3 kesri on ikide üç şeklinde okunur. a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam sayısıyla, a a.k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi )

Transkript

1 RASYONEL SAYILAR A Rsyonel Syı ve irer tm syı ve 0 olmk üzere, içiminde yzılilen syılr rsyonel syı denir Rsyonel syılr kümesi Q ile gösterilir Q { : ve tm syı ve 0 } dır ifdesinde y py, ye de pyd denir Kesir Çizgisi, Py Pyd 0,,,, ifdeleri irer rsyonel syıdır Boynmış kısmı gösteren kesir syısı dir kesri on ikide üç şeklinde okunur Bir Kesrin Genişletilmesi vey Sdeleştirilmesi kesrinin py ve pydsı sıfırdn frklı ir k tm syısıyl, çrpıldığınd vey ölündüğünde kesrin değeri değişmez Bu işleme kesrin genişletilmesi vey sdeleştirilmesi denir Sonuç k, k 0 ( Kesrin Genişletilmesi ) k : k, k 0 ( Kesrin Sdeleştirilmesi ) : k Uyrı 0 0 dır ( 0 ) tnımsızdır 0 B Kesir ve Çeşitleri Kesir Bir irimin ölündüğü eşit prçlrdn irini vey irkçını göstermeye yryn syılr kesir denir kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri ullım kesrini - ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri ullım ( ) ( ) Yndki şekilde ir ütün prçy ölünmüş ve u prçlrdn tnesi oynmıştır kesrini sdeleştirerek en sde içimini ullım 0

2 0 : 0 : : : Denk Kesirler kesrinin genişletilmesi vey sdeleştirilmesiyle ye eşit pek çok kesir elde edileilir Bu kesirler ye denktir denir Bileşik Kesir İşretine kılmksızın pyı pydsındn üyük vey pyı pydsın eşit oln kesirlere ileşik kesir denir,,,,, ifdeleri irer ileşik kesirdir kesrini sır ile,,, ve ile genişleterek u kesre denk kesirler elde edelim;,,,, 0 0 Yukrıdki kesirler iririne denktir Bunu şğıdki gii göstereiliriz Uyrı 0 0 c ise, d c dir d Bsit Kesir İşretine kılmksızın pyı pydsındn küçük oln kesirlere sit kesir denir,,,, ifdeleri irer sit kesirdir, 0 Sonuç (,) rlığındki her reel syıy sit kesir denir ( -, ] rlığındki her reel syıy ileşik kesir denir [, ) rlığındki her reel syıy ileşik kesir denir Tm Syılı Kesir Sıfır hriç ir tm syı ve sit kesir ile irlikte yzıln kesirlere tm syılı kesir denir,,,, ifdeleri irer tm syılı kesirdir Kurl şeklindeki ir tm syılı kesir, şeklinde c c yzılilir tm syılı kesrini ileşik kesre çevirelim

3 ileşik kesrini tm syılı kesre çevirelim kesrinin pyını pydsın ölelim c c d () c d c d () () () Bun göre tür () () ileşik kesrini tm syılı kesre çevirelim kesrinin pyını pydsın ölelim Çıkrm İşlemi Pydlrı eşit oln kesirler çıkrılırken; pylrın frkı py olrk, ortk pyd ise pyd olrk yzılır Pydlrı eşit olmyn kesirler çıkrılmdn önce pydlr eşitlenir () () 0 Bun göre tür C Rsyonel Syılrd Dört İşlem Toplm İşlemi Pydlrı eşit oln kesirler toplnırken; pylrın toplmı py olrk, ortk pyd ise pyd olrk yzılır Pydlrı eşit olmyn kesirler toplnmdn önce pydlr eşitlenir işleminin sonucunu ullım () () 0 0

4 işleminin sonucunu ullım kesirlerin pydlrı eşit olmdığındn, önce pydlr eşitlenir Sonr, işlemler ypılır () Uyrı () () 0 0 Pydlrı eşit olmyn kesirlerin pydlrı eşitlenirken, u syılrın ekok u göz önüne lınır Söz gelimi; pydsı ve oln iki kesrin pydlrı ekok( ; ) = d eşitlenir Pydsı ve oln iki kesrin pydlrı ekok( ; ) = de eşitlenir işleminin sonucunu ullım Önce tm syılı kesirleri düzenleyelim ( ) olduğun göre, () () () () dir Çrpm İşlemi Rsyonel syılr çrpılırken; kesirlerin pylrının çrpımı py, pydlrının çrpımı pydy yzılır c c d 0 0 işleminin sonucunu ullım 0 ( )( ) işleminin sonucunu ullım olduğu için, ( )( ) - dur 0 Uyrı c dir c c c dir c c c c

5 Bölme İşlemi Bölme işleminde; ölünen kesir ynen yzılır, ölen kesir ters çevrilerek çrpılır c d c d d : dir d c c ( ) ( ) işleminin sonucunu ullım : 0 işleminin sonucunu ullım İşlem Önceliği () dir () Toplm-çıkrm, çrpm-ölme ve üs lm işlemlerinden ir kçının irlikte ulunduğu işlemlerde işlem sırsı şöyledir: : işleminin sonucunu ullım 0 : () () 0 dır ( : )( : ) işleminin sonucunu ullım Prntez içleri Üs lm Çrpm-ölme işlemleri Toplm-çıkrm işlemleri Uyrı Çrpm-ölme işlemleri ve toplm-çıkrm işlemleri kendi rlrınd sırlmy konulmmıştır Bunun için prolemlerde prntezler kullnılrk işlemin kışı sğlnmıştır [ ( : )] işleminin sonucunu ullım

6 [ ( : )] () () () () D Ondlık Kesirler Ondlık kesirler, pydlrı 0 un tm kuvvetleri oln kesirlerdir Bir kesrin ondlık kesre çevrileilmesi için, kesrin pydsı 0 un tm kuvvetleri içiminde vey 0 un tm kuvvetlerine dönüştürüleilecek içimde olmlıdır Bir kesrin virgül kullnılrk yzılımı, u kesrin ondlık çılımıdır tür işleminin sonucunu ullım olduğun göre,,,0,00,000 olur Bu syı sıfır devirli ir ondlık çılımdır Bu tip kesirlerde ilk önce n kesir çizgisi tespit edilir Dh sonr n kesir çizgisinin pyınd yukrıdn (üst uçtn) n kesir çizgisine doğru, pydsınd ise şğıdn (lt uçtn) n kesir çizgisine doğru işlem ypılır kesrinin ondlık çılımını yzlım: kesrinin pydsı, 0 un tm kuvvetleri içimine getirilemez Kesrin pyını, pydsın ölelim: Bun göre, devirli ondlık çılımdır Yndki ölme işleminde, ölünen dim klnını verir Bölme işlemine devm edilse de sıfır klnı hiçir zmn ulunmz Bölümün 0, dn sonrki ütün rkmlrı olrk devm eder kesrinin ondlık çılımı, nın devrettiği ir 0, 0, içiminde yzılır

7 kesrinin ondlık çılımını ullım () 0, tür 0 Bu kesrin ondlık çılımı py, pydy ölünerek de ulunilir rsyonel syısını ondlık kesre çevirelim () 00 0, rsyonel syısını ondlık kesre çevirelim (), 0 0, ondlık kesrini rsyonel syıy çevirelim 0, 0, ondlık kesrini rsyonel syıy çevirelim, ,0 ondlık kesrini rsyonel syıy çevirelim 0, E Ondlık Kesirlerde Dört İşlem Toplm İşlemi Ondlık kesirler lt lt toplnırken virgüller ve ynı isimli smklr lt lt gelecek şekilde yzılır Doğl syılrd olduğu gii (virgül düşünülmeden) işlem ypıldıktn sonr ulunn sonuç virgüller hizsındn virgülle yrılır,, işleminin sonucunu ullım olduğundn,,, dir,,,0 işleminin sonucunu ullım,,00 olur,,0 olur olduğun göre,,00,0,0, dir

8 Çıkrm İşlemi Ondlık kesirler lt lt çıkrılırken virgüller ve ynı isimli smklr lt lt gelecek şekilde yzılır Doğl syılrd olduğu gii (virgül düşünülmeden) işlem ypıldıktn sonr ulunn sonuç virgüller hizsındn virgülle yrılır 0,00 ile syılrını çrplım,, işleminin sonucunu ullım olduğun göre,,,, tir,,, işleminin sonucunu ullım Çrpm İşlemi olduğun göre,,,,, dir İki ondlık kesri çrpmk için, çrpnlrın virgülü yokmuş gii düşünülerek çrpm işlemi ypılır Bulunn çrpımd, çrpnlrın ondlık kısımlrındki smk syılrının toplmı kdr smk (sğdn itiren) virgülle yrılır Eksik smklr vrs yerine sıfır yzılır,, işleminin sonucunu ullım Bun göre, 0,00 0, 00 dir 0,00,00,000 işleminin sonucunu ullım 0,00 0, (ondlık kısım smk kydırıldı), 00 0 (ondlık kısım smk kydırıldı),000 0 (ondlık kısım smk kydırıldı) Bun göre, 0,00,00,000 0, 0 0 Bölme İşlemi 0, olur Bölme işlemi ypılırken ondlık kesri virgülden kurtrmk için py ve pyddn virgül kç smk kydırılırs diğerlerinden de o kdr smk kydırılır Eksik smklr vrs yerine sıfır yzılır 0, işleminin sonucunu ullım 0,0 Bun göre,,, 0, 0 dir 0, olur 0,0

9 , 0,, 0, işleminin sonucunu ullım 0,, işleminin sonucunu ullım 0,,,, olur 0,,, 0 işleminin sonucunu ullım 0, 0 0 0, 0 0,,,, c onluk sym sisteminde irer rkm ve c üç smklı ir doğl syı olmk üzere, c, c, c, c işleminin sonucunu ullım c00 c c c ve iki smklı, ve dört smklı doğl syılr olmk üzere,,, işleminin sonucunu ullım y ve kr iki smklı olmk üzere, y ve kr olsun Bun göre,,, ykr y, kr kry kr, y ykr00 y, kr00 kry00 kr, y00 ykr00 kry dir ykr kry F Devirli Ondlık Açılımlr Bir rsyonel syı ondlıklı yzıldığınd, ondlıklı kısımdki syılr elli ir rkmdn sonr sonsuz kdr tekrr ediyors (devrediyors) u syıy devirli ondlık çılım denir,,,,,,,, syılrı irer devirli ondlık çılımdır c, c, c, c c00, c00, c00, c00

10 Devirli Ondlık Açılımın Rsyonel syıy Dönüştürülmesi Bir devirli ondlık çılımı şeklinde yzrken; Virgül ve devreden dikkte lınmdn; okunn syıdn, devretmeyen syı çıkrılrk py yzılır Pydy ise virgülden sonrki devreden smk syısı kdr ve sğın devretmeyen smk syısı kdr sıfır yzılır,, c, d, e irer rkm olmk üzere, cde c, cde dir 00 0, devirli ondlık çılımı rsyonel syıy çevirelim 0, 00 00,0 devirli ondlık çılımı rsyonel syıy çevirelim 0 0 0:,0 0 0: 0 Yol, 0, , devirli ondlık çılımı rsyonel syıy çevirelim :,, 0 0 : 0 Sonuç Devreden rkm sdece ise un solundki smktki rkm syısl değeri kımındn rttırılıp devreden tılır,, 0, 0,, tür,, işleminin sonucu kçtır?, devirli ondlık çılımı rsyonel syıy çevirelim Yol :, 0 0 :,,,, olduğu için,,, 0 dir,, 0

11 ,, işleminin sonucu kçtır? G Rsyonel Syılrd Sırlm Pozitif rsyonel syılr sırlnırken şğıdki üç kurldn iri kullnılır Kurl Pydlrı eşit oln pozitif iki rsyonel syıdn, pyı küçük oln dh küçüktür,,,,, işleminin sonucu kçtır? Kurl Pylrı eşit oln pozitif iki rsyonel syıdn, pydsı küçük oln dh üyüktür,,,,, işleminin sonucu kçtır?,,,, syılrı trf trf toplrken ir önceki örnekte olduğu gii işlem yptığımızd ir krışıklık olilir Bu durumd, şğıdki işlemler ypılır,,, Kurl Py ve pydsı rsındki frkı eşit oln pozitif kesirlerin py ve pydsındki syılr üyüdükçe; sit kesirlerin değeri rtr, ileşik kesirlerin değeri zlır,,, Py ve pydsı rsındki frkı eşit oln yukrıdki sit kesirlerin py ve pydsındki syılr üyüdükçe değeri rtr Bun göre, u syılrın sırlnışı; dir,,,

12 ,,, Py ve pydsı rsındki frkı eşit oln yukrıdki ileşik kesirlerin py ve pydsındki syılr üyüdükçe değeri zlır Bun göre, u syılrın sırlnışı; dır,, rsyonel syılrını küçükten üyüğe doğru sırlylım,, kesirlerinin pydlrını eşitlersek, 0,, olur () () () 0 Uyrı olduğu için, tir Negtif syılr krşılştırılırken önce syılrın işretine kılmksızın sırlm ypılır Sonund pozitif syılr için ulunn sırlmnın tm tersi lınır ,, c 0 00 olduğun göre,, ve c rsındki sırlmyı ullım,, c nin işretleri düşünülmeden, ,, 0 00 kesirleri, py ve pydlrı rsındki frkı oln sit kesirlerdir Bundn dolyı tür 0 00 Fkt, ve c negtif syı olduklrındn dolyı, olur 0 00 Bun göre, c dir Kurl Pozitif ondlık kesirlerde krşılştırm ypılırken, soldn sğ doğru, ynı smktki rkmlr krşılştırılır Bu krşılştırmd, syı değeri üyük oln rkmın yer ldığı kesir, diğerlerinden üyük olur,,,,, y, syılrını sırlylım Bu iki ondlık kesrin tm kısımlrı ynı, ond irler smğındki rkmlr ynı, yüzde irler smğındki rkmlr d ynıdır Birinci ondlık kesrin inde irler smğındki rkm 0, ikinci ondlık kesrin inde irler smğındki rkm tür 0 olduğundn,, 00 olup y tir

13 , 0,, 0 syılrını sırlylım Verilen syılrı sırlmk için irkç yöntem kullnılilir Biz urd syılrın ondlık çılımlrını yzrk sırlm ypcğız () 0, tir 00 0, dur 0 ve kesirlerinin pydlrını eşitlersek, () olur 0 0 () eşitsizliğinde verilenlere uygun kesri 0 0 yoktur Kesirleri tekrr genişletirsek; 0 olur () () 0, 0, 0, olduğu için 0 0, tür Bu eşitsizlikte, Uyrı tır 0 H İki Rsyonel Syıl Arsın Syı Yzm İki rsyonel syı rsın pek çok rsyonel syı yzılilir Anck elli şrtlrd iki rsyonel syı rsın sonlu syıd rsyonel syı yzmk mümkündür İki kesir rsın elli şrtlrı sğlyn syılr yzmk için; İki kesrin pydlrı eşitlenir İstenen şrtlrı sğlyn syılrı u kesirlerin rsın yzmk için genişletme vey sdeleştirme işlemi ypılır c c c ise, ( ) d d d dir c c, ve ( ) syılrı syı doğrusu üzerinde d d c c gösterilirse, ( ) nin ve ye eşit uzklıkt d d olduğu, diğer ir ifdeyle ort noktd olduğu görülür ve pozitif tm syı olmk üzere, 0 olduğun göre, nin en küçük değerini ullım

14 Çözümlü Sorulr c 0 olduğun göre şğıdkilerden hngisi c kesinlikle doğrudur A) 0 B) c 0 C) 0 D) c 0 E) c 0 c 0 ise, c 0 ve c 0 c Bun göre, u kesir dir 0, tir ( ) ( ) işleminin sonucu kçtır? ise, c ve c 0 ise, 0 ve c 0 dır işleminin sonucu kçtır? () () () ( ) ( ) () () işleminin sonucu kçtır? 0 0,,, rkmlrının ikisinden oluşturuln iki smklı ir syı py, diğer ikisinden oluşturuln iki smklı ir syı d pyd olmk üzere elde edileilecek pozitif kesirlerden en küçüğünün yklşık değeri şğıdkilerden hngisidir? ( )( )( )( )( ) işleminin sonucu kçtır? A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) 0, Bu şrtlr uygun en küçük kesir; pyı en küçük ve pydsı en üyük oln kesirdir

15 : işleminin sonucu kçtır? k e denk oln kesir k olsun : () () () Bu kesrin py ve pydsının toplmı k k k olur Yni py ile pydnın toplmı in ktı olmlıdır Seçeneklerde u koşul uyn ylnızc vrdır 0,, c sıfırdn frklı reel syılrdır c kesrindeki,, c syılrının her irini ile öldüğümüzde oluşn yeni kesir, ktıdır? c kesrinin kç 0 olduğun göre, türünden değerini ulunuz toplmının c sonuç, kesrindeki,, c syılrının her irini ile ölünürse olur c c c Bu durumd, oluşn yeni kesir c nin ktıdır A A A kesrinin kısltılmışını ulunuz Bir kesrin pyı ve pydsı irer tm syıdır Bun göre, e denk oln u kesrin py ve pydsının toplmı şğıdkilerden hngisi olilir? A) B) C) D) E)

16 Pozitif ir syıyı 0, ile ölmek, u syıyı kç ile çrpmktır? 0, 000 olsun olur olduğu için herhngi ir pozitif syı olmk üzere, 0, tir Bun göre, pozitif ir syıyı 0, ile ölmek, u syıyı ile çrpmktır olur işleminin sonucu kçtır? 0,00 kesrinin değerini ulunuz 0, 0,00 0, ,0 y 0,,, eşitliğinde ve y, ten küçük irer doğl syı olduğun göre, y kçtır? işleminin sonucu kçtır? 0,,,, y y 0, y y 0

17 y olduğun göre;, y tür 0,, 0,,0 0 işleminin sonucu kçtır?, 0, 0,0,0 0, 0 0, , 00, 000 ( 0, 0, 0,)(, 0,) işleminin sonucu kçtır? 0 pozitif ir ondlık syı olmk üzere, işleminin sonucu ir tm syıdır 0 Bun göre, in virgülden sonrki kısmı kçtır? olsun 0 0,0,0 olur 0 Bu durumd, in virgülden sonrki kısmı 0 tir sıfırdn frklı ir rkm olmk üzere, 0, 0,0, 0, 0,0 işleminin sonucu kçtır? 0, 0,0,,, dir, 0, 0,0 0,0 0, 0, 0,0 işleminin sonucu kçtır? olduğu için, ( 0, 0, 0,)(, 0,) dir 0,(0, 0,) işleminin sonucu kçtır? 0,0 0, 0, 0,0 0 () (0) (0) 0 () tür,,, işleminin sonucu kçtır?, olduğundn 0,(0, 0,) 0,0,0 0, 0 dir

18 ,,,, 0 0 dir 0 ve y devirli ondlık çılım olmk üzere, 0, ve y 0, olduğun göre, y y 0, y 0, olduğu için, y y y kçtır? y y y olur ve y rlrınd sl iki doğl syı olmk üzere, y, 0, olduğun göre y kçtır? y y y 0 ve y rlrınd sl iki doğl syı ise, ve y dir Bun göre, y 0 dur,, c irer pozitif tm syı olmk üzere, c 0, olduğun göre c toplmı kçtır? olduğun göre, c 0, olur c Bun göre,,, c ve c dır y, 0, y y , işleminin sonucu kçtır? 0

19 0, 0 ( ) ve sıfırdn ve iririnden frklı irer rkm olmk üzere, 0 0 olduğu için, dir Bun göre, y z dir 0 0, c 0, olduğun göre,,, c syılrı sırsıyl şğıdkilerin hngisindeki syılr olilir?,, 0, 0, A),, B),, C),, kesrinin değeri kçtır?,, 0, 0, 0 (0 ) ( ) dir, y, z rsyonel syılrını üyükten küçüğe doğru sırlyınız Verilen kesirlerin pydlrını eştleyelim: D),, 0, c 0, ise ise () E) Bun göre;,, c syılrı sırsıyl,,, c () c dır,, n ifdesi sit kesir elirttiğine göre, n in lileceği kç frklı tm syı değeri vrdır? n ifdesi sit kesir olilmesi için, n olmlıdır n n olilir, () y, () z () 0 n n tür n in lileceği frklı tm syı değeri vrdır ( -, -, - )

20 , pozitif ir ondlık kesirdir ifdesi ir tm syı olduğun göre, nın virgülden sonrki kısmını ulunuz tir olsun 0, 0, olur 000 () Bun göre, nın virgülden sonrki kısmı (ondlıklı kısmı) tir nın virgülden önceki kısmı (tm kısmı) sit ir syı değildir : işleminin sonucu kçtır? : (0, 0,) işleminin sonucu kçtır? 0,0 (0, 0, ,) 0, işleminin sonucu kçtır? işleminin sonucu kçtır? , 0, , 0,00 00,0 dir ( )( )( )( ) işleminin sonucu kçtır? olduğun göre, ifdesinin cinsinden eşitini ulunuz tir () () 0

21 A olduğun göre A nın türünden değerini ulunuz : işleminin sonucu kçtır? : () () () 0, 0,00 0,0000 işleminin sonucu kçtır? 0,0000 0, 0,00 0,0000 0, 0,0000 0, sonsuz zincir kesrinin değeri kçtır? (,,0,) : (0, 0,) işleminin sonucu kçtır? (,,0,) : (0, 0,) (, 0,) :,0 olsun,, :,0,0 0, 0 olur 0, 0, 0,0 0, 0,0 işleminin sonucu kçtır? olur 0, 0, 0,0, 0, 0, 0,0 0, 0,0

22 0, 0, 0, 0, işleminin sonucu kçtır? ve sıfırdn frklı rkmlr olmk üzere, 0, 0, 0, 0, ( ) 0, 0, 0 0 0, 0, ( ) 0 0 0, 0, 0, 0, c, olduğun göre c kçtır? 0, 0 0, 0 0 işleminin sonucu kçtır? 0, 0, 0, 0, 0 0 dur 0 0 0, 0,00 0,0000 0, işleminin sonucunu ulunuz Verilen terimleri lt lt yzıp toplylım: c, 0, olduğun göre, 0 c tür 0 olmk üzere un göre verilen ifdenin toplmı, 0, olur,, c syılrını küçükten üyüğe doğru sırlyınız KONU BİTMİŞTİR Pylrı eşit oln negtif kesirlerden pyı üyük oln dh üyük olduğu için, c dir