çizilen doğru boyunca birim vektörü göstermektedir. q kaynak yükünün konum vektörü r ve Q deneme E( r) = 1 q

Transkript

1 Elektrosttik(Özet) Coulomb Yssı Noktsl bir q yükünün kendisinden r kdr uzktki bir Q yüküne uyguldığı kuvvet, şğıdki Coulomb yssı ile ifde edilir: F = 1 qq ˆr (1) r2 burd boşluğun elektriksel geçirgenlik sbiti ϵ 0 = C2 N.m şeklindedir ve ˆr, q dn Q y 2 çizilen doğru boyunc birim vektörü göstermektedir. q kynk yükünün konum vektörü r ve Q deneme yükünün konum vektörü r ile gösterilirse r = r r olur. SI birim sisteminde yüklerin birimi Coulomb(C), uzunluk birimi metre(m) olmk üzere kuvvetin birimi Newton(N) ile ifde edilir. Elektrik Aln Kesikli yük dğılımı Noktsl bir q yükünün elektrik lnı şöyle ifde edilir: E( r) = 1 q (2) rˆr burd r vektörü koordint çerçevesinin orjinine göre lnının hesplncğı noktyı; r, q kynk yükünün bulunduğu noktyı göstermek üzere frk vektörü r = r r şeklindedir. Elektrik lnın birimi, SI birim sisteminde N/C vey V/m biçiminde ifde edilir. q 1, q 2,..., q n şeklinde kesikli syıd bir yük dğılımının elektrik lnı üst-üste gelme ilkesine göre şöyle ifde edilir: Sürekli yük dğılımı E( r) = 1 i=1 Sürekli bir yük dğılımının elektrik lnı şöyle ifde edilir: q i r i 2 ˆr i (3) E( r) = 1 dq( r ) r 2 ˆr (4) Burd, dq sonsuz küçük yük elemnı; çizgisel, yüzeysel ve hcimsel yük dğılımlrı için şöyle ifde edilir: dq( r ) = λ( r )dl, dq( r ) = σ( r )d, dq( r ) = ρ( r )dτ. 1

2 Bun göre hcimsel bir yük dğılımın ship bir sistemin elektrik lnı şöyledir, Şekil1: E( r) = 1 ρ( r )dτ r 2 ˆr (5) z dτ( r ) E( r) = 1 ρ( r )dτ 4πɛ0 r r ( r r ) 3 r r P r r O y x Şekil 1: Sürekli dğılımın elektrik lnı hesbı için kynğın ve lnın hesplncğı noktnın bir koordint çerçevesinin orjinine göre konum vektörlerinin gösterimi. Guss Yssı Bir S yüzeyinden geçen elektrik kısı şöyle tnımlnır: Φ E = S E.d (6) Merkezinde noktsl bir q yükü bulunn bir R yrıçplı kürenin yüzeyinden geçen toplm elektrik kısı şöyledir: E.d = π 2π θ=0 ϕ=0 1 qˆr [ r 2 ].r2 sin θdθdϕˆr = q (7) ϵ 0 burd kürenin merkezinde bulunn yük koordint çerçevesinin orjininde olduğundn integrlin içinde üslü değişkenler görünmemektedir. Guss yssın göre, elektrik lnın bir ters-kre kuvvet yssı biçiminde ifde edilebilmesinin bir sonucu olrk elde edilen bu ifde, seçilen kplı yüzeyin geometrisinden bğımsız olrk dim içerideki toplm yükün elektrik geçirgenlik sbitine ornın eşittir: S E.d = q top ϵ 0 (8)

3 Diverjns teoremi dikkte lınırs bu ifde, yüzey lnının örttüğü hcim içerisindeki sistemin toplm yükü q top = ρdτ olmk üzere şğıdki biçimde ifde edilebilir: V. E = ρ ϵ 0 (9) Bu ifdeye Guss yssının diferensiyel biçimi denir. Elektrik Alnın Rotsyoneli Noktsl bir yükün çevresinde oluşturduğu elektrik lnı, yükün konumu bir koordint çerçevesinin orjin noktsı olrk seçilirse Coulomb yssın göre şöyledir: Bu lnın bir noktsındn bir b noktsın yol integrli şöyledir: E( r) = 1 q ˆr (10) r2 E.d l = = ( ) 1 q r 2 ˆr.drˆr (11) [ q 1 1 ] (12) b Uyrı: Bu sonuç sdece integrlin sınır noktlrın bğlıdır ve yoldn bğımsızdır. Kplı bir yol üzerinden integrlin sonucu = b olcğındn sıfır olur: E.d l = 0 (13) Stokes teoremi dikkte lınırs elektrosttiğin Guss yssındn sonr en önemli ikinci ifdesi şğıdki gibi bulunur: S ( E).d = E.dl = 0 (14) E = 0 (15) Uyrı: Bu sonuç, lnın kynğı oln yükün bulunduğu yerden bğımsız olrk tüm durgun yük sistemleri için geçerlidir. Sistemde birden çok yük vrs, yük dğılımının herhngi bir noktdki toplm elektrik lnı üst-üste gelme ilkesine göre her bir yükün elektrik lnının toplmın eşittir; dolyısıyl her bir yükün elektrik lnının rotsyoneli yrı yrı sıfır olduğundn şu sonuç sğlnır. E = E 1 + E (16) E = ( E 1 + E ) = 0 (17) Dikkt: Bir sistemin elektrik lnının rotsyoneli sıfırdn frklı ise o sistem elektrosttik bir sistem değildir. Örnek: E(x, y) = xŷ elektrik lnının rotsyoneli E = ẑ 0 olduğundn böyle bir lnı üreten bir yük dğılımı elektrosttik olmz.

4 Elektrosttik Potnsiyeli Bir elektrosttik sistem için E = 0 eşitliğinin sğlnmsının gerekli oluşu, sistemin mtemtiksel olrk incelenmesini kolylştırck yeni bir rcın tnımlnmsın yol çr. Rotsyoneli sıfır oln bir vektör lnın dim bir skler ln fonfsiyonun grdyenti biçiminde yzılbilmesinden dolyı elektrik ln vektörü de V gibi bir skler ln fonksiyonunun grdyenti cinsinden yzılbilir: ( V ) = 0. Elektrosttik etkileşmeler ters-kre kuvvet yssı ile ifde edildiğinden elektrik ln ile V skler potnsiyeli rsındki ilişki E = V şeklinde ifde edilir. Elektrosttik bir sistemin elektrik lnının bir noktsındn bir b noktsın yol integrlini şöyle ifde etmek mümkündür: E.d l = O E.d l + E.d l (18) O Tnım: V (r) = r O E.d l fonksiyonun O referns noktsın göre r noktsınd potnsiyel fonksiyonu denir. Bun göre şu sğlnır: V (b) V () = E.d l (19) Grdyentin temel teoremi dikkte lınırs elektrik ln ile potnsiyel rsındki ilişki şöyle bulunur: Elektrosttik potnsiyel kvrmı üzerine uyrılr: E = V (20) Potnsiyel fonksiyonu terimi ilk olrk Green trfındn kullnılmıştır(1828); Guss ise sdece potnsiyel terimini kullnmıştır(1839) 1. V skler potnsiyeli bir kere elde edilirse üç-bileşenli E elektrik lnı, E = V eşitliğinden hemen elde edilebilir. Burd bir tek fonksiyonun nslıl oluyor d üç bğımsız fonksiyon bilgisini içerebildiği sorgulnbilir. E nin üç bileşeninin E = 0 eşitliğine göre birbirinden bğımsız olmdığın dikkt edilirse bu soru cevplnmış olur. Deneysel olrk ölçülebilen nicelik, keyfi bir O referns noktsın göre iki nokt rsındki potnsiyel frkı olduğundn, tnımd kullnıln O nun seçimi keyfidir: yni referns noktsı değişse de potnsiyel frkı değişmez klır. Diğer bir ifdeyle, potnsiyelin tnımınd bir sbit terim ekleme serbestliği vrdır. V = V + C, C = sbt ise sbitin türevi sıfır olduğundn her iki potnsiyel de ynı lnı verir: V = V. Seçim serbestliği dikkte lınrk, sonlu bir yük dğılımının potnsiyelinin tnımınd referns noktsı sonsuzd lınır. r V ( r) E.d l (21) Bir yük dğılımının belirli bir noktdki elektrosttik potnsiyelinin hesbınd üst-üste gelme ilkesi geçerlidir: sistemdeki her bir yük elemnın o noktdki potnsiyeli hesnır ve tüm potnsiyeller toplnır. Potnsiyelin SI sisteminde birimi volttur: [V ] := [J] [C] = [V ]. 1 Potnsiyel kvrmının trihsel gelişimi ve detylı bir tnıtımı için Kellogg un Foundtion of Potentil Theory kitbın bşvurulbilir.

5 Poisson ve Lplce denklemleri Elektrosttiğin potnsiyel formülsyonun göre bir sistemin incelenmesi için temel denklemleri potnsiyel cinsinden ifde etmek gerekir. Sistemin elektrosttiklik koşulu, E = 0 ifdesine göre E = V olduğundn bu ifdenin bir kere diverjnsı lınrk Guss yssı. E = ρ ϵ 0 göz önüne lınırs şğıdki Poisson denklemi bulunur: 2 V = ρ ϵ 0. (22) Yük dğılımının bulunmdığı bölgelerde ρ = 0 olcğınn şğıdki Lplce denklemi elde edilir: Sonlu bir yük dğılımının potnsiyeli 2 V = 0. (23) Noktsl bir q yükünün potnsiyeli, elektrik ln ifdesi dikkte lınrk şğıdki gibi bulunur: V ( r) = 1 r V ( r) = 1 q r E.d r = 1 r [ q r 2 ˆr].drˆr (24) Burd noktsl yük koordint çerçevesinin orjininde lınrk r = 0 kbul edildiğinden, frk vektörünün r = r r = r olduğun dikkt edilmelidir. Üst-üste gelme ilkesine göre sonlu syıd noktsl yük içeren bir sistemin, konumu bir r vektörü ile ifde edilen bir noktdki elektrosttik potnsiyeli şöyledir: V ( r) = 1 i=1 q i r i (25) Benzer olrk, hcimsel yük yoğunluğu ρ ile verilen sonlu büyüklüğe ship sürekli bir yük dğılımının potnsiyeli de şöyle ifde edilir: Elektrosttikte iş ve enerji V ( r) = 1 V ρ( r ) r dτ (26) Bir yük dğılımını bir rd toplmk için ypılmsı gereken işe o sistemin elektrosttik potnsiyel enerjisi denir. Sonlu bir yük dğılımını bir ry getirmek için ypılmsı gereken iş vey sistemin potnsiyel enerjisi, şğıdki mntık yürütme yolu ile elde edilir. Kesikli yük dğılımı Bir yükü boş uzyd bir noktdn bir nokty getirmek için ypılmsı gereken iş sıfırdır. Bir q 1 yükünün ynın sonsuz uzklıktki bşk bir q 2 yükünü tşımk için ypılmsı gereken iş: W 2 = 1 q 1 4πϵ q 0 2 = r12 V 1 ( r 2 )q 2 şeklinedir. Burd r 12 iki yük rsındki bğıl uzklık, r 2 ikinci yükün orjine göre konum

6 vektörü, V 1 ( r 2 ) birinci yükün, r 2 konumundki potnsiyelini göstermektedir. Benzer olrk bir bşk q 3 noktsl yükünü diğer yüklerin ynın tşımk için yüklerin [ lnın ] krşı ypılmsı gereken iş üst-üste gelme ilkesinden yrrlnrk şöyle bulunur: W 3 = 1 q1 4πϵ + q 2 0 q r13 r23 3 = [V 1 ( r 3 ) + V 2 ( r 3 )] q 3. Bu mntık yürütmeye devm edilerek n-tne noktsl yükten oluşn bir sistemin bir ry getirilmesi için ypılmsı gereken iş, yni kesikli yük dğılımının elektrosttik potnsiyel enerjisi, şöyle bulunur: W = 1 i=1 j>i,j=1 vey indisler üzerindeki tekrrlı toplm koşulu değiştirilerek şu ifde bulunur: q i q j r ij (27) W = 1 8πϵ 0 i=1 i j,j=1 q i q j r ij (28) Son olrk kesikli bir yük dğılımın ship elekrosttik sistemi bir ry getirmek için ypılmsı gereken iş, sistemin elektrosttik potnsiyel fonksiyonu dikkte lınrk şğıdki biçimde yzılbilir: Sürekli yük dğılımı W = 1 2 q i V ( r i ) (29) i=1 Kesikli yük dğılımınd, noktsl yükler yerine dq = ρdτ hcimsel yük elemnı lınrk ve toplm ifdesi integrle dönüştürülerek, sonlu boyut ship sürekli bir yük dğılımını oluşturmk için gerekli iş ifdesi şöyle bulunur: W = 1 2 ρv dτ (30) Bu eşitlikte, Guss yssın göre ρ = ϵ 0. E yzılrk ve bir kere kısmi integrl lındıktn sonr şğıdki eşitlik elde edilir: W = ϵ 0 2 tüm uzy E 2 dτ (31) Uyrı: Kısmi integrsyon lındıktn sonr diverjns teoremi dikkte lınırs (V E).d ifdesinde kplı yüzeyin sonsuzd olduğun ve r durumund integrlin içinin sıfır gittiğine dikkt edilmelidir.