TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ-FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI (LİSE-4 [ÇALIŞTAY 2014])

Transkript

1 TÜBİTAK BİDEB LİSE ÖĞRETMENLERİ-FİZİK, KİMYA, BİYOLOJİ, MATEMATİK- PROJE DANIŞMANLIĞI EĞİTİMİ ÇALIŞTAYI (LİSE-4 [ÇALIŞTAY 2014]) MATEMATİK PROJE RAPORU GRUP ŞİFRELEYİCİLER PROJE ADI e nin Gizemi PROJE EKİBİ Emin DÜNDAR Kerem TUNA PROJE DANIŞMANLARI Prof. Dr. İrfan ŞİAP Doç. Dr. Fatma KARAKOÇ TEKNİSYEN Araş. Gör. Ahmet MOLLAOĞULLARI ÇANAKKALE 25 OCAK 02 ŞUBAT 2014

2 İÇİNDEKİLER: ĠÇĠNDEKĠLER...2 PROJENĠN AMACI GĠRĠġ YÖNTEM SONUÇ ve TARTIġMA...10 TEġEKKÜR...11 KAYNAKLAR...11 GRUP ÜYELERĠNĠN ÖZGEÇMĠġLERĠ

3 1. PROJENİN AMACI: Ġrrasyonel e sayısının kesirli kısmındaki basamakları oluģturan sayıların mod2 ye göre oluģan bit değerlerinin rastgelelik özelliği taģımasından dolayı iyi bir Ģifreleme anahtarı olarak kullanılıp kullanılamayacağını istatistiksel olarak test etmek ve bir uygulama yapmak. GİRİŞ Kriptolojiyle ilgili yaptığımız araģtırmalarda karģımıza çıkan [1] makalesinde alt anahtarların ve gizli kutuların oluģturulmasında Pi sayısının kullanılma nedeni olarak, basamaklarını oluģturan sayıların rastgelelik özelliği taģıması ifadesi bize ilham kaynağı olmuģtur. Kriptoloji ne demektir? Kryptos logos sözcüklerinin yani gizli, dünya kelimelerinden türemiģtir. HaberleĢen iki veya daha fazla tarafın bilgi alıģveriģini emniyetli olarak yapmasını sağlayan, temeli matematiksel zor ifadelere dayanan tekniklerin ve uygulamaların bütünüdür.[2] Günümüzde Ġnternet kullanımının artması bilgi güvenliğini bir ihtiyaç haline getirmiģtir. Bilgi güvenliğinin sağlanması amacıyla geliģtirilmiģ bazı Ģifreleme algoritmaları kullanılmaktadır. Yaygın olarak kullanılan Ģifreleme algoritmaları simetrik yani tek anahtarlı algoritmalardır. Simetrik anahtarlı Ģifreleme algoritmaları genel olarak geleneksel (Sezar, Mono Alfabetik ġifreleme Sistemleri, vb) ve modern (DES, AES, vb) olarak ikiye ayrılabilir. Klasik algoritmalar karakter tabanlı Ģifreleme teknikleridir. Modern teknikler ise bitler üzerinde iģlemler yapılarak gerçekleģtirilir ve kullanım alanları daha geniģtir.[3] ġifreleme çeģitlerinden biri olan simetrik Ģifrelemede amaç gönderici ile alıcının ortak bir anahtar üzerinde ve ortak bir Ģifreleme ile deģifreleme algoritması üzerinde anlaģıp, mesajı diğer kiģilerden korumaktır. Simetrik Ģifrelemede beģ bileģen bulunmaktadır. Bu bileģenler ve Ģifreleme iģleminin nasıl yapıldığı ġekil 1 de gösterilmektedir. [3] ġekil 1. Bir ġifreleme Algoritmasındaki BeĢ BileĢen Simetrik Ģifrelemede güvenliği sağlayan anahtardır. Çünkü gizli olan tek Ģey anahtardır, Ģifreleme ve deģifreleme algoritmaları herkese açıktır. Farklı anahtarlar sayesinde aynı mesaj ve aynı algoritma ile birbirinden bağımsız Ģifreli metinler üretilebilir. Örneğin; simetrik Ģifreleme yöntemlerinden tek kullanımlı Ģifreleme (one time pad) yöntemini örnekleyecek olursak: Bu Ģifreleme yönteminde her iģlem için farklı bir anahtar yarattığından dolayı, algoritmanın adı one-time-pad yani tek kullanımlık Ģifredir. ġifrelemede Xor iģlemi kullanacağımız için bu iģlemi tanımlayalım. 3

4 ġekil2. Xor ĠĢlemi ġekil2. de gördüğümüz gibi xor iģlemi aynı bitler için 0, farklı bitler için 1 sonucu oluģmaktadır. Diğer bir deyiģle mod 2 ye göre toplama iģlemi yapılmaktadır. ġifrelenecek metine karģılık aynı uzunlukta bir anahtar kullanalım. Anahtarımızda Ģifrelenecek metni Xor iģlemine sokalım. ġifrelenecek metnimiz: AÇIKFĠKĠR Aynı uzunluktaki (9 karakter ) rastgele yaratılan anahtarımız ise : KEREMEMĠN olsun. A(1) B(2) C(3) Ç(4) D(5) E(6) F(7) G(8) Ğ(9) H(10) I(11) İ(12) J(13) K(14) L(15) M(16) N(17) O(18) Ö(19) P(20) R(21) S(22) Ş(23) T(24) U(25) Ü(26) V(27) Y(28) (30) # (31) % (32) Tablo 1. Türk Alfabesi Düz Metin ĠĢlem Anahtar ġifreli Metin A (00001) + K (01110) = L (01111) Ç (00100) + E ( 00110) = B (00010) I (01011) + R (10101) (11110) K (01110) + E (00110) = G (01000) F (00111) + M (10000) = ġ (10111) Ġ (01100) + E (00110) = H (01010) K (01110) + M (10000) = Y (11110) Ġ (01100) + Ġ (01100) = % (00000) R (10101) + N (10001) = Ç (00100) Tablo2. Tek Kullanım ġifreleme Örneği Sonuçları Bu iģlem sonucunda ĢifrelenmiĢ metin LB@GŞHY%Ç dir. Bu Ģifrelemede metnimizin (AÇIKFĠKĠR) ilk harfi olan A ile anahtarımızın (KEREMEMĠN) ilk harfi olan K harflerini önce yukarıdaki tabloya göre sayıya çevirip Xor iģlemi uyguladık. Sonra bulduğumuz sayıya karģılık gelen harfi veya karakteri yine tablodan bulup yazdık. 4

5 Tek kullanımlık Ģifreleme algoritması kırılamaz olarak nitelendirilir. Bunun sebebi ise her anahtar rastgele ve bir kere yaratıldığından dolayı, ĢifrelenmiĢ metin ele geçse bile bu teorik olarak 9 karakterlik bütün kombinasyonlar olabilir. Bununla büyük bir metni Ģifrelediğimizi düģünürsek, gerçek metni elde etmek bir hayli zor olur. Bir de harfleri binary olarak çevirdiğimizden, Xor iģlemi yaptığımızdan anahtarı bulmak çok daha zordur. ġifreleme algoritmalarında ĢifrelenmiĢ mesaj ile düz metin arasındaki iliģkinin zor kurulmasının yanında aģağıdaki kriterlerde önemlidir. Bunlar Ģu Ģekilde sıralanabilir: ġifrelenmiģ mesaj deģifre edildiğinde bilgi kaybı olmamalıdır. ġifreleme iģlemlerinde güvenlik seviyesi mümkün olduğunca yüksek olmalıdır. Ġhtiyaç duyulan güvenlik seviyesine göre güvenlik seviyesi seçilebilmelidir. ġifreleme iģlemleri basitçe ve kolaylıkla gerçekleģtirilebilmelidir. Verimi düģürecek maliyeti ve iģ gücünü arttıracak yaklaģımlar içermemelidir. Kullanılan algoritmanın karıģtırıcı özelliği olmalıdır. ġifreleme yöntemleri herkese açık olmalıdır. ġifreleme yaklaģımları açıklarının ortaya çıkarılabilmesi için mümkün olduğunca geniģ bir platformda test edilebilmelidir.[2] Bu projede biz de irrasyonel e sayısının kesirli kısmındaki basamakları oluģturan sayıların rastgelelik özelliği taģımasından dolayı iyi bir Ģifreleme anahtarı olarak kullanılıp kullanılamayacağını istatistiksel olarak test edeceğiz ve bir uygulama yapacağız. 2. YÖNTEM n 1 n doğal sayı olmak üzere n 1 sayısını gittikçe büyüyen n ler için hesaplarsak bu değerlerin n arttıkça belli bir değere istenildiği kadar yakın olabileceğini görebiliriz. Örneğin, ,25, 1 2,370..., 1 2,594..., 1 2,705..., , , , n yi arttırdıkça bu değerlerin istenildiği kadar yakın olduğu sayıya e sayısı denilmektedir. e sayısı irrasyonel olup, yaklaģık değeri e=2, dir.[4] e nin daha kesin tanımı limit kavramı ile verilir ve bu sayının irrasyonel olduğu ispatlanır. Bu sayının irrasyonel olması e sayısının kesirli kısmındaki basamakları oluģturan sayıların rastgelelik özelliği taģımasından dolayı iyi bir Ģifreleme anahtarı olarak kullanabileceğini iddia etmekteyiz. Bu iddiamızı test etmek için Ģifreleme anahtarlarımızı bitler üzerinde iģlemler yaparak gerçekleģtirmek istedik. Bunu yapmaktaki amacımız bitler üzerinden Ģifreleme yapmanın hem modern bir teknik olması hem de kullanım alanının geniģ olmasından kaynaklanmaktadır

6 Projemizde e sayısının ondalık kısmının ilk 384 basamağındaki sayıların rastgeleliği incelenmiģtir. Bundan dolayı ilk olarak internet sitesi yardımıyla e sayısının ondalık kısmının ilk 384 basamağı belirlenmiģtir Tablo3. e sayısının ondalık açılımının ilk 384 basamağı Daha sonra bitler üzerinden Ģifreleme yapacağımızdan dolayı basamaktaki sayılar Microsoft Excel programı yardımıyla mod2 ye göre bitlere dönüģtürülmüģtür. ġekil 3. Mod2 ye göre dönüģüm tablosu Tablo4. e sayısının ondalık açılımının ilk 384 basamağının bit değerleri Ġlk 384 basamaktan rassal olarak seçilecek olan 128 bitlik verileri Ģifre olarak kullanacağımızdan verilerin düzenli dağılıp dağılmadığını anlamak için öncelikli olarak 1-128, 2-129, 3-130, 4-131, 5-132, , , , , , , , 6

7 80-207, , , , , , , , , , , , , , , , , , aralıklarındaki 0/1 dağılımını inceledik. Ġnceleme yaptığımız aralıktaki 0 ların değerlerini ve 1 lerin değerlerini minitab programına girerek normal dağılım analizi yapıldı. ġekil 4. 0/1 lerin dağılım tablosu ġekil 5. 0/1 lerin istatistiksel değer tablosu Ġlk 384 basamaktan örneklem olarak seçilen 128 bitlik verilerin 0/1 dağılımı yapılan analize göre p değerleri <0,005 olduğundan anlamlı çıkmıģtır. Ancak Ģifrelemenin güvenliği, 7

8 anahtarın tahmin edilemezliğine bağlı olduğundan ikili, üçlü, dörtlü vb. bitlerin tekrarlama sıklıklarının incelenmesi iyi bir anahtar seçimi için önemlidir. Bundan dolayı projemizde ikili bitlerin yani 00,01,10,11 lerin tekrarlama sıklıkları minitab programı kullanılarak normal dağılım analizi yapılmıģtır. Yapılan analizde Ģu sonuçlara ulaģılmıģtır: ġekil 5. 00/01/10/11 lerin dağılım tablosu ġekil 6. 00,01,10,11 lerin Ġstatistiksel Değer Tablosu 8

9 Ġlk 384 basamaktan örneklem olarak seçilen 128 bitlik verilerin 00,01,10,11 lerin tekrarlama sıklıklarında anlamlı bir ayrıģma bulunmamaktadır. e sayısının kesirli kısmındaki ilk 384 basamağını oluģturan sayıların mod2 ye göre alınan bit değerlerinden keyfi 128 bloklardan birini alarak ÇALIġTAY kelimesine karģılık gelen alfabe tablosundan yararlanarak bit değerleriyle anahtarı Xor iģlemi uygulayarak Ģifreleyelim A B C Ç D E F G Ğ H I İ J K L M N O Ö P Q R S Ş T U Ü V W X Y Z Tablo5. Alfabe e nin luk bloğundan aldığımız anahtar: 9

10 ANAHTAR Tablo5. Alfabe Ç A L I Ş T A Y ANAHTAR ġifreleme iģlemi sonucunda : ŞİFRELİ METİN Ö B X S Ö D Ç B olarak bulunur. 3. SONUÇLAR VE TARTIŞMA Ġrrasyonel e sayısının kesirli kısmındaki basamakları oluģturan sayıların mod2 ye göre oluģan bit değerlerinin rastgelelik özelliği Minitab ve Microsoft Excel programları yardımıyla yapmıģ olduğumuz istatistiksel yöntemlerle e sayısının kesirli kısmındaki ilk 384 basamağını oluģturan sayıların mod2 ye göre alınan bit değerleri keyfi 128 bloklar halinde alınarak 0/1 dağılımına ve 00,01,10,11 dağılımlarına bakılmıģtır. Bu dağılımlar arasında anlamlı bir fark olmadığı istatistiksel olarak gösterilmiģtir. Bu sonuçlardan yola çıkarak e sayısının kesirli 10

11 kısmındaki basamakları oluģturan sayıların iyi bir Ģifreleme anahtarı olarak kullanılabileceğini bir örnekle göstermiģ olduk. Üçlü, dörtlü, beģli ve permütasyonlarını vb. dağılım analizlerinin yapılması ve e sayısının daha üst basamaklardaki analizlerinin yapılması e nin daha güvenli bir anahtar olmasını kuvvetlendirecektir. 4. TEŞEKKÜR Proje danıģmanlarımız Prof. Dr. Ġrfan ġġap ve Doç. Dr. Fatma KARAKOÇ a, çalıģtay koordinatörü Prof. Dr. Mehmet AY a, teknisyenimiz AraĢ. Gör. Ahmet MOLLAOĞULLARI na ve tüm çalıģtay ekibine, çalıģmamıza yaptıkları katkı ve desteklerinden dolayı teģekkür ederiz. 5. KAYNAKÇA [1] Demir N., Dalkılıç G. (2007, ġubat). Anahtar Bağımlı Bir ġifreleme Algoritması, Akademik Bilişim, 2007, 1-2 [2] Sağıroğlu ġ Prof.Dr.. Şifreleme Bilimi, Gazi Üniversitesi Mühendislik Fakültesi,BBG YL Ders Notu [3] Yıldızoğlu G., Dalkılıç G. (2008, ġubat). Tek Anahtarlı Yeni Bir ġifreleme Algoritması Daha, Akademik Bilişim, 2008, 1-2 [4] Caferov.V. Analiz, Açıköğretim Fakültesi Yayınları [5] MINITAB Ġstatistik Paket Programı [6] Microsoft Excel Programı 6. GRUP ÜYELERİNİN ÖZGEÇMİŞLERİ Emin DÜNDAR ( Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi) 1979 yılında Ġzmir de doğdu. Lisans öğrenimini yılları arasında Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde tamamladı yılında Trabzon da, yılları arasında Denizli de görev yaptı. ġu an Balıkesir Adnan Menderes Anadolu Lisesi nde Matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır. Kerem TUNA ( Marmara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi) 1978 yılında Konya da doğdu. Lisans öğrenimini yılları arasında Marmara Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde tamamladı yılında Yüksek Lisans eğitimini Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü nde tamamladı yılında Kilis de öğretmenlik görevine baģladı. ġu an Ġzmir Cengiz Aytmatov Sosyal Bilimler Lisesi nde Matematik öğretmeni olarak görev yapmaktadır. 11