1. BÖLÜM: KOMPLEKS SAYILAR. 1.3 Kompleks Sayının n. Kökü z 0 C ve n N olmak üzere, kompleks sayıları, ω sayısının n. kuvveti olarak yazalım:

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1. BÖLÜM: KOMPLEKS SAYILAR. 1.3 Kompleks Sayının n. Kökü z 0 C ve n N olmak üzere, kompleks sayıları, ω sayısının n. kuvveti olarak yazalım:"

Asli Polat
1 yıl önce
İzleme sayısı:

1 1. BÖLÜM: KOMPLEKS SAYILAR 1.3 Kompleks Sayıı. Kökü z 0 C ve N olmak üzere, kompleks sayıları, ω sayısıı. kuvveti olarak yazalım: z = ω Bu deklemim çözümü ola her ω kompleks sayısı z i köküdür. Bu deklemi çözmek içi z ve ω sayılarıı kompleks formda yazalım: z = r z e iθ z = r z (cos θ z + i si θ z ) ω = r ω e iθ ω = r ω (cos θ ω + i si θ ω ) ω = z r ω (cos θ ω + i si θ ω ) = r z (cos θ z + i si θ z ) İki kompleks sayıı eşitliğide: ya da r ω = r z r ω = r z 1/ θ ω = θ z + 2πk θ ω = θ z, k Z θ ω = θ z + 2πp yazılabilir. k (k + p) değişikliği yapılırsa 2π(k+p) = 2πk + 2πp elde edilir. Böylece, k ı 0,1,, 1 arasıda değişmesi yeterlidir. Çükü, k ı buları herhagi bir değeri içi θ ω değerleri tekrarlaır. Açıları değerlerii taesi farklıdır: θ ω = θ z, k Z z = ω deklemi, tae çözüme sahiptir: ω k = r 1/ z [cos ( θ z ) + i si (θ z ) ], k = 0,1,, 1 1

2 Örek: z = 3 + i i 5. köklerii buluuz. ta θ z = y x = 1 3 z = ω 5 ω = z 1/5 z = ( 3) = 2 θ z = arcta( 1 3 ) Arg z = 5π 6 = θ z ω k = z 1/5 [cos ( θ z 5 + 2πk 5 ) + i si (θ z 5 + 2πk )], k = 0,1,2,3,4 5 ω k = 2 1/5 [cos ( π 6 + 2πk 5 ) + i si (π 6 + 2πk 5 )] ω 0 = 2 1/5 [cos ( π 6 ) + i si (π 6 )] ω 1 = 2 1/5 [cos ( 17π ) + i si (17π ω 2 = 2 1/5 [cos ( 29π ) + i si (29π ω 3 = 2 1/5 [cos ( 41π ) + i si (41π ω 4 = 2 1/5 [cos ( 53π ) + i si (53π z 0 köklerii modülleri z 1/5 = 2 1/5 dir. Yai hepsi de z 1/5 yarıçaplı, merkezi orijide ola çember üzeride yer alırlar Birimi. küpü z = 1 (r z = 1, θ z = 0) ı kökleri daha öce verile formüllerde aşağıdaki gibidir: ω k = [cos ( 2πk ) + i si (2πk)], k = 0,1,2,, 1 Moivre formülü göz öüde buludurularak ω k = ω k olduğu kolayca doğrulaır. Burada, ω = ω 1 = cos ( 2π ) + i si (2π ) olarak taımlıdır. 2

3 Öreği, 1 i 8. kökleri (cos ( π 4 ) + i si (π 4 ))k = 1 ( 2) k (1 + i)k, k = 0,1,,7 Açıkça, 1 1/8 1 = {1, 2 (1 + i), i, 1 2 ( 1 + i), 1, 1 2 (1 + i), i, 1 (1 i)} Kompleks sayıı kökleri ve kuvvetleri r pozitif bir reel sayı ve m, doğal sayılar olmak üzere, (r m ) 1/ = (r 1/ ) m reel pozitif sayılar kümesidedir. Acak, sıfırda farklı pozitif bir kompleks sayı içi tae. kök vardır ve böylece z 1/ tae kompleks sayıı kümesidir. Eğer, m ve asal sayılar iseler (z m ) 1/ = (z 1/ ) m (z 0) eşit kümeler oluştururlar. Eğer, m ve asal sayı değil iseler (z m ) 1/ ve (z 1/ ) m ayı küme değildirler. Buu görmek içi m = 4, = 2 durumuu ele alalım. (z 1/ ) m =? z = re iθ = r(cos θ + i si θ) ω k = r 1/ z [cos ( θ z ) + i si (θ z ) ], k = 0,1,2,, 1 = 2 içi k = 0, 1 ω 0 = r 1/2 [cos ( θ 2 ) + i si (θ 2 ) ] ω 1 = r 1/2 [cos ( θ 2 + π) + i si (θ 2 + π) ] = r1/2 [cos ( θ 2 ) + i si (θ 2 ) ] z 1/2 = (±1) r 1/2 [cos ( θ 2 ) + i si (θ 2 ) ] 3

4 z 1/2 = {ω 0, ω 1 } iki farklı sayıdır. (z 1/2 ) 4 =? (z 1/2 ) 4 = (±1) 4 r 2 (cos 2θ + i si 2θ) = r 2 (cos 2θ + i si 2θ) tek bir kompleks sayıdır. Şimdi, (z 4 ) 1/2 =? e bakalım. (z 4 ) 1/2, = 2, k = 0, 1 z 4 = r 4 (cos 4θ + i si 4θ) ω k = (r 4 ) 1/2 [cos ( 4θ 2 + 2πk 2 ) + i si (4θ 2 + 2πk 2 ) ] ω 0 = r 2 [cos(2θ) + i si(2θ) ] ω 1 = r 2 [cos(2θ + π) + i si(2θ + π) ] = r 2 [cos(2θ) + i si(2θ) ] (z 4 ) 1/2 = (±1)r 2 [cos(2θ) + i si(2θ) ] iki farklı kompleks sayıdır. {(z 4 ) 1/2 } sıfırda farklı bir kompleks sayıı kare köklerie karşı gele iki sayıda oluşa bir kümedir. {(z 1/2 ) 4 }, {(z 4 ) 1/2 } i bir alt kümesidir. Taım: z m/ buluurke aşağıdaki yol izleir: 1) m/ e basit hale idirgeir. 2) Öce kök, sora kuvvet hesaplaır. z m/ = ( r z z m/ (z 1/ ) m ) m [cos ( m θ z + 2πkm ) + i si (m θ z + 2πkm )] k = 0,1,, 1 4

5 Problemler: 1. Aşağıdaki deklemleri köklerii buluuz. a) z = 0 a) z 2 = 1 i Kayaklar 1. J.W. Brow ad R.V. Churchill, Complex Variables ad Applicatios, Eighth Editio, McGraw-Hill, Bosto, K.T. Tag, Mathematical Methods for Egieers ad Scietists 1, Spriger- Verlag, Berli, D.G. Zill, P.D. Shaaha, Kompleks Aaliz ve Uygulamaları, Nobel, Akara, Fiz202 Matematiksel Fizik I Dersi Notları, Prof. Dr. Şegül Kuru, Akara Üiversitesi, Fe Fakültesi, Fizik Bölümü 5

Benzer belgeler

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem