Kantitatif Tahmin Yöntemleri. Yrd.Doç.Dr. S.Kerem AYTULUN

Transkript

1 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Yrd.Doç.Dr. S.Kerem AYTULUN

2 Tahmin Nedir? Günlük hayatta bilinçli veya bilinçsiz birçok tahminde bulunuruz. Hava durumu, trafik, sınav soruları, kişisel ilişkiler... Peki Firmalar??? Firmanın gelecekteki başarısına etki eden faktörler: Ürün satışları Yeni ürün için müşteri talep biçimi Hammadde ihtiyacı ve kullanılabilirliği İşçi ihtisaslarındaki değişim Faiz oranları Kapasite ihtiyaçları Uluslararası politikalar Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 2

3 Tahmin Nedir? Her şey etkili bir şekilde tahmin edilebilir mi? Bir yazı-tura atışı sonucunun tahmin edilmesi Kumarhanelerde oynanan şans oyunları sonuçlarının tahmin edilmesi Borsadaki hisse senedi değerlerinin tahmin edilmesi Üretim ve operasyon yönetiminde tahmin, ürün talep tahminlerinin kestirilmesine dönüktür. Taleplerin bazı bölümleri tahmin edilemez olmakla birlikte, trend, döngü ve mevsimsel değişimler tahmin edilebilir. Sayılan bu özelliklerin geçmişte bıraktıkları izler geleceğin kestirilmesinde kullanılabilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 3

4 Tahmin Çatısı Tarihsel Veri Model veya parametrelerinin değişimi İnsan Girdisi Subjektif girdiler Matematik Model Talep Tahmini İstatistiksel tahmin Performans ile ilgili geribildirim Gözlenen gerçek talep Tahmin Hatasının Hesaplanması ve Hata İstatistiklerinin Güncellenmesi Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 4

5 Tahminin Planlama Ufku Uzun Dönem (aylar, yıllar) Kapasite gereksinimleri (needs) Uzun vadeli satış paterni Büyüme trendleri Orta Dönem (haftalar, aylar) Ürün ailesi satışları İşçilik ihtiyaçları (needs) Kaynak ihtiyaçları (requirements) Kısa Dönem (günler, haftalar) Kısa vadeli satışlar Vardiya programı Kaynak ihtiyaçları (requirements) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 5

6 1. Genellikle yanlıştır. Tahminin Özellileri Bu tahminlerin yanlış olduğu kanıtlanırsa, bu durumda kaynak ihtiyaçları ve üretim programlarının değiştirilmesine ihtiyaç duyulabilir. 2. İyi bir tahmin, bir tek sayıdan daha fazlası demektir. İyi bir tahmin yapılan tahmin hatasının da dahil edildiği tahmindir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 6

7 Tahminin Özellileri 3. Bütünleşik tahminler daha etkilidir. Tek bir ürün hakkında yapılan tahminin hatası, bir ürün grubu hakkında yapılan tahmin hatasında daha büyüktür. Örnek ortalaması varyansı < Popülasyon varyansı 4. Uzun dönemli tahminler daha az etkilidir. 5. Tahminler, bilinen (kesin olan, eldeki) bilgileri dışlamamalıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 7

8 Tahminlerin Sınıflandırılması Tahmin Yöntemleri Subjektif Objektif Satış Bölümü Anketler Rasgele Modeller Zaman Serileri Yönetici Fikirleri Delphi Metodu Trend Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 8

9 Subjektif (Öznel) Tahmin Yöntemleri İnsan hükümlerini temel alan tahmin yöntemleridir. 1. Satış Bölümü fikirleri 2. Müşteri anketleri 3. Yöneticilerin görüşleri 4. Delphi yöntemi Yönetici görüşerinin alınması benzer bir yöntemdir. Burada bir uzman kişinin fikirlerinden çok bir grup uzmanın görüşeri ele alınır... Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 9

10 Objektif (Nesnel) Tahmin Yöntemleri Bir veri grubundan tahmin elde edilmesine çalışan yöntemlerdir. Nedensel Modeller Kaynaktan alınan veriler ile tahmin edilmeye çalışan veriler arasındaki ilişkiden faydalanır. Zaman Serileri Geçmiş veri paterninin gelecekte de devam edeceği öngörülür. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 10

11 Nedensel Modeller X 1, X 2,...,X n şeklinde tanımlanan n değişkenin Y ile ilgili olduğu düşüncesinden hareketle; Y=f(X 1, X 2,...,X n ) şeklinde bir Y fonksiyonu tanımlanır. Fonksiyon genellikle aşağıdaki şekilde verilir (Ekonometrik modeller için): Y X X X n n Burada 1,..., n katsayılardır. Bu katsayıların tespitinde en yaygın olarak kullanılan yöntem en küçük kareler yöntemidir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 11

12 Örnek-1 YIL x i y i YIL x i y i x i ile hane başına harcanabilir gelir y i ile de perakende satışlar gösterilmiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 12

13 Örnek-1 Amaç y i =+x i doğrusunun tespit edilmesidir. Bunun için ve nın tahminleri olan a ve b en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilmeye çalışılır. b = a = y b x 1n x i y i n x y n x 2 i n 1 x 2 y a bx y 1922,39 0,3815x x y (tahmin) , , ,928 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 13

14 Doğrusal Regresyonun Açıklama Gücü Regresyon kullanılarak yapılan tahminin iyi bir tahmin olması için nedensellik ilişkisi kurulan bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında regresyonun açıklama gücünün yüksek olması gerekir. Bunun tespiti için aşağıdaki tanımlamalar yapılır: BKT RKT HKT n i1 n i1 n i1 e y i yˆ i 2 i y y 2 2 Bütün Kareler Toplamı Regresyon Kareleri Toplamı Hata Kareleri Toplamı BKT RKT HKT R 2 RKT BKT 2 0 R 1 HKT =1- BKT Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 14

15 Örnek-1 Örneğimizde R 2 değeri; BKT RKT HKT HKT R 1 1 0,919 0,92 BKT Bu değerin anlamı; y i lerin %92 si, x i ler ile açıklanabilmektedir. Bu açıklama hayli başarılıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 15

16 Zaman Serileri Yöntemleri Zaman serisi, ilgilenilen bir büyüklüğün (ekonomik veya fiziksel) zaman içinde sıralanmış ölçümlerinin (geçmişteki) bir kümesi olarak tanımlanır. Çoğunlukla kullanılan zaman serisi biçimleri: Trend (eğilim) Dönemsellik Döngüler Rasgelelik Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 16

17 Talep Talep Talep Talep Zaman Serileri Yöntemleri Rasgelelik Artan doğrusal trend Zaman Zaman Eğrisel Kareli, üstel Dönemsel, doğrusal Zaman Zaman Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 17

18 Dönemler Talepler Notasyon : 1,2,,t, : D 1,D 2,,D t, t. dönemde tahmin çalışması yapılıyor ise D t ve D t-1, dönemleri gözlenmiş, D t+1 dönemi ise henüz gözlenmemiştir. Bir tahmin iki dönemin tanımlanmasını gerektirir: Tahminin yapıldığı dönem ve Tahmin edilen dönem. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 18

19 Buna göre; F t,t+ Notasyon : t.dönemde tahmin çalışmasının yapıldığı, (t+).dönemin ise tahmin edildiğini gösterir. değeri 1,2,3, gibi değerler alır ve tahmin ufku olarak adlandırılır. Genellikle bir dönem sonraki dönem tahmin edilmeye çalışılacağından; F t =F t-1,t Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 19

20 Notasyon Zaman serisi yöntemleri gelecek değerlerin tahmin edilmesinde geçmiş verileri kullandığından birçok yöntem için aşağıdaki eşitlik yazılabilir: F t = n=1 a n D t n a 1, a 2, için Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 20

21 Tahminin Değerlendirilmesi Öncelikle t.dönemdeki tahmin hatası e t nin nasıl hesaplandığını görelim: Çoklu adım sonrası için; e t =F t-,t -D t Tek adım sonrası için aynı formül; e t =F t -D t şekline dönüşür. e 1, e 2,..., e n ile n dönem için her bir dönemde yapılan tahmin hatası gösterilsin. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 21

22 Tahminin Değerlendirilmesi Tahminin etkinliğinin gösterilmesinde iki önemli gösterge bulunur. Bunlar; MAD : Ortalama Mutlak Sapma (Mean Absolute Deviation) MSE : Ortalama Hatanın Karesi (Mean Squared Error) n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 22

23 Tahminin Değerlendirilmesi MAD yöntemi, kare almaya gerek olmadığı için genellikle tercih edilen bir yöntemdir. Ayrıca genellikle kabul gördüğü gibi tahmin hatalarının normal dağıldığı kabulünden hareketle tahmin hatasının standart sapması e MAD ın yaklaşık 1,25 katıdır. MAD ve MSE haricinde yaygın olarak kullanılan bir diğer tahmin etkinlik ölçüsü de MAPE yani Ortalama Mutlak Hata Yüzdesi dir. (Mean Absolute Percentage Error). n 1 e i MAPE *100 n i1 Di Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 23

24 Örnek-2 DDR ram üreten bir firmanın iki üretim merkezi vardır. Üretim merkezleri yöneticilerinden 6 hafta boyunca tek adımlık tahminler yapması istenmiştir. Elde edilen sonuçlar aşağıda sunulmuştur. Hangi yönetici daha etkili bir tahminde bulunmuştur? Hafta Tahmin_1 Gözlenen_1 Tahmin_2 Gözlenen_ Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 24

25 Örnek-2 MAD, MSE ve MAPE için hesaplanan sonuçlar aşağıda verilmiştir. Yön1 Yön2 MAD 2,8333 3,0000 MSE 13, ,6667 MAPE 0,0325 0,0336 Neden MSE farklı? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 25

26 Tahminin Değerlendirilmesi Tahminlerin taraflı (biased) olmaması istenir. Matematiksel olarak E(e i )=0 şeklinde gösterilir. Bu durum yapılan tahmin hatalarının sıfırın altında ve üstünde dalgalanmasını gerektirir. Alternatif olarak e i değerine bakılır. 0 dan çok uzaklaşmaması gerekir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 26

27 Çalışma Sorusu-1 Aşağıda bilgisayarlar için Blu-Ray sürücü üreten bir firmanın geçmiş 12 haftalık satışları verilmiştir. Hafta Satış Buna göre; Tek adım sonrası için 3. haftadan 12.haftaya kadar tahminleri yapınız. (Tahminler en son iki dönemin ortalaması şeklinde yapılacaktır.) Tahmin hatalarını hesaplayınız. MAD, MSE ve MAPE nin değerini hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 27

28 Çalışma Sorusu-2 Aşağıda iki farklı tahmin yöntemi ile elde edilen tahmin sonuçları ile gerçekleşen veriler verilmiştir. Buna göre hangi yöntemin daha etkili olduğunu MAD, MSE ve MAPE kullanarak bulunuz. Sonuçları yorumlayınız. Yöntem1 Tahmini Yöntem2 Tahmini Gerçek Sonuç Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 28

29 Sabit Serilerin Tahmin Yöntemleri Bu kapsamda iki önemli teknik bulunur: Hareketli Ortalamalar Üstel Düzeltme Bir sabit zaman serisi, her bir gözlemi temsilen bir sabit ve bir rasgele dalgalanmanın toplamından oluşur: D t t : Seri ortalamasına karşılık gelen bilinmeyen sabit t : Ortalaması 0, varyansı 2 olan rasgele hata Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 29

30 Hareketli Ortalamalar Basit ama bir o kadar da popülerdir. N sıralı bir hareketli ortalama, basitçe en son N gözlemin aritmetik ortalaması olarak tanımlanabilir. F t, dönem (t-1) de dönem t için hesaplanan tahmin değeri ise; t1 1 1 t i t1 t2... tn N i t N N F D D D D Kısaca MA(N) şeklinde gösterilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 30

31 Örnek-3 Bir hava üssünde son 2 yıl için kayıt altına alınmış 3 er aylık (dönemlik) motor arızaları; 200, 250, 175, 186, 225, 285, 305, 190 şeklindedir. 3 dönemlik ve 6 dönemlik hareketli ortalamalar kullanılarak sonraki döneme ait tahminlerin hesaplanması istenmektedir. 4.dönemden 8.döneme kadar tek adım sonrası tahminleri MA(3) ile, 7. ve 8. döneme ait tek adım sonrası tahminleri ise MA(6) ile hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 31

32 Örnek-3 200,250,175,186,225,285,305,190 MA(3) F 4 =(1/3)( )=208 F 5 =(1/3)( )=204 F 6 =(1/3)( )=195 F 7 =(1/3)( )=232 F 8 =(1/3)( )=272 MA(6) F 7 =(1/6)( )=220 F 8 =(1/6)( )=238 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 32

33 Tartışma sorusu: Örnek-3 Hareketli ortalama yöntemi ile çoklu adım sonrası tahmin üretilebilir mi? Örnek-2 de 3.dönemde 6.dönem arızalarını tahmin edin. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 33

34 Hareketli Ortalamalar Hareketli ortalamaların bir diğer dezavantajı da, her bir yeni gözlem değeri elde edildikçe en son N gözlemin ortalamasının yeniden hesaplanma zorunluluğudur. Özellikle N değerinin çok büyük sayılara ulaşması durumunda bu durum çok sıkıcı olabilir. Hesaplamayı biraz kolaylaştırmak için; 1 F F D D N t1 t t tn İlk terimi çıkarıp, yeni terimi ilave et. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 34

35 Hareketli Ortalamalar Belirli bir dönem boyunca taleplerin 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 gibi kesin bir trend oluşturduğu bir durumu göz önüne alalım. Böyle bir durumda tek adım sonrası için MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayalım. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 35

36 Hareketli Ortalamalar Dönem Talep MA(3) MA(6) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 36

37 Hareketli Ortalamalar Talep MA(3) MA(6) Seride bir trend özelliği keşfedilirse, basit hareketli ortalama yöntemi ortaya çıkan tahmin gecikmesinden dolayı uygun bir yöntem olmaz. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 37

38 Ağırlıklı Hareketli Ortalamalar Ağırlıklı ortalamalar yöntemi, hareketli ortalamalar yöntemine çok benzer. Temel fark, ağırlıklı ortalamalar yönteminde en güncel verilere daha fazla ağırlık verir. Örneğin; En gücel veri %40, daha önceki en güncel veri %30, daha önceki en güncel veri %20 ve daha önceki en güncel veri %10 ağırlık alır. Dikkat edilecek olursa ağırlıklar toplamı %100 olur. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 38

39 Örnek-4 Yanda verilen veriler ışığında en güncel veriye %50 ve geçmişe doğru %30 ve %20 ağırlık vererek ağırlıklı ortalamayı hesaplayınız. Dönem Talep Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 39

40 Örnek-4 Dönem Talep MA(3) Ağırlıklı MA(3) ( )/3=41,6 0,50*43+0,30*40+0,20*42=41, ( )/3=41,0 0,50*40+0,30*43+0,20*40=40,9 6 ( )/3=41,3 0,50*41+0,30*40+0,20*43=41,1 Son gerçekleşen talebe verilen ağırlık fazla olduğundan tahmin bu veriye çok bağımlıdır. Bu sebeple ağırlıkların çok dikkatli seçilmesi gereklidir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 40

41 Çalışma Sorusu-3 Bir yedek parça deposundan 2009 yılında aylar bazında talep üzerine gönderilen parça miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir: Ay Talep (adet) Ay Talep (adet) Ocak 89 Temmuz 223 Şubat 57 Ağustos 286 Mart 144 Eylül 212 Nisan 221 Ekim 275 Mayıs 177 Kasım 188 Haziran 280 Aralık 312 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 41

42 Çalışma Sorusu-3 1. Tek adım sonrası için MA(3), MA(6) ve MA(12) ile Ocak 2010 ayının gönderi miktarını tahmin ediniz. 2. MA(4) ile tek adım sonrası tahminleri Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar hesaplayınız. 3. MA(4) ile Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar iki adım sonrası tahminleri hesaplayınız. (F t,t+ = F t+1 bütün 1 için.) ve 3. sorularda hesaplanan tahminle için MAD değerlerini hesaplayınız. Hangisinin daha iyi tahminler olduğunu belirleyiniz. (Tahmin teorisine göre hangisinin daha iyi sonuç vermesi gerekirdi?) 5. Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar MA(3) ve MA(6) tahminlerini hesaplayınız. (N değerinin 3 ten 6 ya çıkarılmasının nasıl bir etkisi oldu?) 6. MA(1) ne anlama gelir? Temmuz 2009 dan Aralık 2009 a kadar olan verileri kullanarak MA(1) ve MA(4) tahminlerinin etkinliklerini hesaplayınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 42

43 Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Diğer çok kullanılan bir yöntem de üstel düzeltmedir. Tahmin genel olarak aşağıdaki gibi formüle edilir: F D 1 F t t1 t1, talebin gözlenen değerinin bağıl (relative) ağırlığıdır. (1-) ise geçmiş gözlenen talep değerlerinin bir ağırlığı olarak düşünülebilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 43

44 Üstel Düzeltme (Exponential Smoothing) Formül küçük bir düzenleme ile aşağıdaki şekilde yazılabilir: F D 1 F t t1 t1 F F D t1 t1 t1 F e 0 1 t1 t1 düzeltme sabiti (t-1). dönemde kestirim sonucu yüksek ise e t-1 pozitif olacağından yeni tahmin değeri düşer. (t-1). dönemde kestirim sonucu düşük ise e t-1 negatif olacağından yeni tahmin değeri yükselir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 44

45 Örnek-5 Örnek-3 de verilen geçmiş 2 yıllık uçak motoru arıza sayılarını ele alalım: 200,250,175,186,225,285,305,190 Daha önce hareketli ortalama ile hesaplanan tahminleri bu sefer üstel düzeltme ile kestirmeye çalışalım. Bunun için =0,1 alalım. Ayrıca 2.dönem tahminini hesaplamak için 1.dönem tahminine ihtiyaç duyulduğundan, 1.dönem tahminini bu dönemin gerçek değeri olan 200 olarak kabul edelim. Hesaplama kolaylığı sağlayan bu kabul, aslında önemli bir etkiye sahiptir. Bu etkiyi göz önüne alarak aslında birkaç dönemin gerçekleşen verilerinin aritmetik ortalamasının alınarak bu ortalamanın başlangıç tahmini olarak kullanılması daha uygun bir hareket tarzı olarak literatürde yerini almıştır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 45

46 Örnek-5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Hesaplama F t =F t-1 -*(F t-1 -D t-1 ) F 1 değeri D 1 değerine eşit seçilir F 2 =200-0,1*( ) F 3 =200-0,1*( ) F 4 =205-0,1*( ) F 5 =202-0,1*( ) F 6 =200-0,1*( ) F 7 =203-0,1*( ) F 8 =211-0,1*( ) düzeltme sabitinin etkisine dikkat ediniz. Gerçek değerler yüksek farklılıklar barındırsa da, tahmin değerleri daha stabildir. düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 46

47 Örnek-5 Dönem Motor Arıza Sayısı Tahmin =0,1 Tahmin =0, düzeltme sabitinin 0,4 olması durumunda tahminler nasıl olur? Bu durumda tahmin farklılıkları artar. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 47

48 Örnek Arıza alfa=0,1 alfa=0, =0,1 ve =0,4 tahmin üzerinde farklı etkilere sahiptir. 0,1 değeri daha düzgün bir tahmin profili verirken, 0,4 değeri daha büyük tahmin farklılıklarına neden olur. Planlama amaçlarına uygun olarak küçük değerleri daha caziptir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 48

49 Örnek-5 Şimdi ise aynı arıza sayıları kullanılarak MA(3) ve ES(0,1) tahmin yöntemlerinin performanslarını inceleyelim. MA(3) 4.dönemden başladığından karşılaştırma 4.dönemden itibaren başlayacaktır. Dönem Arıza MA(3) Hata ES(0,1) Hata Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 49

50 Örnek-5 n 1 1 MAD e MSE n i i1 n i1 n e 2 i Ölçüt Sonuç MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 MSE 4215,6 3458,4 MAPE 24,0 18,9 Görüldüğü gibi ES(0,1) yöntemi çok daha iyi sonuçlar vermiştir. Ancak bu durum her zaman bu şekilde gerçekleşmeyebilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 50

51 Karşılaştırılabilir Parametrelerin Hesabı Örneğimizde karşılaştırılan yöntemlerde kullanılan N=3 ve =0,1 parametreleri birbirleri ile karşılaştırılmak için tutarlı mıdır? Görüldüğü gibi, MA(3) daha büyük farklılıklar oluşturur. Bu sebeple bir tutarlılıktan bahsetmek doğru olmayacaktır MA(3) ES(0,1) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 51

52 Karşılaştırılabilir Parametrelerin Hesabı ve N için tutarlı değerlerin tespit edilmesi için kullanılan iki farklı yol vardır: Ortalama Yaş Hesabı Hareketli Ortalama için; Ort.Yaş=(1/N)( N)=(N+1)/2 Üstel Düzeltme için; Ort.Yaş i1 i 1 i1 1 N veya N 2 2 N 1 =0,1 için N=19 N=3 için =0,5 olmalıdır. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 52

53 Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Benzerlikler 1. Her iki yöntem de talep sürecinin sabit olduğunu kabul eder. D t =+ t 2. Her iki yöntemde de tek bir parametre bulunur. N ve Küçük N veya büyük son veriye daha fazla ağırlık verirken büyük N veya küçük geçmiş veriye daha fazla ağırlık verir. 3. Her ikisi de, gözlenen veride bir bulunuyorsa gecikmeye sebep olur. trend özelliği 4. =2/(N+1) olduğunda her iki yöntemin tahmin hataları aynı dağılıma sahiptir. Bu durum her iki yöntemin de aynı tahminleri üreteceği anlamına gelmez. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 53

54 Üstel Düzeltme ve Hareketli Ortalamaların Karşılaştırılması Farklılıklar 1. Üstel düzeltme ile hesaplanan kestirimler geçmiş bütün verilerin ağırlıklı bir ortalaması iken hareketli ortalamalar sadece son N dönemin ağırlıklı ortalamasıdır. Bu durum, hareketli ortalamalar açısından bir üstünlük sağlar. Neden? 2. Hareketli ortalama yönteminin kullanılması için sistemde N geçmiş verinin saklanması gerekir. Üstel düzeltme için sadece en son tahminin saklanması yeterlidir. Bu durum, üstel düzeltme açısından önemli bir avantaj sağlar. Neden? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 54

55 Çalışma Sorusu-4 Güneş enerjisi ile çalışan hesap makineleri üreten bir firma geçmiş dört aylık satış rakamlarını aşağıdaki gibi açıklamıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 23,3 Mart 30,3 Şubat 72,3 Nisan 15,5 a. Eğer Ocak için yapılan tahmin 25 ise, tek adım sonrası için Şubat Mayıs arası için üstel düzeltme yöntemi ile tahminleri hesaplayınız (=0,15 ve =0,40). b. =0,15 ve =0,40 ile yapılan tahminler için MSE değerini hesaplayınız. Hangi seçeneğin daha etkili bir tahminde bulunulduğunu belirtiniz. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 55

56 Trend Tabanlı Yöntemler Eğer gözlenen verilerde bir trend varsa hareketli ortalama ve üstel düzeltme yöntemlerinin bir gecikmeye sebep olduğu belirtilmişti. Bu sebeple bu tür bir durumda kullanılmak üzere iki farklı yöntemden bahsedilecektir. Regression Analizi İkili Düzeltme (Holt) Yöntemi Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 56

57 Regression Analizi (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) X ve Y değişkenlerine ait veri noktalarını temsil etsin. x i X in y i de Y nin geçmişte gözlenen verilerdir. Y bağımlı, X ise bağımsız değişkendir. Yöntemde, X ve Y arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Ŷ a bx Yˆ Y nin tahmin değeridir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 57

58 Regression Analizi Yöntemin amacı tahmin hatasının karelerinin toplamını en küçükleyen a ve b değerlerinin hesaplanmasıdır. Tahmin hatası ile trend doğrusu arasındaki hatalar aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 58

59 Regression Analizi Regression analizi uygulandığında, bağımsız değişken genellikle zaman olarak alınır. Bağımlı değişken ise tahminin kendisidir. Dönemler : 1,2,,n Talepler : D 1,D 2,,D n a ve b nin en iyi (optimal) değerleri (yöntem-1) b S S xy xx a D b n 1 2 n n nn ( 1) S n id D S xy i i i1 2 i1 xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 59

60 Regression Analizi a ve b nin en iyi (optimal) değerleri ayrıca aşağıdaki şekilde de hesaplanabilir (yöntem-2). 2 2 n n xy x y y b x b a y bx n x x Tahmin için aşağıdaki eşitlik kullanılır: Dˆ a b* t t Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 60

61 Uçak arızaları: Örnek-6 n n nn ( 1) S n id D xy i i i1 2 i ,250,175,186,225,285,305,190 İlk beş periyodu regression analizi için kullanacağız S xy = 5*(1*200+2*250+3*175+4*186+5*225) -15*( ) = -70 S xx = ((25*6*11)/6)-(25*36)/4 = 50 S xx n ( n 1)(2n 1) n ( n 1) 6 4 Sxy 70 7 b S 50 5 xx n 1 7 a D b 207, 2 *3 211, ˆ 7 Dt 211, 4 * t 5 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 61

62 Örnek-6 Regression analizi sonucu elde edilen trend denklemi, 5 ve daha ilerisi periyotlardaki arızaların tahmin edilmesi için kullanılır. Örneğin 8.dönem tahminini aşağıdaki şekilde tespit edebiliriz; 7 Dˆ 8 211, 4 * ,2 Ancak 7.dönemde, 8.dönem tahmini istenirse bu durumda daha önce yapılan hesaplamaların 7 dönem için tekrarlanması gerekir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 62

63 Çalışma Sorusu-5 Bir otopark işletmesi, Ocak 2010 dan başlamak üzere altı aylık devamlı müşteri sayılarını kayıt altına almıştır. Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 133 Nisan 640 Şubat 183 Mayıs 1876 Mart 285 Haziran 2550 a. Regression eşitlikleri yardımıyla a ve b değerlerini bulunuz. b. Temmuz 2010 için hesaplanan tahmin ne kadardır? c. Elde ettiğiniz sonucu grafik üzerinde tartışınız. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 63

64 Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile) Holt metodu, zaman serilerinin, doğrusal trend ile izlenmesi için tasarlanmış bir yöntemdir. Yöntem (seri için) ve (trend için) olmak üzere iki düzeltme katsayısının belirlenmesini gerektirir. Aşağıdaki eşitlikler kullanılır: S t G t D t ( S (1 )( S t S t1 ) t1 G t1 (1 ) G ) t1 t anındaki kesişme değeri tahmini t anındaki eğim tahmini Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 64

65 Çift Üstel Düzeltme (Holt Metodu ile) adım ötesi için tahmin aşağıdaki eşitlik ile elde edilir: F t,t+ = S t +G t F t,t+1 = S t +1*G t = S t +G t Ayrıca ve arasında genellikle gibi bir ilişki söz konusudur. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 65

66 Örnek-7 Tekrar, motor arızası problemine dönersek; 200,250,175,186,225,285,305,190 = = 0,1 olarak belirlenmiş olsun. S 1 ve G 1 değerlerinin hesaplanmasında belirli olması gereken S 0 ve G 0 değerleri için aşağıdaki kabulü yapalım: S 0 =200 ve G 0 =10 D ( S S 1 = 0,1*200+0,9*(200+10) = 209 G 1 = 0,1*( )+0,9*10 = 9,9 S t G t t (1 )( S t S t1 t1 G t1 ) (1 ) G ) t1 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 66

67 Örnek-7 S t G t D t ( S (1 )( S t S t1 t1 G t1 ) (1 ) G ) t1 200,250,175,186,225,285,305,190 S 2 = 0,1*250+0,9*(209+9,9)= 222,01 G 2 = 0,1*(222,01-209)+0,9*9,9 = 10,211 S 3 = 0,1*175+0,9*(222,01+10,211) = 226,499 G 3 = 0,1*(226, ,01)+0,9*10,211 = 9,639 S 4 = 0,1*186+0,9*(226,499+9,639) = 231,124 G 4 = 0,1*(231, ,499)+0,9*9,639 = 9,137 S 5 = 0,1*225+0,9*(231,124+9,137) = 238,735 G 5 = 0,1*(238, ,124)+0,9*9,137 = 8,985 S 6 = 0,1*285+0,9*(238,735+8,985) = 251,448 G 6 = 0,1*(251, ,735)+0,9*8,985 = 9,358 S 7 = 0,1*305+0,9*(251, ,358) = 265,225 G 7 = 0,1*(265, ,448)+0,9*9,358 = 9,800 S 8 = 0,1*190+0,9*(265, ,800) = 266,522 G 8 = 0,1*(266, ,225)+0,9*9,800 = 8,949 Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 67

68 Örnek-7 Dönem Arıza Tahmin Hata ,1 50, ,3 15, ,7 37, ,8 44, ,0 85,0 MAD 1 n n i1 e i 50,1 15,3 37,3 5 44,2 85,0 46,38 Sonuç Ölçüt MA(3) ES(0,1) MAD 57,6 49,2 Holt Yöntemi MA(3) ve ES(0,1) yöntemine göre daha iyi bir sonuç vermiştir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 68

69 Örnek-7 Önceki hesaplamalar tek adım sonrası için tahminleri içermektedir. F 2,5 =? F 2,5 =S 2 +(3)*G 2 = 222,01+(3)*(10,211) = 252,643 Holt metodunun başlangıç (S 0 ve G 0 ) değerlerinin tahmin edilmesinde herhangi bir değeri kabul etmek uygun bir yaklaşım değildir. Bunun yerine belirli bir dönemi ele alarak örneğin Regression Analizi yardımıyla kesim noktası ve eğim (a ve b) bulunmaya çalışılabilir. Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 69

70 Çalışma Sorusu-6 Çalışma Sorusu-5 i ele alalım. (Otopark örneği) ˆ D t Ay Satışlar Ay Satışlar Ocak 133 Nisan 640 Şubat 183 Mayıs 1876 Mart 285 Haziran ,54* t 807,4 b 500,54ve a 807,4 a. Bu değerleri Holt yöntemi için başlangıç değeri olarak kullanarak, Temmuz ve Ağustos için gözlenen değerleri sırasıyla 2150 ve 2660 alarak kesişim ve eğim değerlerini güncelleyiniz. (=0,15 ve =0,10) b. Tek adım ve iki adım ötesi için ayrı ayrı Eylül ve Ekim tahminlerini Holt Yöntemi ile hesaplayınız. c. Temmuzda Aralık için yapılan tahminin sonucu kaçtır? Kantitatif Tahmin Yöntemleri Aytulun 70