OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ

Transkript

1 OLİMPİK MATEMATİK MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK İÇİN İLK ADIM ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR 2016

2 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: SAYILAR Bölüm 2: ÇARPANLARA AYIRMA 73 Bölüm 3:ORAN ORANTI VE PROBLEM ÇÖZÜMLERİ Bölüm 4: MODÜLER ARİTMETİK Bölüm 5: POLİNOMLAR Bölüm 6: DİZİLER Bölüm 7: 2.,3. DERECEDEN DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER 177 Bölüm 8: DENKLEM ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Bölüm 9: SONLU MATEMATİK Bölüm 10: GEOMETRİ Bölüm 11: ALIŞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERİ Bölüm 12: DENEMELER DENEME SINAVLARI CEVAP ANAHTARI

3 ÖNSÖZ Değerli Meslektaşlarım, Sevgili Öğrenciler; Aslında olimpiyatlara hazırlık için kitap yazmayı düşünmüyordum. Fakat hem değerli meslektaşlarımdan, hem de siz sevgili öğrencilerden gelen hocam nasıl çalışalım, hangi kaynakları tavsiye edersiniz, yeni çalışmalarınızı bekliyoruz gibi istekler bu kitabı yazmama vesile oldu. Bu kitapla, TÜBİTAK tarafından yapılan Ulusal İlköğretim Okulları Arası Matematik Olimpiyatı ile özel kurum ve kuruluşlar tarafından düzenlenen yarışmalara hazırlama ya da hazırlanma, imkanınız olacak. Kitaptaki her bir bölüm Matematik olimpiyatları için temel konular olup, olimpiyatlara hazırlanan, hatta matematikle ilgilenenler ve merak duyanlar için İLK ADIM niteliğindedir. Bazı konuların yüzeysel verildiğini ya da kavratma için bir gayretin olmadığını görebilirsiniz. Bunun için Lise kitaplarının konu anlatımları ile soru bankalarına başvurarak bazı temel bilgileri pekiştirmeniz gerekebilir. Bu kitabın hazırlanmasındaki amaç, hem yol göstermek, hem de sizleri olimpiyat problemleri ile karşı karşıya getirmektir. Bu kitabı çalışırken kendinizde yada öğrencilerinizi de eksik hissettiğiniz temel bilgi ve beceriler için İlköğretim ve Ortaöğretim müfredatı için hazırlanmış dokümanlardan faydalanabilirsiniz. Konuyu kavratma adına ezbere bilgiden ziyade daha çok örnek soru ve alıştırmalara yer verildi. Alıştırmalar, Test ve Klasik olmak üzere iki grup şeklinde verildi. Burada sizlere tavsiyemiz, test şeklinde verilen sorulara da klasik çözümler yapmanız. Unutmayın, bu aşamada matematik çalışmak isteyen biri için önemli olan doğru cevaba ulaşmak değil doğru çözümü yapmaktır. Soruların çözümlerini mutlaka okuyun. Çünkü Klasik çözüm yapma, onu ifade etme yetenek ve becerisi için bu çok önemlidir. Sevgili öğrenciler; böyle bir çalışmanın ilk başları sıkıcı yada yapmakta olduklarınızın anlamını tam kavramıyor olabilirsiniz. Unutmayın ki, bir yapbozun ilk parçalarını henüz yeni yerleştirmektesiniz. Çıkacak şeklin ne olacağını tam kavramış ta değilsiniz. Fakat parçalar yerine oturup, bütünü kavradıkça yaptıklarınız size daha bir heyecan verecektir. Hele parçadan bütünü sezme yeteneğiniz geliştikçe hayata bakış açınız daha bir farklılaşacak ve matematiğin asıl zevkine o zaman varacaksınız. Matematik olimpiyatlarına çalışmaya başlamakla, aslında farklı ve doğru düşünme sanatına bir adım atmış bulunuyorsunuz. Attığınız bu adımla nice basamakları aşmanız dileklerimle Ömer GÜRLÜ İZMİR

4 YARIŞMA İSİMLERİ UMO: Ulusal Matematik Olimpiyatı UİMO: Ulusal İlköğretim Okulları Arası Matematik Olimpiyatı AHSME: American High School Mathematics Examination AIME: American Invitational Mathematics Examination IMO: International Mathematics Olympiads AÜMO: Akdeniz Üniversitesi Matematik Olimpiyatı MAFETYA: Yamanlar Matematik Fen ve Teknoloji Yarışması UMY: Samanyolu Ulusal Matematik Yarışması USAMO: United State of America Mathematics Olympiads JBMO: Junior Balkan Mathematics Olympiads RMO: Romanian Mathematics Olympiads

5 BÖLÜM 1 SAYILAR 7

6 Rakam Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin elemanları onluk sayma sisteminin rakamlarıdır. Sayı Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı denir. Sayı Kümeleri 1. Doğal Sayılar N = { 0, 1, 2, 3, } kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına da doğal sayı denir. N = { 0, 1, 2, 3, } kümesi neden doğal sayılar şeklinde adlandırılmıştır? Bazı matematikçiler 0 (sıfır)ı doğal sayı kabul etmezler, neden? 2. Sayma Sayıları N + = { 1, 2, 3, } kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına da sayma sayısı denir. 3. Tam Sayılar Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına da tam sayı denir. Z + = { 1, 2, 3, } kümesine pozitif tam sayılar Z = {, 3, 2, 1 } kümesine negatif tam sayılar kümesi denir. 0 (sıfır) bir tam sayıdır, fakat pozitif ya da negatif değildir. Yani işaretsizdir. O halde, Z = Z + Z {0} dır. 4. Rasyonel Sayılar a ve b birer tam sayı ve a ile b aralarında asal olmak üzere b 0 için şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Q = 5. İrrasyonel Sayılar Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir. Q ı = { şeklinde yazılamayan sayılara denir } ALTIN NOKTA YAYINEVİ 8

7 birer irrasyonel sayıdır sayı doğrusu üzerinde vardır. Fakat yerini rasyonel sayılar gibi tam olarak gösteremeyiz. Onun için bu sayılara irrasyonel sayılar denir. 6. Reel (Gerçek) Sayılar Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçek) sayılar kümesi denir. Reel sayılar kümesi : R = Q Q şeklinde gösterilir. Tam Sayı Çeşitleri n Z olmak üzere, 2n ifadesiyle belirtilen sayılara çift sayı, 2n 1 veya 2n + 1 ifadesiyle belirtilen sayılara tek sayı denir. Tek sayılar T, çift sayılar Ç ile gösterilmek üzere; T ± T = Ç T. T = T n Z + T ± Ç = T T. Ç = Ç T n = T Ç ± Ç = Ç Ç. Ç = Ç Ç n = Ç 1 den 15 e kadar (15 dahil) olan sayıların çarpım tablosunda 225 çarpım bulunmaktadır. Bu çarpımlardan kaç tanesi çifttir? A) 113 B) 112 C) 146 D) 161 E) Hiçbiri Çözüm (Cevap D) { 1, 2, 3,, 15 } kümesinin 8. elemanı tektir. Buna göre 225 çarpımdan 8.8 = 64 tanesi tektir. Çünkü T. T = T, T. Ç = Ç, Ç. Ç = Ç tir. O halde 225 çarpımdan = 161 tanesi çifttir. a bir tam sayı olmak üzere, aşağıdakilerden hangisinin sonucu daima tek sayıdır? A) a 2 + a B) a(a 2 1) C) a 2 + a + 2 D) a 2 + a + 1 E) Hiçbiri 9 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

8 Çözüm (Cevap D) a bir tam sayı ise a 2 + a = a (a + 1) olup ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır. a(a 2 1) = a(a 1) (a + 1) = (a 1) a (a + 1) olup, ardışık üç sayının çarpımı daima çift sayıdır. a 2 + a + 2 yine çift sayıdır. a 2 + a çift sayı olacağından, a 2 + a + 1 tek sayıdır. İki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı kaç farklı değer alır? A) 300 B) 270 C) 262 D) 261 E) 162 Çözüm (Cevap C) Üç farklı iki basamaklı doğal sayının toplamının alabileceği en küçük değer = 33 tür. 33 ten büyük her değer = 294 e kadar yazılabilir. O halde, iki basamaklı üç farklı doğal sayının toplamı = 262 farklı değer alır. Toplamları 167 olan iki basamaklı dört farklı sayıdan en büyüğü kaç farklı değer alır? A) 55 B) 56 C) 90 D) 91 E) 92 Çözüm (Cevap B) İki basamaklı üç farklı sayı 10, 11, 12 olduğunda en büyük olan dördüncü sayı = 134 olup üç basamaklı olduğundan, dört sayıdan en büyük olanı 99 olabilir. İki basamaklı dört sayıdan en büyüğünün alabileceği en küçük değer ise, 40, 41, 42, 44 ten 44 tür. Buna göre { 44, 45, 46,, 99 } kümesinin eleman sayısı 56 dır. α 1, α 2, α 3,, α 19 sayıları 1, 2, 3,, 19 sayılarının farklı dizilişleri olsun. (α 1 1)(α 2 2) (α 19 19) çarpımının çift sayı olduğunu gösterelim. Çözüm { 1, 2, 3, 4,, 19 } kümesinin 19 elemanından 10 tanesi tek, 9 tanesi çifttir. 9 tek ile 9 çift farklı şekilde gelse bile çarpanlardan bir tanesi kesin T T = Ç olacaktır. O halde (α 1 1) (α 2 2) (α 19 19) çarpımı çifttir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 10

9 Pozitif ve Negatif Sayılar Sıfırdan büyük tam sayılara pozitif tam sayılar, sıfırdan küçük tam sayılara negatif tam sayılar denir. Buna göre; 1. a > 0 ve b > 0 ise, a + b > 0, a.b > 0 ve > 0 2. a < 0 ve b < 0 ise, a + b < 0, a.b > 0 ve > 0 3. a > 0 ve b < 0 ise, a.b < 0 ve < 0 4. a > 0 ve n R ise a n > 0 5. a < 0 olmak üzere, n tek (tam) sayı ise, a n < 0 n çift (tam) sayı ise, a n > 0 6. x R ve n Z ise x 2n 0 x ve y gerçek sayılar olmak üzere; (x + y 4) 2 + (y 1) 2 = 0 olduğuna göre, x y farkı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm (Cevap B) (x + y 4) 2 + (y 1) 2 = 0 ise x + y 4 = 0 ve y 1 = 0 olmalıdır. Buna göre, y = 1 ve x = 3 tür. O halde, x y = 3 1 = 2 dir n = olduğunu gösterelim. 11 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

10 Çözüm n 1 + n = A n + n 1 + n 2 + n = A tersten yazıp taraf tarafa topladığımızda, her iki terimin toplamı n + 1 olup, n tane n + 1 in toplamı n(n + 1) dir. Bu toplam; 2A = n(n + 1) olduğundan olur n 1 = n 2 olduğunu gösterelim. Çözüm n 1 toplamına tek terimlerden sonra çift sayıları ekler çıkartırsak n 1= n 1 + 2n n = 2( n ) = n( 2n + 1 ) = 2n 2 + n n 2 n = n 2 bulunur. Ardışık Sayılar Belli bir kurala göre ard arda gelen sayı dizilerine (örüntüye) ardışık sayılar denir. n bir tam sayı olmak üzere, Ardışık tam sayılar;..., n, n + 1, n + 2,... Ardışık çift sayılar;..., 2n 2, 2n, 2n + 4,... Ardışık tek sayılar;..., 2n 1, 2n + 1, 2n + 3,... 7 nin katı olan ardışık sayılar;..., 7n 7, 7n, 7n + 7, 7n + 14,... r 1 için, 1 + r + r 2 + r r n 1 = olduğunu gösterelim. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 12

11 Çözüm 1 + r + r 2 + r r n 1 toplamına T deyip, bu toplamı önce 1 ile daha sonra r ile çarpıp taraf tarafa toplayalım. Yani, Not n = n(n + 1),, dir toplamını bulalım. Çözüm =1(1 + 1) + 2(1 + 2) + 3(1 + 3) ( ) = = = = = bulunur. Not r : ilk terim n : son terim x : artış miktarı olmak üzere, bir aritmetik dizinin terimleri r + (r + x) + (r + 2x) n olmak üzere, bu dizideki terim sayısı dir. 13 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

12 Buna göre bu dizinin terimleri toplamı r + (r + x) + (r + 2x) n = dir. 1 den n ye kadar olan n tane doğal sayının kareleri toplamı, T = n 2 dir. Bu n tane doğal sayıdan her biri 1 arttırıldığında T kaç artar? Çözüm T nin her bir terimindeki n doğal sayısının bir arttırılmasıyla oluşan toplam A olsun n 1 = n 2 olduğuna göre, (2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) (4n + 1) toplamını n cinsinden hesaplayalım. Çözüm 2n n n + 2n + 1= = (n + 1) 2 + (n + 1)2n = n 2 + 2n n 2 + 2n = 3n 2 + 4n + 1 dir. Basamak ve Taban Bir doğal sayının rakamlarının sayıda bulunduğu yere basamak, rakamların bulundukları basamaklara göre yer aldığı değere basamak değeri, rakamın kaç birlikten meydana geldiğini gösteren değere de bu rakamın sayı değeri denir. Sayının gruplandırılarak sayılmasına taban denilir. Günlük hayatta sayarken gruplandırmayı 10 a göre yaptığımızda, buna onluk taban veya onluk sayma sistemi deriz. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 14

13 Onluk sayma sisteminde 2307 sayısının rakamlarının basamak ve sayı değerleri, 2307 Basamak değeri Sayı değeri 7x1 = 7 7x1 = 7 0x10 = 0 0x1 = 0 3x100 = 300 3x1 = 3 2x1000 = x1 = 2 Tahtaya soldan sağa doğru yazılı k tane rakamdan her seferinde 3 ü hariç diğerleri silinerek tüm üç basamaklı sayılar elde edilebiliyorsa, k en az kaç olmalıdır? A) 19 B) 20 C) 29 D) 30 E) 59 Çözüm (Cevap C) Tüm üç basamaklı sayıları elde etmek için 0 hariç her rakam en az üçer defa yazılmalıdır. 111, 999 u elde etmek için her rakam en az üçer defa yazılıyor. Fakat 000 şeklinde üç basamaklı sayı olmadığından 0 rakamını en az iki defa yazmak yeterlidir. O halde k tane rakamdan her seferinde üçü hariç diğerleri silinerek tüm üç basamaklı sayıları elde etmek için k en az 29 olmalıdır. Bu yazılış şeklindedir. Çözümleme Bir sayının rakamlarının basamak değerleri şeklinde yazılmasına bu sayının çözümlenmesi denir. (1923) 10 = (bir)ler basamağı 10 1 (on)lar basamağı 10 2 (yüz)ler basamağı 10 3 (bin)ler basamağı 2 x x 5 ifadesinde, uygun şekilde parantezler yerleştirerek birçok farklı değer elde etmek mümkündür. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda verilen ifadeden kaç farklı değer elde etmek mümkündür? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 15 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

14 Çözüm (Cevap C) 1. (2 x 3) + (4 x 5) = x (3 + 4 x 5) = x (3 + 4) x 5 = [ (2 x 3) + 4 ] x 5 = 50 değerleri elde edilebilir. Sayı Tabanı Sayı tabanı, sayma sisteminin diğer bir adıdır. Aslında sayı tabanı, paketleme sistemidir. Elimizde birbirinin aynı 34 tane çikolata var. Bu çikolataları her dörtlüyü bir kutu yapacak şekilde paketleyelim = (202) 4 demektir. t 2 ve t sayı tabanını göstermek üzere, t tabanında bir sayı yazılırken kullanılan rakamlar t tane olup 0, 1, 2, 3,..., t 1 dir. t tabanındaki beş basamaklı sayının (abcde) t sayısının basamakları ve çözümlenmiş şekli, (abcde) t = a.t 4 + b.t 3 + c.t 2 + d.t 1 + e.t 0 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 (bir)ler basamağı ler basamağı ler basamağı ler basamağı ler basamağı t Tabanındaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması t tabanındaki bir sayı, bu tabana göre çözümlenip toplandığında elde edilen değer 10 tabanındaki karşılığıdır. 10 Tabanındaki Bir Sayının t Tabanında Yazılması Verilen sayı, a 0, a 1, a 2,..., a n t tabanında birer rakam olmak üzere, t n a n + t n 1 a n t 1 a 1 + t 0 a 0 şeklinde yazıldığında (a n a n 1 a n 2...a 1 a 0 ) t demektir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 16

15 x, y, z doğal sayılar olmak üzere, x + y + z = 99 denkleminin çözümü olan kaç farklı (x, y, z) sıralı üçlüsü vardır? (Sıralı üçlü demek (x, y, z) için (1, 2, 96), (2, 1, 96), (1, 96, 2), (96, 1, 2), (2, 96, 1), (96, 2, 1) üçlülerinin farklı çözüm sayılmaları demektir.) A) 99 B) 1010 C) 1100 D) 5050 E) 4950 Çözüm (Cevap D) a, b doğal sayıları için a + b = 3 denkleminin çözümü olan dört farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır. a + b = n, n 1 için n + 1 tane (a, b) doğal sayı çözümikilisi vardır. Buna göre, x + y + z = 99 denkleminde z = 99 için (x, y) çözüm ikilisi 1 tanedir. z = 98 için (x, y) çözüm ikilisi 2 tanedir. Bu şekilde devam ettiğimizde z = 0 için (x, y) ikilisi 100 tane olup bunların toplamı, Buna göre, x, y, z doğal sayıları için x + y + z = n, n 1 denkleminin çözümü olan (x, y, z) sıralı üçlülerinin sayısı; sayısı 2 tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı olur? Çözüm = = ( ) 2 olup 47 basamaklıdır. Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen yeni sayı ilkine göre 2010 küçülüyor. Buna göre ilk sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 Çözüm (Cevap B) Sayı dört basamaklı bir sayıdır. Buna göre sayımız abcd olsun. 1000a + 100b + 10c + d = a + 10b + c 17 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

16 900a + 90b + 9c + d = 2010 denkleminden 1< a < 3 olup a = 2 dir. a = 2 ise 90b + 9c + d = 210 b = 2 ise 9c + d = 30 ve c = d = 3 tür. Buna göre sayımız 2233 tür. S(n), n doğal sayısının rakamları toplamı olmak üzere, S(n) + 3n = 2012 eşitliğini sağlayan kaç farklı n sayısı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm (Cevap B) Sayı abc gibi üç basamaklı bir sayıdır. Buna göre, a + b + c + 3( 100a + 10b + c ) = 2012 a, b, c birer rakam olduğundan, i) 5 < a < 7 ise a = 6 dır. a = 6 için, b + 4c = b + 4c = = 206 ii) 5 < b < 7 ise b = 6 dır. b = 6 için, 4c = ve 4c = 20 ise c = 5 olup abc = 665 tir. p(n), n pozitif tam sayısının rakamları çarpımı olduğuna göre, p(1) + p(2) + p(3) p(100) toplamı kaçtır? A) 2025 B) 2070 C) 2500 D) 4050 E) 5000 Çözüm (Cevap B) p(1) + p(2) + p(3) p(10) = = 45 p(11) + p(12) + p(13) p(20) = = 1.( ) = 45 p(21) + p(22) + p(23) p(30) = 2.( ) = 2.45 olup, p(1) + p(2) + p(3) p(100) için şeklinde bir genelleme yaparak, = 45.( ) = = 2070 bulunur. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 18

17 işleminin sonucu 3 tabanında yazıldığında, kaç tane basamağı 0 (sıfır) olur? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm (Cevap A) = = ( ) 3 tür. x ve 5 sayı tabanları olmak üzere, (3x1) 5 + (123) x toplamının sonucu 10 luk sistemde kaçtır? A) 63 B) 106 C) 123 D) 136 E) 145 Çözüm (Cevap C) (3x1) 5 ten x < 5 ve (123) x ten x > 3 olmalıdır. Buna göre, x bir rakam olduğuna göre x = 4 tür. O halde, (341) 5 + (123) 4 sayıları tabanlarına göre çözümlendiklerinde, = = = 123 bulunur. Bilgisayar klavyesindeki A ve B tuşları ile oynanan bir oyunda, tuşlardan birine bir defa basma işine bir hamle deniyor. Oyuna başlandığında ekrana bir sayı geliyor. A tuşuna basıldığında ekrandaki sayı 1 artıyor. B tuşuna basıldığında sayı 2 katı oluyor. Bu iki tuşu kullanarak, oyuna başladığımızda ekrana gelen sayı 1 ise 200 sayısını elde etmek için en az kaç hamle gerekir? A) 5 B) 9 C) 13 D) 17 E) 20 Çözüm (Cevap B) Soruyu çözmek için 200 den geriye doğru çarpmayı - bölme, 1 arttırmayı 1 eksiltme olarak gidelim. 200 : 2 = : 2 = ALTIN NOKTA YAYINEVİ

18 50 : 2 = = : 2 = : 2 = 6 6 : 2 = = 2 2 : 2 = 1 şeklinde en az dokuz hamle ile 1 den başlayarak 200 sayısına verilen şartlar doğrultusunda ulaşılabileceği görülmektedir. Bu sorunun çözümü 200 sayısının 2 tabanında yazımı ile de çözülebilir Yine dokuz hamle bulunur. p(n), n pozitif tam sayısının 4 tabanında yazılımındaki rakamların çarpımı olsun (Çarpım onluk sistemde yapılıyor. Örneğin 31 = (133) 4 olup p(31) = = 9 dur.) Buna göre, p(1) + p(2) + p(3) p(254) + p(255) toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 1496 B) 1554 C) 1572 D) 1596 E) 1624 Çözüm (Cevap B) 255 = (3333) 4 olup bu sayı 4 tabanında yazılabilecek en büyük sayıdır. Buna göre, bir basamaklı sayıların rakamları çarpımı p(1) + p(2) + p(3) = 6 olur. İki basamaklı sayılar için 0 bulunanları almaya gerek yoktur. Diğer sayıların rakamları çarpımı ise, ( )( ) = = = 6 2 olur. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 20

19 Bu şekilde devam ettirdiğimizde, p(1) + p(2) + p(3) p(254) + p(255) = = 6.( ) = 1554 bulunur. Bölünebilme a ve b Z ve b 0 olmak üzere, a = b.c olacak şekilde bir c Z varsa b, a yı bölerveya a, b nin katıdır denir. a = b.c ise b a ( b böler a yı) şeklinde gösterilir. Bölünen a r b Bölen c Bölüm Kalan a = b.c + r ve 0 r < b Özellikler: a, b, c tam sayılar olmak üzere, 1. a a (Yansıma Özelliği) 2. a b ve b c ise a c (Geçişme Özelliği) 3. a b ve b 0 ise a b 4. a b ve a c ise x, y Z a bx + cy 5. a b ve a b ± c ise a c 6. a b ve b a ise a = b 7. a b ve b 0 ise b 8. a b ve c 0 ancak ve ancak a.c b.c Not a r b c 0 r < b Bölme işleminde r = 0 ( a sayısı b ile tam bölünüyor ) ise b ve c, a sayısının birer tam sayı bölenidir. 1 sayısı her tam sayının bölenidir. 21 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

20 0 sayısı hiçbir sayıyı bölemez. Kendisi hariç bütün tamsayılara bölünür ve bölüm 0 olur. 0 sayısı bütün sayıların tam katı ( 0 katı )dır. A ve B tam sayılarının x ile bölümünden kalanlar sırasıyla m ve n olsun; i) A.B nin x ile bölümünden kalan ( m.n ) ii) A t nin x ile bölümünden kalan m t, t Z + iii) A ± B nin x ile bölümünden kalan ( m ± n ) dir. Burada ( m.n ), m.t ve m ± n değerleri x ten küçük değilse, bu değerler x ile tekrar bölünerek kalan bulunur. A=11 sayısının 7 ile bölümünden kalan 4 olduğundan A 2 + 6A nın 7 ile bölümünden kalan = 40 olup, 40 ın da 7 ile bölümünden kalan 5 tir. Bölme Algoritması Teorem: a, b Z ve b > 0 olmak üzere, a = b.q+ r ( 0 r < b ) şartlarını sağlayan q ve r tamsayıları vardır ve tektir. 1, 2, 3,..., 2010 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar toplamı kaçtır? A) 21 B) 2009 C) 2010 D) 6027 E) 6028 Çözüm (Cevap E) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sayılarının 7 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0 dır. Bunaların toplamı da 21 dir a kadar sayıları 7 li gruplandırdığımızda 2010 = olup aranan toplam = 6028 dir. A B C D E Şekildeki A, B, C, D, E sütunlarına A dan başlayarak sırasıyla her bir sütunda bir rakam olacak şekilde 1, 2, 3,..., 12, 13,... sayılarının rakamları yazılıyor. Buna göre, 2011 sayısını yazarken hangi sütun kullanılmamıştır? A) A B) B C) C D) D E) E ALTIN NOKTA YAYINEVİ 22

21 Çözüm (Cevap C) Önce 1, 2, 3,..., 2010, 2011 sayılarını yazarken kaç tane rakam kullanılmıştır? sorusunun cevabını bulalım. Kullanılan toplam rakam sayısının 5 ile bölümünden kalan sütun numarasını verecektir. 5 ile bölümünden 1 kalanını veren A, 2 kalanını veren B, 3 kalanını veren C, 4 kalanını veren D ve 5 kalanını veren E sütunundadır. Buna göre 1 basamaklılarda 9 rakam, 2 basamaklılarda 90.2 = 180 rakam, 3 basamaklılarda = 2700 rakam, 1000 ile 2011 arası (1000 ve 2011 dahil) = 4048 rakam kullanılmış olup, bunların toplamı = 6937 olup, bu sayının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. O halde C sütunu kullanılmamıştır. Bölünebilme Kuralları 1. 2 ile Bölünebilme : Her çift sayı 2 ile bölünür. Tek sayının 2 ile bölümünden kalan 1 dir ile Bölünebilme : Rakamları toplamı üçün katı olan sayılar 3 ile bölünür ile Bölünebilme : Sayının son iki basamağının belirttiği sayı dört ile bölünebilen sayılar 4 ile bölünür ile Bölünebilme : Birler basamağı 5 veya 0 olan sayılar 5 ile bölünür ile Bölünebilme : Hem 2 ye hem de 3 e ( 2 ve 3 e) bölünebilen sayılar 6 ile bölünür ile Bölünebilme : i) Bir A sayısı için A = 10a + b olsun. a 2b sayısı 7 ile bölünebiliyorsa A da 7 ile bölünür. ii) A = a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 yedi basamaklı sayısı için, ( a 1 + 3a 2 + 2a 3 ) ( a 4 + 3a 5 + 2a 6 ) + a 7 = 7k k Z ise A sayısı 7 ile bölünür. Genel durum a n a n 1 a n 2...a 1 için, ( a 1 + 3a 2 + 2a 3 ) ( a 4 + 3a 5 + 2a 6 ) + ( a 7 + 3a 8 + 2a 9 ) +... şeklinde yazılır ile Bölünebilme : Sayının son üç basamağının belirttiği sayı 8 ile bölünüyorsa sayı 8 ile bölünür ile Bölünebilme : Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile bölünür. 23 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

22 9. 10 ile Bölünebilme : Birler basamağı 0 olan sayı 10 ile bölünür. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamdır ile Bölünebilme : abcde beş basamaklı bir sayı olsun. a b c d e ( a + c + e ) ( b + d ) = 11k ( k Z ) ise abcde sayısı 11 ile bölünür. Genel durum ise A = a n a n 1...a 2 a 1 sayısı için (a 1 + a 3 + a ) ( a 2 + a 4 + a ) = 11k ( k Z ) ise A sayısı 11 ile bölünür ile Bölünebilme : A = 10a + b sayısı için a + 4b sayısı 13 ile bölünüyorsa A sayısı 13 ile bölünür. A = 10a + b için a 5b 17 ile a + 2b 19 ile a + 7b 23 ile bölünüyorsa A sayısı sırasıyla 17, 19 ve 23 ile bölünür. Aralarında Asal Olma İki sayının 1 den başka ortak pozitif tam sayı böleni yoksa iki sayı aralarında asaldır denir. 7 ile 5, 6 ile 5, 20 ile 21 aralarında asaldır. Aralarında asal iki sayıdan her birine bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da bölünür. Buna göre, Buna göre bir sayının 15 ile bölünebilmesi demek, bu sayının 3 ve 5 ile bölünebilmesi demektir. Çünkü 3 ile 5 aralarında asaldır. Beş basamaklı 1A56B sayısının 36 ile bölümünden kalan 23 olduğuna göre, A kaç farklı değer alabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm (Cevap B) 36 ile bölümünden 23 kalanını veren bir sayı 4 ile bölündüğünde 3 kalanını ve 9 ile bölündüğünde 5 kalanını verir. Buna göre, 1A56B sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 ise B = 3, 7 dir. B = 3 için, 1A563 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 8 B = 7 için, 1A567 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 ise A = 4 olur. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 24

23 n Z olmak üzere, n 3 n ifadesinin 3 ile bölündüğünü gösterelim. Çözüm n 3 n = n( n 2 1 ) = ( n 1 )( n )( n + 1 ) ardşık üç sayının çarpımı olduğundan bu çarpım 3 ile bölünür. Not Ardışık n tam sayının çarpımı n ile bölünür. ppp, qr ve kr sırasıyla üç ve iki basamaklı sayılardır. p + q + k + r toplamı kaçtır? A) 16 B) 17 C) 20 D) 21 E) 27 Çözüm (Cevap D) ppp = 111.p = ( qr )( kr ) ise 111.p = 37.3.p = ( qr )( kr ) dir p = ( qr )( kr ) ise qr = 37 için q = 3 ve r = 7 olur. Buradan p = 9, k = 2 bulunur. O halde, p + q + k + r = 21 dir toplamının 71 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 37 D) 57 E) 70 Çözüm (Cevap A) = 1( ) + 2( ) + 3( ) ( ) = = toplamının 71 in katı olduğu görülmektedir. O halde, verilen toplamın 71 ile bölümünden kalan 0 dır. 25 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

24 x 2 y 2 = y x + 24 denkleminin çözümü olan kaç farklı ( x, y ) doğal sayı ikilisi vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm (Cevap C) ( x y )( x + y ) ( y x ) = 24 ( x y )( x + y + 1 ) = x, y doğal sayı olduğundan x + y + 1 > 0 olacağından x y > 0 olmalı. Bu da x > y ve x + y + 1 > x y olması demektir. x y = 1 ve x + y + 1 = 24 ise x = 12 ve y = 11 x y = 3 ve x + y + 1 = 8 ise x = 5 ve y = 2 bulunur. Not a, b Z olmak üzere, x y = a x + y + 1 = b denklem sisteminin tam sayılarda çözümünün olabilmesi için a + b toplamı tek olmalıdır. Çünkü, x y = a x + y + 1 = b 2x = a + b 1 dir. Rakamlarının ikisine birden bölünebilen iki basamaklı bütün sayıların toplamı kaçtır? A) 495 B) 540 C) 630 D) 720 E) 900 Çözüm (Cevap C) 11, 22, 33,..., 99 şeklindeki iki basamaklı tüm sayılar, rakamlarından ikisine birden bölünme şartını sağlar. Bunların toplamı, = 11( ) ALTIN NOKTA YAYINEVİ 26

25 = = 495 tir. a b için ab iki basamaklı sayıda a 10a + b ve b 10a + b olmalıdır. Buna göre, a b ve b 10a dan b = 2a veya b = 5a olmalıdır. Buradan, a = 1 için b = 2 veya b = 5 a = 2 için b = 4 a = 3 için b = 6 a = 4 için b = 8 olup bu sayılar ve toplamı = 135 tir. Buna göre, soruda verilen şartı sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı, = 630 dur. Asal Sayı Kendisinden ve 1 den başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük tam sayılara asal sayı denir. Asal olmayan 1 den büyük tam sayıya bileşik sayı denir. 1 den büyük bütün tam sayıların en az bir asal çarpanı vardır. Sonsuz çoklukta asal sayı vardır. n bileşik sayısı için, p ve p n olacak şekilde bir p asal sayısı vardır. Asal sayılar 3k ± 1, 4k ± 1, k Z p > 3 için 6k ± 1 formundadır. Bu formda olan her tam sayı asaldır diyemeyiz. Not Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu Yunan matematikçi Euclid (Öklit) ispatladı. Aşağıda 100 den küçük asal sayıları veren tablo ise Eratosthenes kalburu diye bilinir ALTIN NOKTA YAYINEVİ

26 Eratosthenes (M.Ö ) sayıları 1 den 100 e kadar yazdı. 2 nin 1 ve kendisinden başka böleni olmadığından 2 asal sayıdır. Sonra tablodan 2 nin katları olanları eledi. 3 asal sayıdır. Daha sonra 3 ün katı olan sayıları eledi. Bu şekilde devam ettiğinde 100 den küçük asal sayıları buldu. Tabloda 100 den küçük 25 tane asal sayı vardır sayısının asal sayı olmadığını gösterelim. Çözüm = şeklinde yazarak sayısına bölündüğünden ve bölüm 1 den büyük olacağından asal sayı olamaz. Bir tam sayının karesinin k N için 4k veya 4k + 1 formunda olduğunu, yani tam kare bir sayının 4 ile bölümünden kalanın 0 veya 1 olduğunu gösterelim. Çözüm n çift sayı ise, n = 2t, t Z olup n 2 = 4t 2 dir. Yani 4k formundadır. n tek sayı ise, n = 2t + 1, t Z olup n 2 = 4t 2 + 4t + 1 = 4k + 1 formundadır. { , , ,..., } kümesinin kaç elemanı tam kare bir sayıdır? A) 990 B)997 C) 1000 D) 9990 E) 9997 Çözüm (Cevap A) = 101 olduğundan 101 den büyük en küçük tam kare sayı 11 2 dir. Bundan sonraki tam kare sayılar 11 2, 12 2, 13 2,... şeklinde (10 3 ) 2 < (10 3 ) olacağından soruda verilen kümedeki tam kare sayılar; A = { 11 2, 12 2,..., } olup s(a) = = 990 dır. p, q, r asal sayılar olmak üzere, 15p + 7pq + qr = pqr eşitliğini sağlayan kaç farklı (p, q, r) üçlüsü vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 ALTIN NOKTA YAYINEVİ 28

27 Çözüm (Cevap C) 15p + 7pq + qr = pqr ise p(15+7.q)=q.r(p-1) dir. p ile p-1 aralarında asal olduğundan p q veya p r dir. Bu da p=q veya p=r demektir. i) p = q ise, 15p + 7.p 2 + p.r = p 2. r dir ve burada denklemin her iki tarafı p ile bölünerek p = r (p-1) ve Bu da p=2, p=3, p=23 demektir. ii) p = 2 için r = 29 ve q=2 p = 3 için r = 18 asal sayı değildir. p = 23 için r = 8 asal sayı değildir. p = r ise, 15r + 7rq +qr = r 2.q ise q = r.q dur. Buradan elde edilir. q = 3 için r = 13 ve p=3 q = 5 için r = 11 ve p=5 tir. Buna göre, soruda verilen durumu sağlayan (p, q, r) = { (2, 2, 29), (11, 5, 11), (13, 3, 13} tür. Kaç farklı p asal sayısı için 2 p + p 2 ifadesinin sonucu yine bir asal sayıdır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3 ten çok Çözüm (Cevap B) p = 2 için = 8 bir asal sayı değildir. p = 3 için = 17 bir asal sayıdır. p > 3 için her asal sayı tektir. 2 1 in 3 ile bölümünden kalan in 3 ile bölümünden kalan in 3 ile bölümünden kalan 2. Bir asal sayının 3 ile bölümünden kalan 2 veya 1 olup karesinin 3 ile bölümünden kalan 1 olacağından 2 tek + p 2 toplamı her zaman 3 ün katı olacağından p > 3 için 2 p + p 2 ifadesinin asal olmasını sağlayan p asal sayısı yoktur. 29 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

28 Not 1 den büyük her pozitif tam sayının en az bir asal çarpanı vardır. π(x) : x pozitif reel sayısından büyük olmayan asal sayıların sayısıdır. Buna göre, π(10) = 4 tür. Gerçekten bu sayılar;1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sayılarından altı çizili olanlardır. π(100) = 25 olduğunu Eratosthenes kalburunda görmüştük. π(11) = 5 olduğunu kolayca söyleyebiiliriz. p, q, r asal sayı olmak üzere, p = q 3 r 3 denklemini sağlayan kaç farklı (p, q, r) sayı üçlüsü vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 4 ten çok Not x 3 y 3 = ( x y )( x 2 + xy + y 2 ) ve x 3 + y 3 = ( x + y )( x 2 xy + y 2 ) Çözüm (Cevap A) p = ( q r )( q 2 + qr + r 2 ) dir. p, q, r asal sayı olduğundan q 2 + qr + r 2 > 1 olacağından q r = 1 olmalıdır. Buna göre, q ve r ardışık iki sayıdır. Ardışık iki sayıdan ikisinin de asal olduğu durum sadece 2 ile 3 tür. Bu da q = 3 ve r = 2 demektir. Bunlar denklemde yerine yazıldığında p = 19 bulunur. Bu da verilen denklemi sağlayan ( p, q, r ) = ( 19, 3, 2 ) üçlüsünün bir tane olması demektir. n N olmak üzere, p = n için p nin asal sayı olmasını sağlayan n sayısının bir tane olduğunu gösterelim. Not (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2, (x y) 2 = x 2 2xy + y 2, x 2 - y 2 =(x y)(x + y) Çözüm n = (n 2 ) 2 + (2 2 ) = (n 2 + 2) 2 4n = (n 2 + 2) 2 (2n) 2 = ( n 2 2n + 2 )( n 2 + 2n + 2 ) dir. p bir asal sayı ise, n 2 2n + 2 = 1 veya n 2 + 2n + 2 > 1 dir. Buna göre n 2 2n + 2 = 1 olmalıdır. n 2 2n + 2 = 1 ise n 2 2n + 1 = 0 ve (n 1) 2 = 0 olup n = 1 dir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 30

29 n = 1 için p = = 5 asal sayıdır. Buna göre, p = n ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan bir tek n değeri vardır. Not Bertrand Postulatı; Her n > 1 doğal sayısı için n < p < 2n eşitsizliğini sağlayan en az bir p asal sayısı vardır. Faktöriyel Kavramı 1 den n ye kadar olan ardışık sayma sayılarının çarpımına n! denir. n! = n 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 n! N olması için n 0 olmalıdır. 10! = olup 10! = şeklinde asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılır.. 13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan kaç tane p asal sayısı vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 13 E) 13! Çözüm (Cevap A) 13! + 1 < p < 13! + 13 için, p = 13! + 2 = 2.( ) Asal değil p = 13! + 3 = 3.( ) Asal değil p = 13! + 4 = 4.( ) Asal değil. p = 13! + 12 = 12.( ) Asal değil Buna göre, 13! + 1 < p < 13! + 13 eşitsizliğini sağlayan p asal sayısı yoktur. 31 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

30 Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması p 1, p 2, p 3,..., p n asal sayılar ve α 1, α 2, α 3,..., α n N için, α α α α A = p 1 1. p 2 2. p p n n şeklindeki yazmaya A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi denir. 1. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, p.b.s = (α 1 + 1)(α 2 + 1)(α 3 + 1)...(α n + 1) dir. 2. A nın pozitif bölenlerinin negatifleri de A nın bölenleridir. 3. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı, dir sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında, en büyük asal çarpanın üssü kaç olur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm (Cevap B) 7200 = = = olup en büyük asal çarpan 5 olduğundan üssü 2 dir. Tam kare sayı : Bir tam sayının karesi şeklinde ifade edilebilen sayıya tam kare sayı denir. (Örneğin; 0 2, 4 = 2 2, 625 = 25 2 tam kare sayılardır.) Buna göre, aşağıdakilerden hangisi 1 den büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı olabilir? A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) Hiçbiri Çözüm (Cevap E) Tam kare bir sayı; p 1, p 2, p 3,..., p n asal sayılar ve α 1, α 2, α 3,..., α n N olmak üzere, 2α 2α 2α 2α A = p 1 1. p 2 2. p p n n asal çarpanlarına ayrılır. Buna göre, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı p = (2α 1 + 1)(2α 2 + 1)(2α 3 + 1)...(2α n + 1) dir. p nin tüm çarpanları tek sayı olduğundan çarpımın sonucu yine tek sayıdır. Yani 1 den büyük tam kare bir sayının pozitif bölenlerinin sayısı 1 den büyük tek sayıdır. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 32

31 6 tane pozitif böleni olan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 9 D) 10 E) 12 Çözüm (Cevap A) 6 = 1.6 = 2.3 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 2 5 = 32, 3 5 = 243, = 12, = 18 olup, 6 pozitif böleni olan en küçük sayı 12 olduğundan rakamları toplamı 3 tür sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 8 ile bölünüp 9 ile bölünmez? A) 20 B) 32 C) 40 D) 42 E) 84 Çözüm (Cevap C) = = = = ( ) şeklinde yazıp sayısının pozitif bölenlerinin her birini 2 3 ile çarptığımızda elde edilen sayılar sayısının pozitif tam sayı böleni olup 8 ile bölünür fakat 9 ile bölünmez. Bu da (4 + 1)(1 + 1)(3 + 1) = = 40 demektir. ifadesini tam sayı yapan x tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 10 B) 15 C) 18 D) 30 E) 36 Çözüm (Cevap C) 243 = 3 5 olup her bir böleni tek sayıdır. Bu tek sayı bölenine 3 eklediğimizde çift sayı olup 2 ile bölünür. Bu da demektir. Bu durumu, 2x = ise 2x = ise. 33 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

32 şeklinde modellediğimizde, olup aynı şekilde diğer bölenler için de elde edilecektir. Burada 12 tane tam sayı böleni olduğundan 12 tane nin toplamı = 18 olacaktır. 100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt kümelerinin sayısının 7 ile bölünmediğini gösterelim. Çözüm 100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı N dir. 100! sayısının içinde 16 tane 7 çarpanı ve 50! sayısının içinde 8 tane 7 çarpanı vardır. N dir. 7 ł A ve 7 ł B olduğundan 100 elemanlı bir kümenin 50 elemanlı alt küme sayısı 7 ile bölünmez. a, b pozitif tam sayılar olmak üzere, eşitliğini sağlayan kaç tane b sayısı vardır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 14 Çözüm (Cevap D) b! ve 4! pozitif tam sayılar olduğundan a nın da pozitif olması için b > 3 olmalıdır. b > 3 için b 3 24 olmalıdır. Yani, 24 ün bölenleri kadar, b tam sayısı vardır. Bunlar, b { 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 27 } dir. O halde b pozitif tam sayısı 8 tanedir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 34

33 En Büyük Ortak Bölen (Ebob) a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayılar olmak üzere, a ve b sayılarından ikisini birden bölen en büyük pozitif tam sayıya a ile b nin en büyük ortak böleni denir. ebob(a, b) şeklinde gösterilir. 24 ve 48 in ortak bölenleri ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 ve ± 24 olup, bunların en büyüğü 24 olduğundan ebob(24, 48) = 24 tür. Not a ve b ikisi birden sıfır olmayan tam sayıları için d Z + olmak üzere, 1. d a ve d b 2. c Z, c a, c b ve c d ise d sayısına a ile b nin en büyük ortak böleni denir. ebob (a, b) = d şeklinde gösterilir. ebob( 15, 81 ) = 3 ebob( 100,5 ) = 5 ebob( 17, 25 ) = 1 ebob( 0, 77 ) = 77 ebob( 6, 15 ) = 3 ebob( 17, 289 ) = 17 Aralarında Asal Olma a ve b tam sayıları için ebob ( a, b ) = 1 ise a ve b aralarında asaldır denir. a ve b aralarında asal ise ebob ( a, b ) = 1 dir. Özellikler a, b, c tam sayılar ve ebob(a, b) = d olmak üzere, ebob( a+b.c, b) = ebob( a, a.c+b) = ebob(a, b) = d 3. ebob (c.a, c.b) = c.ebob(a, b) = c.d 4. ebob(a, b) = 1 ise (a, b, c) = (a, c) 5. a 1, a 2, a 3,..., a n sayıları 0 dan farklı tam sayılar olmak üzere, ebob(a 1, a 2, a 3,..., a n ) = ebob(a n 1, a n ) dir. 6. ebob(a, b) = 1 ve a b.c ise a c dir. 35 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

34 ebob(a, b) = 6 ve a + b = 96 olmasını sağlayan kaç farklı (a, b) doğal sayı ikilisi vardır? A) 5 B) 8 C) 11 D) 16 E) 20 Çözüm (Cevap B) ebob(x, y) = 1 olmak üzere ebob(a, b) = 6 olduğuna göre, a = 6x ve b = 6y şeklinde yazabiliriz. Buna göre, a + b = 6x + 6y = 96 ve x + y = 16 dır. Bu da (x, y) { (1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9), (9, 7), (11, 5), (13, 3), (15, 1)} dir. Not α 1, α 2, α 3,..., α n ve β 1, β 2, β 3,..., β n N a = p 1 α 1. p 2 α 2. p 3 α 3... p n α n ve b = p 1 β 1. p 2 β 2. p 3 β 3... p n β n şeklinde asal çarpanlarına ayrılıyorsa, ebob(a, b) = p 1 min(α 1,β 1 ).p 2 min(α 2,β 2)...p n min(α n,β n ) dir. Not m, n pozitif tam sayıları için mx + ny = ebob(m, n) denklemini sağlayan x, y tam sayıları vardır. Örneğin; 2x + 3y = 1 denklemini sağlayan x, y tam sayılarından biri sırasıyla 2, 1 dir. n Z olmak üzere, ebob(14n + 3, 21n + 1) = 1 olduğunu gösterelim. Çözüm (14n + 3, 21n + 1) = ( 14n + 3, 1(14n + 3) + 21n + 1) = (14n + 3, 7n 2) = (14n + 3 2(7n 2), 7n 2) = (7, 7n 2) (7 ł 7n 2 olduğundan) = (7, 7n 2) = 1 dir., n N kesrini kısaltan (k 1) doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır? (AÜMO ) A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15 ALTIN NOKTA YAYINEVİ 36

35 Çözüm (Cevap D) Verilen kesri kısaltan k 1 sayısı pay ve paydanın en büyük ortak böleni olan, ( 23n + 2, 11n + 3 ) = ( n 4, 11n + 3 ) = ( n 4, 47 ) = 47 sayısını bölmelidir. 47 asal ve k 1 olduğundan k = 47 olmalıdır. O halde 47 nin rakamları toplamı = 11 cevaptır. Not a, b, c birer tam sayı olmak üzere, ax + by = c şeklindeki denklemlere iki bilinmeyenli lineer diyafont denklemleri denir. a, b, c Z a veya b sıfırdan farklı olmak üzere, ax + by = c denkleminin çözüm kümesinin olması için ebob(a, b) = d için d c olmalıdır. Bu durumda denklemin çözümü olan sonsuz çoklukta (x, y) tam sayı ikilisi vardır. Bu çözümlerden biri (x 0, y 0 ) ise k Z olmak üzere, dır. abc ve xyx üç basamaklı sayılar olmak üzere, (abc) 2 = abc + (xyx).1000 eşitliği sağlanıyorsa xyx sayısının rakamları toplamı kaçtır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 9 E) 12 Çözüm (abc) 2 abc = (xyx).1000 eşitliğinden, abc( abc 1 ) = xyx eşitliği elde edilir. ebob( abc, abc 1 ) = 1 olacağından, abc ve abc 1 den biri tek iken diğeri çifttir. Yani biri 5 3 e bölünürken diğeri 2 3 e bölünür fakat 5 e bölünmez. 125, 375, 625, 875 sayılarından komşusu 8 e bölünebilen sayı 375 ve 675 tir = ve = olup xyx sayısı 141 dir. Bu sayının rakamları toplamı da 6 dır. 37 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

36 En Küçük Ortak Kat (Ekok) a, b Z olmak üzere a ile b nin ortak katlarından en küçüğüne (k > 0) bu iki sayının en küçük ortak katı denir. ekok(a, b) veya [a, b] şeklinde gösterilir. 4 ile 6 nın ortak katları; 12, 24, 36, 48,... şeklinde olup bunların en küçüğü 12 olduğundan ekok(4, 6) = 12 dir. 1. ekok(a, b) = c ise ekok(ta, tb) = tc 2. ebob(a, b). ekok(a, b) = a.b dir. Not a ve b sayılarının asal çarpanlarına ayrılmış şekli, α α α α a = p 1 1. p 2 2. p p n n β β β β b = p 1 1. p 2 2. p p n n olsun. Buna göre, ekok(a, b) = p 1 max(α 1,β 1 ).p 2 max(α 2,β 2)...p n max(α n,β n ) dir. a,b,c pozitif tam sayıları için, A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5 eşitliği sağlandığına göre, A nın alabileceği üç basamaklı en büyük sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 Çözüm (Cevap C) A = 3a + 1 = 5b + 3 = 7c + 5 eşitliğinde her bir ifadeye 2 eklersek, A + 2 = 3a + 3 = 5b + 5 = 7c + 7 olur. Buna göre A + 2; 3, 5, 7 ile bölünebilen bir sayıdır. 3, 5 ve 7 ile bölünebilen en küçük sayı ekok(3, 5, 7) = 105 olacağından, aynı şekilde 3, 5 ve 7 ile bölünebilen üç basamaklı en büyüksayı da 945 tir. A + 2 = 945 ise A = 943 bulunur. A nın rakamları toplamı ise 16 dır. ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 ALTIN NOKTA YAYINEVİ 38

37 Çözüm (Cevap A) m, n Z olmak üzere ebob(a, b) = d için a = m.d ve b = n.d ise ebob(m, n) = 1 dir. Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d dir. O halde ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 3 dekleminden, m.n.d + d = m.d + n.d + 3 elde edilir. Bu eşitlik, m.d(n 1) d(n 1) = 3 (n 1)(m 1).d = 3 şeklinde düzenlendiğinde; m, n, d Z + olduğundan, d = 1 için n = 2 ve m = 4 aralarında asal değil n = 4 ve m = 2 aralarında asal değil d = 3 için n = 2 ve m = 2 olup bunlar da aralarında asal olmadığından soruda verilen durumu sağlayan (a,b) pozitif tam sayı ikilisi yoktur. a, b doğal sayılar olmak üzere, ebob(a, b) = 9 ve ekok(a, b) = 270 olduğuna göre bu iki sayının toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) 279 B) 153 C) 117 D) 99 E) 108 Çözüm (Cevap E) ebob(a, b) = 9 olduğundan ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = 9m ve b = 9n yazılabilir. ebob(a, b).ekok(a, b) = a.b özelliği kullanılarak = 9m.9n eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten m.n = 30 bulunur. Bu da, m = 1 için n = 30 m = 2 için n = 15 m = 3 için n = 10 m = 5 için n = 6 olup bu sayılar aralarında asaldır. Bu değerleri yerine yazıp kontrol ettiğimizde a + b nin 108 olamayacağını görürüz. 39 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

38 ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4 denklemini sağlayan kaç tane (a, b) pozitif tam sayı çifti vardır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm (Cevap E) ebob(a, b) = d olsun. Bu durumda ebob(m, n) = 1 olmak üzere, a = m.d ve b = n.d yazılabilir. Buna göre, ekok(a, b) = m.n.d olacağından, ekok(a, b) + ebob(a, b) = a + b + 4 denklemi d + m.n.d = m.d + n.d + 4 olur. Bu denklem d( m 1)( n 1) = 4 şeklinde düzenlenebilir. Bu denkleme göre d = 1, 2, 4 olabilir. Bu durumlar ayrı ayrı incelenerek çözüme gidilir. d = 1 için m = 5 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 5 d = 2 için m = 3 ve n = 2 veya m = 2 ve n = 3 d = 4 için çözüm olmadığından, problemde verilen denklemin pozitif tam sayı çözümleri; (5, 2), (2, 5), (4, 6), (6, 4) olarak bulunur. O halde denklemin dört tane pozitif tam sayı çözümü vardır. Rasyonel Sayılar şeklinde yazılabilen sayılara ras- a ve b aralarında asal olmak üzere; a, b Z, b 0, yonel sayı denir. şeklinde gösterilir. a ya rasyonel sayının payı, b ye ise paydası adı verilir. 1. a 0 için, 2. tanımsızdır. 3. Basit kesir : Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesre basit kesir denir. gibi. basit kesirdir. 4. Bileşik kesir : Payı paydasından mutlak değerce büyük veya paydasına eşit olan kesre bileşik kesir denir. gibi. bileşik kesirdir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 40

39 5. Devirli Ondalık Sayı : Bir rasyonel sayı ondalıklı yazıldığında ondalık kısmındaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa, bu sayıya devirli ondalık sayı denir. 0, sayısına karşılık gelen kesri bulalım. Çözüm x = 0, = denkleminden, 10x = 1, ve 10000x = 1423, elde edilir x 10x = 1423, , = 1422 bulunur. Buradan, bulunur. Genel çözüm yöntemi bu şekilde olan devirli ondalık sayılar için, ondalık kısmına göre, şeklinde bir formül de kullanılmaktadır. Rasyonel Sayılarda İşlemler 1. Toplama ve Çıkarma : Paydalar ekok larına eşitlenir. 2. Çarpma : Paylar paylarla, paydalar paydalarla çarpılır. 3. Bölme : Paydaki kesir aynen yazılır, paydadaki kesir ters çevrilip çarpılır. 41 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

40 İşlem Önceliği Rasyonel sayılarda işlem önceliği şu şekildedir: 1. Parantezler ve ana kesir çizgileri işleme yön verir. 2. Üslü işlemler varsa yapılır. 3. Çarpma ve bölme işlemleri varsa yapılır. 4. Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır. (Çarpma - Bölme, Toplama - Çıkarma kendi aralarında sıralamaya konulmamıştır.) Rasyonel Sayılarda Sıralama 1. Paydaları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan payı büyük olan diğerinden daha büyüktür. 2. Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan paydası büyük olan diğerinden daha küçüktür. 3. rasyonel sayıları için ise dir. işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 861 D) 1722 E) 1 Çözüm (Cevap D) olup toplamdaki her bir kesrin değeri olduğundan, bulunur. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 42

41 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) C) D) E) 2 Çözüm (Cevap A) bulunur. 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 ifadesinin uygun yerlerine parantez(ler) konularak elde edilebilecek en büyük sayı kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm (Cevap D) bulunur. ifadesini tanımsız yapan x değerleri toplamı kaçtır? A) 3 B) C) D) E) Çözüm (Cevap D) x = 3 için tanımsız olduğundan ifade tanımsız olur. olup ifade ifadesinde için ifade tanımsız olur. 43 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

42 olup ifadesi için tanımsız olur. Buna göre ifadeyi tanımsız yapan x değerleri toplamı; bulunur. çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) Çözüm (Cevap E) a 2 b 2 = (a b)(a + b) iki kare farkından; bulunur. Yukarıda verilen işlem; m, n pozitif tam sayıları için, şeklinde yazıldığında m + n toplamı kaç olur? ( m ve n, 1 den başka ortak pozitif böleni olmayan sayılardır.) A) 35 B) 42 C) 53 D) 64 E) Hiçbiri ALTIN NOKTA YAYINEVİ 44

43 Çözüm (Cevap C) Buradan elde edilir. O halde m + n = = 53 tür. n pozitif tam sayısı için, toplamı bir tam sayı oluyorsa aşağıda n ile ilgili verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? A) n, 5 ile bölünür. B) n, 6 ile bölünür. C) n, 8 ile bölünür. D) E) n < 50 Çözüm (Cevap B) ifadesi yanlış olur. olması için n = 40 olmalıdır. n = 40 olması durumunda n, 6 ile bölünür 45 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

44 a, b, c Z + ve olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Çözüm (Cevap C) Buradan a = 3, b = 2 ve c = 4 bulunur. a + b + c = = 9 dur. Gerçek (Reel Sayılar) Sayı ekseni üzerinde gösterilebilen sayılara gerçek (reel) sayı denir. Gerçek sayılar kümesi rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. R = Q Q ı Her gerçek sayı, sayı doğrusunun yalnız bir noktasına karşılık gelir. Bu ifadenin karşıtı, sayı doğrusu üzerindeki her bir noktaya karşılık gelen bir tek reel sayı vardır ifadesi de doğrudur. π Sayı doğrusunun sıfıra göre sağ tarafında bulunan gerçek sayılara pozitif gerçek sayılar, sol tarafındakilere ise negatif gerçek sayılar denir. Üslü İfadeler a bir reel sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan, ifadesine üslü ifade denir. a n ifadesinde a ya taban, n ye de üs (kuvvet) denir. Özellikler 1. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 46

45 2. Özel durumlar dışında a n n.a 3. a 0 olmak üzere, a 0 = 1 dir n = 1 5. (a n ) m = a n.m = (a m ) n x R + için x n > 0 8. x R için x 2n > 0 ve x 2n+1 < 0 9. ( a) 2n = a 2n 10. a n.b n = (a.b) n, a n.a m = a n+m 11. Üslü denklemler, a. a n = a m ise n = m dir. ( a 0, a 1, a 1) b. c. 12. n N +, x, y R ve x, y 0 için, a. 0 < x < y ise x n < x m b. x > 1 ve n < m ise x n < x m c. 0 < x < 1 ve n < m ise x n > x m Pınar, 3 19 un değerini hesap makinesinde doğru olarak 11a şeklinde hesapladığına göre a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 7 47 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

46 Çözüm (Cevap D) 3 19 değeri 9 un katıdır. 11a sayısının rakamları toplamı 30 + a nın 9 un katı olması için a = 6 olmalıdır. Salih, bilgisayarında tüm doğal sayıların 7 kuvvetlerini yazdırarak 1 7, 2 7, 3 7,... şeklinde sıralatıyor. Bu dizilişte kaç sayı 5 21 ile 2 56 arasındadır ( 5 21 ile 2 56 dahil)? A) 3 B) 8 C) 121 D) 132 E) Hiçbiri Çözüm (Cevap D) 5 21 = (5 3 ) 7 = = (2 8 ) 7 = dir. Buna göre, 5 21 ile 2 56 arasındaki sayılar 125 7, 126 7,..., olup bunların sayısı = 132 dir. 4 a.3 b = 324 ve 2 b.9 a = 144 olduğuna göre, 2a + b toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12 Çözüm (Cevap D) Verilen iki eşitliği taraf tarafa çarpalım, ( 4 a.3 b )( 2 b.9 a ) = ise 6 2a.6 b = 6 6 eşitliğinden 2a + b = 6 bulunur. a ve b reel sayılar olmak üzere, 5 a = 7, 7 b = 35 olduğuna göre, oranı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) E) Hiçbiri Çözüm (Cevap D) 5 a = 7 olduğuna göre, 7 b = 35 = 5.7 de 7 = 5 a yazarsak, 7 b = 5.5 a ve 7 b = 5 a+1 bulunur. 7 = 5 a olduğuna göre 7 b = 5 a.b olup, 5 a.b = 5 a+1 elde edilir. Buna göre, dir. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 48

47 a, b N ve a, b > 1 ise 1 ile 1000 arasındaki sayılardan kaç tanesi a b şeklinde yazılabilir?(1000 dahil) A) 25 B) 39 C) 40 D) 45 E) 49 Çözüm (Cevap C) a, b N ve a, b > 1 olmak üzere, a b ifadesinde 1 < a b < 1000 için 1 < a < 32 ve 1 < b < 10 olur. 2 2, 2 3,..., 2 9 : 8 adet 3 2, 3 3,..., 3 6 : 5 adet 5 2, 5 3, 5 4 : 3 adet 6 2, 6 3 : 2 adet 7 2, 7 3, 10 2, 10 3, 11 2,..., 31 2 : 22 adet (8 2, 9 2,16 2, 25 2, 27 2 sayılmıyor) 40 adettir. 4 ün kuvvetleri 2 nin kuvvetlerinde, 9 un kuvvetleri 3 ün kuvvetlerinde, 16 nın kuvveti 2 nin kuvvetinde ve 25 in kuvveti 5 in kuvvetinde geçmektedir. olduğuna göre, 5 x kaçtır? A) 3 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20 Çözüm (Cevap D) olduğuna göre, olup eşitliğinden 5 x = 15 bulunur. Kaç farklı n pozitif tam sayısı için, 3 n + 81 bir tam sayının karesine eşit olur? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Çözüm (Cevap B) n 4 için 3 n + 81 sayısı tam kare bir sayı olamaz. n > 4 için k pozitif tam sayı olmak üzere, n = 4 + k olsun. Buna göre, 3 n + 81 = 3 4+k + 81 = 81(3 k + 1) 49 ALTIN NOKTA YAYINEVİ

48 olur. 81(3 k + 1) = a 2 şeklinde bir tam kare ise 3 k + 1 ifadesi de tam kare olmalıdır. 3 k + 1 = t 2 olsun. Bu durumda, 3 k = (t 1)(t + 1) ise t 1 ve t + 1 değerlerinden ikisi de 3 ün negatif olmayan kuvvetleridir. x ve y doğal sayıları için k = x + y olmak üzere, t 1 = 3 x ve t + 1 = 3 y olsun. Bu durumda, 3 y 3 x = 2 ancak ve ancak y = 1 ve x = 0 için sağlanır. Bu da n = k + 4 = 5 demektir ifadesinin sonucu 9 tabanında yazıldığında elde edilen sayının rakamları toplamı 9 luk sistemde kaçtır? A) 108 B) 81 C) 18 D) 801 E) Hiçbiri Çözüm (Cevap A) rakamlar toplamı (107) 9 + (1) 9 = (108) 9 (2 + 1)( )( )( )... ( ) çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) Çözüm (Cevap D) x 2 y 2 = (x + y)(x y) özdeşliğini kullanarak, A = (2 + 1)( )( )( )... ( ) eşitliğinin her iki yanını (2 1) ile çarparsak, (2 1)A = (2 1)(2 + 1)( )( )( )... ( ) = (2 2 1)( )( )... ( ) = (2 22 1)( )... ( )... = ( )( ) = bulunur. ALTIN NOKTA YAYINEVİ 50