Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz."

Basak Akar
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g) 3 6 h) ( ) 1 2 i)( ) 3 1 j)(( ) ) 2 1 Açıklama g) ( ) [ ] ( [ ]) [ ] [ ] olduğundan diferansiyel denklemin mertebesi 3, derecesi 6 dır. 2) Verilen diferansiyel denklemleri adi ve kısmi diferansiyel denklem olarak sınıflandırınız. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Sınıfı Bağımlı Değişken Bağımsız değişkenler a) Adi Kısmi c) Adi d) Kısmi

2 3)Aşağıda verilen fonksiyonların, yanlarındaki diferansiyel denklemlerin çözümleri olup olmadıklarını tespit ediniz. a) = çözümüdür. fonksiyonu = diferansiyel denklemini sağladığından bu denklemin Fonksiyon verilen diferansiyel denklemin çözümüdür. c) Fonksiyon verilen diferansiyel denklemin çözümüdür. d) Fonksiyon verilen diferansiyel denklemin çözümüdür. 4) nın hangi değerleri için verilen fonksiyonlar yanlarındaki diferansiyel denklemlerin çözümüdür? a) 5) Verilen problemleri başlangıç değer ve sınır değer diye sınıflandırınız ve çözümlerini bulunuz. a), Başlangıç Değer Problemi

3 sıralı ikilisi denklemi sağlayacağından Böylelikle fonksiyonu bu denklemin çözümü olarak bulunur., ( ) Başlangıç Değer Problemi Denklemin çözümü fonksiyonudur. c), Sınır Değer Problemi bulunur. Çözüm fonksiyonudur. d) Başlangıç Değer Problemi Problemin çözümü fonksiyonudur. 6) diferansiyel denklemi için a) nin genel çözüm olduğunu gösteriniz } özdeş olarak eşit ve ayrıca verilen fonksiyon, denklemin mertebesi kadar (yani iki tane) keyfi sabit içerdiğinden genel çözümdür. nin neden özel çözüm olduğunu ifade ediniz.

4 Cevap: Genel çözümdeki keyfi sabitlere değer vererek çözüme özel çözüm denir. çözüm elde edildiğinden bu c), başlangıç değer probleminin çözümü nedir? Diferansiyel denklemin genel çözümünün Burada verilen iki tane başlangıç şartını bulunmalıdır. olduğu a) şıkkından biliniyor. sağlayan bir özel çözüm Buradan } bulunur. Çözüm dir. 7)Aşağıdaki diferansiyel denklemler için varlık teklik teoreminin sağlandığı noktaların kümesini bulunuz. a) Varlık Teklik Teoreminin sağlanması için sürekliliği incelenir. V.T.T. nin sağlandığı noktalar kümesi { V.T.T. nin sağlandığı noktalar kümesi { c) V.T.T. nin sağlandığı noktalar kümesi { d)

5 V.T.T. nin sağlandığı noktalar kümesi { 8) Verilen başlangıç değer problemlerinin tek çözümü varlık teklik teoremi kullanılarak garanti edilebilir mi araştırınız? a), Çözüm 1: Verilen şart olduğundan (yani çözümün varlığı ve tekliği garanti edilemez. Çözüm 2: 7. Sorunun a) şıkkında V.T.T. nin sağlandığı noktalar kümesi { bulunmuştu. Verilen şart olduğundan (yani çözümün varlığı ve tekliği garanti edilemez., Çözüm vardır ve tektir. c), Çözümün varlığı ve tekliği garanti edilemez. d), ( ) Çözüm vardır ve tektir. 9)Verilen eğri ailelerinin diferansiyel denklemlerini bulunuz. a) Denklemde iki tane keyfi sabit olduğundan iki kere türev alınır. kullanılarak keyfi sabitler denklemlerden yok edilir. bulunur ve bunlar (1) ve (2) nolu denklemlerden li terim yok edilirse

6 Diferansiyel denklemi bulunur. (3) ve (5) nolu denklemleri taraf tarafa toplarsak bulundu. Bu değer (4) nolu denklemde kullanılarak hesaplanır: değerleri (5) nolu denklemde yerine yazılır. ( ) c)düzlemde merkezi (3,5) noktası ve yarıçapı r olan (r keyfi sabit) çemberler Cevap: diferansiyel denklemi d)düzlemde merkezi (a,6) noktası ve yarıçapı r olan ( a ve r keyfi sabitler) çemberler Cevap: d) Düzlemde merkezi orijin olan elipsler Merkezi orijin olan elipsler biçimindedir. Burada ( keyfi sabitlerdir)

7 diyelim. Bu durumda denklem aşağıdaki biçimde ifade edilecektir: Denklemde iki keyfi sabit olduğundan iki kere türev alınacaktır. (6) nolu denklemden (7) nolu denklemin katı çıkarılırsa Bu kullanılarak da bulunur. Böylelikle verilen eğri ailesinin diferansiyel denklemi dir.

8 10) Verilen yön alanları için çözüm eğrileri çiziniz.

Benzer belgeler

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini