KÜME DİZİLERİNDE ASİMPTOTİK DENKLİK ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ. Ramazan SUNAR. DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Uğur ULUSU MATEMATİK ANABİLİM DALI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜME DİZİLERİNDE ASİMPTOTİK DENKLİK ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ. Ramazan SUNAR. DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Uğur ULUSU MATEMATİK ANABİLİM DALI"

Transkript

1 KÜME DİZİERİNDE ASİMPTOTİK DENKİK ÜZERİNE YÜKSEK İSANS TEZİ Ramaza SUNAR DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Uğur UUSU MATEMATİK ANABİİM DAI KASIM, 205

2 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK İSANS TEZİ KÜME DİZİERİNDE ASİMPTOTİK DENKİK ÜZERİNE Ramaza SUNAR DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Uğur UUSU MATEMATİK ANABİİM DAI KASIM, 205

3

4 BİİMSE ETİK BİDİRİM SAYFASI Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırladığım bu tez çalışmasıda; Tez içideki bütü bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçeveside elde ettiğimi, Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve souçları bilimsel ahlak kurallarıa uygu olarak suduğumu, Başkalarıı eserleride yararlaılması durumuda ilgili eserlere bilimsel ormlara uygu olarak atıfta buluduğumu, Atıfta buluduğum eserleri tümüü kayak olarak gösterdiğimi, Kullaıla verilerde herhagi bir tahrifat yapmadığımı, Ve bu tezi herhagi bir bölümüü bu üiversite veya başka bir üiversitede başka bir tez çalışması olarak sumadığımı beya ederim. 24//205 Ramaza SUNAR

5 ÖZET Yüksek isas Tezi KÜME DİZİERİNDE ASİMPTOTİK DENKİK ÜZERİNE Ramaza SUNAR Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Yrd. Doç. Dr. Uğur UUSU Bu tez çalışması dört aa bölümde oluşmaktadır. Birici bölüm giriş kısmıa ayrılarak kouu tarihi gelişimi ve geel bir literatür bilgisi verilmiştir. İkici bölümde, çalışmamızı daha iyi alaşılabilmesi içi gerekli ola temel kavramlarda bahsedilmiştir. Üçücü bölümde ise, küme dizileri içi Wijsma alamıda asimptotik deklik kavramları taıtılıp bular arasıdaki ilişkiler gösterilmiştir. Dördücü bölümde; I ideali kullaılarak, küme dizileri içi Wijsma asimptotik I-deklik, Wijsma asimptotik I-Cesaro deklik, Wijsma asimptotik I-istatistiksel deklik ve Wijsma asimptotik I λ -istatistiksel deklik kavramları, buları kedie özgü özellikleri ve bu kavramlar arasıdaki ilişkiler verilmiştir. 205, vi + 32 sayfa Aahtar Kelimeler: İstatistiksel yakısaklık, I-yakısaklık, λ-yakısaklık, Cesaro toplaabilme, lacuary dizi, asimptotik deklik, Wijsma yakısaklık, küme dizisi. i

6 ABSTRACT M.Sc Thesis ON ASYMPTOTICAY EQUIVAENCE IN SEQUENCES OF SETS Ramaza SUNAR Afyo Kocatepe Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Matematics Supervisor: Assitat Prof. Dr. Uğur UUSU This thesis cosists of four mai parts. The first part is devoted to the itroductio part that cotais of the historical developmet of the subject ad a geeral literature about it. I the secod part, the basic cocepts ecessary for our work are give. I the third part, the cocept of asymptotically equivalece of sequeces of sets i Wijsma sese is itroduced ad the relatioships betwee them are give. I the fourth part, by usig the I ideal for sequeces of sets, Wijsma asymptotic I-equivalece, Wijsma asymptotically I-Cesaro equivalece, Wijsma asymptotically I-statistical equivalece ad Wijsma asymptotically I λ -statistical equivalece cocepts, their distictive properties ad relatioships betwee these cocepts are give. 205, vi + 32 pages Key Words: Statistical covergece, I-covergece, λ-covergece, Cesaro summability, lacuary sequece, asymptotically equivalece, Wijsma covergece, sequeces of sets. ii

7 TEŞEKKÜR Bu araştırmaı kousuu verilmesi, çalışmaları yöledirilmesi, souçları değerledirilmesi ve yazımı aşamasıda yapmış olduğu büyük katkılarıda dolayı tez daışmaım sayı Yrd. Doç. Dr. Uğur UUSU ya ve yüksek lisas eğitimim boyuca her kouda öeri ve eleştirileriyle yardımlarıı gördüğüm hocalarıma ve arkadaşlarıma teşekkür ederim. Bu araştırma boyuca maddi ve maevi destekleride dolayı aileme teşekkür ederim. Ramaza SUNAR AFYONKARAHİSAR, 205 iii

8 İÇİNDEKİER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii İÇİNDEKİER... iv SİMGEER DİZİNİ... v. GİRİŞ TEME KAVRAMAR KÜME DİZİERİN ASİMPTOTİK İSTATİSTİKSE DENKİĞİ KÜME DİZİERİNİN ASİMPTOTİK I-DENKİĞİ KAYNAKAR ÖZGEÇMİŞ iv

9 SİMGEER DİZİNİ Simgeler N R θ = {k r } S δ(k) Λ x k (S λ ) x ~ y x S ~ y Doğal Sayılar Kümesi Reel Sayılar Kümesi acuary dizi İstatistiksel yakısak diziler uzayı K kümesii doğal yoğuluğu λ = (λ ) dizilerii kümesi λ-istatistiksel yakısak dizi Asimptotik dek diziler Asimptotik istatistiksel dek diziler x N θ ~ y Asimptotik lacuary dek diziler x [N] θ ~ y x S θ ~ y Kuvvetli Asimptotik lacuary dek diziler Asimptotik lacuary istatistiksel dek diziler Küme dizisi ~ B k WS ~ B k WN θ ~ B k Asimptotik dek küme dizileri Wijsma asimptotik istatistiksel dek diziler Wijsma asimptotik lacuary dek diziler [WN] θ ~ B k Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dek diziler WS θ ~ B k Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dek diziler I W ~ B k Wijsma asimptotik I-dek diziler C (I w ) ~ B k Wijsma asimptotik I-Cesaro dek diziler C [I w ] ~ B k Wijsma kuvvetli asimptotik I-Cesaro dek diziler v

10 S (I w ) ~ B k Wijsma asimptotik I-istatistiksel dek diziler V λ (Iw ) ~ B k Wijsma asimptotik I λ -dek diziler V λ [Iw ] ~ B k Wijsma kuvvetli asimptotik I λ -dek diziler S λ (Iw ) ~ B k Wijsma asimptotik I λ -istatistiksel dek diziler vi

11 . GİRİŞ Yakısaklık kavramıı bir geelleştirmesi ola ve temeli pozitif tamsayıları doğal yoğuluğu kavramıa dayaa istatistiksel yakısaklık kavramı, toplaabilme teoriside ve foksiyoel aalizde öemli bir yer tutmaktadır. İstatistiksel yakısaklık kavramı ilk kez Steihaus tarafıda 949 da katıldığı bir koferasta verilmiştir. Bu koudaki ilk makale ise Fast (95) tarafıda yayılamıştır. Ayrıca, Schoeberg (959) ve Buck (953) tarafıda da birbiride bağımsız olarak çalışılmıştır. İstatistiksel yakısaklığı reel ve kompleks diziler ile ilişkisi Buck (953) tarafıda ve toplaabilme teorisi ile ilişkisi Schoeberg (959) tarafıda verilmiştir. İlerleye zamalarda Fridy ve Orha (993), lacuary dizi kavramıı kullaarak, istatistiksel yakısaklıkla arasıda öemli ilişkiler bulua ve yie yakısaklık alaıda öemli bir yer tuta lacuary istatistiksel yakısaklık kavramıı taıtmışlardır. Fridy ve Orha (993) çalışmalarıda; başta istatistiksel yakısaklık kavramı olmak üzere diğer toplaabilme metodları ile lacuary istatistiksel yakısaklık kavramı arasıdaki ilişkileri icelemişlerdir. Mursalee (2000) λ = (λ ) dizi kavramıı kullaarak λ-istatistiksel yakısaklık kavramıı vermiş ve bu kavramı istatistiksel yakısaklık, kuvvetli Cesaro toplaabilirlik ve V λ -toplaabilirlik kavramları ile ilişkisii göstermiştir. I-yakısaklık fikri, N doğal sayılar kümesii alt kümelerii I idealii yapısı üzerie işa edile istatistiksel yakısaklık kavramıı bir geelleştirmesi olarak Kostyrko vd. (2000) tarafıda yapıla bir çalışmada ortaya çıkmıştır. Ayrıca, Kostyrko vd. bu çalışmalarıda I-yakısaklığı bazı özelliklerii icelemiş ve doğal kapsama teoremleri vermişlerdir. So zamalarda, Das vd. (20) I idealii kullaarak, I-istatistiksel yakısaklık ve I-lacuary istatistiksel yakısaklık diye adladırıla yei kavramları taıtmışlardır. Marouf (993) asimptotik deklik ve asimptotik regüler matrisler içi taımlar vermiştir. Patterso (2003) bu kavramları, bu taımları asimptotik istatistiksel dek bezerii ve egatif olmaya toplaabilir matrisler içi doğal regülerlik şartlarıı vererek geişletmiştir.

12 Patterso ve Savaş (2006) da lacuary dizi kavramıı kullaarak Patterso (2003) tarafıda verile taımları daha da geişletmişlerdir. Ayrıca, bu yei taımlara ek olarak doğal kapsama teoremleri vermişlerdir. So zamalarda, Savaş (203) asimptotik deklik ve I-lacuary istatistiksel yakısaklık kavramlarıı doğal bir kombiasyou ola asimptotik I-lacuary istatistiksel deklik kavramıı taıtmıştır. Sayı dizilerii yakısaklığı kavramı pek çok yazar tarafıda küme dizilerii yakısaklığı kavramıa geişletilmiştir. Bu geişlemelerde biri de, bu çalışmada dikkate alıa, Wijsma yakısaklık kavramıdır. Nuray ve Rhoades (202) küme dizilerii Wijsma yakısaklığı kavramıı istatistiksel yakısaklığa geişletmişler ve bazı temel teoremler vermişlerdir. Ulusu ve Nuray (202) lacuary dizi kavramıı kullaarak Wijsma lacuary istatistiksel yakısaklık kavramıı taımlamışlar ve bu kavramı Wijsma istatistiksel yakısaklık kavramı ile ilişkisii icelemişlerdir. Kişi ve Nuray (203) küme dizileri içi Wijsma I-yakısaklık olarak adladırıla yei bir yakısaklık çeşidii vermişlerdir. So zamalarda, Ulusu ve Düdar (204) küme dizilerii Wijsma I-istatistiksel yakısaklığı, Wijsma kuvvetli I-lacuary yakısaklığı ve Wijsma I-lacuary istatistiksel yakısaklığı kavramlarıı vermiş ve bular arasıdaki ilişkileri icelemişlerdir. Bu tez çalışmasıdaki amacımız, küme dizileri içi Wijsma alamıda asimptotik deklik kavramlarıı vermek ve bu kavramlar arasıdaki ilişkileri icelemektir. Böylece, reel sayı dizileri içi geçerli ola souçları geelleştirmeleri elde edilmiş olacaktır. Bu bağlamda, tez çalışmasıda öcelikle; çalışmamızı daha alaşılır olması içi gerek duyula bazı temel kavramlar verilmiştir. Daha sora, üçücü bölümde; küme dizileri içi Wijsma alamıda asimptotik deklik, Wijsma asimptotik istatistiksel deklik, Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel deklik kavramları, buları kedie özgü özellikleri ve bu kavramlar arasıdaki ilişkiler verilmiştir. Dördücü bölümde; küme dizileri içi, I ideali kullaılarak, Wijsma asimptotik I-deklik, Wijsma asimptotik I-Cesaro deklik, Wijsma asimptotik I-istatistiksel deklik ve Wijsma asimptotik I λ -istatistiksel deklik kavramları, buları kedie özgü özellikleri ve bu kavramlar arasıdaki ilişkiler verilmiştir. 2

13 2. TEME KAVRAMAR Bu bölümde, çalışmamızı daha alaşılır olması içi gerek duyula bazı temel kavramlar verilecektir. Taım 2. Taım kümesi N + = {,2,,, } (doğal sayılar) kümesi ola her foksiyoa dizi deir. Diziler değer kümelerie göre adladırılır. Eğer bir dizii değer kümesi reel sayılar kümesi ise, diziye reel terimli dizi veya reel sayı dizisi ya da reel dizi deir. Yai reel terimli bir dizi f N + R şeklide bir foksiyodur. Geel terimi x ola bir dizi (x ) = {x, x 2,, x, } şeklide gösterilir. Taım 2.2 (x ) bir reel sayı dizisi ve x R olsu. Her ε > 0 içi, > 0 olduğuda x x < ε olacak şekilde ε a bağlı bir 0 N sayısı buluabiliyorsa (x ) dizisi x e yakısaktır deir ve lim x = x veya (x ) x şeklide gösterilir (Balcı 999). Herhagi bir sayıya yakısaya diziye yakısak dizi deir. Taım 2.3 Eğer her > 0 sayısı içi x K olacak şekilde bir K > 0 sabit sayısı buluabiliyorsa (x ) dizisie sıırlı dizi deir (Balcı 999). Taım 2.4 x = (x k ) dizisi içi, lim x k = k= oluyorsa, x = (x k ) dizisi sayısıa Cesaro toplaabilirdir deir (Başar 20). 3

14 Taım 2.5 x = (x k ) dizisi içi, lim x k = 0 k= oluyorsa, x = (x k ) dizisi sayısıa Kuvvetli Cesaro toplaabilirdir deir (Freedma et al. 978). Taım 2.6 Pozitif tamsayılarda oluşa bir K kümesii doğal yoğuluğu δ(k) = lim {k k K} olarak taımlaır (Nive et al. 99). Burada {k k K} ifadesi K kümesii sayısıda büyük olmaya elemalarıı sayısıı göstermektedir. Taım 2.7 Her ε > 0 içi, lim {k x k ε} = 0 oluyorsa, x = (x k ) dizisi sayısıa istatistiksel yakısaktır deir ve st limx k = şeklide gösterilir (Fridy 985). Taım 2.8 θ = {k r } dizisi, k 0 = 0 ve r içi h r = k r k r olacak şekilde arta bir tamsayı dizisi ise, o zama θ = {k r } dizisie bir lacuary dizi deir (Fridy ve Orha 993). Çalışmamız boyuca θ = {k r } lacuary dizisi tarafıda belirlee aralıkları I r = (k r, k r ] ile belirteceğiz. Ayrıca, k r k r oraı ise q r ile gösterilecektir. Taım 2.9 θ = {k r } bir lacuary dizi olsu. Eğer x = (x k ) dizisi içi, lim x r h k = r k I r olacak şekilde bir sayısı varsa x = (x k ) dizisi sayısıa lacuary toplaabilirdir deir (Mursalee ad Alotaibi 20). 4

15 Taım 2.0 θ = {k r } bir lacuary dizi olsu. Eğer x = (x k ) dizisi içi, lim x r h k = 0 r k I r olacak şekilde bir sayısı varsa x = (x k ) dizisi sayısıa kuvvetli lacuary toplaabilirdir deir (Freedma et al. 978). Taım 2. θ = {k r } bir lacuary dizi olsu. Eğer her ε > 0 içi, lim {k I r h r x k ε} = 0 r olacak şekilde bir sayısı varsa x = (x k ) dizisie sayısıa lacuary istatistiksel yakısaktır deir ve S θ limx k = şeklide gösterilir (Fridy ve Orha 993). Taım 2.2 λ = (λ ) dizisi, λ =, λ + λ + olacak şekilde sosuza yakısaya pozitif sayıları azalmaya bir dizisi olsu. I = [ λ +, ] olmak üzere, t (x) = λ x k k I ifadesie geelleştirilmiş de la Vallee Poussi ortalaması deir. Eğer, lim t (x) = lim x λ k = k I olacak şekilde bir sayısı varsa x = (x k ) dizisie V λ -toplaabilirdir deir (Mursalee 2000). Yukarıdaki taımda λ = alıırsa, Cesaro toplaabilirlik elde edilir. 5

16 Taım 2.3 λ = (λ ) dizisi, λ =, λ + λ + olacak şekilde sosuza yakısaya pozitif sayıları azalmaya bir dizisi olsu. I = [ λ +, ] olmak üzere eğer, lim x λ k = 0 k I olacak şekilde bir sayısı varsa x = (x k ) dizisie kuvvetli V λ -toplaabilirdir deir (Mursalee 2000). Yukarıdaki taımda λ = alıırsa, kuvvetli Cesaro toplaabilirlik elde edilir. λ = ve λ + λ olacak şekilde sosuza yakısaya pozitif sayıları azalmaya tüm λ = (λ ) dizilerii kümesi Λ ile gösterilir. Taım 2.4 λ = (λ ) dizisi, λ =, λ + λ + olacak şekilde sosuza yakısaya pozitif sayıları azalmaya bir dizisi olsu. I = [ λ +, ] olmak üzere eğer her ε > 0 içi, lim {k I λ : x ε} = 0 oluyorsa, x = (x k ) dizisi sayısıa λ-istatistiksel yakısaktır deir ve x k (S λ ) ile gösterilir (Mursalee 2000). Taım 2.5 I 2 N kümeler ailesii bir ideal olması içi gerek ve yeter şart, i. I ii. Her A, B I içi A B I iii. Her A I ve her B A içi B I şartlarıı sağlamasıdır (Kostyrko et al. 2000). Eğer N I ise I ya bir o-trivial ideal deir. Ayrıca I bir o-trivial ideal ve her N içi {} I oluyorsa, I idealie uygu ideal deir (Kostyrko et al. 2000). 6

17 Taım 2.6 F 2 N kümeler ailesii bir süzgeç olması içi gerek ve yeter koşul, i. F ii. Her A, B F içi A B F iii. Her A F ve her B A içi B F şartlarıı sağlamasıdır (Kostyrko et al. 2000). Öerme 2. I ı N de bir o-trivial ideal olması içi gerek ve yeter koşul F = F(I) = {M = N A: A I} kümesii X de bir süzgeç olmasıdır ki bu F(I) ya I ile birleştirilmiş süzgeç deir (Kostyrko et al. 2000). Taım 2.7 I 2 N bir o-trivial ideal olsu. Eğer her ε > 0 içi A(ε) = {k N: x k ε} kümesi I ya ait oluyorsa, (x k ) dizisi sayısıa I-yakısaktır deir (Kostyrko et al. 2000). Taım 2.8 I 2 N bir o-trivial ideal olsu. Eğer her ε > 0 ve her δ > 0 içi, { N: {k : x k ε} δ} kümesi I ya ait oluyorsa, (x k ) dizisie sayısıa I-istatistiksel yakısaktır deir (Das et al. 20). Taım 2.9 x = (x k ) ve y = (y k ) egatif olmaya iki dizi olsu. Eğer, lim k x k y k = oluyorsa, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilerie asimptotik dektir deir ve x ~ y şeklide gösterilir (Marouf 993). 7

18 Taım 2.20 x = (x k ) ve y = (y k ) egatif olmaya iki dizi olsu. Eğer ε > 0 içi, lim {k x k y k ε} = 0 oluyorsa, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilerie katlı asimptotik istatistiksel dektir deir ve x S ~ y ile gösterilir. Eğer = ise, basitçe asimptotik istatistiksel dektir deir (Patterso 2003). Taım 2.2 θ bir lacuary dizi ve x = (x k ), y = (y k ) egatif olmaya iki dizi olsu. Eğer, lim x k = r h r y k k I r oluyorsa, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilerie katlı asimptotik lacuary dektir deir ve x N θ ~ y biçimide gösterilir. Eğer = ise, basitçe asimptotik lacuary dektir deir (Patterso ve Savaş 2006). Taım 2.22 θ bir lacuary dizi ve x = (x k ), y = (y k ) egatif olmaya iki dizi olsu. Eğer, lim r h r x k y k k I r = 0 oluyorsa, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilerie katlı kuvvetli asimptotik lacuary dektir deir ve x [N] θ ~ y biçimide gösterilir. Eğer = ise basitçe kuvvetli asimptotik lacuary dektir deir (Patterso ve Savaş 2006). Taım 2.23 θ bir lacuary dizi ve x = (x k ), y = (y k ) egatif olmaya iki dizi olsu. Eğer her ε > 0 içi, lim r h r {k I r x k y k ε } = 0 oluyorsa, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilerie katlı asimptotik lacuary istatistiksel dektir deir ve x S θ ~ y biçimide gösterilir. Eğer = ise, basitçe asimptotik lacuary istatistiksel dektir deir (Patterso ve Savaş 2006). 8

19 Taım 2.24 X boş olmaya bir küme olsu. ρ: X X R foksiyou içi, M. ρ(x, y) = 0 x = y M2. ρ(x, y) = ρ(y, x) M3. ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) şartları sağlaıyorsa, ρ ya X de bir metrik ve ρ ile birlikte X e metrik uzay deir. Bu durum geellikle (X, ρ) ile gösterilir (Bayraktar 2000). Taım 2.25 X ve N doğal sayılar kümesi olmak üzere, f: N P(X) şeklide taımlı foksiyo her k N içi P(X) de bir f(k) = P(X) kümesi belirler. Bu f foksiyouu görütü kümesii oluştura A, A 2, kümelerii oluşturduğu = {A, A 2, } dizisie küme dizisi deir. Taım 2.26 (X, ρ) bir metrik uzay olsu. Herhagi bir x X oktası ve X i boş olmaya herhagi bir A altkümesi içi; x i A ya ola uzaklığı olarak taımlaır (Nuray ve Rhoades 202). d(x, A) = if ρ(x, a) a A Taım 2.27 A R ve a A olsu. Eğer D(a, ε) A olacak şekilde bir ε > 0 sayısı varsa, a oktasıa ümesii bir iç oktasıdır deir. ümesii iç oktalarıı kümesie A ı içi deir ve A o ile gösterilir. Eğer A o = A ise A ya R de bir açık küme deir. Tümleyei açık ola kümeye ise kapalı küme deir (Bayraktar 2000). Taım 2.28 (X, ρ) bir metrik uzay ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi oluyorsa, lim d(x, ) = d(x, A) k dizisi ümesie Wijsma yakısaktır deir. Bu durumda, W lim = A olarak yazılır (Baroti ad Papii 986). 9

20 Taım 2.29 (X, ρ) bir metrik uzay ve, X i boş olmaya kapalı herhagi altkümeleri olsu. Eğer her x X içi sup k d(x, ) < oluyorsa dizisi sıırlıdır deir ve şeklide yazılır (Nuray ve Rhoades 202). Taım 2.30 (X, ρ) bir metrik uzay olsu. Boş olmaya kapalı herhagi A, X altkümeleri içi, eğer d(x, ) dizisi d(x, A) ya istatistiksel yakısaksa; yai her ε > 0 ve her x X içi, lim {k d(x, ) d(x, A) ε} = 0 oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma istatistiksel yakısaktır deir. Bu durumda st lim w = A yazılır (Nuray ve Rhoades 202). Taım 2.3 (X, ρ) bir metrik uzay, θ bir lacuary dizi ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, A r h k ) = d(x, A) r k I r oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma lacuary toplaabilirdir deir ve A(WN θ ) şeklide gösterilir (Ulusu ve Nuray 202). Taım 2.32 (X, ρ) bir metrik uzay, θ bir lacuary dizi ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, A r h k ) d(x, A) = 0 r k I r oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma kuvvetli lacuary toplaabilirdir deir ve A([WN θ ]) şeklide gösterilir (Ulusu ve Nuray 202). Taım 2.33 (X, ρ) bir metrik uzay, θ = {k r } bir lacuary dizi ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, lim r h r k I r d(x, ) d(x, A) ε = 0 0

21 oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma lacuary istatistiksel yakısaktır deir ve S θ lim W = A veya A(WS θ ) şeklide gösterilir (Ulusu ve Nuray 202). Taım 2.34 (X, ρ) bir metrik uzay ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, A λ k ) = d(x, A) k I oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma V λ -toplaabilirdir deir ve A((V λ )) şeklide gösterilir (Kişi ve Nuray 203a). Yukarıdaki taımda λ = olarak alıırsa, Wijsma Cesaro toplaabilirlik kavramı elde edilir. Taım 2.35 (X, ρ) bir metrik uzay ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, A λ k ) d(x, A) = 0 k I oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma kuvvetli V λ -toplaabilirdir deir ve A([V λ ]) şeklide gösterilir (Kişi ve Nuray 203a). Yukarıdaki taımda λ = olarak alıırsa, Wijsma kuvvetli Cesaro toplaabilirlik kavramı elde edilir. Taım 2.36 (X, ρ) bir metrik uzay ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, lim {k I λ : d(x, ) d(x, A) ε} = 0 oluyorsa, dizisi ümesie Wijsma λ-istatistiksel yakısaktır veya WS λ -yakısaktır deir ve A(WS λ ) şeklide gösterilir (Kişi ve Nuray 203a). Yukarıdaki taımda λ = olarak alıırsa, Wijsma istatistiksel yakısaklık kavramı elde edilir.

22 Taım 2.37 (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 N bir uygu ideal ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, A(x, ε ) = {k N: d(x, ) d(x, A) ε} kümesi I ya ait ise, o zama dizisi ümesie Wijsma I-yakısaktır deir ve A(I W ) şeklide gösterilir (Kişi ve Nuray 203b). Taım 2.38 (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 N bir uygu ideal ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, { N: d(x, ) d(x, A) ε} k= kümesi I ya ait ise, o zama dizisi ümesie Wijsma I-Cesaro toplaabilirdir deir ve A(C (I W )) şeklide gösterilir (Ulusu ve Kişi 205). Taım 2.39 (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 N bir uygu ideal ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, { N: d(x, ) d(x, A) ε} k= kümesi I ya ait ise, o zama dizisi ümesie Wijsma kuvvetli I-Cesaro toplaabilirdir deir ve A(C [I W ]) şeklide gösterilir (Ulusu ve Kişi 205). Taım 2.40 (X, ρ) bir metrik uzay, I 2 N bir uygu ideal ve A, X boş olmaya kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0, her δ > 0 ve her x X içi, { N: {k d(x, ) d(x, A) ε} δ} kümesi I ya ait ise, o zama dizisie ümesie Wijsma I-istatistiksel yakısaktır deir ve A(S(I W )) şeklide gösterilir (Kişi vd. submitted for publicatio). 2

23 3. KÜME DİZİERİNİN ASİMPTOTİK İSTATİSTİKSE DENKİĞİ Bu bölümde, Ulusu ve Nuray (203) tarafıda icelee küme dizilerii asimptotik lacuary istatistiksel dekliği kavramı ile ilgili temel taım, örek ve teoremleri vereceğiz. Taım 3. (X, ρ) bir metrik uzay olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim k d(x, ) d(x, B k ) = oluyorsa, ve B k dizilerie Wijsma alamıda asimptotik dektir deir ve ~ B k şeklide gösterilir. Örek 3. (x, y)-düzlemide aşağıdaki çemberler dizilerii göz öüe alalım: = {(x, y) x 2 + y 2 + 2kx = 0} B k = {(x, y) x 2 + y 2 2kx = 0} Bu diziler içi, lim k d(x, ) d(x, B k ) = olduğuda ve B k dizileri Wijsma alamıda asimptotik dektir. Yai ~ B k dır. Öreğimizi bir de şekil üzeride gösterelim; y x 3

24 Taım 3.2 (X, ρ) bir metrik uzay olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, lim {k : d(x, ) ε} = 0 d(x, B k ) oluyorsa, ve B k küme dizilerie katlı Wijsma asimptotik istatistiksel dektir deir ve WS ~ B k şeklide gösterilir. Eğer = ise basitçe Wijsma asimptotik istatistiksel dektir deir. Wijsma asimptotik istatistiksel dek küme dizilerii kümesii {WS } ile göstereceğiz. Örek 3.2: (x, y)-düzlemide aşağıdaki çemberler dizilerii göz öüe alalım: {(x, y) x 2 + y 2 + 2ky = 0}, k bir tamkare sayı ise, = { {(,)}, diğer durumlarda {(x, y) x 2 + y 2 2ky = 0}, k bir tamkare sayı ise, B k = { {(,)}, diğer durumlarda Bu diziler içi, lim {k : d(x, ) ε} = 0 d(x, B k ) olduğuda ve B k dizileri Wijsma asimptotik istatistiksel dektir. Yai WS ~ B k dir. Taım 3.3 (X, ρ) bir metrik uzay ve θ bir lacuary dizi olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, ) = r h r d(x, B k ) k I r 4

25 oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik lacuary dektir deir ve WN θ ~ B k şeklide gösterilir. Eğer = ise basitçe Wijsma asimptotik lacuary dektir deir. Taım 3.4 (X, ρ) bir metrik uzay ve θ bir lacuary dizi olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her x X içi, lim d(x, ) r h r d(x, B k ) = 0 k I r oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dektir deir ve [WN] θ ~ B k şeklide gösterilir. Eğer = ise basitçe Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dektir deir. Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dek küme dizilerii kümesii {[WN] θ } ile göstereceğiz. Örek 3.3 (x, y)-düzlemide aşağıdaki elipsler dizilerii göz öüe alalım: = { {(x, y) R 2 (x k)2 k + y2 2k = }, k r < k < k r + [ h r ] ise, {(,)}, diğer durumlarda, B k = { {(x, y) R 2 (x + k)2 k + y2 2k = }, k r < k < k r + [ h r ] ise, {(,)}, diğer durumlarda. Bu diziler içi, lim d(x, A K) r h r d(x, B K ) = 0 k I r 5

26 olduğuda ve B k dizileri Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dektir. Yai, [WN] θ ~ B k dir. Taım 3.5 (X, ρ) bir metrik uzay ve θ bir lacuary dizi olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, lim {k I r h r : d(x, ) ε} = 0 r d(x, B k ) oluyorsa, ve B k küme dizilerie katlı Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dektir deir ve WS θ ~ B k şeklide gösterilir. Eğer = ise basitçe Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dektir deir. Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dek küme dizilerii kümesii {WS θ } ile göstereceğiz. Örek 3.4 (x, y)-düzlemide aşağıdaki iç içe çemberler dizilerii göz öüe alalım: = {(x, y) R 2 x 2 + (y ) 2 = k }, k r < k < k r + [ h r ] ve k bir tamkare sayı ise, { {(0,0)}, diğer durumlarda, B k = {(x, y) R 2 x 2 + (y + ) 2 = k }, k r < k < k r + [ h r ] ve k bir tamkare sayı ise, { Bu diziler içi, {(0,0)}, diğer durumlarda. lim {k I r h r : d(x, ) ε} = 0 r d(x, B k ) olduğuda ve B k dizileri Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dek dizilerdir. Yai, WS θ ~ B k dir. 6

27 Teorem 3. (X, ρ) bir metrik uzay ve θ bir lacuary dizi olsu., B k X boş olmaya, kapalı herhagi altkümeler olsu. Bu durumda, i. (a) [WN] θ ~ B k WS θ ~ B k dir. (b) {[WN] θ }, {WS θ } i öz alt kümesidir. ii. olsu. O halde WS θ ~ B k [WN] θ ~ B k dir. iii. {WS θ } = {[WN] θ } dir. (Burada sıırlı küme dizilerii kümesii göstermektedir.) İspat. i.(a) ε > 0 ve [WN] θ ~ B k olsu. Her x X içi, d(x, ) d(x, B k ) d(x, ) d(x, B k ) k I r k I r d(x, ) d(x,b k ) ε ε {k I r : d(x, ) ε} d(x, B k ) eşitsizliğii yazabiliriz. Burada, kabulümüz de dikkate alıarak, her iki taraf h r ile çarpılır ve r içi limite geçilirse, her x X içi, lim r h r {k I r : d(x, ) d(x, B k ) ε} lim r d(x, ) h r d(x, B k ) = 0 k I r soucuu elde ederiz. Bu ise WS θ ~ B k olması demektir. i.(b) {[WN] θ } {WS θ } olduğuu göstermek içi; Wijsma asimptotik lacuary istatistiksel dek olup da Wijsma kuvvetli asimptotik lacuary dek olmaya dizileri varlığıı göstermeliyiz. ve B k dizilerii aşağıdaki şekilde taımlayalım: 7

28 {k}, k r < k < k r + [ h r ], r =,2, ise, = { {0}, diğer durumda, B k = {0}, her k içi. dizisi sıırlı değildir. Ayrıca, ε > 0 ve her x X içi, {k I h r : d(x, ) r d(x, B k ) ε} = [ h r ] 0 (r ike) h r olduğuda WS θ ~ B k dir. Diğer tarafta dizisi sıırlı olmadığıda, d(x, ) h r d(x, B k ) 0 ( r ike) k I r [WN] θ dır. Yai, B k dir. Böylece istee elde edilmiş olur. k içi, ii. Kabul edelim ki ve WS θ ~ B k olsu. Bu durumda, her x X ve her d(x, ) M d(x, B k ) olacak şekilde bir M > 0 sayısı vardır. Her ε > 0 ve her x X içi, d(x, ) h r d(x, B k ) k I r = d(x, ) h r d(x, B k ) k I r d(x, ) d(x,b k ) ε + h r d(x, ) d(x, B k ) k I r d(x, ) d(x,b k ) <ε M {k I h r : d(x, ) ε} + ε r d(x, B k ) eşitsizliğii yazabiliriz. Burada, kabulümüz de dikkate alıarak, r içi limite geçilirse, her x X içi, 8

29 lim d(x, ) r h r d(x, B k ) lim r k I r M {k I h r : d(x, ) ε} = 0 r d(x, B k ) soucuu elde ederiz. Bu ise [WN] θ ~ B k olması demektir. iii. Bu durum (i) ve (ii) de doğruda elde edilir. Teorem 3.2 (X, ρ) bir metrik uzay olsu., B k X boş olmaya, kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer θ = {k r }, lim if r q r > şartıı sağlaya bir lacuary dizi ise, o zama dır. WS ~ B k WS θ ~ B k İspat. lim if r q r > olsu. O zama yeterice büyük r sayısı içi q r + λ olacak şekilde bir λ > 0 sayısı vardır ki bu durumda, h r λ k r + λ eşitsizliği sağlaır. Böylece, her ε > 0, her x X ve yeterice büyük r sayısı içi, {k k k r : d(x, ) r d(x, B k ) ε} {k I k r : d(x, ) ε} r d(x, B k ) λ + λ ( {k I h r : d(x, ) ε} ) r d(x, B k ) eşitsizliğii yazabiliriz. Burada, kabulümüz de dikkate alıarak, r içi limite geçilirse, her x X içi, lim {k I r h r : d(x, ) ε} lim {k k r d(x, B k ) r k r : d(x, ) ε} = 0 r d(x, B k ) soucuu elde ederiz. Bu ise WS θ ~ B k olması demektir. 9

30 Teorem 3.3 (X, ρ) bir metrik uzay olsu., B k X boş olmaya, kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer θ = {k r }, lim sup r q r < şartıı sağlaya bir lacuary dizi ise, o zama dır. WS θ ~ B k WS ~ B k İspat. lim sup r q r < olsu. O zama her r içi q r < M olacak biçimde bir M > 0 sayısı vardır. WS θ ~ B k ve ε > 0 olsu. Bu durumda, her j R içi, olacak şekilde R > 0 sayısı vardır. A j = {k I h j : d(x, ) ε} < ε j d(x, B k ) Ayrıca, her j =,2, içi A j < H olacak şekilde H > 0 sayısı bulabiliriz. Şimdi t sayısı, r > R olmak üzere k r < t k r şartıı sağlaya herhagi bir tamsayı olsu. Bu durumda, t {k t d(x, ) ε} {k k d(x, B k ) k r : d(x, ) ε} r d(x, B k ) = { {k I k : d(x, ) ε} } r d(x, B k ) + { {k I k 2 : d(x, ) ε} } r d(x, B k ) + + { {k I k r : d(x, ) ε} } r d(x, B k ) = k {k I k r k : d(x, ) ε} d(x, B k ) + k 2 k k r (k 2 k ) {k I 2: d(x, ) ε} d(x, B k ) 20

31 + + k R k R k r (k R k R ) {k I R: d(x, ) ε} d(x, B k ) + + k r k r k r (k r k r ) {k I r: d(x, ) ε} d(x, B k ) = k A k + k 2 k A r k (k R k R ) r k r A R + k R+ k R k r A R+ + + k r k r A k r r {sup A j } k R j k r + {sup A j } k r k R j R k r H k R k r + εm. eşitsizliğii yazabiliriz. Böylece ispat tamamlaır. Teorem 3.2 ve Teorem 3.3 birlikte düşüülmesiyle aşağıdaki teorem elde edilir. Teorem 3.4 (X, ρ) bir metrik uzay olsu., B k X boş olmaya, kapalı herhagi altkümeler olsu. Eğer θ = {k r }, < if r q r lim sup r q r < şartıı sağlaya bir lacuary dizi ise, o zama dır. WS θ ~ B k WS ~ B k 2

32 4. KÜME DİZİERİNİN ASİMPTOTİK I-DENKİĞİ Bu bölümde, Kişi ve Nuray (203) tarafıda icelee küme dizilerii S λ (I)-asimptotik istatistiksel dekliği kavramı ile ilgili temel taım, örek ve teoremleri vereceğiz. Taım 4. (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, {k N: d(x, ) ε} I d(x, B k ) oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik I-dektir deir ve I W ~ B k şeklide gösterilir. Eğer = ise basitçe Wijsma asimptotik I-dektir deir. Örek 4. X = R 2 olmak üzere aşağıdaki { } ve {B k } dizilerii göz öüe alalım; {(x, y) R 2 : 0 x, 0 y x}, k 2 ise, = {, {0,0}, diğer durumlarda {(x, y) R 2 : 0 x, 0 y x}, k 2 ise, B k = {, {0,0}, diğer durumlarda Burada I f doğal yoğuluğu sıfır ola kümeleri ideali olmak üzere, eğer I = I f alıırsa, her ε > 0 ve her x X içi, {k N: d(x, ) ε} I d(x, B k ) olacağıda, ve B k dizileri Wijsma asimptotik I-dektir. Yai, I w ~ B k dır. 22

33 Taım 4.2 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, { N: d(x, ) d(x, B k ) ε} I k= oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik I-Cesaro dektir deir ve C (I w ) ~ B k şeklide gösterilir. Taım 4.3 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, { N: d(x, ) d(x, B k ) ε} I k= oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma kuvvetli asimptotik I-Cesaro dektir deir ve C [I w ] ~ B k şeklide gösterilir. Taım 4.4 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0, her δ > 0 ve her x X içi, { N: k { d(x, ) ε} δ} I d(x, B k ) oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik I-istatistiksel dektir deir ve S (I w ) ~ B k şeklide gösterilir. Taım 4.5 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, 23

34 { N: d(x, ) λ d(x, B k ) ε} I k I oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik I λ -dektir deir ve V λ (Iw ) ~ B k şeklide gösterilir. Taım 4.6 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0 ve her x X içi, { N: d(x, ) λ d(x, B k ) ε} I k I oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma kuvvetli asimptotik I λ -dektir deir ve V λ [Iw ] ~ B k şeklide gösterilir. Taım 4.7 (X, ρ) bir metrik uzay ve I bir uygu ideal olsu., B k X boş olmaya, kapalı ve her x X içi d(x, ) > 0 ve d(x, B k ) > 0 şartıı sağlaya herhagi altkümeler olsu. Eğer her ε > 0, her δ > 0 ve her x X içi, { N: {k I λ : d(x, ) ε} δ} I d(x, B k ) oluyorsa, ve B k dizilerie katlı Wijsma asimptotik I λ -istatistiksel dektir deir ve S λ (Iw ) ~ B k şeklide gösterilir. Teorem 4. λ Λ ve I 2 N bir uygu ideal olsu. Eğer V λ [Iw ] ~ B k ise, o zama S λ (Iw ) ~ B k dir. İspat. V λ [Iw ] ~ B k olsu. Her ε > 0 ve her x X içi, 24

35 d(x, ) d(x, B k ) d(x, ) = d(x, B k ) k I k I d(x, ) d(x,a) ε d(x, ) d(x, B k ) k I d(x, ) d(x,a) ε + d(x, ) d(x, B k ) k I d(x, ) d(x,a) <ε ε. {k I : d(x, ) ε} d(x, B k ) eşitsizliğii yazabiliriz. Burada, her iki taraf ε λ ile çarpılırsa, {k I λ : d(x, ) ε} d(x, ) d(x, B k ) ε. λ d(x, B k ) eşitsizliğii elde ederiz. Böylece her δ > 0 içi, k I { N: {k I λ : d(x, ) ε} δ} d(x, B k ) { N: d(x, ) ε δ λ d(x, B k ) k I } olur. Kabulümüzde dolayı yukarıdaki ifadei sağ tarafı I ya aittir. O halde, { N: {k I λ : d(x, ) ε} δ} I d(x, B k ) elde ederiz. Bu ise, S λ (Iw ) ~ B k demektir. Teorem 4.2 λ Λ ve I 2 N bir uygu ideal olsu. Eğer, B k dizileri sıırlı ve S λ (Iw ) ~ B k ise, o zama V λ [Iw ] ~ B k dır. 25

36 İspat. ve B k dizileri sıırlı ve S λ (Iw ) ~ B k olsu. ve B k dizileri sıırlı ise, her k içi d(x, ) M d(x, B k ) olacak şekilde bir M > 0 sayısı vardır. Bu durumda, her ε > 0 ve her x X içi, d(x, ) λ d(x, B k ) = d(x, ) λ d(x, B k ) k I k I d(x, ) d(x,a) ε + λ d(x, ) d(x, B k ) k I d(x, ) d(x,a) < ε M λ {k I : d(x, ) d(x, B k ) ε 2 } + ε 2 eşitsizliğii yazabiliriz. Böylece her ε > 0 içi, { N: d(x, ) λ d(x, B k ) ε} k I { N: {k I λ : d(x, ) d(x, B k ) ε 2 } ε 2M } olur. Kabulümüzde dolayı yukarıdaki ifadei sağ tarafı I ya aittir. O halde, elde ederiz. Bu ise, V λ [Iw ] ~ B k demektir. { N: d(x, ) λ d(x, B k ) ε} I k I Aşağıdaki örek; eğer veya B k dizileri sıırlı değilse Teorem 4.2 i doğru olmayabileceğii gösterir. 26

37 Örek 4.2 = olmak üzere aşağıdaki ve B k dizilerii göz öüe alalım; {k}, k = k r +, k r + 2,, k r + [ λ ] ise, = { {}, diğer durumlarda, B k = {} her k içi. Burada dizisi sıırlı değildir. O halde, S λ (Iw ) ~ B k olur fakat V λ [Iw ] ~ B k değildir. Teorem 4.3 λ Λ ve I 2 N bir uygu ideal olsu. Eğer V λ [Iw ] ~ B k ise, o zama C [I w ] ~ B k dır. İspat. V λ [Iw ] ~ B k olsu. Her ε > 0 ve her x X içi, d(x, ) d(x, B k ) = d(x, ) d(x, B k ) + d(x, ) d(x, B k ) k= λ λ k= λ k I d(x, ) d(x, B k ) + d(x, ) λ d(x, B k ) k= 2 λ d(x, ) d(x, B k ) k I eşitsizliğii yazabiliriz. Böylece her ε > 0 içi, k I { N: d(x, ) d(x, B k ) k= ε} { N: d(x, ) λ d(x, B k ) ε 2 } k I olur. Kabulümüzde dolayı yukarıdaki ifadei sağ tarafı I ya aittir. O halde, { N: d(x, ) d(x, B k ) ε} I k= elde ederiz. Bu ise, C [I w ] ~ B k demektir. 27

38 Teorem 4.4 Eğer lim if λ > 0 ise, o zama S (I w ) ~ B k S λ (Iw ) ~ B k dir. İspat. S (I w ) ~ B k ve lim if λ büyük içi λ Her ε > 0 ve her x X içi, dir. Böylece, > 0 olsu. Eğer lim if λ δ şartıı sağlaya bir δ > 0 sayısı vardır. > 0 ise, o zama yeterice {k : d(x, ) d(x, B k ) ε} {k I : d(x, ) ε}. d(x, B k ) {k : d(x, ) d(x, B k ) ε} k I : d(x, ) ε d(x, B k ) λ k I λ : d(x, ) ε d(x, B k ) δ k I λ : d(x, ) ε d(x, B k ) eşitsizliğii elde ederiz. Burada her δ > 0 ve her η > 0 içi, { N: {k I λ : d(x, ) ε} η} d(x, B k ) { N: {k : d(x, ) ε} ηδ} d(x, B k ) elde ederiz. Kabulümüzde dolayı yukarıdaki ifadei sağ tarafı I ya aittir. O halde, { N: {k I λ : d(x, ) ε} η} I d(x, B k ) elde ederiz. Bu ise, S λ (Iw ) ~ B k demektir. 28

39 KAYNAKAR Aubi, J.-P. ad Frakowska, H. (990). Set-Valued Aalysis. Birkhauser, Bosto, USA. Balcı, M. (999). Aaliz-I, Balcı Yayıları, Akara. Baroti, M. ad Papii, P. (986). Covergece of sequeces of sets. I: Methods of Fuctioal Aalysis i Approximatio Theory, ISNM 76, Birkhauser, Basel, Başar, F. (20). Summability Theory ad Its Applicatios, Betham Sciece Publishers, e-books, Moographs, İstabul. Bayraktar, M. (2000). Foksiyoel Aaliz. Uludağ Üiversitesi, Bursa. Beer, G. (2002). O the compactess theorem for sequeces of closed sets. Mathematica Balkaica, 6: Buck, R.C. (953). Geeralized asymptotic desity. America Joural of Mathematics, 75: Das, P, Savas, E. Ghosal, SK. (20). O geeralizatios of certai summability methods usig ideals. Applied Mathematics etters, 36: Fast, H. (95). Sur la covergece statistique. Colloquium Mathematicum, 2: Freedma, A.R., Sember J.J. ad Raphael, M. (978). Some Cesaro type summability spaces, Proceedigs odo Mathematical Society, 37: Fridy, J. A. (985). O statistical covergece. Aalysis, 5(4): Fridy, J.A. ad Orha, C. (993). acuary statistical covergece. Pasific Joural of Mathematics, 60: Kişi, Ö. ad Nuray, F. (203a). O S λ (I)-asymptotically statistical equivalece of sequeces of sets. Mathematical Aalysis, 203, Article ID , 6 pages. Kişi, Ö. ad Nuray, F. (203b). A ew covergece for sequeces of sets. Abstract ad Applied Aalysis, 203, Article ID , 6 pages. 29

40 Kişi, Ö., Savaş E. ad Nuray, F.(????). O I-asymptotically lacuary statistical equivalece of sequeces of sets, (submitted for publicatio). Kostyrko, P., Salat, T. ad Wilczyski, W. (2000). I-covergece. Real Aalysis Exchage, 26(2): Kostyrko, P., Macaj, M., Salat, T. ad Sleziak, M., (2005). I-covergece ad extremal I-limit poits, Mathematica Slovaca, 55(4): Marouf, M. S. (993). Asymptotic equivalece ad summability, Iteratioal Joural of Mathematics ad Mathematical Scieces, 6(4): Mursalee, (2000). λ-statistical covergece. Mathematica Slovaca, 50(): -5. Mursalee, M. ad Alotaibi, A. (20). Statistical lacuary summability a Korovki type approximatio theorem, Aali dell'uiversita di Ferrara, 57: Nive, I., Zuckerma, H. S. ad Motgomery, H.. (99). A Itroductio to the Theory of Numbers. Joh Wiley & Sos, Ic., Fifth editio, New York. Nuray, F. ad Rhoades, B. E. (202). Statistical covergece of sequeces of sets. Fasciculi Mathematici, 49: Patterso, R. F. (2003). O asymptotically statistical equivalet sequeces. Demostratio Mathematica, 36(): Patterso, R. F ad Savas, E. (2006). O asymptotically lacuary statistically equivalet sequeces. Thai Joural of Mathematics, 4: Savaş, E. (2000). O strogly λ-summable sequeces of fuzzy umbers. Iformatio Scieces, 25(-4): Savaş, E. (2007). O asymptotically λ-statistical equivalet sequeces of fuzzy umbers. New Mathematics ad Natural Computatio, 3(3): Schoeberg I. J. (959). The itegrability of certai fuctios ad related summability methods, America Mathematical Mothly, 66(5): Ulusu, U. ad Nuray, F. (202). acuary statistical covergece of sequece of sets. Progress i Applied Mathematics, 4(2):

41 Ulusu, U. ad Nuray, F. (203). O asymptotically lacuary statistical equivalet set sequeces. Joural of Mathematics, 203, Article ID 30438, 5 pages, Ulusu, U. ad Kişi, Ö. (205). I-Cesaro summability of sequeces of sets. Iteratioal Coferece o Pure ad Applied Mathematics ICPAM 205, Yüzücü Yıl Üiversitesi, Va, August, 44. Wijsma, R.A. (964). Covergece of sequeces of covex sets, coes ad fuctios. Bulleti of the America Mathematical Society, 70: Wijsma, R.A. (966). Covergece of sequeces of covex sets, coes ad fuctios. II, Trasactios of the America Mathematical Society, 23:

42 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ramaza SUNAR Doğum Yeri ve Tarihi : İhsaiye / Yabacı Dili : İgilizce İletişim (Telefo/e-posta) : ramaza_suar03@hotmail.com Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl) ise : Afyo Yabacı Dil Ağırlıklı ise (2006) isas : Afyo Kocatepe Üiversitesi (200) Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl: Bolvadi Aadolu İmam Hatip isesi ( ) Altıtaş Aadolu İmam Hatip isesi (204- ) 32

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lisas Tezi ISTAT IST

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLAR VE BAZI SABİT NOKTA TEOREMLERİ Muhib ABULOHA DOKTORA TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HAZİRAN 009 ANKARA Muhib ABULOHA tarafıda hazırlaa KONİK METRİK UZAYLAR

Detaylı

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi. SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM. Nurhayat ispir 1

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi. SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM. Nurhayat ispir 1 ...\) O"'''t" ~.Q~Cıo;>~';. ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi cl o ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY \ L Cilt/Vol.: 3 - Sayı/No: 3 : 41-45 (00) ı ṯ rri('ho~o)\ Q~ XLV.

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.

Bu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz. 19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the

BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars e-mail: odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI

REEL ANALĐZ UYGULAMALARI www.uukcevik.com REE NĐZ UYGUMRI Sou : (, Α, µ ) ölçü uzayı olsu. = N, Α= ( N ) ve µ ( E) olduğuu östeiiz. N üzeide alması içi eek ve yete koşul < di. Gösteiiz. µ oksiyouu veile taımıı uyulayalım; µ (

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İDEAL VE ϕ -YAKINSAKLIK Hüseyin ALBAYRAK Danışman: Prof. Dr. Serpil PEHLİVAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ISPARTA, 2008 İÇİNDEKİLER

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı Veri edir? p Veri edir? Geometrik bir bakış açısı p Bezerlik Olasılıksal bir bakış açısı p Yoğuluk p Veri kalitesi p Veri öişleme Birleştirme Öreklem Veri küçültme p Temel bileşe aalizi (Pricipal Compoet

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Our GENÇ Aabilim Dalı : Matemati Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN KASIM/013

Detaylı

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri

14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri =2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi TOPLANAB

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR : SİNOP ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK BÖLÜMÜ/MATEMATİK BÖLÜMÜ 57000/SİNOP

YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR : SİNOP ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK BÖLÜMÜ/MATEMATİK BÖLÜMÜ 57000/SİNOP KAMİL DEMİRCİ ÖZGEÇMİŞ YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR 24.11.2014 Adres : SİNOP ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK BÖLÜMÜ/MATEMATİK BÖLÜMÜ 57000/SİNOP Telefon : 0368271551-4001 E-posta : kamild@sinop.edu.tr

Detaylı

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ T.C DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Sezgi OĞRAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Temmuz DİYARBAKIR TEŞEKKÜR

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar 76-80 Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi Pamukkale Uiversity Joural of Egieerig Scieces TEK MAKİNELİ

Detaylı

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ

ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Nurcan BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK

KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ. Nurcan BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK KONİK METRİK UZAYLARDA BÜZÜLME DÖNÜŞÜMÜ PRENSİBİ VE SABİT NOKTA TEOREMLERİ Nurca BİLGİLİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ARALIK 9 ANKARA Nurca BİLGİLİ tarafıda hazırlaa

Detaylı

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz.

1. Tabanı 2a büyük eksenli, 2b küçük eksenli elips ile sınırlanan ve büyük eksene dik her kesiti kare olan cismin 16ab 2 hacmini bulunuz. MAT -MATEMATİK (5-5 YAZ DÖNEMİ) ÇALIŞMA SORULARI. Tabaı a büyük ekseli, b küçük ekseli elips ile sıırlaa ve büyük eksee dik her kesiti kare ola cismi 6ab hacmii buluuz. Cevap :. y = ve y = eğrileri ile

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Joural of Egieerig ad atural Scieces Mühedislik ve Fe Bileri Dergisi Sigma 6/4 Araştırma Makalesi / Research Article O SPEKTRUM OF A SEF ADJOIT DIFFERATIA OPERATOR OF HIGHER ORDER WITH UBOUDED OPERATOR

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİESİ BİLİM VE EKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Bilimler ve Mühedislik ANADOLU UNIVERSIY JOURNAL OF SCIENCE AND ECHNOLOGY A Applied Scieces ad Egieerig Cilt/Vol.: 4-Sayı/No: : 67-74 (23) ARAŞIRMA

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME Tamer EREN

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I T.C. SÜLEYMAN DEMREL ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL Fatma Kadriye ÖRGEN Dama: Doç. Dr. Ahmet AHNER YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK ANABLM DAL SPARTA- 009 ÇNDEKLER Sayfa

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

YÜKSEK LİSANS TEZİ. Müh. Özkan KARABACAK. Yrd.Doç.Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR. Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.)

YÜKSEK LİSANS TEZİ. Müh. Özkan KARABACAK. Yrd.Doç.Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR. Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.) İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ANAHTARLANMIŞ DOĞRUSAL SİSTEMLERİN KARARLILIĞININ İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Özka KARABACAK Tezi Estitüye Verildiği Tarih : 25 Aralık 2006

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı