şekilde İspat: uskuc (995), Proposition 2. e bakınız. Sonuç S homomorfik görüntüsüdür. = A ve T = AQ olsun. Eğer Q ise T, S nin bir 36

46 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Sonuç S, A takdimi ile tanımlanan yarıgrup ve T = A = A + serbest yarıgrup olsun. O zaman olup S, T nin bir homomorfik görüntüsüdür. Dolayısıyla her yarıgrup bir serbest yarıgrubun homomorfik görüntüsüdür. Teorem S bir yarıgrup, A S ve S = A olsun. O zaman A nin S için bir takdim olabilmesi için gerek ve yeter koşul (i) deki tüm ilişkilerin S de sağlanıyor olması ve (ii) her uv, A + için u= v bağıntısı S de sağlanıyor iken u= v bağıntısının nin bir sonucu olmasıdır. İspat: uskuc (995), Proposition 2.3 e bakınız. Sonuç S, X S kümesi tarafından doğurulan bir yarıgrup ve A, herhangi bir küme olmak üzere f : Afi X bir örten fonksiyon ve A A + + olsun. O halde yeter koşul f, f A ikilisinin S nin bir yarıgrup takdimi olması için gerek ve nin tek homomorfizm genişlemesi olarak tanımlanan homomorfizm olmak üzere (i) "(, rs) için rf sf = olması ve (ii) " uv, A + için uf = vf olduğunda u = v ilişkisinin nin bir sonucu olmasıdır. 37

47 2. TEMEL TANIM VE TEOEMLE Merve BENLİCE Sonuç S bir yarıgrup, A herhangi bir küme ve f : Afi S bir fonksiyon olsun. O halde A ikilisinin S nin bir yarıgrup takdimi olması için gerek ve yeter koşul f, f nin tek homomorfizm genişlemesi olarak tanımlanan homomorfizm olmak üzere (i) Af nin S için bir doğuray kümesi olması, (ii) "(, rs) için rf sf = olması ve (iii) " uv, A + için uf = vf olduğunda u = v ilişkisinin nin bir sonucu olmasıdır. Önerme M bir monoid olsun. Eğer A, M nin bir yarıgrup takdimi ve w A +, birim elemanı temsil eden bir kelime ise A, w= M nin bir monoid takdimidir. Diğer taraftan eğer BQ M nin bir monoid takdimi, eˇ B ve Q de Q daki ilişkilerde yerine e yazılması ile elde edilen ilişkiler kümesi ise 2 B, eq, e = ebe, = beb, = b (" b B) M nin bir yarıgrup takdimidir. Sonuç M bir monoid olsun. M nin sonlu monoid takdimli olması için gerek ve yeter koşul sonlu yarıgrup takdimli olmasıdır. 38

48 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ 3.. Serbest Monoidlerde Sıralamalar Tanım 3... S boş olmayan bir küme olsun. S üzerinde aşağıdaki aksiyomları sağlayan < bağıntısına S üzerinde bir lineer sıralama ve bu durumda S ye bir lineer sıralı küme denir. Bu aksiyomlar (i) < geçişli, (ii) < ters simetrik ve (iii) her, rs S ve r s için r < s veya s< r şeklindedir. Eğer < bağıntısı S üzerinde (i) ve (ii) özelliklerini sağlıyorsa < bağıntısına bir kısmi sıralama ve bu durumda S ye bir kısmi sıralı küme denir. S üzerinde kesin azalan sonsuz bir diziye sahip olmayan bir lineer sıralamaya ise S üzerinde bir iyi sıralama ve bu durumda S ye bir iyi sıralı küme denir. Örnek S sonlu bir küme ise S nin herhangi bir lineer sıralaması iyi sıralamadır. Örnek Doğal sayılar kümesi bildiğimiz sıralama ile iyi sıralı kümedir. Tanım S, < bağıntısı ile lineer sıralı bir küme ve n S = S S L de S nin ( r, r, K, r ),( s, s, K, s ) S n -li elemanlarının oluşturduğu bir küme olsun. 2 n 2 için eğer r< s veya s = r,, si- = ri- ve ri < si mevcut ise K olacak şekilde bir i n n n 39

49 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE ( r, r, K, r ) < ( s, s, K, s ) 2 n 2 n yazılır. Bu sıralamaya n S üzerinde bir (soldan sağa) alfabetik sıralama denir. Tanım A, < ile lineer sıralı bir alfabe olsun. Aşağıda tanımlanan sıralamaya A üzerindeki alfabetik sıralama denir. ve yeter koşul r rr r ve s ss s A 2L k 2L l olmak üzere r s < olması için gerek (i) r elemanının s nin bir ön eki olması, yani k < l ve r = s,..., r k = s k olması veya r = s, K, r i = s i ve r i < s i olacak şekilde bir i min{ kl,} nin (ii) - - mevcut olmasıdır. yarı A üzerindeki alfabetik sıralama lineerdir. yarı A 2 ise A üzerindeki alfabetik sıralama iyi sıralı olmayabilir. Örneğin; A= {, ab, K, z} ve a< b< < z K olmak üzere grup> grrup> grrrup >K dizisi A da kesin azalan sonsuz bir dizidir. Tanım A bir alfabe ve rs, A olmak üzere r < s r < s veya r = s iken r, sden alfabetik sıralama ile daha küçük 40

50 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE şeklinde tanımlanan sıralamaya uzunluk artı alfabetik (l-p-l) sıralama denir. l-p-l sıralamayı diğerlerinden ayırmak için << ile göstereceğiz. Eğer A iyi sıralı ise A, l-p-l sıralaması ile iyi sıralı ve lineerdir. Tanım A üzerinde rs, A olmak üzere r < s r < s şeklinde tanımlanan sıralamaya uzunluk uyumlu (azaltan) sıralama; ve her uv, A için r < s urv< usv şeklinde tanımlanan sıralamaya tercüme-değişmez sırama denir. Bir tercümedeğişmez iyi sıralamaya indirgenmiş sıralama denir. Önerme Boş kelime e indirgenmiş sıralamada en küçük elemandır. İspat: Kabul edelim ki sıralamanın tercüme-değişmez oluşundan e > r olacak şekilde bir r A + mevcut olsun. O zaman r e e r > e r r r r e r r > e r r r , ve benzer şekilde devam edilirse 2 3 e > r > r > r >L 4

51 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE şeklinde kesin azalan sonsuz bir dizi elde edilir. Bu durum indirgenmiş sıralamanın iyi sıralama oluşuyla çelişir. yarı 3... İyi sıralı bir tercüme-değişmez sıralamada urv olduğu açıktır. Diğer yandan; r > s ise urv> usv olur. < usv ise r < s yarı Bir sıralamanın tercüme-değişmez olduğunu göstermek için her rs, A ve her, göstermek yeterlidir. ab A için r < s olduğunda ar < as ve rb< sb olduğunu yarı A 2 ise A da tanımlı alfabetik sıralama tercüme-değişmez değildir. Örneğin; A= {, ab} ve a< b olsun. Fakat a< aa iken ab aab > dir. Ancak, aynı uzunluktaki kelimeler için tercüme-değişmez özelliği sağlanır. Gerçekten de r = s ve r < s iken ar< as ve rb< sb olur. yarı l-p-l sıralamada r < s ve r < s iken ar < as ve rb < sb olduğundan, ayrıca r = s ve r < s iken ar< as ve rb< sb olduğundan l-p-l sıralama bir tercüme-değişmez sıralama olur. Dolayısıyla l-p-l sıralama, bir indirgenmiş sıralamadır Yerine-yazma Sistemleri Tanım A bir alfabe ve A, A üzerindeki serbest monoid olmak üzere <, A üzerinde bir indirgenmiş sıralama ve, için r A A kümesinin her (, rs) > s şeklindeki elemanlarından oluşan bir altkümesi olsun. O zaman ( A, <, ) üçlüsüne A üzerinde bir yerine-yazma sistemi denir. Bu durumda (, rs) elemanına bir yerine-yazma kuralı denir ve r s fi şeklinde gösterilir. 42

52 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE Genel olarak w, w2 uv, A ve r s w A olsun. Eğer fi mevcut ise 2 urv ve w2 usv olacak şekilde w, deki bir ilişki bir kez uygulanarak w den elde edilmiştir denir ve wfi w2 veya wfi w2 yazılır. Eğer w w2 veya her i=,2, K, n için a A olmak üzere sonlu bir i w a fia fil fi a w 2 n 2 dizisi mevcut ise w, w 2 yi ile yerine yazar denir ve ifade ile fi, Ayrıca gösterelim. fi nin yansımalı ve geçişmeli kapanışıdır. w fi w yazılır. Diğer bir 2 fi nin yansımalı, simetrik ve geçişmeli kapanışını «, A + üzerinde tarafından doğurulan kongrüans olup bölüm grubunu tanımlar ve u A + için Eğer wfi z olacak şekilde bir u modülo z «sınıfı [ ] «ile A + / «u ile gösterilir. A kelimesi mevcut ise w A kelimesine ( ye göre) indirgenebilir kelime denir. Aksi takdirde w ye ( ye göre) indirgenemez kelime denir ve A + olan elemanların kümesi Irr( ) veya Irr ile gösterilir. da nin hiçbir kuralı ile indirgenemez Tanım Eğer wfi y ve y indirgenemez ise y kelimesine w kelimesinin ( ye göre) indirgenemez (normal) formu denir. yarı Bir yerine yazma sisteminde normal (indirgenemez) kelimelerin kümesi normal formları oluşturur. Örnek A= {, ab}ve a< b olsun. Ayrıca <, A da bir l-p-l sıralama ve a eb ebab aba 2 2 = { fi, fi, fi } olsun. Örneğin, 43

53 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE ababbafiaababafibabafiabaafi ab olur. Benzer şekilde normal formların kümesinin {, eabab,,, ba, aba } olduğu kolayca gösterilebilir. Örnek X xyx y - - = {,,, } ve x y x y - - > > > olsun. Ayrıca <, X da bir l-p-l sıralama ve xx ex x e yy e y y e = { fi, fi, fi, fi } olsun. Eğer w xyx xy x y yxy ise deki farklı kuralları uygulayarak w xyx xy x y yxyfixyy x y yxyfixx y yxy fi - y yxy fixy veya fi fi w xyx xy x y yxy xyx xy x xy xyx xy y fi - xyx x fixy olur. Dikkat edilirse, bu iki yerine-yazmanın sonucunda aynı eleman elde edildi. Örnek A= {, ab}, a< b ve a eb e ab e = { fi, fi,( ) fi } olsun., < sıralaması ile A üzerinde bir yerine-yazma sistemidir. Eğer w 2 ababab alınır ise deki farklı kuralları uygulayarak 3 2 w aab ( ) fi a veya w abababfi babab olur. Bu durumda iki yerine-yazmanın sonucunda farklı (indirgenemez) elemanlar elde edildi. 44

54 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE Teorem ufi v ise her w A için uwfi vw ve wufi wv olur. İspat: Çalışkan (2002), Teorem ye bakınız. Tanım ( A, <, ) bir yerine-yazma sistemi ve " ~" da nin A üzerinde doğurduğu kongrüans olmak üzere w / ~ nin en küçük elemanına kanonik formu denir. w A ın Önerme Bir kanonik formun her alt kelimesi de kanoniktir. İspat: v bir kanonik form ve u da v nin bir alt kelimesi olsun. O zaman v aub olacak şekilde a ve b kelimeleri vardır. Eğer u kanonik form olmasaydı u~ u ve u < u olacak şekilde bir u u/~ var olup aub< aub olurdu. Ayrıca < sıralaması tercüme değişmez olduğundan v aub aub v < olurdu. Ancak, v v/~ olup bu durum v nin en küçük olması ile çelişir. O halde u bir kanonik formdur. yarı Eğer ~ u v ise her i=,2, K, l için olacak şekilde bir u u0, u, K, ul v sonlu dizisi vardır. ui ui - fi veya u fi i- u i Tanım Eğer u ~ vşeklindeki tüm uv, A için u fi w ve vfi w olacak şekilde bir w özelliğine sahiptir denir. A mevcut ise bu yerine-yazma sistemine Church-osser Teorem Eğer bir yerine-yazma sistemi Church-osser özelliğine sahip ise her kongrüans sınıfı tam olarak bir tane indirgenmiş forma sahiptir. 45

55 3. YEİNE-YAZMA SİSTEMLEİ Merve BENLİCE İspat: uv, A, u ~ v ve u ile v nin ikisi de indirgenemez olsun. Church-osser özelliğinden u fi w ve indirgenemezliğinden u w v olur. v fi w olacak şekilde bir w A vardır. u ve v nin Tanım Eğer u fi v ve u fi w şeklindeki her uvw,, A için vfi t ve w fi t olacak şekilde bir t A mevcut ise bu yerine-yazma sistemine confluent sistem denir. Eğer u fi v ve ufi w şeklindeki her uvw,, A için v fi t ve w fi t olacak şekilde bir confluent sistem denir. t A mevcut ise bu yerine-yazma sistemine yerel Teorem Bir yerine-yazma sistemi için Church-osser özelliğine sahip olma yerel confluent sistem olma ve confluent sistem olma denktir. İspat: Arthur, Araujo ve Thomson (999), Teorem.28 e bakınız. Sonuç Eğer bir yerine-yazma sistemi confluent ise yerine yazılan bir kelimeden elde edilen indirgenmiş form kanonik formdur. Örnek (i) 2 2 ab, a eb, ebab, aba fi fi fi yerine-yazma sistemi confluent sistemdir. Örneğin; aaafia ve aaafia bbabfibabafiabaafiab ve bbabfiab babbfiba ve babbfiababfiaabafiba bababfibaabafibbafia ve bababfiabaabfiabbfia 46